Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen"

Transkript

1 Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen The Possibility of Integrating Solar Collectors in Hafslund's District Heating System at Gardermoen Reidun Marie Romundstad

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

3 &'(()*$#'+% D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'I+7$3824$79)&2(+&*)+23)//.;F+&4)&*-)25P),0+&(1&,)2%&+7,'/ 7:&$,)+23)//+(4)22),<.)2'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*5 P),,)+23)//),0+&),$+*3),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$ `5$,:&$,)+23)//5 J,7:&$,)$,)/7-&;(8&4)&)*83'/0),)27-&-..7:&'2/+(),,'3$(+&)24)+23)//.; F+&4)&*-)2 )& ; '220)2,) '27-&*+$9-2 -* 7-&()2,), &)$$8&$,'3/+2/5 P)2 *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)2.; F+&4)&*-)2 *;3)& '*'43)&,'4 '%%) $-3'22$,&;3'2/5 C24)&$:%)3$)& +( '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)& ' )2 &+4'8$.; ay%* &824, F+&4)*-)2> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+7&+83'%)4+,+=+$)&>('$)&+,/3-=+3'22$,&;3'2/.;F+&4)&*-)2 %+2 7-&()2,)$ ; (1&) ' -*&;4), _^Yb`[Y %c0d* X.&5 ;&5 P)2 4'778$) '22$,&;3'2/)2%+27-&()2,)$;(1&)'-*&;4),[XYb[_Y%c0d* X.&5;& L'3/9)2/)3'/)+&)+3)&'-*&;4),()4-/&824,(+&*)$)2,&+3)2.;F+&4)&*-)2)& 2-)=)/&)2$),>-/4)+&)+3)2)$-*(8&4)&)$=&8%,)&4)3)&+()279)&2(+&*)K,&+$e$+*,(+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)&56+*3),,'3/9)2/)3'/+&)+3)&*)44),.;Q+5 ZZ4++>-/=)&)/2'2/)&('$)&+,4),,)/'&&-*7-&),+23)//.;*)33-*X>W4++-/ [>Z4+++%,'(,$-37+2/)&+&)+356'*83)&'2/)&+($-3(+&*).&-48%$9-2/',,)2/3-=+3 '22$,&;3'2/.;_`Y%c0d* X.&5;&>('$)&+,*+2%+27-&()2,);0)2,)8,*)33-* Y>_WFc0-/Z>XFc0.&5;&*)4),+23)//+(4)22)$,:&&)3$)25P),,)$(+&)&,'3 )2*+%$'*+34)%2'2/$/&+4+((+&*)=)0-(),'982'-/983'.;0)20-34$('$X\f -/X[f5A+%$'*+34)%2'2/$/&+47-&$-**)&0+3(;&),$-*0)30),g+.&'3b $).,)*=)&h)&.;`f5 D-&4' (+&*)=)0-(), (+23'/('$ )& $,:&$,,'43'/.; *-&/)2)2> *)2$ $-3(+&*).&-48%$9-2)2)&$,:&$,*'4,.;4+/)2>('34),)2%)3,)4+/)&0(-& (+&*)=)0-(), )& $.)$')3, 3+(,> (1&) ), *'$7-&0-34 *)33-* (+&*)=)0-( -/ $-3(+&*).&-48%$9-25A)4-..7:&'2/+()2=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/7-&()2,)$ 4),,)*'$7-&0-34),;%822)&)48$)&)$>-/$-*),7:&$,)+2$3+/7-&$,:&&)3$) 7-&)$3;$)2=877)&,+2%.;*)33-*Za_* \ -/X`[* \ 5 % % ""

4 ,-./#'0/% L0).8&.-$) -7,0'$ $,84< '$,- +$$)$$,0).-$$'='3',< -7 '2,)/&+,'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$'2I+7$3824i$4'$,&'Q,0)+,'2/$<$,)*+,F+&4)&*-)25L0)&)0+$=))2+ $0+&.'2Q&)+$)'2,0)28*=)&-73+&/)K$Q+3)$-3+&0)+,'2/.3+2,$'2J8&-.)'2 J2)&/'.+&%-8,$'4)]'33)$,&:*5L0'$$-3+&0)+,'2/.3+2,0+$+,-,+3Q-33)Q,-&+&)+ -7ZX^_Z* X >*+%'2/',J8&-.)i$`,0 3+&/)$,.3+2,5 E7'&$,$,).,-+$$)$$,0).-$$'='3',<-7'2$,+33'2/+$'*'3+&.3+2,+,F+&4)&*-)2>'$,- Q-33)Q, '27-&*+,'-2 +=-8,,0) )k.)q,)4 $-3+& '2$-3+,'-25 I-j)()&>,0) *),)-&-3-/'Q+3 $,+,'-2 +, F+&4)&*-)2 4-)$ 2-, *)+$8&) $-3+& '&&+4'+2Q)5 "2()$,'/+,'-2-7$-3+&&+4'+,'-24+,+7&-**),)-&-3-/'Q+3$,+,'-2$'2+&+4'8$-7 ay%*+&-824f+&4)&*-)2>+$j)33+$)$,'*+,)44+,+7&-*4'77)&)2,4+,+=+$)$> $0-j,0+,,0)/3-=+3'2$-3+,'-2Q+2=))k.)Q,)4,-=)'2,0)&+2/)_^Yb`[Y %c0d* X d<)+&5l0)4'778$)'2$-3+,'-2q+2=))k.)q,)4,-=)'2,0)&+2/)[xyb [_Y%c0d* X d<)+&5 E(+'3+=3) +&)+$ 7-&.3+Q'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$ +&-824,0) 0)+,'2/ Q)2,&+3 +, F+&4)&*-)2'$3'*',)45L0)+&)+$Q-2$'4)&)4+&).+&,$-7+.'.'2/.+,0j+<+24,0)&--7+&)+$-7,0)0)+,'2/Q)2,&+35L0),-,+3+(+'3+=3)+&)+'$+..&-k'*+,)3< ZZ4++> +24 Q+3Q83+,'-2$ $0-j,0+,,0'$ +33-j$ 7-& + 7+Q'3',<-7 =),j))2 X>W [>Z4+++.)&,8&)+&)+56'*83+,'-2$-7$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2.&-('4)4+ /3-=+3'2$-3+,'-2-7_`Y%c0d* X d<)+&>$0-j$,0+,-2)q+2)k.)q,+$-3+&,0)&*+3.&-48q,'-2-7=),j))2y>_wbz>xfc0d* X d<)+&>/'()2+7+q'3',<-7,0'$$'l)5l0'$ Q-&&)$.-24$,-+*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-2-7X\f+24X[f'2?82)+24?83< &)$.)Q,'()3<5L0)*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-27-&,0)$8**)&gE.&'3b6).,)*=)&h'$ `f5 B)Q+8$)0)+,4)*+24'$8$8+33<.)+%'2/'2,0))+&3<*-&2'2/>j0'3)$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2'$0'/0)$,+,2--2>+*'$*+,Q0=),j))20)+,4)* $-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2j'33-QQ8&+,Q)&,+'24+<$5E=877)&,+2%7-&$0-&,,)&* $,-&+/)'$)k.)q,)4,-&)48q),0'$4'$.+&',<>+24+$+7'&$,)$,'*+,)7-&,0)$'l)-7 +=877)&,+2%>+(-38*)-7=),j))2Za_* \ +24X`[* \ '$.&-.-$)45 % """

