Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen"

Transkript

1 Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen The Possibility of Integrating Solar Collectors in Hafslund's District Heating System at Gardermoen Reidun Marie Romundstad

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

3 &'(()*$#'+% D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'I+7$3824$79)&2(+&*)+23)//.;F+&4)&*-)25P),0+&(1&,)2%&+7,'/ 7:&$,)+23)//+(4)22),<.)2'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*5 P),,)+23)//),0+&),$+*3),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$ `5$,:&$,)+23)//5 J,7:&$,)$,)/7-&;(8&4)&)*83'/0),)27-&-..7:&'2/+(),,'3$(+&)24)+23)//.; F+&4)&*-)2 )& ; '220)2,) '27-&*+$9-2 -* 7-&()2,), &)$$8&$,'3/+2/5 P)2 *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)2.; F+&4)&*-)2 *;3)& '*'43)&,'4 '%%) $-3'22$,&;3'2/5 C24)&$:%)3$)& +( '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)& ' )2 &+4'8$.; ay%* &824, F+&4)*-)2> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+7&+83'%)4+,+=+$)&>('$)&+,/3-=+3'22$,&;3'2/.;F+&4)&*-)2 %+2 7-&()2,)$ ; (1&) ' -*&;4), _^Yb`[Y %c0d* X.&5 ;&5 P)2 4'778$) '22$,&;3'2/)2%+27-&()2,)$;(1&)'-*&;4),[XYb[_Y%c0d* X.&5;& L'3/9)2/)3'/)+&)+3)&'-*&;4),()4-/&824,(+&*)$)2,&+3)2.;F+&4)&*-)2)& 2-)=)/&)2$),>-/4)+&)+3)2)$-*(8&4)&)$=&8%,)&4)3)&+()279)&2(+&*)K,&+$e$+*,(+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)&56+*3),,'3/9)2/)3'/+&)+3)&*)44),.;Q+5 ZZ4++>-/=)&)/2'2/)&('$)&+,4),,)/'&&-*7-&),+23)//.;*)33-*X>W4++-/ [>Z4+++%,'(,$-37+2/)&+&)+356'*83)&'2/)&+($-3(+&*).&-48%$9-2/',,)2/3-=+3 '22$,&;3'2/.;_`Y%c0d* X.&5;&>('$)&+,*+2%+27-&()2,);0)2,)8,*)33-* Y>_WFc0-/Z>XFc0.&5;&*)4),+23)//+(4)22)$,:&&)3$)25P),,)$(+&)&,'3 )2*+%$'*+34)%2'2/$/&+4+((+&*)=)0-(),'982'-/983'.;0)20-34$('$X\f -/X[f5A+%$'*+34)%2'2/$/&+47-&$-**)&0+3(;&),$-*0)30),g+.&'3b $).,)*=)&h)&.;`f5 D-&4' (+&*)=)0-(), (+23'/('$ )& $,:&$,,'43'/.; *-&/)2)2> *)2$ $-3(+&*).&-48%$9-2)2)&$,:&$,*'4,.;4+/)2>('34),)2%)3,)4+/)&0(-& (+&*)=)0-(), )& $.)$')3, 3+(,> (1&) ), *'$7-&0-34 *)33-* (+&*)=)0-( -/ $-3(+&*).&-48%$9-25A)4-..7:&'2/+()2=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/7-&()2,)$ 4),,)*'$7-&0-34),;%822)&)48$)&)$>-/$-*),7:&$,)+2$3+/7-&$,:&&)3$) 7-&)$3;$)2=877)&,+2%.;*)33-*Za_* \ -/X`[* \ 5 % % ""

4 ,-./#'0/% L0).8&.-$) -7,0'$ $,84< '$,- +$$)$$,0).-$$'='3',< -7 '2,)/&+,'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$'2I+7$3824i$4'$,&'Q,0)+,'2/$<$,)*+,F+&4)&*-)25L0)&)0+$=))2+ $0+&.'2Q&)+$)'2,0)28*=)&-73+&/)K$Q+3)$-3+&0)+,'2/.3+2,$'2J8&-.)'2 J2)&/'.+&%-8,$'4)]'33)$,&:*5L0'$$-3+&0)+,'2/.3+2,0+$+,-,+3Q-33)Q,-&+&)+ -7ZX^_Z* X >*+%'2/',J8&-.)i$`,0 3+&/)$,.3+2,5 E7'&$,$,).,-+$$)$$,0).-$$'='3',<-7'2$,+33'2/+$'*'3+&.3+2,+,F+&4)&*-)2>'$,- Q-33)Q, '27-&*+,'-2 +=-8,,0) )k.)q,)4 $-3+& '2$-3+,'-25 I-j)()&>,0) *),)-&-3-/'Q+3 $,+,'-2 +, F+&4)&*-)2 4-)$ 2-, *)+$8&) $-3+& '&&+4'+2Q)5 "2()$,'/+,'-2-7$-3+&&+4'+,'-24+,+7&-**),)-&-3-/'Q+3$,+,'-2$'2+&+4'8$-7 ay%*+&-824f+&4)&*-)2>+$j)33+$)$,'*+,)44+,+7&-*4'77)&)2,4+,+=+$)$> $0-j,0+,,0)/3-=+3'2$-3+,'-2Q+2=))k.)Q,)4,-=)'2,0)&+2/)_^Yb`[Y %c0d* X d<)+&5l0)4'778$)'2$-3+,'-2q+2=))k.)q,)4,-=)'2,0)&+2/)[xyb [_Y%c0d* X d<)+&5 E(+'3+=3) +&)+$ 7-&.3+Q'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$ +&-824,0) 0)+,'2/ Q)2,&+3 +, F+&4)&*-)2'$3'*',)45L0)+&)+$Q-2$'4)&)4+&).+&,$-7+.'.'2/.+,0j+<+24,0)&--7+&)+$-7,0)0)+,'2/Q)2,&+35L0),-,+3+(+'3+=3)+&)+'$+..&-k'*+,)3< ZZ4++> +24 Q+3Q83+,'-2$ $0-j,0+,,0'$ +33-j$ 7-& + 7+Q'3',<-7 =),j))2 X>W [>Z4+++.)&,8&)+&)+56'*83+,'-2$-7$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2.&-('4)4+ /3-=+3'2$-3+,'-2-7_`Y%c0d* X d<)+&>$0-j$,0+,-2)q+2)k.)q,+$-3+&,0)&*+3.&-48q,'-2-7=),j))2y>_wbz>xfc0d* X d<)+&>/'()2+7+q'3',<-7,0'$$'l)5l0'$ Q-&&)$.-24$,-+*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-2-7X\f+24X[f'2?82)+24?83< &)$.)Q,'()3<5L0)*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-27-&,0)$8**)&gE.&'3b6).,)*=)&h'$ `f5 B)Q+8$)0)+,4)*+24'$8$8+33<.)+%'2/'2,0))+&3<*-&2'2/>j0'3)$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2'$0'/0)$,+,2--2>+*'$*+,Q0=),j))20)+,4)* $-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2j'33-QQ8&+,Q)&,+'24+<$5E=877)&,+2%7-&$0-&,,)&* $,-&+/)'$)k.)q,)4,-&)48q),0'$4'$.+&',<>+24+$+7'&$,)$,'*+,)7-&,0)$'l)-7 +=877)&,+2%>+(-38*)-7=),j))2Za_* \ +24X`[* \ '$.&-.-$)45 % """

