2. Matemaatiline põhivara

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2. Matemaatiline põhivara"

Transkript

1 Maemaailine põhivara Maemaaika olulisus Teooria on maailmapil ehk maailma mudel, mis käiviub meie mõlemises Mõlemise ugev külg on suhelisel keerukae süseemide kiire kvaliaiivne analüüs Kuid mõõmise ulemuseks on arvulised väärused ja hinnaa uleb seega kvaniaiivseid suurusi ja nende suheid Tuleame meelde, e mõõmine on mingi sandardiga/ühikuga võrdlemine Siin jääb mõlemine üsna varsi jänni ja kusub appi maemaaika Maemaailised valemid ei ole midagi muud kui lühidal kirjapandud reeglid numbrilise suurusega opereerimiseks, seega on maemaaika abivahend mudeli (eooria) kvaniaiivseks analüüsiks Teades nähuse või prosessi funksionaalse sõluvus võime siis puhal maemaailise analüüsi abil ee ennusada prosessi kulgu ilma sellele prosessi konkreeseele iseärasusele ähelepanu pööramaa Aga see on jus see, mida me ühel heal eoorial ooame: võimalus ee ennusada süseemi käiumis ingimuses mida pole veel kaselisel konrolliud või mida mingiel põhjusel polegi võimalik konrollida Maemaaika kasuamise eelis seisneb selles, e ühe ja sellesama valemiga võib kirjeldada väga erinevaid nähusi, mis on oma käiumisel sarnased, kuigi sisul äiesi erinevad Seega on vajalike maemaailise valemie arv unduval väiksem kui analüüsiavae nähuse või prosesside arv Siin võib märgaa analoogia kompuuries kasuaavae andmeihenduse zippimisvõeega E arvui mälumahu sääsa suruakse info hoidmiseks võimalikul kompaksel kokku Vasavad arkade inimese (maemaailise infoehnoloogide) pool koosaud programmid oskavad vajadusel selle info jälle käesaadavaks eha (unzippida) Füüsika juurde agasi ulles, selleks e maemaaika valemiesse kodeeriud füüsikalis info käe saada ja seda mõisa, peame meiegi vajalikul määral maemaaika undma Järgnevas vaalemegi peamisi maemaailise avaldise üüpe, mis anud kursuses käsileavae füüsikalise nähuse ja prosesside analüüsil ee võivad ulla Funksioonid Funksioon on maemaailine seos mime suuruse vahel, mille järgi saab arvuada undmau suuruse (s funksiooni, y) vääruse kui argumenide i väärused on eada: y = f(, n ) f ähisab mingi maemaailis arvuusreegli (eheid ja nende kombinasioone), n asendamis Kaseandmee (funksionaalsee sõluvuse) esiamiseks on mimeid võimalusi: Tabel

2 graafik (ülevaalik) valem (sobiv maemaailiseks manipulasioonideks) Lihsaim funksioon on ühe muuuja funksioon y = f( ) Näieks asmefunksioon (n on asmenäiaja) üldvalemiga y= + 5 y = 5 n y= a+ b -asme funksioon on konsan ses suvaline arv asmel = Levinuim asmefunksioon on lineaarne (sirge) ehk esimese asme sõluvus: 4 5 Lineaarfunksioon ja proporsionaalne sõluvus Lineaarfunksiooni iseloomusavad kaks parameeri: b ehk õus/langus (mis on konsan) ja lõikepunk y-eljega a e funksiooni algväärus y= a+ b a on siin mingi algseis/funksiooni algväärus, milles prosess algab ja b ähisab funksiooni õusu ehk y kasvu suhelis kiirus võrreldes kasvuga: y y a = = b= cons Lineaarfunksiooni erijuh on proporsionaalne sõluvus, kus a = ja mõlemad, nii kui y alusavad muuumis nullis Lineaarse/proporsionaalse sõluvuse näieks olgu sellised oma füüsikalisel sisul erinevad nähused/prosessid nagu läbikäidud ee sõluvus ajas s = s + v vooluugevuse sõluvus pinges I U R = (Ohmi seadus, kas unnee ära?) ringjoone pikkuse sõluvus raadiuses: L= π r veevoolu kiiruse sõluvus rõhkude vahes difusioonivoo kiiruse sõluvus konsenrasioonide vahes jne

3 y = 5 Teise asme funksioon on ruusõluvus: y= b 4 5 Ruusõluvus võib sisaldada osana ka lineaarsõluvus, kuid lihsuse mões on see siin välja jäeud Ruusõluvuse näideeks on pindala sõluvus lineaarmõõdus Pange ähele, e kõik pindala valemid sisaldavad argumendi (lineaarmõõdu) ruuu Ruudu pindala s = a, kus a on ruudu külje pikkus Ringi pindala s = πr kus r on raadius Kera pindala s = 4πr Ühlasel kiireneva liikumise korral läbiud ee pikkuse sõluvus ajas: a s = (a on siin kiirendus ja liikumis alusai paigalseisus) Ruusõluvus eemaldub nullis horisonaalsel (väärusel = on õus ) ja jäkab lineaarsel kiireneva y = õusuga b Lineaarfunksiooni õus on suh selge asi Aga kuidas keerulisema funksiooni õusus aru saada? Funksiooni õusu y arvuaakse kui funksiooni puuuja (inglise k angen) õusu anud argumendi väärusel (s kohal, v joonis)

4 Nagu näeme, võib õus omada nii posiiivse kui ka negaiivse väärus ja samui olla = Kuivõrd funksiooni õus sõlub argumendi vääruses ja e sellel konkreesel fikseeriud argumendi väärusel mingi mõe oleks, siis uleb õusu arvuada võimalikul väikese argumendi muuuse korral, piiril lõpmaa väikese muuuse korral: y dy lim d = = ' y = uleis Saadud ulemus nimeaakse funksiooni uleiseks Tuleise leidmise proseduuri s funksiooni jagamis sirglõikudeks ja vasavae õusude leidmis nimeaakse aga funksiooni diferenseerimiseks A Diferenseerimise ähsus dy = B y '( ) d Iga sile, s ilma murdekohadea funksioon, on lühikeseks puuujasuunaliseks sirglõikudeks jagaav ja seega diferenseeriav Peaks olema arusaadav, e mida rohkem on lõike, seda äpsemini saab funksioon sirglõikudega lähendada (v joonis) Kui eame funksiooni uleis, siis eame ka kui kiiresi funksiooni anud argumendi väärusel muuub Funksiooni juurdekasv argumendi muuumisel d võrra avaldub kui dy nimeaakse funksiooni diferensiaaliks Esimes järku asmefunksiooni õus on cons (ei muuu -ga), seega võime kirjuada y = y ' = cons, mis kehib iga y ja korral Asmefunksiooni diferenseerimise reegel dy d n y '( ) = = a = na d d n Kolmanda asme funksiooni ehk kuupsõluvuse y= b näieks oleks ruumala sõluvus lineaarmõõdus: 4

5 Kuubi ruumala V = a kera ruumala V 4 r = π Tõus y b =, mis on argumendi väärusel =, kasvab argumendi suurenedes proporsionaalsel argumendi ruuduga Y Ais Tile Pöördvõrdeline sõluvus Pöördvõrdeline sõluvus on samui asmefunksioon, kusjuures asmenäiaja on -n: - -,,5,,5,,5, X Ais Tile y=/ Y' y=-/ Esimese asme pöördvõrdelis sõluvus kusuakse ka hüperboolseks sõluvuseks y a = =, a mille näideeks võiksid olla järgmised füüsikalised prosessid vooluugevuse sõluvus juhme akisuses U I = R liikumiseks kuluaud aja sõluvus kiiruses s = v elekroni poensiaalse energia sõluvus kauguses uumas E = k e Ze r analoogiline on graviasioonienergi a sõluvus kauguses kehade vahel mm E = k g r 5

6 Pange ähele erinevus /r ja /r vahel! Mõlemale sõluvusele on iseloomulik, e nende õus/langus e energiavälja muuumise kiirus, mis r, on lõpmau suur väikesel argumendi r väärusel ja läheneb asümpooilisel - le suurel argumendi väärusel (v joonis) Sellise keerulisel ja järsul muuuva funksiooni päras räägiaksegi näieks kosmoselendude puhul, e eaud lennu eapil (eaud kaugusel) saus kosmoselaev ühe või eise aevakeha mõjuvälja Tegelikul ulaub graviasiooni mõju lõpmausse, kuid suurel kaugusel on välja muuumise kiirus väike See ähendab jõud, mis laevale selle aevakeha pool avaldaakse on veel väike Teaud lähenemiskaugusel hakkab poensiaalne energia kiiresi muuuma Laevale mõjuv jõud nagu me eelmises loengus rääkisime on aga jus välja muuumise kiirusega proporsionaalne ja see jõud võib nüüd laeva liikumis ugeval mõjuada Selles näies ilmneb uleise/gradiendi füüsikaline sisu energiaväljades Y Ais Tile,4,,,8,6,4,, X Ais Tile /(+) = b (=) ja küllasub kõrgusel a siis kui Bioloogias on ähis alguses (kui on väike) kiiresi ja hiljem järjes aeglasemal õusev kombineeriud hüperboolne sõluvus, mille abil kirjeldaakse näi ensümaailise reaksioonide kiirus v = a /( b + ) sõluval subsraadi konsenrasioonis Funksioon eemaldub nullis õusuga a/b (graafikul =/=), saavuab poole maksimaalvääruses siis kui (= lõpmausele lähenedes) Y Ais Tile X Ais Tile y=/ y=/ Pöördvõrdelise ruusõluvuse näieks on funksioon y a = Sellis sõluvus omab näieks punkikujulise laengu või massi elekri- või graviasioonivälja ugevuse (jõu) sõluvus kauguses 6

