Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Transkript

1 Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler

2 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler framstilles ganske likt som i MAT1110, men vi har andre typer og tolkninger. I kompendiet i MEK1100 er kurveintegraler diskutert kort i kap. 6. Forelesningsnotater: Stoffet er presentert fyldigere og sammen med kap. 4. Numerisk vinkling på definisjon av kurveintegral. Fysisk inspirerte utledninger av viktige derivasjonsoperatorer Eksempler

3 ... Struktur 1 Kurver 2 Utvikling av kurveintegral av skalarprodukt. Utgangspunkt i diskretisering Midtpunktmetode formuleres og egenskaper diskuteres Relasjon til vanlig integral Notasjoner 3 Volumfluksintegral (fluks strøm) 4 Trykkintegral 5 Sirkulasjon og nettoutstro mning 6 Divergens 7 Virvling Eksempler

4 Kurver Uttrykt som likning R 2 : Kommentar: ekviskalarlinjer er definert slik. f (x, y) = 0, (1) R 3 : f (x, y, z) = 0 definerer flate, f (x, y, z) = 0 og g(x, y, z) = 0 skjæring av to flater; dvs. kurve Uttrykt ved parameterisering r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (2) t er parameter og x(t), y(t) og z(t) er skalarfunksjoner av t. Mange valg og tolkninger for t. Eksempler

5 ... Spesialtilfelle, x som parameter r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. Spesialtilfelle, y som parameter r(y) = x(y)i + yj + z(y)k. Ikke alle kurver kan beskrives med x eller y som parameter. Eksempler

6 Rett linje Likning Parmeterisering ax + by + c = 0, x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Må ha (hvorfor?) v normal på ai + bj og ax 0 + by 0 + c = 0. Stor valgfrihet, untatt hvis feks. r=posisjon og t=tid. Eksempler

7 Derivering av r(t) dr dt = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, der x er det samme som dx dt. dr dt er tangent til kurven i + y(t+ t) y(t) t Hvis r= posisjonsvektor og t=tid er dr dt =hastighet ) j + z(t+ t) z(t) t k (3) Eksempler

8 y dr dt r/ t x r/ t og dr/dt. Lengde av derivert avhenger av enheter/skalering. Eksempler

9 Kurvegeometri Differensial dr = dr dt dt = x dti + y dtj + z dtk = dxi + dyj + dzk Buelengdedifferensial ds = dr dt dt = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dvs. og enhetstangent (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt s (t) = dr dt (x = ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4) t = 1 dr s (t) dt. Eksempler

10 Enhetsnormal i R 2 N = dr dt k = y i x j. Fordi N = dr dt = s (t) blir enhetsnormalen n er også enhetsnormal n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (x ) 2 + (y ) 2. Enhetsnormaler er viktige, men ofte dårlig forstått Eksempler

11 NYTT TEMA Kurveintegraler Eksempler

12 Definisjon Akkumulering (summering) av en størrelse langs en kurve Viktig tilfelle Akkumulering av arbeid på partikkel langs en kurve Arbeid Arbeid = kraft ganger vei, benevning J = N m W = F s Vektorform; bare komponent av F langs vei gjør arbeid. W = F r (5) Uttrykk gjelder for F=konstant og rettlinjet vei. Hva er arbeid når F(r) og veien er en kurve? Eksempler

13 Diskretiseringer (eksempler) y polygon r n y tangenter r(t 5 ) C C r(t 1 ) r(t 2 ) r 1 x x Ide: Erstatt kurven (veien) med et antall rette linjestykker. Estimerer arbeid ved at W = F r brukes på hvert rett linjestykke med passende konstant verdi for F. Eksempler

14 Bruk av tangenter Parameterisering: r(t), t [a, b] n delintervaller: [a, a + h], [a + h, a + 2h],..,[a + (n 1)h, a + nh] der h = (b a)/n Midtpunkt i intervall i : t i = (i 1 2 )h Hvert intervall tilnærmet kurvebit r i = r (t i )h r(t i h) r(t i 1 2 h) På hvert intervall F F(r(t i )) = F i Arbeid på intervall i: F i r i Estimat av totalt arbeid W(n) = n F i r i = n i=1 i=1 F(r(t i )) dr(t i) dt h Eksempler

15 Konvergens W(n) avhenger av diskretisering Oppløsning: valg av n og h. Type av diskretisering. Polygonapproksimasjon (tidligere lysark) gir annet svar enn tangent/midtpunkt for samme oppløsning. Dersom alle fornuftige diskretiseringer gir W(n) som nærmer seg den samme verdi når h 0, dvs. n mm., ville denne verdien være en fornuftig definisjon av arbeid. Eksempler

