Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen"

Transkript

1 Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen The Possibility of Integrating Solar Collectors in Hafslund's District Heating System at Gardermoen Reidun Marie Romundstad

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

3 &'(()*$#'+% D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'I+7$3824$79)&2(+&*)+23)//.;F+&4)&*-)25P),0+&(1&,)2%&+7,'/ 7:&$,)+23)//+(4)22),<.)2'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*5 P),,)+23)//),0+&),$+*3),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$ `5$,:&$,)+23)//5 J,7:&$,)$,)/7-&;(8&4)&)*83'/0),)27-&-..7:&'2/+(),,'3$(+&)24)+23)//.; F+&4)&*-)2 )& ; '220)2,) '27-&*+$9-2 -* 7-&()2,), &)$$8&$,'3/+2/5 P)2 *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)2.; F+&4)&*-)2 *;3)& '*'43)&,'4 '%%) $-3'22$,&;3'2/5 C24)&$:%)3$)& +( '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)& ' )2 &+4'8$.; ay%* &824, F+&4)*-)2> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+7&+83'%)4+,+=+$)&>('$)&+,/3-=+3'22$,&;3'2/.;F+&4)&*-)2 %+2 7-&()2,)$ ; (1&) ' -*&;4), _^Yb`[Y %c0d* X.&5 ;&5 P)2 4'778$) '22$,&;3'2/)2%+27-&()2,)$;(1&)'-*&;4),[XYb[_Y%c0d* X.&5;& L'3/9)2/)3'/)+&)+3)&'-*&;4),()4-/&824,(+&*)$)2,&+3)2.;F+&4)&*-)2)& 2-)=)/&)2$),>-/4)+&)+3)2)$-*(8&4)&)$=&8%,)&4)3)&+()279)&2(+&*)K,&+$e$+*,(+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)&56+*3),,'3/9)2/)3'/+&)+3)&*)44),.;Q+5 ZZ4++>-/=)&)/2'2/)&('$)&+,4),,)/'&&-*7-&),+23)//.;*)33-*X>W4++-/ [>Z4+++%,'(,$-37+2/)&+&)+356'*83)&'2/)&+($-3(+&*).&-48%$9-2/',,)2/3-=+3 '22$,&;3'2/.;_`Y%c0d* X.&5;&>('$)&+,*+2%+27-&()2,);0)2,)8,*)33-* Y>_WFc0-/Z>XFc0.&5;&*)4),+23)//+(4)22)$,:&&)3$)25P),,)$(+&)&,'3 )2*+%$'*+34)%2'2/$/&+4+((+&*)=)0-(),'982'-/983'.;0)20-34$('$X\f -/X[f5A+%$'*+34)%2'2/$/&+47-&$-**)&0+3(;&),$-*0)30),g+.&'3b $).,)*=)&h)&.;`f5 D-&4' (+&*)=)0-(), (+23'/('$ )& $,:&$,,'43'/.; *-&/)2)2> *)2$ $-3(+&*).&-48%$9-2)2)&$,:&$,*'4,.;4+/)2>('34),)2%)3,)4+/)&0(-& (+&*)=)0-(), )& $.)$')3, 3+(,> (1&) ), *'$7-&0-34 *)33-* (+&*)=)0-( -/ $-3(+&*).&-48%$9-25A)4-..7:&'2/+()2=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/7-&()2,)$ 4),,)*'$7-&0-34),;%822)&)48$)&)$>-/$-*),7:&$,)+2$3+/7-&$,:&&)3$) 7-&)$3;$)2=877)&,+2%.;*)33-*Za_* \ -/X`[* \ 5 % % ""

4 ,-./#'0/% L0).8&.-$) -7,0'$ $,84< '$,- +$$)$$,0).-$$'='3',< -7 '2,)/&+,'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$'2I+7$3824i$4'$,&'Q,0)+,'2/$<$,)*+,F+&4)&*-)25L0)&)0+$=))2+ $0+&.'2Q&)+$)'2,0)28*=)&-73+&/)K$Q+3)$-3+&0)+,'2/.3+2,$'2J8&-.)'2 J2)&/'.+&%-8,$'4)]'33)$,&:*5L0'$$-3+&0)+,'2/.3+2,0+$+,-,+3Q-33)Q,-&+&)+ -7ZX^_Z* X >*+%'2/',J8&-.)i$`,0 3+&/)$,.3+2,5 E7'&$,$,).,-+$$)$$,0).-$$'='3',<-7'2$,+33'2/+$'*'3+&.3+2,+,F+&4)&*-)2>'$,- Q-33)Q, '27-&*+,'-2 +=-8,,0) )k.)q,)4 $-3+& '2$-3+,'-25 I-j)()&>,0) *),)-&-3-/'Q+3 $,+,'-2 +, F+&4)&*-)2 4-)$ 2-, *)+$8&) $-3+& '&&+4'+2Q)5 "2()$,'/+,'-2-7$-3+&&+4'+,'-24+,+7&-**),)-&-3-/'Q+3$,+,'-2$'2+&+4'8$-7 ay%*+&-824f+&4)&*-)2>+$j)33+$)$,'*+,)44+,+7&-*4'77)&)2,4+,+=+$)$> $0-j,0+,,0)/3-=+3'2$-3+,'-2Q+2=))k.)Q,)4,-=)'2,0)&+2/)_^Yb`[Y %c0d* X d<)+&5l0)4'778$)'2$-3+,'-2q+2=))k.)q,)4,-=)'2,0)&+2/)[xyb [_Y%c0d* X d<)+&5 E(+'3+=3) +&)+$ 7-&.3+Q'2/ $-3+& Q-33)Q,-&$ +&-824,0) 0)+,'2/ Q)2,&+3 +, F+&4)&*-)2'$3'*',)45L0)+&)+$Q-2$'4)&)4+&).+&,$-7+.'.'2/.+,0j+<+24,0)&--7+&)+$-7,0)0)+,'2/Q)2,&+35L0),-,+3+(+'3+=3)+&)+'$+..&-k'*+,)3< ZZ4++> +24 Q+3Q83+,'-2$ $0-j,0+,,0'$ +33-j$ 7-& + 7+Q'3',<-7 =),j))2 X>W [>Z4+++.)&,8&)+&)+56'*83+,'-2$-7$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2.&-('4)4+ /3-=+3'2$-3+,'-2-7_`Y%c0d* X d<)+&>$0-j$,0+,-2)q+2)k.)q,+$-3+&,0)&*+3.&-48q,'-2-7=),j))2y>_wbz>xfc0d* X d<)+&>/'()2+7+q'3',<-7,0'$$'l)5l0'$ Q-&&)$.-24$,-+*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-2-7X\f+24X[f'2?82)+24?83< &)$.)Q,'()3<5L0)*+k'*8*$-3+&7&+Q,'-27-&,0)$8**)&gE.&'3b6).,)*=)&h'$ `f5 B)Q+8$)0)+,4)*+24'$8$8+33<.)+%'2/'2,0))+&3<*-&2'2/>j0'3)$-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2'$0'/0)$,+,2--2>+*'$*+,Q0=),j))20)+,4)* $-3+&,0)&*+3.&-48Q,'-2j'33-QQ8&+,Q)&,+'24+<$5E=877)&,+2%7-&$0-&,,)&* $,-&+/)'$)k.)q,)4,-&)48q),0'$4'$.+&',<>+24+$+7'&$,)$,'*+,)7-&,0)$'l)-7 +=877)&,+2%>+(-38*)-7=),j))2Za_* \ +24X`[* \ '$.&-.-$)45 % """

5 &1(-"223./)% &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% " E'&A+$$ K E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 * X B&8,,-$-37+2/)&+&)+3 * X L+.$7+%,-& cd* X dm L+.$7+%,-& cd* X dm X B&)44),+%73+,) * /)&=&)44) * G+&*)%+.+$',), %c0d* \ d T P<=4),+%73+,) * C,$,&;3'2/$,),,0), cd* X " Jm8+,'-2-7,'*) *'2 "22$,&;3'2/$,),,0), cd* X L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),8,)2+,*-$71&) cd* X " 6'&%8*$-3+&4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "##$% P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%&$ P'&)%,)'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "#$%" F3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0), cd* X P'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2,7&+-*&;4),&824,0-&'$-2,)2 cd* X "# "$-,&-.4'778$'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X "# N)73)%,)&,'22$,&;3'2/$%-*.-2)2, cd* X " 6-3+&%-2$,+2,)2 cd* X "# "22$,&;3'2/$,),,0),.;-&')2,)&,>$%&;73+,) cd* X "22$,&;3,)2)&/'.&54+/ %c0d* X /)&0:<4) * "22$,&;3,)2)&/'.&5,'*) %c0d* X M-&&)%$9-2$7+%,-&7-&'227+33$('2%)3 K L)*.)&+,8&+(0)2/'/+24)3 K M3+&0),$'24)%$ K ])2/4)/&+4 H "#$ ]-/+&',*'$%*'44)3,)*.)&+,8&4'77)&+2$) M "# ]-%+3$-3,'4 K " 6,+24+&4*)&'4'+27-&3-%+3,'4$$-2) H E2,+33&)%%)&*)4$-37+2/)&) K K P+/)2$28**)&';&), K E2,+33$-37+2/)&) K J77)%,3)()&,,'3(+&*)*)4'8* c J2)&/'3+/&),'=877)&,+2% %c0 "## L)*.)&+,8&%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 "#$$ C%-&&'/)&,)2)&/'7-&=&8% Ac0 N)%%)+($,+24 * ]87,,)*.)&+,8& M)33)& T A'44)3,)*.)&+,8&(+&*)*)4'8* M L)*.)&+,8&)24&'2/'=877)&,+2% T "# L'4$7-&$%9)33*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*) G-38* ] 6-30:<4) I)32'2/$('2%)3 S&')2,)&'2/ "G