7 masside või laengue keskpunkides Pöördvõrdelise sõluvuse ja pöördvõrdelise ruusõluvuse väärused on vaid ühes kohas (argumendi väärusel ) võrdsed Väiksemael argumendi väärusel muuub pöördvõrdeline ruusõluvus kiiremini kui pöördvõrdeline sõluvus Suuremael argumendi väärusel muuub see vahekord vasupidiseks Väga ähis funksioon on eksponensiaalne sõluvus y a = ye Siin y on funksiooni algväärus; asmenäiaja a nimeaakse kiiruskonsandiks Kui asmenäiaja on esiaud pöördväärusena (a=/τ; /τ y = ye ) siis τ nimeaakse eksponendi eguriks (näi radioakiivse lagunemise või kondensaaori ühjenemise puhul ajaegur) Eksponensiaalfunksiooni defineeriakse kui lõpmau jada e = + + +!! Sii siis ka arvu e numbriline väärus: e = = 78 Mõnikord kasuaakse!! eksponenfunksiooni alusena e asemel ka (või mõnda eis arvu) Posiiivse asmenäiajaga eksponenfunksioon kirjeldab n bakerikoloonia kasvu ajas (alguses, kui oiu on palju, aga hiljem see küllasub sarnasel ensümaailise reaksiooni kiiruse valemiga) kapiali suurenemis firmas (ka see avalisel küllasub) Negaiivse asmenäiajaga eksponenfunksioon aga n y = y e a kirjeldab radioakiivsel lagunevae uumade arvu valguskvanide arvu vähenemis neelava keskkonda läbides kondensaaori laengu ühjenemis läbi akisi edukae üliõpilase arvu kahanemis õpiaja jooksul 7

8 Eksponenfunksiooni kõige iseloomulikumaks jooneks on, e funksiooni kasvu/kahanemise suheline kiirus ei muuu, s ema uleis on kogu aeg iseendaga võrdeline Y Ais Tile dy d -4-4 X Ais Tile ± a =± ay e =± ay y=ep() y=ep(-) Posiiivse asendajaga eksponenfunksioon (punane) algab väärusel y = ja kasvab kiireneval Negaiivse asendajaga eksponen (sinine) lähub algvääruses lõpmaus ja langeb aeglusuval Kusuva eksponendi puuuja kohal = (roheline sirge) sihib eksponendiegurile (τ = selles näies) See ähendab, e mida suuremaks funksioon kasvab, seda kiiremini muuub ema väärus (seda suurem on ema absoluune juurdekasv või kahanemine) Mida rohkem on sul kapiali, seda suurem on su kasum Ja vasupidi, mida väiksemaks muuub funksiooni väärus, seda aeglasemal a kahaneb Argumendi väärusel on nii kasvav kui ka kahanev eksponenfunksioon võrdsed, ses e = Argumendi negaiivsel lõpmaul väärusel on kasvava eksponendi õus ; sümmeerilisel on ka langeva eksponendi langev õus argumendi posiiivsel lõpmaul väärusel Vaaame kahaneva eksponensiaalse prosessi, mida kirjeldab ajaegur τ : A= A e τ Aja τ möödudes on prosessi kirjeldav ampliuud vähenenud e - = /e = /78 = 68 korda ehk ~7% peale esialgses vääruses A Kahe ajaeguri möödudes e - = 5 ehk 5% peale, mis moodusab 7% eelmises vääruses Kolme ajaeguri möödudes e - =5 ehk 5% peale, mis omakorda moodusab 7% e - vääruses jne Näeme, e eksponensiaalsee prosesside prakilise lõppemiseni kulub järelikul τ kuni 5τ (67%) Kahaneval eksponendil on algne vääruse 8

9 kahanemine kiire Päris nullini ei kahane eksponen aga kunagi, see võaks lihsal lõpmaa kaua aega Y Ais Tile Suheline majanduskasv ja rahvuslik rikkus Sul peab algkapiali olema, e eevõe mõisliku ajaga kasumi ooma panna See on ka põhjus, miks vähearenenud riigid omades küll võrdse majanduskasvu indeksi kunagi absoluuse rikkuse mões arenenud riikidele järele ei saa Vahe üksnes kasvab Kujuage ee, e ühel eis on miljard krooni ja eie aasakasum on % S eie vara kasvab aasaga miljoni krooni võrra Minul on aga pangas näieks krooni % inressi korral saan ma krooni võrra rikkamaks Pole ka paha, kuid unduval vähem, kui eil Funksiooni pöördfunksioon on funksioon 4 - y = f( ) X Ais Tile y=ep() y=ln() = f y Eksponendi pöördfunksioon on siis logarim Tõepooles, kui y = e, siis ln y = Sii uleneb, e loomulik logarim arvus y on arv, millega uleb asendada e, e saada y: Kümnendlogarim arvus y on arv, millega uleb asendada, e saada y: ( ) Kui y = siis lg y = ln y = ln = ja Asendades -i saame, e ln y = lg y Kuidas näeb välja logarimfunksiooni graafik? Nii ln kui ka lg =, ses iga arv (sh e ja ) asmel = Ühes suuremae arvude logarimid on posiiivsed, ühes väiksemae arvude logarimid on negaiivsed ln = Funksiooni eksreemumid - miinimum ja maksimum E leida funksiooni eksreemume uleb leida need kohad funksioonil, kus funksiooni muuumise kiirus ehk esimene uleis võrdub Seejärel, leidmaks, kas eksreemum vasab funksiooni maksimumväärusele või miinimumile, uleb arvuada funksiooni eine uleis Kui eine uleis eksreemumile vasaval argumendi väärusel on >, on egemis miinimumiga ja vasupidi (v parabooli joonis) Diferensiaalvõrrandid Määraud ja määramaa inegraalid Diferenseerimise ulemusel saame võrrandi, mis seob omavahel suuruse väikesed muuused, n 9

10 Y Ais Tile Y Ais Tile parabool - X Ais Tile esimene uleis eine uleis dy = y '( ) d Sellis võrrandi nimeaakse diferensiaalvõrrandiks Anud valem kirjeldab lihsaima ehk esimes järku diferensiaalvõrrandi Diferensiaalvõrrandi järgu määrab osiava funksiooni (milleks anud näies on y()) uleise kõrgeim järk selles võrrandis Diferensiaalvõrrandid on seega maemaailised seosed mie suuruse enese vahel (nagu funksioonid), vaid suuruse muuuse vahel (meie näies siis dy ja d vahel) Lihsaks füüsikaliseks näieks võiks olla keha (n auo) liikumisel läbiud eepikkus Liikumisel kiirusega v on igas lõpmau lühikeses ajavahemikus d läbiud eepikkus ds = v() d = s'() d Võrdlemaks ülaloodud maemaailise avaldisega uleb võa, e ds=dy ja d=d - Teades auo liikumise -5 5 kiirus (mis igal ajahekel võib olla X Ais Tile erinev, seda rõhuab kiiruse sõluvus ajas v ()) ahame eada, kui kaugele me sellise auoga sõies lõpliku aja (n ühe unni) päras jõuame Veidi järele mõeldes saame aru, e selleks me peame lihsal kõikvõimalikud võrdsee ajavahemike jooksul läbiud elemenaarvahemaad ehk ds-id kokku liima Asja näilikusamiseks oleame nüüd, e s on h võrreldes piisaval lühike aeg (Kui kiirus on suur, ei arvise see õige olla, aga olgu!) Meie summas on siis 6 (=66) liideava: s = ds = s '( ) d = v ( ) d i i i i= i= i= Kui ahame äpsema ulemus, peame unni veel väiksemaeks osadeks jagama, n millisekundiliseks, mikrosekundiliseks või isegi pikosekundliseeks osadeks Muide, füüsikud oskavad änapäeval ose mõõa prosesse, mis kesavad femo- ja isegi aosekunded (kaudsel saab veelgi lühemaid ajavahemikke hinnaa) Seejuures on pikosekundilised lahuused änapäeval juba üsna avalised Siinsamas füüsikainsiuudis kasuaakse lasereid

11 (laseries kuulee kursuse jooksul veel), mis genereerivad - ps kesusega valgusvälkeid Neil päevil saab FI laseri, mille pulsi pikkus on kümneid kordi lühem Aga läheme oma põhieemaga edasi Selgub, e kui d on uuriava prosessi seisukohal piisaval lühike, siis võib summa asendada inegraaliga (see on lihsal maemaailine sümbol - rikk ähisamaks lõpmau suures elemenide arvus koosneva summa, kusjuures liideavad ise on lõpmaa väikesed): s = v () d = v() d i Pole erii raske mõisa inegraali geomeerilis ähendus Selleks on inegraalialuse funksiooni pindala Niisiis, leidmaks läbiud ee pikkus, uleb meil lihsal eepikkus kirjeldav diferensiaalvõrrand, ds = v() d = s'() d, inegreerida: s = vd = s'( ) d Inegreerimise ulemuseks (lahendiks) on siis argumendis (so ajas ) sõluv funksioon s=s() Seega on inegreerimine uleise kaudu funksiooni osimine Osiakse sellis funksiooni, mille uleis oleks inegraalialuse avaldisega võrdne Kui kiirus ajas ei muuu (on konsanne), võime eepikkuse avaldises liiruse v inegraali ee uua: ds = v d, milles järgneb, e 5 5 y= y = s = v +, s ses kõigi d kokkuliimine annab meile lihsal sõiduks kulunud aja Miks me aga sellele avaldisele veel mingi liikme s lisasime? Aga sellepäras, e võrrandi ds = vd rahuldab iga sirge, mille õus on v (v joonis) Seega jääb ülaloodud inegraali äpne väärus kindlaks egemaa Läbikäidud ee ei sõlu kohas,