16 Eksempel (dimensjonsløst) y C x r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j (6) Et lite program som beregner W(n) gir n W(n) Ser ut til å nærme seg når h 0. Eksempler

17 Relasjon til ordinært integral Definerer vanlig funksjon : g(t) = F(r(t)) r (t) Da følger W(n) = n i=1 F(r(t i )) dr(t i) h = dt n g(t i )h, (7) i=1 som svarer til midtpunktmetoden (MAT-INF1100) for W = b a g(t)dt. (8) Grenseverdien for (7), når n blir stor, må da svare til integralet i (8). Eksempler

18 Midtpunktmetode for 1 2 π 0 g(t)dt for eksempel med n = 7 g(t) 0 t π t Eksempler

19 Integrasjon i formel Innsetting r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j b g(t)dt = a = 1 2 π π 0 =... F(r(t)) r (t)dt ( 1 4 (cos t sint)( sint) + (1 2 cos t sin2 t)cos t ) dt = π Stemmer med numerisk beregnet W(n). Eksempler

20 Feilestimat for midtpunktmetode Feil for enkelt intervall E i = t i h t i 1 2 h g(t)dt g(t i )h MAT-INF1100 og forelesningsnotater K en konstant, M maksimum av g Viktig: feil proposjonal med h 3 E i Kh 3 M, (9) Total feil (M er nå maks. i [a, b]) b n g(t)dt g(t i )h (b a)kh2 M (10) a i=1 Eksempler

21 Kurveintegral Definisjon W = b a F(r(t)) dr(t) dt. (11) dt r dt = dr parameteruavhengig notasjon W = F dr, (12) C Komponenter F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + C C C C F y dy. (13) Eksempler

22 ... NB Det er viktig å huske at feks. C F x(x, y)dx ikke kan integreres ved å antiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i C. Både x og y vil variere langs C. Dette blir tydelig hvis vi innfører parameteren t i integralene C C b F x dx = F x (x(t), y(t))x (t)dt, F y dy = a b a F y (x(t), y(t))y (t)dt. Eksempler

23 Feilestimat til senere C F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (14) dt der C er kurvebiten parameterisert over intervallet [ˆt 1 2 h,ˆt + 1 2h] og R er begrenset av en konstant ganger ekstremverdiene av d2 (F dr dt 2 dt ) på dette intervallet. Eksempler

24 Når F er en gradient Anta det eksisterer en β(x, y, z) slik at Kurveintegralet blir b a F = β. F(r(t)) dr(t) b dt = dt a β(r(t)) dr(t) dt. dt Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = d dt { β(r(t)) } og b a F(r(t)) dr(t) b dt = dt a Integralet er uavhengig av veien. dβ(r(t)) dt = β(r(b)) β(r(a)). dt Eksempler

25 ... Vi skriver utregningen mer direkte ved dβ = β dr: β dr = dβ = β b β a, (15) C C Analogi til analysens fundamentalteorem d c f (x)dx = f (d) f (c). Eksempler

26 Potensiell energi (relevant for FYS-MEK1110) Dersom F = β er et kraftfelt vil β svare til minus den potensielle energien: V = F. Endringen i potensiell energi er da lik minus det arbeidet som kraften F utfører langs C V b V a = F dr. Hvis arbeidet går til endring av kinetisk energi vil summen av potensiell og kinetisk energi holde seg konstant. C Eksempler

27 Arbeid med t som parameter Når tiden er parameter W = C F dr = b a F dr b dt dt = a F vdt, der v er hastigheten. F v = arbeid per tid = effekt Eksempler

28 NYTT TEMA Strøm- og trykkintegraler Eksempler

29 Volumstrøm Hastighet v. Volumstrøm, per tid, gjennom flatelement normalt v, med areal dσ Benevning for dq 3 er m 3 / s. dq 3 = ± v dσ, Når flatenormal, n, danner vinkel med v er det bare normalkomponent, v n, som gir volumstrøm dq 3 = v ndσ, Tilsvarende massestrøm er ρv ndσ, der ρ er spesifikk masse. For en hel flate må utstrømningen integreres(summeres) over flaten flateintegral som gjennomgåes siden. Eksempler