6 &1(-"2% "#42'#3*+% 5*6)/% E$'*8,('2%)3 P)%3'2+$9-2 G'&%2'2/$/&+4 K S.,'$%('&%2'2/$/&+4 K "227+33$('2%)3 6)2',('2%)3 G'2%)3*)33-*9-&4)2$&-,+$9-2$+%$)-/9-&4)2$-*3:.$=+2) L'*)('2%)3 G

7 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% "#"#$% %7 &'(()*$#'+% %77,-./#'0/% %777 &1(-"223./)% %7: 7**6"2$.8"#/)+*)2.)% %:7 ; 7**2)$*3*+% %; ;9; <'4+#=**% %; ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#% %C ;9C > B)"#3% %G >9; H)..=#.+#=**2'+% %G X5Z5Z P)7'2'$9-2)& W X5Z5X M--&4'2+,$<$,)*-/('2%3)& W X5Z5\ 6,&;3'2/7&+$-3) ZY X5Z5[ E,*-$71&'$%))77)%,)& ZZ X5Z5^ 6,&;3'2/)2$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&) ZZ X5Z5a B&)44)/&+4>;&$,'4$(+&'+$9-2-/4:/2(+&'+$ ZX X5Z5W ]-%+3)7+%,-&)& Z[ X5Z5_ A;3'2/+(4'&)%,)>4'778$-//3-=+3$-3'22$,&;3'2/ Z^ X5Z5` 6-3'22$,&;3'2/.;-&')2,)&,>$%&;73+,) Z^ >9> X5X5Z D9)&2(+&*) Z` X5X5X B&8%+($-37+2/)&)'79)&2(+&*) Z` X5X5\ 6)2,&+3'$)&,)-/4)$)2,&+3'$)&,)$<$,)* XY X5X5[ G+&*)3+/)& XX X5X5^ 6<$,)*3:$2'2/)&7-&$)2,&+3'$)&,)+23)//*)4=877)&,+2%7-&4:/23+/&'2/5X\ X5X5a /)&7)3,), X^ X5X5W /)&) Xa X5X5_ L+.$7+%,-&)&-/('&%2'2/$/& XW X5X5` I)32'2/-/-&')2,)&'2/ X` A 54.3./)#)*$)%'*2)++% %AJ A9; \5Z5Z D9)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-) \Y \5Z5X M-*.-2)2,)& \Z \5Z5\ L)*.)&+,8&)&.;,8&K-/&),8&( \Z \5Z5[ V&-48%$9-2$4+, \\ \5Z5^ G+&*)=)0-( \[ A9> \5X5Z D9)&2(+&*)K,&+$e) \a \5X5X G+&*)$)2,&+3)2$,+%+&)+3)& \` C L'/'%"+%()/"$)% %CC C9; H)..=#.+#=**2'+% %CC [5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& [[ [5Z5X F3-=+3-/4'778$'22$,&;3'2/ [a [5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$$,&;3'2/ ^Z G"

8 C9> [5X5Z B)$%&'()3$)+(D9)&2$-3KVNS ^X [5X5X 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ^\ [5X5\ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ^` [5X5[ B)$%&'()3$)+(Ln6S]Jk.)&, aY [5X5^ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, aX [5X5a 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) a^ M H).=2/'/% %FF M9; H)..=#.+#=**2'+% %FF ^5Z5Z ]87,,)*.)&+,8& aa ^5Z5X F3-=+3'22$,&;3'2/ aW ^5Z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ a` ^5Z5[ P'778$'22$,&;3'2/ WZ M9> ^5X5Z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS W[ ^5X5X 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) _[ ^5X5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, _a ^5X5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) _` F L3.4=.N"*% %IA F9; H)..=#.+#=**2'+% %IA a5z5z ]87,,)*.)&+,8& `\ a5z5x F3-=+3'22$,&;3'2/ `[ a5z5\ J$,'*)&'2/+(4'778$'22$,&;3'2/ `W a5z5[ P'778$'22$,&;3'2/ `` F9> a5x5z 6'*83)&'2/)&*)4D9)&2$-3KVNS ZYY a5x5x 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5*;2) ZZZ a5x5\ 6'*83)&'2/)&*)4Ln6S]Jk.)&, ZZZ a5x5[ 6+*$(+&),*)33-*(+&*).&-48%$9-2-/(+&*)=)0-(.&5,'*) ZZX G P Q3//)#'/=#23./)% %;;G I :)$2)++% %;>> :)$2)++%,%R%S#'$/'22.()/"$)*% %;>> :)$2)++%U%R%&/'/3./344% %;>> :)$2)++%L%R%B)./.)#/3834'/% %;>> :)$2)++%5%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%#)..=#.+#=**2'+% %;>> :)$2)++%%R%L)/'2N)#/)%#).=2/'/V%.3(=2)#3*+)#% %;>> % G""

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gxyzzh )& *)2/4)2 $-3)2)&/' $-* 0()&, ;&,&)77)& 9-&4)2.; -*3+/ [*'33'-2)&J?5L'3$+**)23'/2'2/)&()&4)2$;&3'/))2)&/'7-&=&8%.;-*3+/ ^YYJ?5P),,)'22)=1&)&+,()&4)2$)2)&/'=)0-(%+24)%%)$()4;8,2<,,)%82 Y>Z.&-*'33)+(4)2'22$,&;3,)$-3)2)&/')25 6-3$,&;3'2/)2)&89)(2,7-&4)3,/)-/&+7'$%$),,-/-*&;4)2)&824,)%(+,-&*-,,+& 3+24(+&')&)&'22$,&;3'2/)2.;)20-&'$-2,+373+,)*)33-*ZAc0d* X '$:&,'3 Y>aAc0d* X '2-&4.;;&$=+$'$gS3$),0O6%+&,()',Z``Xh5P)2/)-/&+7'$%) (+&'+$9-2)2''22$,&;3'2/)27-&)2-.,'*+3,('2%3),73+,))&'*'43)&,'4*<)*'24&)5 I)& )& &)$$8&$,'3/+2/)2 7-& $,-&) 4)3)& 0)3,.; 0:<4) *)4 &)$$8&$,'3/+2/)2'$-3)2)&/'3+24),L<$%3+24>$-*('$,'D'/8&ZKZ5D'/8&)2('$)& $-3'22$,&;3'2/.;)2-.,'*+3,('2%3),73+,)7-&83'%))8&-.)'$%)3+24>-/()&4')2) )&/',,$-*/9)22-*$2',,3'/'22$,&;3,)2)&/'.&54:/2gc0d* X h5 Z

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a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 $-**;3)&$-3'22$,&;3'2/)&3+(5V;=+%/&822+(4),,)('34),-7,)(1&)2:4()24'/ ;=)2<,,)*;3)4+,+7&+21&3'//)24)*;3)$,+$9-2)&>*-4)33)&,))33)&)$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+5 D-&*;3),*)44)22)*+$,)&-../+()2)&;(8&4)&)*83'/0),)27-&=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*)+23)//),.;F+&4)&*-)256)2,&+3)$.:&$*;3$-*$:%)$ =)$(+&,)&$-*7:3/)&o I('3%)'22$,&;3'2/$4+,+0+&*+2,'3/+2/,'37-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/ 0(+$')&4)-*&)$$8&$,'3/+2/)2p I(-&*<))2)&/')&4),&)+3'$,'$%;0)2,)8,*)4),$-37+2/)&+23)// '22)27-&4)=)/&)2$2'2/)&&)$$8&$,'3/+2/)2-/4),,'3/9)2/)3'/)+&)+3), $),,)&p I(-&4+2 )& $+*$(+&), *)33-* (+&*).&-48%$9-2 -/ (+&*)=)0-(> -/ 0(-&4+2 %+2 ), )()2,8)3, *'$7-&0-34 &)48$)&)$ ()4 09)3. +( )2)&/'3+/&'2/p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