12 kus me liikumis alusasime, kas Rakveres või Riia n osas Ühlase kiirusega sõies läbime ikka ühesuguse vahemaa Niisiis väljendab s lihsal meie eadmaus liikumise alguspunki suhes Kui diferensiaalvõrrand on kirjuaud üldisel kujul, siis ema lahendina ei osia mie arvu (mingi funksiooni väärus), vaid funksiooni ennas maemaailisel kujul Diferensiaalvõrrandi inegreerimise ulemusena leiaksegi niisugune funksioon e määramaa inegraal Tegemis on siis nö üldjuhul kehiva valemiga Prakilises ülesannees määraakse inegreerimiskonsan mingis lisaeabes, nn alg- või ääreingimuses Ääareingimused eraldavad kõikvõimalikes prosessides ühe konkreese Näieks ülaoodud näies võib nõuda, e ajahekel = oleks funksiooni väärus s = Inegreerimiskonsan s siis näiab, e liikumis alusai kohal ja s on siis lõpp-punki egelik asukoh Ääreingimuse arvesamine oimub määraud inegraali arvuamise eel Meie lihsas näies siis järgmisel: s s ds = s = s s = v d v v( ) v s = = = s Seda arvuaakse nii, e leiakse määramau inegraali väärus ülemisel rajal e argumendi lõppväärusel ja lahuaakse selles määramau inegraali väärus alumisel rajal e argumendi algväärusel Siin ei jää enam midagi ebamääraseks Ajahekel asusime kohal s ja hekel kohal s Teeme läbi ka ühe keerulisema näie, n kiirendusega liikumise juhu Oleame, e keha alusab liikumis nullkiiruses ja liigub ühlasel kiireneval kiirendusega a m s - (kiirendus ise ajas ei sõlu!) Aja möödudes on keha kiirus siis v() =a Iga väga lühikese ajavahemiku d jooksul läbiud eepikkus võrdub ds v() d = Nagu varemgi, läbiud ee leidmiseks, uleb meil vaid need elemenaarsed eejupid kokku liia Aga olgem ähelepanelikud! Erineval eelmises näies seekord kiirus ajas pideval muuub Seepäras ei ohi me enam eda inegraalimärgi ee uua, mis varem oli oluline lihsusus Küll aga saame, avaldades kiiruse kiirenduse ja aja kaudu, ee uua kiirenduse, mis on ajas sõlumau konsan Saame ds = v() d = ad = a d ja peale inegreerimis: s = a + s Asmefunksioonide inegreerimise reeglies räägime allpool

13 Arvuades määraud inegraali oimime järgmisel: = v( ) d ja = a = ad = a a( = Selle kursuse jooksul kasuame inegreerimis lisaks ebaühlase kiirusega liikumisel läbiava eepikkuse arvuamisele veel näieks aaomiuuma ümbriseva elekrivälja poensiaalse energia ja gaasi paisumisel ehava öö rehkendamisel Tihi uleb füüsikas ee järgmine esimes järku diferensiaalvõrrand, mis põhineb eadmisel, e suuruse A muuumise kiirus (n ajas, või ka ruumis, eepikkuse läbimisel) on võrdeline suuruse A enesega Ülapool nägime, e selline käiumine on omane eksponefunksiooni uleisele, seega osiav funksioon on eksponenfunksioon Sellise seaduspärasuse järgi oimub näieks ) ad vedeliku väljavoolamine reservuaaris elekrimahuvuse ühjenemine radioakiivse aine lagunemine valguskvanide neelamine aines Neil juhudel võime kirjuada da ka d = ; Proporsionaalsusegur k ehk kiiruskonsan ei sõlu siin ajas Võrrandi inegreerimiseks rakendame muuujae eraldamise reegli, viies A ühele poole ja eisele poole võrdusmärki: Inegreerides saame da A = kd da kd A = ln A= k + ln A

14 milles järgneb, e ln A A = k, A= A e k Nagu panie ähele, inegreerimiskonsan kirjuai seekord mugavuse päras logarimi kujul, lna, e muuuse alguspunk viia sisse suhena, mie vahena lõpp-punki suhes Viimase valemi võib kirjuada ka kujul A= A e kus τ =/k on nn eksponendi egur (anud juhul ajaegur) Aja asemel võib olla eepikkus, näieks kui valguskvandid (või radioakiivne kiirgus) läbivad neelava aine Konsan k näiab siis valguse nõrgenemis eepikkuse ühiku koha Kui võrrand näiab, e suurus mie ei kahane, vaid kasvab iseendaga võrdelisel, siis saame samasuguse eksponensiaalse lahendi, aga posiiivse asendajaga Posiiivse eksponendiga kirjeldub näieks τ populasiooni (bakerie koloonia) kasv aime kasv majanduse (kapiali) kasv ec Selline eksponensiaalne kasv on muidugi võimalik vaid arengu algfaasis, siis kui süseemi iga elemen suureneb (paljuneb) veel ilma eise pool mõjuamaa Hiljem prosess küllasub, n kui koloonia muuub nii ihedaks, e naaber-rakud peavad oidu (valguse, jne) päras ükseisega konkureerima hakkama Läheme veel sammukese edasi ja peaume põgusal eis järku differensiaalvõrrandiel, mille järgi käiuvad prosessid on samui füüsikas (s looduses) küllal laial levinud Kui esimes järku diferensiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja funksiooni muuused (sisaldades esimes järku uleisi), siis eis järku diferensiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funksiooni muuuse muuumised (eis järku uleised) f f f ' '' = f( ) df = d d df d f = ( ) = d d d 4

15 Teis järku diferensiaalvõrrandi laial kasuaavaks näieks on võnkumise võrrand, mis põhineb eadmisel, e vedru (või pendli) agasiõmbav jõud on võrdeline hälbega A asakaaluasendis da F = m = ka d Kuna jõud põhjusab kiiruse muuumise ehk kiirenduse, siis väidab see võrrand, e võnkuva massi kiiruse muuumise kiirus (e kiirendus) on võrdeline hälbega asakaaluseisus ja on suunaud asakaaluasendi poole (viimasele viiab miinusmärk elassuskoefisiendi k ees): Saab näidaa, e selle võrrandi lahendiks on perioodilisel võnkuv siinusfunksioon, mille võnkeperiood T avaldub järgmisel: k m 4π T = = ω ehk 4π m m T = = π = / ν k k Pendli puhul k/m=g/l ja mass aandub valemis välja andes ulemuseks l T = π g Näeme, e pendli võnkeperiood sõlub ainul pendli pikkuses ja raskuskiirenduses Seega on pendli abil võimalik mõõa Maa (samui mõne eise aevakeha) raskuskiirendus, mida on ka edukal rakendaud Teis järku differensiaalvõrrand on ka kvanmehaanika põhivõrrand e Scrödingeri võrrand, millega me edaspidi lähema uvus eeme Selleks, e määraa, missuguses siinusfunksiooni punkis asub võnkuv keha eaud ajahekel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunksioonile arvis eada veel juba kahe algingimus: algkoordinaai, milles liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas asakaalupunki poole või selles eemale Minimaalsel vajalike ääreingimuse hulk võrdub diffrensiaalvõrrandi järguga 4 Asmefunksioonide inegreerimise reeglid Inegraali on lihne leida kui inegreeriav on asmefunksioon: = n + n+ n d, a Näieks kui v=a, siis ad = Veel mõned näieid: 5

16 d= d = d = Aga peame meeles, e erandiks on inegraal, mis annaks ulemuseks null-asme d = ln Eksponenfunksiooni inegraal avaldub samui väga lihsal a e d = e a Nende valemie konrolliks uleb vaid parema pool differenseerida; ulemuseks peame saama inegraalialuse avaldise a 5 Vekorid ja skalaarid Skalaarid on suurused, mida iseloomusab eaud arvväärus (ja füüsikas ka ühik) Skalaarid liiuvad algebralisel Algebraline summaomavahel liiumis- ja/või lahuamismärkidega ühendaud arvud või avaldised Vekorid on suurused, mida iseloomusab koordinaaide ruumis sih, suund ja pikkus Füüsikas iseloomusab vekori veel ka ühik Vekorid on n kiirus kiirendus samui kõik kiiruse ja kiirenduse kaudu avalduvad suurused nagu jõud=ma impulss=mv impulssmomen=pr jõumomen=fr elekriväja ugevus Paneme aga ähele, e energia nagu ka mass või emperauur on skalaarid (on äielikul määraud vasava arvväärusega ning kasuaud ühikuga) Vekori ähisab kirjapildis avalisel kas noolega kaeud (n rasvane (bold) äh (F) F ) või 6