30 2D variant: volumstrøm i skiver Studerer skiver, eller deler av slike, med grunnflate i xy-planet og konstant tykkelse B i z-retning. Hastighet v(x, y) uniform i z retning. Grunnflate begrenset av kurve, C, i xy-planet r(t) = x(t)i + y(t)j. dr langs C sideflatesegment med areal dσ = B dr = Bds Volumstrøm dq 3 = v ndσ = v nbds, 2D fluksbegrep: Volumstrøm per tid og per tykkelse med benevning m 2 / s. dq = dq 3 B = v nds, Eksempler

31 Geometrisk tolkning av 2D fluks (a) v n = (v n)n (b) v n ds n v s v ds n v dt v h = v n dt Segment, lengde ds, av skive sett ovenfra. Siden segmentet er lite ser det ut som en rett linje (a): Dekomponering av hastigheten (b): Skraverte parallelogram: volumstrøm ut i tiden dt. Arealet er hds = ds v n dt. Eksempler

32 Kurveintegralet for volumstrøm dq summert over sidekant svarende til kurve C i xy-planet Q = v nds (16) Parameterisering r(t), innsetting ds = s dt Q = v(r(t)) n(t)s (t)dt C C Har fra før n = N/s ns = N = r k = y i x j Q = v nds = (v x y v y x )dt = (v x dy v y dx). (17) C C Må passe på at kurven gjennomløpes slik at n peker mot høyre, sett ovenfra.* C Eksempler

33 Trykkintegral langs kontur Trykk: kraft per flate, rettet normalt inn mot flaten. På flatesegment dσ, med enhetsnormal n, blir kraften df = pndσ. (18) Trykk har benevning N/ m 2. Trykk-kraft på flate flateintegral Igjen: ser på sidekanter av skive med tykkelse B. Da er dσ = Bds og df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der df 2 har bevevning N/ m dvs. kraft per lengde. Summert langs profil definert ved kurve c i x, y-planet F 2 = pnds. (19) C Eksempler

34 ... Dekomponering F 2 = F x i + F y j. F 2 = pns (t)dt = p(y i x j)dt = i dvs C C F x = C pdy, F y = C C pdx pdy + j C pdx. Nok en gang: må huske at både x og y varierer langs C; generelt er det feil å antiderivere p mhp. y og x. (20) Eksempler

35 Eksempel, trykk på dam y g p = p 0 x dr n v = 0 x = b(y) y = H Likevekt hydrostatisk trykk: p = p 0 ρgy (tas bare for gitt nå) Ex H08: finn kraften på profilen når. b(y) = αy 2 Eksempler

36 ... Bruker y som parameter Dette gir r(y) = b(y)i + yj = αy 2 i + yj. F x = p(y)dy = C = p 0 H 1 2 ρgh2, 0 H (p 0 ρgy)dy = [ p 0 y 1 2 ρgy2] 0 H F y = C p(y)dx = C p(y) dx dy dy = 0 H (p 0 ρgy)b (y)dy = 0 H (p 0 ρgy)2αydy = = [ α(p 0 y ρgy3 ) ] 0 H = α ( p 0 H ρgh3). Eksempler

37 NYTT TEMA Nettoutstrømning, sirkulasjon divergens og virvling Eksempler

38 Sirkulasjon Sirkulasjon for en lukket kurve, λ Γ = v dr, (21) som har mening både i to og tre dimensjoner. integrasjonen omkring lukket kurve Omløpsretning må defineres I R 2 er omløpsretning vanligvis mot urviserne sett ovenfra (fra positive z verdier λ (21) er samme type integral som arbeidsintegralet, med F erstattet med v. Eksempler

39 Volumstrøm ut av et lukket område Volumstrømmen(fluksen) per tykkelse og tid ut av en lukket skive Q = v nds. (22) λ er skivens omriss i xy-planet n er rettet ut av området ds regnes positiv Q > 0 nettostrøm ut av området Q < 0 nettostrøm inn i området λ Eksempler

40 Divergens av vektorfelt λ snøres sammen til punkt, r 0 Q 0. Hva med netto relativ utstrømning? Q A = 1 v nds, A der A er arealet omsluttet av λ. λ snøres sammen til r 0 både Q og A 0 Divergens definert som grenseverdi Skalarfeltet v er divergensen λ Q v(r 0 ) = lim A 0 A. (23) Eksempler