5 &1(-"223./)% &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% " E'&A+$$ K E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 * X B&8,,-$-37+2/)&+&)+3 * X L+.$7+%,-& cd* X dm L+.$7+%,-& cd* X dm X B&)44),+%73+,) * /)&=&)44) * G+&*)%+.+$',), %c0d* \ d T P<=4),+%73+,) * C,$,&;3'2/$,),,0), cd* X " Jm8+,'-2-7,'*) *'2 "22$,&;3'2/$,),,0), cd* X L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),8,)2+,*-$71&) cd* X " 6'&%8*$-3+&4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "##$% P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%&$ P'&)%,)'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%" F3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0), cd* X P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2,7&+-*&;4),&824,0-&'$-2,)2 cd* X "# "$-,&-.4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "# N)73)%,)&,'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X " 6-3+&%-2$,+2,)2 cd* X "# "22$,&;3'2/$,),,0),.;-&')2,)&,>$%&;73+,) cd* X "22$,&;3,)2)&/'.&54+/ %c0d* X /)&0:<4) * "22$,&;3,)2)&/'.&5,'*) %c0d* X M-&&)%$9-2$7+%,-&7-&'227+33$('2%)3 K L)*.)&+,8&+(0)2/'/+24)3 K M3+&0),$'24)%$ K ])2/4)/&+4 H "#$ ]-/+&',*'$%*'44)3,)*.)&+,8&4'77)&+2$) M "# ]-%+3$-3,'4 K " 6,+24+&4*)&'4'+27-&3-%+3,'4$$-2) H E2,+33&)%%)&*)4$-37+2/)&) K K P+/)2$28**)&';&), K E2,+33$-37+2/)&) K J77)%,3)()&,,'3(+&*)*)4'8* c J2)&/'3+/&),'=877)&,+2% %c0 "## L)*.)&+,8&%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 "#$$ C%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 N)%%)+($,+24 * ]87,,)*.)&+,8& M)33)& T A'44)3,)*.)&+,8&(+&*)*)4'8* M L)*.)&+,8&)24&'2/'=877)&,+2% T "# L'4$7-&$%9)33*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*) G-38* ] 6-30:<4) I)32'2/$('2%)3 S&')2,)&'2/ "G

6 &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% E$'*8,('2%)3 P)%3'2+$9-2 G'&%2'2/$/&+4 K S.,'$%('&%2'2/$/&+4 K "227+33$('2%)3 6)2',('2%)3 G'2%)3*)33-*9-&4)2$&-,+$9-2$+%$)-/9-&4)2$-*3:.$=+2) L'*)('2%)3 G

7 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% "#"#$% %7 &'(()*$#'+% %77,-./#'0/% %777 &1(-"223./)% %7: 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% %:7 ; 7**2)$*3*+% %; ;9; <'4+#=**% %; ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#% %C ;9C > B)"#3% %G >9; H)..=#.+#=**2'+% %G X5Z5Z P)7'2'$9-2)& W X5Z5X M--&4'2+,$<$,)*-/('2%3)& W X5Z5\ 6,&;3'2/7&+$-3) ZY X5Z5[ E,*-$71&'$%))77)%,)& ZZ X5Z5^ 6,&;3'2/)2$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&) ZZ X5Z5a B&)44)/&+4>;&$,'4$(+&'+$9-2-/4:/2(+&'+$ ZX X5Z5W ]-%+3)7+%,-&)& Z[ X5Z5_ A;3'2/+(4'&)%,)>4'778$-//3-=+3$-3'22$,&;3'2/ Z^ X5Z5` 6-3'22$,&;3'2/.;-&')2,)&,>$%&;73+,) Z^ >9> X5X5Z D9)&2(+&*) Z` X5X5X B&8%+($-37+2/)&)'79)&2(+&*) Z` X5X5\ 6)2,&+3'$)&,)-/4)$)2,&+3'$)&,)$<$,)* XY X5X5[ G+&*)3+/)& XX X5X5^ 6<$,)*3:$2'2/)&7-&$)2,&+3'$)&,)+23)//*)4=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/5X\ X5X5a /)&7)3,), X^ X5X5W /)&) Xa X5X5_ L+.$7+%,-&)&-/('&%2'2/$/& XW X5X5` I)32'2/-/-&')2,)&'2/ X` A 54.3./)#)*$)%'*2)++% %AJ A9; \5Z5Z D9)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-) \Y \5Z5X M-*.-2)2,)& \Z \5Z5\ L)*.)&+,8&)&.;,8&K-/&),8&( \Z \5Z5[ V&-48%$9-2$4+, \\ \5Z5^ G+&*)=)0-( \[ A9> \5X5Z D9)&2(+&*)K,&+$e) \a \5X5X G+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)& \` C L'/'%"+%()/"$)% %CC C9; H)..=#.+#=**2'+% %CC [5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& [[ [5Z5X F3-=+3-/4'778$'22$,&;3'2/ [a [5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$$,&;3'2/ ^Z G"

8 C9> [5X5Z B)$%&'()3$)+(D9)&2$-3KVNS ^X [5X5X 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ^\ [5X5\ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ^` [5X5[ B)$%&'()3$)+(Ln6S]Jk.)&, aY [5X5^ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, aX [5X5a 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) a^ M H).=2/'/% %FF M9; H)..=#.+#=**2'+% %FF ^5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& aa ^5Z5X F3-=+3'22$,&;3'2/ aW ^5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ a` ^5Z5[ P'778$'22$,&;3'2/ WZ M9> ^5X5Z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS W[ ^5X5X 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) _[ ^5X5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, _a ^5X5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) _` F L3.4=.N"*% %IA F9; H)..=#.+#=**2'+% %IA a5z5z ]87,,)*.)&+,8& `\ a5z5x F3-=+3'22$,&;3'2/ `[ a5z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ `W a5z5[ P'778$'22$,&;3'2/ `` F9> a5x5z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ZYY a5x5x 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ZZZ a5x5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, ZZZ a5x5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) ZZX G P Q3//)#'/=#23./)% %;;G I :)$2)++% %;>> :)$2)++%,%R%S#'$/'22.()/"$)*% %;>> :)$2)++%U%R%&/'/3./344% %;>> :)$2)++%L%R%B)./.)#/3834'/% %;>> :)$2)++%5%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%#)..=#.+#=**2'+% %;>> :)$2)++%%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%.3(=2)#3*+)#% %;>> % G""

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gxyzzh )& *)2/4)2 $-3)2)&/' $-* 0()&, ;&,&)77)& 9-&4)2.; -*3+/ [*'33'-2)&J?5L'3$+**)23'/2'2/)&()&4)2$;&3'/))2)&/'7-&=&8%.;-*3+/ ^YYJ?5P),,)'22)=1&)&+,()&4)2$)2)&/'=)0-(%+24)%%)$()4;8,2<,,)%82 Y>Z.&-*'33)+(4)2'22$,&;3,)$-3)2)&/')25 6-3$,&;3'2/)2)&89)(2,7-&4)3,/)-/&+7'$%$),,-/-*&;4)2)&824,)%(+,-&*-,,+& 3+24(+&')&)&'22$,&;3'2/)2.;)20-&'$-2,+373+,)*)33-*ZAc0d* X '$:&,'3 Y>aAc0d* X '2-&4.;;&$=+$'$gS3$),0O6%+&,()',Z``Xh5P)2/)-/&+7'$%) (+&'+$9-2)2''22$,&;3'2/)27-&)2-.,'*+3,('2%3),73+,))&'*'43)&,'4*<)*'24&)5 I)& )& &)$$8&$,'3/+2/)2 7-& $,-&) 4)3)& 0)3,.; 0:<4) *)4 &)$$8&$,'3/+2/)2'$-3)2)&/'3+24),L<$%3+24>$-*('$,'D'/8&ZKZ5D'/8&)2('$)& $-3'22$,&;3'2/.;)2-.,'*+3,('2%3),73+,)7-&83'%))8&-.)'$%)3+24>-/()&4')2) )&/',,$-*/9)22-*$2',,3'/'22$,&;3,)2)&/'.&54:/2gc0d* X h5 Z