17 Vekorie omadusi: Vekor on suunaga lõik (nool) ruumis Vekorid on võrdsed, kui neil on sama sih, suund (+ või miinus anud sihis) ja pikkus Vekori koordinaadid on ema lõpp- ja algpunkide vahed Suvaline vekor on avaldaav/lahuaav risiolevae koordinaaelgede suunalise komponenide kaudu Komponenide summa annab siis kokku lahuaava vekori Samui võib iga vekori avaldada ühikvekorie (i, j, k) kui baasi kaudu Ühikvekor on ühikulise pikkusega vekor Öeldakse, e vekor A on jaoaud/jagaud kolmeks risiolevaks (baas)vekoriks (i, j, k) Vasavaid jaouskoefiisiene a jne nimeaakse siis Decarese (Eukleidese) koordinaaideks (baasi vasaval Decarese või Eukleidese baasik) Ühikvekorie kasuamine lihsusab maemaaika, erii kui ühikvekori alguspunki saab ühiada koordinaaide alguspunkiga Vekorie pikkus ja suund ei sõlu koordinaasüseemis Seega võib iga ruumipunki käsileda kui alguspunki Kõik on vaid mugavuse küsimus Tasapinnal asuva vekori jaoks on vaja kahe baasvekori, ruumis asuva jaoks kolme (üks iga koordinaa di, y, z jaoks): A = ai+ a j + a A = i + yj + zk y z k Y a y A Nende koordinaaide geomeeriline mõe on esiaud kõrvaloleval joonisel: Neid vahesid nimeaakse ka vekori A projeksiooniks vasavaele elgedele a a y = = a = y Acosα Asinα a = y y a X Vekori pikkus (moodul) leiakse avaldises A = A= a + a + a y z Vekorid liiuvad/lahuuvad geomeerilisel nagu joonisel näidaud 7

18 A + B= C A B= D Samui oimiakse suvalise arvu vekoriega liimisel/lahuamisel Vekorie liimine/lahuamine ei sõlu egurie järjekorras (kommuaiivsus) Tehed vekori komponenidega on ükseises sõlumaud, kui koordinaadid on valiud ükseises lineaarsel sõlumauena (kahe vekori lineaarne sõluvus ähendab nende paralleelsus!) A= ai + ay j + azk B= bi + by j + bzk C = a + b i + a k ( ) ( b ) j ( a b ) y y z z Vekorie korruamine Erisaaakse vekorie skalaar- ja vekorkorruis Skalaarkorruise (mis on kommuaiivne) ulemuseks on skalaar väärusega A B= AB = a b + a b + ab Risiolevae vekorie skalaarkorruis = cosα y y z z Vekorkorruise ulemuseks on vekor, mis on korruaavae vekoriega risuvas asapinnas i j k A B = a a a = i a b b a j ab ba + k ab ba ( ) ( ) ( ) y z y z y z z z y y b b b y z Selle vekori suuna määramiseks kasuaakse kruvireegli ja ema pikkus on määraud avaldisega A B = ABsinα Samasuunalise vekorie vekorkorruis= 8

19 Vekorkorruis ei ole kommuaiivne A B = B A ( ) Mime muuuja funksiooni korral nimeaakse funksiooni kiireima kasvamise suunda ja kiirus anud punkis iseloomusava vekori gradiendiks f f f gradf (, y, z) = f (, y, z) = i + j + k y z Tagurpidi dela nimi on nabla Gradiendivekori komponenideks on funksiooni osauleised Lõpuks on võib-olla kasulik eada, e ka kompleksarvud on vekorid; ema komponene võib kirjeldada kahes risiolevas (reaalses ja imaginaarses) asandis asuva liikme abil Võame kokku Maemaaika olulisus seisneb selles, e a võimaldab kompaksel (üks ja sama valem kehib mime füüsikalisel erineva nähuse puhul) formuleerida ja kvaniaiivsel käsileda kõige erinevamaid probleeme Funksioonid kui arvudevahelised sõluvused Funksiooni diferenseerimine e sirglõikudega lähendamine ja vasavae õusude (uleise) määramine Taylorí rida Iga sileda funksiooni saab argumendi väikesel kõrvalekalleel arendada ria (nn Taylori rida) ema uleise järgi Tavalisel võib piirduda esimese, kõige suurema liikmega, mis on nihkega proporsionaalne Nii defineeriakse funksiooni õus ehk esimene uleis y = f( ) y = f( a+ ) f( a) = f '( a) + f ''( a) +!! Sii näeme, e esimes järku uleise kaudu funksiooni deferenseerimine on vaid mugav lähendus (kuid enamasi mõislik kompromiss äpsuse ja öömahukuse vahel) Inergreerimine kui uleise kaudu funksiooni osimine Funksionaalanalüüs e uleise kaudu funksiooni eksreemumide (miinimumi ja maksimumi) osimine Skalaarid ja vekorid Skalaare liideakse/lahuaakse algebralisel, vekoreid geomeerilisel Vekorid on väga kasulikud liikumise kirjeldamiseks mimemõõmelises ruumis Ühes mõõmes neid vaja ei läheks 9

Magnet. Füüsika 11.klassile

Magnet. Füüsika 11.klassile Magnet Füüsika 11.klassile Hans Christian Oersted Taani füüsik ja keemik, Sünnikoht Rudkobing Füüsikaprofessor. Ehitas esimese termoelektrilise patarei. 1825 kasutas esimesena alumiiniumi eraldamiseks

Detaljer

Eksamen 19.05.2014. FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/ Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2014. FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/ Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.2014 FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister Nynorsk/Bokmål Oppgåve 1 Svar på spørsmålet nedanfor med fem seks setningar på estisk. Mida sa tegid eelmisel

Detaljer

) liikumise suunda, kiirust v ja kiirendust a. Võrrand, x x0. 2 t, kus t väljendab aega sekundites, võimaldab seda ülesannet

) liikumise suunda, kiirust v ja kiirendust a. Võrrand, x x0. 2 t, kus t väljendab aega sekundites, võimaldab seda ülesannet 1. I Kinemaatika osa nõutavad teoreetilised teadmised. Mehaaniliseks liikumiseks nimetatakse keha asukoha muutumist teiste kehade suhtes. Kehi käsitletakse punktmassina, kui ülesande tingimustes võib nende

Detaljer

Füüsikaline maailmapilt (II osa)

Füüsikaline maailmapilt (II osa) Füüsikaline maailmapilt (II osa) Sissejuhatus... 2 3. Vastastikmõjud... 2 3.1. Gravitatsiooniline vastastikmõju... 3 3.2. Elektromagnetiline vastastikmõju... 4 3.3. Tugev ja nõrk vastastikmõju... 8 4.

Detaljer

Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on

Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on 4 LIIKUMISE PÕHJUSED 41 Jõud Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududea Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on jõud mass liikumishulk ehk impulss (kulliikumise

Detaljer

U. Kallavus MATERJALIDE UURIMISMEETODID I 3 - VALGUSMIKROSKOOPIA KUJUTIS

U. Kallavus MATERJALIDE UURIMISMEETODID I 3 - VALGUSMIKROSKOOPIA KUJUTIS 1 KUJUTIS Kui inimene lähendab mingit eset oma silmadele, siis tekib tema ajus pidevalt suurenev kujutis kuni kauguseni 25 cm, mida nimetatakse I PARIMA NÄGEMISE KAUGUSEKS. Parima nägemise kaugus cm on

Detaljer

MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL

MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL 004-010 Sisukord Laboratoorne töö nr 1 Vaba langemise kiirenduse määramine... 3 Laboratoorne töö nr Atwoodi masin... 7 Laboratoorne töö nr 3 Impulsi jäävuse seaduse

Detaljer

Füüsikalise looduskäsitluse alused

Füüsikalise looduskäsitluse alused Füüsikalise looduskäsitluse alused Kirjuta sõnade sõnade mina, maailm, loodus ja füüsika tähendus enda jaoks. Käsitle neid sõnu omavahel seostatuna. Ava mõistete sündmus, signaal, retseptor, aisting ja

Detaljer

NÄIDE. Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut

NÄIDE. Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR0030 Sessejuhatus Robotitehnikasse Kodutöö Tööstusroboti Kinemaatika ja Juhtimine Mitsubishi RV-3S Koostanud: Sergei Astapov 0987

Detaljer

ARUANNE MÄLUPILDID 1

ARUANNE MÄLUPILDID 1 ARUANNE MÄLUPILDID 1 Sisukord Saateks 1. Sissejuhatus Vallavanema aruanne 2. 2009 kohalike valimiste eelne aeg. 3. 2009 kohalikud valimised ja tulemus. 4. Valimiste järgne aeg kuni 27.10.2009 (kokkuleppe

Detaljer

SPEKTROSKOOPIA ALUSED

SPEKTROSKOOPIA ALUSED Tartu Ülikool Füüsika Instituut Valter Kiisk SPEKTROSKOOPIA ALUSED Loengukonspekt kursustele LOFY.02.019 ja LOFY.01.024 Viimati täiendatud: 31. oktoober 2016. a. SISUKORD Spektroskoopia üldmõisted 4 1

Detaljer

Proovide käsitsemine IR spektroskoopias ATR-IR spektroskoopia

Proovide käsitsemine IR spektroskoopias ATR-IR spektroskoopia Proovide käsitsemine IR spektroskoopias ATR-IR spektroskoopia Sobivad materjalid ja lahustid Ideaalsed materjalid ja lahustid on sellised, mis ei neela märkimisväärselt IR kiirgust 4000-400 cm - vahemikus

