FRAMLEGG TIL LØYSING AV EKSAMENSOPPGÅVER I SOS311 / SOS MAI 1998

Transkript

1 1 EKSAMENSOPPGÅVER Vår 1998 FRAMLEGG TIL LØYSING Erling Berge Norges Teknisk Naturvitskapelege Universitet «Bruksanvisning» Når ein går igang med å løyse oppgåver må ein ha i minnet at oppgåvene ofte er problematiske i høve til modellbygginga sitt krav om at modellen må vere fundert på den best tilgjengelege teorien. Mangelen på teoretisk fundament for oppgåvene kan forsvarast ut frå to perspektiv. Det avgjerande er rett og slett mangelen på tid og høvelege data for å lage eksamensoppgåver av den «realistiske» typen det er tale om her. Men tar ein for gitt at oppgåvene sjeldan kan seiast å vere teoretisk velfundert, gir jo dette studentane lettare gode poeng i arbeidet med å vurdere modellane kritisk ut frå spesifikasjonskravet. Når ein studerer framlegga til løysingar er det viktig å vere klar over at det som er presentert ikkje er nokon fasit. Dei fleste oppgåvene kan løysast på mange måtar. Dei tekniske sidene av oppgåvene er sjølvsagt eintydige. Men i dei mange vurderingane (som t.d. «Er denne residualen tilstrekkeleg nær normalfordelinga til at vi kan tru på testane?») er det nett vurderingane og argumentasjonen som er det sentrale. På eksamen er tida knapp. Svært få rekk i eksamenssituasjonen å gjere grundig arbeid på heile oppgåvesettet. I arbeidet med dette løysingsframlegget har det vore gjort meir arbeid enn det som ein ventar å finne til eksamen. Somme stader er det teke med meir detaljar i utrekningar og tilleggsstoff som kan vere relevant, men ikkje nødvendig. Men det er ikkje gjort like grundig alle stader. Det må takast atterhald om feil og lite gjennomtenkte vurderingar. Underteikna har like stor kapasitet til å gjere feil som andre. Kritisk lesning av studentar er den beste kvalitetskontroll ein kan ønskje seg. Den som finn feil eller som meiner andre vurderingar vil vere betre, er hermed oppfordra til å seie frå (t.d. på <Erling.Berge@sv.ntnu.no> ) Erling Berge 2000

2 2 Oppgåve 1(tel 10% i karakteren for alle) A) Forklår kva eit konfidensintervall er for noko. Når vi trekkjer mange utval frå same populasjonen vil estimat av samme parameteren variere frå utval til utval. Variasjonen i estimert parameterverdi i ulike utvala følgjer samplingfordelinga til parameteren og vil samle seg rundt den sanne verdien som parameteren har i populasjonen (forventa verdi av parameteren). Samplingfordelingar som er kjent og tabulert slik som t.d. normalfordelinga eller t-fordelinga, kan nyttast til å seie kor sikre vi er på at ein observert parameterverdi (dersom denne da er normalfordelt, eller t- fordelt) ligg «nært» verdien i populasjonen. Det er vanleg å lage eit intervall rundt den observerte parameteren slik at vi er 95% (eller 99%) sikre på at intervallet vil innehalde verdien i populasjonen. Eit 95% konfidensintervall for ein regresjonsparameter, b, vil såleis vere eit intervall (b ± t (SE b )) rundt b laga slik at vi i 95% av alle utval vil finne at intervallet dekkjer den sanne verdien i populasjonen. B) Forklår kva «eit spuriøst ledd» i ei dekomponering av ein korrelasjon er for noko. Ein korrelasjon (samvariasjon) mellom to variablar kan observerast dels fordi det finst kausale samband (direkte eller indirekte) mellom dei og dels fordi det finst andre typar samband som gir opphav til samvariasjon. I eit fullspesifisert hierarkisk kausalsystem vil vi kunne dekomponere korrelasjonar i ulike typar effektar: direkte og indirekte kausaleffektar, spuriøse effektar og felleseffektar. Dei spuriøse effektane finn vi der dei to variablane i korrelasjonen har felles bakanforliggande årsaker. Felleseffektar er spuriøse effektar med utgangspunkt i at korrelerte eksogene variablar med kausaleffekt på kvar sin av variablane i korrelasjonen også vil føre til samvariasjon.

