NORGES TEKNISK NATURVITSKAPELEGE UNIVERSITET Institutt for sosiologi og statsvitenskap FRAMLEGG TIL LØYSING AV EKSAMENOPPGÅVER I SOS31 9 DES 1996

Transkript

1 1 EKSAMENSOPPGÅVER Haust 1996 FRAMLEGG TIL LØYSING Erling Berge Norges Teknisk Naturvitskapelege Universitet «Bruksanvisning» Når ein går igang med å løyse oppgåver må ein ha i minnet at oppgåvene ofte er problematiske i høve til modellbygginga sitt krav om at modellen må vere fundert på den best tilgjengelege teorien. Mangelen på teoretisk fundament for oppgåvene kan forsvarast ut frå to perspektiv. Det avgjerande er rett og slett mangelen på tid og høvelege data for å lage eksamensoppgåver av den «realistiske» typen det er tale om her. Men tar ein for gitt at oppgåvene sjeldan kan seiast å vere teoretisk velfundert, gir jo dette studentane lettare gode poeng i arbeidet med å vurdere modellane kritisk ut frå spesifikasjonskravet. Når ein studerer framlegga til løysingar er det viktig å vere klar over at det som er presentert ikkje er nokon fasit. Dei fleste oppgåvene kan løysast på mange måtar. Dei tekniske sidene av oppgåvene er sjølvsagt eintydige. Men i dei mange vurderingane (som t.d. «Er denne residualen tilstrekkeleg nær normalfordelinga til at vi kan tru på testane?») er det nett vurderingane og argumentasjonen som er det sentrale. På eksamen er tida knapp. Svært få rekk i eksamenssituasjonen å gjere grundig arbeid på heile oppgåvesettet. I arbeidet med dette løysingsframlegget har det vore gjort meir arbeid enn det som ein ventar å finne til eksamen. Somme stader er det teke med meir detaljar i utrekningar og tilleggsstoff som kan vere relevant, men ikkje nødvendig. Men det er ikkje gjort like grundig alle stader. Det må takast atterhald om feil og lite gjennomtenkte vurderingar. Underteikna har like stor kapasitet til å gjere feil som andre. Kritisk lesning av studentar er den beste kvalitetskontroll ein kan ønskje seg. Den som finn feil eller som meiner andre vurderingar vil vere betre, er hermed oppfordra til å seie frå (t.d. på <Erling.Berge@sv.ntnu.no> ) Erling Berge 2000

2 2 Oppgåve 1 (tel 20% i karakteren) a) Forklar korleis interaksjonseffektar kan byggast inn i ein regresjonsmodell Ein interaksjonseffekt har vi når verknaden på den avhengige variabelen frå ein uavhengig variabel varierer systematisk med kva verdi ein annan uavhengig variabel har. La dei to uavhengige variablane vere X og Z og la den avhengige variabelen vere Y. Vi seier at vi har ein interaksjonseffekt mellom X og Z dersom Y ikkje er direkte proposjonal med X og/ eller Z men i tillegg til proporsjonale tillegg frå X og Z også får eit ekstratillegg frå X (eller Z) som varierer i storleik med storleiken til Z (eller X). Vi kan ta dette med i regresjonen ved å lage ein ny variabel X*Z slik at for individ nr i vil samanehengen vere Y i = a+ bx i + cx i *Z i + e i der a,b, og c er regresjonskoeffesientane og e i er residualen. Interaksjonar vil også byggast inn i ein modell ved ein ikkje-lineær transformasjon av den avhengige variabelen. Da er alle effektane implisitt interaksjonseffektar. b) Forklar kva eit kvantil-normal plott («quantile-normal plot» eller «normal probability plot») er for noko. Ein kvantil er ein ordningsobservator tilsvarande persentilen, men uttrykkjer ordninga ved brøkar, proporsjonar, av observasjonane i staden for prosentar. Til dømes vil 0.25 kvantilen svare til 25. persentilen og gir oss da den variabelverdien der 1/4 av observasjonane har lågare verdi og 3/4 høgare verdi. Kvantilane i ei observert fordeling kan samanliknast med kvantilane i ei anna fordeling som t.d. ei normalfordeling med samme sentraltendens og spredning og vil avsløre om dei to fordelingane skil seg frå kvarandre i sentraltendens, spredning og form. Dersom to fordelingar er identiske vil kvantil-normal plottet bli ein diagonal i plottet. Dersom den observerte fordelinga er ulik normalfordelinga vil kvantil-normal plottet avvike frå diagonalen på måtar som gjer det lett å identifisere kva avviket skuldast: t.d. om det er mangel på symmetri, eller om det er tyngre eller lettare halar, eller om det er fleire toppar eller utliggarar.