Detaljer

MOLEKULAARFÜÜSIKA LABORATOORSETE TÖÖDE JUHENDID

MOLEKULAARFÜÜSIKA LABORATOORSETE TÖÖDE JUHENDID MOLEKULAARFÜÜSIKA LABORATOORSETE TÖÖDE JUHENDID TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL Üldfüüsika kateeder MOLEKULAARFÜÜSIKA LABORATOORSETE TÖÖDE JUHENDID Teine, parandatud trükk Koostanud J.Salm T A R T U 198 8 Kinnitatud

Detaljer

MESINIK. nr 5 (85), oktoober 2014 MESINDUSE INFOLEHT. Trükise väljaandmist toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames

MESINIK. nr 5 (85), oktoober 2014 MESINDUSE INFOLEHT. Trükise väljaandmist toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames MESINIK MESINDUSE INFOLEHT nr 5 (85), oktoober 2014 EMLi üldkoosoleku kutse Mesinike sügiseste teabepäevade kava Tõnu Talvi. Karukahjude hüvitamine Maire Valtin. Õppereis Poola Aleksander Kilk. Norra-reisi

Detaljer

TEKST2 EESTI ARSTITEADUSÜLIÕPILASTE SELTSI AMETLIK HÄÄLEPAEL NR 54 OKTOOBER maa ja mere taga. Arstitudengite elu laias. maailmas & teised jutud

TEKST2 EESTI ARSTITEADUSÜLIÕPILASTE SELTSI AMETLIK HÄÄLEPAEL NR 54 OKTOOBER maa ja mere taga. Arstitudengite elu laias. maailmas & teised jutud CURARE 1 TEKST2 EESTI ARSTITEADUSÜLIÕPILASTE SELTSI AMETLIK HÄÄLEPAEL NR 54 OKTOOBER 2013 7 maa ja mere taga Arstitudengite elu laias maailmas & teised jutud 2 Tere, hüva lugeja! Seekord on meil teie jaoks

Detaljer

Unlocking innovation in education in prison. Töövarjuna Belgias

Unlocking innovation in education in prison. Töövarjuna Belgias Unlocking innovation in education in prison Töövarjuna Belgias Tallinna Ehituskooli projekt Innovaatilised praktikad ja järjepidevus vanglahariduse edendamisel hõlmas 2 õpirände meedet kinnipeetavate koolituse

Detaljer

PÕRGU JA PARADIIS. Abu Seyfullah

PÕRGU JA PARADIIS. Abu Seyfullah PÕRGU JA PARADIIS Abu Seyfullah Esimene väljaanne Autoriõigus 2011 See raamat on autoriõigusega kaitstud. raamatu osi või tervet raamatut on lubatud kasutada hariduslikel eesmärkidel tingimusel, et kasutatud

Detaljer

Aeg peeglist. loobuda? Esimene uus konsool: meil testis Nintendo Wii U. Võrdluses kuus parimat hübriidkaamerat

Aeg peeglist. loobuda? Esimene uus konsool: meil testis Nintendo Wii U. Võrdluses kuus parimat hübriidkaamerat Esimene Windows Phone 8 testis Proovime Samsungi Androidiga kaamerat Prestigiolt üliodavad Androidi-telefonid Vajalik kraam: Windows 8 nipinurk Nr 93, jaanuar 2013 Hind 3.49 Esimene uus konsool: meil testis

Detaljer

PEDAGOGICUM AVAS HARIDUSUUENDUSKESKUSE. Selles numbris: Mõtleme kastist välja. ettevõtlusse ei ole müüt 60 aastat ajakirjandusõpet

PEDAGOGICUM AVAS HARIDUSUUENDUSKESKUSE. Selles numbris: Mõtleme kastist välja. ettevõtlusse ei ole müüt 60 aastat ajakirjandusõpet Mai 2014 nr 5 (2427) Tartu ülikooli ajakiri Selles numbris: Mõtleme kastist välja Teadustöö tulemuste jõudmine ettevõtlusse ei ole müüt 60 aastat ajakirjandusõpet PEDAGOGICUM AVAS HARIDUSUUENDUSKESKUSE

Detaljer

Muudame koos tööelu paremaks! Sõidukijuhi töö-, sõidu- ja puhkeaja korraldus. Käsiraamat

Muudame koos tööelu paremaks! Sõidukijuhi töö-, sõidu- ja puhkeaja korraldus. Käsiraamat Muudame koos tööelu paremaks! Sõidukijuhi töö-, sõidu- ja puhkeaja korraldus Käsiraamat Sisukord Autor: Priit Tuuna Toimetaja: Evelin Kivimaa Keel ja korrektuur: Liina Smolin Kujundus: www.arteverumstudio.com

Detaljer

Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria)

Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria) Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Rakendusmehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus (Lneaarne elastsusteoora) Loengukonspekt Tallnn 2009-2012 1 Eessõna Käesolev loengukonspekt on eeskätt mõeldud

Detaljer

EESTI KIRJASTUSTE LIIDU AJALEHT Nr 3 (26) 20. märts 2008

EESTI KIRJASTUSTE LIIDU AJALEHT Nr 3 (26) 20. märts 2008 Leelo lapsepõlv Leelo Tungal on kirjutanud seekord hoopis teistsuguse raamatu. Seltsimees laps räägib Leelo enda lapsepõlvest. See on terane, tõsine, naljakas lugu. Väiksest peast on pilk terav ja mõnigi

Detaljer

Eesti Katoliiklaste Häälekandja. Jlmub 1 kord kuus. Üks Jumal, üks usk, üks armastus.

Eesti Katoliiklaste Häälekandja. Jlmub 1 kord kuus. Üks Jumal, üks usk, üks armastus. Eesti Katoliiklaste Häälekandja. Jlmub 1 kord kuus. Nr. 1 Jaanuar 1939 a. VII aastakäik. V äl j aan d j a: Katoliku Kirik Eestis Tallinn, Munga 4 4. Vastut. toimetaja : Dr. Friedrich Lange, Tartu, Päeva

Detaljer

Kesklinna lasteaed taandub tamme ees

Kesklinna lasteaed taandub tamme ees Viljandi maakonna päevaleht Neljapäev, Nr. 95 Hind 6 krooni Asutanud C.R. Jakobson 1878 ILM +14 vihmane Täna pilvisus tiheneb ja paiguti hakkab vihma sadama. Puhub kagutuul 4 10 m/s. Sooja on 11 17 kraadi.

Detaljer

Selles numbris: ALS seminarist Haapsalus 2010 Tervis neelamisraskustest Saame tuttavaks Jüri Kukk In Memoriam Teated

Selles numbris: ALS seminarist Haapsalus 2010 Tervis neelamisraskustest Saame tuttavaks Jüri Kukk In Memoriam Teated 40 juuli 2011 Selles numbris: ALS seminarist Haapsalus 2010 Tervis neelamisraskustest Saame tuttavaks Jüri Kukk In Memoriam Teated Väljaandja: ELS Toompuiestee 10-220, 10137 Tallinn www.els.ee, els@els.ee

Detaljer

Eksperimentaalfüüsika konspekt

Eksperimentaalfüüsika konspekt Eksperimentaalfüüsika konspekt 04.03.011 Koostanud: Tõnu Laas 1 Arvutustehnika rakendamine mõõtmistel...3 1.1. Analoog-digitaalmuundurid. Digitaal-analoogmuundurid...3 1.. Koodid...4 1.3. Diskreetimine...6

Detaljer

GLBT-inimeste ebavõrdne kohtlemine Eestis Uuringu lõpparuanne

GLBT-inimeste ebavõrdne kohtlemine Eestis Uuringu lõpparuanne Uurimus on teostatud võrdsete võimaluste aasta raames Euroopa Komisjoni toel ning Eesti Vabariigi Sotsiaalministeeriumi sotsiaalpoliitika info ja analüüsi osakonna tellimusel. Materjal kajastab autori

Detaljer

VALGUS OSAKE VÕI LAINE?