41 ... 1 Eksisterer grensen i det hele tatt? 2 Dersom den eksisterer er det klart den avhenger av feltet v og posisjonen r 0, men er det likegyldig hvordan vi snører sammen kurven λ? 3 Er det en mer direkte relasjon mellom vektorfeltet v og skalarfeltet v? 4 Hvorfor bruker vi den spesielle notasjonen? 1 og 2 kan besvares med ja når vi har gjennomgått integralsatsene. 3 skal vi besvare ved å se på grensen for enkle kurver λ 4 besvares vha. resultat i 3 Eksempler

42 Utstrømning av et rektangel v y n = j λ 2 n = i λ 1 h (x 0, y 0 ) v x λ 3 h n = i n = j Rektangel λ med enhetsnormaler og oppdeling, areal A = h 2. Vi lar område 0 ved h 0. Det fokuseres først på strøm gjennom λ 1 : Q 1. λ 4 Eksempler

43 Bruk av numerisk integrasjonsformel Q 1 = v ids = λ 1 y h y h v x (x h, y)dy 2 Når h er liten kan vi kanskje bruke midtpunktmetoden? F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, dt C gir her Q 1 = hv x (x h, y 0) + R 1 h 3 der R 1 er begrenset av M = 1 24 max 2 v x y 2 på λ 1 Vi kan ignorere feilledd R 1 h 3, hvorfor? Eksempler

44 ... Skal finne Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 h 2. Bidrag fra feilledd i Q 1 i siste brøk er R 1 h 3 h 2 = hr 1, som 0 når h 0. Feilledd kan sløyfes for alle fire sider (λ i, i = 1, 2, 3, 4). Deler opp Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 Q 2 + Q 4 h 0 h 2 + lim h 0 h 2. Dvs. tar λ 1 + λ 3 (parallelle med y-aksen) og λ 2 + λ 4 (parallelle med x-aksen) hver for seg. Eksempler

45 n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (x 0, y 0 ) λ 1 v x n = i h n = j λ 4 y h 1 Q 3 = v ( i)ds = v x (x 0 2 h, y)dy hv x(x 0 1 h, y)h. 2 λ 3 y h Eksempler

46 Q 1 + Q 3 lim h 0 h 2 = lim h 0 = v x(x 0, y 0 ) x ( vx (x h, y 0) v x (x h, y ) 0) Dividert differanse svarer til midtpunktformelen for den deriverte. Q 1 + Q 3 kan leses som: volum ut λ 1 - volum inn λ 3, der fortegn kommer fra retning på n. h Eksempler

47 Samme behandling av Q 2 + Q 4 Q 2 = Q 4 = Midtpunktformel v jds = λ 2 Q 2 + Q 4 lim h 0 h 2 = lim h 0 x h x h v y (x, y h)dx, x h v ( j)ds = v y (x, y h)dx. x λ h = v y(x 0, y 0 ) y ( vy (x 0, y h) v y(x 0, y h) ) h Eksempler

48 Divergensen Q v = lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 Grenseovergang derivasjonsoperator Uttrykk for divergens (spørsmål 3) h 2 = v x(x 0, y 0 ) x v = v x x + v y y + v y(x 0, y 0 ). y Eksempler

49 Hvorfor notasjon v (spørsmål 4)? Skrivemåten v er motivert av den formelle regningen ( v = i x + j ) (v x i + v y j) y Tilsvarende i 3D: = i i v x x + j i v x y + i j v y x + j j v y y = v x x + v y y. Divergensen av v = v x i + v y j + v z k er v = v x x + v y y + v z z Eksempler

50 Hvorfor er divergens viktig? Divergens er utstrømning/innstrømning til et punkt. Begrepet er helt avgjørende for å forstå og beskrive oppførsel av væskestrøm. Divergens er viktig i andre sammenhenger enn væskestrøm Fluksregnskap for små rektangler (bokser, celler), med feks. midtpunktmetode for integraler langs sideflatene, er viktige i konstruksjon av modeller for feks. dynamikk i hav og atmosfære. Eksempler

51 Avledning av divergensdefinisjon v x x + v y y = lim Q A 0 A = lim 1 A 0 A λ (v x dy v y dx) Valg av hhv. v x = P, v y = 0 og v x = 0, v y = Q gir P x = lim 1 A 0 A Q y = lim 1 A 0 A For vilkårlige skalarfelter P og Q. λ λ Pdy. Qdx. Eksempler

52 Virvlingen til et 2D vektorfelt Som for relativ utstrømning ser vi på grenseovergangen av sirkulasjonsintegralet Γ lim A 0 A = lim 1 1 v dr = lim (v x dx + v y dy). (24) A 0 A λ A 0 A λ Bruker avledninger på forrige lysark med Q = v x og P = v y Γ lim A 0 A = lim 1 1 v y dy + lim v x dx = v y A 0 A A 0 A x v x y λ λ (25) Siste uttrykket representerer størrelsen av virvlingen Eksempler