3 3 Oppgåve 2 (tel 50% av karakteren for alle) I ein studie av skilnader mellom menn og kvinner i «sensualisme» nytta ein variabelen «Lever intenst» som indikator. Variabelen fortel kor einig ein person er i påstanden «Jeg ønsker å føle at kroppen min lever så intenst som mulig». I vedlagde tabellar er det estimert ein modell av korleis kjønn verkar inn på denne variabelen når det er kontrollert for alder, ekteskapeleg status, barn, utdanning, inntekt og interaksjonar mellom dei. Modell 2 og 3 er variantar av modell 1. A) Finn eit 95% konfidensintervall for effekten av kvinne i modell 1 når ein ikkje tar omsyn til interaksjonane. Finn den forventa skilnaden i predikert verdi på variabelen «Lever intenst» mellom menn og kvinner når dei er 30 år gamle, er ugifte og utan barn, har 12 års utdanning og 180 tusen kroner i inntekt. Finn kva for variabel som har minst toleranse og forklår kva dette tyder. Eit 95% konfidensintervall for effekten av «kvinne» i modell 1 finn vi ved <0,72427 ± 1,96*0,345626> <0, ,4017> Med andre ord: I modell 1 kan ikkje effekten av å vere kvinne fastsetjast meir presist enn at det med meir enn 95% sannsyn vil ligge mellom 0,04 og 1,41 haldningspoeng over tilsvarande menn sin haldningspoengskåre. Det skal så reknast ut skilnad i forventa predikert verdi for kvinner og menn som er 30 år gamle, er ugifte og utan barn, har 12 års utdanning og 180 tusen kroner i inntekt. Ugift kan anten vere «før gift» eller «aldri gift». Vi skal her rekne med aldri gift, men tal for «før gift» er også gitt. For kvinner finn vi «aldri gift» «før gift» 3,54663 = 3, , ,00374* Alder=30 +0, , ,72427* Kvinne=1 +0, , ,04131* E.utdanning=12-0, , ,00087* E.inntekt=180-0, , ,21281* Før gift=0 0 Før gift=1 +0, ,00985* Aldri gift=1-0,00985 Aldri gift=0 0-0,92539* Uoppgitt e. status= ,17831* Barn i husholde= ,04011* Kvinne*Før g.=1*0 0 Kvinne*Før g. =1*1-0, ,21534* Kvinne*Aldri g.=1*1 +0,21534 Kvinne*Aldri g.=1*0 0-0,89061* Kvinne*Uoppg.e.=1* ,00482* Kvinne*Alder=1*30-0, , ,05389* Kvinne*E.utd=1*12-0, , ,00197* Kvinne*E.innt=1*180-0, , ,00027* Kvinne*E.utd*E.inn=1*12*180 +0, ,58320 = 3,37359 =3,3408

4 4 For menn finn vi tilsvarande: MENN «aldri gift» «før gift» 3,54663 = 3, , ,00374* Alder=30 +0, , ,72427* Kvinne= ,04131* E.utdanning=12-0, , ,00087* E.inntekt=180-0, , ,21281* Før gift=0 0 Før gift=1 +0, ,00985* Aldri gift=1-0,00985 Aldri gift=0 0-0,92539* Uoppgitt e. status= ,17831* Barn i husholde= ,04011* Kvinne*Før g.=0*0 0 Kvinne*Før g.=0*1 0 +0,21534* Kvinne*Aldri g.=0*1 0 Kvinne*Aldri g.=0*0 0-0,89061* Kvinne*Uoppg.e.=0* ,00482* Kvinne*Alder=0* ,05389* Kvinne*E.utd=0* ,00197* Kvinne*E.innt=0* ,00027* Kvinne*E.utd*E.inn=0*12* = 2,99666 =3,21932 Skilnaden mellom kvinner og menn er på 0,37693 haldningspoeng for aldri gifte og 0,12148 haldningspoeng for før gifte. Sidan det er skilnaden mellom menn og kvinner kan vi imidertid rekne oss rett på skilnaden ved å sjå berre på dei ledda som inkluderer «kvinne», dei andre blir jo identiske for menn og kvinner: KVINNER «kvinne aldri gift» 3,54663 = +0,00374* Alder=30 +0,72427* Kvinne=1 +0, ,04131* E.utdanning=12-0,00087* E.inntekt=180 +0,21281* Før gift=0-0,00985* Aldri gift=1-0,92539* Uoppgitt e. status=0-0,17831* Barn i husholde=0-0,04011* Kvinne*Før g.=1*0 +0,21534* Kvinne*Aldri g.=1*1 +0, ,89061* Kvinne*Uoppg.e.=1*0-0,00482* Kvinne*Alder=1*30-0, ,05389* Kvinne*E.utd=1*12-0, ,00197* Kvinne*E.innt=1*180-0, ,00027* Kvinne*E.utd*E.inn=1*12*180 +0,58320 = 0,37693 Dersom vi vil ha «kvinne før gift» byter vi ut +0,21534 med koeffesienten for interaksjonen «Kvinne*Før g.», -0, VIF er forkorting for «variansinflasjonsfaktor» og er den inverse av toleransen. Variabelen «Kvinne» har ein toleranse (=1/VIF) på 0,012. Dette er den minste toleransen. Den tyder at 98,8% av variasjonen i variabelen «Kvinne» er felles med andre variablar. Dette fører til svært høg grad av

