INF november Stein Krogdahl (Litt mye tekst, med tanke på lettere repetisjon) Dagens tema: Kapittel 14:
|
|
- Kaja Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INF 4 5. november 29 Sein Krogdahl (Li mye ek, med anke på leere repeijon) Dagen ema: Kapiel 4: Machinger i (ureede) grafer (maching = pardannele) Fly i neverk (neverk = reede grafer med kapaieer ec.) Dagen ema er krafig forbunde med konvekie, polyedre med helallige hjørner ec., og dee er man nærmere på i mer maemaik reede kur (INF-MAT 7, am eerfølgere). Vi går ikke inn på de her. Obligaorik oppgave er lag u. Fri: Fredag 2. november Forelening nee uke Peer Kriianen: Geomerike algorimer (ekempel på divide-andconquer -algorimer, kap. 8.6)
2 Machinger i ureede biparie grafer, kap. 4. Bipari graf = o-fargbar graf = graf om ikke har (like) odde løkker : Nodemengden X, f.ek. håndverkere Nodemengden Y, f.ek. dagen jobber Kanene: F.ek. hvem har kompeane il hvilken jobb? Vi klare å finne en perfek maching, om alå gjør a vi kan få ufør alle jobbene denne dagen Mae anvendeler, f..ek.: () Gruppelærere (X) om har ønker il grupper (Y). Kan alle få hver in gruppe? (2) En klae kal danne lag med en gu og en jene, og læreren ve hvem om jobber god ammen. () Noen varianer av probleme: Selv om vi ikke kan finne en perfek maching, kan vi være inereer i å finne en ør mulig maching. De kan være veker på kanene, og vi kan være inereer i å finne en yng mulig maching (eller yng mulig av de perfeke).
3 Hall Teorem X En bipari graf med en perfek maching: X Y Y Under: En undermengde S av X er forbunde (bare) med nodemengden R i Y, og R har færre noder enn S. Da finne opplag ingen perfek maching. Men dee gjelder ogå andre veien: Hall Teorem: De finne en perfek maching hvi og bare hvi de ikke finne noe uplukk S av X lik a R har færre noder enn S. Bevi den vankelige veien: Den ungarke algorime vil enen gi en perfek maching, eller den vil komme opp med en lik S. X S Y R Boka: R = Gamma(S)
4 Den naive grådighe-algorimen virker ikke Problem: Gi en bipari uree graf. Finn, om mulig, en perfek maching. Grådighe-ilnærmele (virker av og il, men ikke her): Se på kanene i ilfeldig rekkefølge, og a en kan inn i machingen om den ikke har en felle node med noen av kanene om allerede er med i machingen Ekempel på a grådighe-ilnærmelen ikke virker her: Gi den øvere grafen. Grådighe kan gi machingen under il venre. De finne opplag en maching med re kaner (under il høyre), men den il venre kan ikke uvide ved enkel grådighe! I parene bemerke: E ed der grådighe fakik virker er når en vil finne de leee (eller ynge) pennree i en ammenhengende uree graf med vekede kaner: Se på kanene i rekkefølge av igende vek, og a med de om ikke danner en løkke med de nodene om allerede er plukke u (Krukal algorime).
5 Den ungarke algorime for å finne en perfek maching De vier eg imidlerid a om vi, i ede for å lee eer hel ledige kaner, leer eer forbedringveier, å vil vi hel ikker finne en lik vei, derom en ørre maching i de hele a ekierer. Dee kan le vie direke, men vi gjør de lik a vi amidig vier Hall eorem En lik forbedringvei for den venre machingen M er iple i den høyre: Forbedringvei P: En alernerende vei (annenhver kan er med og ikke med i machingen) Begge endenodene er umache (er ikke ende-node i noen kan i machingen) eller bare Vi bruker en forbedringvei ved å bye kaner i machingen lang forbedringveien: Dee må opplag føre il en ny maching, om er én ørre. I ilfelle over får vi den il høyre (om krive M P):
6 Hvordan finne forbedringveier? Den ungarke algorime går u på å: are med en om maching, å lee eer en forbedringvei, å bruke denne il å få en ørre maching, å finne ny forbedringvei og bruke denne ov. il vi: enen har en perfek maching eller vi ikke finner noen ny forbedringvei I ie ilfelle vil iuajonen forhåpenligvi vie o en undermengde S i X om er forbunde med mengden R= Gamma(S) i Y, lik a R er mindre enn S. Dermed a de ikke finne noen perfek maching De generelle ege i den ungarke algorime går alå u på å: ha en foreløpig (ikke-perfek) maching M å prøve å finne en forbedringvei om vi kan bruke il å lage en machingen om er én kan ørre. (Om de er en hel ledig kan kan vi velge den om forb.vei) Søke eer en lik forbedringvei gjøre generel lik (figur nee foil): Velg en umache node r i X. Den kal bli roen av e re T vi kal bygge, der alle veier u fra roen kal være alernerende veier (de blir de auomaik ). Vi har da funne en forbedringvei derom en forgrening av ree kan få konak med en umache node i Y.
7 Sege i den ungarke algorime - Vi anar alå a vi år med en ikke-perfek maching M, og a vi vil finne en forbedringvei. I aren av rebyggingen beår ree T bare av en ronode r, om er en umache node i X. Tree T: r Løkke: Ana a vi generel har bygge e alernerende re T u fra roen r, og a vi ønker å uvide de. Vi er da eer kaner u fra noder i T om er i X (røde) og ikke går il en node om allerede er med i T. Om vi finner en lik kan vil den andre enden være i Y (blå). De er o ilfeller: Kanen går il en umache node i Y, da har vi funne en forbedringvei, og vi kan da bruke denne (øker alå M), og are med e hel ny re (om vi da ikke fikk en perfek maching). Kanen går il en mache node i Y, og da ar vi ogå med i T den ilhørende kanen i M. Tree blir alå uvide med o kaner/noder. Den blå er mache. Vi ar da ogå med i T den ilhørende M-kanen Til node i T. Bryr o ikke om like Umache. Vi har da funne en forbedringvei. Vi bruker denne, og får en ørre maching
8 Sege i den ungarke algorime - 2 Tree T: r Tree er grei og ryddig u il høyre, men de kan elvfølgelig ogå egne inn i den biparie grafen. Da ar de eg lik u: z r x y z x Til node i T. Bryr o ikke om like y Tree T voker Bryr o ikke om like Forbedringvei funne Merk a egningen kan gi innrykk av a man bare kal lee fra blad-nodene i ree, men de er feil. F.ek har man ydeligvi le flere ganger fra roen r Den blå er mache. Vi ar da ogå med i T den ilhørende M-kanen Umache. Vi har da funne en forbedringvei. Vi bruker denne, og får en ørre maching
9 Avluning av den ungarke algorime uen å finne noen perfek maching Ana a algorimen opper fordi vi ikke finner en kan fra en rød node i T il en (blå) node uenfor ree. Da finner vi alå ingen forbedringvei, og vi ønker da å finne e bevi på a ingen perfek maching finne: Ønke: En delmengde S av nodene i X (røde) om er lik a de nodene R den er forbunde med i Y er færre enn i S. Som S velger vi da re og le de røde nodene i T. Av dem er de én mer enn anall M-kaner i ree. Vi lar å R være de blå nodene i T. R har opplag én node færre enn S (like mange om kaner fra M i ree) Vi påår nå a nodene i S ikke har kaner il noen andre blå noder enn de i R, alå a R=Gamma(S). Begrunnele: Algorimen har oppe neopp fordi de ikke finne kaner fra røde noder i ree il blå noder uenfor ree. Ingen like r S r R Dermed er ogå Hall Teorem bevi: Denne algorimen kan kjøre på enhver bipari graf (med like ore X og Y), og den vil gi enen en perfek maching eller en S lik a Gamma(S) er mindre enn S.
10 Varianer over problemillingen Se på il nå: Finn en perfek maching i en bipari graf (eller vi a en lik ikke finne) E programkie av denne algorimen er gi på ide 422/42 Andre pørmål (om ogå kan løe grei): Finn en maching med fle mulig kaner (og da behøver ikke nodemengdene X og Y være like ore) Skal dere e på om gruppeoppgave nee uke Gi veker på kanene: Finn en perfek maching med ør mulig vek Sår i boka, men vi ar den ikke med i penum (kap 4..) Fly i neverk (der maching-probleme for biparie grafer fremkommer om e peialilfelle) Den ammenhengen kal dere e på på gruppene nee uke Fly i neverk kal vi e på rak. Generaliering il generelle grafer (ikke bare biparie) Se nee foiler
11 Maching i grafer om ikke er biparie Har odde løkker: Vrange for maching Generalieringer av de biparie maching-probleme: Gå over il generelle grafer, ikke bare biparie grafer Sill de ilvarende pørmål angående machinger: Finn en perfek maching (eller vi a en lik ikke finne) Finn en maching med fle mulig kaner Med veker på kanene: Finn en perfek maching med ør mulig vek Algorime for de generelle maching-probleme: Her finne ogå greie algorimer (kie nee foil), men de er vankeligere å bevie Penum er bare å vie a en like algorimer finne, og a maching-probleme i generelle grafer derved ogå kan løe i polynomik id.
12 Sege i den uvidede ungarke algorime Nye elemer i algorimen: Vi fjerner all farging mellom re-byggingene Sarer på ilfeldig umache node, farge rød! Når grafen ikke er bipari kan de ogå oppre kaner i ree fra røde il røde noder, lik om kanen (u,v) i figuren. Denne danner da en odde løkke med reen av ree. Den behandle re og le ved a vi nurper ammen den odde løkka (inkluive indre kaner) il en ny or rød node. (Grei: Tenk på alle de indre nurpede noder om røde) Røde noder: De om har en alernerende vei ilbake il roen, om arer med en mache kan. De enrale: Begge die uvidelene har alernerende veier il roen r u Tree T: Ny ype kan: Ikke i biparie grafer v Kan il mache ufarge node: Farger noden blå, og den ilhørende machede node rød. Tar die med i ree. r Til blå node i T: Bryr o ikke om like Kan il ufarge og umache node: Vi har da funne en forbedringvei. Vi bruker denne, og får en ørre maching
13 Avluningen av ege i den uvidede ungarke algorime r Om vi finner kan fra rød node il umache node: Da går vi bakover lang den alernerende veien, pakker opp de ammennurpede nodene, og finner den alernerende veien ilbake gjennom dem. Umache node HURRA! Dermed får vi en alernerende vei i den opprinnelige grafen ilbake il roen. Denne kan vi bruke il å øke maching med en kan. Derom vi ikke finner kan fra rød il umache (= ufarge) node: - Da finne ingen ørre maching! - Men de er noe krunglee å vie!
14 Fly i neverk, kap. 4.2 Dee offe er ogå noe dekke i Wei-boka, å man kan ogå lee der. A man her bruker orde neverk (og ikke noe med grafer ) er bare ren radijon. Grov e er neverk reede grafer med forkjellige kapaieer, veker ec. på kanene (og ofe ogå på nodene) Svær mange prakike problemer faller inn under neverkproblemer, og peiel fly i neverk: Daane med fly av daapakker, og kapaie ( båndbredde ) Forkjellige yper rør-neverk, der væker flyer, og rørene har kapaie Vei-neverk, der biler flyer, og med forkjellige kapaie på veiene De neverk vi kal udere her har 2 Kapaieer på kanene Én kilde-node og én luk-node Og oppgaven er generel å pree å mye 6 fly fra il om mulig.
15 Fly i neverk, kap. 4.2 En fly f i e lik neverk er ammena av en fly f(e) på hver kan e, om er lik a: Flykonervering-prinippe: I hver node, bore fra i og, er ummen av fly inn il noden lik um av fly u av noden (definer i forhold il kanene rening). I neverk med kapaieer: Hver kan e har en vi kapaie c(e), og flyen f(e) må da ligge mellom og c(e). Forueer i denne fremilling: De går ikke kaner inn i eller u av. val(f) er ummen av flyen om går u av. Lemma: Summen av flyen om går inn i er ogå val(f) Vie grov e ved ummering av flyen inn/u over alle noder
16 Noen begreper fra boka Bruke ikke i fremillingen på die foilene, og dealjene er derfor ikke penum Begreper ec. bruk i boka, men om vi ikke nevner direke i de følgende foilene: En emi-vei gjennom grafen = en vei fra il i den underliggende ureede grafen Enhe-fly: Definer av en emi-vei der de er fly lik + på de kanene om følger veien rening, og lik på de kanene om går mo veireningen Lemma for neverk uen kapaieer: To flyer om ummere kan for kan gir en ny lovlig fly Lemma for neverk uen kapaieer: Om hver kan-fly mulipliere med en gi konan får vi en ny lovlig fly En fly og en 5 8 emi-vei.
17 Fly i neverk, med kapaieer Hver kan e har en vi kapaie c(e), og flyen f(e) gjennom kanen e må ligge mellom og c(e). Ønke: Gi e neverk med kapaieer. Vi ønker å finne kanflyer f(e) om holder eg innenfor kapaieene ugjør en makimal fly, alå en om gir en å or val(f) om mulig Ekempele under il venre, er e neverk med gie kapaieer. Vi er inuiiv: Makimal fly er her 7, og en lik fly er gi il høyre. 4 8 a c 5 5 b d E ku med kapaie a c 5 b d 5 2
18 Ren grådighe virker ikke her heller Den naive grådighe-algorimen (om ikke virker!): Sege: Finn enkel flyøkningvei : Finn en ree vei fra il om er lik a alle flyer f(e) er lavere enn c(e) lang veien Øk flyen lang denne å mye om mulig (gi av den kanen om har min c(e) f(e) lang veien) Gjena dee il ingen like veier finne. På figuren under er kapaieene angi over kanene (alle ) og flyen angi under kanen (iniiel er den overal). Vi finner før en ilfeldig lik enkel flyøkningvei, f.ek. -a-b-c-d-. Lang denne kan vi øke flyen med, og vi får nee iuajon under. val(f) er nå, men de er opplag a vi kan oppnå val(f)=2 MEN, de finne ingen enkel flyøkningvei av ypen definer over om kan bringe o il en iuajon med val(f)=2 a c b d a c b d
19 De f-avledede neverke N(f) De vi ydeligvi ikke har a henyn il i den enkle berakningen med flyøkende veier, er a vi ogå kan minke flyen i noen kaner når vi vil gjøre en forandring og ved å a henyn il de får vi fakik en fullgod algorime For å få overik over forandring-muligheene på den enkele kan kan vi, u fra e gi neverk med kapieer c(e) og en gi lovlig fly f(e), egne de f-avledede neverke beegne N f, Nf eller N(f). Vi bruker her N(f). (Merk her: Nye kapaieer i forhold il forrige foil): a c 2 b d 4 2 a c b d Neverk med kapaieer (over) De f-avledede neverke N(f) og fly (under) (angir mulige flyforandringer) Se ogå figur 4.8 i boka (ide 45)
20 f-forbedringveier (Samme figurer om på forrige foil, de opprinnelige neverke N il venre:) a c 2 b d 2 4 Vi leer å eer veier fra il i de f-avledede neverke N(f) Slike veier kalle f-forbedringveier ( f-augumening emipah ) Søke kan gjøre f.ek. bredde-før eller dybde-før i N(f) fra. Vi kan for ekempel velge -c-b-. Den makimale flyforandringen lang denne er her (ana generel h). Vi gjør å den ilvarende flyforandringen, ved å øke flyen med h i de kanene i N der f-forbedringveien går amme vei om i N minke flyen med h der kanen i f-forbedringveien går moa vei av i N Dee gir den nye flyen: 2 U fra denne må vi å lage e hel ny 2 f-avlede neverk N(f), ov 4 c d 2 a c b d 2
21 Ku i neverk E ku (Cu) i e neverk er re og le en odeling av nodemengden i mengdene X og Y. Her kal vi bare e på ku der er i X og er i Y. X Y Kapaieen av e ku K=X,Y (krive cap(k)) er ummen av kapaieene på de kanene om går fra X il Y (alå ikke de om går moa). I figuren over blir den alå +7=
22 Mer om ku i neverk Lemma: Gi en lovlig fly f og e ku K=X,Y. Da er val(f) cap(k). Vie grov e lik: Ved ummering av flyen inn/u over alle noder i X = X finner vi a fly inn i X må være lik fly u av X. Derved må (fly u av ) + (fly bakover over K) = (fly fremover over K) alå (fly u av ) = (fly fremover over K) (fly bakover over K) De ie kalle flyen over kue K, og den er opplag mindre enn cap(k) Derved ve vi: val(f) cap(k). I figuren over: 5 = Dee gir o en mulighe il å vie a vi har en makimal fly: Om vi har en fly f og e ku K lik a val(f) = cap(k) å er flyen makimal, og ine ku er mindre!
23 FordFulkeron-algorimen går lik: FordFulkeron-algorimen Sar med null fly Sege (og ved aren av dee har vi generel en eller annen lovlig fly f ): Lag de f-avledede neverke N(f) (om angir alle forandringmuligheer) Finn en f-forbedringvei gjennom dee neverke, og finn makimal økning for denne (beem av den kanen lang veien med min forandringmulighe) Gjør den forandringen i flyen om denne angir Gjena ege il vi ikke lenger kan finne en f-forbedingvei fra il i N(f) Algorimen luer når de ikke er noen ree vei fra il i N(f). Bevi for a vi da har en mak fly er a vi da kan vie e ku med denne kapaie (nee foil). a b c d c d Se ogå programme på ide 48 Dere kal håndgå denne algorimen u fra figur 4.9 på gruppene nee uke
24 Avluning av FordFulkeron-algorimen Den luer alå med a de ikke er noen forbindele fra il i N(f). a b 2 a b c d d X Y X Y 2 c For å vie a vi fakik har en makimal fly ønker vi da å finne e ku K om har nøyakig amme kapaie om flyen f, alå: cap(k)=val(f). De vier eg a e lik er le å finne: La X være de nodene om kan nåe i N(f) fra, og la Y være reen av nodene. Noden er da i Y, e figuren over. Siden ingen kaner i N(f) går fra X il Y er de le å e a Alle kaner i N om går fra X il Y bruker hele in kapaie (er mee ) Alle kaner i N om går fra Y il X har fly f =. U fra defenijonen av cap(k) er vi da a den er lik flyen over K = val(f) Demed ve vi a flyen er makimal, og vi har vi bevi følgende eorem: Teorem (Max-fly min-ku): I e neverk med kapaieer kan vi finne en fly f og e ku K lik a val(f)=cap(k). Da ve vi a flyen er makimal, og a ine ku K har mindre kapaie.
25 Varianer av FordFulkeron-algorimen FordFulkeron-algorimen ier bare a man kal velge en eller annen forbedringvei i forhold il kapaieene og den nåværende flyen, dereer finne den makimale flyøkningen vi kan gjøre lang denne, og å legge il denne flyen. Når vi ikke lenger kan finne noen lik forbedringvei har vi en makimal fly (bevi ved a algorimen gir o e ku med kapaie = flyen) Om vi ikke legger på yerligere yring for valg av forbedringvei, gjelder: Om kapaieene er helall, å kan anall eg bli den makimale flyen for neverke. Ekempel: n = anall noder m = anall kaner Om kapaieene er reelle all kan algorimen eoreik e gå i evig løkke (!?) Forbedring : Man kan hele iden velge den forbedringveien om gir ør forbedring (kan le finne med en algorime analog il en koree-vei-algorime) Dee gir wor-cae-id: O( m log(n) log( mak-fly ) ) Forbedring 2: (Edmond og Karp) Man kan ogå hele iden velge den veien om er kore i anall kaner (kan finne ved bredde før øk) Dee gir wor-cae-id: O(n m 2 ) (alå uavhengig av makimal fly!)
26 Varianer av probleme med makimal fly For de føre finne alernaiver il FordFulkeron Dinac har deigne en algorime Goldberg and Tarjan (preflow puh algorihm) Vi kan ogå ha angi ogå en minimal fly på hver kan. Da er de e ege problem bare å finne en mulig fly Men eer de kan man foree om for FordFulkeron Man kan ha en pri på hver kan, for å ende fly på denne kanen. Her finne en kjen opimaliering-algorime: Ou-of-kileralgorimen Man kan ha flere kilder og flere luk, med forkjellige krav il flyen inn og u av die. Og de kan være flere forkjellige ing ( commodiie ) om kal flye (buer, peronbiler, ) og kanene kan ha forkjellige kapaie for hver av die (evenuel være perre for noen av dem) Dee er e akiv forkningområde, for rafikkplanlegging, ruing i kommunikajonneverk ec.
27 Kap : En ammenheng mellom fly i grafer og machinger i biparie grafer Enkel men vikig lemma:. Ved helallige kapaieer kan man allid finne en makimal fly om er helallig. 2. Når alle kapaieene er kan vi alå finne en makimal fly der hver kan har fly eller (og FordFulkeron vil allid finne en lik!) En lik fly kan dermed olke om e uplukk av kaner (de om har fly) Se på på gruppene nee uke: Alle kapaieer er Leing eer forbedringvei i flyneverke ilvarer hel leing eer forbedringvei u fra en maching i grafen E uplukk av noder om dekker alle kaner ilvarer e ku i flyneverke 27
INF Oblig 3 ligger ute, frist 22/11. Har oppgave fra dagens stoff. Matchinger i (urettede) grafer (matching = pardannelse)
INF 40. november 00 Sein Krogdahl Oblig ligger ue, fri /. Har oppgave fra dagen off De er mye (og lien) ek på die foilene. Men å være grei for repeijon Dagen ema: Kapiel 4: Machinger i (ureede) grafer
DetaljerINF september 2008
INF 4. epember 8 Foreleer: Sein Krogdahl Dagen ema: Kapiel 4: Machinger i (ureede) grafer (maching = pardannele) Fly i neverk (neverk = reede grafer med kapaieer ec.) Dagen ema er krafig forbunde med konvekie,
DetaljerINF 3/4130. Matchinger i urettede bipartite grafer, kap oktober Den naive algoritme virker ikke
Dgen em: Kpiel : INF /. okoer 6 Mhinger i (ureee) grfer (mhing = prnnele) Fly i neverk (neverk = reee grfer me kpieer e.) Dgen em er krfig forune me konvekie, polyere me helllige hjørner e., og ee er mn
DetaljerFart. Eksempel: Gjennomsnittsfart
Far ALV EGELAND, NAROM Når vi ilbakelegger 100 km i løpe av 2 imer uavhengig av om vi opper unervei har vi en gjennomnifar på 50 km/h. Vi ville ha bruk like lang i erom vi hae kjør me konan far på 50 km/h.
DetaljerForelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering
Forelesning 25 Trær Dag Normann - 23. april 2008 Beskjeder Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4, blir avleregning, slik a sudenene ikke kan belage seg på
DetaljerMAT1030 Forelesning 26
MAT030 Forelesning 26 Trær Roger Anonsen - 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 Li repeisjon Prims algorime finne de minse uspennende ree i en veke graf en grådig algorime i den forsand
DetaljerBeskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering
Beskjeder MAT1030 Diskre maemaikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Maemaisk Insiu, Universiee i Oslo 23. april 2008 Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4,
DetaljerForelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen
MAT1030 Diskre Maemaikk Forelesning 26: Trær Roger Anonsen Insiu for informaikk, Universiee i Oslo Forelesning 26 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) MAT1030 Diskre Maemaikk 5. mai 2009 2 Li repeisjon
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) 2. Kjell Arne Brekke Vidar Christiansen. Econ 2200 vår 2009 sensorveiledning
Kjell Arne Brekke Vidar Chriianen Econ 00 vår 009 enorveilednin Vi ir poen or hver var. Makimal poenall på hver oppave varer il den vek om er oppi i proen. Makimal oal poenum blir dermed 00. Vi vil enere
DetaljerAdvarsel: Dette løsningsforslaget er mer omfattende enn hva som ventes av en god besvarelse.
Senorveiledning il ekamen i ECON 0 9..006 Vikig informajon il enorene: I den engelke overeelen le likning (3) i ogave (c) deverre feilformuler. Senorene e om å a henyn il dee under enureringen derom de
DetaljerArbeid og kinetisk energi
Arbei og kineik energi 9..8 YS-MEK 9..8 rikjon empirik lov for aik frikjon: f < f, ma µ N µ : aik frikjonkoeffiien empirik lov for ynamik frikjon: f µ N µ : ynamik frikjonkoeffiien µ < µ kraf virker moa
DetaljerArbeid og kinetisk energi
Arbeid og kiik energi..3 YS-MEK..3 arbeid-energi eorem:, K K arbeid er ilfør mekanik energi. kiik energi K m arbeid generel:, (,, ) arbeid hi krafen er bare poijonahengig: d, ( ) d ( ) d alernai formulering
DetaljerEksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering
Iniu for fyikk Ekamenoppgave i TFY49 Inrumenering Faglig konak under ekamen: Seinar Raaen Tlf.: 482 96 758 Ekamendao: 3. juni 23 Ekamenid (fra-il): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillae hjelpemidler: Alernaiv
DetaljerArbeid og kinetisk energi
Arbei og kineik energi 4..4 Samale mellom uener og lærer i y-mek : orag, 7.eb., kl. 4:, rom Ø443 YS-MEK 4..4 rikjon empirik lo or aik rikjon:, ma N : aik rikjonkoeiien empirik lo or ynamik rikjon: N :
DetaljerLøsningsforslag LO346E Dynamiske Systemer H 06 eksamen 21. november 2006
øningforlag O346E Dynamike Syemer H 6 ekamen. november 6 Oppgave Gi e yem med ranferfnkjonen H 58 + a Tidkonanen for yeme er T 8 4. Den aike forerkningen er H 5 Saik forerkning for en varmvannank kan handle
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 våren 2007
Side av Løningforlag Ekamen i Fy-mek/Fy-mef våren 7 Oppgave a) En pendel beår av en iv, maelø av av lengde L med en kule med mae m fee i enden. Den andre enden er fee i e frikjonfri hengel. Gjør rede for
DetaljerYF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kapiel 3 Formler Løsninger il oppgavene i læreoka Oppgave 301 a E 0,15 l 0,15 50 375 Den årlige energiproduksjonen er 375 kwh. E 0,15 l 0,15 70 735 Den årlige energiproduksjonen er 735 kwh. Oppgave
DetaljerSvarforslag til ukeoppgaver til INF 4130
Svarforslag til ukeoppgaver til INF 4130 15. november 2011 Oppgave 1: Løs 14.4 (hvori innbakt svaret på oppgave 14.5) Vi skal altså vise at Hungarian-algoritmen kan implementeres i tid O(n 3 ), der n er
DetaljerLøsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)
Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir
DetaljerVåren Ordinær eksamen
Våren - Ordinær ekaen. Vi enker a en parikkel beeger eg lang en re linje (-aken. Parikkelen arer i r i pijn =. ed iden =. Parikkelen haighe funkjn a iden er gi ed: ( hr.. a eregn parikkelen akelerajn a
DetaljerEksamen ECON 2200, Våren 2013 ( ) ( ) 2 ( ) 2
enorveiledning Ekamen ECON 00 Våren 03 Oppgave 8 poeng E poeng per derivajon dv poeng i e og. Deriver ølgende unkjoner. Deriver med henn på begge argumener i e og. a ln b ln ln ln c e e d g g g g e F F
DetaljerArbeid og kinetisk energi
Arbei og kineik energi 9..6 YS-MEK 9..6 rikjon empirik lo or aik rikjon:, ma N : aik rikjonkoeiien empirik lo or ynamik rikjon: N : ynamik rikjonkoeiien kra irker moa beegelerening: N YS-MEK 9..6 hp://pingo.upb.e/
DetaljerFAG: FYS115 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Kjemi : Turid Knutsen
UNIVRSITTT I AGDR Griad K S A M N S O P P G A V : FAG: FYS5 Fikk/Kjei LÆRR: Fikk : Per Henrik Hogad Kjei : Turid Knuen Klaer: Dao:..3 kaenid, fra-il: 9. 4. kaenoppgaen beår a følgende Anall ider: 6 inkl.
Detaljer8 Vektorer og kurver. Løsning til KONTROLLOPPGAVER OPPGAVE 1. t t ) Vi finner skjæringspunktet med y-aksen ved å sette x = 0.
Løning il KONTROLLOPPGAVER 8 Vekorer og kurver OPPGAVE 1 a) 1) Vi lager abell, velger o enkle -verdier og regner u verdiene for x og y. x 6 y ) Vi finner kjæringpunke med y-aken ved å ee x =. 1 y 1 Linja
DetaljerHøst 98 Ordinær eksamen
ø 98 Ordiær ekae. Vi eker o a e parikkel beeger eg lag e re lije lag -ake. Parikkele arer i ro i origo ed ide =. ekuder. Parikkele haighe o ukjo a ide er gi ed: A B hor A. B. a Bereg parikkele akelerajo
Detaljer3. Beregning av Fourier-rekker.
Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +
Detaljer1 Laplacetransform TMA4125 våren 2019
Lplcernform TMA45 våren 9 Lplcernform er en eknikk vi kl bruke il løe ordinære differenillikninger. For de føre er de en mye mer elegn eknikk enn den du lære i M3, for de ndre kler den en bredere kle v
DetaljerForelesning nr.9 INF 1410
Forelesning nr.9 INF 141 29 espons il generelle C- og -kreser 3.3.29 INF 141 1 Oversik dagens emaer Naurlig espons respons il generelle C- og -kreser på uni-sep funksjonen Naurlig og vungen respons for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
ide UNIVRI I OO De maemai-aurvieapelige faule ame i: amedag: id for eame: Oppgaveee er på 4 ider Vedlegg: illae jelpemidler: MK454 Kompoimaerialer og -orujoer ordag 8-- 9 Formelar ( ide) Roma formelamlig
DetaljerKap 14 Periodisk bevegelse
K 4 Periodi evegele 4. Glideren å fig - i læreoen lere 0.0 fr in lieveilling og lie ed rhighe null. er 0.800 eunder er glideren oijon 0.0 å den ndre iden v lieveillingen og glideren hr er lieveillingen
DetaljerHelikopterlab TTK4115 Lineær systemteori
NTNU Norge eknik-naurvienkaelige univerie Fakule for informajoneknologi, maemaikk og elekroeknikk Iniu for eknik kyberneikk Helikoerlab TT4 Lineær yemeori Projekraor 0.0.03 Av: Grue 4 6664 & 669846 Rune
DetaljerRetteveileder Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 våren 2007
Side av 3 Reeveileder Ekamen i Fy-mek/Fy-mef våren 7 Oppgave a) En pendel beår av en iv, maelø av av lengde L med en kule med mae m fee i enden. Den andre enden er fee i e frikjonfri hengel. Gjør rede
DetaljerDette kapittelet tar for seg krefter som oppstår når en vinding beveges i et magnetisk felt.
5.3 KRETER MAGNETELT 1 5.3 KRETER MAGNETELT Dee kapiee ar for eg krefer om oppår når en vinding bevege i e magneik fe. KRETER SOM VRKER PÅ EN LEDER ET MAGNETELT Når en vinding bir forfye horiona gjennom
DetaljerÅrets hotteste. fyrverkerikampanje. www.fyrverkeri.no. t s. : t. kr 5 FLASHING THUNDER. n i. u h. t K. s 1. få med
Åre hoee fyrverkerkampaje FLASHING THUNDER ART.NR. E 6 kudd. E kkkelg kra pakke om vl ufordre e orebrødre både effekmeg og de avlu ede drøee. Be : e! e d em kr + kr + GRATIS! der for u h T g. Flah k ATIS
DetaljerBoliginvesteringer og boligpriser
Boliginveeringer og boligprier Dag Henning Jacoben, rådgiver i Finanmarkedavdelingen, riin Solberg-Johanen, konulen i Økonomik avdeling, og eri Haugland, konulen i Pengepoliik avdeling. Vi analyerer uviklingen
DetaljerFAG: FYS117 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Kjemi : Turid Knutsen
UNIVERSITETET I AGDER Griad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS7 Fikk/Kjei LÆRER: Fikk : Per Henrik Hogad Kjei : Turid Knuen Klaer: Dao:..3 Ekaenid, fra-il: 9.. Ekaenoppgaen beår a følgende Anall
DetaljerBEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998
BEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998 Lineær programmering og bedriftøkonomike problemer Tor Tangene BI - Sandvika V-00 Dipoijon Bruk av LP i økonomike problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende
DetaljerKap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
Kap. 0: Inferen om to populajoner Situajon: Det er to populajoner om vi ønker å ammenligne. Vi trekker da et utvalg fra hver populajon. Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. ST00 Statitikk for amfunnvitere
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 TRONDHEIM
HØGSKOLEN I SØR-RØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 RONDHEIM ALM005M-A Matematikk 1 Grunnlagfag - 10 tudiepoeng Cae Høt 011 Le dette ført Caen er en "hjemmeoppgave"
DetaljerFYS3220 Uke 43 Regeneverksted
FYS Uke Regeneverked Oppvrmingoppgve Finn H() for følgende kreer.... b Signlmodellering: Sgnn... 7 Syring v Ovn. PID (H89-)... 75 Fekifer (ekmen H-)... NB! Oppgve 7 er den vikige oppgven denne uk. Den
Detaljerav Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.
Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke
DetaljerFAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad
UNIVERITETET I AGDER Grimd E K A M E N O G A V E : FAG: FY Fyikk ÆRER: Fyikk : er Henrik Hogd Kle(r: Do: 7..6 Ekmenid, fr-il: 9. 4. Ekmenoppgen beår følgende Anll ider: 6 (inkl. foride Anll oppger: 4 Anll
DetaljerKap 02 Posisjon / Hastighet / Akselerasjon 2D - Bevegelse langs en rett linje
Kp Poijon / Highe / kelerjon D - Beegele lng en re linje Løning Lufpuebenk Highe: oocellene kn flye Siden ognen hr konn highe ed beegele på lufpuebenken, il beregningen highe ære uhengig foocellene poijon
DetaljerMatchinger i ikke-bipartite grafer
Matchinger i ikke-bipartite grafer Stein Krogdahl, Notat til INF 3/4130 Sist revidert september 2006 Vi skal i dette notatet se på det å finne matchinger i generelle grafer, uten noe krav om at grafen
DetaljerFAG: FYS116 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Kjemi : Turid Knutsen
UNIVERSITETET I AGDER Griad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS6 Fikk/Kjei LÆRER: Fikk : Per Henrik Hogad Kjei : Turid Knuen Klaer: Dao:.. Ekaenid, fra-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beår a følgende Anall
DetaljerEksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering
Iniu for fyikk Ekamenoppgave i TFY49 Inrumenering Faglig konak under ekamen: Seinar Raaen Tlf.: 482 96 758 Ekamendao: 2. mai 25 Ekamenid (fra-il): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillae hjelpemidler: Alernaiv C,
DetaljerTeksturanalyse og syntese basert på Markovfelt-metoder. Lars Aurdal,
Tekuranalye og ynee baer på Markovfel-meoder. Lar Aurdal, lau@ffi.no FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Overik Hva er en ekur? Ekempler på ekurer. Hvorfor analyere og yneiere ekurer. Tekuranalye, li hiorikk.
DetaljerBevegelse i én dimensjon
Beegelse i én dimensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.215 1 Lærebok kan henes på ekspedisjonskonore. Lenke il bealingsside: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/15/bok.hml FYS-MEK 111 21.1.215
DetaljerSymbolisering av logisk form: setningslogiske tegn.
Logike ltninger NB! Dette er for peielt intereerte: Siden det ikke tår å mye om dette i lærebøkene er omfanget av dette foreleningmanet alt for tort i forhold til hva vi kan betrakte om penm. Videre kan
DetaljerFYS 105 Fysikk Ordinær eksamen vår 2005
FYS 5 Fyikk Ordinær ekaen år 5. En bil kjører lang en re linje (-aken og paerer origo ed haigheen 7. k/h ( =. / i poii -rening ed iden =. Haigheen o unkjon a iden er gi ed: hor (.6. a ee bilen akelerajon
DetaljerSystem 2000 HLK-Relais-Einsatz Bruksanvisning
Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Ar. Nr.: 0303 00 Innholdsforegnelse 1. rmasjon om farer 2 2. Funksjonsprinsipp 2 3. onasje 3 4. Elekrisk ilkopling 3 4.1 Korsluningsvern 3 4.2
DetaljerRushtidsavgift for miljøøkonomi i Oslo
Ruhidavgif for miljøøkonomi i Olo Marie Aarerup Aane Deparmen of Economic UNIVERSITETET I OSLO 7 november 2008 2 Forord Våren 2008 beeme jeg meg for å krive maeroppgave med ema ruhidavgif i Olo. Jeg har
DetaljerKrefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013
Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger
DetaljerSkjulte Markov Modeller
CpG øy Skjule Markov Modeller år CG er eer hverandre i en DA sekvens vil C ofe muere il T ved meylase. (kalles ofe CpG for å ikke forveksles med pare C-G i o DA råder). CpG dinukleoiden forekommer mye
DetaljerLøsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter.
TFE4110 Digialeknikk med kreseknikk Løsningsforslag il regneøving 5 vårsemeser 2008 Løsningsforslag il regneøving 5 Ulever: irsdag 29. april 2008 Oppgave 1: a) Tegn egningen for en eksklusiv eller por
DetaljerBevegelse i én dimensjon
Bevegelse i én dimensjon 15.1.214 FYS-MEK 111 15.1.214 1 Malab: mulig å bruke på egen PC med UiO lisens hjelp med insallasjon på daa-verksed eller i forkurs Forsa ledige plasser i forkurs: Fredag kl.1-13
Detaljert [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet
FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,
DetaljerINF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth
INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men
DetaljerSignalfiltrering. Finn Haugen TechTeach. 21. september 2003. Sammendrag
Signalfiltrering Finn Haugen TechTeach. eptember 3 Sammendrag Dette dokumentet gir en kort bekrivele av ignalfiltrering med tidkontinuerlige, ogå kalt analoge, filtere og med tiddikrete, ogå kalt digitale,
DetaljerInternett og pc Brukerveiledning
FASETT JANUAR 2008 Internett og pc Brukerveiledning Altibox fra Lye er en fiberoptik løning tilpaet morgendagen muligheter. I en og amme fiberoptike kabel får du rake internettlinjer, et variert tv- og
DetaljerBevegelsesmengde og kollisjoner
eegelsesengde og kollisjoner.3.4 FYS-MEK.3.4 Konseraie krefer poensiell energi: U( r U( x, y, z konserai kraf F U y arbeid uahengig a eien x F y D C x ikke-konserai kraf FYS-MEK.3.4 Energibearing energi
DetaljerFAG: FYS116 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Grethe Lehrmann
UNIVERSITETET I AGDER Griad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS6 Fyikk/Kjei LÆRER: Fyikk : Per Henrik Hogad Grehe Lehrann Klaer: Dao:.. Ekaenid, fra-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beår a følgende Anall ider:
DetaljerEksempel på symmetrisk feil: trefase kortslutning på kraftlinje.
HØGSKOLE AGDER Faule for enoloi Elrafeni 1, løsninsforsla øvin 9 høs 004 Oppave 1 En feil i rafsyseme er enhver ilsand som forsyrrer den normale drifen av syseme. Esempler på dee an være refase orslunin
DetaljerOVERBYGNINGSKLASSER...
Hovedkonore Generelle ekniske krav Side: 1 av 7 1 HENSIKT OG OMFANG... 2 2 OVERBYGNINGSKLASSER... 3 3 KVALITETSKLASSER... 5 4 RAPPORTERING AV FEIL... 6 4.1 Generel...6 4.2 Ufylling... 6 4.3 Behandling
DetaljerEksempel på beregning av satser for tilskudd til driftskostnader etter 4
Regneeksempel - ilskudd il privae barnehager 2013 Eksempel på beregning av ilskuddssaser. ARTIKKEL SIST ENDRET: 08.04.2014 Eksempel på beregning av saser for ilskudd il drifskosnader eer 4 Kommunens budsjeere
DetaljerFAG: FYS113 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Grethe Lehrmann
UNVERSTETET AGDER Griad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS Fyikk/Kjei LÆRER: Fyikk : Per Henrik Hogad Grehe Lehrann Klaer: Dao:.. Ekaenid, fra-il: 9. 4. Ekaenogaen beår a følgende Anall ider: 6 inkl.
DetaljerLøsningsforslag øving 6, ST1301
Løsningsforslag øving 6, ST1301 Oppgave 1 Løse Euler-Loka ligningen ved ruk av Newon's meode. Ana a vi har en organisme med maksimal alder lik n år. Vi ser kun på hunnene i populasjonen. La m i være anall
DetaljerArbeid og potensiell energi
Areid og poensiell energi 7..7 YS-MEK 7..7 Areid-energi eorem areid:, v ne d kineisk energi K, K K, ne v d ne dr d d C ne dr kurveinegral langs en kurve C sar i r, slu i r uˆ N uˆ N v vuˆ v uˆ N uˆ N vuˆ
DetaljerRør og rørdeler. BASAL mufferør ig. Maks tillatt avvinkling (mm/m) Overdekn. min/max (m) Mål (mm) Vekt ca. kg. DN / t Dm 0,5-10,0 0,5-10,0
Rør og rørdeler BASAL mufferør ig / Dm Overdekn. min/max (m) Maks illa avvinkling (mm/m) 0 33 33 284 284 0,5-10,0 0,5-10,0 50 50 35 55 0 0 37 37 41 353 353 353 0,5-8,0 0,5-8,0 0,5-8,0 50 50 50 50 140 250
DetaljerPD-regulator med faseforbedrende egenskaper. Denne ma dessuten klare
Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for teknik kybernetikk Oktober 99/PJN, September 9 /MPF Utlevert:..9 0 SERVOTENI Lningforlag ving 0 a) Oppgave Vi kriver h() pa formen ( +0:)( ; 0:)
DetaljerFAG: FYS113 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Kjemi : Turid Knutsen
UNVERTETET AGDER Giad E K A M E N O P P G A V E : FAG: FY3 Fikk/Kjei ÆRER: Fikk : Pe Henik Hogad Kjei : Tuid Knuen Klae: Dao:..3 Ekaenid, a-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beå a ølgende Anall ide: 5 inkl. oide
DetaljerINF oktober Stein Krogdahl. Altså: Hva kan ikke gjøres raskt (med mindre P = NP)
INF 4130 22. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Mer om NP-kompletthet Altså: Hva kan ikke gjøres raskt (med mindre P = NP) Også her: Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Pensum
DetaljerSamfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 13. mars 2002
Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Måling av graden av riikoaverjon Blant konkave nyttefunkjoner: Mer konkav betyr terkere riikoaverjon Vanlig å måle grad av konkavitet
DetaljerFYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse
FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse Innhold Enkle fourieranalyse oppgaver... 1 1) egn frekvensspeker for e sammensa sinus signal... 1 2) Fra a n og b n il c n og θ... 2 Fourier serieanalyse... 2 3) Analyse
DetaljerFAG: FYS105 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad
UNVERSTETET AGDER Griad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS5 Fyikk LÆRER: Fyikk : Per Henrik Hogad Klaer: Dao:.. Ekaenid, fra-il: 9. 4. Ekaenogaen beår a følgende Anall ider: 4 inkl. foride Anall
DetaljerFAG: FYS113 Fysikk/Kjemi LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Grethe Lehrmann
UNIVERITETET I AGDER Griad E K A M E N O G A V E : FAG: FY3 Fikk/Kjei ÆRER: Fikk : er Henrik Hogad Grehe ehrann Klaer: Dao:.5.4 Ekaenid, ra-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beår a ølgende Anall ider: 6 inkl. oride
DetaljerStyring av romfartøy STE6122
Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke
DetaljerOppgaveverksted 3, ECON 1310, h14
Oppgaveverksed 3, ECON 30, h4 Oppgave I denne oppgaven skal du forklare de økonomiske mekanismene i hver deloppgave, men de er ikke men a du skal bruke id på å forklare modellen uover de som blir spur
DetaljerBevegelse i én dimensjon
Beegelse i én dimensjon 17.1.213 Forelesningsplan: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/13/plan213.hm FYS-MEK 111 17.1.213 1 Mekanikk Kinemaikk Dynamikk læren om beegelser uen å a hensyn il
DetaljerSensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins
DetaljerKort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013
Kor om ny reguleringskurvelogikk Trond Reian 19/8-2013 Hensik Hensiken med en reguleringskurver er å angi sammenhengen mellom en angi minimumsvannføring (apping) og nødvendig magasinvolum på årlig basis.
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
Detaljer, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerKrefter og betinget bevegelser 14.02.2013
Krefer og benge beegeler 4..3 FYS-MEK 4..3 Benge beegele beegele: r bane: r beegele lang banen: haghe: r r u r u angenalekor: far lang een: akeleraon: a u u u u angenalakeleraon: enrpealakeleraon: a a
DetaljerObligatorisk oppgave ECON 1310 høsten 2014
Obligaorisk oppgave EON 30 høsen 204 Ved sensuren vil oppgave elle 20 prosen, oppgave 2 elle 50 prosen, og oppgave 3 elle 30 prosen. For å få godkjen må besvarelsen i hver fall: gi mins re nesen rikige
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
ide UNIVRI I OO De maemai-aurvieapelige faule ame i: amedag: id for eame: Oppgaveee er på 4 ider Vedlegg: illae jelpemidler: MK454 Kompoimaerialer og -orujoer ordag 9-- 9 Formelar ( ide) Roma formelamlig
DetaljerPotensiell energi Bevegelsesmengde og kollisjoner
Poensiell energi eegelsesengde og kollisjoner.3.4 YS-MEK.3.4 Energidiagraer energibearing: E K K d d d d likeekspunk iniu i poensiell energi sabil likeekspunk aksiu i poensiell energi usabil likeekspunk
DetaljerArvelighet av pelsfarver hos collie
Arvelighe v pelfrver ho collie Siri H. og Tom V. Segld Rockhound Rough Collie Eer å h hør divere moridende og il del merkelig informjon om rvelighe v frver ho collie, vr de ikke ll informjonen om eme.
DetaljerRepetisjon 20.05.2015
Repeisjon 0.05.015 FYS-MEK 1110 0.05.015 1 Eksamen: Onsdag, 3. Juni, 14:30 18:30 Tillae hjelpemidler: Øgrim og Lian: Sørrelser og enheer i fysikk og eknikk eller* Angell, Lian, Øgrim: Fysiske sørrelser
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320 Meoder i grafisk daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 2. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesee er på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 )
UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320/INF4320 Meoder i grask daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 7. desember 2007 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesee
DetaljerForelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?
Forelesning 4 og 5 MET59 Økonomeri ved David Kreiberg Vår 011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Ana modellen: Y β + β X + β X + β X + u i 1 i i 4 4 i i Du esimerer modellen og oppnår følgende resulaer ( n 6
DetaljerArbeid og potensiell energi
Areid og poensiell energi 3.3.4 olig 5: midveis hjemmeeksamen forusening for å a slueksamen kreves individuell innlevering lir lag u mandag 3. mars innleveringsfris mandag. mars YS-ME 3.3.4 Areid-energi
DetaljerEksamen S2 høst 2009 Løsning Del 1
S Ekamen, høten 009 Løning Ekamen S høt 009 Løning Del Oppgave a) Deriver funkjonene: ) ln f f ln ln f ln ln f f ) g e e u, u g e e g e e e g 6e b) Vi har en aritmetik rekke der a 8 og a8. Betem a, d og
DetaljerPotensiell energi Bevegelsesmengde og kollisjoner
Poensiell energi eegelsesengde og kollisjoner 9.3.5 FYS-MEK 9.3.5 Energidiagraer energibearing: E K x U x K x U x Ux du dx F du dx likeekspunk iniu i poensiell energi sabil likeekspunk aksiu i poensiell
DetaljerGo to and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK
Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1 FYS-MEK 111.1.18 Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml
Detaljer