5 &1(-"223./)% &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% " E'&A+$$ K E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 * X B&8,,-$-37+2/)&+&)+3 * X L+.$7+%,-& cd* X dm L+.$7+%,-& cd* X dm X B&)44),+%73+,) * /)&=&)44) * G+&*)%+.+$',), %c0d* \ d T P<=4),+%73+,) * C,$,&;3'2/$,),,0), cd* X " Jm8+,'-2-7,'*) *'2 "22$,&;3'2/$,),,0), cd* X L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),8,)2+,*-$71&) cd* X " 6'&%8*$-3+&4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "##$% P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%&$ P'&)%,)'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%" F3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0), cd* X P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2,7&+-*&;4),&824,0-&'$-2,)2 cd* X "# "$-,&-.4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "# N)73)%,)&,'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X " 6-3+&%-2$,+2,)2 cd* X "# "22$,&;3'2/$,),,0),.;-&')2,)&,>$%&;73+,) cd* X "22$,&;3,)2)&/'.&54+/ %c0d* X /)&0:<4) * "22$,&;3,)2)&/'.&5,'*) %c0d* X M-&&)%$9-2$7+%,-&7-&'227+33$('2%)3 K L)*.)&+,8&+(0)2/'/+24)3 K M3+&0),$'24)%$ K ])2/4)/&+4 H "#$ ]-/+&',*'$%*'44)3,)*.)&+,8&4'77)&+2$) M "# ]-%+3$-3,'4 K " 6,+24+&4*)&'4'+27-&3-%+3,'4$$-2) H E2,+33&)%%)&*)4$-37+2/)&) K K P+/)2$28**)&';&), K E2,+33$-37+2/)&) K J77)%,3)()&,,'3(+&*)*)4'8* c J2)&/'3+/&),'=877)&,+2% %c0 "## L)*.)&+,8&%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 "#$$ C%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 N)%%)+($,+24 * ]87,,)*.)&+,8& M)33)& T A'44)3,)*.)&+,8&(+&*)*)4'8* M L)*.)&+,8&)24&'2/'=877)&,+2% T "# L'4$7-&$%9)33*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*) G-38* ] 6-30:<4) I)32'2/$('2%)3 S&')2,)&'2/ "G

6 &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% E$'*8,('2%)3 P)%3'2+$9-2 G'&%2'2/$/&+4 K S.,'$%('&%2'2/$/&+4 K "227+33$('2%)3 6)2',('2%)3 G'2%)3*)33-*9-&4)2$&-,+$9-2$+%$)-/9-&4)2$-*3:.$=+2) L'*)('2%)3 G

7 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% "#"#$% %7 &'(()*$#'+% %77,-./#'0/% %777 &1(-"223./)% %7: 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% %:7 ; 7**2)$*3*+% %; ;9; <'4+#=**% %; ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#% %C ;9C > B)"#3% %G >9; H)..=#.+#=**2'+% %G X5Z5Z P)7'2'$9-2)& W X5Z5X M--&4'2+,$<$,)*-/('2%3)& W X5Z5\ 6,&;3'2/7&+$-3) ZY X5Z5[ E,*-$71&'$%))77)%,)& ZZ X5Z5^ 6,&;3'2/)2$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&) ZZ X5Z5a B&)44)/&+4>;&$,'4$(+&'+$9-2-/4:/2(+&'+$ ZX X5Z5W ]-%+3)7+%,-&)& Z[ X5Z5_ A;3'2/+(4'&)%,)>4'778$-//3-=+3$-3'22$,&;3'2/ Z^ X5Z5` 6-3'22$,&;3'2/.;-&')2,)&,>$%&;73+,) Z^ >9> X5X5Z D9)&2(+&*) Z` X5X5X B&8%+($-37+2/)&)'79)&2(+&*) Z` X5X5\ 6)2,&+3'$)&,)-/4)$)2,&+3'$)&,)$<$,)* XY X5X5[ G+&*)3+/)& XX X5X5^ 6<$,)*3:$2'2/)&7-&$)2,&+3'$)&,)+23)//*)4=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/5X\ X5X5a /)&7)3,), X^ X5X5W /)&) Xa X5X5_ L+.$7+%,-&)&-/('&%2'2/$/& XW X5X5` I)32'2/-/-&')2,)&'2/ X` A 54.3./)#)*$)%'*2)++% %AJ A9; \5Z5Z D9)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-) \Y \5Z5X M-*.-2)2,)& \Z \5Z5\ L)*.)&+,8&)&.;,8&K-/&),8&( \Z \5Z5[ V&-48%$9-2$4+, \\ \5Z5^ G+&*)=)0-( \[ A9> \5X5Z D9)&2(+&*)K,&+$e) \a \5X5X G+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)& \` C L'/'%"+%()/"$)% %CC C9; H)..=#.+#=**2'+% %CC [5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& [[ [5Z5X F3-=+3-/4'778$'22$,&;3'2/ [a [5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$$,&;3'2/ ^Z G"

8 C9> [5X5Z B)$%&'()3$)+(D9)&2$-3KVNS ^X [5X5X 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ^\ [5X5\ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ^` [5X5[ B)$%&'()3$)+(Ln6S]Jk.)&, aY [5X5^ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, aX [5X5a 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) a^ M H).=2/'/% %FF M9; H)..=#.+#=**2'+% %FF ^5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& aa ^5Z5X F3-=+3'22$,&;3'2/ aW ^5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ a` ^5Z5[ P'778$'22$,&;3'2/ WZ M9> ^5X5Z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS W[ ^5X5X 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) _[ ^5X5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, _a ^5X5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) _` F L3.4=.N"*% %IA F9; H)..=#.+#=**2'+% %IA a5z5z ]87,,)*.)&+,8& `\ a5z5x F3-=+3'22$,&;3'2/ `[ a5z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ `W a5z5[ P'778$'22$,&;3'2/ `` F9> a5x5z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ZYY a5x5x 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ZZZ a5x5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, ZZZ a5x5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) ZZX G P Q3//)#'/=#23./)% %;;G I :)$2)++% %;>> :)$2)++%,%R%S#'$/'22.()/"$)*% %;>> :)$2)++%U%R%&/'/3./344% %;>> :)$2)++%L%R%B)./.)#/3834'/% %;>> :)$2)++%5%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%#)..=#.+#=**2'+% %;>> :)$2)++%%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%.3(=2)#3*+)#% %;>> % G""

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gxyzzh )& *)2/4)2 $-3)2)&/' $-* 0()&, ;&,&)77)& 9-&4)2.; -*3+/ [*'33'-2)&J?5L'3$+**)23'/2'2/)&()&4)2$;&3'/))2)&/'7-&=&8%.;-*3+/ ^YYJ?5P),,)'22)=1&)&+,()&4)2$)2)&/'=)0-(%+24)%%)$()4;8,2<,,)%82 Y>Z.&-*'33)+(4)2'22$,&;3,)$-3)2)&/')25 6-3$,&;3'2/)2)&89)(2,7-&4)3,/)-/&+7'$%$),,-/-*&;4)2)&824,)%(+,-&*-,,+& 3+24(+&')&)&'22$,&;3'2/)2.;)20-&'$-2,+373+,)*)33-*ZAc0d* X '$:&,'3 Y>aAc0d* X '2-&4.;;&$=+$'$gS3$),0O6%+&,()',Z``Xh5P)2/)-/&+7'$%) (+&'+$9-2)2''22$,&;3'2/)27-&)2-.,'*+3,('2%3),73+,))&'*'43)&,'4*<)*'24&)5 I)& )& &)$$8&$,'3/+2/)2 7-& $,-&) 4)3)& 0)3,.; 0:<4) *)4 &)$$8&$,'3/+2/)2'$-3)2)&/'3+24),L<$%3+24>$-*('$,'D'/8&ZKZ5D'/8&)2('$)& $-3'22$,&;3'2/.;)2-.,'*+3,('2%3),73+,)7-&83'%))8&-.)'$%)3+24>-/()&4')2) )&/',,$-*/9)22-*$2',,3'/'22$,&;3,)2)&/'.&54:/2gc0d* X h5 Z