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a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 $-**;3)&$-3'22$,&;3'2/)&3+(5V;=+%/&822+(4),,)('34),-7,)(1&)2:4()24'/ ;=)2<,,)*;3)4+,+7&+21&3'//)24)*;3)$,+$9-2)&>*-4)33)&,))33)&)$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+5 D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-)256)2,&+3)$.:&$*;3$-*$:%)$ =)$(+&,)&$-*7:3/)&o I('3%)'22$,&;3'2/$4+,+0+&*+2,'3/+2/,'37-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/ 0(+$')&4)-*&)$$8&$,'3/+2/)2p I(-&*<))2)&/')&4),&)+3'$,'$%;0)2,)8,*)4),$-37+2/)&+23)// '22)27-&4)=)/&)2$2'2/)&&)$$8&$,'3/+2/)2-/4),,'3/9)2/)3'/)+&)+3), $),,)&p I(-&4+2 )& $+*$(+&), *)33-* (+&*).&-48%$9-2 -/ (+&*)=)0-(> -/ 0(-&4+2 %+2 ), )()2,8)3, *'$7-&0-34 &)48$)&)$ ()4 09)3. +( )2)&/'3+/&'2/p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

12 ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#%% " 7-&0-34,'3 %+&,3)//'2/ +( &)$$8&$/&8223+/), 0+& B<&%9)4+3),5+35gXYZ\h 8,+&=)'4), )2 -()&$'%, -()&,'3/9)2/)3'/) *;3)4+,+ -/ )$,'*)&,) 4+,+ 7-& $-3'22$,&;3'2/ ' 4+/5 E&=)'4), /'& )2 -..$8**)&'2/ +( 0('3%) *)2$,),,0),)2+(*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3'22$,&;3'2/)&3+(g,-,+3,a_ *;3)$,+$9-2)&h )& +2,+33 *;3)$,+$9-2)& $-* *;3)& 4'778$ -/d)33)& 4'&)%,) '22$,&;3'2/)%$,&)*,3+(g,-,+3,\*;3)$,+$9-2)&h5 "*+2/)3+(,'3/+2/,'3/-4)3-%+3)4+,+=)2<,,)$-7,))$,'*)&,)'22$,&;3'2/$4+,+ =+$)&,.; 83'%) '2,)&.-3)&'2/$,)%2'%%)&5 F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh 0+& =)&)/2), *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/ 7-& XZW *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)&.; =+%/&822 +( )2 -=$)&()&, )*.'&'$% $+**)20)2/ *)33-* /3-=+3'22$,&;3'2/-/$+*3),$%<4)%%)7-&^8,(+3/,)*;3)$,+$9-2)&5V;=+%/&822 +( 4),,) 0+& 4).&)$)2,)&, %+&, *)4 *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/>0(-&'$-3'29)&&).&)$)2,)&)&3'%,'22$,&;3'2/$2'(;5P+,+=+$)&$-* )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+.; *;2)4$=+$'$5 I+/)2gXYZZh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gXYZ\h0+&/9-&,)2(8&4)&'2/+(&)$$8&$/&8223+/),7-&$'*83)&'2/+( =&8% +( $-3Q)33)& ()4 ), /;&4$=&8% ' N<//) %-**82)5 I)& =)0+243)$ '22$,&;3'2/$4+,+7&+,&)*),)-&-3-/'$%)*;3)$,+$9-2)&')2&+4'8$.;\^%*&824, /;&4$=&8%),> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ 7'&) 4+,+=+$)&5 6,:&4+3 %-2%384)&)&*)4+,4),)&=),<4)3'/8$'%%)&0),%2<,,),,'3$-3'22$,&;3'2/)27-& 4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/+,$'*83)&'2/$&)$83,+,)2))&$)2$','()7-&4)22) 8$'%%)&0),)25 E+$)gXYZ\h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

13 "7-&0-34,'34'778$$,&;3'2/0+&F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh0)2,),8,()&4')& 7-&4'778$$,&;3'2/7-&B)&/)2-/#$7-&.)&'-4)2Z`aWbZ`W[-/=)&)/2), *;2)43'/)*'44)3()&4')&7-&4'778$$,&;3'2/7-&.)&'-4)2>7-&=)//)3-%+3',),)&5C, 7&+4),,)%+2*+27'22)),;&$*'44)37-&4'778$+24)3.;#$.;Q+5^^f>-/), ;&$*'44)37-&4'778$+24)37-&B)&/)2.;Q+5a^f5S3$),0OI)//gZ`_Xh0+&-/$; $),,.;4'778$$,&;3'2/7-&4)$+**)3-%+3',),)2)-/=3+2,+22),8,('%3),)2 )*.'&'$% *-4)33 7-& $+**)20)2/)2 *)33-* +24)3 4'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.; *;2)4$=+$'$ 7-& #$5 G'4)&) 0+& 6%+&,()',OS3$),0gZ`_Wh 8,('%3),)2*)&/)2)&)33)*.'&'$%*-4)337-&$+**)20)2/)2*)33-*+24)34'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.;,'*)$=+$'$> $-* $)2)&) =3) ('4)&)8,('%3), +( 6%+&,()',),5+3gZ``_h5P)22)*-4)33)28,/9:&),+3,)&2+,'(,'3,'43'/)&)8,('%3)4) *-4)33)&+(J&=$),+35gZ`_Xh>S&/'33OI-33+24$gZ`WWh-/N)'243),+35gZ``Yh> -/'*-,$),2'2/,'3,'43'/)&)*-4)33)&,'3$')&4)22)+,*+27-&0:<)()&4')&+( 4+,+=+$) *)4 -()&$'%, -()& +33) $,-&$%+3+ $-3(+&*)K -/ $-3%9:3'2/$+23)// ' J8&-.+*)4*)&)22^YY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 Z 5P)22)'22)0-34)&=3+2, +22),'27-&*+$9-2-*$,:&&)3$).;+%,'(,$-37+2/)&+&)+3>3+/&'2/$7-&*>.3+$$)&'2/ -/0(-&('4,$-37+2/)&+23)//),%9:&)$'%-*='2+$9-2*)4='-%9)3)&)33)&'%%)5 P+3)2=RQ%0+&-/$;='4&+,,,'38,('%3'2/)2+()24+,+=+$)*)4-()&$'%,-()&+33) $,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+*)4*)&)22ZYYY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 G'4)&) 0+& 4) 7&)*$,) )%$.)&,)2) '22)27-& 7+/7)3,), ' J8&-.+ ='4&+,, ' 8,+&=)'4'2/)2+($;%+3,)+,#$-./)&-/0&1*$&/%223/.*#/%*)$-*,+&7-&$)/)23+2/ &)%%),)%2'$%)-/'%%)K,)%2'$%)+$.)%,)&%2<,,),,'3$,-&$%+3+=&8%+($-37+2/)&) L&')&XYZX+h5 D-&4'4),0)&(8&4)&)$$-*7-&287,'/;,+8,/+2/$.82%,'4)*)$,=&8%,) 3:$2'2/)2)','3$(+&)24)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+>)&&+..-&,)&$-* -..$8**)&)&)&7+&'2/)&7&+)%$'$,)&)24)+23)//$1&3'/'2,)&)$$+2,)5N+..-&,)2 +,#45-6*/ *)9)&*6gP+3)2=RQ%),+35XYZ\h/'&)2)(+38)&'2/+()23+2/ &)%%)$()2$%)+23)//$-*=3)-..7:&,'.)&'-4)2XYYYbXYZY56'4)2*+2/)+( 4) $()2$%) +23)//)2) 3'//)&.; $+**) =&)44)/&+4 $-* %+2 &)$83,+,)2) +( 4)22) )(+38)&'2/)2 (1&) &)3)(+2,) -/$; 7-& 2-&$%) +23)//5 N+..-&,)2 +&,-):$#/2 ),# * g"$+%$$-2 ), +35 XYYXh,+& -/$; 7-& $)/ )&7+&'2/)&7&+$()2$%)+23)//>0(-&+(),,%+.',,)3=)0+243)&,)%2'$%)3:$2'2/)& 7-&'2,)/&)&'2/+($-37+2/)&)'79)&2(+&*)5N+..-&,)2+&,-*),#4$-6*$%#;26*. 1<8*.*:%/%2)2-$.*-gC3=9)&/XYY^h$+**)23'%2)&.;$'2$'4),-$-3(+&*)+23)// '2,)/&)&,'79)&2(+&*)'P+2*+&%5 Z E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 )&4)24)3)2+(=&8,,-$-37+2/)&+&)+3 $-*$.'33)&)2 +%,'(&-33)')2)&/'%-2()&,)&'2/)25P)&=&8,,-$-37+2/)&+&)+3*;3)$7&+<,,)&%+2,,'3<,,)&%+2,+($-37+2/)&)2$&+**)>'2%384)&)&+%,'(,$-37+2/)&+&)+3%82+&)+3), '22)27-& &+**)25 gl&')& XYZX+h G'4)&) ' -../+()2 &)7)&)&)& =)/&).), $-37+2/)&+&)+3%-2$)%()2,,'3+%,'(,$-37+2/)&+&)+35 ^