12 ;9A B3$23+)#)%'#-)3$)#%% " 7-&0-34,'3 %+&,3)//'2/ +( &)$$8&$/&8223+/), 0+& B<&%9)4+3),5+35gXYZ\h 8,+&=)'4), )2 -()&$'%, -()&,'3/9)2/)3'/) *;3)4+,+ -/ )$,'*)&,) 4+,+ 7-& $-3'22$,&;3'2/ ' 4+/5 E&=)'4), /'& )2 -..$8**)&'2/ +( 0('3%) *)2$,),,0),)2+(*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3'22$,&;3'2/)&3+(g,-,+3,a_ *;3)$,+$9-2)&h )& +2,+33 *;3)$,+$9-2)& $-* *;3)& 4'778$ -/d)33)& 4'&)%,) '22$,&;3'2/)%$,&)*,3+(g,-,+3,\*;3)$,+$9-2)&h5 "*+2/)3+(,'3/+2/,'3/-4)3-%+3)4+,+=)2<,,)$-7,))$,'*)&,)'22$,&;3'2/$4+,+ =+$)&,.; 83'%) '2,)&.-3)&'2/$,)%2'%%)&5 F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh 0+& =)&)/2), *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/ 7-& XZW *),)-&-3-/'$%) *;3)$,+$9-2)&.; =+%/&822 +( )2 -=$)&()&, )*.'&'$% $+**)20)2/ *)33-* /3-=+3'22$,&;3'2/-/$+*3),$%<4)%%)7-&^8,(+3/,)*;3)$,+$9-2)&5V;=+%/&822 +( 4),,) 0+& 4).&)$)2,)&, %+&, *)4 *'43)&) *;2)43'/ /3-=+3 '22$,&;3'2/>0(-&'$-3'29)&&).&)$)2,)&)&3'%,'22$,&;3'2/$2'(;5P+,+=+$)&$-* )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+.; *;2)4$=+$'$5 I+/)2gXYZZh 0+& /9-&, )2 $+**)23'%2'2/+(*;3)4+,+7-&/3-=+3'22$,&;3'2/()4'+3,)33)()*),)-&-3-/'$%) ()&4')&7-&/3-=+3'22$,&;3,7&+6+,)3K]'/0,/)2)&)3,$),,)&'-()&)2$$,)**)3$) *)4 -=$)&()&,) ()&4')&> *)2 +, 4), )& 8$'%%)&0), %2<,,),,'3 *+2/3)24) '27-&*+$9-2 -*,-.-/&+7' -/ *;3'2/)& /9-&, ()4 $2:4)%%)5 G+3'4)&'2/)& +( )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ +24&) 4+,+=+$)& )& '%%) %9)2,> 8, -()& 4) (+3'4)&'2/)&$-*$)3()&8,7:&,+(4+,+3)()&+24:&)2)5P),,)3'//)&'*'43)&,'4 8,)27-& 4)22) *+$,)&-../+()2$ 7-&*;3> *)2 )2 $+**)23'%2'2/ +( '22$,&;3'2/$4+,+7&+4)83'%)4+,+=+$)2)+2$)$+33'%)()3$-*'2,)&)$$+2,5 6,:&4+3gXYZ\h0+&/9-&,)2(8&4)&'2/+(&)$$8&$/&8223+/),7-&$'*83)&'2/+( =&8% +( $-3Q)33)& ()4 ), /;&4$=&8% ' N<//) %-**82)5 I)& =)0+243)$ '22$,&;3'2/$4+,+7&+,&)*),)-&-3-/'$%)*;3)$,+$9-2)&')2&+4'8$.;\^%*&824, /;&4$=&8%),> $+*, )$,'*)&,) '22$,&;3'2/$4+,+ 7&+ 7'&) 4+,+=+$)&5 6,:&4+3 %-2%384)&)&*)4+,4),)&=),<4)3'/8$'%%)&0),%2<,,),,'3$-3'22$,&;3'2/)27-& 4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>-/+,$'*83)&'2/$&)$83,+,)2))&$)2$','()7-&4)22) 8$'%%)&0),)25 E+$)gXYZ\h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

13 "7-&0-34,'34'778$$,&;3'2/0+&F834=&+24$)2OL+2/)2gZ`WWh0)2,),8,()&4')& 7-&4'778$$,&;3'2/7-&B)&/)2-/#$7-&.)&'-4)2Z`aWbZ`W[-/=)&)/2), *;2)43'/)*'44)3()&4')&7-&4'778$$,&;3'2/7-&.)&'-4)2>7-&=)//)3-%+3',),)&5C, 7&+4),,)%+2*+27'22)),;&$*'44)37-&4'778$+24)3.;#$.;Q+5^^f>-/), ;&$*'44)37-&4'778$+24)37-&B)&/)2.;Q+5a^f5S3$),0OI)//gZ`_Xh0+&-/$; $),,.;4'778$$,&;3'2/7-&4)$+**)3-%+3',),)2)-/=3+2,+22),8,('%3),)2 )*.'&'$% *-4)33 7-& $+**)20)2/)2 *)33-* +24)3 4'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.; *;2)4$=+$'$ 7-& #$5 G'4)&) 0+& 6%+&,()',OS3$),0gZ`_Wh 8,('%3),)2*)&/)2)&)33)*.'&'$%*-4)337-&$+**)20)2/)2*)33-*+24)34'778$ $,&;3'2/ -/ %3+&0),$'24)%$.;,'*)$=+$'$> $-* $)2)&) =3) ('4)&)8,('%3), +( 6%+&,()',),5+3gZ``_h5P)22)*-4)33)28,/9:&),+3,)&2+,'(,'3,'43'/)&)8,('%3)4) *-4)33)&+(J&=$),+35gZ`_Xh>S&/'33OI-33+24$gZ`WWh-/N)'243),+35gZ``Yh> -/'*-,$),2'2/,'3,'43'/)&)*-4)33)&,'3$')&4)22)+,*+27-&0:<)()&4')&+( 4+,+=+$) *)4 -()&$'%, -()& +33) $,-&$%+3+ $-3(+&*)K -/ $-3%9:3'2/$+23)// ' J8&-.+*)4*)&)22^YY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 Z 5P)22)'22)0-34)&=3+2, +22),'27-&*+$9-2-*$,:&&)3$).;+%,'(,$-37+2/)&+&)+3>3+/&'2/$7-&*>.3+$$)&'2/ -/0(-&('4,$-37+2/)&+23)//),%9:&)$'%-*='2+$9-2*)4='-%9)3)&)33)&'%%)5 P+3)2=RQ%0+&-/$;='4&+,,,'38,('%3'2/)2+()24+,+=+$)*)4-()&$'%,-()&+33) $,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+*)4*)&)22ZYYY* X +%,'(,$-37+2/)&+&)+3 g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 G'4)&) 0+& 4) 7&)*$,) )%$.)&,)2) '22)27-& 7+/7)3,), ' J8&-.+ ='4&+,, ' 8,+&=)'4'2/)2+($;%+3,)+,#$-./)&-/0&1*$&/%223/.*#/%*)$-*,+&7-&$)/)23+2/ &)%%),)%2'$%)-/'%%)K,)%2'$%)+$.)%,)&%2<,,),,'3$,-&$%+3+=&8%+($-37+2/)&) L&')&XYZX+h5 D-&4'4),0)&(8&4)&)$$-*7-&287,'/;,+8,/+2/$.82%,'4)*)$,=&8%,) 3:$2'2/)2)','3$(+&)24)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'J8&-.+>)&&+..-&,)&$-* -..$8**)&)&)&7+&'2/)&7&+)%$'$,)&)24)+23)//$1&3'/'2,)&)$$+2,)5N+..-&,)2 +,#45-6*/ *)9)&*6gP+3)2=RQ%),+35XYZ\h/'&)2)(+38)&'2/+()23+2/ &)%%)$()2$%)+23)//$-*=3)-..7:&,'.)&'-4)2XYYYbXYZY56'4)2*+2/)+( 4) $()2$%) +23)//)2) 3'//)&.; $+**) =&)44)/&+4 $-* %+2 &)$83,+,)2) +( 4)22) )(+38)&'2/)2 (1&) &)3)(+2,) -/$; 7-& 2-&$%) +23)//5 N+..-&,)2 +&,-):$#/2 ),# * g"$+%$$-2 ), +35 XYYXh,+& -/$; 7-& $)/ )&7+&'2/)&7&+$()2$%)+23)//>0(-&+(),,%+.',,)3=)0+243)&,)%2'$%)3:$2'2/)& 7-&'2,)/&)&'2/+($-37+2/)&)'79)&2(+&*)5N+..-&,)2+&,-*),#4$-6*$%#;26*. 1<8*.*:%/%2)2-$.*-gC3=9)&/XYY^h$+**)23'%2)&.;$'2$'4),-$-3(+&*)+23)// '2,)/&)&,'79)&2(+&*)'P+2*+&%5 Z E%,'(,$-37+2/)&+&)+3 )&4)24)3)2+(=&8,,-$-37+2/)&+&)+3 $-*$.'33)&)2 +%,'(&-33)')2)&/'%-2()&,)&'2/)25P)&=&8,,-$-37+2/)&+&)+3*;3)$7&+<,,)&%+2,,'3<,,)&%+2,+($-37+2/)&)2$&+**)>'2%384)&)&+%,'(,$-37+2/)&+&)+3%82+&)+3), '22)27-& &+**)25 gl&')& XYZX+h G'4)&) ' -../+()2 &)7)&)&)& =)/&).), $-37+2/)&+&)+3%-2$)%()2,,'3+%,'(,$-37+2/)&+&)+35 ^

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a4'$%8,)&)&&)$83,+,)2)$-*.&)$)2,)&)$'%+.',,)3^5 M+.',,)3W-..$8**)&)&4)('%,'/$,)%-2%38$9-2)2)-//'&2-)27-&$3+/,'3('4)&) +&=)'4'22)27-&,)*+),5 a

15 > B)"#3% >9; H)..=#.+#=**2'+% P),,)+($2',,),=)0+243)&&)$$8&$/&8223+/),7-&$-3)2)&/'$<$,)*)&'7-&*+( 8,$,&;3,)77)%,7&+$-3)2-/'22$,&;3,)77)%,.;)2$%&;73+,)()4)2=)$,)*, A#/6$&*gE/8+4-OB8&,XYY`h-/"19)/0),7+,#$-=%*-29gT0)2XYZZh>*)4 *'24&)+24&)%'34)&)&.&)$'$)&,5 >9;9; L)83*3.N"*)#% `/./#K23*+./)//6)/%5g)2/o&+4'+2,)k',+2Q)h$(+&)&,'38,$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/ +&)+37-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K23*+./)//6)/Sg)2/o'&&+4'+2Q)h$(+&)&,'3'22$,&;3,)2)&/'.&5,'4-/+&)+3 7-&)273+,)>*;3,'cd* X 5 7**./#K2/%)*)#+3%g)2/o$-3+&'2$-3+,'-2h%$(+&)&,'3'22$,&;3'2/$,),,0),)2'2,)/&)&, -()&)2,'4$.)&'-4)>*;3,'%c0d* X 56<*=-3),a=)2<,,)$7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5 4+/>$<*=-3),7%7-&'22$,&;3,)2)&/'.&5,'*)5 >9;9> D-&;=)$%&'()'22$,&;3'2/)2()4)2=)$,)*,3-%+3',),%+24),(1&)2<,,'/; 4)7'2)&)2-)2$)2,&+3)('2%3)&',-83'%)%--&4'2+,$<$,)*5E33)('2%3)&+2/'$0)&' /&+4)&>'%%)&+4'+2)&5G'2%3)&&)3+,'(,,'30-&'$-2,+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKZ-/ ('2%3)&&)3+,'(,,'3)%(+,-&'+3.3+2),)&('$,'D'/8&XKX5A)&'4'+2)2)&0+3($'&%)3)2 $:&.82%,),5 W