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a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 $-**;3)&$-3'22$,&;3'2/)&3+(5V;=+%/&822+(4),,)('34),-7,)(1&)2:4()24'/ ;=)2<,,)*;3)4+,+7&+21&3'//)24)*;3)$,+$9-2)&>*-4)33)&,))33)&)$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+5 D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-)256)2,&+3)$.:&$*;3$-*$:%)$ =)$(+&,)&$-*7:3/)&o I('3%)'22$,&;3'2/$4+,+0+&*+2,'3/+2/,'37-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/ 0(+$')&4)-*&)$$8&$,'3/+2/)2p I(-&*<))2)&/')&4),&)+3'$,'$%;0)2,)8,*)4),$-37+2/)&+23)// '22)27-&4)=)/&)2$2'2/)&&)$$8&$,'3/+2/)2-/4),,'3/9)2/)3'/)+&)+3), $),,)&p I(-&4+2 )& $+*$(+&), *)33-* (+&*).&-48%$9-2 -/ (+&*)=)0-(> -/ 0(-&4+2 %+2 ), )()2,8)3, *'$7-&0-34 &)48$)&)$ ()4 09)3. +( )2)&/'3+/&'2/p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

12 ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#%% " 7-&0-34,'3 %+&,3)//'2/ +( &)$$8&$/&8223+/), 0+& B<&%9)4+3),5+35gXYZ\h 8,+&=)'4), )2 -()&$'%, -()&,'3/9)2/)3'/) *;3)4+,+ -/ )$,'*)&,) 4+,+ 7-& $-3'22$,&;3'2/ ' 4+/5 E&=)'4), /'& )2 -..$8**)&'2/ +( 0('3%) *)2$,),,0),)2+(*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3'22$,&;3'2/)&3+(g,-,+3,a_ *;3)$,+$9-2)&h )& +2,+33 *;3)$,+$9-2)& $-* *;3)& 4'778$ -/d)33)& 4'&)%,) '22$,&;3'2/)%$,&)*,3+(g,-,+3,\*;3)$,+$9-2)&h5 "*+2/)3+(,'3/+2/,'3/-4)3-%+3)4+,+=)2<,,)$-7,))$,'*)&,)'22$,&;3'2/$4+,+ =+$)&,.; 83'%) '2,)&.-3)&'2/$,)%2'%%)&5 F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh 0+& =)&)/2), *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/ 7-& XZW *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)&.; =+%/&822 +( )2 -=$)&()&, )*.'&'$% $+**)20)2/ *)33-* /3-=+3'22$,&;3'2/-/$+*3),$%<4)%%)7-&^8,(+3/,)*;3)$,+$9-2)&5V;=+%/&822 +( 4),,) 0+& 4).&)$)2,)&, %+&, *)4 *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/>0(-&'$-3'29)&&).&)$)2,)&)&3'%,'22$,&;3'2/$2'(;5P+,+=+$)&$-* )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+.; *;2)4$=+$'$5 I+/)2gXYZZh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gXYZ\h0+&/9-&,)2(8&4)&'2/+(&)$$8&$/&8223+/),7-&$'*83)&'2/+( =&8% +( $-3Q)33)& ()4 ), /;&4$=&8% ' N<//) %-**82)5 I)& =)0+243)$ '22$,&;3'2/$4+,+7&+,&)*),)-&-3-/'$%)*;3)$,+$9-2)&')2&+4'8$.;\^%*&824, /;&4$=&8%),> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ 7'&) 4+,+=+$)&5 6,:&4+3 %-2%384)&)&*)4+,4),)&=),<4)3'/8$'%%)&0),%2<,,),,'3$-3'22$,&;3'2/)27-& 4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/+,$'*83)&'2/$&)$83,+,)2))&$)2$','()7-&4)22) 8$'%%)&0),)25 E+$)gXYZ\h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

13 "7-&0-34,'34'778$$,&;3'2/0+&F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh0)2,),8,()&4')& 7-&4'778$$,&;3'2/7-&B)&/)2-/#$7-&.)&'-4)2Z`aWbZ`W[-/=)&)/2), *;2)43'/)*'44)3()&4')&7-&4'778$$,&;3'2/7-&.)&'-4)2>7-&=)//)3-%+3',),)&5C, 7&+4),,)%+2*+27'22)),;&$*'44)37-&4'778$+24)3.;#$.;Q+5^^f>-/), ;&$*'44)37-&4'778$+24)37-&B)&/)2.;Q+5a^f5S3$),0OI)//gZ`_Xh0+&-/$; $),,.;4'778$$,&;3'2/7-&4)$+**)3-%+3',),)2)-/=3+2,+22),8,('%3),)2 )*.'&'$% *-4)33 7-& $+**)20)2/)2 *)33-* +24)3 4'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.; *;2)4$=+$'$ 7-& #$5 G'4)&) 0+& 6%+&,()',OS3$),0gZ`_Wh 8,('%3),)2*)&/)2)&)33)*.'&'$%*-4)337-&$+**)20)2/)2*)33-*+24)34'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.;,'*)$=+$'$> $-* $)2)&) =3) ('4)&)8,('%3), +( 6%+&,()',),5+3gZ``_h5P)22)*-4)33)28,/9:&),+3,)&2+,'(,'3,'43'/)&)8,('%3)4) *-4)33)&+(J&=$),+35gZ`_Xh>S&/'33OI-33+24$gZ`WWh-/N)'243),+35gZ``Yh> -/'*-,$),2'2/,'3,'43'/)&)*-4)33)&,'3$')&4)22)+,*+27-&0:<)()&4')&+( 4+,+=+$) *)4 -()&$'%, -()& +33) $,-&$%+3+ $-3(+&*)K -/ $-3%9:3'2/$+23)// ' J8&-.+*)4*)&)22^YY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 Z 5P)22)'22)0-34)&=3+2, +22),'27-&*+$9-2-*$,:&&)3$).;+%,'(,$-37+2/)&+&)+3>3+/&'2/$7-&*>.3+$$)&'2/ -/0(-&('4,$-37+2/)&+23)//),%9:&)$'%-*='2+$9-2*)4='-%9)3)&)33)&'%%)5 P+3)2=RQ%0+&-/$;='4&+,,,'38,('%3'2/)2+()24+,+=+$)*)4-()&$'%,-()&+33) $,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+*)4*)&)22ZYYY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 G'4)&) 0+& 4) 7&)*$,) )%$.)&,)2) '22)27-& 7+/7)3,), ' J8&-.+ ='4&+,, ' 8,+&=)'4'2/)2+($;%+3,)+,#$-./)&-/0&1*$&/%223/.*#/%*)$-*,+&7-&$)/)23+2/ &)%%),)%2'$%)-/'%%)K,)%2'$%)+$.)%,)&%2<,,),,'3$,-&$%+3+=&8%+($-37+2/)&) L&')&XYZX+h5 D-&4'4),0)&(8&4)&)$$-*7-&287,'/;,+8,/+2/$.82%,'4)*)$,=&8%,) 3:$2'2/)2)','3$(+&)24)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+>)&&+..-&,)&$-* -..$8**)&)&)&7+&'2/)&7&+)%$'$,)&)24)+23)//$1&3'/'2,)&)$$+2,)5N+..-&,)2 +,#45-6*/ *)9)&*6gP+3)2=RQ%),+35XYZ\h/'&)2)(+38)&'2/+()23+2/ &)%%)$()2$%)+23)//$-*=3)-..7:&,'.)&'-4)2XYYYbXYZY56'4)2*+2/)+( 4) $()2$%) +23)//)2) 3'//)&.; $+**) =&)44)/&+4 $-* %+2 &)$83,+,)2) +( 4)22) )(+38)&'2/)2 (1&) &)3)(+2,) -/$; 7-& 2-&$%) +23)//5 N+..-&,)2 +&,-):$#/2 ),# * g"$+%$$-2 ), +35 XYYXh,+& -/$; 7-& $)/ )&7+&'2/)&7&+$()2$%)+23)//>0(-&+(),,%+.',,)3=)0+243)&,)%2'$%)3:$2'2/)& 7-&'2,)/&)&'2/+($-37+2/)&)'79)&2(+&*)5N+..-&,)2+&,-*),#4$-6*$%#;26*. 1<8*.*:%/%2)2-$.*-gC3=9)&/XYY^h$+**)23'%2)&.;$'2$'4),-$-3(+&*)+23)// '2,)/&)&,'79)&2(+&*)'P+2*+&%5 Z E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 )&4)24)3)2+(=&8,,-$-37+2/)&+&)+3 $-*$.'33)&)2 +%,'(&-33)')2)&/'%-2()&,)&'2/)25P)&=&8,,-$-37+2/)&+&)+3*;3)$7&+<,,)&%+2,,'3<,,)&%+2,+($-37+2/)&)2$&+**)>'2%384)&)&+%,'(,$-37+2/)&+&)+3%82+&)+3), '22)27-& &+**)25 gl&')& XYZX+h G'4)&) ' -../+()2 &)7)&)&)& =)/&).), $-37+2/)&+&)+3%-2$)%()2,,'3+%,'(,$-37+2/)&+&)+35 ^