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a4'$%8,)&)&&)$83,+,)2)$-*.&)$)2,)&)$'%+.',,)3^5 M+.',,)3W-..$8**)&)&4)('%,'/$,)%-2%38$9-2)2)-//'&2-)27-&$3+/,'3('4)&) +&=)'4'22)27-&,)*+),5 a

15 > B)"#3% >9; H)..=#.+#=**2'+% P),,)+($2',,),=)0+243)&&)$$8&$/&8223+/),7-&$-3)2)&/'$<$,)*)&'7-&*+( 8,$,&;3,)77)%,7&+$-3)2-/'22$,&;3,)77)%,.;)2$%&;73+,)()4)2=)$,)*, A#/6$&*gE/8+4-OB8&,XYY`h-/"19)/0),7+,#$-=%*-29gT0)2XYZZh>*)4 *'24&)+24&)%'34)&)&.&)$'$)&,5 >9;9; L)83*3.N"*)#% `/./#K23*+./)//6)/%5g)2/o&+4'+2,)k',+2Q)h$(+&)&,'38,$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/ +&)+37-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K23*+./)//6)/Sg)2/o'&&+4'+2Q)h$(+&)&,'3'22$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/+&)+3 7-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K2/%)*)#+3%g)2/o$-3+&'2$-3+,'-2h%$(+&)&,'3'22$,&;3'2/$,),,0),)2'2,)/&)&, -()&)2,'4$.)&'-4)>*;3,'%c0d* X 56<*=-3),a=)2<,,)$7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5 4+/>$<*=-3),7%7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5,'*)5 >9;9> D-&;=)$%&'()'22$,&;3'2/)2()4)2=)$,)*,3-%+3',),%+24),(1&)2<,,'/; 4)7'2)&)2-)2$)2,&+3)('2%3)&',-83'%)%--&4'2+,$<$,)*5E33)('2%3)&+2/'$0)&' /&+4)&>'%%)&+4'+2)&5G'2%3)&&)3+,'(,,'30-&'$-2,+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKZ-/ ('2%3)&&)3+,'(,,'3)%(+,-&'+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKX5A)&'4'+2)2)&0+3($'&%)3)2 $:&.82%,),5 W

16 V%."26Y1$)% 9% I-&'$-2,+3.3+2),)&-&')2,)&,'7-&0-34,'3$)2',7-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>$3'%+, 0-&'$-2,+3.3+2),$,;&-&,-/-2+3,.;3'29)2$-*.)%)&*-,$)2',5P)$)2,&+3) ('2%3)2);*)&%)$)/0)&)&o og'2%)3)2*)33-*()&,'%+3)2-/$-3)2$.-$'$9-25% &"26Y1$)% o G'2%)3)2 *)33-* 0-&'$-2,)2$ $:&.82%, -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$ 0-&'$-2,)25 I)& =)2<,,)$ ()&4')2) "#$ "#$5% _

17 0)&)&o L)423*'.N"*%o G'2%)3)2 *)33-* )%(+,-& -/ $-3)2$.-$'$9-25% % G)&4')& ""# ""#5% G'2%)3)2 *)33-* *)&'4'+2)2 -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$)%(+,-&5G)&4')&"#$ "#$5% P)%3'2+$9-2)2)&/',,()4o "# gzh ""#"# "# "# 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g "#5 L'*)('2%)3)2)&/',,()4o "# "# " gxh 0(-&"#)& 3-%+3 $-3,'4 +2/',, $-* 4)$'*+3,+33> $3'% +, ()&4')2 Y>^,'3$(+&)& \Y*'28,,)&gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 ]-%+3 $-3,'4"#)& )2,'4$+2/'()3$) =+$)&,.; $-3)2$ -=$)&()&,) =)()/)3$) -()& 0'**)3)25V&54)7'2'$9-2%&<$$)&$-3)2*)&'4'+2)2%3-%%)2ZX3-%+3$-3,'45]-%+3 $-3,'4)&/',,()4o "# " "# g\h "# " ""# 0(-&")&2-&$%2-&*+3,'4+2/',,$-*4)$'*+3,+33>)&3)2/4)/&+4)2'/&+4)& :$,>" )& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 -/"#)& 4)2 $;%+3,) r)m8+,'-2-7,'*)r =)$%&)(), 2-&*+3,'4 )& 4)2 3-%+3),'4)2 8,)2 %-&&'/)&'2/7-&$-**)&,'4gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 6,+24+&4*)&'4'+2)27-&4)23-%+3),'4$$-2)2" )&3)2/4)/&+4)2$-*4)23-%+3,'4$$-2)2)&=+$)&,.;5P)22))&/',,()4o " "#"# " g[h 0(-&"# )&,'4$7-&$%9)33)2*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*)5 3'//)& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 ()4 "# gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[qh5 Jm8+,'-2-7,'*)"#)&)2)*.'&'$%3'%2'2//',,()4o "# "# g^h "# ""# " ""# " "# "# "# "# " "# "# `

18 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g"#gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 >9;9A &/#K23*+%8#'%."2)*% 6-3)2)*',,)&)&)2%-2,'28)&3'/$,&:*+()2)&/''7-&*+()3)%,&-*+/2),'$% $,&;3'2/5 C,$,&;3'2/$,),,0),)2 ()4 $-3)2$ -()&73+,) )&.; &824, a[acd* X 5 6,&;3'2/$)2)&/')2('3'%%)$()%%)$/9)22-*(+%88*>*)2)2)&/')2('3$.&)$ 8,-()&),$,+4'/$,:&&)+&)+35G)4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,('3'22$,&;3'2/$,),,0),)2 0+)2()&4'.;-*,&)2,o " "#$ G)&4')2 " =),)/2)$$-*$-3+&%-2$,+2,)2>-//9)34)&()4/9)22-*$2',,3'/$-3K 9-&4K+($,+2456'4)2$-3K9-&4K+($,+24)2'%%))&%-2$,+2,7;&*+2/9)22-*;&),)2 (+&'+$9-2''22$,&;3'2/$,),,0),)2()4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,.;±\>\f5 P)2)*',,)&,)$,&;3'2/)24)%%)&),=:3/)$.)%,)&7&+-*,&)2,Y>X^µ*,'3\>Yµ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