VALGUS OSAKE VÕI LAINE? KVANTOPTIKA Füüsika V VALGUS OSAKE VÕI LAINE? Kuni elektromagnetlainete avastamiseni 19. sajandil valitses füüsikute-loodusteadlaste hulgas Newtoni poolt sõnastatud arusaamine, et valgus on eriliste valgusosakeste

Detaljer

Populaarteaduslik ajakiri. Ilmunud aastast. 4,90 DETSEMBER 12/2016. Rail Baltic: tark ei torma

Populaarteaduslik ajakiri. Ilmunud aastast. 4,90 DETSEMBER 12/2016. Rail Baltic: tark ei torma Populaarteaduslik ajakiri. Ilmunud 1933. aastast. 4,90 DETSEMBER 12/2016 Rail Baltic: tark ei torma ISSN 0131-5862 (trükis) ISSN 2228-3692 (võrguväljaanne) Antarktika ja Mongoolia Kuslapuu nägu ja nimi

Detaljer

sõnumid Laupäeval, 3. oktoobril toimus Rae

sõnumid Laupäeval, 3. oktoobril toimus Rae RAE sõnumid Nr 9 oktoober 2009 Taluaialaat Jahilaskesportlased tõid rahvusvahelise võidu Jäätmekäitlusest Rae vallas Aeroobikafestival 2009 Rae valla ametlik väljaanne Taluaialaat kaupleja silmade läbi

Detaljer

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o r s a m l i n g i, a v h o l d e s m a n d a g 3. m ai 2 0 1 0, k l. 1 8 0 0 p å T r e

Detaljer

JUHAN TULDAVA LÆREBOK I ESTISK. Grammatikk tekster parlør oppgaver. Tilrettelagt av Turid Farbregd, Kaarina Ritson og Ülle Viks

JUHAN TULDAVA LÆREBOK I ESTISK. Grammatikk tekster parlør oppgaver. Tilrettelagt av Turid Farbregd, Kaarina Ritson og Ülle Viks LÆREBOK I ESTISK 1 2 JUHAN TULDAVA LÆREBOK I ESTISK Grammatikk tekster parlør oppgaver Tilrettelagt av Turid Farbregd, Kaarina Ritson og Ülle Viks Unipub forlag Oslo 2001 3 Original: Juhan Tuldava: Lärobok

Detaljer

nta fjclene Rooscnberg Zodsnaez Reering Antsla 1. VI a. Tarto LdalliM ja DiDitferitlaiD MK IlSftlt suures wäljawalikus foowitab

nta fjclene Rooscnberg Zodsnaez Reering Antsla 1. VI a. Tarto LdalliM ja DiDitferitlaiD MK IlSftlt suures wäljawalikus foowitab Postimees 09. aastakäik. Ilmub iga päew «varahommikul..postimehe" esmaspäevane nr. ilmub keskpäeval. rahastuse Ja talituse aadress: Postimees", Taita. K&oftraadid: talitusel m. 80, toimetusel nz. 186 ja

Detaljer

Heiki Raudla KODANIKU RAAMAT

Heiki Raudla KODANIKU RAAMAT Heiki Raudla KODANIKU RAAMAT Hea lugeja, Riigi siseelu ei ole tänapäeva demokraatia tingimustes võimalik korraldada ilma kodanike aktiivse osaluseta. Oleme juba kümme aastat Eestit üles ehitanud, kuid

Detaljer

ärinõustamise hea tava Valik näiteid päris elust: probleem ja lahendus

ärinõustamise hea tava Valik näiteid päris elust: probleem ja lahendus ärinõustamise hea tava Valik näiteid päris elust: probleem ja lahendus Tallinn, 2010 sisukord Sissejuhatus 3 ÕPPEKAASUSED Piip ja Tuut Mängumajad 4 Võrumaa turismiarengu strateegia 6 Elisa Eesti 8 Enics

Detaljer

E-kursuse "Filosoofiline kirjutamine" materjalid

E-kursuse Filosoofiline kirjutamine materjalid Nelli Jung (Tartu Ülikool), 2012 E-kursuse "Filosoofiline kirjutamine" materjalid Aine maht 3 EAP Nelli Jung (Tartu Ülikool), 2012 FILOSOOFILISUS JA ARGUMENTATIIVSUS INTUITSIOONIDEST EDASI Kuigi f ilosoofia

Detaljer

Koonga valla leht. NR 10 (103) oktoober 2004

Koonga valla leht. NR 10 (103) oktoober 2004 Koonga valla leht NR 10 (103) oktoober 2004 Kaunis kodu 2004 järgmised majapidamised: Asta ja Ain Kuru, Aino Aonurm, Aino Uritam, Aino ja Mati Ojasoo, Liisi Soomaa ja Helgur Lember, Eha Kask, Külli ja

Detaljer

TRÜKITÖÖLINE EESTI TRÜKITÖÖLISTE LIIDU HÄÄLEKANDJA

TRÜKITÖÖLINE EESTI TRÜKITÖÖLISTE LIIDU HÄÄLEKANDJA TRÜKITÖÖLINE EESTI TRÜKITÖÖLISTE LIIDU HÄÄLEKANDJA NR. 3 30. APRILLIL 1935 II ÄASTHKÄIK Lein Soomes. Kui trükitööliste liidu asjaajaja ja hiljem varahoidja 0. A. Nyman aasta vahetusel omal palvel loobus

Detaljer

Urvaste. VALD SUUREL PEOL ESINDATUD Kuldre Kooli laste rahvatantsurühmad. Urvaste vald 7 (73) JUULI 2007 HIND 5 KROONI.

Urvaste. VALD SUUREL PEOL ESINDATUD Kuldre Kooli laste rahvatantsurühmad. Urvaste vald 7 (73) JUULI 2007 HIND 5 KROONI. Urvaste Urvaste vald Valla Leht 7 (73) JUULI 2007 HIND 5 KROONI VALD SUUREL PEOL ESINDATUD Kuldre Kooli laste rahvatantsurühmad Tibujalad (2. 3. klass) ja Kepsutajad (7. 9. klass) esindasid oma kooli ja

Detaljer

Turismitalud on ennast külaliste vastuvõtuks valmis seadnud Puhkus Anni turismitalus lihtsalt kvaliteetne

Turismitalud on ennast külaliste vastuvõtuks valmis seadnud Puhkus Anni turismitalus lihtsalt kvaliteetne NR 24 (68) 14. juuni 2007 Turismitalud on ennast külaliste vastuvõtuks valmis seadnud Puhkus Anni turismitalus lihtsalt kvaliteetne Anni talu taks Tito viskab end külalisi nähes rõõmsalt selili ja siputab

Detaljer

Riik aitab Loksa Laevatehase koondatavaid

Riik aitab Loksa Laevatehase koondatavaid www.selver.eu 28.01 31.01.2010 11 59,50/kg tavahind 17,50 90 49 90 79 90 13 50-32% Nõo Lihavürst Delikatess maksapasteet 200 g 49,90/kg tavahind 79,90 Edam Juust 28.5% kg -37% tavahind 111,00-28% Nõo Lihavürst

Detaljer

Analüüsimudel. Muutuste juhtimine

Analüüsimudel. Muutuste juhtimine Teooria LP-mudeli teoreetilised ja empiirilised alused Analüüsimudel Mudeli kirjeldus ja rakendamine LP-rühmades Muutuste juhtimine Kuidas LP-mudelit koolis kasutusele võtta See raamat on eesti keeles

Detaljer

Norra elanikkonna küsitlus: Eesti maine puhkusesihtkohana

Norra elanikkonna küsitlus: Eesti maine puhkusesihtkohana 1 elanikkonna küsitlus: Eesti maine puhkusesihtkohana Ettevõtluse Arendamise Sihtasutus tellis 20.a. juunis veebiküsitluse 1011 16-84a. elaniku seas. Küsitluse eesmärgiks oli uurida Eesti mainet puhkusesihtkohana

Detaljer

Elmar-Johannes Truu. kogu juhatusse Elmar Truu (esimees), Anne-Ly Nilisk (aseesimees), Pille Lõvend, Aare

Elmar-Johannes Truu. kogu juhatusse Elmar Truu (esimees), Anne-Ly Nilisk (aseesimees), Pille Lõvend, Aare Neljapäev, 29.november 2012 Nr 42 (1073) Aastakoosolekult Neljapäeval kogunes aastakoosolekule Eesti Keskerakonna Pensionäride Kogu aktiiv. Arutluste põhiteemaks olid eakate, puudega inimeste ning lastega

Detaljer

TOIMIVUSDEKLARATSIOON

TOIMIVUSDEKLARATSIOON ET TOIMIVUSDEKLARATSIOON kooskõlas lisaga III määrusest (EL) nr 305/2011 (Ehitustoodete määrus) Hilti tulekindel vaht CFS-F FX Nr Hilti CFS 0843-CPD-0100 1. Tootetüübi kordumatu identifitseerimiskood:

Detaljer

2.osa AdWords i põhitõedkuidas. edukat kampaaniat?

2.osa AdWords i põhitõedkuidas. edukat kampaaniat? AdWords i põhitõed kuidas korraldada edukat kampaaniat? // 1 2.osa AdWords i põhitõedkuidas korraldada edukat kampaaniat? www.wsionline.ee2 AdWords i põhitõed kuidas korraldada edukat kampaaniat? // 2

Detaljer

Hummuli läbi aegade. Hummuli Töögrupi liikmed: Vello Jaska, Enn Mihailov, Endla Miske, Ene Vent, Asta Lihu, Anu Unt, Kalev Laar.