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a4'$%8,)&)&&)$83,+,)2)$-*.&)$)2,)&)$'%+.',,)3^5 M+.',,)3W-..$8**)&)&4)('%,'/$,)%-2%38$9-2)2)-//'&2-)27-&$3+/,'3('4)&) +&=)'4'22)27-&,)*+),5 a

15 > B)"#3% >9; H)..=#.+#=**2'+% P),,)+($2',,),=)0+243)&&)$$8&$/&8223+/),7-&$-3)2)&/'$<$,)*)&'7-&*+( 8,$,&;3,)77)%,7&+$-3)2-/'22$,&;3,)77)%,.;)2$%&;73+,)()4)2=)$,)*, A#/6$&*gE/8+4-OB8&,XYY`h-/"19)/0),7+,#$-=%*-29gT0)2XYZZh>*)4 *'24&)+24&)%'34)&)&.&)$'$)&,5 >9;9; L)83*3.N"*)#% `/./#K23*+./)//6)/%5g)2/o&+4'+2,)k',+2Q)h$(+&)&,'38,$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/ +&)+37-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K23*+./)//6)/Sg)2/o'&&+4'+2Q)h$(+&)&,'3'22$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/+&)+3 7-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K2/%)*)#+3%g)2/o$-3+&'2$-3+,'-2h%$(+&)&,'3'22$,&;3'2/$,),,0),)2'2,)/&)&, -()&)2,'4$.)&'-4)>*;3,'%c0d* X 56<*=-3),a=)2<,,)$7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5 4+/>$<*=-3),7%7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5,'*)5 >9;9> D-&;=)$%&'()'22$,&;3'2/)2()4)2=)$,)*,3-%+3',),%+24),(1&)2<,,'/; 4)7'2)&)2-)2$)2,&+3)('2%3)&',-83'%)%--&4'2+,$<$,)*5E33)('2%3)&+2/'$0)&' /&+4)&>'%%)&+4'+2)&5G'2%3)&&)3+,'(,,'30-&'$-2,+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKZ-/ ('2%3)&&)3+,'(,,'3)%(+,-&'+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKX5A)&'4'+2)2)&0+3($'&%)3)2 $:&.82%,),5 W

16 V%."26Y1$)% 9% I-&'$-2,+3.3+2),)&-&')2,)&,'7-&0-34,'3$)2',7-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>$3'%+, 0-&'$-2,+3.3+2),$,;&-&,-/-2+3,.;3'29)2$-*.)%)&*-,$)2',5P)$)2,&+3) ('2%3)2);*)&%)$)/0)&)&o og'2%)3)2*)33-*()&,'%+3)2-/$-3)2$.-$'$9-25% &"26Y1$)% o G'2%)3)2 *)33-* 0-&'$-2,)2$ $:&.82%, -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$ 0-&'$-2,)25 I)& =)2<,,)$ ()&4')2) "#$ "#$5% _

17 0)&)&o L)423*'.N"*%o G'2%)3)2 *)33-* )%(+,-& -/ $-3)2$.-$'$9-25% % G)&4')& ""# ""#5% G'2%)3)2 *)33-* *)&'4'+2)2 -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$)%(+,-&5G)&4')&"#$ "#$5% P)%3'2+$9-2)2)&/',,()4o "# gzh ""#"# "# "# 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g "#5 L'*)('2%)3)2)&/',,()4o "# "# " gxh 0(-&"#)& 3-%+3 $-3,'4 +2/',, $-* 4)$'*+3,+33> $3'% +, ()&4')2 Y>^,'3$(+&)& \Y*'28,,)&gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 ]-%+3 $-3,'4"#)& )2,'4$+2/'()3$) =+$)&,.; $-3)2$ -=$)&()&,) =)()/)3$) -()& 0'**)3)25V&54)7'2'$9-2%&<$$)&$-3)2*)&'4'+2)2%3-%%)2ZX3-%+3$-3,'45]-%+3 $-3,'4)&/',,()4o "# " "# g\h "# " ""# 0(-&")&2-&$%2-&*+3,'4+2/',,$-*4)$'*+3,+33>)&3)2/4)/&+4)2'/&+4)& :$,>" )& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 -/"#)& 4)2 $;%+3,) r)m8+,'-2-7,'*)r =)$%&)(), 2-&*+3,'4 )& 4)2 3-%+3),'4)2 8,)2 %-&&'/)&'2/7-&$-**)&,'4gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 6,+24+&4*)&'4'+2)27-&4)23-%+3),'4$$-2)2" )&3)2/4)/&+4)2$-*4)23-%+3,'4$$-2)2)&=+$)&,.;5P)22))&/',,()4o " "#"# " g[h 0(-&"# )&,'4$7-&$%9)33)2*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*)5 3'//)& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 ()4 "# gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[qh5 Jm8+,'-2-7,'*)"#)&)2)*.'&'$%3'%2'2//',,()4o "# "# g^h "# ""# " ""# " "# "# "# "# " "# "# `

18 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g"#gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 >9;9A &/#K23*+%8#'%."2)*% 6-3)2)*',,)&)&)2%-2,'28)&3'/$,&:*+()2)&/''7-&*+()3)%,&-*+/2),'$% $,&;3'2/5 C,$,&;3'2/$,),,0),)2 ()4 $-3)2$ -()&73+,) )&.; &824, a[acd* X 5 6,&;3'2/$)2)&/')2('3'%%)$()%%)$/9)22-*(+%88*>*)2)2)&/')2('3$.&)$ 8,-()&),$,+4'/$,:&&)+&)+35G)4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,('3'22$,&;3'2/$,),,0),)2 0+)2()&4'.;-*,&)2,o " "#$ G)&4')2 " =),)/2)$$-*$-3+&%-2$,+2,)2>-//9)34)&()4/9)22-*$2',,3'/$-3K 9-&4K+($,+2456'4)2$-3K9-&4K+($,+24)2'%%))&%-2$,+2,7;&*+2/9)22-*;&),)2 (+&'+$9-2''22$,&;3'2/$,),,0),)2()4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,.;±\>\f5 P)2)*',,)&,)$,&;3'2/)24)%%)&),=:3/)$.)%,)&7&+-*,&)2,Y>X^µ*,'3\>Yµ* -/ =),)/2)$ $-* %-&,=:3/), $,&;3'2/5 6.)%,&+37-&4)3'2/)2 ()4 +,*-$71&)2$ <,,)&%+2,)&('$,'D'/8&XK\5 )#%-'.)#/%EK%$'/'%6)*/)/%8#'%Z"#"$"%&"'()"&*$+%%>J;C]9% 6)3(-*'22$,&;3'2/)2)&7-&0-34$('$%-2$,+2,()4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,('34), (1&)$,-&)(+&'+$9-2)&''22$,&;3'2/()49-&4-()&73+,)25P),,)$%<34)$83'%) +,*-$71&'$%))77)%,)&5P'$$))77)%,)2)('3(+&')&)*)4$,&;3'2/)2$()'3)2/4) /9)22-*+,*-$71&)27-&83'%)=&)44)/&+4)&>;&$,'4)&-/,'4)&.;4+/)2>-/*)4 3-%+3)7+%,-&)&$-*78%,'220-34>$%<4)%%)>,),,0),+(+)&-$-3)&-/,-.-/&+7'5 ZY