19 >9;9C,/(".8b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l-2gS\h>(+224+*.gIXSh-/ %+&=-24'-%$'4gTSXh>-/4'$$)/+$$)2))&$(1&,$)3)%,'()'7-&0-34,'30('3%) =:3/)3)2/4)& 4) +=$-&=)&)&5 S\ $.'33)& )2 ('%,'/ &-33) ' +=$-&.$9-2 +( '22%-**)24)83,&+7'-3),,$,&;3'2/>*)2$IXS-/TSX)&$.)$')3,+%,'()'4)2 '27&+&:4)4)3)2+($,&;3'2/$$.)%,)&),5P)22)$)3)%,'(',),)2='4&+&,'3+,)2%)3,) 4)3)&+($,&;3'2/$$.)%,)&),$()%%)$*)&)22+24&)5 >9;9M I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/+(0)2/)&+(0(-&*<)+,*-$71&'$% *+$$)$,&;3'2/)2*;.+$$)&)>2-)$-*=)$%&'()$()409)3.+(=)/&).),E'&A+$$ gbch5e'&a+$$)&4)7'2)&,$-*3<$),$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&)2&)3+,'(,,'3 ZZ

20 D-&$)2',('2%3)& -..,'3Q+5WY /9)34)&7:3/)24)/)-*),&'$%)$+**)20)2/o % " gah "# 6)2',('2%)3)2 )&>$-*,'43'/)&)('$,>%-*.3)*)2,1&('2%)3)2,'3$-30:<4)2 5?-3+()&)$-30:<4)2)&>9-$,:&&)=3'&$)2',('2%)3)2-/9-*)&$()%%)$$,&;3'2/)25 F)2)&)3,$),,$()%%)$-/$;$,&;3'2/)2*)&.;)2%3+&4+/7-&3+()&)3'//)24))22 7-&0:<)&)3'//)24)3-%+3',),)&5P),,)$%<34)$+,$,&;3'2/)2$-*,&)77)&7-,)2+(), 0:<,79)33*;.+$$)&)/9)22-**)&+,*-$71&'$%*+$$))22$,&;3'2/)2$-*,&)77)&,-..)2+(79)33),5V;;&$=+$'$)&4),+2,<4),+,'22$,&;3'2/)2:%)&*)4Zf7-& 0()&ZYY0:<4)*),)&gF834=&+24$)2OL+2/)2Z`WWh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a5P),)& ZX

21 4)22)(+&'+$9-2)2'0)*'$71&)2)$-&')2,)&'2/'7-&0-34,'3$-3+$-*7-&;&$+%)& ;&$,'4$(+&'+$9-2)2''22$,&;3,)2)&/'5 "D'/8&XKa%+2*+2-/$;$)+,=&)44)/&+4)20+&=),<42'2/7-&(+&'+$9-2' 4+/','4)2&824,$-**)&$-3()&(g*'42+,,$$-3h-/X[,'*)&2+,,','4)2&824, ('2,)&$-3()&(g*:&%),'4h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

22 >*)4)2 +$'*8,('2%)37-&$-3-../+2/d$-32)4/+2/.;-*,&)2,±\W 5G)4$-**)&$-3()&( )&*+%$'*+3$-30:<4).;&824,^\>^ >*)4)2+$'*8,('2%)3.;-*,&)2,±Z[\ gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[=h5 I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/)&7-&0-34$('$)2%)3,;*-4)33)&)7-& )2/',,=&)44)/&+4-/,'4$.82%,.;4+/)25G)&4')2)7&+*-4)33)&'2/)2%+2$'2-) *+%$'*+3'22$,&;3,)2)&/'7-&)20-&'$-2,+373+,).;Q+5ZY%c0d* X.&54+/()4 $-**)&$-3()&(-/Q+5Y>Y^%c0d* X.&54+/()4('2,)&$-3()&(gI-2$=)&/O B-j4)2XYZ[+h5 >9;9G Q"4'2)%8'4/"#)#% ]-%+3) (+&'+$9-2)& ' +,*-$71&)2$ $+**)2$),2'2/ ('3 ='4&+,'3 +, 7+%,'$% '22$,&;3'2/)&3+()&))22*+%$'*+3'22$,&;3'2/5 6.)$')3,('3'220-34),+((+224+*.g387,78%,'/0),h-/(+224&;.)&g$%<)&>,;%)h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gXYZ\h)&4),.&5'4+/a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 ;&,'3=+%)','45M82\+(*;3)$,+$9-2)2)0+&8,$,<&7-&;%822)*;3)4'&)%,) -/d)33)& 4'778$) $,&;3'2/$%-*.-2)2,)&> *'39:K -/ ='-(',)2$%+.)3'/) 82'()&$',), C2'()&$',),), ' B)&/)2 gc'bh 2+,8&(',)2$%+.)3'/) 82'()&$',), " -*&;4), &824, S$3-79-&4)2 )&,),,0),)2+(*;3)$,+$9-2)&7-&0-34$('$0:<5 F3-=+3'22$,&;3'2/%+2-/$;=)&)/2)$.;=+%/&822+($+,)33',,4+,+5P),,)/9:&)$ ()4;+2+3<$)&)4+,+7-&$%<4)%%),7+2/),-..+(/)-$,+$9-21&)$+,)33',,)&5P),)& *;3)4+,+ 7-& :%)24) =&)44)/&+45 A;3)4+,+ 7&+ /)-$,+$9-21&) $+,)33',,)& >9;9I &"23**./#K23*+%EK%"#3)*/)#/V%.4#K%82'/)%% I-()44)3)2 +(,'3/9)2/)3'/) '22$,&;3'2/$4+,+ $,+**)& $-* 2)(2, 7&+.<&+2-*),)&K*;3'2/)&+(/3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0),.;)20-&'$-2,+373+,)5D-& $-37+2/)&))&('4)&'*-,'2,)&)$$)&,''22$,&;3'2/$,),,0),)27-&)2$%&;73+,)*)4 )2('$$-&')2,)&'2/$-*('$,'D'/8&XK_5 Z^

24 D-&)2$%&;73+,)'0-&'$-2,+3.3+2),/9)34)&7:3/)24)('2%3)&o D#3)*/)#3*+%o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o "#$%" 0(-& "#$%" )&/3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd* X h-/ )&,)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),.;)20-&'$-2,+373+,)()4)2/',,3-%+3',),8,)2 +,*-$71&)gcd* X h5 L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0), %+2=)&)/2)$()47:3/)24)$+**)20)2/o " """# "# "# "#"#"#"#"# g_h gwh Za