16 V%."26Y1$)% 9% I-&'$-2,+3.3+2),)&-&')2,)&,'7-&0-34,'3$)2',7-&4)2+%,8)33)3-%+3',),)2>$3'%+, 0-&'$-2,+3.3+2),$,;&-&,-/-2+3,.;3'29)2$-*.)%)&*-,$)2',5P)$)2,&+3) ('2%3)2);*)&%)$)/0)&)&o og'2%)3)2*)33-*()&,'%+3)2-/$-3)2$.-$'$9-25% &"26Y1$)% o G'2%)3)2 *)33-* 0-&'$-2,)2$ $:&.82%, -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$ 0-&'$-2,)25 I)& =)2<,,)$ ()&4')2) "#$ "#$5% _

17 0)&)&o L)423*'.N"*%o G'2%)3)2 *)33-* )%(+,-& -/ $-3)2$.-$'$9-25% % G)&4')& ""# ""#5% G'2%)3)2 *)33-* *)&'4'+2)2 -/ $-3)2$.-$'$9-2 *;3, 3+2/$)%(+,-&5G)&4')&"#$ "#$5% P)%3'2+$9-2)2)&/',,()4o "# gzh ""#"# "# "# 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g "#5 L'*)('2%)3)2)&/',,()4o "# "# " gxh 0(-&"#)& 3-%+3 $-3,'4 +2/',, $-* 4)$'*+3,+33> $3'% +, ()&4')2 Y>^,'3$(+&)& \Y*'28,,)&gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 ]-%+3 $-3,'4"#)& )2,'4$+2/'()3$) =+$)&,.; $-3)2$ -=$)&()&,) =)()/)3$) -()& 0'**)3)25V&54)7'2'$9-2%&<$$)&$-3)2*)&'4'+2)2%3-%%)2ZX3-%+3$-3,'45]-%+3 $-3,'4)&/',,()4o "# " "# g\h "# " ""# 0(-&")&2-&$%2-&*+3,'4+2/',,$-*4)$'*+3,+33>)&3)2/4)/&+4)2'/&+4)& :$,>" )& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 -/"#)& 4)2 $;%+3,) r)m8+,'-2-7,'*)r =)$%&)(), 2-&*+3,'4 )& 4)2 3-%+3),'4)2 8,)2 %-&&'/)&'2/7-&$-**)&,'4gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 6,+24+&4*)&'4'+2)27-&4)23-%+3),'4$$-2)2" )&3)2/4)/&+4)2$-*4)23-%+3,'4$$-2)2)&=+$)&,.;5P)22))&/',,()4o " "#"# " g[h 0(-&"# )&,'4$7-&$%9)33)2*)33-*2-&$%2-&*+3,'4-/F&))2j'Q0A)+2L'*)5 3'//)& $,+24+&4*)&'4'+2)2 7-& 4)2 3-%+3),'4$$-2)2 ()4 "# gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[qh5 Jm8+,'-2-7,'*)"#)&)2)*.'&'$%3'%2'2//',,()4o "# "# g^h "# ""# " ""# " "# "# "# "# " "# "# `

18 0(-&+2/'&4+/)2$28**)&';&),g"#gI-2$=)&/OB-j4)2XYZ[Qh5 >9;9A &/#K23*+%8#'%."2)*% 6-3)2)*',,)&)&)2%-2,'28)&3'/$,&:*+()2)&/''7-&*+()3)%,&-*+/2),'$% $,&;3'2/5 C,$,&;3'2/$,),,0),)2 ()4 $-3)2$ -()&73+,) )&.; &824, a[acd* X 5 6,&;3'2/$)2)&/')2('3'%%)$()%%)$/9)22-*(+%88*>*)2)2)&/')2('3$.&)$ 8,-()&),$,+4'/$,:&&)+&)+35G)4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,('3'22$,&;3'2/$,),,0),)2 0+)2()&4'.;-*,&)2,o " "#$ G)&4')2 " =),)/2)$$-*$-3+&%-2$,+2,)2>-//9)34)&()4/9)22-*$2',,3'/$-3K 9-&4K+($,+2456'4)2$-3K9-&4K+($,+24)2'%%))&%-2$,+2,7;&*+2/9)22-*;&),)2 (+&'+$9-2''22$,&;3'2/$,),,0),)2()4+,*-$71&)2$<,,)&%+2,.;±\>\f5 P)2)*',,)&,)$,&;3'2/)24)%%)&),=:3/)$.)%,)&7&+-*,&)2,Y>X^µ*,'3\>Yµ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

19 >9;9C,/(".8b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l-2gS\h>(+224+*.gIXSh-/ %+&=-24'-%$'4gTSXh>-/4'$$)/+$$)2))&$(1&,$)3)%,'()'7-&0-34,'30('3%) =:3/)3)2/4)& 4) +=$-&=)&)&5 S\ $.'33)& )2 ('%,'/ &-33) ' +=$-&.$9-2 +( '22%-**)24)83,&+7'-3),,$,&;3'2/>*)2$IXS-/TSX)&$.)$')3,+%,'()'4)2 '27&+&:4)4)3)2+($,&;3'2/$$.)%,)&),5P)22)$)3)%,'(',),)2='4&+&,'3+,)2%)3,) 4)3)&+($,&;3'2/$$.)%,)&),$()%%)$*)&)22+24&)5 >9;9M I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/+(0)2/)&+(0(-&*<)+,*-$71&'$% *+$$)$,&;3'2/)2*;.+$$)&)>2-)$-*=)$%&'()$()409)3.+(=)/&).),E'&A+$$ gbch5e'&a+$$)&4)7'2)&,$-*3<$),$()'3)2/4)/9)22-*+,*-$71&)2&)3+,'(,,'3 ZZ

20 D-&$)2',('2%3)& -..,'3Q+5WY /9)34)&7:3/)24)/)-*),&'$%)$+**)20)2/o % " gah "# 6)2',('2%)3)2 )&>$-*,'43'/)&)('$,>%-*.3)*)2,1&('2%)3)2,'3$-30:<4)2 5?-3+()&)$-30:<4)2)&>9-$,:&&)=3'&$)2',('2%)3)2-/9-*)&$()%%)$$,&;3'2/)25 F)2)&)3,$),,$()%%)$-/$;$,&;3'2/)2*)&.;)2%3+&4+/7-&3+()&)3'//)24))22 7-&0:<)&)3'//)24)3-%+3',),)&5P),,)$%<34)$+,$,&;3'2/)2$-*,&)77)&7-,)2+(), 0:<,79)33*;.+$$)&)/9)22-**)&+,*-$71&'$%*+$$))22$,&;3'2/)2$-*,&)77)&,-..)2+(79)33),5V;;&$=+$'$)&4),+2,<4),+,'22$,&;3'2/)2:%)&*)4Zf7-& 0()&ZYY0:<4)*),)&gF834=&+24$)2OL+2/)2Z`WWh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a5P),)& ZX

21 4)22)(+&'+$9-2)2'0)*'$71&)2)$-&')2,)&'2/'7-&0-34,'3$-3+$-*7-&;&$+%)& ;&$,'4$(+&'+$9-2)2''22$,&;3,)2)&/'5 "D'/8&XKa%+2*+2-/$;$)+,=&)44)/&+4)20+&=),<42'2/7-&(+&'+$9-2' 4+/','4)2&824,$-**)&$-3()&(g*'42+,,$$-3h-/X[,'*)&2+,,','4)2&824, ('2,)&$-3()&(g*:&%),'4h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

22 >*)4)2 +$'*8,('2%)37-&$-3-../+2/d$-32)4/+2/.;-*,&)2,±\W 5G)4$-**)&$-3()&( )&*+%$'*+3$-30:<4).;&824,^\>^ >*)4)2+$'*8,('2%)3.;-*,&)2,±Z[\ gi-2$=)&/ob-j4)2xyz[=h5 I(-&*<)$,&;3'2/)2$()%%)$.;)2%3+&4+/)&7-&0-34$('$)2%)3,;*-4)33)&)7-& )2/',,=&)44)/&+4-/,'4$.82%,.;4+/)25G)&4')2)7&+*-4)33)&'2/)2%+2$'2-) *+%$'*+3'22$,&;3,)2)&/'7-&)20-&'$-2,+373+,).;Q+5ZY%c0d* X.&54+/()4 $-**)&$-3()&(-/Q+5Y>Y^%c0d* X.&54+/()4('2,)&$-3()&(gI-2$=)&/O B-j4)2XYZ[+h5 >9;9G Q"4'2)%8'4/"#)#% ]-%+3) (+&'+$9-2)& ' +,*-$71&)2$ $+**)2$),2'2/ ('3 ='4&+,'3 +, 7+%,'$% '22$,&;3'2/)&3+()&))22*+%$'*+3'22$,&;3'2/5 6.)$')3,('3'220-34),+((+224+*.g387,78%,'/0),h-/(+224&;.)&g$%<)&>,;%)h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gXYZ\h)&4),.&5'4+/a_*;3)$,+$9-2)&$-**;3)&/3-=+3 ;&,'3=+%)','45M82\+(*;3)$,+$9-2)2)0+&8,$,<&7-&;%822)*;3)4'&)%,) -/d)33)& 4'778$) $,&;3'2/$%-*.-2)2,)&> *'39:K -/ ='-(',)2$%+.)3'/) 82'()&$',), C2'()&$',),), ' B)&/)2 gc'bh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