5 5 multikollinearitet (jfr Hamilton side 135). Estimatet av effekten av variabelen blir svært upresist (dvs. vi får eit uvanleg stort standardavvik, jfr konfidensintervallet ovanfor) B) Gjer greie for kva føresetnader som må leggast til grunn i ein slik studie for at vi skal kunne dra slutningar om parameterverdiane i populasjonen utvalet er trekt frå. Vurder modell 1 opp mot føresetnadene. Føresetnadene vert formulert i høve til ein modell. La Y = Lever intenst X 1 = Alder X 2 = Kvinne X 3 = E.utdanning X 4 = E.inntekt X 5 = Før gift X 6 = Aldri gift X 7 = Uoppgitt e. status X 8 = Barn i husholde X 9 = Kvinne*Før gift X 10 = Kvinne*Aldri g. X 11 = Kvinne*Uoppg.e. X 12 = Kvinne*Alder X 13 = Kvinne*E.utd X 14 = Kvinne*E.innt X 15 = Kvinne*E.utd*E.inn Vi kan da skrive Yi = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + β 4 X i4 + β 5 X i5 + β 6 X i6 + β 7 X i7 + β 8 X i8 + β 9 X i9 + β 10 X i10 + β 11 X i11 + β 12 X i12 + β 13 X i13 + β 14 X i14 + β 15 X i15 + ε i, der residualane, ε i, er uavhengige og identiske normalfordelte og indeksen i går over populasjonen. Modellestimata gir ein beskrivelse av utvalet. For å kunne dra valide konklusjonar om tilhøva i populasjonen, må følgjande føresetnader, vere rette: I. Modellen er korrekt, dvs.: alle relevante variablar er med ingen irrelevante er med modellen er lineær i parametrane II.Gauss-Markov krava for «Best Linear Unbiased Estimates» (BLUE), dvs.: Faste x-verdiar. Feilleddet har forventning 0 for alle i, dvs: E(εi )=0 for alle i. Feilleddet har konstant varians (homoskedastisitet) dvs: var(εi )=σ 2 for alle i. Feilledda er ukorrelerte med kvarandre (ikkje autokorrelasjon) dvs: cov(εi,εj ) = 0 for alle i j.