Hummuli läbi aegade. Hummuli Töögrupi liikmed: Vello Jaska, Enn Mihailov, Endla Miske, Ene Vent, Asta Lihu, Anu Unt, Kalev Laar. HUMMULI LÄBI AEGADE Hummuli läbi aegade Töögrupi liikmed: Vello Jaska, Enn Mihailov, Endla Miske, Ene Vent, Asta Lihu, Anu Unt, Kalev Laar Fotod: Fototöötlus: Rein Mikk Raamatu ilmumist toetasid: Esikaanel:

Detaljer

Üksik nummer maksab 3 marka. Tellimiste hinnad: VoStta«Fse talnuseit Utt okiet: 1 kua peale 75 marka 69 marka. *. # 1S«, 136.» I 264 : Tallinna

Üksik nummer maksab 3 marka. Tellimiste hinnad: VoStta«Fse talnuseit Utt okiet: 1 kua peale 75 marka 69 marka. *. # 1S«, 136.» I 264 : Tallinna Tallinna Teataja Svwews sa talltu» UalttNUMs- Ottfd tma ot* tši* Mttnft telefon - 281. Noholitkude finnmite osakonna telefon 281. Toimeteta telefon 288. Toimetaja telefon kodn

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

suunas ning tegelikult olematu

suunas ning tegelikult olematu lk 3 EUROOPA TULEB INIMESELE LÄHEMALE lk 6-7 TÖÖPAKKUMISED Nüüd ka 6 kohaline! HELISTA 1300 17227 tel. 515 0068 21. oktoober 2016 Nr. 39 (927) Tasuta nädalaleht Mitsubishi Heavy ZMX seeria soojuspumbad

Detaljer

GARAAŽIUKSED GARAGEDEUREN GARAAŽIUKSED KATALOOG

GARAAŽIUKSED GARAGEDEUREN GARAAŽIUKSED KATALOOG GARAAŽIUKSED GARAAŽIUKSED GARAGEDEUREN KATALOOG 2016 1 GARAAŽIUKSED seeria Wayne Dalton Wayne Dalton 9100 Comfort... 4-5 Wayne Dalton 9600 Classic... 6-7 seeria KRONway KRONway K-4 Thermo Plus... 8-9

Detaljer

evangeeliumi wõidua paganamaailmas.

evangeeliumi wõidua paganamaailmas. Kolmas anne. hind 30 marka. evangeeliumi wõidua paganamaailmas. Coimetanfl b. Cuttar endine Aafrika misionäär. K.*U. Mlwaja" trükk, Keilas 1925. 65 g= _ r j 7. Christian Friedrich Schwartz ja Taani-Hallc

Detaljer

Solarise uued väljakutsed Aprillis kaubanduskeskuse

Solarise uued väljakutsed Aprillis kaubanduskeskuse MEIE VISIOON: OLLA HINNATUIM TURVALAHENDUSTE PAKKUJA MEIE VÄÄRTUSED: KLIENDIKESKSUS, PÄDEVUS, TULEMUSLIKKUS, PARIMAD TÖÖTAJAD, AUSUS, KOOSTÖÖ Loe lk 2 Meil on 2700 töötajat ehk siis 2700 saadikut klientide

Detaljer

FEI Rakendispordi määrustik ja pararakendispordi

FEI Rakendispordi määrustik ja pararakendispordi FEI Rakendispordi määrustik ja pararakendispordi määrustik 11. väljaanne, kehtiv alates 1. jaanuarist 2014 Muudatused kehtivad alates 1. jaanuarist 2017 Printed in Switzerland Copyright 2017 Fédération

Detaljer

SEPTEMBER. Sürgavere kooli taasavamine. Anno Domini Nr 9 (66) September Olustvere Põhikooli koridorid said uue põrandakatte

SEPTEMBER. Sürgavere kooli taasavamine. Anno Domini Nr 9 (66) September Olustvere Põhikooli koridorid said uue põrandakatte Suure-Jaani linna, Suure-Jaani valla ja Olustvere valla ajaleht Nr 9 (66) September 2005 LEOLE SEPTEMBER Anno Domini 2005 September. Lastel algas kool ja valimisealisi ootab peatselt ees valik: keda usaldada

Detaljer

Trening/kamptider kunstgress 2015

Trening/kamptider kunstgress 2015 1 29. desember 30. desember 31. desember 1. januar 2. januar 3. januar 4. januar 2 5. januar 6. januar 7. januar 8. januar 9. januar 10. januar 11. januar J13 MIL 04 SIL G03 SIL G03 Junior J13 G15 Damer

Detaljer

Eesti Sõna. j Saksa õhutõrje

Eesti Sõna. j Saksa õhutõrje Toimetas Ja talitas: Tallinn, Pikk 2 KoOtma eetefioajkeäkjaasa 435-B TeJÜiulsie ja äuulsteista 1 vaäkftttt Eataskaevu tea. & telefion «t-e? Tarritamatei fcäaüclrjo e 4 säilitata TO!aaeutise JcCaetunoid

Detaljer

Armsad hingamispäevakooli liikmed!

Armsad hingamispäevakooli liikmed! Armsad hingamispäevakooli liikmed! Sellel kvartalil on tähelepanu keskmes Euro-Aasia divisjon, mis hõlmab 11 ajavööndit ja 13 riiki Ida-Euroopas ja Kesk-Aasias. Sellesse divisjoni kuuluvad riigid on: Afganistan,

Detaljer

Tartu Ülikool. Sotsiaalteaduste valdkond. Haridusteaduste instituut. Õppekava: Koolieelse lasteasutuse pedagoog. Elina Sætre

Tartu Ülikool. Sotsiaalteaduste valdkond. Haridusteaduste instituut. Õppekava: Koolieelse lasteasutuse pedagoog. Elina Sætre Tartu Ülikool Sotsiaalteaduste valdkond Haridusteaduste instituut Õppekava: Koolieelse lasteasutuse pedagoog Elina Sætre Muukeelsete laste integratsioon Norras kolme lasteaia näitel Magistritöö Juhendaja:

Detaljer

Eesti Vabariigi aastapäeva tähistamine Toris

Eesti Vabariigi aastapäeva tähistamine Toris Nr. 2 TORI VALLA AJALEHT VEEBRUAR 2010 Eesti Vabariigi aastapäeva tähistamine Toris 24. veebruaril kell 12.00 toimus Eesti Vabariigi 92. aastapäevale pühendatud pidulik jumalateenistus Toris Eesti sõjameeste

Detaljer

Olla eestlased edasi! Paul Maitla 100

Olla eestlased edasi! Paul Maitla 100 Eestlane ära unusta oma langenud sõdureid, kes on andnud oma elu Eesti maa ja rahva eest. Nende kalmukünkad olgu pühad igavesti, ükskõik kus need paiknevad! Võitleja toimetus ja talitus Nr. 1 (503) 61.

Detaljer

Miljonär Kaire Leibak hüppab mõnuga. Pensionikartus viis Aafrikasse aastal võttis natslik Saksamaa oma armee moraalse palge

Miljonär Kaire Leibak hüppab mõnuga. Pensionikartus viis Aafrikasse aastal võttis natslik Saksamaa oma armee moraalse palge elu värvid Värvika ajalooga natslik pistoda Pensionikartus viis Aafrikasse 1935. aastal võttis natslik Saksamaa oma armee moraalse palge tugevdamiseks kasutusele uhked paraadpistodad. Üks niisugune ilurelv

Detaljer

Uhuu: Tere lapsed! Saame tuttavaks! Mina olen Uhuu. Gogo: Minu nimi on Gogo. Ma tulin Eestisse Lõuna- Ameerikast. Ma tulin siia eesti keelt õppima.

Uhuu: Tere lapsed! Saame tuttavaks! Mina olen Uhuu. Gogo: Minu nimi on Gogo. Ma tulin Eestisse Lõuna- Ameerikast. Ma tulin siia eesti keelt õppima. Uhuu: Tere lapsed! Saame tuttavaks! Mina olen Uhuu. Gogo: Minu nimi on Gogo. Ma tulin Eestisse Lõuna- Ameerikast. Ma tulin siia eesti keelt õppima. Uhuu: Gogo on minu sõber. Ma tahan teda aidata. Gogo

Detaljer

Riigi omanduses olevate kultuuriväärtuslike ehitiste haldamine

Riigi omanduses olevate kultuuriväärtuslike ehitiste haldamine Eesti Kunstiakadeemia muinsuskaitse ja konserveerimise osakond ja Tallinna Ülikooli Ühiskonnateaduste Instituut Riigi omanduses olevate kultuuriväärtuslike ehitiste haldamine Uuringu lõpparuanne Maris

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y

Detaljer

Så vi lagde en tilbudsavis der alle tilbudene var fra annonser på FINN.no.

Så vi lagde en tilbudsavis der alle tilbudene var fra annonser på FINN.no. i v d i FINN ø Hv ojd, ooi jvhd iom i dm. Jo o MEGATILBUD oy i idi h md ijom. I FINN y vi d o o hd v hvd. D i jo vi v i jd om h i i jv S vi d idvi d id v o FINN.o. Vi d h yio 3? I i 25,- i Ex. B i Ad o

Detaljer

2 arvamus KESKNÄDAL 1. september 2010 Juhtkiri Ansipi valitsuse numbrimäng Augustikuu keskpaigas jõudsid meedia vahendusel Eesti inimesteni teated sel

2 arvamus KESKNÄDAL 1. september 2010 Juhtkiri Ansipi valitsuse numbrimäng Augustikuu keskpaigas jõudsid meedia vahendusel Eesti inimesteni teated sel Ilmub aastast 1999 Hind 9 krooni / 0,58 Nr 34 (713) 1. september 2010 R A H V A P O L I I T I K A L E H T Meedia tekitas sotside liidrikriisi Mati Eliste skandaalil lastakse aeguda? Lk 6 Mikser Mai Treial:

Detaljer

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t W al d em a rs H a g e, a v h o l d e s t o rs d a g 1 8. j u n i 2 0 0 9, k l.