3 3 c) Forklar kva eit korrelogram er for noko. Autokorrelasjon er korrelasjon mellom verdiar av samme variabel som skuldast at observasjonane kjem i ei viss rekkefølge etter kvarandre i eit datamateriale. Sorteringsrekkefølga avgjer kva slags autokorrelasjon det dreiar seg om.tydelegast er dette der vi har samme variabelen målt på ulike tidspunkt. Lar vi tidsserien vere nummerert med i, vil korrelasjonen mellom, x i og x i+1 for i=1,..., k-1 gi oss autokorrelasjonen med lag 1. Korrelasjonen mellom, x i og x i+m for i=1,..., k-m vil vere autokorrelasjonen med lag m. Eit korrelogram er eit diagram over autokorrelasjonar mellom variabelverdiar for to tidspunkt med eit lag = 1, 2, 3,... og oppover til eit høveleg stort tal avhengig av talet på observasjonar og rimelege intervall for mogelege periodisitetar. (n-m) må minimum vere stor nok til at korrelasjonar kan reknast ut d) Forklar kva «median absolute deviation» (MAD) er for noko. Gjennomsnitt og standardavvik er mål på sentraltendens og spredning. Dei er sensitive for utliggarar, ddvs. ekstremt store (eller små) einskildverdiar i datamaterialet. Medianen er eit alternativt mål på sentraltendens som er resistent om utliggarar. Medianens absoluttavvik (MAD=Median Absolute Deviation) er eit resistent alternativt mål på spredning. Vi reknar ut MAD ved først å finne medianen til variabelen, median(x i ), så tar vi absoluttverdien av skilnaden mellom x i og median(x i ), x i - median(x i ), og finn medianen av denne skilnaden, median x i - median(x i ). I ikkje-normale fordelingar vil s=mad/ vere eit betre mål på standardavviket enn s= 1/(n-1) Σ( x i - 1/n(Σx i )) 2

4 4 Oppgåve 2 (tel 30% av karakteren) I vedlagte tabellar (modell 1-4) er det estimert ein stimodell med variablane «Alder», «Eiga inntekt», «Livet på landet best», «Kvinne», og «Eiga utdanning» a) Skriv opp likningane i struktur-modellen som er estimert. Teikn eit stidiagram og skriv inn stikoeffesientane. Ta med korrelasjonen mellom dei eksogene variablane. La Y 3 = Livet på landet best Y 2 = Eiga innt Y 1 = Eiga utd X 1 = Alder X 2 = Kvinne Vi antar at variablane er standardiserte z-skårar og at restledda ζ 1, ζ 2, og ζ 3 stettar krava til OLS-regresjon og at dei er ukorrelerte med kvarandre. Følgjande likningar vil definere den rekursive strukturmodellen som er estimert i tabellane til oppgåve 2: Y 1 = γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1 Y 2 = β 21 Y 1 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2, Y 3 = β 32 Y 2 +β 31 Y 1 + γ 32 X 2 + γ 31 X 1 + ζ 3, X1= Alder γ 11 = -0,34 Y1= Egen utd β31= 0,22 γ 21 = 0,17 γ 31 = 0,09 ρ Y3= Livet X1 X 2 = -0,05 β 21 = 0,36 på landet γ best 12 = 0,05 γ 32 = 0,00 X2= Kvinne β32= 0,05 Y2= Egen innt γ 22 = 0,32 ζ 1 ζ 3 ζ 2

5 5 Sidan effekten av Kvinne ikkje er signifikant i modell 1 nyttar vi modell 2 for effektar på «Livet på landet best». b) Finn direkte og inndirekte effektar av å vere kvinne på siste endogene variabel. Siste endogene variabel er Y 3. Direkte effekt av å vere Kvinne på siste endognene variabel (Y 3 ) er γ 32 = 0,00 Indirekte effekt av å vere Kvinne på siste endognene variabel (Y 3 ) er β31γ 12 + β32γ 22 + β32β 21 γ 12 = ( 0,22) 0,05 + ( 0,05) 0,32 + ( 0,05) * 0,36 0,05 = 0,011 0,016 0,0009= 0,0279 Indirekte felleseffektar med Alder er *frå Kvinne via Alder og Eiga innt β 32 γ 21 ρ X1 X 2 = -0,05 * 0,17-0,05 =0, frå Kvinne via Alder γ 31 ρ X1 X 2 = 0,09 * -0,05 = -0,0045 *frå Kvinne via Alder, Eiga utd. og Eiga innt. β 32 β 21 γ 11 ρ X1 X 2 = -0,05 * 0,36* (-0,34) (-0,05) = 0, *frå Kvinne via Alder og Eiga utd. β 31 γ 11 ρ X1 X 2 =(-0,22) * (-0,34) * (-0,05) = -0,00374

6 6 c) Bruk instrumentvariabelmetoden til å dekomponere korrelasjonen mellom Y 1 og Y 2. ρ y1 y 2 = E[Y 1 *Y 2 ] = E[(β 21 Y 1 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2 )* Y 1 ] = E[β 21 Y 1 Y 1 + γ 22 X 2 Y 1 + γ 21 X 1 Y 1 + ζ 2 Y 1 ] = β 21 E[Y 1 Y 1 ]+ γ 22 E[X 2 Y 1 ] + γ 21 E[X 1 Y 1 ] + E[ζ 2 Y 1 ] = β 21 + γ 22 ρ X2 Y 1 + γ 21 ρ X1 Y 1 ρ X2 Y 1 = E[Y 1 *X 2 ] = E[(γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1 )* X 2 ] = E[γ 12 X 2 *X 2 + γ 11 X 1 *X 2 + ζ 1 *X 2 ] = γ 12 E[X 2 *X 2 ] + γ 11 E[X 1 *X 2 ] + E[ζ 1 *X 2 ] = γ 12 + γ 11 ρ X1 X 2 ρ X1 Y 1 = E[Y 1 *X 1 ] = E[(γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1 )* X 1 ] = E[γ 12 X 2 *X 1 + γ 11 X 1 *X 1 + ζ 1 *X 1 ] = γ 12 E[X 2 *X 1 ] + γ 11 E[X 1 *X 1 ]+ E[ζ 1 *X 1 ] = γ 12 ρ X1 X 2 + γ 11 Da er ρ y1 y 2 = β 21 + γ 22 ρ X2 Y 1 + γ 21 ρ X1 Y 1 = β 21 + γ 22 (γ 12 + γ 11 ρ X1 X 2 ) + γ 21 (γ 12 ρ X1 X 2 + γ 11 ) = β 21 + γ 22 γ 12 + γ 21 γ 11 + γ 22 γ 11 ρ X1 X 2 + γ 21 γ 12 ρ X1 X 2 d) Bruk sti-diagrammet til å forklare kva dei ulike ledda i dekomponeringa tyder. Av diagrammet ser vi at dette består av A) ein kausal komponent, β 21, frå Eiga utd. til Eiga innt., B) to spuriøse komponentar, ein på grunn av at Alder påverkar begge, γ 21 γ 11 og ein på grunn av at Kvinne påverkar begge, γ 22 γ 12, og C) to spuriøse felleskomponentar, ein fordi Kvinne påverkar Eiga innt. og Alder påverkar Eiga utd. og Kvinne og Alder er korrelerte, γ 22 γ 11 ρ X1 X 2 og ein fordi Kvinne påverkar Eiga utd. og Alder påverkar Eiga innt. og Kvinne og Alder er korrelerte, γ 21 γ 12 ρ X1 X 2

7 7 Oppgåve 3 (tel 50% av karakteren) I vedlagte tabellar er det estimert ulike 3 modellar av variabelen «Livet på landet best». a) Skriv opp den første modellen som er estimert (modell 1) og drøft modellspesifikasjonen. Test om ekteskapeleg status gir eit signifikant bidrag til å forklare variasjonen i svara på spørsmålet om «Livet på landet best» i modell 3. La verdiane på dei ulike variablane for observert person nr i vere Y i = Livet på landet best, X i1 = Eiga innt, X i2 = Eiga utd, X i3 = Alder, X i4 = Kvinne, X i5 = Mors utdanning, X i6 = Gift/ sambuar, X i7 = Før gift, X i8 = Forstad, X i9 = Småby, X i10 = Tettstad, X i11= Spredtbygd, X i12 = Funksjonær, X i13 = Sjølvstendig, X i14 = Elev/ student, X i15 = Pensjon/ trygd, X i16 = Anna forsørging, X i17 = Alder**2, og X i18 = Kvinne*Utdanning. Modell 1 føreset at i populasjonen er følgande relasjon rett Y i = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + β 4 X i4 + β 5 X i5 + β 6 X i6 + β 7 X i7 + β 8 X i8 + β 9 X i9 + β 10 X i10 + β 11 X i11 + β 12 X i12 + β 13 X i13 + β 14 X i14 + β 15 X i15 + β 16 X i16 + β 17 X i17 + β 18 X i18 + ε i, der residualane, ε i, er uavhengige og identiske normalfordelte, og indeksen i går over heile populasjonen. Vi estimerer i modell 1 19 parametrer, b k, k=0,1,2,...,18, slik at _ Σ (Y i - Y i ) 2 = Σ (e i ) 2 er minst mogeleg og

8 8 Y i er gitt ved at Y i = b 0 + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b 3 X i3 + b 4 X i4 + b 5 X i5 + b 6 X i6 + b 7 X i7 + b 8 X i8 + b 9 X i9 + b 10 X i10 + b 11 X i11 + b 12 X i12 + b 13 X i13 + b 14 X i14 + b 15 X i15 + b 16 X i16 + b 17 X i17 + b 18 X i18 + e i og _ Y i = Y i - e i med i = 1,..., Modellen er basert på 8 variablar Eiga inntekt i 1000 kroner: (X i1 = Eiga innt) Eiga utdanning i år: (X i2 = Eiga utd) Alder i år:(x i3 = Alder, X i17 = Alder**2) Kjønn, dummykoda (X i4 = Kvinne) Mors utdanning i år (X i5 = Mors utdanning) Ekteskapeleg status, dummykoda med «Aldri gift» som referansekategori (X i6 = Gift/ sambuar, X i7 = Før gift) Bostadstype, dummykoda med «Sentrum i storby» som referansekategori (X i8 = Forstad, X i9 = Småby, X i10 = Tettstad, X i11 = Spredtbygd) Forsørgingsstatus, dummykoda med «Arbeidar» som referansekategori (X i12 = Funksjonær, X i13 = Sjølvstendig, X i14 = Elev/ student, X i15 = Pensjon/ trygd, X i16 = Anna forsørging) og eitt interaksjonsledd mellom Kjønn og Eiga utdanning (X i18 = Kvinne*Utdanning). Både Alder, Kjønn, Mors utdanning og interaksjonsleddet mellom Kjønn og Eiga utdanning ser ut til å vere usignifikante med 5% nivå. Modellen har med andre ord inkludert irrelevante variablar. Inklusjon av irrelevante variablar har små konsekvensar for estimata av parametrane til dei andre variablane utanom ein noko høgare standardfeil. Den same konsekvensen har ein høg korrelasjon mellom Kvinne og interaksjonsleddet Kvinne*Utdanning, og mellom Alder og Alder**2. For dei variablane som har regresjonskoeffesient signifikant ulik 0 er dette uproblematisk. Dersom koeffesienten for Kvinne var «nesten» signifikant ulik 0, kunne ein tenke seg at utelating av t.d. interaksjonsleddet ville kunne endre situasjonen. Mors utdanning er den som kjem nærmast. Dei andre tre variablane har koeffesientar som er langt frå å vere signifikant ulik 0. Vi må her gå ut frå at alle fire er irrelevante variablar som ikkje påverkar regresjonen. Samanliknar vi koeffesientane i modell 1 og modell 3 ser vi at det ikkje er substansielle skilnader utanom for Alder som i

9 9 modell 3 er vorten signifikant. Grunnen til dette er truleg multikollinearitetsproblema i modell 1. Ekteksapeleg status er inkludert ved hjelp av dummykoding. Den har tre kategoriar: Aldri gift, Gift/ sambuar og Før gift. Aldri gift fungerer som referansekategori. Vi testar om ein slik variabel bidrar signifikant til modellen ved å teste om dei H inkluderte kategoriane aukar forklart variasjon (RSS) signifikant. Samanliknar vi to modellar, ein med K parametrer og ein med K-H parametrer vil observatoren (RSS[K-H] - RSS[K])/H F H n-k = Rss[K] / (n-k) i eit utval på n personar vere F-fordelt med H og (n-k) fridomsgrader. Vi forkastar hypotesen om at alle koeffesientane til dei H variablane er null med signifikansnivået α dersom F H n-k er større en α-fraktilen i F-fordelinga med H og (n-k) fridomsgrader. Samanliknar vi modell 2 og modell 3 ser vi at skilnaden mellom dei er nett variabelen ekteskapeleg status. Vi har da at H=2 K=15 n-k= =2381 RSS(K-H)=2059,7301 RSS(K)=2049,2710 F =6, % fraktilen i F-fordelinga med 2 og fridomsgrader er 3,00. Vi må dermed forkaste hypotesen om at Ekteskapeleg status ikkje bidrar til å forklare variasjonen i haldninga til «Livet på landet best». Alternativt: Nøyaktig samme testen får vi ved å sjå på F= [(R R 1 2 )/(k 2 -k 1 )]/[(1 - R 2 2 )/( n-k 2-1)] = [(0, ,222458)/(14-12)]/[(1-0,226409)/( )=6,07566 som er F-fordelt med (k 2 -k 1 ) og (n-k 2-1) frihetsgrader. Indeksen 2 indikerer modellen med flest variablar (k 2 ) og indeks 1 modellen med færrast variablar (k 1 ).

10 10 b) Gjer greie for kva føresetnader OLS-regresjon kviler på og drøft i kva grad føresetnadene kan seiast å vere oppfyllt i modell 3. Føresetnaden for OLS regresjon er at ein kan anta at den lineære modellen er korrekt med normalfordelte, uavhengige og identisk fordelte feil («normal i.i.d. errors») Dette tyder stikkordmessig: i. Modellen er korrekt alle relevante variablar er med ingen irrelevante er med lineær i parametrane ii. Gauss-Markov krava for «Best Linear Unbiased Estimates» (BLUE) Faste x-verdiar Feilleddet har forventning 0 for alle i, dvs: E(ε i )=0 for alle i Feilleddet har konstant varians (homoskedastisitet) dvs: var(ε i )=σ for alle i Feilledda er ukorrelerte med kvarandre (ikkje autokorrelasjon) dvs: cov(ε i,ε j ) = 0 for alle i j iii. Normalfordelingskravet Feilleddet er normalfordelt, dvs: ε i ~ N(0, σ ) for alle i i. Vi kan ikkje teste om alle relevante variablar er med. Det er berre teoretiske resonement som kan seie noko om. Dersom testane er truverdige vil vi kunne oppdage om irrelevante variablar er med. Dei vil ikkje ha regresjonskoeffesientar signifikant ulik null. Og avvik frå linearitet kan testast. Vi kan studere denne føresetnaden ved inspeksjon av spreiingsdiagram for residual mot estimert Y-verdi. Modellen 1 er lineær i parametrane. Eit kurvelineært element er inkludert gjennom andregradspolynomet for Alder og Alder**2. Verken Alder eller Alder**2 er signifikante, men kan vi tru på testane? Fordelinga av residualen viser at denne ikkje er normalfordelt, den er skeiv sidan medianen er på 0,2047 (gjennomsnittet er sjølvsagt=0) og fordelinga har fleire «toppar». I kvantil-normal plottet viser skilnaden seg som eit slangemønster. Gunnen til slangemønsteret (og dei mange toppane i fordelinga) er at den avhengige variabelen berre har 5 ulike verdiar. Avviket er imidlertid ikkje dramatisk og ein viss tillit til testinga kan det vere grunn til å ha.

11 11 Alder er med andre ord ein irrelevant variabel. Teoretisk er det heller ikkje opplagte argument for andre kurevelineære samanhengar. Men det kan vere andre problem i data som t.d. heteroskedastisitet eller innflytelsesrike observasjonar som kan gjere det nødvendig å gå bort frå den lineære modellen. Den deskriptive statistikken av variablane og plott av residualen viser ikkje tydeleg om vi har problematiske utliggarar. Ser vi på Cook s D i vil alle einingar med D i > 4/n = 0, vere suspekte. Dei 30 einingane som er tekne med i tabellen over Cook s D i har alle mye høgare verdi, men det er ingen tydeleg opningar som skil ut ei gruppe med mye høgare verdiar enn dei andre. Variabelverdiane dei har oppgitt er heller ikkje «umogelege». Vi ser også at dei som har høgast verdi på Cook s D i ikkje er dei som har høgaste verdiar på hattobservatoren h i som indikerer potensiale for inflytelse. Verken avviket frå normalitet eller utliggarane tyder på at transformasjon av variablar vil betre situasjonen. Den lineæare modellforma synest å vere rimeleg. ii. Vi kan ikkje her teste om x verdiane er utan tilfeldige komponentar. Det tar vi for gitt. Det kan heller ikkje testast om feileddet faktisk har forventning 0. I minste kvadraters regresjon vil residualen altid komme ut med eit gjennomsnitt på 0 Ser vi på plottet av residualen mot predikerte y-verdiar ser det ikkje ut til å vere problem med heteroskedastisitet ut over det som følgjer av den avgrensa variasjonen i «Livet på landet best» Det synest ikkje rimeleg å tru at vi skal finne autokorrelasjon i materialet. iii. Det er under punkt i. konstatert at residualen ikkje er normalfordelt. Den er ikkje symmetrisk sjølv om avviket ikkje er sort. Vi ser at IQR/1,35 = (0,5137-(-0,5972))/1,35= 0, som er mindre enn standardavviket på 0,925. Vi har altså noko tyngre halar enn i normalfordelinga. Vi ser det samme i kvantil-normal plottet ved at halane i plottet tenderer mot å stige brattare enn resten av kurva. Men verken skilnaden i sentraltendens eller spredning er dramatisk.

12 12 I følge tabellen over korrelasjonar mellom parametrane i modellen, er det ingen påfallande store korrelasjonar ( større enn 0,8). Dei største (utanom dummy-variablane og konstantleddet) er mellom Alder og Pensjon/ trygd med 0,58. Multikollinearitet er derfor ikkje noko problem i modellen. Alt i alt synest førestnadene for valide konklusjonar rimeleg gode i modell 3. Variablane som er inkludert gir strukturelle forklaringar av haldninga til «Livet på landet best» og forklarer omlag 22% av variasjonen. Det er dermed rimeleg å tru at det skal finnast fleire faktorar i modellen. Men dei er sannsynlegvis ikkje korrelert med dei som er inkludert.

13 13 c) Dersom du møtte ei kvinne på 40 år med 10 års utdanning, ,- kroner i inntekt, og du dessutan fekk vite at mor hennar hadde 7 års utdanning og at ho hadde ein 39 år gammal sambuar med 12 års utdanning og ,- kroner i inntekt og at dei bur på Sagene i Oslo og at begge arbeider som sakshandsamarar i bydelsadministrasjonen i Oslo kommune, kva ville du forvente ho ville svare på spørsmålet om «Livet på landet best»? Gjer greie for valet av modell. Ut frå vurderingane i punkt a og b er det tydeleg at modell 3 er den beste. I modell 3 har vi 14 variablar og finn at med dei symbola som er nytta i del a) vil E[Y i ]= b 0 + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b 3 X i3 + b 6 X i6 + b 7 X i7 + b 8 X i8 + b 9 X i9 + b 10 X i10 + b 11 X i11 + b 12 X i12 + b 13 X i13 + b 14 X i14 + b 15 X i15 + b 16 X i16 = 0, ,000689X i1 + -0,035479X i2 + 0, X i3 + -0,073797X i6 + 0, X i7 + -0,0089X i8 + 0, X i9 + -0,361903X i ,408784X i11 + 0, X i12 + 0, X i13 + 0, X i14 + 0, X i15 + 0, X i16. Sambuaren sine data er ikkje med i modellen. Kjønn og Mors utdanning er ikkje relevant for kva svar vi skal forvente. Vi skal finne forventa svar for ein funksjonær på 40 år som bur i storby med sambuar, har 10 års utdanning og tener Utdanningsvariabelen nyttar koden 9 år på både dei som har 9 og 10 års utdanning. For inntektsvariabelen er kodinga upresist oppgitt ligg som grense i to intervall. Ein kan da velge om inntektskoden skal vere 180, 200 eller 240. Det kan vere rimeleg å tru at intervalla startar med 1, slik at dei går frå 1 til og frå til osv. Vi vel her å nytte koden 180. Vi merkar oss at storby er referansekategorien for bostadsvariabelen slik at alle dummyane for bostad blir 0.

14 14 Dette tyder at vi for den personen som er nemnt i spørsmålet ventar vi å finne E[Y KVINNA I SPØRSMÅLET ]= 0, ,000689(180) + -0,035479(9) + 0, (40) + -0,073797(1) + 0, (0) + -0,0089(0) + 0, (0) + -0,361903(0) + -0,408784(0) + 0, (1) + 0, (0) + 0, (0) + 0, (0) + 0, (0) = 0, ,000689*180-0,035479*9 + 0, *40-0, , = 0, I den deskriptive statistikken ser vi at variabelen «Livet på landet best» varierer frå -2 til +2. Kvinna vil truleg svare «Kan ikkje svare» på spørsmålet om kor einig eller ueinig ho er i påstanden «Livet på landet er mer tilfredsstillende enn livet i byer» og blir da koda 3, (som før analysen blir omforma til 0).

15 15 d) Leverage plott vert av Hamilton omtala både som «partial regression plot», «partial regression leverage plot» og «leverage plot». Gjer greie for kva eit leverage plott er for noko. I modell 3 er det teke med leverage plott for alle variablane. (Dei stipla linjene gir konfidensintervallet for den partielle regresjonslinja.) Studer nærmare t.d. leverage plottet for «Spredtbygd» og forklar korleis vi kan tolke dette. Eit leverage plott plottar residualane frå to regresjonar. Dersom vi har variablane X k, med k=1,2,...,k-1 gjer vi først ein regresjon av Y på X ane med X j halden utanom, så gjer vi også ein regresjon med X j på dei same X ane. Dei to residualane e i (Y X k, k=1,2,..,j-1,j+1,..,k-1) og e i (X j X k, k=1,2,..,j-1,j+1,..,k-1) gir oss restvariasjon i Y og X j som ikkje kan forklarast av dei andre X-variablane. Regresjonen av «Y residualen» på «X j residualen» gir den partielle regresjonskoeffesienten i regresjonen av Y på alle X ane. I eit plott av desse to residualane mot kvarandre med regresjonslinja teikna inn vil vi finne dei einingane som har stor residual i denne partielle regresjonen og som derfor har stor innflytelse på den partielle regresjonskoeffesienten til X j. Leverage plottet for Spredtbygd gir oss den partielle samanhengen mellom det å bo spredtbygd relativt til å bo i sentrum av storby når vi kontrollerer for alle dei andre variablane. Dei som bor spredtbygd har ein signifikant og sterk tendens (tillegget er på -0,408784) til å vere mindre enige i påstanden om i «Livet på landet best» enn det dei som bur i sentrum av storby er (berre småbybuarar er meir einige i påstanden enn dei som bur i sentrum av storby) Leverage plottet har form av fleire samlingar av punkt. Dette har samanheng med dei kategoriske variablane og den avgrensa variasjonen i den avhengige variabelen.