6 6 III. Normalfordelingskravet, dvs.: Feilleddet er normalfordelt, dvs: εi ~ N(0, σ 2 ) for alle i. Når desse føresetnadene er stetta vil OLS regresjonen gi oss dei estimata som har minst varians av alle forventningsrette estimat (BUE) og vi kan uttale oss med kjent grad av tryggleik om parameterverdiar i populasjonsmodellen. I vurderinga av modell 1 i høve til desse krava kan det reisast spørsmål om modellspesifikasjonen. Substansen i modellen lar eg ligge i denne omgang. Den låge determinasjonskoeffesienten tyder på at dei variablane som er med i modellen ikkje er særleg viktige i å forklåre variasjonar i svaret på spørsmålet. Potensielt kan det da vere minst ein viktig utelaten variabel, men ikkje nødvendigvis. Dei utelatne variablane kan vere ukorrelert med dei vi studerer. Dei er da ikkje relevante for denne modellen. På teknisk grunnlag kan det reisast innvendingar mot bruk av Kvinne i mange interaksjonsledd. Størst ser problemet ut til å vere i høve til alder. Testen av gruppa (Alder, Kvinne og Alder*Kvinne) viser at dei ikkje er signifikante samla. Sannynlegvis er interaksjonsleddet Kvinne*Alder irrelevant. Ein modell utan interaksjonsleddet burde vore estimert. For Gauss-Markov krava kan ein ikkje seie noko om dei to første punkta. Dei lar seg ikkje teste. I eit tilfeldig landsomfattande utval har vi ingen haldepunkt for å teste autokorrelasjon. Det einaste vi kan sjekke er i kva grad kravet om homoskedastisitet er oppfylt. I plottet av residualen mot predikert verdi finn vi dei karakteristiske linjene som svarar til verdiane på avhengig variabel. Med berre 5 ulike verdiar på variabelen vil vi få problem med heteroskedastisitet. Problema her ser ikkje ut til å skilje seg frå det vi kan vente. Plottet viser også 4-5 punkt som skil seg ut frå dei andre. Særleg bør vi legge merke til det punktet som har predikert verdi 1 og residual 0. I kvantil normal plottet over h(i) dukkar dette opp med verdi 1. Dette er eit case med maksimalt potensiale for innverknad (leverage), men sidan det blir liggjande på regresjonslinja får det ikkje nokon faktisk innverknad. Kvantil normal plottet over Cook s D(i) gir oss fire punkt som skil seg ut med verdiar omkring 0,03. Hamilton (s132) foreslår å vurdere case med verdiar av D(i) større enn 4/n=4/2617=0,0015, men med så pass stort utval som dette er det nok å vurdere innverknaden frå dei casa som skil seg ut med størst verdiar, slik som den gruppa vi ser her. I kvantil-normal plottet (normal probability plot) av residualen ser vi at den har noko tyngre halar enn normalfordelinga. Fordelinga kan kallast tilnærma

7 7 symmetrisk sjølv om den er ørlite negativt skeiv (medianen=0,0357 > gjennomsnittet=0). Avviket frå normalfordelinga er tydeleg, men er kanskje ikkje så stort at vi mister all tiltru til testane. Det mest problematiske i modellen ligg truleg i tilhøvet mellom modellspesifikasjonen og multikollinearitetsproblemet. Om ein fjernar dei 4-5 casa med høge verdiar på h(i) og Cook s D(i) kan det stundom også betre homoskedastisteten og normalfordelinga av residualen. C) Gjer greie for dei viktigaste skilnadene mellom modell 1 og 2. Drøft særleg konsekvensane av den endra modellspesifikasjonen i høve til føresetnadene. I modell 2 er det droppa eit interaksjonsledd mellom Kvinne, E.inntekt og E.utdanning. Dette har ført til at effekten av Kvinne har vorte mye mindre. Vi ser at toleransen har auka frå 0,012 til 0,028 (VIF har minka frå 84,28 til 35,80) og enno meir for resten av interaksjonsledda der Kvinne er med. Men signifikansnivået for Kvinne har vorte svært mye dårlegare, det samme har signifikansnivået for testen av den samla gruppa av Kvinne, Ekteskapeleg status variablane og interaksjonane mellom dei og for testen av gruppa Kvinne, Alder og Kvinne*Alder. Parameteren for Kvinne minka frå 0,72 til 0,28. Også for Kvinne*E.utdanning er endringa i effekt stor. For dei andre variablane er ikkje endringane store. Dei store endringane for Kvinne og Kvinne*E.utdanning saman med endringane i signifikansnivå kan tyde på at interaksjonsleddet Kvinne * E.inntekt * E.utdanning er substansielt viktig og skal vere med i ein rett spesifisert modell. D) Gjer greie for dei viktigaste skilnadene mellom modell 1 og 3. Kva er forklåringa på at «Uoppgitt e. status» i modell 3 er «nulla» (zeroed). I modell 3 er det utelate 5 case. Dette er rimelegvis dei 5 casa som har høgaste h(i) verdiar i modell 1 sidan dei 4 case med høgast Cook s D(i) også er mellom desse 5. Om vi ser bort frå variablane Uoppgitt e. status og Kvinne*Uoppg.e. har ikkje parameterverdiane endra seg noko særleg. Det ser heller ikkje ut til at fordelinga av residualen har endra seg. Medianan har nett samme verdi som før og kvantil-normal plottet har samme form. I kvantil-normal plottet av h(i) finn vi no ingen case med h(i)>0,2. Og i kvantil-normal plottet av Cook s D(i) er fordelinga omlag som ein kan vente det, sjølv om det er svært mange punkt som har verdi over 4/2612=0,0015.