19 >9;9C,/(".8b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l-2gS\h>(+224+*.gIXSh-/ %+&=-24'-%$'4gTSXh>-/4'$$)/+$$)2))&$(1&,$)3)%,'()'7-&0-34,'30('3%) =:3/)3)2/4)& 4) +=$-&=)&)&5 S\ $.'33)& )2 ('%,'/ &-33) ' +=$-&.$9-2 +( '22%-**)24)83,&+7'-3),,$,&;3'2/>*)2$IXS-/TSX)&$.)$')3,+%,'()'4)2 '27&+&:4)4)3)2+($,&;3'2/$$.)%,)&),5P)22)$)3)%,'(',),)2='4&+&,'3+,)2%)3,) 4)3)&+($,&;3'2/$$.)%,)&),$()%%)$*)&)22+24&)5 >9;9M I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/+(0)2/)&+(0(-&*<)+,*-$71&'$% *+$$)$,&;3'2/)2*;.+$$)&)>2-)$-*=)$%&'()$()409)3.+(=)/&).),E'&A+$$ gbch5e'&a+$$)&4)7'2)&,$-*3<$),$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&)2&)3+,'(,,'3 ZZ

20 D-&$)2',('2%3)& -..,'3Q+5WY /9)34)&7:3/)24)/)-*),&'$%)$+**)20)2/o % " gah "# 6)2',('2%)3)2 )&>$-*,'43'/)&)('$,>%-*.3)*)2,1&('2%)3)2,'3$-30:<4)2 5?-3+()&)$-30:<4)2)&>9-$,:&&)=3'&$)2',('2%)3)2-/9-*)&$()%%)$$,&;3'2/)25 F)2)&)3,$),,$()%%)$-/$;$,&;3'2/)2*)&.;)2%3+&4+/7-&3+()&)3'//)24))22 7-&0:<)&)3'//)24)3-%+3',),)&5P),,)$%<34)$+,$,&;3'2/)2$-*,&)77)&7-,)2+(), 0:<,79)33*;.+$$)&)/9)22-**)&+,*-$71&'$%*+$$))22$,&;3'2/)2$-*,&)77)&,-..)2+(79)33),5V;;&$=+$'$)&4),+2,<4),+,'22$,&;3'2/)2:%)&*)4Zf7-& 0()&ZYY0:<4)*),)&gF834=&+24$)2OL+2/)2Z`WWh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a5P),)& ZX

21 4)22)(+&'+$9-2)2'0)*'$71&)2)$-&')2,)&'2/'7-&0-34,'3$-3+$-*7-&;&$+%)& ;&$,'4$(+&'+$9-2)2''22$,&;3,)2)&/'5 "D'/8&XKa%+2*+2-/$;$)+,=&)44)/&+4)20+&=),<42'2/7-&(+&'+$9-2' 4+/','4)2&824,$-**)&$-3()&(g*'42+,,$$-3h-/X[,'*)&2+,,','4)2&824, ('2,)&$-3()&(g*:&%),'4h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

22 >*)4)2 +$'*8,('2%)37-&$-3-../+2/d$-32)4/+2/.;-*,&)2,±\W 5G)4$-**)&$-3()&( )&*+%$'*+3$-30:<4).;&824,^\>^ >*)4)2+$'*8,('2%)3.;-*,&)2,±Z[\ gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[=h5 I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/)&7-&0-34$('$)2%)3,;*-4)33)&)7-& )2/',,=&)44)/&+4-/,'4$.82%,.;4+/)25G)&4')2)7&+*-4)33)&'2/)2%+2$'2-) *+%$'*+3'22$,&;3,)2)&/'7-&)20-&'$-2,+373+,).;Q+5ZY%c0d* X.&54+/()4 $-**)&$-3()&(-/Q+5Y>Y^%c0d* X.&54+/()4('2,)&$-3()&(gI-2$=)&/O B-j4)2XYZ[+h5 >9;9G Q"4'2)%8'4/"#)#% ]-%+3) (+&'+$9-2)& ' +,*-$71&)2$ $+**)2$),2'2/ ('3 ='4&+,'3 +, 7+%,'$% '22$,&;3'2/)&3+()&))22*+%$'*+3'22$,&;3'2/5 6.)$')3,('3'220-34),+((+224+*.g387,78%,'/0),h-/(+224&;.)&g$%<)&>,;%)h' +,*-$71&)20+$,-&=),<42'2/5J2%)3,)$,)4)&('3(1&)*)&4'$.-2)&,7-&0:< 387,78%,'/0),>$%<4+22)3$)-/,;%)4+22)3$))22+24&)>+(0)2/'/+($,-&$,'3,)(1&K -/%3'*+7-&0-34>+($,+24,'30+()33)&(+22-/,-.-/&+7'5P),('3-/$;(1&)$,-&) (+&'+$9-2)&''220-34),+((+224+*.-/(+224&;.)&'+,*-$71&)2/9)22-*;&),5 J2+22)2('%,'/7+%,-&)&4)23-%+3)%-2$)2,&+$9-2)2+(+)&-$-3)&'+,*-$71&)25 E)&-$-3)&)&7)33)$=),)/2)3$)2.;$*;.+&,'%3)&)33)&4&;.)&'+,*-$71&)25P'$$) %+24+22)$()42+,8&3'/).&-$)$$)&$-*-..('&(3'2/+($,:()33)&(83%+28,=&844> )33)&4)%+2(1&)*)22)$%)$%+.,)'7-&*+(7-&8&)2$'2/5E)&-$-3)&%+2='4&+,'3 &)48$)&,'22$,&;3'2/.;,-*;,)&>)2,)2()4+,$,&;3'2/)2&)73)%,)&)$'$)3() +)&-$-3)2)33)&+,+)&-$-3)2782/)&)&$-*%-24)2$%9)&2)-/.;4)2*;,)2='4&+&,'3$%<4+22)3$)5 Z[

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gXYZ\h)&4),.&5'4+/a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 ;&,'3=+%)','45M82\+(*;3)$,+$9-2)2)0+&8,$,<&7-&;%822)*;3)4'&)%,) -/d)33)& 4'778$) $,&;3'2/$%-*.-2)2,)&> *'39:K -/ ='-(',)2$%+.)3'/) 82'()&$',), C2'()&$',),), ' B)&/)2 gc'bh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

24 D-&)2$%&;73+,)'0-&'$-2,+3.3+2),/9)34)&7:3/)24)('2%3)&o D#3)*/)#3*+%o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o "#$%" 0(-& "#$%" )&/3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd* X h-/ )&,)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),.;)20-&'$-2,+373+,)()4)2/',,3-%+3',),8,)2 +,*-$71&)gcd* X h5 L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0), %+2=)&)/2)$()47:3/)24)$+**)20)2/o " """# "# "# "#"#"#"#"# g_h gwh Za