25 0(-&" )&$-3+&%-2$,+2,)2>+2/'&4+/)2$28**)&';&),>)&=&)44)/&+4)2> )&4)%3'2+$9-2$('2%)3)2>-/)&,'*)('2%)3)25P)%3'2+$9-2$('2%)3-/,'*)('2%)3 =)&)/2)$'0)20-34,'33'%2'2/gZhbg^h5 D-&;=)&)/2)+24)3)24'778$$,&;3'2/%+2*+28,2<,,)+,)*.'&'$%)4+,+('$)&)2 =)$,)*, %-&&)3+$9-2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/> $-* ('$, ' D'/8& XK`5 P)22) *),-4)2 %+2 =)2<,,)$ 7-& *;3)4+,+.;,'*)K> 4:/2K )33)& *;2)4$=+$'$5A),-4)2/'&'%%)2:4()24'/('$$+*$(+&*)33-**;3,)-/)$,'*)&,) ()&4')& 7-& 4'778$ $,&;3'2/,'*) 7-&,'*)> *)2 7-&()2,)$ ; /' ), /-4, +2$3+/ -()& *+2/),'*)&5 " D'/8& XK` )& 4),,<4)3'/ +, 9- *)& $%<)& 4), )&> 9-0:<)&) ('3 +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/ (1&)> *)2 +, $)3(.; )2 0)3, %3+& 4+/ )& +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/7-&0-34$('$0:<5 3+=#% >WIX% O"##)2'.N"*)*% ()22"(% '*$)2% $388=.%./#K23*+% "+% 42'#6)/.3*$)4.% EK% /3()-'.3.% -'.)#/% EK% (K2)$'/'%8"#%=234)%2"4'23/)/)#9%% M-&&)3+$9-2)2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/ $-* )& +2/',, ' D'/8&XK`$(+&)&,'3J&=$),+35K%-&&)3+$9-2)2gJ&=$),+35Z`_Xh/',,()4o " "# "##$% g`h "#$%" "## "#$ "" ""# "" "# " "# " "# 0(-& "##$% )& 4'778$ '22$,&;3'2/$,),,0), gcd*xh> "#$%" )& /3-=+3 '22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd*Xh-/ )&%3+&0),$'24)%$)2.;,'*)=+$'$5 J&=$ ), +35K%-&&)3+$9-2)2 $+*$(+&)& /-4, *)4 +24&),'3$(+&)24) %-&&)3+$9-2)& $-* S&/'33 O I-33+24$K%-&&)3+$9-2)2 gs&/'33 O I-33+24$ Z`WWh -/ N)'243 ), +35K %-&&)3+$9-2)2 gn)'243 ), +35 Z``Y+h5 J2 +( 4) %9)2,) $(+%0),)2) ()4 J&=$ ), +35 %-&&)3+$9-2)2)&+,4)2)&=+$)&,.;7;*;3)()&4')&7-&%3+&0),$'24)%$ $,:&&) )22Y>_5J2+3,)&2+,'(*-4)338,('%3),+(6%+&,()',-/S3$),0g6%+&,()',OS3$),0 Z`_Wh,'3$')&+,*+27-&0:<)()&4')&+( $)&)2:%2'2/'4'778$+24)30)33)&)22 )28,73+,'2/5 ZW

26 ,"$"-%.%-'+/'0.$"1*"'2-'0.##34"'128)2%"%*"$')7'2$."%*"$*9'41$7'#5+*"' 6;$2+&,*+2%9)22)&$,:&&)3$)2.;4)24'&)%,)-/4)24'778$)%-*.-2)2,)2.; )20-&'$-2,+373+,))&4),*83'/;=)&)/2)4)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2).;)2 -&')2,)&,>$%&;73+,)5"22$,&;3'2/$,),,0),)2 "#.;)2-&')2,)&,>$%&;73+,)%+2 *-4)33)&)$$-*;=)$,;+(7:3/)24)%-*.-2)2,)&o "# "#$%&$ "##$% "# gzyh 0(-& "#$%&$ )& 4)2 4'&)%,) %-*.-2)2,)2 gcd* X h> "##$% )& 4)2 4'778$) %-*.-2)2,)2gcd* X h-/ "# )&&)73)%,)&,$,&;3'2/7&++24&)73+,)&'22)27-&4)2 $%&;73+,)2$$<2$7)3,gcd* X h5p)24'778$)$,&;3'2/)2%+2('4)&)*-4)33)&)$$-*; =)$,;+(<,,)&3'/)&),&)%-*.-2)2,)&o "##$% "# " gzzh 0(-& "# )&4)2'$-,&-.)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*)&3'%7&++33)&),2'2/)& gcd* X h> " )&4)2$'&%8*$-3+&)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*%-**)&7&+-*&;4), &824,$-3)2$-=$)&()&,).-$'$9-2gcd* X h-/ )&4)24'778$)%-*.-2)2,)27&+ -*&;4),&824,0-&'$-2,)2gcd* X h>$-*('$,'d'/8&xkzy5 3+=#%>W;JX%L388=.)%./#K23*+.4"(E"*)*/)#9%L)*%3."/#"E)%$388=.)%3**./#K23*+)*% "# )#%234%8#'%'22)% #)/*3*+)#V%$)*%.3#4=(."2'#)%$388=.)%3**./#K23*+)*% " E".3.N"*%"+%3%/322)++%4"(()#%*")%$388=.%3**./#K23*+% " 8#'%"(#K$)/%#=*$/%6"#3."*/)*9% B)&)/2'2/+($,:&&)3$)2,'34)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2)%+2/9:&)$()409)3.+( *+,)*+,'$%)$,&;3'2/$*-4)33)&7-&+,*-$71&)2g)2/o$%<*-4)3$h5P),)&8,('%3), )2&)%%)83'%)$,&;3'2/$*-4)33)&/9)22-*,'4)2>$-*'$-,&-.4'778$K*-4)33)2 g]'8o?-&4+2z`a\h>ipmnk*-4)33)2gn)'243),+35z``y=h-/v)&)l),+35k *-4)33)2 gv)&)l ), +35 Z``Yh5 P'$$) *-4)33)2) $%'33)& $)/ 7&+ 0()&+24&) 0-()4$+%)3'/'0(-&4+24)=)0+243)&4'778$$,&;3'2/>$+*,&)73)%,)&,$,&;3'2/7&+ -*/'()3$)2)5B)&)/2'2/+(4)24'&)%,)%-*.-2)2,)2.;)2$%&;73+,))&*)& 8.&-=3)*+,'$%-/%-%)&2)4,'3),&)2,/)-*),&'$%.&-=3)*5 Z_

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d)33)& (+22=+$)&,&-*-..(+&*'2/5N),8&(+22),/;&4)&),,)&,'3=+%),'3(+&*)$)2,&+3)2 0(-& 4), (+&*)$ -...; 2<,, gn-$(-34 XYZ\h5 D-& *'24&) +23)// -()& ), =)/&)2$),/)-/&+7'$%-*&;4)=)2<,,)$+(-/,'3=)/&).),21&(+&*)gN-$(-34 XYZYh5P),+%,8)33)+23)//),()4F+&4)&*-)2)&'*'43)&,'4+()2$3'%$,:&&)3$)+, 4),)&2+,8&3'/;=),)/2)4),,)$-*),79)&2(+&*)+23)//5 >9>9> B&8%+($-37+2/)&),'3-..(+&*'2/+((+22)&)2/+**)3,)%2-3-/'-/*'24&) $-37+2/)&),'3=&8%'=-3'/08$0+&(1&,'*+$$).&-48%$9-2$'4)2Z`aYK,+33),563'%) )&'4+/'=&8%'+33)4)3)&+(()&4)2gV0'3'=)&,XYZZh56,-&$%+3+=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*))&+(2-)2<)&)4+,->*)24)+33)&7:&$,)+23)//)2)=3) ),+=3)&, ' 6()&'/) -/ H$,)&&'%) +33)&)4).; $38,,)2 +( Z`WYK,+33),5 6()&'/) ),+=3)&,) <,,)&3'/)&) _ +23)// ' 3:.), _YK,+33), -/ (+& *)4 4), 3)4)24) ' 8,('%3'2/)2.;4)2,'4)25A+2/)+(4))34$,)+23)//)2))&'4+/+(('%3),>-/4), )34$,)+23)//),$-*7-&,$+,,)&'4&'7,)&7&+Z`_^g"#$%&'$&$($)*XYZ[h5 V&58,/+2/)2+(XYZ\)&ZY^$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'4&'7,'J8&-.+5P),,),+33),'2%384)&)&%82+23)//*)4*'2'*8*ZYYY* X $-37+2/)&+&)+35P)73)$,)+( +23)//)2))&$+,,-..7-&;3)()&)$-3(+&*),'321&K-/79)&2(+&*)+23)//>*)2 2-)27;)&$+,,-..7-&+24&)7-&*;3g)5/5(+&*)-/%9:3'2/''248$,&'.&-$)$$)&h5 N824,0+3(.+&,)2+(+23)//)2))&-..7:&,4)$'$,)_;&)2)>-/4),)&$1&3'/ P+2*+&%$-*2;3)4)&+2'-..7:&'2/)2+($,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//5I)3) [Y+23)//)&3-%+3'$)&,'P+2*+&%>*)2$6()&'/)>L<$%3+24-/H$,)&&'%)0+& +23)//),$+,,'4&'7,'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*gB'34)XKZh5 P),,)+23)//),0+&),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$`5 $,:&$,)+23)//5P),$,:&$,)+23)//),0+&,'3$+**)23'%2'2/),$-37+2/)&+&)+3.; \\YYY* X> -/0+&(1&,'4&'7,$'4)2Z``a'&)/'+(A+&$,+3D9)&2(+&*)'P+2*+&% g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 Z`

