Elastisitetsteori. Spesiell relativitetsteori

Transkript

1 Elastisitetsteori Spesiell relativitetsteori FYS-MEK

2 man tir ons tor fre uke forelesning: spes. relativitet innlev. olig gruppe: spes. relativitet forelesning: spes. relativitet forelesning: repetisjon gruppe: spes. relativitet Himmelfart gruppe: spes. relativitet gruppe: repetisjon ingen forelesning gruppe: repetisjon gruppe: repetisjon ingen forelesning orakel FØ394 ingen forelesning orakel 1-14 FV39 ingen forelesning EKSMEN

3 Elastisitetsteori Hookes lov E Elastisitetsmodul E spenning F tøyning tverrkontraksjon y y y E Poissons tall skjærspenning: y F y G y G: skjærmodul for isotrope materialer: G E (1 ) FYS-MEK

4 Bøying av en jelke midtlinjen: den nøytrale linjen ovenfor komprimeres jelken nedenfor forlenges jelken forlengelsen l i avstand fra den nøytrale linjen: l ( R ) R l R l l R Hookes lov: ( ) E l l E R spenning i jelken FYS-MEK

5 FYS-MEK R E l l E ) ( en jelke med øyde og redde : totalkraft på tverrsnitt: / / ) ( ) ( d d F / / d R E nettokraft er null, men det virker et kraftmoment 0 R E

6 en jelke med øyde og redde : kraftmoment om O: i r F i i r df ( ) d R E d E R I I d flatetregetsmoment øyningen er gitt ved: 1 R I E τ: kraftmoment fra ytre krefter E: materialegenskap I : geometrisk jo større flatetregetsmoment, jo større motstand mot øyning ( ) E l l E R FYS-MEK

7 FYS-MEK Eksempel: flatetregetsmoment for en 4 cm trevirke: / / dy y d y I y F to orienteringer: F cm 3 8 cm 1 4 I cm 3 3 cm 1 4 I I

8 ttp://pingo.up.de/ access numer:718 Tre like lange jelker er laget av samme type stål og ar samme ytre dimensjoner og på tverrsnittet. Hvis alle jelkene utsettes for det samme kraftmomentet, vilken jelke vil øyes minst? 1. jelke. jelke B 3. jelke C 4. samme øying for alle tre Tverrsnitt av jelkene B C FYS-MEK

9 H H I B 1 BH 1 3 I B ( BH 1 ) B H 10 cm 9.4 cm 8 cm I 833 cm 100 cm 4 I 43 cm 4.8 cm 4 1 R I E FYS-MEK

10 Spesiell relativitetsteori Einsteins mirakelår 1905 an var 6 år gammel og joet som patenteandler ved det sveitsiske patentyrået i Bern i 1905 puliserte an fire artikler: forklaring av Brownske evegelser forklaring av den fotoelektriske effekten spesiell relativitetsteori forklarte forold mellom masse og energi lert Einstein ( ) FYS-MEK

11 Oppfatninger på denne tiden: ølger trenger et medium for å forplante seg verdensrommet må være fylt av eter slik at lysølger kan forplante seg konsekvens: jorden eveger seg relativ til eteren lysets astiget på jorden er avengig av retning relativ til eteren Micelson Morley eksperiment i 1887: prøvde å påvise effekten av jorden evegelse gjennom eteren men fant at lysastigeten er den samme uansett vilken retning den måles. nå kommer lert Einstein: Newtons lover er de samme i alle inertialsystemer Hvorfor krever elektromagnetisme (lysølger) et spesielt referansesystem tilknyttet ti eteren? FYS-MEK

12 Einsteins postulatene 1. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer.. Lysastigeten er den samme i alle inertialsystemer, og er uavengig av oservatørens evegelse. Newtonske mekanikk er ikke lenger gyldig får å eskrive vordan lys oppfører seg. FYS-MEK

13 Galileo transformasjon to koordinatsystemer: S (f.eks. jorden) S (f.eks. romskip) S eveger seg relativ til S med astiget u langs aksen, vor og aksene er parallelle O og O er på samme sted ved tid t=0 vi eskriver posisjonen til et partikkel P i system S: i system S : Galileo transformasjon: ut y y z z r (, y, z) r (, y, z) v v v v y v y z v z u va vis partikkelen er et foton som eveger seg med lysastiget? c c u Einsteins. postulat: c c vis Einsteins. postulat er riktig, så må vi modifisere Galileo transformasjonen er tiden den samme i S og S? FYS-MEK

14 Definisjon av endelse En endelse er en egivenet (noe) som kan lokaliseres i rom og tid dvs. gis koordinater (,y,z,t). Definisjon av samtidiget To endelser er samtidige dersom de inntreffer ved samme tid i ett og samme system S. S z y FYS-MEK