25 0(-&" )&$-3+&%-2$,+2,)2>+2/'&4+/)2$28**)&';&),>)&=&)44)/&+4)2> )&4)%3'2+$9-2$('2%)3)2>-/)&,'*)('2%)3)25P)%3'2+$9-2$('2%)3-/,'*)('2%)3 =)&)/2)$'0)20-34,'33'%2'2/gZhbg^h5 D-&;=)&)/2)+24)3)24'778$$,&;3'2/%+2*+28,2<,,)+,)*.'&'$%)4+,+('$)&)2 =)$,)*, %-&&)3+$9-2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/> $-* ('$, ' D'/8& XK`5 P)22) *),-4)2 %+2 =)2<,,)$ 7-& *;3)4+,+.;,'*)K> 4:/2K )33)& *;2)4$=+$'$5A),-4)2/'&'%%)2:4()24'/('$$+*$(+&*)33-**;3,)-/)$,'*)&,) ()&4')& 7-& 4'778$ $,&;3'2/,'*) 7-&,'*)> *)2 7-&()2,)$ ; /' ), /-4, +2$3+/ -()& *+2/),'*)&5 " D'/8& XK` )& 4),,<4)3'/ +, 9- *)& $%<)& 4), )&> 9-0:<)&) ('3 +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/ (1&)> *)2 +, $)3(.; )2 0)3, %3+& 4+/ )& +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/7-&0-34$('$0:<5 3+=#% >WIX% O"##)2'.N"*)*% ()22"(% '*$)2% $388=.%./#K23*+% "+% 42'#6)/.3*$)4.% EK% /3()-'.3.% -'.)#/% EK% (K2)$'/'%8"#%=234)%2"4'23/)/)#9%% M-&&)3+$9-2)2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/ $-* )& +2/',, ' D'/8&XK`$(+&)&,'3J&=$),+35K%-&&)3+$9-2)2gJ&=$),+35Z`_Xh/',,()4o " "# "##$% g`h "#$%" "## "#$ "" ""# "" "# " "# " "# 0(-& "##$% )& 4'778$ '22$,&;3'2/$,),,0), gcd*xh> "#$%" )& /3-=+3 '22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd*Xh-/ )&%3+&0),$'24)%$)2.;,'*)=+$'$5 J&=$ ), +35K%-&&)3+$9-2)2 $+*$(+&)& /-4, *)4 +24&),'3$(+&)24) %-&&)3+$9-2)& $-* S&/'33 O I-33+24$K%-&&)3+$9-2)2 gs&/'33 O I-33+24$ Z`WWh -/ N)'243 ), +35K %-&&)3+$9-2)2 gn)'243 ), +35 Z``Y+h5 J2 +( 4) %9)2,) $(+%0),)2) ()4 J&=$ ), +35 %-&&)3+$9-2)2)&+,4)2)&=+$)&,.;7;*;3)()&4')&7-&%3+&0),$'24)%$ $,:&&) )22Y>_5J2+3,)&2+,'(*-4)338,('%3),+(6%+&,()',-/S3$),0g6%+&,()',OS3$),0 Z`_Wh,'3$')&+,*+27-&0:<)()&4')&+( $)&)2:%2'2/'4'778$+24)30)33)&)22 )28,73+,'2/5 ZW

26 ,"$"-%.%-'+/'0.$"1*"'2-'0.##34"'128)2%"%*"$')7'2$."%*"$*9'41$7'#5+*"' 6;$2+&,*+2%9)22)&$,:&&)3$)2.;4)24'&)%,)-/4)24'778$)%-*.-2)2,)2.; )20-&'$-2,+373+,))&4),*83'/;=)&)/2)4)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2).;)2 -&')2,)&,>$%&;73+,)5"22$,&;3'2/$,),,0),)2 "#.;)2-&')2,)&,>$%&;73+,)%+2 *-4)33)&)$$-*;=)$,;+(7:3/)24)%-*.-2)2,)&o "# "#$%&$ "##$% "# gzyh 0(-& "#$%&$ )& 4)2 4'&)%,) %-*.-2)2,)2 gcd* X h> "##$% )& 4)2 4'778$) %-*.-2)2,)2gcd* X h-/ "# )&&)73)%,)&,$,&;3'2/7&++24&)73+,)&'22)27-&4)2 $%&;73+,)2$$<2$7)3,gcd* X h5p)24'778$)$,&;3'2/)2%+2('4)&)*-4)33)&)$$-*; =)$,;+(<,,)&3'/)&),&)%-*.-2)2,)&o "##$% "# " gzzh 0(-& "# )&4)2'$-,&-.)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*)&3'%7&++33)&),2'2/)& gcd* X h> " )&4)2$'&%8*$-3+&)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*%-**)&7&+-*&;4), &824,$-3)2$-=$)&()&,).-$'$9-2gcd* X h-/ )&4)24'778$)%-*.-2)2,)27&+ -*&;4),&824,0-&'$-2,)2gcd* X h>$-*('$,'d'/8&xkzy5 3+=#%>W;JX%L388=.)%./#K23*+.4"(E"*)*/)#9%L)*%3."/#"E)%$388=.)%3**./#K23*+)*% "# )#%234%8#'%'22)% #)/*3*+)#V%$)*%.3#4=(."2'#)%$388=.)%3**./#K23*+)*% " E".3.N"*%"+%3%/322)++%4"(()#%*")%$388=.%3**./#K23*+% " 8#'%"(#K$)/%#=*$/%6"#3."*/)*9% B)&)/2'2/+($,:&&)3$)2,'34)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2)%+2/9:&)$()409)3.+( *+,)*+,'$%)$,&;3'2/$*-4)33)&7-&+,*-$71&)2g)2/o$%<*-4)3$h5P),)&8,('%3), )2&)%%)83'%)$,&;3'2/$*-4)33)&/9)22-*,'4)2>$-*'$-,&-.4'778$K*-4)33)2 g]'8o?-&4+2z`a\h>ipmnk*-4)33)2gn)'243),+35z``y=h-/v)&)l),+35k *-4)33)2 gv)&)l ), +35 Z``Yh5 P'$$) *-4)33)2) $%'33)& $)/ 7&+ 0()&+24&) 0-()4$+%)3'/'0(-&4+24)=)0+243)&4'778$$,&;3'2/>$+*,&)73)%,)&,$,&;3'2/7&+ -*/'()3$)2)5B)&)/2'2/+(4)24'&)%,)%-*.-2)2,)2.;)2$%&;73+,))&*)& 8.&-=3)*+,'$%-/%-%)&2)4,'3),&)2,/)-*),&'$%.&-=3)*5 Z_