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g>*01%,#,29 D,$.6$E XYZXh5 G'4)&) ' 4)22) *+$,)&-../+()2 =)0+243)$ %82,)&*'$%) $-3)2)&/'+23)// *)4 '%%)K %-2$)2,&)&)24),)%2-3-/' 4+ 4),,) )& *)$, (+23'/ '22)2 79)&2(+&*) g"#$%& '$&$($)*XYZ[h5 >9>9A &)*/#'23.)#/)%"+%$).)*/#'23.)#/)%.1./)(% P), 7'22)$ ' 0-()4$+%,- 83'%) 3:$2'2/)& 7-& '2,)/&)&'2/ +( $-3(+&*) ' 79)&2(+&*)2),,),>$-*/'&-..0+(,'3)2,)2),$)2,&+3'$)&,)33)&),4)$)2,&+3'$)&, $<$,)*56%'33),+(0)2/)&+(0(-&('4,)2)&/')2*+,)$'22('+(+&*)$)2,&+3)2)33)& 4'&)%,)'22'4'$,&'=8$9-2$2),,),5"4)+33)&73)$,)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//=&8%, '79)&2(+&*))&$-3(+&*)2'2,)/&)&,'$)2,&+3'$)&,)$<$,)*>0(-&)2)&/')2*+,)$ '22('+(+&*)$)2,&+3)2$-*('$,'D'/8&XKZZgP+3)2=RQ%XYZ\+h5 XY

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t W al d em a rs H a g e, a v h o l d e s t o rs d a g 1 8. j u n i 2 0 0 9, k l.

Detaljer

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( <

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( < ! # %! & (% ) % & +, %. / 0 1 2 3 + 3% 4 & 0 5 & #5 0 5 6 5.. 0 7 & / / 5!!87/ (92) 9:., 588 (;

Detaljer

Europa-Universität Viadrina

Europa-Universität Viadrina !"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %

Detaljer

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt!

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt! m k pd d Røf g F d fv! Rkg k g Dw Tw h uvg! Md fbhd m ykkf. 1200 g p-p 400 b uv g g dg g w w w.d w w. d d 249.- 249,- 649,- K md h m Bm b Tm Fc Wd 999,Ny vå y k! Ck fw N pkk d V 499,- p um 1099,- våk Wd

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

!"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.

!#$%&'()*+*!,-*.*#/01()*1/(0*23#&4&.0*4)* 2/05(43.&/%)*%*3%643&)*)#&%.&2&'(*7#0&. !"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.!"#$%&'"()%*+",-(%. /* 0"(#"*1"#23%)) /* 4,5$))%*6")"$.% 7 8/9*:;$#%;?@)%*4)A%.B*:+6*C*0DED0F!B*6&GHIJI*>#%;?@)%

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 K e y s e r l ø k k a Ø s t B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d

Detaljer

! " # $ #!!" #$ %&#"'

!  # $ #!! #$ %&#' !"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D e t t e e r i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n er a l f o r s a m l i n g. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s m e l d i n g o g r e g n s k a

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Tirsdag 5 desember 205 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsninger til forkursstartoppgaver

Løsninger til forkursstartoppgaver Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent

Detaljer

(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5

(+ /$0 &&& 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5 !"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2

Detaljer

4 kombinatorisk logikk, løsning

4 kombinatorisk logikk, løsning 4 kombinatorisk logikk, løsning 1) Legg sammen følgende binærtall uten å konvertere til desimaltall: a. 1101 + 1001 = 10110 b. 0011 + 1111 = 10010 c. 11010101 + 001011 = 11100000 d. 1110100 + 0001011 =

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44 Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5

Detaljer

Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr

Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr. 20.01.2012 flyttefil A Avgivende selskap: tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnr. tall D Organisasjonsnr. tall E Beregningsdato dd.mm.åååå

Detaljer

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Advarsel: Arbeidet med denne fasiten har gått fortere enn det burde, og feilprosenten er nok litt høyere enn vanlig. Finner du feil eller lurer på om noe

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2 Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i L i s a K r i s t o f f e r s e n s P l a s s S E, a v h o l d e s o ns d a g 9. m a r s

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i S / E S o r g e n f r i g a t e n 3 4, a v h o l d e s o ns d a g 1 0. m a rs 2 0 1 0 k l. 1 8. 0 0 i K l u b b r o m m

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK RAPPORTNUMMER loo.m.03 TWOJENGELIGNET Be'renset 7034 TRONDHEIM NTH (07)59 49 25 RAPPORTENS TITTEL

Detaljer

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK Avlsforsking og avlsarbeid Bjarne Gjerde AKVAFORSK Aftenposten 23. desember 2002 Avlsmål Disposisjon Arveleg variasjon i viktige produksjonseigenskapar - kysttorsk kontra skrei - mellom familiar og enkeltfisk

Detaljer

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL TIMESTILBUD T Ny kk T S E F S G N I ÅPN 3- TILBUD S p på kn k F p jø k F h Tknn v k T f v D ønn å væ T Fkjøp Fk nv åpnnf A k fø k på åpnnn, knnn v f v * Un nn v Tknnn jnnfø c k V V V - 36 STIHL MS 8 6555-

Detaljer

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Kundenotat lønn 01/2014 Dato: 02.01.2014 Referanse: bkro Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Generelt - Arkivering Vi arkiverer en gang i året, i februar. Vi begynte med arkivering i systemet

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Følgende opplysninger

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Gjennomgang av NRF

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo DEN NORSKE KIRKE K få O Kv Kv bp v vh K få O O, 26. vb 2010 P: Pb 2674 S.Hh 0131 O Bø: Ab 32 Tf: 23 62 90 00 E-P: p.f@.. Wb: www... B : 8380.08.67374 O.: 976 987 608 Ih Kv bp v vh... 1 K få O... 1 1 S

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i J o h a n n es B r u n s g at e 1 2 C S am e i e, a v h o l d e s T i r s d a g 2 3. m a r s 2 0 1 0, k l. 1 9 : 0 0 i l ok

Detaljer

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Dagens temaer Time 4: z-transformasjonen Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper Ifi/UiO September 2009 H(z); systemfunksjonen og

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser R1-09.01.1 Oppgave I - Vektorregning a) Vektorene a og b er gitt ved at: a 3, b, a, b 45 Vi lager to nye vektorer u a b og v a b. i) Finn u v u v a b a b a a b a a b b b ii) Finn u og v a a 3a b b b 3

Detaljer

!"#$"%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+

!#$%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 +/4,'7 8 +/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+ !"#$"%%& ' (%&"%%#)*$& ' ' +,-./0/1+2/ '!"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 :%;$"% 8 ' ( /94 6 ( ) * (( ( '$$ (+ 8 /0+ /1 6? :%&(%$"% 6@?'??6?8 &=A1>/014

Detaljer

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T 1 L o m m e d a l s t u n e t S a m e i e I n n k a l l i r t s n a m g e i e r m ø t i e 2 0 l 1 1 o r d i n æ O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i L om m e d al s t u n et S am e i e, a v h o l d e s

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13]

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13] RAPPORT [2012/13] Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: E39 Søgne - Ålgård "#$%'()(*+,-.. "#$%'(%)*#+', -%../0$(122+034536578"#$%'(%)*#+ -%../0$$"$$+) 9:%)"$+$##";0"(

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV "'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE.