15 ttp://pingo.up.de/ access numer:718 En nao snekker i agen. Du merker at det er en liten forsinkelse mellom når du ser at an slår på en spiker og når du ører lyden. Når inntreffer endelsen ammeren treffer spikeren? 1. Idet du ører ammeren treffe spikeren.. Idet du ser ammeren treffe spikeren. 3. Litt etter at du ser ammeren treffe spikeren. 4. Litt etter at du ører ammeren treffer spikeren. 5. Litt før du ser ammeren treffe spikeren. z S y lydølger lysølger FYS-MEK

16 Samtidiget Matilde lyn treffer egge endene av en vogn og akken ved siden leander Matilde eveger seg mot lysølgen som kommer fra fremre enden av vognen og ort fra lysølgen som kommer fra akre enden. FYS-MEK

17 Matilde ser lyset fra den fremre enden først; un konkluderer at lynet ar truffet den fremre enden først. leander ser lyset kommer samtidlig fra egge endene; an konkluderer at lynet ar truffet egge endene samtidlig. (Lyset fra den akre enden ar ikke ennå kommet til Matilde.) to endelser: lyn treffer fremre enden lyn treffer akre enden Hendelsene er samtidig i system S (leander), men ikke samtidig i system S (Matilde) FYS-MEK

18 Tidsintervaller speil kilde Matilde efinner seg i toget (system S ) og maler tidsintervall mellom to endelser: 1. et lysglimt er sendt ut fra en kilde i O. lyset er påvist i en detektor på samme sted etter refleksjon av et speil i avstand d Hun måler: t d c leander står på plattformen. I system S inntreffer de to endelser på forskjellige steder. Lyset eveger seg med samme astiget, men distansen er lenger. l ut t d t c t t c u 1 c ut c FYS-MEK vi definerer: t t det kreves at u c 1 u 1 c

19 Tidsdilatasjon To endelser inntreffer på samme sted. En oservatør som er i ro i samme system måler et tidsintervall t 0 mellom endelsene. En annen oservatør som eveger seg med konstant fart u relativ til den første måler et tidsintervall: t t 0 u 1 c Et tidsintervall som er målt mellom to endelser i et referansesystem der posisjonen er identisk for egge endelser, kalles en egentid. t t vi ser at: 0 tidsdilatsjon vi ruker u 1 c t t 0 Tidsdilatasjonen er ikke relatert til tiden lyset trenger for å komme til oservatøren. I systemet som eveger seg inntreffer de to endelser på forskjellige steder. FYS-MEK

20 ttp://pingo.up.de/ access numer:718 Matilde flyr i et romskip med v = 0.6 c. I øyelikket un flyr fori leander på jorden starter egge to sin klokke. Litt senere flyr Matilde fori en romstasjon. Hennes klokke viser t = 1.0 s. Hva viser klokken til leander?. 0.8 s B. 1.0 s C. 1.5 s M 1. endelse: Matilde flyr fori leander. endelse: Matilde flyr fori romstasjonen M I system romskip inntreffer egge endelser på samme sted og Matilde måler egentiden t 0 = 1.0 s. leander eveger seg med fart v = 0.6 c relativ til Matilde og an maler tidsintervallet: t t 1.0 s s FYS-MEK

21 ttp://pingo.up.de/ access numer:718 Når Matilde flyr fori leander med v = 0.6 c vinker an til enne. Matilde måler at leander vinker i ett sekund. Hvor lenge ar an vinket? M. 0.8 s B. 1.0 s C. 1.5 s 1. endelse: leander egynner å vinke. endelse: leander slutter å vinke I system jorden inntreffer egge endelser på samme sted og leander måler egentiden t 0. Matilde eveger seg med fart v = 0.6 c relativ til leander og un maler tidsintervallet: leander måler tidsintervallet: t 1 t 0 t s FYS-MEK t 0.8 s

22 Eksempel: myoner Myoner er elementærpartikler som kan oppstår når øyenergetisk kosmisk stråling treffer på jordens atmosfæren. enfall: e e med gjennomsnittlig levetid. μs endelse 1: myon oppstår i atmosfæren endelse : myon enfaller I systemet tilknyttet myonet inntreffer egge endelser på samme sted og tidsintervallet er t 0 =. s (egentid) Pga. den øyenergetisk kosmisk stråling ar myoner øy astiget: v 0. 99c Sett fra jorden er levetid til myonet t t 1. μs μs Uten tidsdilatasjon vil myonet komme så langt: c.10 6 s m/s 660 m Pga. den relativistiske astigeten eveger myonet seg gjennom atmosfæren og kan li påvist på akken. 4.7 km FYS-MEK