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d)33)& (+22=+$)&,&-*-..(+&*'2/5N),8&(+22),/;&4)&),,)&,'3=+%),'3(+&*)$)2,&+3)2 0(-& 4), (+&*)$ -...; 2<,, gn-$(-34 XYZ\h5 D-& *'24&) +23)// -()& ), =)/&)2$),/)-/&+7'$%-*&;4)=)2<,,)$+(-/,'3=)/&).),21&(+&*)gN-$(-34 XYZYh5P),+%,8)33)+23)//),()4F+&4)&*-)2)&'*'43)&,'4+()2$3'%$,:&&)3$)+, 4),)&2+,8&3'/;=),)/2)4),,)$-*),79)&2(+&*)+23)//5 >9>9> B&8%+($-37+2/)&),'3-..(+&*'2/+((+22)&)2/+**)3,)%2-3-/'-/*'24&) $-37+2/)&),'3=&8%'=-3'/08$0+&(1&,'*+$$).&-48%$9-2$'4)2Z`aYK,+33),563'%) )&'4+/'=&8%'+33)4)3)&+(()&4)2gV0'3'=)&,XYZZh56,-&$%+3+=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*))&+(2-)2<)&)4+,->*)24)+33)&7:&$,)+23)//)2)=3) ),+=3)&, ' 6()&'/) -/ H$,)&&'%) +33)&)4).; $38,,)2 +( Z`WYK,+33),5 6()&'/) ),+=3)&,) <,,)&3'/)&) _ +23)// ' 3:.), _YK,+33), -/ (+& *)4 4), 3)4)24) ' 8,('%3'2/)2.;4)2,'4)25A+2/)+(4))34$,)+23)//)2))&'4+/+(('%3),>-/4), )34$,)+23)//),$-*7-&,$+,,)&'4&'7,)&7&+Z`_^g"#$%&'$&$($)*XYZ[h5 V&58,/+2/)2+(XYZ\)&ZY^$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'4&'7,'J8&-.+5P),,),+33),'2%384)&)&%82+23)//*)4*'2'*8*ZYYY* X $-37+2/)&+&)+35P)73)$,)+( +23)//)2))&$+,,-..7-&;3)()&)$-3(+&*),'321&K-/79)&2(+&*)+23)//>*)2 2-)27;)&$+,,-..7-&+24&)7-&*;3g)5/5(+&*)-/%9:3'2/''248$,&'.&-$)$$)&h5 N824,0+3(.+&,)2+(+23)//)2))&-..7:&,4)$'$,)_;&)2)>-/4),)&$1&3'/ P+2*+&%$-*2;3)4)&+2'-..7:&'2/)2+($,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//5I)3) [Y+23)//)&3-%+3'$)&,'P+2*+&%>*)2$6()&'/)>L<$%3+24-/H$,)&&'%)0+& +23)//),$+,,'4&'7,'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*gB'34)XKZh5 P),,)+23)//),0+&),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$`5 $,:&$,)+23)//5P),$,:&$,)+23)//),0+&,'3$+**)23'%2'2/),$-37+2/)&+&)+3.; \\YYY* X> -/0+&(1&,'4&'7,$'4)2Z``a'&)/'+(A+&$,+3D9)&2(+&*)'P+2*+&% g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 Z`

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g>*01%,#,29 D,$.6$E XYZXh5 G'4)&) ' 4)22) *+$,)&-../+()2 =)0+243)$ %82,)&*'$%) $-3)2)&/'+23)// *)4 '%%)K %-2$)2,&)&)24),)%2-3-/' 4+ 4),,) )& *)$, (+23'/ '22)2 79)&2(+&*) g"#$%& '$&$($)*XYZ[h5 >9>9A &)*/#'23.)#/)%"+%$).)*/#'23.)#/)%.1./)(% P), 7'22)$ ' 0-()4$+%,- 83'%) 3:$2'2/)& 7-& '2,)/&)&'2/ +( $-3(+&*) ' 79)&2(+&*)2),,),>$-*/'&-..0+(,'3)2,)2),$)2,&+3'$)&,)33)&),4)$)2,&+3'$)&, $<$,)*56%'33),+(0)2/)&+(0(-&('4,)2)&/')2*+,)$'22('+(+&*)$)2,&+3)2)33)& 4'&)%,)'22'4'$,&'=8$9-2$2),,),5"4)+33)&73)$,)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//=&8%, '79)&2(+&*))&$-3(+&*)2'2,)/&)&,'$)2,&+3'$)&,)$<$,)*>0(-&)2)&/')2*+,)$ '22('+(+&*)$)2,&+3)2$-*('$,'D'/8&XKZZgP+3)2=RQ%XYZ\+h5 XY

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i næ r t s am e i e rm ø t e i S am b o b o l i g s a m ei e fi n n e r s t e d t o r s d ag 3 0. 0 4. 2 0 0 9 K l. 1 8. 3 0

Detaljer

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t W al d em a rs H a g e, a v h o l d e s t o rs d a g 1 8. j u n i 2 0 0 9, k l.

Detaljer

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( <

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( < ! # %! & (% ) % & +, %. / 0 1 2 3 + 3% 4 & 0 5 & #5 0 5 6 5.. 0 7 & / / 5!!87/ (92) 9:., 588 (;

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e

Detaljer

Europa-Universität Viadrina

Europa-Universität Viadrina !"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %

Detaljer

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o r s a m l i n g i, a v h o l d e s m a n d a g 3. m ai 2 0 1 0, k l. 1 8 0 0 p å T r e

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt!

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt! m k pd d Røf g F d fv! Rkg k g Dw Tw h uvg! Md fbhd m ykkf. 1200 g p-p 400 b uv g g dg g w w w.d w w. d d 249.- 249,- 649,- K md h m Bm b Tm Fc Wd 999,Ny vå y k! Ck fw N pkk d V 499,- p um 1099,- våk Wd

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag til regneøving 6. a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende uttrykk [1] Fjerner 0 uttrykk, og får: [4]

Løsningsforslag til regneøving 6. a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende uttrykk [1] Fjerner 0 uttrykk, og får: [4] Løsningsforslag til regneøving 6 TFE4 Digitalteknikk med kretsteknikk Løsningsforslag til regneøving 6 vårsemester 28 Utlevert: tirsdag 29. april 28 Oppgave : a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s a m l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n

Detaljer

!"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.

!#$%&'()*+*!,-*.*#/01()*1/(0*23#&4&.0*4)* 2/05(43.&/%)*%*3%643&)*)#&%.&2&'(*7#0&. !"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.!"#$%&'"()%*+",-(%. /* 0"(#"*1"#23%)) /* 4,5$))%*6")"$.% 7 8/9*:;$#%;?@)%*4)A%.B*:+6*C*0DED0F!B*6&GHIJI*>#%;?@)%

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 K e y s e r l ø k k a Ø s t B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d

Detaljer

! " # $ #!!" #$ %&#"'

!  # $ #!! #$ %&#' !"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D e t t e e r i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n er a l f o r s a m l i n g. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s m e l d i n g o g r e g n s k a

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s b e r e t n i

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Tirsdag 5 desember 205 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5

(+ /$0 &&& 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5 !"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2

Detaljer

Løsninger til forkursstartoppgaver

Løsninger til forkursstartoppgaver Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent

Detaljer

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 Oppgave 1 a Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. Her får en da for vannet E t = (m vc pv T v

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

4 kombinatorisk logikk, løsning

4 kombinatorisk logikk, løsning 4 kombinatorisk logikk, løsning 1) Legg sammen følgende binærtall uten å konvertere til desimaltall: a. 1101 + 1001 = 10110 b. 0011 + 1111 = 10010 c. 11010101 + 001011 = 11100000 d. 1110100 + 0001011 =

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

R2 - Vektorer Løsningsskisser

R2 - Vektorer Løsningsskisser K.. -.5 I R2 - Vektorer 25.09.09 Løsningsskisser Gitt vektorene u,2,3 og v 2, 3,5. Regn ut: a) u v b) u v c) u v d) 5u 2v e) v f) Vinkelen mellom u og v Oppgave I: Krever lavt kompetansenivå: Grunnleggende

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44 Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2 Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i L i s a K r i s t o f f e r s e n s P l a s s S E, a v h o l d e s o ns d a g 9. m a r s

Detaljer

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Advarsel: Arbeidet med denne fasiten har gått fortere enn det burde, og feilprosenten er nok litt høyere enn vanlig. Finner du feil eller lurer på om noe

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i S / E S o r g e n f r i g a t e n 3 4, a v h o l d e s o ns d a g 1 0. m a rs 2 0 1 0 k l. 1 8. 0 0 i K l u b b r o m m

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am B o B o l i g s am e i e, a v h o l d es o ns d a g 2 8. 04. 2 0 1 0, k l. 1 8. 3 0 i G r ef s e n m e n i g h e t s s

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: onsdag 24 november 2010 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

"Kapittel 5 i et nøtteskall"

Kapittel 5 i et nøtteskall Ulve "Kapittel 5 i et øtteskall" (Vesjo 9.01.0 ) Jeg gå he i gjeom alle tekikke/fomle som e elevate i dette kapitlet ved å buke et eksempel side 198 som utgagspukt fo alle tekikkee. Ovesikt ove fomle og