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV 'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE. Fag: nnskf maskin intraksjn Fagnr: LV "'i3a Faglig vildr: Annari Trvatn Grupp(r): 3AA 3AB 3A3AD3A Dat: 200401 ks amnstid fra til: 900 1200 ksamnsppgavn bstår av Antall sidr: inkl frsid 9 Antall ppgavr:

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/32 Dagens temaer Fra forrige gang Kausalitet, stabilitet og inverse systemer

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o rs am l i n g i, a v h o l d es o ns d a g 2 8. a p r i l 2 0 1 0, k l. 1 8. 0 0 i 1. e

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN 4 K O 4 & * V HO *B, O C O, >> UKK O 7 V O BU! OW K 9 H H O >> O HOW HK /O) (V H 4 0 K O U B HJ BK V 45, 49, KJBO + K U COOU O BO BOY O V BCO OOW OÆ V C O O CHBU OY HUQV YK VC 695, KÆ J H V BY V V YK K

Detaljer

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24 SAMMENDRAG...5 1 INNLEDNING...10 1.1 BAKGRUNN FOR PROSJEKTET...10 1.2 SAMHANDLINGSREFORMEN...10 1.3 REGIONALT SAMARBEID...12 1.4 MÅL FOR PROSJEKTET...16 1.5 PROSJEKTGJENNOMFØRING...17 1.6 BEGREPSAVKLARINGER...22

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen

Detaljer

apple К apple fl 0 0

apple К apple fl 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 1 V a l d r e s g t 1 6 S / E I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i V a l d r es g t 1 6 S / E, a v h o l d e s o n s d a g 2 7. a

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/29 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole P f æ ø ø T V Eh P f I. E ø ø f æ T: L Iø L f: f I. - Å - Tø E K K ø T h K ø ø f ø L Ú K - ø ø F ø ø K p ø - - - ø L L K P A T ø ø h ø àêæú µ ø ø L P ø ø -V ø ø L L f fø é K pp. h f pp () -. p f - Ah.

Detaljer

!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -

! #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-! (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % - !" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 1 S a m e i e t S o l h a u g e n I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t S o l h a u g e n, a v h o l d e s o n s d a

Detaljer

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr"/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f y@b@re K@&&M@@,6"/*/ * h / u @- 3, p 9R y@&w&&nykape?f \ O R D R E I S AK O \ \ 1 U \ E \OTEBOK PROTOKOLL FRAMTE: q4+p 5' ' 9 ' 9? ' M O T E D A T O :d m? ' M O T E S T E D F R A K L : q 9 0, 0 T L K L

Detaljer

Løsning, Stokes setning

Løsning, Stokes setning Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k

Detaljer

Løsning S1-Eksamen vår 2012

Løsning S1-Eksamen vår 2012 Løsning S1-Eksamen vår 2012 14. juni 2012 Innhold Del 1 3 Oppgave 1 3.................................................... 3 1)................................................. 3 2).................................................

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

HamboHus - Symbolspråket 1

HamboHus - Symbolspråket 1 HamboHus - Symbolspråket 1 courier courier kursiv uttrykk uttrykk HamboHus - Symbolspråket Side 1 av 27 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus - Symbolspråket 2 DrawType type, type DrawType DrawType DrawType

Detaljer

Hjelpemidler på Del 1: Ingen hjelpemidler er tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 1: Ingen hjelpemidler er tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1 P / Dj f H Jæ kv Iuj, imm, ky Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Pkiv f h Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Fukiv f Fukiv f ø Fukiv

Detaljer

EØS-tillegget til De Europeiske Fellesskaps Tidende KOMMISJONSVEDTAK. av 8. februar 2000

EØS-tillegget til De Europeiske Fellesskaps Tidende KOMMISJONSVEDTAK. av 8. februar 2000 Nr. 3/169 KOMMISJONSVEDTAK 2002/EØS/03/57 av 8. februar 2000 om midlertidig godkjenning av tredjestaters planer for restmengder i samsvar med rådsdirektiv 96/23/EF(*) [meddelt under nummer K(2000) 343]

Detaljer

Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene.

Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i

Detaljer

! #$ % & '! (! ' )!!!* +

! #$ % & '! (! ' )!!!* + !"#$%$ !"! #$ % & '! (! ' )!!!* + ,-./01-23 45167.8 49-:/ %%; ?69@8A 73/9> BC.8 58@DE/18 18,-98=/127-F 0611-23A,9-4>=D1G 61H/1I927I:JA,9K@C2.-4I:J 8 BC3-4I:J 2384/B L2,DM1D BC.C =-7-10/1C,E/=/4MG@

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S k u l l e r u dh ø g d a I B o l i gs am e i e, a v h o l d e s t i r s d a g 2 7. a p r i l 2 0 1 0, k l. 1 8. 0 0 i S k

Detaljer

JAGUAR conduite à droite (GB)

JAGUAR conduite à droite (GB) JAGUAR conduite à droite (GB) vendredi 14 septembre 2012 avant n VIN (avant mai 1978) modele carrosserie n serie annee commentaire couleur ext boite roues n m oteur cylindree 240 340 IJ1044 DN 1967 blanc

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall

Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall Nøkkelinformasjon hos avgivende selskaps systemer. D Organisasjons-/kommunenummer

Detaljer

"#$%! &'()(*+,(,-,+.('/0++! '1!20-34!

#$%! &'()(*+,(,-,+.('/0++! '1!20-34! ! "#$! &'()(*,(,-,.('/0! '1!20-34! 5!6!7!!"#$&'(")#$*#&($'$',-./0(")'()12*32'4'$54'62"($*667"#$&'$ 89:;

Detaljer

8. En fase i to dimensjoner

8. En fase i to dimensjoner 8. En fase i to dimensjoner Utvid programmet til også å inkludere strøm i to dimensjoner for en fase i et horisontalt system. Bruk implisitt formulering Løs ligningssettet med LSOR eller eliminasjon og

Detaljer

Bestselgerlisten 2015: 1. Nå skal jeg fortelle deg... 2. Mitt Trondheim 3. Operasjon Detmold Ordinær oversikt:

Bestselgerlisten 2015: 1. Nå skal jeg fortelle deg... 2. Mitt Trondheim 3. Operasjon Detmold Ordinær oversikt: 16 0 N E R VÅ Bg 015 1. Nå k jg dg.... M Tdh 3. Opj Dd Odæ vk Ib T Ug. å P 9770443 A vd hjk bd 1 015 9 977030 Tdhjd jdæ uppv bå g b 015 19 977041 Høb 4 udhdg 015 199 9770511 Bv byk d Gåk Skpk 015 19 9770535

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2015 2016. Finale 1. mars 2016 Oppgave 1. Fargelegg et 2016 1010-rutenett som et sjakkbrett, med rute (i, j) hvit når i + j er et partall og svart når i + j er et

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

Alpha VPK Bergvarmepumpe. Tillegg til bruksanvisningen

Alpha VPK Bergvarmepumpe. Tillegg til bruksanvisningen Ap VPK Bpp T ss Foo o s o pps s U 25.03.2014 1 V på so s os Tpø: TA (ø), psss, os TA + GND på X4 TRL (ø ), os TRL + GND på X4 Sø: Ko sø opsso (på 400 s, ø) Ko sø ss, os so 3-s (s. s 4 o 5) Ko sø ssø Ssospp:

Detaljer