8 8 Å utelate desse 5 case har i grunnen berre gitt eitt interessant resultat. Variabelen Uoppgitt e.status har vorte «nulla». Det vil seie at den har vorte utelaten frå analysen på grunn av at det er ein konstant. Dersom vi ser på siste tabellen under modell 1 ser vi at dei 5 casa som har høgast verdi på h(i) alle har verdien 4 på Uoppgitt e.status. I variabeldefinisjonane ser vi at det finst berre 5 personar som har uoppgitt ekteskapeleg status. Ved dummy-kodinga av denne variabelen vil det derfor vere 5 personar som får verdien 1 resten får verdien 0. Det er med andre ord dei 5 som har verdien 1 på variabelen Uoppgitt e.status som har vorte droppa i modell 3. Alle casa som er nytta til å estimere modell 3 har verdien 0 på variabelen Uoppgitt e.status. Variabelen er ein konstant og gir ikkje kunnskap om variasjonen i «Lever intenst». Dette får sjølvsagt også konsekvensar for interaksjonsleddet Kvinne*Uoppg.e.status som også vert ein konstant.

9 9 Oppgåve 3A og 3B (tel 20% av karakteren for alle) På samme materialet som i oppgåve 2 vart det estimert ein hierarkisk stimodell med variablane «Lever intenst», «Eiga inntekt», «Eiga utdanning», «Alder» og «Kvinne». Resultatet er presentert i stidiagrammet nedanfor. X 1 =Alder γ 11 = -0,33 Y 1 =Eiga utdanning γ 21 = 0,18 γ 31 = 0,07 β 31 = -0,14 β 21 = 0,37 Y 3 =Lever intenst γ 12 = -0,05 X 2 =Kvinne γ 32 = 0,07 γ 22 = -0,31 Y 2 =Eiga inntekt β 32 = -0,05 A) Finn ved hjelp av diagrammet kor store dei er dei spuriøse effektane i korrelasjonen mellom «Eiga utdanning» og «Eiga inntekt» Dei spuriøse effektane i korrelasjonen mellom Eiga utdanning og Eiga inntekt skuldast felles bakanforliggande variablar. Alder verkar direkte inn på både Eiga utdanning og Eiga inntekt, det samme gjer Kvinne. Dei spuriøse effektane frå desse to variablane vert γ 11 * γ 21 + γ 12 * γ 22 = (-0,3338)*0,1831+(-0,0479)*(-0,3138) = -0,0461

10 10 B) Dekomponer på enklaste måte korrelasjonen mellom «Eiga utdanning» og «Eiga inntekt». Vurder om det kan vere grunnlag for å ta med felleseffektar. Korrelasjonen mellom Eiga utdanning og Eiga inntekt er i følgje vedleggstabellane ρ(eiga innt, Eiga utd)=0,3173 Ein korrelasjon i ein fullspesifisert modell som dette kan dekomponerast i direkte og indirekte kausaleffektar pluss spuriøse effektar og eventuelle felleseffektar. Det vert ikkje residual. Mellom Eiga utdanning og Eiga inntekt er det ein direkte kausaleffekt på β 21 = 0,3677, der er ingen indirekte effektar og dei spuriøse effektane fann vi i oppgåve 3a var γ 11 * γ 21 + γ 12 * γ 22 = (-0,3338)*0,1831+(-0,0479)*(-0,3138) = -0,0461 Summen av kausale og spuriøse effektar blir da 0,3677-0,0461= 0,3216 Skilnaden mellom korrelasjonen og summen av kausale og spuriøse ledd blir lik felleseffektane frå korrelasjonen mellom Alder og Kvinne: Felleseffektar = 0,3173-0,3216= -0,0043. Denne summen er for liten til at det er bryet verdt å ta med felleseffektane. Den låge korrelasjonen mellom Alder og Kvinne på -0,0451 peikar i samme retning.