24 D-&)2$%&;73+,)'0-&'$-2,+3.3+2),/9)34)&7:3/)24)('2%3)&o D#3)*/)#3*+%o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o "#$%" 0(-& "#$%" )&/3-=+3'22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd* X h-/ )&,)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0),.;)20-&'$-2,+373+,)()4)2/',,3-%+3',),8,)2 +,*-$71&)gcd* X h5 L)-&),'$%'22$,&;3'2/$,),,0), %+2=)&)/2)$()47:3/)24)$+**)20)2/o " """# "# "# "#"#"#"#"# g_h gwh Za

25 0(-&" )&$-3+&%-2$,+2,)2>+2/'&4+/)2$28**)&';&),>)&=&)44)/&+4)2> )&4)%3'2+$9-2$('2%)3)2>-/)&,'*)('2%)3)25P)%3'2+$9-2$('2%)3-/,'*)('2%)3 =)&)/2)$'0)20-34,'33'%2'2/gZhbg^h5 D-&;=)&)/2)+24)3)24'778$$,&;3'2/%+2*+28,2<,,)+,)*.'&'$%)4+,+('$)&)2 =)$,)*, %-&&)3+$9-2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/> $-* ('$, ' D'/8& XK`5 P)22) *),-4)2 %+2 =)2<,,)$ 7-& *;3)4+,+.;,'*)K> 4:/2K )33)& *;2)4$=+$'$5A),-4)2/'&'%%)2:4()24'/('$$+*$(+&*)33-**;3,)-/)$,'*)&,) ()&4')& 7-& 4'778$ $,&;3'2/,'*) 7-&,'*)> *)2 7-&()2,)$ ; /' ), /-4, +2$3+/ -()& *+2/),'*)&5 " D'/8& XK` )& 4),,<4)3'/ +, 9- *)& $%<)& 4), )&> 9-0:<)&) ('3 +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/ (1&)> *)2 +, $)3(.; )2 0)3, %3+& 4+/ )& +24)3)2 4'778$ $,&;3'2/7-&0-34$('$0:<5 3+=#% >WIX% O"##)2'.N"*)*% ()22"(% '*$)2% $388=.%./#K23*+% "+% 42'#6)/.3*$)4.% EK% /3()-'.3.% -'.)#/% EK% (K2)$'/'%8"#%=234)%2"4'23/)/)#9%% M-&&)3+$9-2)2 *)33-* %3+&0),$'24)%$ -/ +24)3 4'778$ $,&;3'2/ $-* )& +2/',, ' D'/8&XK`$(+&)&,'3J&=$),+35K%-&&)3+$9-2)2gJ&=$),+35Z`_Xh/',,()4o " "# "##$% g`h "#$%" "## "#$ "" ""# "" "# " "# " "# 0(-& "##$% )& 4'778$ '22$,&;3'2/$,),,0), gcd*xh> "#$%" )& /3-=+3 '22$,&;3'2/$,),,0),*;3,*)4.<&+2-*),)&gcd*Xh-/ )&%3+&0),$'24)%$)2.;,'*)=+$'$5 J&=$ ), +35K%-&&)3+$9-2)2 $+*$(+&)& /-4, *)4 +24&),'3$(+&)24) %-&&)3+$9-2)& $-* S&/'33 O I-33+24$K%-&&)3+$9-2)2 gs&/'33 O I-33+24$ Z`WWh -/ N)'243 ), +35K %-&&)3+$9-2)2 gn)'243 ), +35 Z``Y+h5 J2 +( 4) %9)2,) $(+%0),)2) ()4 J&=$ ), +35 %-&&)3+$9-2)2)&+,4)2)&=+$)&,.;7;*;3)()&4')&7-&%3+&0),$'24)%$ $,:&&) )22Y>_5J2+3,)&2+,'(*-4)338,('%3),+(6%+&,()',-/S3$),0g6%+&,()',OS3$),0 Z`_Wh,'3$')&+,*+27-&0:<)()&4')&+( $)&)2:%2'2/'4'778$+24)30)33)&)22 )28,73+,'2/5 ZW

26 ,"$"-%.%-'+/'0.$"1*"'2-'0.##34"'128)2%"%*"$')7'2$."%*"$*9'41$7'#5+*"' 6;$2+&,*+2%9)22)&$,:&&)3$)2.;4)24'&)%,)-/4)24'778$)%-*.-2)2,)2.; )20-&'$-2,+373+,))&4),*83'/;=)&)/2)4)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2).;)2 -&')2,)&,>$%&;73+,)5"22$,&;3'2/$,),,0),)2 "#.;)2-&')2,)&,>$%&;73+,)%+2 *-4)33)&)$$-*;=)$,;+(7:3/)24)%-*.-2)2,)&o "# "#$%&$ "##$% "# gzyh 0(-& "#$%&$ )& 4)2 4'&)%,) %-*.-2)2,)2 gcd* X h> "##$% )& 4)2 4'778$) %-*.-2)2,)2gcd* X h-/ "# )&&)73)%,)&,$,&;3'2/7&++24&)73+,)&'22)27-&4)2 $%&;73+,)2$$<2$7)3,gcd* X h5p)24'778$)$,&;3'2/)2%+2('4)&)*-4)33)&)$$-*; =)$,;+(<,,)&3'/)&),&)%-*.-2)2,)&o "##$% "# " gzzh 0(-& "# )&4)2'$-,&-.)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*)&3'%7&++33)&),2'2/)& gcd* X h> " )&4)2$'&%8*$-3+&)4'778$)%-*.-2)2,)2$-*%-**)&7&+-*&;4), &824,$-3)2$-=$)&()&,).-$'$9-2gcd* X h-/ )&4)24'778$)%-*.-2)2,)27&+ -*&;4),&824,0-&'$-2,)2gcd* X h>$-*('$,'d'/8&xkzy5 3+=#%>W;JX%L388=.)%./#K23*+.4"(E"*)*/)#9%L)*%3."/#"E)%$388=.)%3**./#K23*+)*% "# )#%234%8#'%'22)% #)/*3*+)#V%$)*%.3#4=(."2'#)%$388=.)%3**./#K23*+)*% " E".3.N"*%"+%3%/322)++%4"(()#%*")%$388=.%3**./#K23*+% " 8#'%"(#K$)/%#=*$/%6"#3."*/)*9% B)&)/2'2/+($,:&&)3$)2,'34)&)$.)%,'()%-*.-2)2,)2)%+2/9:&)$()409)3.+( *+,)*+,'$%)$,&;3'2/$*-4)33)&7-&+,*-$71&)2g)2/o$%<*-4)3$h5P),)&8,('%3), )2&)%%)83'%)$,&;3'2/$*-4)33)&/9)22-*,'4)2>$-*'$-,&-.4'778$K*-4)33)2 g]'8o?-&4+2z`a\h>ipmnk*-4)33)2gn)'243),+35z``y=h-/v)&)l),+35k *-4)33)2 gv)&)l ), +35 Z``Yh5 P'$$) *-4)33)2) $%'33)& $)/ 7&+ 0()&+24&) 0-()4$+%)3'/'0(-&4+24)=)0+243)&4'778$$,&;3'2/>$+*,&)73)%,)&,$,&;3'2/7&+ -*/'()3$)2)5B)&)/2'2/+(4)24'&)%,)%-*.-2)2,)2.;)2$%&;73+,))&*)& 8.&-=3)*+,'$%-/%-%)&2)4,'3),&)2,/)-*),&'$%.&-=3)*5 Z_

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d)33)& (+22=+$)&,&-*-..(+&*'2/5N),8&(+22),/;&4)&),,)&,'3=+%),'3(+&*)$)2,&+3)2 0(-& 4), (+&*)$ -...; 2<,, gn-$(-34 XYZ\h5 D-& *'24&) +23)// -()& ), =)/&)2$),/)-/&+7'$%-*&;4)=)2<,,)$+(-/,'3=)/&).),21&(+&*)gN-$(-34 XYZYh5P),+%,8)33)+23)//),()4F+&4)&*-)2)&'*'43)&,'4+()2$3'%$,:&&)3$)+, 4),)&2+,8&3'/;=),)/2)4),,)$-*),79)&2(+&*)+23)//5 >9>9> B&8%+($-37+2/)&),'3-..(+&*'2/+((+22)&)2/+**)3,)%2-3-/'-/*'24&) $-37+2/)&),'3=&8%'=-3'/08$0+&(1&,'*+$$).&-48%$9-2$'4)2Z`aYK,+33),563'%) )&'4+/'=&8%'+33)4)3)&+(()&4)2gV0'3'=)&,XYZZh56,-&$%+3+=&8%+( $-37+2/)&)'79)&2(+&*))&+(2-)2<)&)4+,->*)24)+33)&7:&$,)+23)//)2)=3) ),+=3)&, ' 6()&'/) -/ H$,)&&'%) +33)&)4).; $38,,)2 +( Z`WYK,+33),5 6()&'/) ),+=3)&,) <,,)&3'/)&) _ +23)// ' 3:.), _YK,+33), -/ (+& *)4 4), 3)4)24) ' 8,('%3'2/)2.;4)2,'4)25A+2/)+(4))34$,)+23)//)2))&'4+/+(('%3),>-/4), )34$,)+23)//),$-*7-&,$+,,)&'4&'7,)&7&+Z`_^g"#$%&'$&$($)*XYZ[h5 V&58,/+2/)2+(XYZ\)&ZY^$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//'4&'7,'J8&-.+5P),,),+33),'2%384)&)&%82+23)//*)4*'2'*8*ZYYY* X $-37+2/)&+&)+35P)73)$,)+( +23)//)2))&$+,,-..7-&;3)()&)$-3(+&*),'321&K-/79)&2(+&*)+23)//>*)2 2-)27;)&$+,,-..7-&+24&)7-&*;3g)5/5(+&*)-/%9:3'2/''248$,&'.&-$)$$)&h5 N824,0+3(.+&,)2+(+23)//)2))&-..7:&,4)$'$,)_;&)2)>-/4),)&$1&3'/ P+2*+&%$-*2;3)4)&+2'-..7:&'2/)2+($,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//5I)3) [Y+23)//)&3-%+3'$)&,'P+2*+&%>*)2$6()&'/)>L<$%3+24-/H$,)&&'%)0+& +23)//),$+,,'4&'7,'XYZ\>'E%)&$08$J2)&/'.+&%8,)27-&]'33)$,&:*gB'34)XKZh5 P),,)+23)//),0+&),$-37+2/)&+&)+3.;ZX^_Z* X -/)&*)44),J8&-.+$`5 $,:&$,)+23)//5P),$,:&$,)+23)//),0+&,'3$+**)23'%2'2/),$-37+2/)&+&)+3.; \\YYY* X> -/0+&(1&,'4&'7,$'4)2Z``a'&)/'+(A+&$,+3D9)&2(+&*)'P+2*+&% g"#$%&'$&$($)*xyz[h5 Z`