Detaljer

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved

Detaljer

Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr

Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr Kollonne i Ark 1-Avtale private ytelsesbaserte ordninger pr. 20.01.2012 flyttefil A Avgivende selskap: tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnr. tall D Organisasjonsnr. tall E Beregningsdato dd.mm.åååå

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 1 S a m e i e t G o t a a s g å r d e n I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t G o t a a s g å r d e n, a v h o l d e

Detaljer

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK RAPPORTNUMMER loo.m.03 TWOJENGELIGNET Be'renset 7034 TRONDHEIM NTH (07)59 49 25 RAPPORTENS TITTEL

Detaljer

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved

Detaljer

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK Avlsforsking og avlsarbeid Bjarne Gjerde AKVAFORSK Aftenposten 23. desember 2002 Avlsmål Disposisjon Arveleg variasjon i viktige produksjonseigenskapar - kysttorsk kontra skrei - mellom familiar og enkeltfisk

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete

Detaljer

Teknisk- økonomiske løsninger for aggregatorrollen i et marked med Smart Grid

Teknisk- økonomiske løsninger for aggregatorrollen i et marked med Smart Grid Teknisk- økonomiske løsninger for aggregatorrollen i et marked med Smart Grid Victoria Fearnley Landmark Victoria Lervik Industriell økonomi og teknologiledelse Innlevert: Juni 2012 Hovedveileder: Asgeir

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL TIMESTILBUD T Ny kk T S E F S G N I ÅPN 3- TILBUD S p på kn k F p jø k F h Tknn v k T f v D ønn å væ T Fkjøp Fk nv åpnnf A k fø k på åpnnn, knnn v f v * Un nn v Tknnn jnnfø c k V V V - 36 STIHL MS 8 6555-

Detaljer

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Kundenotat lønn 01/2014 Dato: 02.01.2014 Referanse: bkro Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Generelt - Arkivering Vi arkiverer en gang i året, i februar. Vi begynte med arkivering i systemet

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Gjennomgang av NRF

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l år e t s g e n e r a l f o rs am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i n

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Følgende opplysninger

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o rs am l i n g i, a v h o l d es o ns d a g 2 8. a p r i l 2 0 1 0, k l. 1 8. 0 0 i 1. e

Detaljer

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo DEN NORSKE KIRKE K få O Kv Kv bp v vh K få O O, 26. vb 2010 P: Pb 2674 S.Hh 0131 O Bø: Ab 32 Tf: 23 62 90 00 E-P: p.f@.. Wb: www... B : 8380.08.67374 O.: 976 987 608 Ih Kv bp v vh... 1 K få O... 1 1 S

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i J o h a n n es B r u n s g at e 1 2 C S am e i e, a v h o l d e s T i r s d a g 2 3. m a r s 2 0 1 0, k l. 1 9 : 0 0 i l ok

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e P r in s ipp s ø k n a d R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e O pp d ra g s n r : 2 0 1 50 50 O pp d ra g s n a v n : Sa n d s ta d g å r d

Detaljer

JULETENTAMEN 2016, FASIT.

JULETENTAMEN 2016, FASIT. JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:

Detaljer

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Dagens temaer Time 4: z-transformasjonen Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper Ifi/UiO September 2009 H(z); systemfunksjonen og

Detaljer

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser R1-09.01.1 Oppgave I - Vektorregning a) Vektorene a og b er gitt ved at: a 3, b, a, b 45 Vi lager to nye vektorer u a b og v a b. i) Finn u v u v a b a b a a b a a b b b ii) Finn u og v a a 3a b b b 3

Detaljer

Versjon: 1.0 HELSE MØRE OG ROMSDAL. Risikovurdering av. reduksjoner i aktivitet ved Mork Rehab.senter. Anbefalt: Dato: Godkjent: Dato:

Versjon: 1.0 HELSE MØRE OG ROMSDAL. Risikovurdering av. reduksjoner i aktivitet ved Mork Rehab.senter. Anbefalt: Dato: Godkjent: Dato: Versjn: 1. HELSE MRE G RMSDAL Risikvurdering av reduksjner i aktivitet ved Mrk Rehab.senter Anbefalt: Dat: Gdkjent: Dat: H ELSE MRE G RMSDAL INNHLDSFRTEGNELSE: Bakgrunn fr risikvurderingen...3 mfang...

Detaljer

!"#$"%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+

!#$%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 +/4,'7 8 +/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+ !"#$"%%& ' (%&"%%#)*$& ' ' +,-./0/1+2/ '!"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 :%;$"% 8 ' ( /94 6 ( ) * (( ( '$$ (+ 8 /0+ /1 6? :%&(%$"% 6@?'??6?8 &=A1>/014

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T 1 L o m m e d a l s t u n e t S a m e i e I n n k a l l i r t s n a m g e i e r m ø t i e 2 0 l 1 1 o r d i n æ O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i L om m e d al s t u n et S am e i e, a v h o l d e s

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13]

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13] RAPPORT [2012/13] Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: E39 Søgne - Ålgård "#$%'()(*+,-.. "#$%'(%)*#+', -%../0$(122+034536578"#$%'(%)*#+ -%../0$$"$$+) 9:%)"$+$##";0"(

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV "'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE.

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV 'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE. Fag: nnskf maskin intraksjn Fagnr: LV "'i3a Faglig vildr: Annari Trvatn Grupp(r): 3AA 3AB 3A3AD3A Dat: 200401 ks amnstid fra til: 900 1200 ksamnsppgavn bstår av Antall sidr: inkl frsid 9 Antall ppgavr:

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/32 Dagens temaer Fra forrige gang Kausalitet, stabilitet og inverse systemer

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) February 19, 2010 Oppgave 3.6.1 Vi ser på ligningen Vi fullfører kvadratene: 4x 2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0. 4(x 2 + 8x

Detaljer

apple К apple fl 0 0

apple К apple fl 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DE EKNISK - NAURVIENSKAPEIGE FAKUE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i EE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Fredag 3 mars 207 engde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN 4 K O 4 & * V HO *B, O C O, >> UKK O 7 V O BU! OW K 9 H H O >> O HOW HK /O) (V H 4 0 K O U B HJ BK V 45, 49, KJBO + K U COOU O BO BOY O V BCO OOW OÆ V C O O CHBU OY HUQV YK VC 695, KÆ J H V BY V V YK K

Detaljer

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24 SAMMENDRAG...5 1 INNLEDNING...10 1.1 BAKGRUNN FOR PROSJEKTET...10 1.2 SAMHANDLINGSREFORMEN...10 1.3 REGIONALT SAMARBEID...12 1.4 MÅL FOR PROSJEKTET...16 1.5 PROSJEKTGJENNOMFØRING...17 1.6 BEGREPSAVKLARINGER...22

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 1 V a l d r e s g t 1 6 S / E I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i V a l d r es g t 1 6 S / E, a v h o l d e s o n s d a g 2 7. a

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/29 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -

! #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-! (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % - !" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr"/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f y@b@re K@&&M@@,6"/*/ * h / u @- 3, p 9R y@&w&&nykape?f \ O R D R E I S AK O \ \ 1 U \ E \OTEBOK PROTOKOLL FRAMTE: q4+p 5' ' 9 ' 9? ' M O T E D A T O :d m? ' M O T E S T E D F R A K L : q 9 0, 0 T L K L

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2012 2/30 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole P f æ ø ø T V Eh P f I. E ø ø f æ T: L Iø L f: f I. - Å - Tø E K K ø T h K ø ø f ø L Ú K - ø ø F ø ø K p ø - - - ø L L K P A T ø ø h ø àêæú µ ø ø L P ø ø -V ø ø L L f fø é K pp. h f pp () -. p f - Ah.

Detaljer