11 11 Oppgåve 3C og 3D (tel 20% av karakteren for SOS31/ SOS311) C) Formuler den modellen som er illustrert i diagrammet og spesifiser føresetnader som må gjerast i tillegg til vanlege OLS-føresetnader (jfr. oppgåve 2 B). Sett Y 3 = Lever intenst Y 2 = E.inntekt Y 3 = E.utdanning X 1 = Alder X 2 = Kvinne Då er den fullspesifiserte rekursive modellen definert ved Y 1 = + γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1, Y 2 = β 21 Y 1 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2 og Y 3 =β 32 Y 2 + β 31 Y 1 + γ 32 X 2 + γ 31 X 1 + ζ 3 der vi i tillegg til dei vanlege OLS-føresetnadene for kvar av likningane må gå ut frå at variablane er standardiserte z-skårar og at restledda ζ 1, ζ 2, og ζ 3 er ukorrelerte med kvarandre. D) Bruk Alwin-Hausers metode til å dekomponere framover variansen til «Lever intenst». Modellen for «Lever intenst» har ein forklårt varians på 4,3%. Variansen til variabelen vert dermed dekomponert i ein forklårt varians på 0,043 og ein uforklårt varians på 0,957. Ein dekomponerer vidare den forklårte variansen til «Lever intenst» framover ved å sjå på differansar i determinasjonskoeffesientane for dei reduserte likningane til modellen (jfr. Ringdal side 103): 1. Varians forklårt av eksogene variablar: R(X 1, X 2 ) = 0, Tillegg i varians frå Y 1 : R(Y 1, X 1, X 2 ) - R(X 1, X 2 ) = 0,042-0,021=0, Tillegg i varians frå Y 2 : R(Y 2, Y 1, X 1, X 2 ) - R(Y 1, X 1, X 2 ) = 0,043-0,042=0,002

12 12 Oppgåve 4 (tel 20% av karakteren for SOS301) A) Forklår kort korleis Logit regresjonsmodellen er bygd opp og formuler den modellen som er estimert i vedlegg til oppgåve 4. Dersom ein tar den naturlege logaritmen til ein odds får ein logiten. Oddsen er forholdstalet mellom sannsynet for ei hending og sannsynet for at hendinga ikkje skjer. La Y=1 dersom personen vi intervjuar meiner at eit kjøpsenter er viktig 1 for val av daglevareforretning, La Y=0 dersom personen ikkje meiner det er viktig. Da kan vi sette sannsynet for hendinga Y=1 lik P(Y=1) = P. Oddsen for at personen meiner kjøpsenter ikkje er viktig vert da skriven (Y=1)= P(Y=1)/{1-P(Y=1)} = P/(1-P) og logiten L = log e = log e {P/(1-P)}, dette tyder at = e L eller = exp{l} Logit regresjonsmodellen føreset at logiten er ein lineær funksjon av forklåringsvariablane X 1, X 2, X 3... X K-1, dvs. for kvar person vil den naturlege logaritmen til oddsen for at personen meiner kjøpsenter ikkje er viktig vere ein funksjon L i = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i β K-1 X i, K-1, og sannsynet for at personen i skal meine kjøpsenter ikkje er viktig kan da skrivast P(Y=1 for person i) = 1/{1+ exp(-l i )} La Y vere definert slik som ovanfor og sett X 1 = Alder X 2 = Kvinne X 3 = E.inntekt X 4 = E.utdanning X 5 = Mors utdanning 1 Kommentar fra Erling Berge januar 2000: Ved ein feil er kodane for «Kjøpsenter viktig» og «Kjøpsenter ikkje viktig» bytt om. Modellane som er estimert må såleis tolkast ut frå at Y=1 tyder «Kjøpsenter ikkje viktig» og Y=0 «Kjøpsenter viktig».