53 Virvlingen, notasjon og utregning Virvlingensvektoren i 2D i j k v = x y 0 v x v y 0 = Formell determinant i analogi med kryssprodukt Vi kan skrive 1 lim v dr = k v. A 0 A λ Eller si at for små A er v dr Ak v. λ Disse uttrykkene blir generalisert og skjerpet senere ( vy x v ) x k. (26) y Eksempler

54 Virvlingensvektoren i 3D A = = i j k x y z A x A y A z ( ) ( ) ( ) A z y Ay A z i + x z Az A x j + y x Ax y k. (27) Eksempler

55 v funnet ved Taylorutvikling n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (0, 0) λ 1 v x h n = i n = j Forenkling: x 0 = y 0 = 0. Strøm gjennom λ 1 : 1 2 h Q 1 = v x ( 1 2h, y)dy 1 2 h Setter inn v x ( 1 2 h, y) = v x(0, 0) + vx x λ 4 h 2 + vx y y +... Igjen h 2 (Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 ) vx x + vy y når h 0. Hvorfor kan vi kutte ut fom. andreordens ledd i Taylorpolynomet? Eksempler

56 Andre enkle kurver n = i n = 1 2 (i + j) v n = 1 2 (v x + v y ) v x λ2 h v y λ 1 (x 0, y 0 ) n = j Analyse med midtpunktintegrasjon eller Taylorutvikling kan lett gjøres også for, feks., triangel. Konsistent definisjon av divergens og virvling i hht. generelle kurver innbakt i integrasjonssatser i kap. 6. λ 3 Eksempler

57 NYTT TEMA Todimensjonal divergensfri strøm og strømfunksjonen Eksempler

58 Strømfunksjonen Definisjon av strømfunksjon, ψ Gitt et hastighetsfelt i to dimensjoner v = v x i + v y j Dersom det finnes et skalarfelt, ψ(x, y), slik at er ψ(x, y) en strømfunksjon v x = ψ y, v y = ψ x (28) Lett å vise: Eksistens av ψ v = 0 Dersom det finnes en strømfunksjon slik at (28) gjelder er v divergensfri v = v x x + v y y = x ( ψ ) + y y ( ) ψ = 2 ψ x x y + 2 ψ y x = 0 Eksempler

59 ... Finnes alltid en ψ når strøm er 2D og divergensfri? Ja, under visse ekstra forutsetninger. Dette viser vi siden når integralsatsene er gjenomgått. Foreløpig finner vi strømfunksjoner for gitte divergensfrie hastighetsfelter. Har vi faktisk funnet en ψ eksisterer den jo! Eksempler

60 Gitt v, finn ψ; eksempel U er en konstant. Skal finne en ψ slik at v = v x i + v y j = U{(x + y)i + (x y)j}. v x = ψ y, v y = ψ x, for akkurat dette hastighetsfeltet Eksempler

61 1 Sjekker divergensfrihet v = v x x + v y y = U U = 0 Ikke strengt nødvendig, men en fornuftig start 2 Bruker v x = ψ y Antiderivasjon mhp. y ψ y = v x = U(x + y) ψ = Uxy 1 2 Uy2 + F(x), der F(x) er integrasjonskonstant 3 Setter resultat inn i v y = ψ x v y = U(x y) = ψ x = Uy + F (x) F (x) = Ux. Får F = 1 2 Ux2 + C der C er en konstant. Eksempler

62 Resultat ψ = 1 2 Ux2 1 2 Uy2 Uxy + C. Valg av C vilkårlig. I kompendiet regnes det litt anderledes ψ y = v x = U(x + y) ψ = Uxy 1 2 Uy2 + F(x), ψ x = v y = U(x y) ψ = 1 2 Ux2 Uxy + G(y). Sammenlikning av de to uttrykkene for ψ viser at G = 1 2 Uy2 + C og F = 1 2 Ux2 + C. Eksempler

63 Hva når ψ ikke finnes Nå er v = U + U = 2U 0. Bruker v x = ψ y v = U{xi + yj}. ψ y = v x = Ux ψ = Uxy + F(x), Setter resultat inn i v y = ψ x v y = Uy = ψ x = Uy + F (x) F (x) = 2Uy. Dette er umulig, med mindre U = 0; det finnes ingen ψ Eksempler