28 <32$)% >W;X% 5*)#+3E'#4V% >>9;;9>J;A% Z"/"X% H)3$=*% T9% H"(=*$./'$]9% F)2)&)3,$),,%+2,)&*'$%)$-3(+&*)+23)//=)2<,,)=;4)%-2$)2,&)&)24)-/ '%%)K%-2$)2,&)&)24),)%2-3-/'5M-2$)2,&)&)24),)%2-3-/'$-*=&8%+($.)'3-/ 3'2$)& =)2<,,)$ 0)3$, 2;& $(1&, 0:<),)*.)&+,8&)& )&.;%&)(4> $-* ()4.&-48%$9-2+()3)%,&'$',),)33)&')2%)3,)'248$,&')33).&-$)$$)&5L'37-&*;3$-* &-*-..(+&*'2/-/-..(+&*'2/+((+&*,(+220(-&,)*.)&+,8&)&-..,'3ZXY T )&,'3$,&)%%)3'/>=)2<,,)$'+330-()4$+%'%%)K%-2$)2,&)&)24),)%2-3-/'5J2+( 7-&4)3)2)*)4'%%)K%-2$)2,&)&)24),)%2-3-/')&+,4)22)%+28,2<,,)=;4) 4'778$-/4'&)%,)$,&;3'2/>*)2$%-2$)2,&)&)24),)%2-3-/'%&)()&4'&)%,)$-33<$ *)4 &'%,'/ '227+33$('2%)3 g>*01%,#,29 D,$.6$E XYZXh5 G'4)&) ' 4)22) *+$,)&-../+()2 =)0+243)$ %82,)&*'$%) $-3)2)&/'+23)// *)4 '%%)K %-2$)2,&)&)24),)%2-3-/' 4+ 4),,) )& *)$, (+23'/ '22)2 79)&2(+&*) g"#$%& '$&$($)*XYZ[h5 >9>9A &)*/#'23.)#/)%"+%$).)*/#'23.)#/)%.1./)(% P), 7'22)$ ' 0-()4$+%,- 83'%) 3:$2'2/)& 7-& '2,)/&)&'2/ +( $-3(+&*) ' 79)&2(+&*)2),,),>$-*/'&-..0+(,'3)2,)2),$)2,&+3'$)&,)33)&),4)$)2,&+3'$)&, $<$,)*56%'33),+(0)2/)&+(0(-&('4,)2)&/')2*+,)$'22('+(+&*)$)2,&+3)2)33)& 4'&)%,)'22'4'$,&'=8$9-2$2),,),5"4)+33)&73)$,)$,-&$%+3+$-3(+&*)+23)//=&8%, '79)&2(+&*))&$-3(+&*)2'2,)/&)&,'$)2,&+3'$)&,)$<$,)*>0(-&)2)&/')2*+,)$ '22('+(+&*)$)2,&+3)2$-*('$,'D'/8&XKZZgP+3)2=RQ%XYZ\+h5 XY

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( <

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( < ! # %! & (% ) % & +, %. / 0 1 2 3 + 3% 4 & 0 5 & #5 0 5 6 5.. 0 7 & / / 5!!87/ (92) 9:., 588 (;

Detaljer

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt!

sko trender Røft eller elegant Riktige sko til treningen Down Town har utvalget! 9 sider inspirerende Finn din favoritt! m k pd d Røf g F d fv! Rkg k g Dw Tw h uvg! Md fbhd m ykkf. 1200 g p-p 400 b uv g g dg g w w w.d w w. d d 249.- 249,- 649,- K md h m Bm b Tm Fc Wd 999,Ny vå y k! Ck fw N pkk d V 499,- p um 1099,- våk Wd

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

!"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.

!#$%&'()*+*!,-*.*#/01()*1/(0*23#&4&.0*4)* 2/05(43.&/%)*%*3%643&)*)#&%.&2&'(*7#0&. !"#$%&'(")*+"*!,-*".*#/01()*1/(0*23#&4&."0*4")* 2/05(43.&/%)*"%*3%643&)*)#&"%.&2&'("*7#0&.!"#$%&'"()%*+",-(%. /* 0"(#"*1"#23%)) /* 4,5$))%*6")"$.% 7 8/9*:;$#%;?@)%*4)A%.B*:+6*C*0DED0F!B*6&GHIJI*>#%;?@)%

Detaljer

! " # $ #!!" #$ %&#"'

!  # $ #!! #$ %&#' !"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;

Detaljer

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44 Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5

Detaljer

(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5

(+ /$0 &&& 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5 !"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2

Detaljer

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK

UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK UNIVERSITETET I TRONDHEIM NORGES TEKNISKE HØGSKOLE INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI 00 ANVENDT GEOFYSIKK RAPPORTNUMMER loo.m.03 TWOJENGELIGNET Be'renset 7034 TRONDHEIM NTH (07)59 49 25 RAPPORTENS TITTEL

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK Avlsforsking og avlsarbeid Bjarne Gjerde AKVAFORSK Aftenposten 23. desember 2002 Avlsmål Disposisjon Arveleg variasjon i viktige produksjonseigenskapar - kysttorsk kontra skrei - mellom familiar og enkeltfisk

Detaljer

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL TIMESTILBUD T Ny kk T S E F S G N I ÅPN 3- TILBUD S p på kn k F p jø k F h Tknn v k T f v D ønn å væ T Fkjøp Fk nv åpnnf A k fø k på åpnnn, knnn v f v * Un nn v Tknnn jnnfø c k V V V - 36 STIHL MS 8 6555-

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo DEN NORSKE KIRKE K få O Kv Kv bp v vh K få O O, 26. vb 2010 P: Pb 2674 S.Hh 0131 O Bø: Ab 32 Tf: 23 62 90 00 E-P: p.f@.. Wb: www... B : 8380.08.67374 O.: 976 987 608 Ih Kv bp v vh... 1 K få O... 1 1 S

Detaljer

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Dagens temaer Time 4: z-transformasjonen Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper Ifi/UiO September 2009 H(z); systemfunksjonen og

Detaljer

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T

4. G O D T G J Ø R E L S E T I L S T Y R E T 1 L o m m e d a l s t u n e t S a m e i e I n n k a l l i r t s n a m g e i e r m ø t i e 2 0 l 1 1 o r d i n æ O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i L om m e d al s t u n et S am e i e, a v h o l d e s

Detaljer

!"#$"%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+

!#$%%& ' ' +,-./0/1+2/ ' !#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 +/4,'7 8 +/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 ' ( /9<8 // 142+,= 6 6 42>4 6 ( ) * (( ( '$$ (+ !"#$"%%& ' (%&"%%#)*$& ' ' +,-./0/1+2/ '!"#$ %&' $ $32,4+,42+/+05 +,/'6 6 "+/4,'7 8 "+/400,12,/19/ 7 /0+ /1 6 :%;$"% 8 ' ( /94 6 ( ) * (( ( '$$ (+ 8 /0+ /1 6? :%&(%$"% 6@?'??6?8 &=A1>/014

Detaljer

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13]

RAPPORT. E39 Søgne - Ålgård. Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: [2012/13] RAPPORT [2012/13] Kvalitetssikring av konseptvalgutredning: E39 Søgne - Ålgård "#$%'()(*+,-.. "#$%'(%)*#+', -%../0$(122+034536578"#$%'(%)*#+ -%../0$$"$$+) 9:%)"$+$##";0"(

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Følgende opplysninger

Detaljer

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV "'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE.