Detaljer

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s. eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

2 Illuka valla SONUMILAEGAS Nr. 5 Juuni 2004 Salalaegas Jaanipäevast vanasti Jaanilaupäeva õhtul kipuvad mälestused iseenesest silme ette. Nagu jõulud

2 Illuka valla SONUMILAEGAS Nr. 5 Juuni 2004 Salalaegas Jaanipäevast vanasti Jaanilaupäeva õhtul kipuvad mälestused iseenesest silme ette. Nagu jõulud Nr.5(39) Juuni 2004 ILLUKA VALLA SONUMILAEGAS Ilmub kord kuus Jaanipäevast Maire Aunaste pilgu läbi Toimetaja veerg Ene Raudar Tasuta VIRVE OSILA Helendav avarus ümber ja üle. Kõrge taevas on taevalik;

Detaljer

RK»PEDAGOOGILINE K!R3ANDUS< TALLINN

RK»PEDAGOOGILINE K!R3ANDUS< TALLINN NÕUKOGUDE KOOL Nr. 6 1946-3S- RK»PEDAGOOGILINE K!R3ANDUS< TALLINN SISUKORD: Juunivõidu kuuendaks aastapäevaks... 325 Vihalem, P. Nõukogude rahva elatustaseme tõstmine IV viisaastakul... 328 Abiks õpetajale.

Detaljer

EELK Nõo Püha Laurentsiuse koguduse sõnumileht

EELK Nõo Püha Laurentsiuse koguduse sõnumileht EELK Nõo Püha Laurentsiuse koguduse sõnumileht Rahutegija NR 31 JUUNI 2014 Õndsad on rahutegijad, sest neid hüütakse Jumala lasteks. (Mt 5:9) Seitse pilku tänule Nii Vanas kui ka Uues Testamendis räägitakse

Detaljer

Europa-Universität Viadrina

Europa-Universität Viadrina !"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %

Detaljer

Koeru Keskkooli ainekava GÜMNAASIUM Füüsika

Koeru Keskkooli ainekava GÜMNAASIUM Füüsika Õppeaine: Klass: Tunde nädalas ja õppeaastas: Rakendumine: Koostamise alus: Füüsika 10.- 12. klass 2 tundi nädalas, kokku 70 tundi. 12. klassis 1 tund nädalas, kokku 35 tundi 1.sept. 2015, täiendatud 1.sept.2016

Detaljer

PERFEKT FOR DEG SOM ER GLAD I BÅDE BY- OG FRILUFTSLIV

PERFEKT FOR DEG SOM ER GLAD I BÅDE BY- OG FRILUFTSLIV Hus 11 PERFEKT FOR DEG SOM ER GLAD I BÅDE BY- OG FRILUFTSLIV ye leiligheter på Grefsen Stasjon +13,2 15,2+ me til ter 7,6 5 m bo ter na me til 3 4 ttst e me on asj ter +1,2 ter nse me gre 4,3 +16, +16,5

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

EGS-I TALLINNA OSAKONNA LAUALEHT. Sugu ei lahku soosta, võsu ei veere kännusta. (Väike-Maarja) Nr. 14 detsember 1999.a. TALUJUTUD VI.

EGS-I TALLINNA OSAKONNA LAUALEHT. Sugu ei lahku soosta, võsu ei veere kännusta. (Väike-Maarja) Nr. 14 detsember 1999.a. TALUJUTUD VI. EGS-I TALLINNA OSAKONNA LAUALEHT PÕLVNEMISLUGU Sugu ei lahku soosta, võsu ei veere kännusta. (Väike-Maarja) Nr. 14 detsember 1999.a. TALUJUTUD VI Helgi Laht Suuremad pühad, mida talus pühitseti, olid lihavõtted,

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

kaaser Otsite sobivat eesti sõna just rahvusvahelises kontekstis esinevale mõistele

kaaser Otsite sobivat eesti sõna just rahvusvahelises kontekstis esinevale mõistele Vt ka Tulemused ACTOR/PLAYER Rahvusvaheliste suhete actor süsteemis tegutseja, nt või riik, rahvusvaheline org Otsime sobivat eesti sõna just rahvusvahelises kontekstis esinevale mõistele. Väljapakutud

Detaljer

Elva Tarbijate Ühistu 90.

Elva Tarbijate Ühistu 90. Elva Tarbijate Ühistu 90. Linnapeal sada päeva täis. Lk 2 Lk 3 Nr 33 (815) Maximast töökaitse inspektori pilgu läbi. Lk 4 Laupäev, 17. september 2011 Hind 0.48 Uus number Elva senise heakorratelefoni numbri

Detaljer

Tekst Mart Laar, Erialatoimetaja Mart Lätte Keeletoimetaja Marika Mikli Kujundaja Mari Kaljuste ISBN

Tekst Mart Laar, Erialatoimetaja Mart Lätte Keeletoimetaja Marika Mikli Kujundaja Mari Kaljuste ISBN Tekst Mart Laar, 2010 Erialatoimetaja Mart Lätte Keeletoimetaja Marika Mikli Kujundaja Mari Kaljuste ISBN 978-9985-3-2010-5 Kirjastus Varrak Tallinn, 2010 www.varrak.ee Printon Trükikoda AS SISUKORD Inimesed

Detaljer

Sillamäe Gümnaasiumi õppekava Lisa Ainekava Füüsika

Sillamäe Gümnaasiumi õppekava Lisa Ainekava Füüsika Sillamäe Gümnaasiumi õppekava Lisa 3.4.2 Ainekava Füüsika 1. Õppe-eesmärgid... 1 2. Õppeaine kirjeldus... 2 3. Gümnaasiumi õpitulemused... 3 4. Õppetegevus... 4 5. Füüsiline õppekeskkond... 4 6. Hindamine...

Detaljer

II eesti hobuse päev Kurgja 12. august 2012

II eesti hobuse päev Kurgja 12. august 2012 Eesti HOBUNE II eesti hobuse päev Kurgja 12. august 2012 Eesti hobune 2011 Artiklite kogumik Tallinn 2011 Väljaandmist toetas Esikaanel: võik mära Veluuna (i Veksel, e Visbi) Tagakaanel: hall sugutäkk

Detaljer

Nr 3 (47) AUDRU VALLA LEHT MÄRTS 2016

Nr 3 (47) AUDRU VALLA LEHT MÄRTS 2016 Nr 3 (47) AUDRU VALLA LEHT MÄRTS 2016 Audru valla vapimärgi laureaadid 2016 Vapimärk nr 37, Helle Kirsi Helle ja Ado Kirsi Helle Kirsi on Jõõpre Kooli eesti keele ja kirjanduse ning inimeseõpetuse õpetaja.

Detaljer

Paldiski. 1 mai KEVADPÜHA! ÜHTNE PALDISKI. valimisliit

Paldiski. 1 mai KEVADPÜHA! ÜHTNE PALDISKI. valimisliit er mb u n e h ajale mail e n i Järgm ilmub 21. Paldiski l i n n a l e h t n r. 12/81 2010 valimisliit ÜHTNE PALDISKI u Tänases lehes: SA ÜHTSUSE NIMEL 1 mai KEVADPÜHA! Kooliaastaist tõuseb tulu Õnnitleme

Detaljer

!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -

! #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-! (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % - !" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

Helsingisse

Helsingisse Helsingisse 1.01.-30.04.2005 E-L Tallinn 18.00-2130 Helsinki P Tallinn 16.00-19.30 Helsinki Helsinki 8.00-11.30 Tallinn Helsinki 10.00-13.30 Tallinn Hinnad 1.01.-30.04., Eesti kroonides Tekipiletid Täiskasvanud

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant

Detaljer

Kokkuleppeliselt nimetatakse valguse neeldumise ja elektronide ülekandega seotud reaktsioone valgusreaktsioonideks, CO 2 sidumise ja taandamise

Kokkuleppeliselt nimetatakse valguse neeldumise ja elektronide ülekandega seotud reaktsioone valgusreaktsioonideks, CO 2 sidumise ja taandamise Kokkuleppeliselt nimetatakse valguse neeldumise ja elektronide ülekandega seotud reaktsioone valgusreaktsioonideks, CO 2 sidumise ja taandamise reaktsioone aga pimereaktsioonideks. Valgusreaktsioonide

Detaljer

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Advarsel: Arbeidet med denne fasiten har gått fortere enn det burde, og feilprosenten er nok litt høyere enn vanlig. Finner du feil eller lurer på om noe

Detaljer

RELIGIOOSSED MOTIIVID EESTI LÜÜRIKAS 1. Õnne Kepp. I. Vaimuliku joone kujunemine ja areng eesti luules 19. sajandi keskpaigani

RELIGIOOSSED MOTIIVID EESTI LÜÜRIKAS 1. Õnne Kepp. I. Vaimuliku joone kujunemine ja areng eesti luules 19. sajandi keskpaigani RELIGIOOSSED MOTIIVID EESTI LÜÜRIKAS 1 Õnne Kepp I. Vaimuliku joone kujunemine ja areng eesti luules 19. sajandi keskpaigani Meie kirjanduslugu ja vaimuelu tervikuna on siiani jälgitud peamiselt vaimulikust

Detaljer

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,

Detaljer

CCD kamera. Analysator. Strålesplitter. Bilde forsterker. Pinhole. Objektiv (NA 1.2) Filterkube/ dikroiske speil. Polarisator.

CCD kamera. Analysator. Strålesplitter. Bilde forsterker. Pinhole. Objektiv (NA 1.2) Filterkube/ dikroiske speil. Polarisator. S av 8 NOGS TKNSK-NATUVTNSKAPLG UNVSTT NSTTUTT O SKK al oa sam: Nav: Bø To So Tl: 75 9 KSAMN MN T65 BOSSK MKOTKNKK a 5. smb T: l. 9. Tlla lpml: C- Tpo allao m om m. O. Ja o K.J. Ks: omlsaml mama K. oma:

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer