TKP Strømning og varmetransport Notater til eksamen

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TKP4100 - Strømning og varmetransport Notater til eksamen"

Transkript

1 TKP Strømning og varmetransport Notater til eksamen Kjetil Sonerud 2. juni

2 Innhold I Introduksjon 4 1 Grunnleggende mekanikk Newtons lover Relative system Generelle betraktninger II Strømning 8 2 Fluidstatikk Grunnleggende moment Fluidstatikkens grunnlikning Kvasistatikk Strømning - fuiddynamikk Grunnlag Spenning i fluider - viskositet Overflatespenning Reynoldstallet Hvordan finne Reynoldstallet? Konservering av masse - kontinuitetslikningen Energilikningen - Euler og Bernoulli Kraftloven - bevaring av bevegelsesmengde Eksempel: oppg. 1, aug Inkompressibel strømning Rørstrømning Sonisk strømning Lydhastigheten Strømning i varierende tverrsnitt III Varmetransport 27 4 Mål for varmetransportdelen av TKP Konduksjon Fouriers lov Ikke-stasjonær varmetransport

3 6 Konveksjon Newtons lov Empirisk baserte løsninger på konvektive problem Blandede problem Stråling Stefan-Boltzmanns strålingslov Utbyttefaktor Typiske blandede problemstillinger 45 3

4 Del I Introduksjon 1 Grunnleggende mekanikk 1.1 Newtons lover Det er viktig å ha kontroll på grunnleggende mekanikk for å kunne forstå fluidmekanikken. Newtons tre lover er et viktig utgangspunkt: Newtons 1. lov: Ethvert legeme som ikke påvirkes av ytre krefter vil forbli i ro eller fortsette sin uniforme, rettlinjede bevegelse. d (mv) =0 (1.1) dt Newtons 2. lov: Endringen i bevegelsesmengde er proporsjonal med den virkende kraften, og vil skje i kraftens retning F = d (mv) =ma (1.2) dt Enhver kraft har en like stor, men motsatt rettet, motkraft. (actio = reactio) Når vi bruker 2. lov er det viktig å huske på superposisjonsprinsippet, eller det at den totale akselerasjonen er den samme som vektorsummen av enkeltakselerasjonene som legemet ville opplevd dersom kreftene hadde virket hver for seg. Dette prinsippet kan brukes til å dekomponere krefter (eksempelvis i en x- og y-komponent i to dimensjoner), noe det er en fordel å være komfortabel med. Fra litt triksing med Newtons 2. lov kan det vises at endringen i kinetisk energi for en partikkel kan relateres til kraften som utøves på partikkelen når den beveger seg langs en bane i rommet: 1 d 2 mv 2 = F dr (1.3) Ved integrasjon av likningen over fra tilstand (1) til tilstand (2) får vi generelt at 1 2 mv mv 2 1 = F dr (1.4) 1 4

5 Generelt må integralet på høyre side evalueres langs veien vi beveger oss. Imidlertid vil dette forenkles dersom vi beveger oss i et konservativt felt, som for eksempel tyngdefeltet. Da vil integralet være veiuavhengig, og vi får 1 2 mv mv 2 1 = 2 1 mg k dr = mg 2 1 dz = mg(z 2 z 1 ) (1.5) Dette gir et av de viktigste resultatene i mekanikken, nemlig bevaringsloven for mekanisk energi 1 2 mv mgz 1 = 1 2 mv mgz 2 = E (1.6) "# Summen av den kinetiske og potensielle energien er altså konstant. Dette forutsetter et konservativt (')*+(,(')+-&.(.+&/*)./0,(+/(1/0,(2).1&3+4&55(*,&**()%&2+('%)46'(.7 $%&' ) '(8(').+(+9+4(/(4:;<=> felt, altså at det ikke virker ikke-konservative krafter på partiklen (eksempelvis friksjonskrefter). 1.2 Relative system = / ' < Ietrelativtsystem,somvistifigurenunder,kanvisepåbådedenrelative ; og absolutte "#$%&$'()%*+,$*-%./)%/01.$ C)+9+4(/(4:;<=7?73>A>"A%D'((47.('47),+9+4(/&3:E9F(4+9+4(/+&/$)'(.'(.4').+,)+-&. G1%+>2(%(3('+(3/(15)'),,(,,()*+('G78&'$&,147,1(486'+4(> ; = < H H A E Figur 1: Relativt system. Her 1H 1Her XYZ A 1' et inertialsystem, og xyz et system som har H H A 'I JA>MNK ren translasjon i forhold til 14 det 14 første. 14 &3.0'%7+(44(' Idetførstetilfelletservipåbevegelseniforholdtilobservatøren(plassertixyz- M M M 1H 1HA 1 ' ) M M M A ) '(, JA>MOK systemet), mens vi 14 i det 14 andre 14 tilfellet ser på bevegelsen i forhold til origo i inertialsystemet XYZ. Dette gjelder posisjon, fart og akselerasjon - vi kan dermed dele ) % ' 9? / ) %? 5

6 disse inn i en relativ og en absolutt komponent. For akselerasjonen blir dette d 2 R dt 2 = d2 R0 dt 2 + d2 r dt 2 = a 0 + a rel (1.7) Dersom vi formulerer Newtons 2. lov i inertialsystemet får vi ma abs = m(a 0 + a rel )= F (1.8) Observatøren vil kun oppfatte størrelsen a rel som en vanlig akselerasjon - for vedkommende vil akselerasjonen a 0 virke som en kraft på lik linje med F.Dermed kan Newtons lov bedre skrives som ma rel = F ma 0 (1.9) der summen F ma 0 representerer en effektiv kraft som virker på observatøren. Denne kraften kan vi for eksempel kjenne igjen som følelesen av å bli presset inn i setet når bilen vi befinner oss i akselererer - dette er ikke en ordentlig kraft (ingen action=reactio), men kun systemet vi befinner oss i som akselererer i forhold til inertialsystemet. Et annet godt eksempel har vi når du befinner deg i en heis - i det heisen starter (akselererer oppover) vil du kjenne deg tyngre - som om du ble presset nedover av en økt tyngdekraft. Det motsatte tilfellet får du når heisen starter på veien ned. I det ekstreme tilfellet av vekløshet føler du ingen normalkraft, ettersom a = g. Det kan også være verdt å få med seg Newtons relativitetsprinsipp: Hvis Newtons lover holder i ett koordinatsystem, holder de også i alle andre system som beveger seg med konstant fart i forhold til det første. Vi kan velge å bruke kartesiske- eller planpolare koordinater (eller et hvilket som helst annet koordinatsystem, for den saks skyld) avhengig av hva som passer best til å beskrive det gitte problemet. Dersom vil velger å bruke planpolare koordinater får uttrykkene for fart og akselerasjonen et noe annet utseende v =ṙe r + r θe θ (1.10) a = dv dt = re r +ṙ de r dt + r θe θ + r θ de θ dt (1.11) Innsatt for de deriverte av enhetsvektorene, der = θe dt θ og de θ dt gir = θe r,i(1.11)over a =( r r θ 2 )e r +(r θ +2ṙ θ)e θ (1.12) 6

7 %,',, ' 789:J< ' M,',, N B*>-,89"J Figur 2: i planpolart koordinatsystem. Mark at det skulle stått ṙe r, ikke re r &% &', &' 2, ',,, ', ', 789:P< &( &( &( Det første av disse fire leddene representerer den relative akselerasjonen som observatøren som følger O'&',*%',('2%'+3'(1%'/(0,'+'32,%*),2789:;<0>789::<9Q++12(()G,%*4 linjen kan måle. Det andre leddet, r θ 2 e r,representerer sentripetalakselerasjonen som er rettet inn mot sentrum av rotasjonsbevegelsen. R 2,, ',, R, Det tredje leddet, r θe ' 789:S< θ,representerervinkelakselerasjonentilrotasjonsbevegelsen. Det fjerde leddet, 2ṙ θe θ "#$%$&#'()*+*,%),(%&$*"((&-+).$&*,representererdensåkaltecoriolisakselerasjonen. Denne skyldes at vi har både rotasjonshastighet og relativ hastighet samtidig. 1.3 Generelle betraktninger Helt generelt er det er viktig at en likning er dimensjonsmessig homogen for å være gyldig - man må altså sjekke at enhetene stemmer Det gir lite mening å si at en størrelse gitt i Nm er lik en annen størrelse gitt i N. Påsammemåte gjelder dette for vektor- og skalare størrelser; eksempelvis er a + b =... der a er en vektor og ben skalar en meningsløs likning. Videre er det viktig å huske på at visse funksjoner, eksempelvis ln(x) eller sin(x), forutsetter at parameteren x er dimensjonsløs. Dersom den ikke er det, har du sannsynligvis gjort noe feil 7

8 Del II Strømning 2 Fluidstatikk 2.1 Grunnleggende moment Vi antar at vi kan neglisjere de molekylære detaljene i de mediene vi jobber med - sagt på en annen måte antar vi at det er svært mange molekyler selv i et lite, differensielt volum dxdydz. Dette er den såkalte kontinuumsmodellen. Denne er iallhovedsakgyldigforgenerellemakroskopiskesystem,ettersomλ<<l.her er λ midlere fri veilengde for molekylene, eksempelvis er λ =10 7m iluft,ogl er et mål på systemets makroskopiske utstrekning. Et eksempel på et tilfelle der kontinuumsmodellen ikke gjelder er for et system der det eksempelvis er tilnærmet vakuum. Trykkrefter på flater skyldes kollisjoner av molekyler (fra fluidet) på denne flaten. Innenfor rammene av kontinuumsmodellen omtalt over kan vi regne med at antall kollisjoner per tidsenhet er så mange at vi utelukkende ser på den kollektive virkningen, nemlig at P = F A,ellerattrykketseessomenmidlerekraftperarealfor et stort antall kollisjoner. I fluidmekanikken for gasser vil det ofte være holdbart å anta at gassene oppfører seg ideelt, slik at den ideelle gasslov er gyldig: pv = nrt = p = ρrt M = ρr gasst (2.1) I motsetning til gasser antas det ofte at væsker er inkompressible, det vil si at tettheten i all hovedsak ikke varierer med trykket. Vi har dermed ρ konstant for de aller fleste væsker. Det kan vises at trykket er isotropt -deterdetsammeiettogsammepunktuavhengig av orienteringen av den flaten trykket virker på. Dette er kjent som Pascals prinsipp. Mer generelt er dette en egenskap som er typisk for skalare størrelser,som itilleggtiltrykketomfattereksempelvistemperatur,tetthetogkonsentrasjon. Vi skiller mellom overtrykk og absolutt trykk, der førstnevnte er et mål på trykket iforholdtilomgivelsestrykket,menssistnevnteertrykketmåltabsolutt(altsåfra 0). 8

9 2.2 Fluidstatikkens grunnlikning Vi betrakter et lite, endelig og rektangulært fluidelement som er utsatt for omgivelsenes trykk og tyngdens innvirkning. Ved rekkeutvikling av endringen i trykk med endring i posisjon i hver av retningene (x-, y- og z-retning) kan det vises at netto trykkraft på samtlige flater kan skrives som F trykk = i p x + j p y + k p z V = p V (2.2) Vi kan deretter sette opp Newtons 2. lov for dette elementet, og får da ρdv a = pdv + ρdv g (2.3) Ienrestriktivforstandharvietstatisktilfellenåra =0.Vedåinnføredette,og forkorte bort dv i(2.3)fårvi 0= p + ρg (2.4) Dette omtales som fluidstatikkens grunnlikning. Merk at g her kan oppfattes som en generell feltkraft (som ikke nødvendigvis er gravitasjonskraften). Archimedes lov om oppdrift ser vi direkte fra (2.4) - oppdriften (trykkraften) svarer til vekten av fortrengt fluid under forutsetning om at vi har statikk. I tyngdefeltet forenkles (2.4) til dp = ρg (2.5) dz Her lar vi z-aksen peke oppover. Likning (2.5) kan eksempelvis brukes til å finne en forenklet modell av hvordan tettheten av luft varierer oppover i atmosfæren. Ved å bruke likningen på en kar med vann kan ser vi raskt at trykket varierer lineært nedover i karet (ved å integrere opp (2.5)). Triks for trykkberegninger i vann: det kan vises at massesenteret for en rettvinklet trekant ligger h opp fra bunnen (bunnen = bredeste del) Kvasistatikk Likning (2.4) gjelder under strengt statiske forhold - vi krever null akselerasjon på et element sett fra inertialsystemet. Vi skal her utvide dette statikkbegrepet til å gjelde i utvidet forstand, der enkelte typer akselerasjon tillates. Grunnideen er at hele fluidsystemet akselereres, og at det relative koordinatsystemet også opplever denne akselerasjonen. Kvasistatikk defineres dermed som v relativ =0 og θ =0 (2.6) 9

10 Sagt med ord kreves det null relativ hastighet (r er konstant) og konstant vinkelhastighet. Hvis vi sammenlikner dette med (1.12) ser vi at vi kun står igjen med a abs = a 0 r θ 2 e r (2.7) der a 0 representerer translasjonsakselerasjon (systemet akselererer gjennom rommet) og r θ 2 e r representerer sentripetalakselerasjonen. For at vi skal få en kvasistatisk situasjon må effektene opptre hver for seg, altså enten eller. For translasjon får vi, men Newtons 2. lov For sentripetalakselerasjonen får vi på samme måte 0= p + ρ[g a 0 ] (2.8) 0= p + ρ[g + r θ 2 e r ] (2.9) Hele poenget her er at vi får en kombinert feltkraft - det er ikke mulig for en observatør i det akselererte systemet å skille henholdsvis translasjon- eller sentripetalakselerasjonen fra tyngdekraften. Vikanaltsåbetrakteinneholdetihakeparantesene som en slags effektiv tyngdekraft, g effektiv. De to typiske tilfellene av slike kvasistatiske problem er et kar som utsettes for en konstant translasjonsakselerasjon (dras bortover et bort med konstant a,eller et kar som roterer med konstant vinkelhastighet ω (sentrifuge). Ved å se på henholdsvis x- og z-komponenten i det første tilfellet samt r- og z-komponenten i det andre tilfellet kan vi bruke (2.8) og (2.9) for å løse systemet. 3 Strømning - fuiddynamikk 3.1 Grunnlag Et hastighetsfelt viser hvordan hastigheten for et fluid varierer med posisjon og tid. Generelt er hastigheten en funksjon av begge disse parameterene. Vi har imidlertid to spesialtilfeller: Stasjonært felt: Tidsuavhengig (kun avhengig av romkoordinatene) Homogent felt: Romuavhengig (likt over hele rommet, utelukkende avhengig av tiden) En hastighetsprofil er en todimensjonal figur som viser hvordan hastigheten til et fluid varierer med posisjon. En typisk hastighetsprofil er kun avhengig av posisjonen i y-retning. 10

11 Videre defineres en del nyttige størrelser: Gjennomsnittshastighet: v av = A v x da (3.1) Volumstrøm (merk at dersom vi kjenner gjennomsnittshastigheten kan vi skrive q = v av A) q = v n da (3.2) A Massestrøm (dersom vi antar inkompressibel strømning, altsåatρ er konstant, har vi ṁ = ρq = ρv av A) dm dt = ṁ = v n da (3.3) Strømlinjer er definert som linjer som er parallelle med hastighetsvektoren v overalt. I tre dimensjoner får vi dermed følgende differensiallikning for strømlinjene dx v x = dy v y A = dz v z (3.4) Vi ser på hastigheten i et kontinuerlig felt, v = v (t, r), derr =(x, y, z). Denne måten å betrakte hastigheten på (hastigheten tilhører et romkoordinat, ikke en partikkel eller klump med fluid) kalles Eulers betraktningsmåte. Alternativet, som er å knytte en hastighet til hvert enkelt fluidpartikkel, kalles Lagrange betraktningsmåte. Eulers er den mest brukte. Vi setter nå opp endringen i hastighet som et totalt differensial dv = v t dt + v x dx + v y For å finne akselerasjonen deler vi på dt ialleledd a = dv dt = v t + v x v x + v y v y + v z v z Dv Dt v dy + dz (3.5) z (3.6) Dette er den såkalt substansielt deriverte av hastigheten, med symbol D Dt.Vikan forenkle notasjonen ved å innføre der (v ) oppfattes som en matematisk operator. D Dt = +(v ) (3.7) t 11

12 3.2 Spenning i fluider - viskositet Alle reelle fluider vil inneha en materialegenskap som kalles viskositet. Denne sier noe om seigheten til fluiden - hvor tyktflytende eller tyntflytende den er. Vi har to ulike viskositetskoeffisienter Dynamisk viskositetskoeffisient, µ, med benevning[µ] = kg/m s = Pa s. Dette er en fysikalsk egenskap hos væsker og gasser som beskriver deres tykkhet eller interne motstand mot strømning - den dynamiske viskositeten kan dermed sees på som et friksjonsmål i væsker. Kinematisk viskositetskoeffisient, ν, medbenevning[ν] =m 2 /s. Angirhvor raskt en væske sprer seg i forhold til sin masse når den helles ut på en plan flate. Sammenhengen mellom de to er gitt ved µ = ν ρ (3.8) Merk at enhetene Poise (P, 1P = 0.1kg/ms) ogstoke(st,1st = 10 4m 2 /s) fortsatt brukes til en viss grad, ettersom viskositeter gitt i SI-enheter resulterer i veldig små tallstørrelser. Viskositet vil gi den såkalte no slip -grensebetingelsen ved overflaten, slik at hastigheten på fluidet blir null her. For et helt ideelt fluid (ingen viskositet) kan det derimot være en hastighet langsmed overflaten. I forbindelse med viskositet og friksjon i væsker er skjærspenning, med symbol τ, et sentralt begrep. Denne uttrykker kraften per areal langsmed en flate, og kan således sees på som et slags trykk (benevningen er den samme). Dersom vi antar en lineær sammenheng mellom skjærspenningen og deformasjonshastightene får vi Newtons friksjonslov τ yx = µ dv x dy (3.9) Her gir første indeks på skjærspenningen (y) retningen på flatenormalen, mens andre indeks (x) gir retningen til kraften. µ er den dynamiske viskositeten. Fluider som følger (??) kallesnewtonske fluider, ogdeterdisseviskaljobbemed. 3.3 Overflatespenning Spenning som kan forekomme i overflaten mellom en væske og en gass. Vi bruker parameteren T for å beskrive overflatespenningen - denne gir kraft/linje (enhet 12

13 Figur 3: Skjærspenningen tegnes med halve piler, og per definisjon har positive skjærkrefter pilen mot venstre på overkanten av et lite fluidelement, og mot høyre på undersiden. N/m). Overflatespenningen gir eksmpelvis et økt trykk inne i en væskedråpe, som kan finnes ved å sette opp kraftbalansen for dråpen F = T πd = p π d2 4 = p = 4T d (3.10) der d er diameteren på dråpen. På samme måte kan man regne ut overtrykket for en boble - dette blir dobbelt så stort ettersom vi både har en utside og en innside. En annen overflatespenningseffekt som er viktig er den såkalte kappilæreffekten,der en væske trekkes opp i et rør som settes ned i væsken, altså at overflatespenningen er i likevekt med tyngdekraften. Her innføres en kontaktvinkel θ som beskriver vinkelen mellom væsken og veggen. Merk at dersom θ>90 deg vil væsken i røret ligge under væskeflaten. Når θ 0 (som for vann), får vi følgende kraftbalanse mg = ρπ d2 4T hg = Tπdcos θ = Tπd = h = 4 ρgd (3.11) der d er diameteren og h er høyden over væskeflaten. 3.4 Reynoldstallet For å kunne vurdere innvirkningen viskositeten har på reelle fluider innføres det dimensjonsløse Reynolds tall N Re ρv L µ = VL ν (3.12) der V og L er karakteriskisk hastighet og lengde for strømningen. Vi kan se på Reynoldstallet som et forhold mellom massekrefter (ma)ogfriksjonskrefter(τ A). Vi ser at dersom N Re >> 1: friksjonskraften er neglisjerbar bortsett fra nær grenseflaten(friksjonsfritt regime) 13

14 N Re << 1: akselerasjonenerneglisjerbar(viskøst dominert regime) Merk at i grenseskiktet vil det uansett være friksjonskrefter (jf. heftbetingelsen, no slip ) - de kan altså ikke neglisjeres her. Det samme gjelder i vaken etter et objekt som fluidet strømmer forbi. Avhengig av Reynoldstallet karakteriserer vi en Figur 4: Figuren viser strømningen av et fluid rundt et fast objekt strømning som enten laminær eller turbulent Laminær (N Re < 2100) Glatt Regulær Stabil Strømlinjer i faste skikt Turbulent (N Re > 4000) Fluktuerende Irregulær Ustabil Strømlinjene dekker hele tverrsnittet av røret Den aksepterte verdien for skillet mellom laminær og turbulent strømning i rør er gitt av (N Re ) crit = ρv D =2300 (3.13) µ der D er rørdiameteren og V er snitthastigheten i røret. Fra definisjonen av Reynoldstallet ser vi at forholdet mellom massekrefter og friksjonskrefter vil være likt så lenge Reynoldstallet er det samme. Dette muliggjør 14

15 moddelering i småskala ved å variere størrelse og hastighet (eventuelt hvilket fluid som brukes, ettersom ulike fluider har ulik viskositet) Hvordan finne Reynoldstallet? Iutgangspunktetskullemantroatmantrengeråfåoppgittbådetetthet,karakterisktisk hastighet og -lengde, samt den dynamiske viskositeten for å finne N Re. Dette er imidlertid ikke alltid nødvendig dersom du får oppgitt tilsvarende data i forkledd form. Dersomdueksempelvisharenrørstrømning,ogfåroppgitt massestrømmen og arealet av røret (eller rørene), kan du først finne parameteren G G = ṁ A tot, [G] = kg m 2 s Med denne parameteren kan (3.12) for en rørstrømning skrives om til (3.14) N Re = D G µ, [N Re] = m kgm 2 s 1 kgm 1 s 1 =[ ] (3.15) slik N Re skal være. En slik fremgangsmåte er blant annet brukt på oppg. 2b), eksamen Konservering av masse - kontinuitetslikningen Det er et grunnleggende prinsipp i mekanikken at massen må bevares - denne betingelsen gjelder overalt og til alle tider. I fluidmekanikken er det vanlig å opprettholde dette kravet ved å se på et kontrollvolum (CV) og en tilhørende kontrollflate (CS). Vedålaenhetsvektorenn peke ut av kontrollflaten, får vi følgende for massetransport ut av flaten ṁ = ρvnds (3.16) CS Vi utnytter har at kun komponenten av v iretningavn vil bidra til masseforflytning ut av overflaten. Fra kontinuitetsprinsippet vet vi at mengden masse som strømmer ut av CS må være den samme som endringen av masse inne i CV. Dette kan formuleres matematisk som t CV ρ dv + ρv nds =0 (3.17) CS 15

16 og omtales som kontinuitetslikningen på integralform. Vedåantafastgeometri(at CV og CS ikke endres), kan vi skrive om (3.17) ved hjelp av divergensteoremet. Vi får dermed kontinuitetslikningen på differensiell form ρ t + (ρv)=0 (3.18) For en inkompressibel strømning (ρ er konstant) forenkles både (3.17) og (3.18) betraktelig, og vi kan skrive ρv nds =0 (3.19) og CS (v )=0 (3.20) De inkompressible variantene, likning (3.19) og (3.20) setter dermed kun restriksjoner på hastighetsfeltet. For en tverrsnittsovergang kan (3.19) brukes til å finne kravet om at produktet av hastigheten og arealet, volumstrømmen, må være konstant, A 1 v 1 = A 2 v 2 (3.21) 3.6 Energilikningen - Euler og Bernoulli Likningen for energibevarelse kan utledes fra termodynamikkens lover, og kan igjen brukes til å finne Bernoullis likning. Man kan imidlertid komme til samme sluttresultat med utgangspunkt i Newtons 2. lov for et ideelt fluid (ingen friksjonskrefter). Vi setter opp den totale kraften på et fluidelement d F = pdv + ρgdv = ma = ρdv Dv Dt Ved ordning av (3.22) får vi Eulers likning = pdv + ρgdv (3.22) Dv Dt = 1 p + g (3.23) ρ som er bevegelseslikningen for et ideelt fluid. Å løse denne likningen helt generelt er krevende (vi trenger 5 likninger for å beskrive de 5 ukjente), så det vil i hovedsak bli aktuelt å se på inkompressibel potensialstrømning der v =0. Eulers likning reduseres da til Bernoullis likning. Merk at vi også kan løse problemet for 1-dimensjonal, kompressibel strømning, men det vil antagelig ikke være så aktuelt idettefaget.detfinnesogsåanalytiskeløsningerforandrespesielletilfellersom ikke vil være viktige for oss. 16

17 Vi finner Bernoullis likning ved å integrere (3.23) langs strømlinjeretningen under forutsetning om friksjonsfri strømning, stasjonær bevegelse ( =0) og konstant t tyngdekraft, g = g k. Med litt triksing finner vi v dp ρ + gz = konst. (3.24) som er Bernoullis likning langs en strømlinje. Detreleddenerepresentererhenholdsvis kinetisk energi per masseenhet, trykkenergi ( Vdp-ledd ) og potensiell energi per masseenhet. Bortsett fra det mellomste leddet kan vi kjenne igjen bevaringen av mekanisk energi, (1.6).Genereltmåvikjennesammenhengenmellomp og V (eller p og ρ, sliklikningenstårskrevet)foråkunnebruke(3.24),menito spesialtilfeller forenkles dette Inkompressibelt fluid, dp ρ = p ρ Vi kan dermed skrive Bernoullis likning på formen v 1 2 (3.25) 2 + p 1 ρ + gz 1 = v p 2 ρ + gz 2 (3.26) Adiabatisk prosess (ved å benytte den adiabatiske tilstandslikningen) dp ρ = γ p γ 1 ρ (3.27) Bernoullis likning kan eksempelvis brukes til å finne at utstrømningshastigheten for vann i et stort kar er gitt ved v ut = 2gH der H er vannets konstante høyde. Denne sammenhengen kalles også Toricellis lov etter oppdageren. Bernoullis likning kan også brukes til å regne ut stagnasjonstrykket ietstagnasjonspunkt. DetteutnyttesblantannettilfartsmålingerietPitot-rør, somgir en tilnærmet hastighet på et fluid. Ved å anta adiabatisk prosess kan (3.24) også brukes til å regne ut den kinetiske oppvarmingen i et stagnasjonspunkt for et kompressibelt fluid. Den er vanlig å anta at strømningen må regnes som kompressibel når det såkalte Mach-tallet (som uttrykket forholdet mellom strømningshastigheten og lydhastigheten i fluidet) overstiger M 0.3. Kinetisk oppvarming blir altså vikitg i høyhastighetsflyvning og romfart. Bernoullis likning er en skalar likning, ogkansåledeskunbestemmeenukjent størrelse alene. Ofte brukes den derfor i kombinasjon med andre grunnlikninger, slik som (3.21) (kontinuitetslikningen). Dette utnyttes praktisk i et Venturimeter, 17

18 der (??) og(3.21)kombineresforåfinnestrømningshastighetenietrør.herantas det at tyngdekraften kan neglisjeres (som for eksempel når vi ser på et horisontalt rør), og vi får v = ρ 1 2 p 2 (3.28) S S min der S min er tverrsnittsarealet av innsnevringen. Et liknende resultat oppnås med en skarpkantet målblende, menhererdetetlangtstørretapenniventurimeteret. Vi kan bruke de samme to likningene til å finne tømmetiden for et kar når dette tømmes kvasistatisk. Ved å først finne utløpshastigheten når det antas at denne er mye større enn hastigheten vannstanden synker med, og deretter relatere de to ved hjelp av kontinuitetsbetingelsen, får vi følgende uttrykk for tømmetiden, T T = S surface S outlet 2H g (3.29) For at Bernoullis likning skal kunne brukes på sin enkleste form (som i likning (3.26)) må følgende krav være oppfylt Friksjonsfri strømning Stasjonær bevegelse, v/ t =0 Konstant feltkraft, g = g k (positiv z-retning er valgt her) Inkompressibel strømning. Dette er ok om M < 0.3 Vi må gå langs en strømlinje (eller ha et konservativt felt, v =0) Ingen varmeutveksling - verken tilført eller fjernet W s =0(ikke noe arbeid utført av pumper eller på turbiner) Ienreellrørstrømningkanviikkeutenviderebrukegjennomsnittshastigheten som farten i (3.26). Derimot, ved å midle transporten av kinetisk energi gjennom røret får vi følgende sammenheng kinetisk energi tid v 2 = ρ v da ṁv2 av α A (3.30) Vi innfører alstå en korreksjonsfaktor α som lar oss bruke den midlere hastigheten. Ved å innføre ṁ = ρv av A for inkompressibel strømning får vi α = A ṁv av ρv 3 da = 18 1 A v 3 av v 3 da A (3.31)

19 Figur 5: Figuren viser eksempel på når Bernoullis likning på sin enkleste form, likning (3.26), kan brukes,og når den ikke kan brukes Vi vil først og fremst få nytte av denne faktoren i rør. Vi får tre hovedtilfeller Friksjonsfri rørstrømning: α =1(fordi v = v av ihelehastighetsprofilen) Laminær rørstrømning: α =0.5 (strømningen blir parabolsk, og den oppgitte verdien for α kan vises fra (3.31) ved litt regning) Turbulent rørstrømning: α 1 (ettersom vi får en tilnærmet konstant hastighetsfordeling lik v av ) Vi kan dermed sette opp en utvidet versjon av Bernoullis likning langs en strømlinje fra snitt (1) til snitt (2) v a v 2 2α + p v ρ + gz a v 2 = 1 2α + p ρ + gz + energitap energigevinst (3.32) 2 der leddet energigevinst representerer tilført mekanisk energi (vifter, pumper ol.), mens energitap dekker tapet i mekanisk strømningsenergi fra 1 til 2. Hva disse faktorene er vil variere fra situasjon til situasjon. 3.7 Kraftloven - bevaring av bevegelsesmengde Den generelle kraftloven kan formuleres som F = ρv dv + ρv(v n )da (3.33) t CV 19 CV

20 For det forenklede tilfellet med inkompressibel strømning får vi F = (ρqv)inn +(ρqv) ut (3.34) Det å tegne inn en kontrollflate (CS) eller et kontrollvoulm (CV) i en figur kan være til stor hjelp når oppgaver løses. Figur 6: Figuren viser eksempel på hva leddet F i (3.33) og (3.34) inneholder Eksempel: oppg. 1, aug Et praktisk eksempel på bruk av kraftloven som omhandler en demning er gitt under, hentet fra eksamen i TKP4100, august 2009: Oppg. 1c) Finn den horisontale kraften som vannet utøver på sluseporten når denne er åpen. Det antas kjent at v 0 =2ms 1, v 1 =8ms 1, h 0 =4m og h 1 =1m. Videre settes g =10 m og ρ =1000 kg,ogkanalensbreddeerb =1m. Isnittet(1)og s 2 m 3 (2) antas trykket å være hydrostatisk, og hastighetene gjennom tverrsnittene konstante. Atmosfæretrykket antas konstant lik p 0,ogfriksjonneglisjeres. Se figur 7 for en skisse av problemet. 20

21 Figur 7: Ilustrasjon til oppg. 1, august 2009 Vi løser problemet ved å sette opp en kraftbalanse i horisontal retning, der strømningsretningen velges som positiv. Fra (3.34) har vi F = (ρqv)inn +(ρqv) ut Vi setter inn, der F k er en kontaktkraft og resten av leddene på venstre side er trykkrefter Vi setter inn tall, og får F k + ρg h 0 2 h 0B ρg h 1 2 h 1B = ρv 2 0h 0 B + ρv 2 1h 1 B F k = F k +80kN 5kN = 16kN+64kN = F k = 27kN = F vann sluse =27kN 21

22 3.8 Inkompressibel strømning Rørstrømning Dersom vi skal regne på gasser (eller væsker med stor hastighet) må vi anta at strømningen er kompressibel. Likningene for å regne på slik strømning er i utgangspunktet de samme, men vi må ta hensyn til at tettheten varierer. Vi tar utgangspunkt i energilikningen på differensiell form v dv + g dz + dp ρ + δw s + δf =0 (3.35) Vi antar videre at det ikke utføres noe arbeid, samt at tyngdens påvirkning er neglisjerbar. Vi innfører også δf =4f v2 2 δl D,ogfår v dv + dp ρ +4f v2 2 δl D =0 (3.36) Ettersom både hastigheten og trykket generelt vil variere med lengden L (grunnet friksjonstap), kan vi ikke integrere opp likningen direkte for å finne løsningen. Men dersom vi antar konstant tverrsnitt, tilsier loven om massebevarelse at massefluksen, [G] = kg m 2 s, må være konstant. Vi vet at G = V ρ = v V = v = V G (3.37) der V er spesifikt volum, [V ]=m 3 /kg.selvombådevogρ endrer seg i strømningsforløpet, vil produktet av de to måtte forbli konstant for å oppnå massebevarelse (forutsatt konst. tverrsnitt). Fra (3.37) har vi v = G V,ogdv = G dv,somvi setter inn i (??). Ved å deretter dele hele likningen på V 2,fårvi G 2 dv V + dp V 4f G2 + δl =0 (3.38) 2D Det er dermed ingen variable koeffisienter foran δf (f er også konstant, ettersom Re = GD = konstant). Ved å integrere (3.38) mellom tilstand 1 og 2, får vi dermed µ G 2 ln V 2 2 dp + V 1 1 V +2f G2 L D =0 (3.39) 22

23 Dermed gjenstår det bare å finne en sammenheng mellom P og V - dette kommer an på tilstandslikningen som gjelder. Dersom vi antar isoterm strømning og ideell gass, vet vi at følgende gjelder PV = RT M Innsatt i (3.41), med PV = RT M = 1 V = PM RT = ρ (3.40) = konstant, fårvi G 2 P1 + M P 2 2RT (P 2 2 P1 2 )+2f G 2 L D =0 (3.41) Denne likningen kan ofte løses, enten numerisk (prøve-og-feile, Matlab osv.) eller ved å gjøre noen lure antagelser. I en del tilfeller kan eksempelvis det kinetiske leddet (G 2 ln(p 1 /P 2 ) neglisjeres dersom hastighetene er lave nok - dette kan selvsagt verifiseres når vi har svaret (kjenner både P 1 og P 2 ) Sonisk strømning Vi vet intuitivt at dersom vi snevrer inn en rørstrømning vil strømningshastigheten måtte øke. Dette er et resultat av massebevarelse. Dersom hastigheten øker må også det statiske trykket synke, som et resultat av energibevarelse. Dette er blant annet prinsippet bak et Venturimeter for å måle strømningshastigheter, og er illustrert ifigur8. Figur 8: Forholdet mellom hastighet og trykk ved innsnevring av en rørstrømning Dersom trykkfallet i et rør eller over en innsnevring blir tilstrekkelig stort, kan vi oppnå sonisk strømning. Dettekallesogsåkritiskellerstrupetstrømning. 23

24 Vi ser først på det isoterme tilfellet, og tar utgangspunkt i likning (3.41). Vi ser at P 2 = P 1 = G =0,somstemmermedatdersomdetikkeernoentrykkgradient vil det heller ikke være noen massetransport. Ved å bruke L Hôpitals regel kan det vises at G 0 når P 2 0. SidenG = 0for alle andre verdier av P 2,måGhaet maksimum mellom P 2 = P 1 og P 2 =0.Viderivererlikning(3.41)medhensynpå P 2,ogfinnermaksimumsverdienavGnår dg dp 2 =0.Vedlitttriksingfårvi G 2 max = M 2RT P 2 2,max (3.42) Fra likning (3.42), definisjonen av masseflux samt den isoterme betingelsen om at PV = konstant får vi at v 2,max = P 2,max V 2,max (3.43) der v max er den maksimale isoterme strømningshastigheten. Hvis trykkfallet gir en P 2 <P 2,max har vi såkalt overkritisk trykkfall og hastigheten blir v 2,max uansett verdi av P 2. Vi ser nå på det isentropiske tilfellet (adiabatisk, friksjonsfri strømning) - dette kan ofte anta som rimelig for endel gasstrømmer. Vi tar i bruk den adiabatiske tilstandslikningen, somvisetterinni(3.41).viserogsåbortfrafriksjonsleddet (under antagelsen om isentropisk strømning). På samme måte som for isoterm strømning kan det vises at maksimal hastighet er gitt ved v 2,max = γ P 2,max V 2,max (3.44) Her er γ = C P C V,ogP 2,max og V 2,max henholdsvis det trykket og spesifikke volumet som gir kritisk hastighet og på den måten maksimal massestrøm. Denne hastigheten svarer til lydhastighet under de gitte forholdene. Det er også mulig å bruke dette resultatet for adiabatisk strømning, men da må friksjonsleddet tas med, og γ må byttes ut med k (en korrigert γ) Lydhastigheten Ved å se på en trykkfront av infinitesimal styrke (alstå tilnærmet reversible endringer over denne trykkfronten), samt å bruke de balanselikningene vi har (kontinuitet og impuls) kan vi etter mye triksing komme frem til følgende sammenheng 24

25 for lydhastigheten c c 2 = P ρ S (3.45) Sammenhengen gjelder altså kun ved isentropiske forhold Strømning i varierende tverrsnitt Vi tar utgangspunkt i kontinuitetslikningen, ρva = konstant, og deriverer denne. Vi deler deretter på ρva, ogfår da A + dv v + dρ ρ =0 (3.46) Vi kombinerer denne med energilikningen for isentropisk strømning, der tyngdekraftens innvirkning neglisjeres dp ρ + vdv =0 (3.47) Vi innfører Machtallet, Ma = v, der c er lydhastigheten fra (3.45). Med endel c triksing fra likningene (3.45), (3.46) og (3.47) kan det dermed vises at dv v = da A 1 Ma 2 1 (3.48) Vi ser raskt at når Ma < 1, altsåvedunderlydshastighet,vil dv være positiv når v da er negativ. Dette stemmer med det vi intuitivt vet - strømningshastigheten A øker når vi gjør tverrsnittet mindre - ettersom massebalansen må opprettholdes. Når Ma > 1, derimot,vilenøkningavtverrsnittet(enekspansjon)gi en økning i hastighet. Fra likning (3.48) kan vi også se at da A =0 = Ma =1.Vivetat da A =0må være det trangeste punktet, og dermed må hastigheten her være 1 Ma. Vi kan trekke konklusjonen at vi må ha sonisk hastighet et eller annet sted i strømningsforløpet for å kunne oppnå supersoniske hastigheter. Med utgangspunkt ienergilikningenogendeltriksingmedderivasjonavdennekandetvisesatdet kritiske trykkforholdet som gir et minimalt tverrsnitt (eller en maksimal masseflux, G) er gitt ved γ P 2 2 γ 1 = w c = P 1 γ +1 (3.49) 25

26 Hastigheten som svarer til dette trykkforholdet er den samme som i likning (3.44). Altså er den hastigheten som gir den maksimale massefluksen i en dyse den samme som sonisk hastighet i trangeste tverrsnitt. Dersom dysen divergerer etter dette, vil supersoniske hastigheter kunne oppnås. Dette utnyttes i praksis i et såkalt de Laval-munnstykke (også kalt et konvergentdivergent munnstykke) foråoppnåsupersoniskestrømningshastigheter,ogbrukes iblantannetimodernerakettmotorer,supersoniskejetmotorerogvissetyper gassturbiner. Hensikten er å omdanne varmeenergien som driver strømningen til en maksimal mengde rettet kinetisk energi. Figur 9: Illustrasjon som viser den omtrentlige strømningshastigheten fra venstre mot høyre gjennom et de Laval-munnstykke.Grønn er treg strømning,rød er hurtig. 26

27 Del III Varmetransport Denne delen av pensum tar for seg transport av energi i form av varme. Det er tre måter å overføre varme på, se også figur 10: Konduksjon: varmeoverføring i form av atomære vibrasjoner (eller elektronledning) i gasser, flytende faser og faste faser. Gjelder i hovedsak faste faser eller stillestående medier. Konveksjon: varmeoverføring med fluider som beveger seg Stråling: varmeoverføring i form av elektromagnetisk stråling Generelt kan vi si at den drivende kraften bak all varmeledning er temperaturgradienten - en varmeoverføring fra et varmt legeme til et kaldt legeme vil alltid foregå spontant (TD 2. lov). Det er likevel verdt å merke seg at størrelsen og hastigheten på denne varmeoverføringen vil avhenge av en rekke parametere som utforming, strømningsforhold og materialegenskaper hos de to legemene. Figur 10: De tre måtene varme kan overføres på; konduksjon, konveksjon og stråling 27

28 4 Mål for varmetransportdelen av TKP4100 Beskrive Fouriers lov samt de inngående komponentene med ord. Utnytte Fouriers lov til å beregne varmefløden i faste materialer ved stasjonær tilstand. Utnytte Fouriers lov til å beregne varmefløden i faste komposittmaterialer ved stasjonær tilstand. Utnytte Fouriers lov til å beregne varmefløden i faste komposittmaterialer ved stasjonær tilstand og variabelt areal. Angi og utnytte løsninger til den generelle varmeledningslikningen for uendlig lange materialer. Beregne temperaturfordelning i uendelig lange materialer ved konstant overflatetemperatur. Utlede varmeledningslikningen fra Fouriers lov. Kjenne til begrepene termisk diffusivitet, varmeledningskoeffisient och varmeoverføringstall. Kunne angi metoder for å måle varmeledning. Kunne beskrive Newtons lov med ord. Kunne beregne varmeoverføringstallet fra kjent geometri og temperaturgradient. Kunne bruke Newtons lov til å beregne nedkjølingen av overflater (eksempelvis i varmevekslere). Kunne beskrive Stefan-Boltzmanns strålingslov. Kunne bruke Stefan-Boltzmanns strålingslov til beregning av stråling til og fra ulike kropper. Kunne definere og bruke utbyttefaktorer ved strålingberegninger for enkle geometrier. 28

29 5 Konduksjon Generelt kan de molekylære transportprosessene (transport av masse, energi og moment) som foregår gjennom diffusjon beskrives med et liknende rammeverk. Helt gererelt har vi at rate = drivende kraft motstand (5.1) Også elektrisk strøm kan beskrives på samme måte - Ohms lov er formmessig identisk med (5.1). Legg merke til at også Newtons viskositetslov, likning(3.9) har denne formen. 5.1 Fouriers lov Fouriers lov brukes til å beskrive varmeledning gjennom et fast materiale. I én dimensjon, for eksempel x-retning, kan vi skrive Fouriers lov som dt q x = k x = Q konduksjon (5.2) dx A Her er k varmeledningstallet eller varmeledningskoeffisienten, somerentrykk-og temperaturavhengig materialkonstant. Videre er Q konduksjon den totale varmeoverføringen ved konduksjon, og A er kontaktflaten som står vinkelrett på varmeoverføringen. Legg merke til formlikheten mellom (5.1) og (5.2) - temperaturgradienten dt dx er den drivende kraften, og motstanden kan skrives som R = 1 A k x Temperaturprofilen for et enkelt tilfelle der Fouriers lov kan brukes er vist i figur 11. Dersom temperaturgradienten er konstant, slik figuren viser, vil Fouriers lov forenkles vesentlig. Vi kan ofte anta at det ikke akkumuleres eller genereres varme i systemet, slik at Q inn Q ut =0.Dettelarosseksempelvisgjøreberegningerpåproblemder arealet ikke er konstant. Dersom vi benytter denne sammenhengen, samt (5.2), kan varmeledningen gjennom et forsvinnende tykt lag beskrives som d dx = A(x) k dt dx = A k d2 T =0 (5.3) dx2 Forenklingen kan gjøres dersom A og k antas konstante med hensyn på x. Imangepraktisketilfellerstøtervipåkonstruksjonersomersattsammenav ulike material med ulike termiske egenskaper. Et eksempel på et slikt tilfelle er 29

30 Figur 11: Temperaturprofilen i et enkelt, 1-dimensjonalt tilfelle veggen vist i figur 12, der den tilhørende temperaturgradient gjennom veggen også illustreres. Ofte er det naturlig å anta stasjonær tilstand, slikatvarmemengdensomfraktes gjennom de ulike lagene må være den samme. Hvis arealene også er de samme, kan vi benytte (5.2) på hver av lagene og få dt dt q = k 1 = k 2 =... (5.4) dx 1 dx 2 Vi kan løse hver av disse likningene med hensyn på temperaturendringen gjennom hvert enkelt lag, T.Vifårdaenrekkelikningerpåformen T 1 T 2 = q 1 R 1 = q 1 x 1 k 1,T 2 T 3 = q 2 R 2 = q 2 x 2 k 2,... (5.5) Merk at varmestrømmen (fluksen) blir positiv når T start >T slutt.vikannålegge sammen likningene fra for å eliminere de intermediære temperaturene, slik at vi står igjen med en likning på formen q = T R = T indre T ytre = k tot T (5.6) x 1 k 1 + x 2 k

31 Figur 12: En vegg sammensatt av ulike materialer, og den tilhørende temperaturprofilen gjennom veggen Dermed kan den totale varmestrømningen per areal gjennom komposittveggen beregnes. T representerer her den totale temperaturgradienten gjennom veggen, mens R representerer den totale motstanden mot varmeoverføringen. Når vi kjenner q kan vi også regne ut de intermediære temperaturene dersom dette skulle være ønskelig. 5.2 Ikke-stasjonær varmetransport Dersom vi har et problem der varmeoverføringen er tidsavhengig, har vi et ikkestasjonært problem. I motsatt fall, for stasjonære problem, varierer ikke varmeoverføring med tid. For ikke-stasjonære forhold kan følgende generelle, 1-dimensjonale formel for varmeoverføring utledes T 2 T = α (5.7) t x 2 der α er den termiske diffusiviteten. Sammenhengen mellom den termiske diffusiviteten og varmeledningstallet kan skrives som k α = (5.8) ρ c p Produktet ρ C p representerer hvor mye av den overførte varmen som går med til å varme opp volumelementet vi ser på. Substanser med høy termisk diffusivitet 31

32 tilpasser raskt temperaturen sin til omgivelsestemperaturen ettersom de overfører varme effektivt (ved konduksjon) i forhold til sin volumetriske varmekapasitet, ρ C p. De trenger altså lite tilførsel av energi fra omgivelsene for å nå termisk likevekt. Dersom det i tillegg genereres varme inne i det aktuelle volumelementet (induksjonsvarme, omvandlingsvarme el.) legger vi til leddet q ρc p i(5.7),der q representerer varmen som genereres inne i elementet. Itredimensjonerkanviskrivedengenerellevarmeledningslikningensom T = α 2 T + q (5.9) t ρc p For å løse den generelle varmelikningen (uten produksjon av varme i systemet) ønsker vi å finne et matematisk funksjon som beskriver det aktuelle systemet og dets randvillkår på best mulig måte. Det kan vises at den såkalte feilfunksjonen, erf(η), tilfredsstiller disse kravene. En generell løsning til (5.7) i et fast material i punktet x kan skrives som T = A + B erf(η) (5.10) der A og B er konstanter som bestemmes fra randbetingelsene og η kan finnes fra følgende sammenheng x η = (5.11) 4 α t Matematisk er errorfunksjonen definert som erf[f(x)] = 2 f(x) e ξ2 dξ (5.12) π der ξ er en omvandlingsvariabel. Fra produktregelen kan det dermed vises at en funksjon på formen x T = A + B erf( ) (5.13) 4 α t er en løsning av (5.7). Ettersom den generelle løsningen i (5.13) inneholder to ukjente konstanter A og B, trengs det generelt to randvillkår for å kunne løse problemet. Den komplementerende errorfunksjonen, erfc(η), er definert som 0 erfc[f(x)] = 1 erf[f(x)] (5.14) Ivissetilfelergirdennefunksjonenenbedreløsningavpraktiskeproblem,mentil eksamen vil den vanlige errorfunksjonen være viktigst. 32

33 Figur 13: Feilfunksjonen og den komplementære feilfunksjonen plottet for f(x) mellom 0 og 2 6 Konveksjon Vi skiller mellom to hovedtyper av konveksjon Fri konveksjon (også kalt egenkonveksjon): strømningen skjer fritt i mediet, og oppstår som følge at temperaturinduserte tetthetsdifferanser. Påtvunget konveksjon: strømningenerforårsaketavytrepåvirkning-oftei form av mekanisk arbeid i for eksempel en pumpe eller en blander Vi tenker oss generelt at konveksjon foregår gjennom et tenkt grenseskikt mellom de to aktuelle fasene. Så fort det er en temperaturforskjell mellom de to fasene vil det oppstå et termisk grenseskikt og et hastighetsgrenseskikt iovergangenmellomdem.temperaturener ikke konstant i dette grenseskiktet (og det er ofte svært vanskelig å finne et uttrykk for den) - derfor sier vi ofte at temperaturen i grenseskiktet representeres med en middelverdi av temperaturen i fluiden og temperaturen i det faste materialet. Generelt er det svært vanskelig å løse likningene som beskriver det konvektive varmetransporten. I visse enkle tilfeller kan vi benytte Newtons lov som er beskrevet i neste avsnitt, men oftest må vi ty til empirisk baserte løsninger. Disse likningene inneholder ofte dimensjonsløse tall for å forminske antall variable man må forholde seg til. 33

34 Figur 14: Konveksjon antas å finne sted fra et fast legeme til et fluid gjennom et grenseskikt 6.1 Newtons lov IenklekonveksjonsproblemkanvarmeoverføringenbeskrivesvedhjelpavNewtons lov q x = h (T T 1 ) (6.1) der (T T 1 ) er temperaturdifferansen mellom fast og flytende fase (T er temperaturen passe langt ut i flytende fase, altså ute av grenseskiktet), og h er varmeoverføringstallet. Sistnevnte er et mål på hvor effektiv varmeoverføringen mellom to faser er, og påvirkes av en rekke faktorer som temperatur, konveksjonsform (generelt er h fri <h tvungen ), hastighet på fluidet osv. I motsetning til varmeledningstallet k er varmeoverføringstallet h ikke en fluidegenskap. Merk at T infty er antatt å være temperaturen i fluidet langt fra overflaten, der denne kan sees som konstant (dette vil ikke være tilfelle i grensesjiktet fast/flytende fase). Ofte brukes ferdige standardløsninger for løsning av konveksjonsproblem - disse bygger på bruk av såkalte dimensjonsløse tall, slik som Reynolds tall.formlene gitt på formelarket er typisk avhengig av geometriske faktorer (plan plate, liggende sylinder osv.), konveksjonstype (fri/tvunget) samt verdien på spesifikke dimensjonsløse tall. 34

35 6.2 Empirisk baserte løsninger på konvektive problem De empiriske løsningene av konvektive problem baserer seg ofte på såkalte dimensjonsløse tall. Grunnentilatdisseintrodusereserforåredusereantalletvariable som inngår i problemet - dette forenkler både det eksperimentelle arbeidet knyttet til å finne de fysiske sammenhengene i et problem, samt den påfølgende analysen. De originale variablene arrangeres i i dimensjonsløse grupper, som deretter kan betraktes som nye variable. En oversikt over hvilke dimensjonsløse tall vi har og hva de forteller oss er gitt i tabellen på neste side. 35

36 Tall Formel Beskrivelse Reynolds tall (Re) Re = L v ρ µ Reynolds tall beskriver forholdet mellom massekrefter (inerte krefter) og friksjonskrefter (viskøse krefter) i et system der vi har tvunget konveksjon. Re avgjør om vi får laminær eller turbulent strømning. Nusselts tall (Nu) Nu = h L k Nusselts tall beskriver forholdet mellom konduksjon og konveksjon i det fluidet vi ser på. Nu definerer temperaturfeltet idetstrømmendemediet. Prandtls tall (Pr) Pr = Cp µ k = ν α Prandtls tall beskriver forholdet mellom det termiske grenseskiktet og hastighetsgrenseskiktet, altså forholdet mellom transporten av energi som varme og kinetisk energi. Grashofs tall (Gr) Gr = L3 ρ 2 g β T Grashofs tall har samme fysiske forståelse som Reynolds tall, men gjelder for naturlig µ 2 konveksjon. Rayleighs tall (Ra) Biots tall (Bi) Ra = Gr Pr Bi = h L k Rayleighs tall beskriver overgangen mellom konduksjon og konveksjon for naturlig konveksjon. Underenvisskritiskverdi av Ra vil varmeoverføringen først og fremst være i form av konduksjon, mens når denne verdien overstiges vil varmeoverføringen først og fremst finne sted ved konveksjon. Merk at som følge av definisjonen på Ra vil den kritiske verdien være avhengig av geometrien. Biots tall brukes ved ikke-stasjonær varmeledning fra overflaten til et fast material og ut i en omgivende fluid. Tallet forteller oss om forholdet mellom varmeoverføringen inne i det faste materialet og varmeoverføringen fra fast materiale fluid (i grenseskiktet). 36

37 Ved påtvunget konveksjon kan vi finne temperaturfeltet ved en overflate gjennom å betrakte de to størrelsene Reynolds tall (Re) og og Prandtls tall (Pr). Varmeovergangen kan da beskrives gjennom en sammenheng av typen Nu = f(re, P r). For naturlig konveksjon får vi en liknende sammenheng, der Reynolds tall er byttet ut med Grashofs tall (Gr). Vi kan da beskrive varmeovergangen som Nu = f(gr, P r). Det største skillet mellom de to er at drivkraften for strømningen er ulik - i naturlig konveksjon er denne utelukkende temperaturindusert, mens den ved påtvunget konveksjon er hjulpet av ytre krefter. Ved geometrisk likhet og dynamisk likhet i to problem kan alle variable i det ene tilfellet relateres direkte med tilsvarende variable i det andre tilfellet. Dette er bakgrunnen for å lage sammenhenger for Nu for ulike geometrier (teoretisk og eksperimentelt). Slike sammenhenger er oppgitt i formelsamlingen. Hvilke likninger som brukes i de ulike tilfellene avhenger av geometrien, samt tallverdien på visse dimensjonsløse størrelser. Ettersom varmeovergangstallet inngår i definisjonen av Nu, kan vi skrive h = Nu k.dermedkanvarmeovergangstalletberegnesfraalgoritmengittunder(som L også er oppsummert i figur 15): 1. Bestem den geometrien som passer best mulig for det gitte problemet 2. Bestem middeltemperaturen for systemet, og finn frem nødvendig informasjon om materialet og/eller fluiden fra formelsamlingen. 3. Bestem om vi har påtvunget eller naturlig konveksjon. 4. Bestem om vi har turbulent eller laminær strømning Se på Re ved påtvunget konveksjon Se på Gr Pr ved naturlig konveksjon 5. Finn likningen for Nusselts tall (Nu) for den aktuelle geometrien i formelsamlingen 6. Beregn Nu Nu = f(re, P r) ved påtvunget konveksjon Nu = f(gr, P r) ved naturlig konveksjon 7. Beregn h 37

38 Figur 15: Flytskjema for å beregne h (varmeovergangstallet) ved naturlig og påtvunget konveksjon 38

39 6.3 Blandede problem Et typisk blandet problem er en rørstrømning eller en enkel varmeveksler, der vi har en fluid med temperatur T indre som strømmer gjennom røret på innsiden og en annen fluid med temperatur T ytre som strømmer på utsiden av røret. Vi får dermed konveksjon fra innsiden av røret til selve røret, konduksjon gjennom selve røret, og et nytt tilfelle av konveksjon fra røroverflaten og ut i den ytre fluiden. Se figur 16. Figur 16: Typisk konduksjons-konveksjonsproblem - konveksjon fra indre fluid til rør, konduksjon gjennom røret og konveksjon ut i ytre fluid. Her er det antatt at T indre >T ytre Dette problemet kan løses med samme fremgangsmåte som for det rene konduksjonsproblemet med komposittveggen. Nå må vi imidlertid ta hensyn til at arealet (overflaten) ikke er det samme gjennom de ulike varmeoverføringstrinnene - men dersom vi antar at dette er et stasjonært problem uten akkumulering eller indre generering av varme har vi at Q indre,konv. = Q kond. = Q ytre,konv. Vi setter opp likningene for varmeoverføringen i de ulike trinnene (fra Fouriers lov og Newtons lov): 1. Konveksjon fra indre fluid til rør: Q 1 = h 1 A 1 (T indre T 1 ) 2. Konduksjon gjennom røret: Q 2 =4πr 2 k dt dr 3. Konveksjon fra røret til ytre fluid: Q 3 = h 3 A 3 (T 2 T ytre ) 39

dp ρ L D dp ρ v V Både? og v endres nedover et rør, men produktet er konstant. (Husk? = 1/V). Innsatt og med deling på V 2 gir dette:

dp ρ L D dp ρ v V Både? og v endres nedover et rør, men produktet er konstant. (Husk? = 1/V). Innsatt og med deling på V 2 gir dette: SIK005 Strømning og transportprosesser Kompressibel strømning Rørstrømning Både i forbindelse med vår naturgassproduksjon på kontinentalsokkelen og i miljøsammenheng er strømningsberegninger på gass av

Detaljer

Løsningsforslag Øving 12

Løsningsforslag Øving 12 Løsningsforslag Øving 1 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 013 Oppgave 9-89 Løsning Vi skal finne et uttrykk for trykket som funksjon av x og y i et gitt hastighetsfelt. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær.

Detaljer

1. FLUIDSTATIKK. Fast stoff: Væske: Gasser: sterke bindinger stasjonære molekyler fast volum og form

1. FLUIDSTATIKK. Fast stoff: Væske: Gasser: sterke bindinger stasjonære molekyler fast volum og form 1. FLUIDSTATIKK I dette kapitlet blir begrepet kontinuerlige media introdusert, og karakteristiske egenskaper ved væsker og gasser, dvs. ved et fluid, blir diskutert. Newton's. lov for et kontinuerlig

Detaljer

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov KJ1042 Øving 3: arme, arbeid og termodynamikkens første lov Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hvordan ser Ideell gasslov ut? Ideell gasslov kan skrives P nrt der P er trykket, volumet,

Detaljer

Løsningsforslag Øving 10

Løsningsforslag Øving 10 Løsningsforslag Øving 0 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 03 Oppgave 8-30 Løsning Volumstrømmen av vann gjennom et rør er gitt. Trykkfallet, tapshøyden og pumpens effekt skal bestemmes. Antagelser Strømningen

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

F. Impulser og krefter i fluidstrøm

F. Impulser og krefter i fluidstrøm F. Impulser og krefter i fluidstrøm Oppgave F.1 Ved laminær strøm gjennom et sylindrisk tverrsnitt er hastighetsprofilet parabolsk, u(r) = u m (1 (r/r) 2 ) hvor u max er maksimalhastigheten ved aksen,

Detaljer

Arbeid = kraft vei hvor kraft = masse akselerasjon. Hvis kraften F er konstant og virker i samme retning som forflytningen (θ = 0) får vi:

Arbeid = kraft vei hvor kraft = masse akselerasjon. Hvis kraften F er konstant og virker i samme retning som forflytningen (θ = 0) får vi: Klassisk mekanikk 1.1. rbeid rbeid som utføres kan observeres i mange former: Mekanisk arbeid, kjemisk arbeid, elektrisk arbeid o.l. rbeid (w) kan likevel alltid beskrives som: rbeid = kraft vei hvor kraft

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: Onsdag, 5. juni 2013 Tid for eksamen: kl. 9:00 13:00 Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: formelark

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TFY desember 2010.

Løsningsforslag eksamen TFY desember 2010. Løsningsforslag eksamen TFY4115 10. desember 010. Oppgave 1 a) Kreftene på klossene er vist under: Siden trinsene og snorene er masseløse er det bare to ulike snordrag T 1 og T. b) For å finne snordraget

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

SAMMENDRAG AV FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 23.02.00

SAMMENDRAG AV FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 23.02.00 SAMMENDRAG A FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 3.0.00 Tema for forelesningen var termodynamikkens 1. hovedsetning. En konsekvens av denne loven er: Energien til et isolert system er konstant. Dette betyr

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2010

Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2010 TEP5: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2 Oppgave 2.32 Vi skal finne vannhøyden H i røret. Venstre side (A) er fylt med vann og 8cm olje; SG =,827 = ρ olje /ρ vann. Høyre side (B) er fylt

Detaljer

Krefter, Newtons lover, dreiemoment

Krefter, Newtons lover, dreiemoment Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL. EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk

Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL. EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk Side 1 av 10 NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk

Detaljer

T L) = ---------------------- H λ A T H., λ = varmeledningsevnen og A er stavens tverrsnitt-areal. eks. λ Al = 205 W/m K

T L) = ---------------------- H λ A T H., λ = varmeledningsevnen og A er stavens tverrsnitt-areal. eks. λ Al = 205 W/m K Side av 6 ΔL Termisk lengdeutvidelseskoeffisient α: α ΔT ------, eks. α Al 24 0-6 K - L Varmekapasitet C: Q mcδt eks. C vann 486 J/(kg K), (varmekapasitet kan oppgis pr. kg, eller pr. mol (ett mol er N

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2008

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2008 Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek0 våren 008 Side av 0 Oppgave a) Atwoods fallmaskin består av en talje med masse M som henger i en snor fra taket. I en masseløs snor om taljen henger to masser m > m >

Detaljer

Fasit eksamen Fys1000 vår 2009

Fasit eksamen Fys1000 vår 2009 Fasit eksamen Fys1000 vår 2009 Oppgave 1 a) Klossen A er påvirka av tre krefter: 1) Tyngda m A g som peker loddrett nedover. Denne er det lurt å dekomponere i en komponent m A g sinθ langs skråplanet nedover

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave) TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 4 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I

Detaljer

Fuktig luft. Faseovergang under trippelpunktet < > 1/71

Fuktig luft. Faseovergang under trippelpunktet < > 1/71 Fuktig luft 1/71 Faseovergang under trippelpunktet Fuktig luft som blanding at to gasser 2/71 Luft betraktes som en ren komponent Vanndamp og luft oppfører seg som en blanding av nær ideelle gasser 3/71

Detaljer

Fluidmekanikk Kopieringsgrunnlag for tillegg til Rom Stoff Tid Forkurs kapittel 6: Fysikk i væsker og gasser

Fluidmekanikk Kopieringsgrunnlag for tillegg til Rom Stoff Tid Forkurs kapittel 6: Fysikk i væsker og gasser Fluidmekanikk Kopieringsgrunnlag for tillegg til Rom Stoff Tid Forkurs kapittel 6: Fysikk i væsker og gasser Av Arne Auen Grimenes Per Jerstad Bjørn Sletbak Fluidstrøm iskøs / ikke-viskøs Inkompressibel

Detaljer

FLUID- OG GASSDYNAMIKK

FLUID- OG GASSDYNAMIKK FLUID- OG GASSDYNAMIKK Alle kontinuerlige stoffer kan forekomme i tre aggregattilstander ; fast stoff, flytende form (fluid, væske) og gassform. Eksempler: Vann T

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 høsten 2007

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 høsten 2007 Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek0/Fys-mef0 høsten 007 Side av 9 Oppgave a) En kule ruller med konstant hastighet bortover et horisontalt bord Gjør rede for og tegn inn kreftene som virker på kulen Det

Detaljer

Løsningsforslag. for. eksamen. fysikk forkurs. 3 juni 2002

Løsningsforslag. for. eksamen. fysikk forkurs. 3 juni 2002 Løsningsforslag for eksamen fysikk forkurs juni 00 Løsningsforslag eksamen forkurs juni 00 Oppgave 1 1 7 a) Kinetisk energi Ek = mv, v er farten i m/s. Vi får v= m/s= 0m/s, 6 1 1 6 slik at Ek = mv = 900kg

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Newtons (og hele universets...) lover

Newtons (og hele universets...) lover Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultet for helse- og idrettsvitenskap EKSAMEN. Time Is)

Universitetet i Agder Fakultet for helse- og idrettsvitenskap EKSAMEN. Time Is) Universitetet i Agder Fakultet for helse- og idrettsvitenskap EKSAMEN Emnekode: IDR104 Emnenavn: BioII,del B Dato: 22 mai 2011 Varighet: 3 timer Antallsider inkl.forside 6 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator.Formelsamlingi

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

T 1 = (m k + m s ) a (1)

T 1 = (m k + m s ) a (1) Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008. Løsningsforslag til Øving 2. Oppgave 1 a) Vi ser på et system bestående av en kloss på et horisontalt underlag og en snor med masse. Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 3 juni 205 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2016 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2016 (Nummerne refererer til White s 6. utgave) TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 6 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I

Detaljer

EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling

EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai 2007 TID FOR EKSAMEN: kl. 09-13 (4 timer) TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard

Detaljer

FY0001 Brukerkurs i fysikk

FY0001 Brukerkurs i fysikk NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til øving FY0001 Brukerkurs i fysikk Oppgave 1 a Det er fire krefter som virker på lokomotivet. Først har vi tyngdekraften, som virker nedover, og som er på F

Detaljer

Termisk fysikk består av:

Termisk fysikk består av: Termisk fysikk består av: 1. Termodynamikk: (= varmens kraft ) Makroskopiske likevektslover ( slik vi ser det ) Temperatur. 1. og. hovedsetning. Kinetisk gassteori: Mekanikkens lover på mikrokosmos Uttrykk

Detaljer

Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.

Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 22. september kl 12:15 15:00. Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Oppgave 1 a)

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009 Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Magnus Borstad Lilledahl Telefon: 73591873 (kontor) 92851014 (mobil) KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Elektrisk og Magnetisk felt

Elektrisk og Magnetisk felt Elektrisk og Magnetisk felt Kjetil Liestøl Nielsen 1 Emner for i dag Coulombs lov Elektrisk felt Ladet partikkel i elektrisk felt Magnetisk felt Magnetisk kraft på elektrisk eladninger Elektromagnetiske

Detaljer

VEDLEGG : Grunnkurs vindforhold

VEDLEGG : Grunnkurs vindforhold VEDLEGG : Grunnkurs vindforhold Introduksjon til Vindkraft En vindturbin omformer den kinetiske energien fra luft i bevegelse til mekanisk energi gjennom vingene og derifra til elektrisk energi via turbinaksling,

Detaljer

FORELESNING 4/5 09, REPETISJON Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje

FORELESNING 4/5 09, REPETISJON Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje FORELESNING 4/5 09, REPETISJON Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje Bevegelsen er fullstendig beskrevet av x(t) Gjennomsnittshastighet: 1 Hastighet: stigningstall til tangenten til

Detaljer

Breivika Tromsø maritime skole

Breivika Tromsø maritime skole Breivika Tromsø maritime skole F-S-Fremdriftsplan 00TM01F - Fysikk på operativt nivå Utgave: 1.01 Skrevet av: Knut Magnus Sandaker Gjelder fra: 18.09.2015 Godkjent av: Jarle Johansen Dok.id.: 2.21.2.4.3.2.6

Detaljer

Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen:

Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: . 2 65 Løsning E.1 Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: Dette er den søkte formen. " Løsning E.2 %'& Legg en -akse i # s retning, dvs. # () -,&

Detaljer

EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling

EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I: BIT60 Fluidmekanikk DATO: 15. mai 008 TID FOR EKSAMEN: kl. 09-13 (4 timer) TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard

Detaljer

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Kristian Etienne Einarsrud 1 Vektorer, grunnleggende matematikk og bevegelse 1.1 Introduksjon Fysikk er en vitenskap som har som mål å beskrive verden rundt

Detaljer

Eksamen i FYS-0100. Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 8 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI

Eksamen i FYS-0100. Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 8 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Eksamen i FYS-0100 Eksamen i : Fys-0100 Generell fysikk Eksamensdag : 23. februar, 2012 Tid for eksamen : kl. 9.00-13.00 Sted : Administrasjonsbygget, Rom B154 Hjelpemidler : K. Rottmann: Matematisk Formelsamling,

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Eksamen i FYS Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 7 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI

Eksamen i FYS Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 7 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Eksamen i FYS-0100 Eksamen i : Fys-0100 Generell fysikk Eksamensdag : 16. desember, 2011 Tid for eksamen : kl. 9.00-13.00 Sted : Åsgårdveien 9 Hjelpemidler : K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, O. Øgrim:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing STREAMFLOW ROUTING Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms Skiller mellom hydrologisk routing hydraulisk routing Hydraulisk routing er basert på løsning av de grunnleggende differensial ligninger

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001 Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl. 09.00 13.00 Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K.

Detaljer

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000 Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 000 Hjelpemidler: Tabeller og formler i fysikk og matematikk Lommeregner Tid: 100

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Torsdag 14.1.24,

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN

FYSIKK-OLYMPIADEN Norsk Fysikklærerforening I samarbeid med Skolelaboratoriet, Fysisk institutt, UiO FYSIKK-OLYMPIADEN 04 05 Andre runde: 5/ 05 Skriv øverst: Navn, fødselsdato, e-postadresse og skolens navn Varighet: klokketimer

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36 Institutt for fsikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefsikk Høsten 2006, uke 36 Mandag 04.09.06 Del II: BØLGER Innledning Bølger er forplantning av svingninger. Når en bølge forplanter seg i et materielt medium,

Detaljer

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E Løsningsforslag Obligatorisk oppgave i FO340E 0. februar 2009 Det er nt om dere har laget gurer hvor kreftene er tegnet inn, selv om det er utelatt i dette notatet av praktiske årsaker. En oppgave kan

Detaljer

Fagnr: FIOIA I - Dato: Antall oppgaver: 2 : Antall vedlegg: 3 - - -

Fagnr: FIOIA I - Dato: Antall oppgaver: 2 : Antall vedlegg: 3 - - - ;ag: Fysikk i-gruppe: Maskin! EkSarnensoppgav-en I består av ~- - Tillatte hjelpemidler: Fagnr: FIOIA A Faglig veileder: FO lo' Johan - Hansteen I - - - - Dato: Eksamenstidt 19. August 00 Fra - til: 09.00-1.00

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEF 1100 Klimasystemet Eksamensdag: Torsdag 8. oktober 2015 Tid for eksamen: 15:00 18:00 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Oppgavesettet

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk

Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Side 1 av 10 Bokmål Institutt for fysikk Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ragnvald Mathiesen Tlf.: 97692132 Eksamensdato: 13.08.2014 Eksamenstid (fra-til): 09:00-13:00

Detaljer

INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230. Forelesninger av Bjørn Gjevik

INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230. Forelesninger av Bjørn Gjevik INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230 Forelesninger av Bjørn Gjevik Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Januar 2009 Innhold 1 Fluider og felt 1 1.1 Væsker, gasser og faste stoffer. Fluider...............

Detaljer

NTNU Fakultet for lærer- og tolkeutdanning

NTNU Fakultet for lærer- og tolkeutdanning NTNU Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU51007 Emnenavn: Naturfag 1 5-10, emne 1 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 26. mai 2016 Varighet/Timer: Målform: Kontaktperson/faglærer: (navn og telefonnr

Detaljer

Løsningsforslag til MEF1000 Material og energi - Kapittel 2 Høsten 2006

Løsningsforslag til MEF1000 Material og energi - Kapittel 2 Høsten 2006 Løsningsforslag til MEF1000 Material og energi - Kapittel 2 Høsten 2006 Utarbeidet av A. E. Gunnæs. Revidert (TN) Aug. 06. Øvelse 2-4* a) Totale bevegelsemengde til de to bilene er P = 0 siden vi adderer

Detaljer

Oppfinnelsens område. Bakgrunn for oppfinnelsen

Oppfinnelsens område. Bakgrunn for oppfinnelsen 1 Oppfinnelsens område Oppfinnelsen vedrører smelting av metall i en metallsmelteovn for støping. Oppfinnelsen er nyttig ved smelting av flere metaller og er særlig nyttig ved smelting av aluminium. Bakgrunn

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 404 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 200 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

I. Stasjonær strøm i rør

I. Stasjonær strøm i rør I. Stasjonær strøm i rør Oppgave I.1 En olje med kinematisk viskositet 0.135 St flyter gjennom et rør med diameter 15 cm. Hva er (omtrentlig) øvre grense for strømhastigheten hvis strømmen skal være laminær?

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag. Eksamen i: Fysikk for tretermin (FO911A)

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag. Eksamen i: Fysikk for tretermin (FO911A) Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Fysikk for tretermin (FO911A) Målform: Bokmål Dato: 26/11-2014 Tid: 5 timer Antall sider (inkl. forside): 5 Antall oppgaver: 5 Tillatte

Detaljer

Vi skal se på: Lineær bevegelsesmengde, kollisjoner (Kap. 8)

Vi skal se på: Lineær bevegelsesmengde, kollisjoner (Kap. 8) kap8.ppt 03.0.203 TFY445/FY00 ekanisk fysikk Størrelser og enheter (Kap ) Kinematikk i en, to og tre dimensjoner (Kap. 2+3) Posisjon, hastighet, akselerasjon. Sirkelbevegelse. Dynamikk (krefter): Newtons

Detaljer

6.201 Badevekt i heisen

6.201 Badevekt i heisen RST 1 6 Kraft og bevegelse 27 6.201 Badevekt i heisen undersøke sammenhengen mellom normalkraften fra underlaget på et legeme og legemets akselerasjon teste hypoteser om kraft og akselerasjon Du skal undersøke

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN

FYSIKK-OLYMPIADEN Norsk Fysikklærerforening I samarbeid med Skolelaboratoriet, Fysisk institutt, UiO FYSIKK-OLYMPIADEN 05 06 Andre runde:. februar 06 Skriv øverst: Navn, fødselsdato, e-postadresse og skolens navn Varighet:

Detaljer

D. Energibetraktninger ved stasjonær strøm

D. Energibetraktninger ved stasjonær strøm D. Energibetraktninger ved stasjonær strøm Oppgave D.1 En sylindrisk tank med vertikal akse og radius R, åpen mot atmosfæren i toppen, er fylt til høyde H med en ideell inkompressibel væske. Midt i bunnen

Detaljer

r+r TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag

r+r TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag 1) I oljebransjen tilsvarer 1 fat ca 0.159 m 3. I går var prisen for WTI Crude Oil 97.44 US dollar pr fat. Hva er dette i norske kroner pr liter, når 1 NOK

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

GEF Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 9

GEF Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 9 GEF1100 - Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 9 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 a) Når vi studerer havet, jobber vi ofte med følgende variable: tetthet, trykk, høyden til havoverflaten, temperatur,

Detaljer

Fysikk-OL Norsk finale 2006

Fysikk-OL Norsk finale 2006 Universitetet i Oslo Norsk Fysikklærerforening Fysikk-OL Norsk finale 6 3. uttakingsrunde Fredag 7. april kl 9. til. Hjelpemidler: Tabell/formelsamling og lommeregner Oppgavesettet består av 6 oppgaver

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

a) Stempelet står i en posisjon som gjør at V 1 = 0.0200 m 3. Finn det totale spesikte volumet v 1 til inneholdet i tanken. Hva er temperaturen T 1?

a) Stempelet står i en posisjon som gjør at V 1 = 0.0200 m 3. Finn det totale spesikte volumet v 1 til inneholdet i tanken. Hva er temperaturen T 1? 00000 11111 00000 11111 00000 11111 DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I BIT 130 Termodynamikk VARIGHET: 900 1300 (4 timer). DATO: 22/5 2007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Godkjent lommekalkulator

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

2. TRYKKTAP OG TEMPERATUR I RØRLEDNINGER

2. TRYKKTAP OG TEMPERATUR I RØRLEDNINGER . TRYKKTAP OG TEMPERATUR I RØRLEDNINGER Trykk og temeratr i rør Trykkta avhenger sterkt av diameter (d 5 ) Hydrater i ndervannsledninger avhenger temeratr Diameter og maksimm lengde Prosessrør -6-00 m

Detaljer

Eksempler og oppgaver 9. Termodynamikkens betydning 17

Eksempler og oppgaver 9. Termodynamikkens betydning 17 Innhold Eksempler og oppgaver 9 Kapittel 1 Idealgass 20 Termodynamikkens betydning 17 1.1 Definisjoner og viktige ideer 22 1.2 Temperatur 22 1.3 Indre energi i en idealgass 23 1.4 Trykk 25 1.5 Tilstandslikningen

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger Side 1 av 10 KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger Oppgave 1 a) Et forsøk kan gjennomføres som vist i figur 1. Røret er isolert, dvs. at det ikke tilføres varme

Detaljer

TFY4115 Fysikk. Nettside: Laboratoriekurs: 13 regneøvinger Minst 8 må innleveres og godkjennes

TFY4115 Fysikk. Nettside: Laboratoriekurs: 13 regneøvinger Minst 8 må innleveres og godkjennes TFY4115 Fysikk Emneoersyn: Mekanikk ( 50 %) Newtons loer Energi, beegelsesmengde, kollisjoner Rotasjon, spinn Statisk likeekt Singninger Termodynamikk ( 50 %): Def. Temperatur og arme. Termodynamikkens

Detaljer

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Torsdag 6 juni 013 kl 1500-1900 Oppgave 1 Ti flervalgsoppgaver Poeng: pr

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Juni 2011

Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Juni 2011 NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Juni 011 Oppgave 1 a) Figur A. Tyngdeakselerasjonen er konstant, altså den endrer seg ikke med tiden. b) Vi finner farten

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Rørstyringer og krav til fastpunkter i rørledninger med kompensatorer

Rørstyringer og krav til fastpunkter i rørledninger med kompensatorer Oslo/Sandvika Tel: 67 52 21 21 Bergen Tel: 55 95 06 00 Moss Tel: 69 20 54 90 www.sgp.no Rørstyringer og krav til fastpunkter i rørledninger med kompensatorer Rørstyringer For montering av aksialkompensatorer

Detaljer

EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122

EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 5 EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Tid: Fredag 16.02.2001, kl: 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator,

Detaljer

Retningen til Spontane Prosesser

Retningen til Spontane Prosesser Retningen til Spontane Prosesser Termodynamikkens 2. Lov 5-1 Prosessers Retning Spontane Prosesser har en definert Retning u Inverse motsatte Prosesser kan ikke skje uten ekstra hjelp i form av Utstyr

Detaljer

TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE

TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG ADELING FOR TEKNOLOGI HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE Dato: Onsdag 07.05.08 arighet: 09.00-14.00 Klasser: 1FA 1FB 1FC 1FD Faglærere: Guri

Detaljer