Fag: Menneskef maskin - interaksjon. Fagnr: LV 'i3a. Faglig veileder: Ann-Mari Torvatn. Gruppe(r): 3AA -3AB- 3AC,3AD,3AE. Fag: nnskf maskin intraksjn Fagnr: LV "'i3a Faglig vildr: Annari Trvatn Grupp(r): 3AA 3AB 3A3AD3A Dat: 200401 ks amnstid fra til: 900 1200 ksamnsppgavn bstår av Antall sidr: inkl frsid 9 Antall ppgavr:

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder

NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no. Norske Rørgrossisters Forening. Effektiv informasjonslogistikk. Terje Røising Daglig leder NRFs administrasjon TLF 22 43 76 60 post@vvsnrf.no Terje Røising Daglig leder Morten Svensen Teknisk sjef Effektiv informasjonslogistikk Iren Bjerklund Databaseoperatør NRF Excel Ark. Gjennomgang av NRF

Detaljer

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar

Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Kundenotat lønn 01/2014 Dato: 02.01.2014 Referanse: bkro Endringer i systemløsningen til hovedlønn januar Generelt - Arkivering Vi arkiverer en gang i året, i februar. Vi begynte med arkivering i systemet

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN

TORSDAG 12. MAI 12.-14. MAI NATTÅPENT & SHOPPINGFESTIVAL* *BEDRE SAMMEN 4 K O 4 & * V HO *B, O C O, >> UKK O 7 V O BU! OW K 9 H H O >> O HOW HK /O) (V H 4 0 K O U B HJ BK V 45, 49, KJBO + K U COOU O BO BOY O V BCO OOW OÆ V C O O CHBU OY HUQV YK VC 695, KÆ J H V BY V V YK K

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24

SAMMENDRAG...5 KOMPETANSE...24 SAMMENDRAG...5 1 INNLEDNING...10 1.1 BAKGRUNN FOR PROSJEKTET...10 1.2 SAMHANDLINGSREFORMEN...10 1.3 REGIONALT SAMARBEID...12 1.4 MÅL FOR PROSJEKTET...16 1.5 PROSJEKTGJENNOMFØRING...17 1.6 BEGREPSAVKLARINGER...22

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole P f æ ø ø T V Eh P f I. E ø ø f æ T: L Iø L f: f I. - Å - Tø E K K ø T h K ø ø f ø L Ú K - ø ø F ø ø K p ø - - - ø L L K P A T ø ø h ø àêæú µ ø ø L P ø ø -V ø ø L L f fø é K pp. h f pp () -. p f - Ah.

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr"/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f y@b@re K@&&M@@,6"/*/ * h / u @- 3, p 9R y@&w&&nykape?f \ O R D R E I S AK O \ \ 1 U \ E \OTEBOK PROTOKOLL FRAMTE: q4+p 5' ' 9 ' 9? ' M O T E D A T O :d m? ' M O T E S T E D F R A K L : q 9 0, 0 T L K L

Detaljer

!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -

! #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-! (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % - !" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

HamboHus - Symbolspråket 1

HamboHus - Symbolspråket 1 HamboHus - Symbolspråket 1 courier courier kursiv uttrykk uttrykk HamboHus - Symbolspråket Side 1 av 27 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus - Symbolspråket 2 DrawType type, type DrawType DrawType DrawType

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1 P / Dj f H Jæ kv Iuj, imm, ky Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Pkiv f h Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Fukiv f Fukiv f ø Fukiv

Detaljer

JAGUAR conduite à droite (GB)

JAGUAR conduite à droite (GB) JAGUAR conduite à droite (GB) vendredi 14 septembre 2012 avant n VIN (avant mai 1978) modele carrosserie n serie annee commentaire couleur ext boite roues n m oteur cylindree 240 340 IJ1044 DN 1967 blanc

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall

Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall Nøkkelinformasjon hos avgivende selskaps systemer. D Organisasjons-/kommunenummer

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

"#$%! &'()(*+,(,-,+.('/0++! '1!20-34!

#$%! &'()(*+,(,-,+.('/0++! '1!20-34! ! "#$! &'()(*,(,-,.('/0! '1!20-34! 5!6!7!!"#$&'(")#$*#&($'$',-./0(")'()12*32'4'$54'62"($*667"#$&'$ 89:;

Detaljer

8. En fase i to dimensjoner

8. En fase i to dimensjoner 8. En fase i to dimensjoner Utvid programmet til også å inkludere strøm i to dimensjoner for en fase i et horisontalt system. Bruk implisitt formulering Løs ligningssettet med LSOR eller eliminasjon og

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Alpha VPK Bergvarmepumpe. Tillegg til bruksanvisningen

Alpha VPK Bergvarmepumpe. Tillegg til bruksanvisningen Ap VPK Bpp T ss Foo o s o pps s U 25.03.2014 1 V på so s os Tpø: TA (ø), psss, os TA + GND på X4 TRL (ø ), os TRL + GND på X4 Sø: Ko sø opsso (på 400 s, ø) Ko sø ss, os so 3-s (s. s 4 o 5) Ko sø ssø Ssospp:

Detaljer

Bestselgerlisten 2015: 1. Nå skal jeg fortelle deg... 2. Mitt Trondheim 3. Operasjon Detmold Ordinær oversikt:

Bestselgerlisten 2015: 1. Nå skal jeg fortelle deg... 2. Mitt Trondheim 3. Operasjon Detmold Ordinær oversikt: 16 0 N E R VÅ Bg 015 1. Nå k jg dg.... M Tdh 3. Opj Dd Odæ vk Ib T Ug. å P 9770443 A vd hjk bd 1 015 9 977030 Tdhjd jdæ uppv bå g b 015 19 977041 Høb 4 udhdg 015 199 9770511 Bv byk d Gåk Skpk 015 19 9770535

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

Ulike perspektiver på åndsverkloven

Ulike perspektiver på åndsverkloven Ulike perspektiver på åndsverkloven "#$%&'&()'%)(+%,-'"-&.(%.(&/$+0,'$'(-(1-$2'(+2&$3( ( "#$%&'(()"%+,+-'&.),,/)0+12/#$+')+34/5%&1++ Silje Bergman 2012 )$4+40445&.($4(4+$%(53#7 "#$%&'()+,$'&&#-%(.$/0$123%0'4(45&.4(%)&'&#+1%0)$4($+#)7892:;:3)6+634)0??(.@A;

Detaljer

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun

Detaljer

Generell informasjon om vanlige sfæriske lagere

Generell informasjon om vanlige sfæriske lagere og STANGENDER Innholdsfortegnelse: Innholdsfortegnelse og generell informasjon 14.1 GE-E-ES-2RS 14.2 GE-ES-Niro 14.3 GEG-E-ES-2RS 14.4 GEEM-ES-2RS 14.5 GEEW-E-ES 14.6 SA-E-ES-2RS 14.7 SABP-S 14.8 SAJK

Detaljer

!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3, &9 *$ "&$*2 "*( /. )* * - 1*((&$'&&2$!$*2$&* 7* -

!#$%&&'&()*+(, -!#. $ *'&(*&!*,/!# &$*!$*01$*'!22 3, &9 *$ &$*2 *( /. )* * - 1*((&$'&&2$!$*2$&* 7* - !"#$%&$ $"$ ' ($)$)($'!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3,!'$ $*$+, $)-$%&4 $($5 6!$"'&' 7!(*2 3'&(* 7& *2 38 ("(3 2* 4 &9 *$ "&$*2 "*( / &! 3'&(*:!* $&2 7*'&(*"2 *2 3&$*2 "*('&. )*

Detaljer

!"#$%$&'%("()*+ /!"#$%&'()*)#'+,-."'(/)0$$"- Dokumentar: Dømt til døden?

!#$%$&'%(()*+ /!#$%&'()*)#'+,-.'(/)0$$- Dokumentar: Dømt til døden? Er det mulig at liv kan gå tapt i en maktkamp mellom ledelse og medisinere i et norsk fengsel? C2-2-(U%C)*3.)'.@2*N&@$)* Skal hensynet til straffegjennomføring gå foran hensynet til liv og helse? /!"#$%&'()*)#'+,-."'(/)0$$"-

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

Trygg trailer Frits Karlsen Staten Vegvesen Bjørn Olvik Nova Sea

Trygg trailer Frits Karlsen Staten Vegvesen Bjørn Olvik Nova Sea Trygg trailer Frits Karlsen Staten Vegvesen Bjørn Olvik Nova Sea Agenda Trygg Trailer Utekontrollseksjon i Region nord Hvem blir med? Bakgrunn I media var det de 14 første dagene av november 2010 53 trailere

Detaljer

Brannscenarier Hvilke scenarier må analyseres? Hvordan velge analysemetode?

Brannscenarier Hvilke scenarier må analyseres? Hvordan velge analysemetode? Brannscenarier Hvilke scenarier må analyseres? Hvordan velge analysemetode? Trondheim 2012 Audun Borg Agenda Brannscenario Komparative analyser Preaksepterte scenarioer Risikoanalyse Analysemetoder Typiske

Detaljer

Fjern kontroll. Fjernkontrollbokser. Toppmontert kontrollboks,venstremontert

Fjern kontroll. Fjernkontrollbokser. Toppmontert kontrollboks,venstremontert Fjernkontrollbokser Toppmontert dobbel kontrollboks,høyremontert 06240-ZW5-U60 For dobbeltmonterte motorer,forover/revers, forgass trim/tilt,dimensjon 140x110mm. Betjenes med høyre hånd Passer BF40 og

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Klimabidrag fra byggsektoren

Klimabidrag fra byggsektoren Kmaak ambø kmagm E Økad, SFT, 6.jaua 2009 Kmabdag fa byggko 09.01.2009 Sd 1 Sa fougy (SFT) Kmamdg ju 2007 b Kmafok jaua 2008 09.01.2009 Sd 2 Sa fougy (SFT) K m a f o k Må Ovoppfy fopk Kyoopooko md 10%

Detaljer

! #$ % & '! (! ' )!!!* +

! #$ % & '! (! ' )!!!* + !"#$%$ !"! #$ % & '! (! ' )!!!* + ,-./01-23 45167.8 49-:/ %%; ?69@8A 73/9> BC.8 58@DE/18 18,-98=/127-F 0611-23A,9-4>=D1G 61H/1I927I:JA,9K@C2.-4I:J 8 BC3-4I:J 2384/B L2,DM1D BC.C =-7-10/1C,E/=/4MG@

Detaljer

VEDLEGG FAUSKE KOMMUNE - REGULERINGSBESTEMMELSER I TILKNYTNING TIL REGULERINGSPLAN FOR SJÅHEIA 1 D rgulr områd r på plann v md rgulrnggrn Innnfor dnn bgrnnnglnj kal bbyggln plarng

Detaljer

x..i» \. . ikl.r.. .v». .t I .41.