13 13 Da kan modellen som er estimert i vedlegget til oppgåve 4 skrivast L i = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + β 3 X i, 3 + β 4 X i, 4 + β 5 X i, 5 der vi føreset at 1. Modellen er rett spesifisert. Dette tyder at logiten er ein lineær funksjon av forklåringsvariablane alle relevante variablar er med ingen irrelevante variablar er med 2. Einingane som er observert er uavhengige 3. Forklaringsvariablane er utan målefeil B) Forklår korleis effekten av Kvinne kan tolkast. Finn eit 95% konfidendsintervall for effekten. Finn eit uttrykk for sannsynet for at ein 30 år gammal mann med 180 tusen kroner i inntekt, 17 års utdanning, og ei mor med 12 års utdanning skal gi uttrykk for at kjøpesenter (ikkje) er viktig i valet av daglegvareforretning. Effekten av variabelen Kvinne, b 2 = -0, , kan tolkast på fleire måtar. Koeffesienten viser først at logiten (dvs. logaritmen til oddsen) for ei kvinne er ca -0,35 mindre enn logiten for ein mann på samme alder, med samme utdanning og inntekt når mødrene har samme utdanning. Forteiknet fortel at sannsynet for at ei kvinne skal meine kjøpsenter ikkje er viktig er mindre enn for ein tilsvarande mann. Vi kan og finne kor mye oddsen blir endra om vi får vite om ein person er mann eller kvinne (dvs raten mellom oddsen for kvinner og oddsen for menn). Oddsen for at personen meiner kjøpsenter ikkje er viktig: (Y=1 for person i) = P i /(1-P i ) = exp(l i ) = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 2 X i 2 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) * exp(b 2 X i 2 ) For ei kvinne blir dette (Y=1 gitt i er kvinne) = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) * exp(-0, *1) = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) *0,7045 For ein mann blir det (Y=1 gitt i er mann) = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) * exp(-0, *0)

14 14 = exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) *1 Effekten av å vere kvinne gjer altså oddsen for å meine at kjøpsenter ikkje er viktig ca 30% (29,55%) mindre enn oddsen for at ein tilsvarande menn skal meine det samme. Vi ser at odds raten mellom kvinner og menn Ω = (Y=1 gitt i er kvinne) / (Y=1 gitt i er mann) = exp(-0, ) = 0,7045 For å seie noko om oddsen eller sannsynet må vi imidlertid spesifisere verdiar på alle variablane. Den lineære effekten i logiten gir ein ikkje-lineær effekt i sannsynet der alle effektar er interaksjonseffektar. For å finne eit konfidensintervall for effekten av Kvinne gjer vi bruk av at b k / SE b k er tilnærma t-fordelt med n-k fridomsgrader. 95% fraktilen i t- fordelinga med uendeleg mange fridomsgrader er 1,96 X 2 = Kvinne b 2 = -0, SE b 2 = 0, Eit 95% konfidensintervall for effekten i populasjonen blir da <b 2 ± 1,96* SE b 2 > < -0, ± 1,96* 0, > < -0, ± 0, > <-0, til -0,100143> Oddsen for at ein 30 år gammal mann, med 180 tusen kroner i inntekt, 17 års utdanning og ei mor med 12 års utdanning skal gi uttrykk for at kjøpesenter ikkje er viktig i valet av daglegvareforretning er (Y=1) = P i /(1-P i ) = exp(l i ) =exp(b 0 + b 1 X i 1 + b 2 X i 2 + b 3 X i, 3 + b 4 X i, 4 + b 5 X i, ) =exp(0, , x i 1-0, X i 2-0, X i, 3 +0, X i, 4 +0, X i, 5 ) =exp(0, , *30-0, *0-0, *180 +0, *17 +0, *12) =exp(0, , *30-0, *180 +0, *17 +0, *12) =exp(2,97034) = 19,4986 Sannsynet for at ein 30 år gammal mann, med 180 tusen kroner i inntekt, 17 års utdanning og ei mor med 12 års utdanning skal gi uttrykk for at kjøpesenter ikkje er viktig i valet av daglegvareforretning er da P(Y=1) = 1/{1+ exp(-l i )} = 1/{1+ exp(-2,97034 )} = 0, Eit uttrykk for sannsynet vil vere P(Y=1) = 1/{1+ exp(-l i )} =1/{1+exp(-0,96 +0,009*30 +0,0025*180-0,111*17-0,07*12)} (= 0,951061)