Laboratoriekurs i fysisk oseanografi

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Laboratoriekurs i fysisk oseanografi"

Transkript

1 Obligatoriske øvelser til kursene GFO-130 og 330 Laboratoriekurs i fysisk oseanografi av Kjell Arne Mork og Jan Even Øie Nilsen Geofysisk Institutt Universitetet i Bergen august 1999

2 Bildet på forsiden er stjålet fra E. Aas hefte Metoder i fysisk oseanografi, Inst. for geofysikk, Univ. i Oslo. Dette heftet er satt i L A TEX 2ε, reportclass 12 punkts tekst. Arbeidet med denne versjonen er avsluttet 26. januar 2005.

3 Forord Disse forsøkene er et utvalg fra kompendiet Laboratorie forsøk i oseanografi av undertegnede. I det kompendiet er det en samling av flere forsøk som er gjort på geofysen deriblant forsøk fra GFO110, GFO210 pluss en del andre. Studentene må skrive journal til alle forsøkene fra dette heftet (obligatorisk). I noen laboratorie forsøk kreves det en del regning mens i andre kan det være nok å bare beskrive forsøket. NB! En figur kan erstatte mange setninger! Hvis noen har forslag til noen nye forsøk eller endringer vil jeg være takknemlig å få høre disse forslagene. All kritikk (også negativ) er velkommen. Kjell Arne Mork, Universitetstipendiat, 1996 Da jeg overtok oppgaven å lede laboratoriekurset som Kjell Arne utviklet, brukte jeg naturligvis Kjell Arnes hefte. Ettersom jeg blir kjent med arbeidet, var det imidlertid naturlig å revidere heftet etter beste evne. Det er ikke innført noen nye øvelser. Oppdateringen omfatter tilpasninger til mitt undervisningsopplegg, mer teori, referanser til lærebøker, samt konvertering til L A TEX 2ε-setting. For å forenkle trykkeprosessen, har jeg valgt å inkludere oppgavene som inngår i kurset GFO210 - Dynamisk Oseanografi. Notatene i margen refererer til anbefalt lesestoff i følgende lærebøker: A: Apel,J.R. (1988). Principles of Ocean Physics. P: Pond,S. & Pickard,G.L. (1983). Introductory Dynamical Oceanography. 2ed. C: Cushman-Roisin,B. (1994) Introduction to Geophysical Fluid Dynamics. 3

4 Notatene er merket med forbokstav som vist i denne listen. Jeg er takknemlig for tips om andre stedermed gode beskrivelser. Det anbefales at studentene leser kapittel 4 før kurset begynner, og gjør seg godt kjent med øvelsene før de går i laboratoriet. Videre kan jeg anbefale laboratorieøvelsene i Cushman-Roisin (1994). Oppdatering 2005: Oppgavene blir nå brukt i kursene GFO 130 og 330. Ingen endringer i heftets innhold er gjort i den forbindelse, da oppgavene i seg selv er de samme. Referanser til relevante kapitler i den nye læreboken, kan fås av foreleser. Jan Even Øie Nilsen, tidligere universitetsstipendiat 4

5 Innhold 1 Laboratorieoppgavene Likevektstilpasning (Marsiglis eksperiment) Indre bølger Indre bølger generert av et skip Le bølger Stående bølger Stående overflatebølge Stående indre bølge Tyngdestrøm Coriolis Fjordsirkulasjon Vestlig intensivering av strøm Kelvinbølge/Kyststrøm Laboratorieforsøk Numerisk modell (på video) Ekman-lag / Spin-down Dagstokt med M/S Håkon Mosby Innledning Oppgaver Hydrografisk snitt Statisk stabilitet Diverse teori Coriolis gir sirkelbane Indre Kelvinbølger Beregning av tetthet Journalteknisk Momentliste til hjelp ved journalføring Feil og usikkerheter

6 4.2.1 Feilkilder Gjentatte målinger Å angi usikkerheten Hvordan ta med seg usikkerheten i kalkulasjoner Presentasjon av data Grafteknikk Tabellføring Tips og vink til laboranten Fargestoff Væsker Utstyr i kjelleren

7 Kapittel 1 Laboratorieoppgavene 1.1 Likevektstilpasning (Marsiglis eksperiment) Teori Dette forsøket tilsvarer et laboratorieeksperiment fra Marsigli (1681). Det illustrerer tyngdetilpasning av to væsker med forskjellig tetthet. Hovedpoenget er at denne indre tilpasningen kan gi (overflate) strømmer uten forskjell i overflatenivå. Kraften som virker her er gravitasjon. Trykket i ulike dyp er avhengig av massen over dette punkt, og kan beregnes ved integrasjon av den hydrostatiske likning, dp = ρg p = ρgh, (1.1) dz hvor tyngdeaksellerasjonen g = 9.81ms 1, ρ er tetthet og h er dypet. Figur 1.1 viser eksempler på dette. Med overflatehevning og homogene vannmasser er der naturligvis en horisontal trykkforskjell i ethvert dyp. I en tolagsituasjon, kan trykkforskjeller opptre dersom grenseflaten ikke er helt horisontal. Marsigli startet med sistnevnte situasjon i sin ytterste konsekvens (fig. 1.1c), og så hvordan trykkforskjellen i den nederste åpningen drev en understrøm som ble kompensert av en motsatt strøm i overflaten. Utførelse Vi har et rektangulært kar med en plate på midten som har åpning oppe og nede (fig. 1.2). En skillevegg settes ved siden av platen slik at vann ikke kan renne gjennom åpningene. Vi skal bruke to væsker med forskjellig tetthet og farge. Den ene væsken inneholder salt mens den andre er ferskvann. Hell 7

8 Figur 1.1: Tyngdetilpasning. Grovt stiplet linje symboliserer skillevegg som kan fjernes. Heltrukken linje symboliserer fast vegg. a) Overflatehevning gir naturligvis en trykkforskjell. b) Horisontale tetthetsforskjeller gir også trykkforskjell under grenseflaten mellom to ulike vannmasser. c) Marsiglis eksperiment hvor trykkforskjellen mellom A og B driver en understrøm som kompenseres av en overflatestrøm. 8

9 de to væskene på hver sin side av skilleveggen slik at overflatenivået er det samme på begge sider av karet. Vannkanten må være litt høyere enn den øvre åpningen. Skilleveggen dras så helt opp. Beskriv og skisser forsøket! Figur 1.2: Karet på et bord før det er fylt med vann. 9

10 Marsigli reiser til Konstantinopel Marsigli dro til Konstantinopel i En Romersk diskusjon fra 6. århundre nevner en understrøm i Bosporos: Fiskerne ved Bosporos sier at hele strømmen ikke går mot Bysant som i overflaten, men at vannet i dypet strømmer kontinuerlig motsatt vei. Marsigli senket et rep og kjente at dette stemte, og mente det måtte skyldes tetthetsforskjeller. Han tok vannprøver oppe og nede, og de bekreftet dette. Det gjorde også hans labforsøk med vann fra understrømmen og vann som tilsvarte Svartehavsvann, slik vi også skal se i dette kurset. Den store ferskvannstilførselen fra de mange elvene, gir Svartehavet et ferskere overflatelag. Marsiglis eksperiment var et av de virkelig tidlige forsøk med lagdeling/stratifiserte væsker, og med dette oppdaget han at slik indre tilpasning kan gi overflatestrømmer uten nivåforskjell. Bysant ble grunnlagt av grekerne 600 f.kr. Romerne tok over byen, og i 324 ble den omdøpt til Konstantinopel. Vikingene kalte den Miklagard etter sitt første besøk i 860. Omdøpt til Istanbul i

11 1.2 Indre bølger Indre bølger generert av et skip Teori Det hendte at skip før i tiden hadde problemer med å holde normal fart når de kom inn i kyst-farvann med et tynt, ferskt overflatelag. Dette skyldes at energien som skal til for å lage indre bølger må tas fra skipets fart. I områder med et overflatelag vil en båt sette opp indre bølger dersom vannbevegelsene den lager rekker ned til og perturberer grenseflaten. Disse bølgenes energi må tas fra båtens drivkraft (motor eller vinden i seilene), og skipet vil miste fart. En båt vil naturligvis også lage overflatebølger som tar energi, men de indre bølgene representerer et ekstra energitap som man ikke umiddelbart kan se årsaken til. Så har da også fenomenet fått det maleriske navnet dødvann. A:5.16 Internal Wave Dynamics P:12.9 Internal Waves C:10 Internal Waves Utførelse Fyll et langt rektangulært kar med saltvann (fig. 1.3). Legg deretter et tynt lag med ferskvann over saltvannet og sett båten i vannet. Dra båten bortover slik at det blir generert bølger på grenseflaten mellom vannlagene (indre bølger). Legg merke til at når tauet dras fort blir det lite utslag mens en langsom fart gir større utslag (små tetthetsforskjell gir store bølger med liten fart). Det er lurt å ha noe fargestoff i saltvannet slik at grenseflaten lettere kan sees. For å få best effekt bør øvre og nedre lag være omtrent like store. Figur 1.3: Indre bølger blir generert når båten dras fremover. 11

12 C:10.4 Lee Waves Le bølger Teori I dette forsøket skal vi se på hvordan bølger blir dannet når en strøm går over et fjell. Ligger det et grenselag over fjellet, vil vann- eller luftstrømmen presses opp og perturbere grenseflaten. Spesielt i atmosfæren kan dette komme til syne ved parallelle belter av skyer på lesiden av fjellkjeder. Dersom vinden har samme hastighet som bølgens fasehastighet, blir bølgeformen stående fast (stående bølge) mens luftmassene strømmer langs grenseflaten. Skybeltene dannes når luften stiger mot bølgetoppene, mens luften tørker på vei ned. Utførelse Istedenfor å lage en strøm fører vi et fjell langs bunnen slik at vi får en strøm relativ til fjellet. Vi bruker det samme karet, fylt med vann med to forskjellige tettheter, som forsøket ovenfor. Når vi drar fjellet langs bunnen dannes det indre le-bølger (fig. 1.4). Figur 1.4: Indre bølger blir generert i karet når fjellet dras bortover. 12

13 Nansen skriver til Bjerknes I 1898 fikk Vilhelm Bjerknes brev fra Nansen, hvor Nansen søker hans mening om dødvann. Nansen hadde flere ganger opplevd dette i fjorder på sine ferder med Fram. Dødvann er et gammelt navn på fenomenet når skip plutselig går tregere enn vanlig uten noen synlig årsak.. Pliny (romersk soldat og administrator i 1. århundre) mente effekten skyldes mollusker eller fisk som sugde seg fast på skipene og økte motstanden. Bjerknes forklarer at når ferskt vann ligger over salt, vil skip kunne generere usynlige bølger på grenseflaten mellom de to vannmassene. Skipene opplever da motstand pga. arbeidet som de utfører når de setter opp disse indre bølgene. Ekman utførte omfattende laboratorieeksperimenter på dette fenomenet, bl.a. med en modell av Fram (bildet fra Ekman, 1904). Bjerknes,V. ( ) Meteorolog og grunnlegger av den moderne værvarsling Prof. met. GFI ; Oslo Nansen,F. ( ) Oseanograf og marinbiolog. Dr. grad om slimål ved Bergen Museum. Polfareren: På ski over Grønland ; Fram over polhavet Politikeren: Sentral i unionsoppløsningen 1905; I oppgave å skaffe oss en konge (Haakon 7). Humanisten: Opptatt med flykning- og sultproblemene i Russland etter 1.VK.; Nobels fredspris. Ekman,V.W. ( ) Svensk oseanograf. Dro etter studiene til Oslo, utviklet oseanografiske instrumenter og gjorde dødvannsundersøkelser. 1910, Prof. Univ. i Lund hvor han utførte arbeidet på havstrømmer, som gjorde ham kjent (Ekmanspiral/- transport). 13

14 1.3 Stående bølger P:13.63 Tides in Bays - Resonance Stående bølger burde være et kjent fenomen for alle som har satt seg i et badekar. Dersom drivkraften til vannbevegelsene er i resonnans med systemets egenfrekvens, som er gitt av karets proporsjoner, væsketetthet og -dyp, vil man lett kunne få vannet til å skvulpe ut på badegulvet. Tidevann kan også få svært forsterket utslag i fjorder og estuarier dersom dyp, lengde og påtrykt tidevannsperiode er riktige Stående overflatebølge Teori For bølger i homogen væske der bølgelengden er stor i forhold til bunndybden, gir (gruntvanns)teorien følgende formel for bølgens fasehastighet: c = L T = gh T = L gh, (1.2) der L er bølgelengden, H bunndybden, g tyngdens aksellerasjon og T er perioden (svingetiden). Fasehastigheten er begrenset av at vannbevegelsene blir påvirket av bunnen. Har vi en stående bølge (med knutepunkt på midten) i et rektangulært kar, blir bølgelengden det dobbelte av karets lengde, L = 2A (fig. 1.5). Figur 1.5: Et eksempel på en stående bølge i et kar, der L = 2A. I denne oppgaven skal vannstanden H varieres og perioden måles. En periode er tiden en syklus gjentar seg selv med, her indikert ved de to pilene. 14

15 Utførelse I dette forsøket skal vi lage stående bølger i et kar med lengde 175 cm. Vi fyller vann i det til en høyde av 8 cm, løfter det forsiktig i den ene enden og setter det ned igjen når vannet er i ro. Finn svingetiden T, ved å måle tiden for f.eks. 5 svingninger, og gjenta til resultatene er noenlunde like (ref. del 4.2). Eksperimentet gjentas med 12, 16, 20 og 24 cm vann i karet. Skriv resultatene inn i en tabell sammen med de teoretiske verdiene (1.2) og drøft resultatet Stående indre bølge Teori Som vist i oppgave 2, kan bølger like gjerne eksistere på grenseflaten mellom to vannmasser som mellom vann og luft. Mellom to homogene vannmasser av forskjellig tetthet blir drivkraften beskrevet av den reduserte tyngde, A:5.17 The Two-layer Fluid g = g ρ 2 ρ 1 ρ 2, (1.3) der ρ 2 > ρ 1 er tetthetene av hhv. nedre og øvre lag. Teoretisk fasehastighet for en lang indre bølge på grenseflaten mellom to homogene væsker er gitt ved H c T = g 1 H 2, (1.4) H 1 + H 2 der H 2 og H 1 er tykkelsene av de to lagene. Legg merke til likheten mellom (1.2) og (1.4). Det er i bunn og grunn samme historien som mellom vann og luft, bare med en mindre tetthetsforskjell. I tillegg kommer evt. dybdebegrensninger både over og under grenseflaten, siden den sterkere tetthetsforskjellen i overflaten gjør at denne virker som en fast flate. Utførelse Bølgen skal være satt opp på forhånd i et kar med vann i nedre lag og whitespirit i øvre (fig. 1.6),med tetthetene 2 ρ 1 = kgm 3 ρ 2 = kgm 3 (whitespirit) (ferskvann). 1 Drøft: Se om det stemmer, diskutér usikkerheter, feilkilder og teori 2 Med forbehold om at det virkelig er whitespirit som brukes. Lableder opplyser om evt. annen væske er brukt. 15

16 Ta de nødvendige romlige mål, finn perioden T og bestem målt fasehastighet ved c M = L/T. Kontrollér resultatet etter formelen (1.4), og drøft resultatet. Hvilke feilkilder har vi på c M og c T? Hvilke feilkilder dominerer? Hva blir lim H 2 c T =? Hvilken formel ligner dette på, og hvorfor? Figur 1.6: Stående indre bølge. Karet er fylt med vann og whitespirit. På toppen er et apparatur som påfører systemet trykkoscillasjoner for å sette opp en stående bølge på grenseflaten mellom de to væskene. 16

17 1.4 Tyngdestrøm Teori Her skal vi se hvordan Coriolis-effekten påvirker tungt vann som sklir nedover en skråning. Corioliseffekten vil i et roterende system, opptre som en aksellerasjon på formen f V, hvor V er hastighetsvektoren. Corioliseffekten er altså proporsjonal med hastigheten til massen den virker på, og virker vinkelrett på hastigheten (til høyre på den nordlige halvkule). Når tyngdeaksellerasjonen og corioliseffekten balanserer hverandre (friksjonsfritt), er strømmen i geostrofisk balanse. En strøm langs en skrå bunn, vil da gå i samme høyde langs skråningen (fig. 1.7b). Dersom strømmen er tilstrekkelig stor i omfang eller saktegående nok, er friksjonen langs bunn neglisjerbar. Strømmen kalles da topografisk styrt. I laborantens lille men harde virkelighet er det imidlertid ikke mulig å neglisjere friksjonen. Friksjonskraften vil sørge for at strømmen vil rette ut sin bane og renne på skrå nedover planet, i en balanse mellom tyngdekrefter, friksjon og Corioliseffekt (fig. 1.8). P:6.34 The Coriolis Terms P:app.1.9 Slope Effects a) b) Figur 1.7: a)karet på det roterende bordet, sett fra siden. b) Tungt vann som går i geostrofisk balanse langs skråplanet (helningen til skråplanet er her sterkt overdrevet). Utførelse Sett et rundt kar på rotasjonsbordet og fyll det med ferskvann (ca. 10 cm høyt). Sett bordet i konstant rotasjon og vent til hele vannmassen roterer 17

18 med karet 3. Slipp så farget saltvann ned gjennom en slange til et skråplan i bunnen i karet (fig. 1.7a). Det tyngre vannet vil da renne nedover og bøye av til høyre. Gi en enkel beskrivelse av forsøket. Figur 1.8: Aksellerasjonsbudsjett for tyngdestrøm i likevekt på et roterende skråplan, sett perpendikulært til planet. Kun de svarte vektorene representer aksellerasjoner (og dermed krefter). Tyngdeaksellerasjonens komponent langs planet g, Corioliseffekten f V og retardasjonen p.g.a. friksjon F balanserer hverandre. Hastigheten V har innstilt seg, både i retning og styrke, etter tyngdekraften (helningen av planet) og friksjonskreftene. Rotasjonen er representert ved den oppadrettede vertikalvektoren f = fk. Denne er tegnet som perpendikulær til planet selv om den egentlig er vertikalt rettet. 3 Konstant og samme hastighet på bord, kar og vannmasse (system i likevekt) er nødvendig for å unngå uønskede friksjons- og turbulenseffekter. Øvelsen i 1.9 beskriver hva som skjer dersom vi endrer hastigheten underveis. 18

19 1.5 Coriolis Teori Vi skal studere bevegelsen til en fri partikkel på et roterende plan der Corioliskraften er den eneste kraften som virker på partikkelen 4. Partikkelen vil da avbøyes mot høyre (dersom rotasjonen er positiv, mot klokken) og trajektorien blir en sirkel (se del 3.1) med radius A:3.5 The Coriolis Force P:6.35 The Coriolis... intuitive... C:2 The Coriolis Force r = V 0 f, (1.5) f = 2Ω (Coriolisparameter), (1.6) Ω = 2π T (planets vinkelhastighet), (1.7) der T er omløpstiden for en rotasjon av planet (fig. 1.9a). Omløpstiden til partikkelen kan da uttrykkes ved T p = 2π f = π Ω = T 2. (1.8) Det betyr at når systemet har rotert en gang så har partikkelen sirklet to ganger rundt i sin bane! a) b) Figur 1.9: a) Partikkelbanen til kulen. b) Rotasjonsbordet. 4 Jordas rotasjon er helt klart neglisjerbar i forhold til bordets rotasjon. 19

20 Utførelse Eksperimentet utføres på et rotasjonsbord med en jernkule som partikkel (se fig. 1.9b). Jernkulen settes på en liten avsats og slippes ut på bordet, først med bordet i ro for å finne dens relative hastighet V 0. Rotasjonsbordet startes og bordets omløpstid T finnes. Deretter slippes kulen ut og kulebanens radius måles. Til dette eksperimentet benyttes et videokamera som roterer med bordet, slik at det blir lettere å følge partikkelen relativt til bordet (fig. 1.9b). Filmen kan brukes til å finne radiusen. V.hj.a. videoopptaket skal også partikkelens omløpstid T p finnes. Teoretiske verdier for r (1.5) og T p (1.8) skal beregnes fra den målte T, og sammenliknes med sine eksperimentelle verdier. Eksperimentet skal utføres med to forskjellige rotasjonshastigheter. Sett det hele opp i en oversiktelig tabell som muliggjør denne sammenlikningen (jfr. del 4.3.2). Vurder feil og feilkilder (jfr. del 4.2). c Bill Watterson 20

21 1.6 Fjordsirkulasjon Teori I en fjord har man et brakkvannslag (med saltholdighet S 1 ) over et salt vannlag (saltholdighet S 2 ). Innerst i fjorden renner det ferskvann (F ) fra elver i det øvre laget. På grunn av at det øvre laget river med seg vann fra det nedre laget (medrivning) vil det øvre laget transportere mer vann ut av fjorden enn det som kommer fra elvene. For å kompensere dette må det være en motstrøm (inn i fjorden) i det nedre laget (fig. 1.10). Alternativt, kunne øvre lags tykkelse og dermed vannstanden økt, men fjorden er åpen og vannet strømmer ut og inn munningen i en likevektstilpasning (jfr. del 1.1). Forsøket går ut på å simulere dette. Figur 1.10: Fjordsirkulasjon vist skjematisk. F er ferskvann fra elver mens S 1 og S 2 er saltholdighet i øvre og nedre lag. Utførelse Vi starter med et rektangulært kar og fyller det med saltvann. Deretter setter vi en slange ned i karet slik at den såvidt kommer over saltvannet. Vi heller så ferskvann ned i slangen, forsiktig til å begynne med. Etterhvert danner det seg et øvre blandingslag. For å hindre at vannstanden skal stige kan vi enten ha et hull i den ene enden i karet (høyt oppe) eller vi kan sette en kloss under den siden hvor ferskvannet tilføres. Når vannstanden når en viss høyde vil overflødig vann fra blandingslaget renne over kanten (fig. 1.11). For å observere strømmønsteret slippes noen fargekrystaller ned i vannet. Man får da en farget stripe i hele vannkolonnen, og kan se at rett undr blandingslaget har man en motstrøm. Vi kan fortsette med eksperimentet ved å plassere slangen dypere ned i vannet. Ferskvannet vil da rive med seg 21

22 Figur 1.11: Karet sett fra siden. mer vann fra det nedre laget. Man får da en sterkere og dypere motstrøm (økt sirkulasjon i fjorden). Det er mulig at man også vil observere flere lag med sine egne sirkulasjonsceller nedover i dypet. Dette skyldes at det er svært vanskelig å få hele nederste lag til å være homogent, spesielt når karet har stått i ro over en tid. Medrivningseffekten vil da forekomme ved alle grenseflatene når strømmene etterhvert blir sterkere nedover. Beskriv forsøket og tegn opp profilene til strømhastighetene. c Bill Watterson 22

23 1.7 Vestlig intensivering av strøm Laboratorieforsøket går ut på å simulere at strømmene er mer intense på havets vestside enn på havets østside. Årsaken til dette, er at coriolisparameteren f varierer med breddegradene (β-effekten). Teori Loven om bevarelse av potensiell virvling kan uttrykkes ved hvor f + ζ h f = 2Ω sin φ ζ h = konstant i tid for samme vannmasse, (1.9) er planetær virvling (coriolis-parameter), en funksjon av breddegrad φ. er relativ virvling, i forhold til jorden. Den beskriver tendensen for deler av væskestrømmen til å rotere, og er direkte knyttet til hastighetsskjær i strømmen. er vanndypet på stedet. Dersom systemet ikke tilføres virvling fra f.eks. vind eller andre friksjonseffekter, er disse variablene låst i forholdet (1.9). Minker h, må ζ bli mindre og vice versa. Øker f, må ζ også avta og vice versa. Denne sistnevnte coriolisavhengigheten er det som kalles β-effekten. En storstilt overflatesirkulasjon vil være påvirket av både β-effekt og friksjonskrefter. Det er vinden som driver systemet, og den tilfører systemet virvling. For at ikke havstrømmene skal vokse seg sterkere i det uendelige, må den totale relative virvlingen være konstant. Figur 1.12 forklarer skjematisk hvordan dette kravet kan tilfredsstilles i havet. Virvlingsbudsjettet skal gå opp for en hvilken som helst bit av havet, så vi kan dele inn i to deler: Vestsiden Sverdrup viste at ζ p ζ τ, så positiv virvling må tilføres siden de har samme fortegn. Denne teorien bygger på P:9.11 og P:9.12 og open University s Ocean Circulation A:6.4 Vorticity:... P:9.11 Vorticity A:6.7 Vorticity Balance... P:9.12 Westward... Vorticity P:9.8 West... Stommel s... C:8.4 Westward Intens... Østsiden Her kan +ζ p og ζ τ balansere hverandre, så vi behøver ikke noe ekstra bidrag. En måte å tilføre virvling på vestsiden, er å inkludere friksjonskrefter langs land sammen med et strømsystem som gir sterkere hastighetsskjær i vest 5. 5 En alternativ forklaring av vestlig intensivering, er ved akkumulering av langsomme Rossbybølger (Apel, 1987, del 6.10), men den er ikke fullt så intuitiv, snarere en matematisk forklaring. 23

24 ζ τ ζ p > + ζ F ζ τ + ζ p + ζ F Figur 1.12: Skjematisk presentasjon av de ulike bidrag til den totale virvlingen i en havsirkulasjon. Vinden er drivkraften med bidrag ζ τ, vannmassenes endring i breddegrad gir ζ p, mens friksjon i yttergrensen skaper strømskjær ζ F. I dette symmetriske tilfellet kan ikke den totale virvlingen være konstant, men dersom ζ F er større i vest enn i øst, går budsjettet opp. Dette kan oppnås med en mer intens strøm, og dermed sterkere skjær, i vest. For å eksistere, må altså strømsystemet justere seg til en vestlig intensivert sirkulasjon. Siden det er endringene i f som er interessante, ikke verdien i seg selv, er det likegyldig hvilken halvkule vi studerer. Likeledes vil motsatt retning på sirkulasjonen gi den samme vestlige intensivering, siden alle fortegn i forklaringen snus (prøv selv). I laboratoriet For å gjennomføre forsøket bruker vi en sektormodell fylt med ferskvann. Sektoren er 60 av et rundt kar som står på et roterende bord (fig. 1.13a). Bordet roterer med konstant hastighet. Coriolisparameteren f er altså konstant, og vi må simulere β-effekten. Heldigvis gir rotasjonen av bordet en varierende vanndybde pga. sentrifugalkraften (fig. 1.13b). Denne variasjonen 24

25 a) b) Figur 1.13: a) Sektoren i det roterende karet. b) Vannet blir presset ut til siden på grunn av sentrifugalkraften C F. Resultatet blir en varierende vanndybde h som kan simulere β-effekten i laboratorieforsøket. i h gir samme styring av ζ som varierende breddegrad. Bevegelse mot sentrum av karet tilsvarer bevegelse mot nord og vice versa. Studér likning (1.9), og se om dere er enig. For å sette opp en sirkulasjon karet, må vi finne et substitutt for vinden. Vi slipper istedet ut farget vann i et punkt i karet (ferskvann ved punktet F i fig. 1.14). Det tilførte vannet fortrenger vann 6 og skaper bevegelse i hele karet ut fra punktet F. Bevegelsen påvirkes av corioliseffekten (ikke β-effekten, f er konstant, se del 1.5), avbøyes mot høyre, går langs kanten av karet og vi har en sirkulasjon (fig. 1.14). Tilførselen av ferskvann har tatt rollen som det drivende virvlingsbidraget ζ τ. Den oppsatte sirkulasjonen må tilpasse seg et vestlig intensivert mønster som forklart over (med motsatte fortegn). Beskriv forsøket, og relatér til teorien. Figur 1.14: Det forventete transportsystemet. Kilden hvor vann tilføres er merket med F. Ferskvannstilførselen påvirket av corioliseffekten driver en sirkulasjon som pga. β-effekten blir vestlig intensivert. 6 I denne øvelsen bruker vi bare ferskvann, så vannbevegelsene foregår i hele vannsøylen 25

26 1.8 Kelvinbølge/Kyststrøm P: Kelvin Waves C:6.2 The Kelvin Wave Vi skal i dette forsøket simulere en kyststrøm i karet på det roterende bordet og se på en numerisk modell av samme fenomenet. En kystrøm forekommer når lettere (ferskere) vann strømmer ut fra en kyst. Vannet legger seg øverst og pga. corioliseffekten fanges strømmen langs kysten. Løsningen til systemet er en bølgeløsning på den indre grenseflaten, en Kelvinbølge. En Kelvinbølge er en tyngdebølge som er fanget ved kysten av Corioliseffekten. Bevegelsen langs kysten er geostrofisk mens hastigheten normalt på kysten er null (fig. 1.15). Utdypende teori for Kelvinbølger finnes i del 3.2. Vi tenker oss at det nedre laget H er uendelig tykt, slik at vi bare ser på tyngderedusert bevegelse. Slike indre bølger har samme karakteristika som overflatebølger, men er enklere å sette opp og studere i laboratoriet. a) b) Figur 1.15: a) Koordinatsystemet sett ovenfra. b) Indre Kelvin bølge sett fra siden (i x-retning) Laboratorieforsøk I et laboratorie vil vi ikke kunne få H til å bli uendelig stor, men vi kan få H h slik at vi tilnærmet kan bruke tyngderedusert teori. Vi skal bruke det roterende bordet sammen med det runde karet (fig. 1.16). Fyll karet med saltvann opp til 12 cm. Fest en slange til karet slik at den ene enden går ned til overflaten og den andre enden til en beholder med ferskvann. Putt fargestoff i, slik at ferskvannet får en annen farge enn saltvannet. Fest en klemme på slangen slik at ferskvannet ikke renner nedi saltvannet før klemmen tas av. Sett bordet i rotasjon (ca. 7-8 sek/pr. runde). Legg noen papirbiter nedi vannet slik at hastigheter kan måles. Når vannet er i ro (i forhold til karet) tas klemmen av. 26

27 a) b) Figur 1.16: a) Det roterende karet med ferskvannstilførsel. Ferskvannet vil bli fanget i en kyststrøm langs kanten på karet. b) Spissen på kyststrømmen sett ovenfra. Friksjon fra karet påvirker strømmen i en viss avstand fra veggen. Følgende måles T bord h 0 y u obs Omløpstiden til bordet. Tykkelsen til ferskvannet ved kanten. Estimér med øyemål litt bak fronten, der hvor tykkelsen forandrer seg minst. Må måles under forsøket! Avstand fra veggen til to utvalgte papirbiter i ferskvannssonen (ulike avstander fra veggen). Hastigheter i ferskvannet. Bruk video til å måle hastigheten til de to papirbitene i strømmen. Følgende beregnes g Redusert tyngde ved likn. (3.15) (saliniteten oppgis av lableder). f Coriolisparameter ved likn. (1.6) og (1.7) a Rossbyradius ved likn. (3.12) u teori Teoretisk hastighet med målt h 0 og y i likn. (3.11) 27

28 Vurderingen Sammenlign u teori med u obs og diskuter eventuelle forskjeller (feilkilder etc.). Det kan være stor forskjell mellom de to verdiene men vi er interessert i om hastighetene for teori og forsøk er av samme størrelseorden. Forsøk å plotte i samme graf Kurven for den teoretiske hastighet som funksjon av y (3.11) Punkter for de to målte hastigheter ved sine respektive avstander y Prøv å sette inn en øvre og nedre feilgrense for den grovt estimerte h 0 i (3.11) og tegn inn disse to nye teoretiske hastighetsfunksjonene (de vil angi usikkerheten i den teoretiske hastigheten) Anmerkning av usikkerhet på punktene (som i fig. 4.1). Bruk grafen til å diskutere feil og usikkerheter i resultatene Numerisk modell (på video) Ut fra matematiske ligninger kan man lage en matematisk modell. En modell består av et ligningssystem med gitte randbetingelser og startverdier. Når ligningene inneholder flere kompliserte ledd (som f.eks. ikke-lineære ledd) klarer man ikke å løse et slikt ligningssett analytisk. Man kan da lage en numerisk modell og finne tilnærmete løsninger (derivasjon skrives om til differanser over små områder). Det er laget en numerisk modell som beskriver sirkulasjonen i et havbasseng når man tilfører ferskvann i det øverste laget. Modellen har to lag der det nederste laget er uendelig dypt (tyngderedusert modell). Løsningsområdet for den numeriske modellen er et lukket firkantet basseng (fig. 1.17). Før modellen startes er (start betingelser): h 0 = 5m g = 0.05ms 2 f = 10 4 s 1 (øvre lags tykkelse ved kysten) (redusert tyngde) (coriolisparameter ved våre breddegrader) Det er laget en videofilm som viser utviklingen av tykkelsen h og vannhastigheten u i bassenget. V.hj.a. filmen skal fasehastigheten c måles. Mål hvor fort fronten på bølgen går. Tallet oppe i hjørnet på skjermen angir antall timer. Hvor godt stemmer dette med en teoretisk fasehastighet c = g h 0? Beregn så den indre Rossby-radien a i modellen fra likn. (3.12). Legg merke til at h, tykkelsen av det øvre laget, er størst ved kysten og avtar eksponentielt ut fra kysten. 28

29 a) b) Figur 1.17: a) Numerisk tolagsmodell med ferskvannstilførsel. b) Løsningsområdet for modellen. 29

30 1.9 Ekman-lag / Spin-down Mål Bestemme egenskaper til friksjonslaget på bunnen, partikkelbevelgelser, tykkelse og spin-down tiden. Utstyr Rundt kar (roterende), 10 cm vann, fargekrystaller, papirbiter, stoppeklokke, videoutstyr Stikkord Friksjon, grenselag, Ekman, konvergens, upwelling, tekoppfenomenet a) b) Figur 1.18: Definisjonsskisse for forsøket, med likningenes koordinatsystemer sett ovenfra (a) og transportene som oppstår i et vertikalsnitt (b). Når det roterende karet bremses ned, dannes et frikskjonslag med Ekmantransport mot sentrum ved bunnen (til venstre for vannhastigheten i det indre). A:6.2...Ekman layer Dynamics P:9.4 Ekman s solution C:5 The Ekman Layer Teori For et roterende system hvor vannmasser beveger seg under påvirkning av friksjon fra bunn, dannes det Ekmanlag med Ekmantransport til venstre for den generelle strømretningen. I denne oppgaven skal vi studere dette i et rundt kar, hvor vannet roterer raskere enn karet. Det settes da opp et tynt Ekmanlag ved bunnen, med transport mot sentrum som gir Ekmanpumping oppover, svak utoverrettet bevegelse i vannmassene over grensesjiktet, og avtagende sirkulasjonshastighet (fig. 1.19). Sirkulære strømsystemer med tilhørende Ekmaneffekter, forekommer i havet i forbindelse med lavtrykkssentra. Dersom den drivende vinden opphører, vil også havet spinne ned. 30

31 Figur 1.19: Spin-down effekten kan forklares v.hj.a. Kelvins sats: Konvergens i Ekmanlaget pumping opp i det indre. En lukket materiell kurve som utvider seg i det indre, må miste hastighet v φ for at den absolutte sirkulasjon være bevart. Det må imidlertid være klart at det er friksjonen som tapper systemet for bevegelsesenergi. er Bevegelseslikning i det indre, relativt til det roterende karet (i φ-retning), v φ t + 2Ωu = 1 ρ r p φ = 0, (1.10) hvor v φ er hastighet med rotasjonen (inn i planet i fig. 1.18b), Ω karets vinkelhastighet, og u er radiell hastighet (utover). Systemet har rotasjonssymmetri (uten noen forskjeller i φ-retning) og kan dermed beskrives ved et vertikalplan som i figur 1.18 og I Ekmanlaget av tykkelse δ B skaper friksjon og rotasjon en radiell transport, U E B = δ B 2π v φ. (1.11) For å kompensere for Ekmantransporten, må det være en motsatt (utover) rettet radiell bevegelse i det indre. Vi antar at vertikaltransporten foregår i et tynt sjikt langs ytterveggen. Kontinuitetslikning i planet blir da (fig. 1.20) U E B + u(h δ B ) = 0. (1.12) Fra de tre likningene (1.10), (1.11) og (1.12), kan en differensiallikning for v φ utvikles, v φ t + 1 v φ = 0, (1.13) T s 1 def hvor = fδ B T s 2πH. (1.14) 31

32 H δ B u w δ B U E B Figur 1.20: Vertikalplan som beskriver systemet i karet, og forklarer den todimensjonale kontinuitetslikningen (1.12). Løsningen for systemet er v φ = v φ (t = 0)e t Ts ln(v φ ) = ln(v φ (0)) t T s, (1.15) en eksponentiell avtagende sirkulasjon. Legg merke til spin-down tiden T s er definert som den tiden det tar før v φ er redusert med en faktor e 1. Utførelse Hvordan finne T s 1. Fargestoff på bunn, papir på overflaten 2. Vann og kar roterer sammen, med hastigheten Ω 1 = 2π T rot (kan brukes til å beregne hastighet ved t 0, v 0 = (Ω 1 Ω 2 )r, men denne er strengt tatt ikke nødvendig) 3. Ved tidspunktet t 0 bremses karet til Ω 2 4. Observer bunn og estimer ekmannlagets tykkelse δ B 5. Videobilde er inndelt i fire kvadranter (fig. 1.21a) 6. Velg papirbit ved radius r (u 0) 32

33 ln(v φ ) ln(v φ (0)) ln(v φ ) ln(v φ (0)) 1 a) b) T t s Figur 1.21: a) Inndeling av karet i kvadranter. Man tar tiden ved hver passering av linjene og beregner hastigheter ihht. tabell 1.1. b) Logaritmisk plott for å løse likning (1.15) grafisk: Tilpass linje til de avtagende verdiene, trekk fra 1 ved t = 0 (ikke fra målt v 0, men fra linjens krysningspunkt). Når hastighetskurven krysser denne verdien, er T s nådd. Se del for grafteori. 7. Finn banelengden i en kvadrant, s = 2πr 4 8. Ta tid på papirbiten gjennom hver kvadrant 9. Beregn logaritmiske hastigheter som beskrevet i tabell Finn T s ved grafisk bruk av sammenhengen (1.15) som beskrevet i figur 1.21b. Ekmanlaget Etter å ha beregnet spin-down tiden T s, kan tykkelsen av Ekmanlaget, δ B beregnes ved (1.14). Hvordan stemmer dette med den observerte tykkelsen? Tabell 1.1: Forslag til tabell for føring av tider og videre utregning for å finne spindown tiden T S som beskrevet i figur i t[s] t[s] v φ [cm/s] ln(v φ ) 1 tidspunkt tid v = s t 2 ved gjennom 3 passering kvadrant s = 2πr 4. t i t i 1 33

34 Friksjonskoeffisienten Ekmanteori definerer Ekmanlagets tykkelse som funksjon av friksjonskoeffisienten A B, ( ) 2 def 2A B δb f δ B = π A B = f π 2. (1.16) Typisk vertikal eddy-koeffisient i havet er 10 2 til 10 4 m 2 s 1, mens typisk kinematisk viskositetskoeffisient er 1.4 mm 2 s 1. Hvor ligger vår koeffisient, og hva slags friksjon dominerer i karet? Notat: Prandtl vs. Ekman Det samme fenomenet kan også observeres når vi rører i teen vår. Bunnfallet samler seg midt i bunn av koppen. Dette har imidlertid lite med Coriolis og Ekman å gjøre, for vi snurrer da ikke koppen og jordens rotasjon har ingen betydning i hverken tekopp- eller laboratorieskala. Det som skjer er at sentrifugalkraften (relevant kraft internt i koppen) presser vann opp mot sidene, høydeforskjellen medfører en trykkgradient inn mot sentrum. Begge krefter i balanse over alt i vannet, bortsett fra tett inntil sidene og bunn av koppen hvor en annen kraft, friksjon, senker hastigheten og dermed senrifugalkraften. Da synker vann ned langs veggen og innover langs bunn. Mao. helt likt som i vårt laboratoriforsøk. Et spørsmål man da kan stille seg er da om ikke det like gjerne kan være en Prandtl-lagseffekt vi observerer i laboratoriet. Det er vanskelig å avgjøre. Likefullt, demonstrasjonen er god, og Ekmanteorien passer ganske bra. 34

35 Kapittel 2 Dagstokt med M/S Håkon Mosby 2.1 Innledning Mål med toktet Prøve CTD og vannhentere i praksis Tolke CTD-stasjoner og -snitt Studere instrumenteringen ombord (omvisning) Forskningsfartøy ved Geofysisk institutt Armauer Hansen ( ) Gammel tomastret skonnert. Sank dessverre etter mange års tjeneste. Helland Hansen ( ) Sank etter at to sjøer fyllte dekk, og vannet ikke rant raskt nok av. To omkom av ti ombord. Polarsirkel ( ) Innleid. M/S Håkon Mosby (1980-) Dagens forskningsskip ved UiB (bildet) 35

36 Smake på livet som feltoseanograf (spesielt forpleiningen) Viktige begrep CTD-registrering (Conductivity Temperature Depth) En CTD-registering består av elektrisk ledningsevne, temperatur og trykk. Ut fra disse tre parametrene kan saltholdighet og tettheten bestemmes (se del 3.3). CTD Selve instrumentet går også under navnet CTD (fig. 2.1). Det er tilknyttet datamaskin(er) med kabel, slik at alle data logges inn direkte. CTD-stasjon Nedfiring av CTD til et gitt dyp på en gitt posisjon. Vertikalprofil Et plott av en variabel langs en z-akse (vertikal linje på stasjonens posisjon). Hydrografisk snitt En todimensjonal kartlegging av variable 1 i et vertikalt plan i sjøen, på grunnlag av flere stasjoner/profiler (fig. 2.2). Vannhenter Sylindre som er festet sammen med CTD en. Disse kan lukkes automatisk på ulike dyp, og vannprøvene brukes til å kontrollere CTD ens elektroniske målinger (fig. 2.1). På dagstoktet med M/S Håkon Mosby, skal det tas flere CTD-stasjoner i en fjord. Dere vil bli delt inn i grupper, og rullérer på å håndtere CTD en på dekk eller i instrumentrommet (dataregistreringen). Det vil bli utdelt kart over området hvor stasjonene skal tas, og for hver stasjon blir det skrevet ut et vertikalprofil av temperatur, saltholdighet og tetthet 2. Stasjonene blir tatt langs en linje, slik at man kan kartlegge et vertikalt snitt av fjorden (figur 2.2). 2.2 Oppgaver Hydrografisk snitt Figur 2.3 viser et eksempel på et hydrografisk snitt for saltholdighet. Det inneholder linjer for konstante verdier av saltholdighet (isohaliner), som høydekurvene på et kart. Ved å plotte inn verdier fra CTD-stasjonene spredt utover en graf 1 Begrepet hydrografisk snitt omfatter alle mulige slags målinger i havet, men er mest brukt om salt, temperatur og tetthet. 2 Vertikalprofilene blir plottet på båten eller utlevert senere. 36

37 Figur 2.1: Sea bird sin CTD (ligger nederst på stativet). Flaskene som er festet på stativet er vannhentere, brukt til å hente vann fra flere forskjellige dyp. Ved å bruke et salinometer kan man finne saltholdigheten til vannet og bruke som en test på om CTD en gir riktige verdier (kalibrering). Man kan også, blant annet, finne oksygeninnholdet i vannet. a) b) Figur 2.2: Hydrografisk snitt a) sett ovenfra og b) fra siden 37

38 av vertikale planet, kan man deretter tegne på isohaliner innimellom disse punktene 3. Det er tilrådelig å ha en fast forskjell mellom isohalinenes verdier, slik at tette linjer viser hvor det er bråest endring i saliniteten (slik tette koter angir bratte skråninger på kart). En annen metode kan være å velge seg verdiene for isohalinene først, bruke vertikalprofilene for å finne ut hvor dypt verdiene ligger ved hver stasjon og plotte dem inn i snittet. Da kan man enkelt tegne isohaliner gjennom de plottede punktene. Disse metodene gjelder naturligvis for alle andre variable man kan tenke seg å kartlegge. Lag hydrografiske snitt for både temperatur, saltholdighet og tetthet, og kommentér dem. Er det horisontale forskjeller? Hva bestemmer mesteparten av tetthetsvariasjonen, salt- eller temperaturvariasjoner? Se også på profilene. Hva med en evt. strøm? Skråner isohalinene? Figur 2.3: Et hydrografisk snitt av salinitet. Det er ut fra vertikalprofiler av saltholdighet tegnet inn isohaliner. I motsetning til slik det er gjort her, er det lurt å velge ekvidistante verdier for isohalinene Statisk stabilitet Statisk stabilitet E kan uttrykkes ved E = 1 ρ ρ z, (2.1) når kompressibiliteten neglisjeres. Når tettheten øker oppover, ligger det tungt vann over lett vann, og det er en instabil situasjon som bare kan opptre episodisk. 3 Manuell interpolasjon av data krever litt øvelse, men ofte kan man da bake inn erfaring, fagkunnskap og intelligens i plottene, i motsetning til en datamaskins mekaniske interpolering. 38

39 z S S z < 0 E > 0 stabilt Figur 2.4: Tolkning av et saltholdighetsprofil med tanke på stabilitet. I fjorder eller langs kysten er tetthetsvariasjoner for det meste avhengig av saltvariasjoner. Dermed kan vi bruke (3.13) fra del 3.3 til å vise at statisk stabilitet er proporsjonal med saltvariasjonene: E β S z. (2.2) Vannet er stabilt når E > 0 og instabilt når E < 0. Figur 2.4 gir eksempel på tolkning av saltholdighetsprofil m.h.p. stabilitet. Finn ut fra både vertikalprofil- og snitt for saltholdighet, i hvilket område og på hvilket dyp vannet er mest og minst stabilt (eller instabilt). 39

40 Andre kjente tokt (!) Nordhavsekspedisjonen var det første storprosjektet i norsk havforskning og dampskipet Vøringen fra Bergen Museum ble brukt i denne historiske ekspedisjonen. O.H. Sælen og P. Synnes på tokt i Oldin, Nordfjord under krigen ( ). 40

41 Kapittel 3 Diverse teori 3.1 Coriolis gir sirkelbane Når Coriolis-kraften er den eneste kraften som påvirker en partikkel kan bevegelseligningen skrives du dt fv = 0 dv dt + fu = 0, (3.1) der u og v er hastigheter i henholdsvis x- og y-retning. Coriolis-parameteren f = 2Ω der Ω = 2π/T er vinkelhastigheten til det roterende systemet. Løsning av ligningssettet ovenfor er u = V 0 cos(ft) v = V 0 sin(ft), (3.2) der V 0 er konstant (V 0 = u for t = 0). Av likningen ovenfor ser en at partikkelhastigheten u2 + v 2 V 0. Ved å sette u = dx dt partikkelen og v = dy, og integrere opp i tiden finner man banen til dt x = x 0 + V 0 f sin(ft) og y = y 0 + V 0 cos(ft) f (3.3) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = V 0 2 f. (3.4) 2 41

42 Det vil si at trajektoriebanen til partikkelen er en sirkel med radius r = V 0 f (3.5) 3.2 Indre Kelvinbølger Vi tenker oss et dypt hav med dyp H og et tynt ferskt lag oppå med tykkelse h (fig. 3.1a). Lar vi H bli uendelig stor kan vi bruke ligningene for tyngderedusert bevegelse (her i x-retning) u h = g t x (3.6) h t = h u x, (3.7) der h er konstant, ρ 1 og ρ 2 er tettheten i hhv. øvre og nedre lag, mens den reduserte tyngden g = ρ 2 ρ 1 ρ 2 g. I tillegg har vi en ligning som sier at strømmen er geostrofisk, fu = g h y. (3.8) Vi har her 3 ligninger, men bare 2 ukjente. Det skyldes at vi har brukt en randbetingelse, v = 0 for y = 0, i den siste ligningen. Vi plasserer kysten ved y = 0 (fig. 3.1b). a) b) Figur 3.1: a) Tolagsmodell med b) randbetingelser. 42

43 Løsningen til ligningsystemet (3.6), (3.7) og (3.8) er h = F (x, t)e y a, (3.9) der F (x, t) er en funksjon av x og t. Fra (3.9) ser vi at h er størst for y = 0 og avtar jo lengre vekk fra kysten man kommer. For enkelhets skyld antar vi at h og u bare er funksjoner av y. Da blir løsningene h = h 0 e y a (3.10) u = g h 0 e y a, (3.11) der vi har satt h 0 = h (tykkelsen av øvre laget ved kysten, y = 0). Størrelsen a er Rossbys deformasjonsradius, a def = c f = g h 0, (3.12) f hvor c er den indre bølgens fasehastighet (del 1.3.2). Rossbys deformasjonsradius beskriver som vi ser forholdet mellom fenomenets hastighet og coriolisparameteren. Løsningene (3.10) og (3.11) avtar begge eksponentielt med faktoren y. Rossbyradien er nemlig definert til å tilsvare den lengden der a bevegelsens karakteristika er redusert 1 med faktoren e Beregning av tetthet Tettheten ρ kan beregnes når man kjenner temperatur, saltholdighet og trykk: ρ = ρ(t, S, p). Når vi lager eksperimenter som er uavhengig av temperatur kan tettheten beregnes fra saltholdigheten alene A:4.8 Equation of State ρ(s) = ρ 0 (1 + βs) (3.13) der ρ 0 er tettheten for ferskvann, β = er saltekspansjonskoeffisient og S er saltholdigheten i promille (NB! / brukes ikke lenger som enhet). Eksempel: S = 30 gir ρ = 10 3 kgm 3 ( ) = kgm 3 ) 1 Redusert med faktoren e 1 er en vanlig definisjon på redusert til det neglisjerbare, selv om e 1 = Dette gir en fast og klart definert reduksjonsnivå på fenomener som reduseres eksponentielt. Ekmanlagets tykkelse og spin-down tid er definert på samme måte. 43

44 Når vi opererer med to væsker kan den reduserte tyngden skrives som I de fleste forsøkene er S 1 = 0. Da blir g = ρ 2 ρ 1 ρ 2 g = gβ(s 2 S 1 ) 1 + βs 2. (3.14) g gβs, (3.15) der S er satt inn istedenfor S 2 og det er antatt at βs 1. Saltholdigheten S i promille er definert som S = antall gram salt antall kg løsning. (3.16) I laboratoriet kan vi beregne saltholdigheten sånn omtrentlig ved å bruke hvor mange liter ferskvann (1 liter = 1 kg) og hvor mye salt vi har brukt. Husk da å addere vekten av saltet til vekten av ferskvannet for å få riktig vekt saltvann. Eksempel 1 Vi har 1 kg salt oppi 30 liter ferskvann. Da blir S = 1000/(30+ 1) = Eksempel 2 I en stor tank på 80 liter har vi oppi 3 kg salt. Da blir S = 3000/(80 + 3)

45 Kapittel 4 Journalteknisk 4.1 Momentliste til hjelp ved journalføring Denne listen kan virke pirkete, men mye av dette blir til hjelp for dere når dere etterhvert skal begynne å skrive på andre vitenskapelige arbeider. Prøv så godt dere kan å følge denne malen Bruk en myk perm til øvelsene, merket med navn og gruppe. Alle øvelsene skal være med hele tiden. Hver øving skal starte med overskrift og dato. Det skal ikke ligge løse ark i journalen. Skriv tydelig! La det være romslig mellom avsnittene slik at det er plass til kommentarer, evt. god marg. Del inn i oversiktelige underkapitler! F.eks: Mål, Teori, Utførelse, Resultater, Diskusjon, Konklusjon (godt å ha taket på til hovedoppgaven og andre publikasjoner). Journalen skal bare inneholde en svært kort beskrivelse av prinsippene en bruker. Ut over dette viser man til lab-heftet, men dersom det er avvik fra dette, skal disse beskrives. Fortell sannheten om hva som skjedde, og diskuter ut fra det. Tabeller og figurer skal være nummerert og ha overskrift. Husk enheter. Forklarende tekst føres like under (se del 4.3). I teksten viser man til fig./tab. nummer. Det er ikke nødvendig å gjenta tabellverdier i teksten. 45

46 Alle resultater og observasjoner skal føres i journalen, helt fra de råeste måledata. Ellers blir etterkontroll meget vanskelig. Når det regnes, skal symbolformelen alltid settes opp først, og prøv så langt som mulig å regne ut fra denne. Det er ikke nødvendig å vise med tall hvordan man har kommet fram til svaret. Diskusjon av mulige feilkilder skal så langt som mulig gjennomføres (se del 4.2). Prøv å tenke på hva som kan ha påvirket resultatet, om du kan ha gjort noe galt, eller om instrument/apparatur kan være årsaker til mulige feil. Ved innlevering av rettet journal, skal de underkjente sidene også følge med. 4.2 Feil og usikkerheter Feilkilder Enhver verdi vi måler og regner med, har en usikkerhet. Usikkerheten kan deles opp i det som stammer fra avlesningsmetoden og det som stammer fra ubestemtheten i selve prosessen (heri kommer eksperimentoppsett o.l.). Den feiltypen vi lettest kan estimere er avlesningsfeilen: Man kikker på linjalen eller klokken, og antar røfft hvor nøye man egentlig kan lese av verdien. Ikke vær optimistisk eller bruk tid på å myse. Er man usikker på hvilken millimeterstrek det egentlig er, så måler man i halve eller hele cm. De andre feilene må man undersøke nærmere for å finne. Det kan gjøres ved å finne standardavviket ved gjentatte målinger av samme kvantitet x, s = 1 N 1 N (x i x) 2, (4.1) hvor N er antall målinger og x er gjennomsnittsverdien. Et vanlig mål på usikkerhet i fysikken er ett standardavvik, men andre vitenskaper bruker ofte både to og tre. Standardavviket vil representere alle feilkilder som er til stede, i og med at den representerer spredningen av uavhengige målinger av samme prosess. Standardavviksundersøkelser imidlertid ikke aktuelle i disse labkursene. Ha i minnet at det er liten vits i å måle nøyaktig dersom andre feil vil gi større usikkerhet. Dersom det er vanskelig å se hvordan vannet skvulper, er det ingen vits i å bruke stoppeklokke med hundredeler, da er en vanlig sekundviser like hensiktsmessig. 46 i=1

47 4.2.2 Gjentatte målinger En enkel måte å forbedre avlesning av en verdi, er å gjøre det flere ganger, for så å bruke gjennomsnittet, x = 1 N N x i. (4.2) i=1 Gjennomsnittet er mer å stole på enn en enkeltmåling. For måling av periodiske prosesser (bølger, bord som går rundt), er et triks å ta tiden over flere svingninger eller runder og så dividere totaltiden på antall perioder. Når hver måling må gjentas, må man summere som i (4.2) Å angi usikkerheten Usikkerheter angis vanligvis på formen x ± s x f.eks ± En annen måte er å angi usikkerheten i siste desimal, 1.23(4). Hovedpoenget med feilvurdering er å ha et edruelig forhold til antall gjeldende siffer. Den enkleste måten å angi usikkerheten på, er å ikke bruke flere siffer enn nøyaktigheten tilsier. Dette gjøres ved å bruke avrundingsregler, som tilsier at 1.2 [1.15, 1.24]. Verdiene i eksemplene over kan altså uttrykkes med 1.2 alene, dersom hverken tallet eller dets usikkerhet er nøyaktig bestemt. Av og til vil dere støte på verdier som f.eks ± 0.12 eller 1.23(12), hvilket kan virke absurd i lys av diskusjonen over. Det er imidlertid en gyldig angivelse dersom et stort tallmateriale med grundig analyse av gjennomsnitt og standardavvik ligger til grunn. Vær imidlertid på vakt mot ubegrunnet nøyaktige verdier Hvordan ta med seg usikkerheten i kalkulasjoner Kalkulatorer kan ikke trylle frem bedre nøyaktighet! Regnestykket 1/3 blir ikke , det blir 0.3, men 1.00/3.00 blir Teori for hva usikkerheten i svaret blir når man putter inn i verdier med usikkerheter i en formel, sier 47

Eksamen i FYS-0100. Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 8 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI

Eksamen i FYS-0100. Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 8 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Eksamen i FYS-0100 Eksamen i : Fys-0100 Generell fysikk Eksamensdag : 23. februar, 2012 Tid for eksamen : kl. 9.00-13.00 Sted : Administrasjonsbygget, Rom B154 Hjelpemidler : K. Rottmann: Matematisk Formelsamling,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEF 1100 Klimasystemet Eksamensdag: Torsdag 8. oktober 2015 Tid for eksamen: 15:00 18:00 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Oppgavesettet

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

Om flo og fjære og kunsten å veie Månen

Om flo og fjære og kunsten å veie Månen Om flo og fjære og kunsten å veie Månen Jan Myrheim Institutt for fysikk NTNU 28. mars 2012 Innhold Målt flo og fjære i Trondheimsfjorden Teori for tidevannskrefter Hvordan veie Sola og Månen Friksjon

Detaljer

6.201 Badevekt i heisen

6.201 Badevekt i heisen RST 1 6 Kraft og bevegelse 27 6.201 Badevekt i heisen undersøke sammenhengen mellom normalkraften fra underlaget på et legeme og legemets akselerasjon teste hypoteser om kraft og akselerasjon Du skal undersøke

Detaljer

BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL

BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL Labratorieøvelse i FYSIKK Høst 1994 Institutt for fysisk, NTH BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL av Ola Olsen En lett revidert og anonymisert versjon til eksempel for skriving av lab.-rapport

Detaljer

Indekshastighet. Måling av vannføring ved hjelp av vannhastighet

Indekshastighet. Måling av vannføring ved hjelp av vannhastighet Indekshastighet. Måling av vannføring ved hjelp av vannhastighet Av Kristoffer Dybvik Kristoffer Dybvik er felthydrolog i Hydrometriseksjonen, Hydrologisk avdeling, NVE Sammendrag På de fleste av NVEs

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL. EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk

Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL. EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk Side 1 av 10 NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk

Detaljer

Norconsult AS Trekanten, Vestre Rosten 81, NO-7075 Tiller Notat nr.: 1 Tel: +47 72 89 37 50 Fax: +47 72 88 91 09 Oppdragsnr.

Norconsult AS Trekanten, Vestre Rosten 81, NO-7075 Tiller Notat nr.: 1 Tel: +47 72 89 37 50 Fax: +47 72 88 91 09 Oppdragsnr. Til: Trygve Isaksen Fra: Arne E Lothe Dato: 2013-11-20 Bølge-effekter på revidert utbygging ved Sanden, Larvik BAKGRUNN Det er laget reviderte planer for utbygging ved Sanden i Larvik. I den forbindelse

Detaljer

Krefter, Newtons lover, dreiemoment

Krefter, Newtons lover, dreiemoment Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har

Detaljer

Universitetet i Stavanger Institutt for petroleumsteknologi

Universitetet i Stavanger Institutt for petroleumsteknologi Universitetet i Stavanger Institutt for petroleumsteknologi Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Professor Ingve Simonsen Telefon: 470 76 416 Eksamen i PET110 Geofysikk og brønnlogging Mar. 09, 2015

Detaljer

AKVA group 2015.01.29 Målinger av strøm, salinitet og oksygen hvorfor, hvordan og hva kan det bety for i det daglige drift?

AKVA group 2015.01.29 Målinger av strøm, salinitet og oksygen hvorfor, hvordan og hva kan det bety for i det daglige drift? AKVA group 2015.01.29 Målinger av strøm, salinitet og oksygen hvorfor, hvordan og hva kan det bety for i det daglige drift? Strøm under operasjoner og i daglig drift Teknologi for et bedre samfunn 1 Zsolt

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 høsten 2007

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 høsten 2007 Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek0/Fys-mef0 høsten 007 Side av 9 Oppgave a) En kule ruller med konstant hastighet bortover et horisontalt bord Gjør rede for og tegn inn kreftene som virker på kulen Det

Detaljer

FY0001 Brukerkurs i fysikk

FY0001 Brukerkurs i fysikk NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til øving FY0001 Brukerkurs i fysikk Oppgave 1 a Det er fire krefter som virker på lokomotivet. Først har vi tyngdekraften, som virker nedover, og som er på F

Detaljer

Løsningsforslag. for. eksamen. fysikk forkurs. 3 juni 2002

Løsningsforslag. for. eksamen. fysikk forkurs. 3 juni 2002 Løsningsforslag for eksamen fysikk forkurs juni 00 Løsningsforslag eksamen forkurs juni 00 Oppgave 1 1 7 a) Kinetisk energi Ek = mv, v er farten i m/s. Vi får v= m/s= 0m/s, 6 1 1 6 slik at Ek = mv = 900kg

Detaljer

FYS2160 Laboratorieøvelse 1

FYS2160 Laboratorieøvelse 1 FYS2160 Laboratorieøvelse 1 Faseoverganger (H2013) Denne øvelsen går ut på å bestemme smeltevarmen for is og fordampningsvarmen for vann ved 100 C (se teori i del 5.3 i læreboka 1 ). Trykket skal i begge

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 3 juni 205 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-0100

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-0100 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-0100 Eksamen i: Fys-0100 Generell fysikk Eksamensdag: Onsdag 1. desember 2010 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Sted: Åsgårdveien 9, lavblokka Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk

Detaljer

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks FORSØK I OPTIKK Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks Hensikt I dette forsøket skal brytningsindeksen bestemmes for en sylindrisk linse ut fra måling av brytningsvinkler og bruk av Snells lov. Teori

Detaljer

Lærer Temaløype - Vær og klima, 8.-10. trinn

Lærer Temaløype - Vær og klima, 8.-10. trinn Temaløype - Vær og klima, 8.-10. trinn Klassen deles inn i grupper på ca. 3 personer. Hver gruppe får utdelt hver sitt temaløypehefte med oppgaver når de ankommer VilVite. Elevark skal være printet ut

Detaljer

1. Atmosfæren. 2. Internasjonal Standard Atmosfære. 3. Tetthet. 4. Trykk (dynamisk/statisk) 5. Trykkfordeling. 6. Isobarer. 7.

1. Atmosfæren. 2. Internasjonal Standard Atmosfære. 3. Tetthet. 4. Trykk (dynamisk/statisk) 5. Trykkfordeling. 6. Isobarer. 7. METEOROLOGI 1 1. Atmosfæren 2. Internasjonal Standard Atmosfære 3. Tetthet 4. Trykk (dynamisk/statisk) 5. Trykkfordeling 6. Isobarer 7. Fronter 8. Høydemåler innstilling 2 Luftens sammensetning: Atmosfæren

Detaljer

METEROLOGI= Læren om bevegelsene og forandringene i atomosfæren (atmosfæren er lufthavet rundt jorden)

METEROLOGI= Læren om bevegelsene og forandringene i atomosfæren (atmosfæren er lufthavet rundt jorden) METEROLOGI= Læren om bevegelsene og forandringene i atomosfæren (atmosfæren er lufthavet rundt jorden) I bunn og grunn Bli kjent med de store linjene i boka METEROLOGI I PRAKSIS for oss hobbyflygere! Spørsmål

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2008

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2008 Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek0 våren 008 Side av 0 Oppgave a) Atwoods fallmaskin består av en talje med masse M som henger i en snor fra taket. I en masseløs snor om taljen henger to masser m > m >

Detaljer

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader Geografisk navigasjon Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn i en datamaskin med digitalt kart, en GPS eller avmerkes på et papirkart. En slik tallmessig beskrivelse

Detaljer

T 1 = (m k + m s ) a (1)

T 1 = (m k + m s ) a (1) Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008. Løsningsforslag til Øving 2. Oppgave 1 a) Vi ser på et system bestående av en kloss på et horisontalt underlag og en snor med masse. Vi

Detaljer

NOTAT 4. mars 2010. Norsk institutt for vannforskning (NIVA), Oslo

NOTAT 4. mars 2010. Norsk institutt for vannforskning (NIVA), Oslo NOTAT 4. mars 21 Til: Naustdal og Askvoll kommuner, ved Annlaug Kjelstad og Kjersti Sande Tveit Fra: Jarle Molvær, NIVA Kopi: Harald Sørby (KLIF) og Jan Aure (Havforskningsinstituttet) Sak: Nærmere vurdering

Detaljer

Kort norsk manual Hvordan komme i gang:

Kort norsk manual Hvordan komme i gang: Kort norsk manual Hvordan komme i gang: Det første du må gjøre er å laste inn et skip i programmet. Det gjør du ved å velge Open under File -menyen. Fra underkatalogen Ships Database velger du et skip,

Detaljer

Teori til trinn SP 1

Teori til trinn SP 1 Teori til trinn SP 1 Tema: Trekkraft, stabilitet, manøvrering, mikrometeorologi og regelverk. SP 1 - Bakkeglidning SP 2 - Høydeglidning Aerodynamikk og praktisk flygning Trekkraft, stabilitet, manøvrering,

Detaljer

Snake Expert Scratch PDF

Snake Expert Scratch PDF Snake Expert Scratch PDF Introduksjon En eller annen variant av Snake har eksistert på nesten alle personlige datamaskiner helt siden slutten av 1970-tallet. Ekstra populært ble spillet da det dukket opp

Detaljer

Foto: Moss Havn André Staalstrøm (NIVA) og Karina Hjelmervik (HIVE) Oktober 2013 1

Foto: Moss Havn André Staalstrøm (NIVA) og Karina Hjelmervik (HIVE) Oktober 2013 1 Foto: Moss Havn André Staalstrøm (NIVA) og Karina Hjelmervik (HIVE) Oktober 2013 1 Innledning Moss ligger på østsiden av Breiangen i Oslofjorden, på innsiden av Jeløya (Figur 1). Jeløya er kun skilt fra

Detaljer

F. Impulser og krefter i fluidstrøm

F. Impulser og krefter i fluidstrøm F. Impulser og krefter i fluidstrøm Oppgave F.1 Ved laminær strøm gjennom et sylindrisk tverrsnitt er hastighetsprofilet parabolsk, u(r) = u m (1 (r/r) 2 ) hvor u max er maksimalhastigheten ved aksen,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009 Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen

Detaljer

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til

Detaljer

Vurderinger av data fra tokt samlet inn i Førdefjorden, 3.-6. mars 2011.

Vurderinger av data fra tokt samlet inn i Førdefjorden, 3.-6. mars 2011. 1 Toktrapport/Havforskningsinstituttet/ISSN 1503-6294/Nr. 1 2011 Vurderinger av data fra tokt samlet inn i Førdefjorden, 3.-6. mars 2011. Terje van der Meeren 1 og Håkon Otterå 2 1 Havforskningsinstituttet,

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36 Institutt for fsikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefsikk Høsten 2006, uke 36 Mandag 04.09.06 Del II: BØLGER Innledning Bølger er forplantning av svingninger. Når en bølge forplanter seg i et materielt medium,

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave) TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 4 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Fagnr: FIOIA I - Dato: Antall oppgaver: 2 : Antall vedlegg: 3 - - -

Fagnr: FIOIA I - Dato: Antall oppgaver: 2 : Antall vedlegg: 3 - - - ;ag: Fysikk i-gruppe: Maskin! EkSarnensoppgav-en I består av ~- - Tillatte hjelpemidler: Fagnr: FIOIA A Faglig veileder: FO lo' Johan - Hansteen I - - - - Dato: Eksamenstidt 19. August 00 Fra - til: 09.00-1.00

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN 2010 2011 Andre runde: 3/2 2011

FYSIKK-OLYMPIADEN 2010 2011 Andre runde: 3/2 2011 Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 3/ Skriv øverst: Navn, fødselsdato, e-postadresse og skolens navn Varighet:3 klokketimer Hjelpemidler:Tabell

Detaljer

Jordelektroder utforming og egenskaper

Jordelektroder utforming og egenskaper Jordelektroder utforming og egenskaper Anngjerd Pleym 1 Innhold Overgangsmotstand for en elektrode Jordsmonn, jordresistivitet Ulike elektrodetyper, egenskaper Vertikal Horisontal Fundamentjording Ringjord

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122

EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 5 EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Tid: Fredag 16.02.2001, kl: 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator,

Detaljer

TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE

TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG ADELING FOR TEKNOLOGI HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG TENTAMEN I FYSIKK FORKURS FOR INGENIØRHØGSKOLE Dato: Onsdag 07.05.08 arighet: 09.00-14.00 Klasser: 1FA 1FB 1FC 1FD Faglærere: Guri

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2010

Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2010 TEP5: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 3 Høst 2 Oppgave 2.32 Vi skal finne vannhøyden H i røret. Venstre side (A) er fylt med vann og 8cm olje; SG =,827 = ρ olje /ρ vann. Høyre side (B) er fylt

Detaljer

Dataøving 2. TTK5 Kalmanfiltrering og navigasjon Løsningsforslag

Dataøving 2. TTK5 Kalmanfiltrering og navigasjon Løsningsforslag Dataøving TTK5 Kalmanfiltrering og navigasjon Løsningsforslag Oppgave 1 a) Sammenhengen mellom pseudorange ρ og posisjon x i ECEF rammen når man har n satellitter er: q ρ i = (x si x) T (x si x)+cτ (1)

Detaljer

r+r TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag

r+r TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag 1) I oljebransjen tilsvarer 1 fat ca 0.159 m 3. I går var prisen for WTI Crude Oil 97.44 US dollar pr fat. Hva er dette i norske kroner pr liter, når 1 NOK

Detaljer

Løsningsforslag Øving 12

Løsningsforslag Øving 12 Løsningsforslag Øving 1 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 013 Oppgave 9-89 Løsning Vi skal finne et uttrykk for trykket som funksjon av x og y i et gitt hastighetsfelt. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær.

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Magnus Borstad Lilledahl Telefon: 73591873 (kontor) 92851014 (mobil) KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE

Detaljer

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000 Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 000 Hjelpemidler: Tabeller og formler i fysikk og matematikk Lommeregner Tid: 100

Detaljer

BACHELOR I IDRETTSVITENSKAP MED SPESIALISERING I IDRETTSBIOLOGI 2011/2013. Individuell skriftlig eksamen i IBI 225- Fysikk og målinger

BACHELOR I IDRETTSVITENSKAP MED SPESIALISERING I IDRETTSBIOLOGI 2011/2013. Individuell skriftlig eksamen i IBI 225- Fysikk og målinger BACHELOR I IDRETTSVITENSKAP MED SPESIALISERING I IDRETTSBIOLOGI 2011/2013 Individuell skriftlig eksamen i IBI 225- Fysikk og målinger Onsdag 30. november 2011 kl. 10.00-12.00 Hjelpemidler: kalkulator Formelsamling

Detaljer

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF00L Knut Mørken 3. desember 204 Det er noen få prinsipper fra den første delen av MAT-INF00 om tall som studentene i MAT-INF00L bør kjenne

Detaljer

FYS-MEK 1110 OBLIGATORISK INNLEVERING 1 ROBERT JACOBSEN ( GRUPPE 1 )

FYS-MEK 1110 OBLIGATORISK INNLEVERING 1 ROBERT JACOBSEN ( GRUPPE 1 ) FYS-MEK 1110 OBLIGATORISK INNLEVERING 1 ROBERT JACOBSEN ( GRUPPE 1 ) Hvorfor holder enkelte dropper seg oppe? Ved å benytte beregning.m på små dråpestørrelser, kan man legge til merke at for at en dråpe

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Friksjonskraft - hvilefriksjon og glidefriksjon (lærerveiledning)

Friksjonskraft - hvilefriksjon og glidefriksjon (lærerveiledning) Friksjonskraft - hvilefriksjon og glidefriksjon (lærerveiledning) Vanskelighetsgrad: liten Short English summary This exercise shows a study of the friction between a small wooden block and a horizontal

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Arbeid mot gravitasjon mekanisk energi (lærerveiledning)

Arbeid mot gravitasjon mekanisk energi (lærerveiledning) Arbeid mot gravitasjon mekanisk energi (lærerveiledning) Vanskelighetsgrad: Middels, noe vanskelig Short English summary In this exercise we shall measure the work (W) done when a small cart is lifted

Detaljer

Fysikk på TusenFryd. Elevhefte for ungdomstrinnet og 1. kl vgs. Naturfagsenteret Nasjonalt senter for naturfag i opplæringen

Fysikk på TusenFryd. Elevhefte for ungdomstrinnet og 1. kl vgs. Naturfagsenteret Nasjonalt senter for naturfag i opplæringen Fysikk på TusenFryd Elevhefte for ungdomstrinnet og 1. kl vgs. Naturfagsenteret Nasjonalt senter for naturfag i opplæringen Forord Heftet inneholder tre deler: Før besøket Under besøket Etter besøket Før

Detaljer

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Racerbilkjøring Mål: Regne ut alt vi kan ut i fra de målingene vi tar. Innledning: I denne rapporten har vi gjort diverse utregninger, basert på tall vi har fra et

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i AST1100, høsten 2013

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i AST1100, høsten 2013 Løsningsforslag til avsluttende eksamen i AST1100, høsten 013 Oppgave 1 a) I ligningen for hyostatisk likevekt er P trykket, M(r) massen innenfor en avstand r fra sentrum og ρ(r) er tettheten i en avstand

Detaljer

Vindu og dør. Kapittel 3 - Vindu og dør... 3

Vindu og dør. Kapittel 3 - Vindu og dør... 3 19.07.2012 Kapittel 3... 1 DDS-CAD Arkitekt Byggmester - innføring versjon 7 Vindu og dør Kapittel Innhold... Side Kapittel 3 - Vindu og dør... 3 Vinduene 1, 2, 3 og 4... 3 Hvordan ser fasaden ut?... 6

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Øving 11. Veiledning: 9. - 13. november.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Øving 11. Veiledning: 9. - 13. november. TFY0 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 05. Øving. Veiledning: 9. -. november. Opplysninger: Noe av dette kan du få bruk for: /πε 0 = 9 0 9 Nm /, e =.6 0 9, m e = 9. 0 kg, m p =.67 0 7 kg, g =

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Fornavn. Etternavn. Innlæringsmål: forstå hvordan positive og negative magnetiske poler kan demonstrere tiltrekkende og frastøtende kraft.

Fornavn. Etternavn. Innlæringsmål: forstå hvordan positive og negative magnetiske poler kan demonstrere tiltrekkende og frastøtende kraft. 1 Magnetiske poler Innlæringsmål: forstå hvordan positive og negative magnetiske poler kan demonstrere tiltrekkende og frastøtende kraft. 1. Nevn fem objekter som en magnet vil tiltrekke seg. 2. Hva kalles

Detaljer

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgåve 1: Ståande svingningar

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgåve 1: Ståande svingningar Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgåve

Detaljer

Strømmåling ved molo Træna havn, Fløttingen Oktober november 2013

Strømmåling ved molo Træna havn, Fløttingen Oktober november 2013 Strømmåling ved molo Træna havn, Fløttingen Oktober november 2013 Vannområde Rødøy-Lurøy v. Prosjektleder /marinbiolog Tone Vassdal INNHOLD 1 INNLEDNING... 3 2 MATERIALE OG METODER... 5 3 RESULTAT OG DISKUSJON...

Detaljer

Andreas. har 8 sider

Andreas. har 8 sider Instituttt for fysikk Eksamensoppgave i TFY 4102 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 8. juni 2013 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillattee

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON 1. 9. 2009 FORSØK I NATURFAG HØGSKOLEN I BODØ MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON Foto: Mari Bjørnevik Mari Bjørnevik, Marianne Tymi Gabrielsen og Marianne Eidissen Hansen 1 Innledning Hensikten med forsøket

Detaljer

Fysikk 3FY AA6227. Elever og privatister. 26. mai 2000. Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag

Fysikk 3FY AA6227. Elever og privatister. 26. mai 2000. Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag E K S A M E N EKSAMENSSEKRETARIATET Fysikk 3FY AA6227 Elever og privatister 26. mai 2000 Bokmål Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene på neste

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130. Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130. Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130 Lars Kristian Henriksen UiO 23. februar 2015 Diskusjonsoppgaver: 3 Ved tordenvær ser vi oftest lynet før vi hører tordenen. Forklar dette. Det finnes en enkel regel

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Testing av tradisjonsbåter i slepetanken

Testing av tradisjonsbåter i slepetanken Testing av tradisjonsbåter i slepetanken Sverre Steen sverre.steen@ntnu.no Institutt for Marin Teknikk, NTNU I juni 2014 luktet det for første gang nyoljet trebåt i de store hydrodynamiske laboratoriene

Detaljer

ELEKTRISITET. - Sammenhengen mellom spenning, strøm og resistans. Lene Dypvik NN Øyvind Nilsen. Naturfag 1 Høgskolen i Bodø 18.01.02.

ELEKTRISITET. - Sammenhengen mellom spenning, strøm og resistans. Lene Dypvik NN Øyvind Nilsen. Naturfag 1 Høgskolen i Bodø 18.01.02. ELEKTRISITET - Sammenhengen mellom spenning, strøm og resistans Lene Dypvik NN Øyvind Nilsen Naturfag 1 Høgskolen i Bodø 18.01.02.2008 Revidert av Lene, Øyvind og NN Innledning Dette forsøket handler om

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF

Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. Dette er den andre leksjonen

Detaljer

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E Løsningsforslag Obligatorisk oppgave i FO340E 0. februar 2009 Det er nt om dere har laget gurer hvor kreftene er tegnet inn, selv om det er utelatt i dette notatet av praktiske årsaker. En oppgave kan

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Oppgave 3 -Motstand, kondensator og spole

Oppgave 3 -Motstand, kondensator og spole Oppgave 3 -Motstand, kondensator og spole Ole Håvik Bjørkedal, Åge Johansen olehb@stud.ntnu.no, agej@stud.ntnu.no 18. november 2012 Sammendrag Rapporten omhandler hvordan grunnleggende kretselementer opptrer

Detaljer

Newtons (og hele universets...) lover

Newtons (og hele universets...) lover Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:

Detaljer

DNG C-2000h. Juksamaskinen for fritidsfiskere BRUKERMANUAL

DNG C-2000h. Juksamaskinen for fritidsfiskere BRUKERMANUAL DNG C-2000h Juksamaskinen for fritidsfiskere BRUKERMANUAL Egenskaper: Tar liten plass og er lett i vekt. Lavt strømforbruk tross stor trekk kraft. Brukervennlig, robust og driftsikker. Tre funksjoner i

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

Hvorfor speiler objekter seg i vann?

Hvorfor speiler objekter seg i vann? Hvorfor speiler objekter seg i vann? Laget av klasse 7c Løkeberg Skole 2015 1 Forord Vi er klasse 7c på Løkeberg skole. Vi har fått hjelp av fire studenter fra høyskolen i Oslo, som har hatt praksisuker

Detaljer

Vannbølger. 1 Innledning. 2 Teori og metode. Sindre Alnæs, Øistein Søvik Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge. 12.

Vannbølger. 1 Innledning. 2 Teori og metode. Sindre Alnæs, Øistein Søvik Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge. 12. Vannbølger Sindre Alnæs, Øistein Søvik Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 12. april 2013 Sammendrag I dette eksperimentet ble overatespenningen til vann fastslått til (34,3 ± 7,1) mn/m,

Detaljer

Klasseromsforsøk om lagring av CO 2 under havbunnen

Klasseromsforsøk om lagring av CO 2 under havbunnen Klasseromsforsøk om lagring av CO 2 under havbunnen Jan Martin Nordbotten og Kristin Rygg Universitetet i Bergen Konsentrasjonen av CO 2 i atmosfæren har steget fra 280 ppm til 370 ppm siden den industrielle

Detaljer

Nat104 / Grimstad. Forelesningsnotater. Våren 2011. Newtons 3 lover. UiA / Tarald Peersen

Nat104 / Grimstad. Forelesningsnotater. Våren 2011. Newtons 3 lover. UiA / Tarald Peersen Nat104 / Grimstad Forelesningsnotater Våren 2011 Netons 3 lover UiA / Tarald Peersen 1 Netons 3 lover 1.1 Forelesning: Netons tre fundamentale lover for bevegelse I leksjon 1 lærte vi språket som beskriver

Detaljer

TFY4115 Fysikk. Nettside: Laboratoriekurs: 13 regneøvinger Minst 8 må innleveres og godkjennes

TFY4115 Fysikk. Nettside: Laboratoriekurs: 13 regneøvinger Minst 8 må innleveres og godkjennes TFY4115 Fysikk Emneoersyn: Mekanikk ( 50 %) Newtons loer Energi, beegelsesmengde, kollisjoner Rotasjon, spinn Statisk likeekt Singninger Termodynamikk ( 50 %): Def. Temperatur og arme. Termodynamikkens

Detaljer

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Kontinuasjonseksamen i: FYS 1000 Eksamensdag: 16. august 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00, 4 timer Oppgavesettet er på 5 sider inkludert

Detaljer

Turny bladvender Brukerveiledning

Turny bladvender Brukerveiledning Turny bladvender Brukerveiledning Generelt om Turny elektronisk bladvender...2 Tilkobling av Turny...2 Installasjon...3 Montering av bok/tidsskrift...4 Bruk av Turny...4 Aktiviser vippefunksjonen...5 Mulige

Detaljer

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing STREAMFLOW ROUTING Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms Skiller mellom hydrologisk routing hydraulisk routing Hydraulisk routing er basert på løsning av de grunnleggende differensial ligninger

Detaljer