x..i» \. . ikl.r.. .v». .t I .41. , å _:,_.a x..i» \..v».. ikl.r...a A, f. a..4 h 4. m.41..t I A AA AVFALISROI m 15-3"- Icaatoumon I2,7m= AA o m 'n G 4.. 195.3!!! o f 8_ E I BBS E m H arrexksnvsnxs sum! 9,3,": i (783 i. ij I i- -.to F

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag 18.01.2005,

Detaljer

Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR

Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR HC med håndgrep med skult. ( rustfritt stål med benk og skap Volumhette- for mopper Mini med innebygd kjøleskap og komfyr HC tilpasset

Detaljer

K A L K U L U S tilutvalgteoppgaver Lsningsforslag fratomlindstrmslrebok KlaraHveberg ved Matematiskinstitutt UniversitetetiOslo Copyrightc2006KlaraHveberg Forord 2000.Denvilderforgjenspeileoppgaveutvalgetsomblegitttilgruppenedettesemesteret,ogseksjonersomikkevarpensumpadentiden

Detaljer

!"#$% &%'#()( $ *(+, -. /--0'%('#"()(1!"#$% &%'#()( $ *(+ 2 -. %')+$0( &%'#'#"1 FE&= $E 7& B&% ;GGI$E&'& D&66&= ;%D=&'D 64"& %3&*

!#$% &%'#()( $ *(+, -. /--0'%('#()(1!#$% &%'#()( $ *(+ 2 -. %')+$0( &%'#'#1 FE&= $E 7& B&% ;GGI$E&'& D&66&= ;%D=&'D 64& %3&* !"$%&' )*++*,,-.!/0,,1 234"" 5&6 +!"$%4'$'78 9999999999999999999999999999999999999999999 :";6&8 9999999999999999999999******99999999999999999999999

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

"#$%&'!(! )$*+!,-./0.,,&-!1!2-&345/4!

#$%&'!(! )$*+!,-./0.,,&-!1!2-&345/4! "#$%&'( )$*+,-./0.,,&-12-&345/4 6'5-7&.$&'58 95//&:%&-&0&;#2'&0/&0

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Forelesning 8.2.06 Klasse M3A g A3A Side 1 av 5

Forelesning 8.2.06 Klasse M3A g A3A Side 1 av 5 Forelesning 8.2.06 Klasse M3A g A3A Side 1 av 5 OPPGAVE / RESULTAT Godkjenning og innlevering: Godkjenningen skjer ved at resultatene vises til Egil Berg. Innleveringen skjer ved at filene S5.std, (Input-filen)

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Vedlegg C: Løsningsforslag Kapittel. a x =, y = 3 b x =, y = 0 cx =, y = 5 d x =, y = 3 e Ingen løsning. f Flere løsninger: x = 4 + t, y = t. a x = 7, x = 6, x 3 = bx =, x =, x 3 = c x =, x = 3, x 3 =.3

Detaljer

14-15. november 2011, fagdag økonomi. Økonomirapportering/prognoser

14-15. november 2011, fagdag økonomi. Økonomirapportering/prognoser 14-15. mb 2011, fd økm Økm/ O u m m b m k u m ø 1 3. 0 4. 1 1 1. Nku øk budjmd d fuj kmm k budj/k d å å. 2. Nku øk md / md md - m d u m md. I d må d m k f båd f fø d fø. D k k få - md hk bø m fø d k k

Detaljer

Sundag 4. mai gjekk vårens vakraste eventyr av stabelen i Onarheim kyrkje på Tysnes. Ein nydeleg

Sundag 4. mai gjekk vårens vakraste eventyr av stabelen i Onarheim kyrkje på Tysnes. Ein nydeleg Kykjb f - - L v 3 P E 5 pb 5 P på b få v F:, K Fø, E, O, Jø K Bk: Ek E, E, Bjø Ov Tj, Jkb Bkk F: Ov kjvk/b Ty Vå vk vy 6 Gvf 8 4 jkk vå vk vy v b O kykj på Ty E y -, ø bø bkk v kfj O Å f v kf kykj, på

Detaljer

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som

Detaljer

Kassett: 10 Lettlestbøker BM 1. klasse 9788292375686

Kassett: 10 Lettlestbøker BM 1. klasse 9788292375686 ABC-en Lesebok 1. trinn BM 1. klasse 9788292375518 ABC-en Arbeidsbok A 1. trinn BM 1. klasse 9788292375532 ABC-en Arbeidsbok 1. 1. trinn BM 1. klasse 9788292375549 ABC-en Arbeidsbok 2. 1 trinn BM 1. klasse

Detaljer

Intepretasjonsresultater for noen modale predikatkalkyler. Morten Rognes

Intepretasjonsresultater for noen modale predikatkalkyler. Morten Rognes * Intepretasjonsresultater for noen modale predikatkalkyler. * Morten Rognes 1974 * INNHOLD Språket L*...1 Avbildningen ;y fra L over i L*...1 Referanser...18 1 Språket L*. I det følgende skal vi anta

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2009

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2009 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2009 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i Ø v r e L j a n B o l i gs am e i e I I I, a v h o l d e s t o rs d a g 3 0. a p r i l 2 0 0 9, kl. 1800 i Nordstrand Eldresenter,

Detaljer

OPPLEVELSESBASERT MARKEDSFØRING LØSNING BAKGRUNN RESULTAT EN SPENNENDE HISTORIE

OPPLEVELSESBASERT MARKEDSFØRING LØSNING BAKGRUNN RESULTAT EN SPENNENDE HISTORIE I G S U O KGU LØSIG SUL SP HISOI I K J V O S K Ø L K U L U OPPLVLSSS KSFØIG V ha vj a h k k Sk a vy f u y Güøkka I v hu ha v a k fukk f vk f ha kk v y vaa fa - ha a j y ha k kuu a k h kk fa fø U Øyafva

Detaljer

)*+,-./-%/!0-./1".2+34.+,5%6!07-!8%5335%!92!05335%! +"::5%05,;!

)*+,-./-%/!0-./1.2+34.+,5%6!07-!8%5335%!92!05335%! +::5%05,;! "#$%&'())*#+&,-#./011$$,22&'3&% #$%&'(& )*+,-./-%/0-./1".2+34.+,5%607-8%5335%9205335% +"::5%05,; ?3-%: @-+,5%9AA2-75.5%"..1575%,+93/51-7 @-+,5%+,B/"5,"C-38B..++"::5%05,75/ D."75%+",5,5,"C,-7-.25%

Detaljer

Alle typer filter for utenbords & innenbords motorer

Alle typer filter for utenbords & innenbords motorer Alle typer filter for utenbords & innenbords motorer 10.04.2015 Innholdsfortegnelse Bensin-filter... 3 Bukh - Oljefilter... 4 Bukh - Drivstoff-filter... 4 CAV Type - Drivstoff-filter... 4 Cummins Olje

Detaljer

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R 2 0 1 0 A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r 2 0 1 0

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R 2 0 1 0 A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r 2 0 1 0 1 R o s e n b o r g g t. 1 2 B L I n n k a l l i r n g e n e r a l t f i o r s l a m l i n g o r 2 0 d 1 1 i n æ O r d i n æ r g e n e r a l f o rs am l i n g i R os en b o r g g t. 1 2 B L, a v h o l

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

av 17. juni 2005 Under henvisning til Konvensjonen om en felles transitteringsprosedyre 1, av 20, mai 1987 og særlig artikkel 15(3) (a),

av 17. juni 2005 Under henvisning til Konvensjonen om en felles transitteringsprosedyre 1, av 20, mai 1987 og særlig artikkel 15(3) (a), VEDTAK NR. 3/2005 AV EF/EFTAS FELLESKOMITÉ FOR FELLES TRANSITTERING av 17. juni 2005 vedrørende endring av Konvensjonen om en felles transitteringsprosedyre av 20. mai 1987. FELLESKOMITEEN Under henvisning

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes 1 * Tractatus-modeller og begreps-rammer. * Morten Rognes 1998 * 2 Forord Det følgende arbeid er basert på notater som forfatteren gjorde i 1983. Disse notatene ble liggende uten å bli bearbeidet helt

Detaljer

Institutt for datavitenskap og informasjonsvitenskap Institutt for matematiske fag

Institutt for datavitenskap og informasjonsvitenskap Institutt for matematiske fag 2.9 ÅRSSTUDIER 2.9 ÅRSSTUDIER SIDE 137 Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektronikk Institutt for datavitenskap og informasjonsvitenskap Institutt for matematiske fag Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

0 1 *" + + +! 2"0 + 3" 01 + +! 0 2 5! +! 0 + + + 26!1! + "2 " # " +7 8 9 + "+02. 02 / + + 0 + +4 "+ 2 5 + +. + +04 0 4 4! 0 + 2

0 1 * + + +! 20 + 3 01 + +! 0 2 5! +! 0 + + + 26!1! + 2  #  +7 8 9 + +02. 02 / + + 0 + +4 + 2 5 + +. + +04 0 4 4! 0 + 2 1 " $ % & ' ( ) * ),%,',-,) $. $$ / $% $' $' 1 *" " 3" 1 4 5 5 61 " " " 7 8 9 " ". / 4 4 " 5 : ". 4 4 4." " " 4 4 5 "6" ; < = " 4 ; / " 7 >"? @ / 4 7. 4 > * 6" " A ". 1 5 7. 7 " " " 1

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l år e t s g e n e r a l f o rs am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i n

Detaljer

Høyder på elliptiske kurver og faktorisering. Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002

Høyder på elliptiske kurver og faktorisering. Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002 Høyder på elliptiske kurver og faktorisering Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002 2 Lenstras faktoriseringsalgoritme Faktoriseringsproblemet: n = p α 1 1 pα K K skal faktoriseres. Lenstras

Detaljer