EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl

Transkript

1 NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 2. desember 22 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i januar 22. Oppgave Et elektron med masse m e beveger seg i et endimensjonalt potensial som består av en deltafunksjonsbrønn og et potensialsprang: g h2 δx for < x < b, b >, g > m e a V x = h 2 V 2m e a 2 for b < x <. Anta at ψ E x er en energiegenfunksjon med energi E for dette systemet. Bruk den tidsuavhengige Schrödingerligningen til å finne ut hvordan ψ E må oppføre seg for negative x dersom i E >, ii E =. iii Finn også formen til ψ E for negative x dersom E <, og forklar ut fra drøftingen av disse tre tilfellene hvorfor en bunden tilstand må ha E <. [Hint: En bunden tilstand skal være kvadratisk integrerbar.] Finn også formen til en eventuell bunden tilstand ψ E for x > b.

2 Side 2 av 5 b. Forutsetningen for at dette systemet har en bunden tilstand ψx er at faktoren g som bestemmer styrken av delta-brønnen er større enn en viss grenseverdi g. Anta nå at betingelsen g > g er oppfylt, og at vi velger ψx reell og normert slik at ψ = i origo. Oppførselen til ψx for x < og for x > b er funnet ovenfor. Angi hvordan ψ krummer, både i disse områdene og ellers. For < x < b kan den generelle løsningen av den tidsuavhengige Schrödingerligningen skrives på formen ψ = Ae κx + Be κx, der A og B er reelle konstanter. Isolert sett kan dette uttrykket ha et nullpunkt i intervallet < x < b. Forklar hvorfor egenfunksjonen ψ likevel ikke kan ha noe nullpunkt. [Hint: Prøv å skissere en løsning med et nullpunkt for < x < b, og forklar hva som blir galt med denne løsningen.] Lag så en prinsippskisse som viser hvordan egenfunksjonen ψ for den bundne tilstanden uten nullpunkter må se ut, og forklar hvorfor denne egenfunksjonen er unik, slik at vi har bare én slik bunden tilstand for en gitt g > g. [Hint: Hvor mange ukjente har vi i denne problemstillingen?] c. I grensetilfellet g = g har dette systemet en ubunden energiegentilstand med energien E =. Forklar hvilken form denne energiegenfunksjonen har i de tre områdene x <, < x < b og x > b, og lag en skisse av den. Bruk de nødvendige betingelsene til å bestemme g. Er resultatet fornuftig i grensen b? Oppgave 2 En spinn- -partikkel med masse m, ladning q og magnetisk moment µ = gq/2ms 2 befinner seg i utgangspunktet i et konstant og homogent magnetfelt B = B ẑ rettet i z-retningen. Når vi ser bort fra andre frihetsgrader, kan Hamilton-operatoren for dette uperturberte systemet skrives på formen g Ĥ = µ B ω S = ω S z, der ω = qb 2m ẑ ω ẑ. Her antar vi at ω er positiv, slik at vektoren ω peker i positiv z-retning. Dette systemet velger vi å perturbere med et tidsavhengig magnetfelt B = ɛb ˆx cos ω t + ŷ sin ω t som ligger i xy-planet og roterer med samme vinkelfrekvens ω som inngår i Ĥ. Dette magnetfeltet svarer til et perturberende ledd V t = µ B = ɛ ω ˆx cos ω t + ŷ sin ω t S ω S ω = ɛω, og en total Hamilton-operator Ĥ = Ĥ + V t = ω + ω S = 2 hω + 2 hω e iω t e iω t.

3 Side 3 av 5 a. Finn energiegenverdiene E ± for det uperturberte systemet dvs for ɛ = uttrykt ved ω, og vis at de tilhørende stasjonære tilstandene kan skrives på formen χ ± t = χ ± e iωt/2, der χ + = og χ =. Siden tilstandene χ ± t danner en basis, kan tilstanden for spinn-systemet generelt utvikles i disse: χt = a + tχ + t + a tχ t. Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene a + t og a t? Ved innsetting i Schrödingerligningen i h d χt = Ĥ χt finner en at utviklingskoeffisientene oppfyller det koblede ligningssettet dt i h d a+ t = dt a t 2 hω a+ t ω a t = ɛω. Hva sier dette ligningssettet om tidsavhengigheten til koeffisientene a + t og a t når det perturberende magnetfeltet er lik null dvs når ɛ =? b. Anta at ɛ >, slik at det perturberende feltet er forskjellig fra null. Bruk ligningssettet ovenfor til å vise at a + t = i sin 2 ω t og a t = cos 2 ω t, når det oppgis at spinnet ved t = var i grunntilstanden; χ = χ = c. Skriv den resulterende spinntilstanden χt = a + tχ + t+a tχ t på formen at χt =, bt og finn komponentene σ x, σ y og σ z av spinnretningen σ som funksjoner av t, ved hjelp av formelarket. Fra disse resultatene følger det at komponenten av σ vinkelrett på z-aksen kan skrives på formen σ = sin ω t [ˆx cosω t + π/2 + ŷ sinω t + π/2]. Denne roterer som du ser med samme vinkelfrekvens som det perturberende B-feltet, men 9 grader foran dette hele tiden mens t øker fra til π/ω. Sammen med formelen d σ /dt = ω + ω σ som kan utledes fra dreieimpulsalgebraen, forklarer dette hvorfor σ z øker hele tiden mens sin ω t >, dvs helt til σ z blir lik. Anta nå at ɛ, slik at ω ω. Beskriv kvalitativt hva som da vil skje med σ z dersom vi lar det perturberende feltet rotere med en vinkelfrekvens ω som ligger langt unna resonansfrekvensen ω?.

4 Side 4 av 5 d. Anta igjen at det perturberende feltet B roterer med vinkelfrekvensen ω, og beregn overgangsamplituden a + t ved tiden t ved hjelp av.-ordens tidsavhengig perturbasjonsteori. Sammenlign.-ordens-resultatet for a + t med det eksakte resultatet oppgitt i pkt. b, og finn på den måten hva som i dette tilfellet kreves for at.-ordens perturbasjonsteori skal gi en god tilnærmelse. Oppgave 3 En partikkel med masse m beveger seg i det tredimensjonale oscillatorpotensialet V r = 2 mω2 r 2. Som energiegentilstander for dette systemet kan vi bruke enten i produkttilstander av den kartesiske typen, ψ nxn yn z = ψ nx xψ ny yψ nz z n x n y n z, E nxn yn z = hωn x + n y + n z + 3/2, der ψ nx x osv er ordinære endimensjonale oscillatorløsninger se formel-arket, eller ii dreieimpulstilstander av typen ψ Nlm = R Nl ry lm θ, φ der hver slik tilstand er en lineærkombinasjon av kartesiske tilstander med n x + n y + n z = N. a. Anta at oscillatoren ved t = er preparert i følgende lineærkombinasjon av kartesiske tilstander, Ψr, = [ ] Vis at denne er normert. Anta at vi straks etter prepareringen dvs ved t = + måler energien E. Hva 3 er sannsynligheten for at målingen gir i resultatet E = 2 hω og etterlater systemet 7 i grunntilstanden ψ, ii resultatet E = 2 hω? Hva blir den normerte tilstanden umiddelbart etter en måling med resultatet E = 7 2 hω? Vis ved hjelp av formelarket at tilstanden [ ]/ 3 er vinkeluavhengig, dvs avhenger bare av r, og derfor er en tilstand av typen ψ Nlm, der N, l og m skal angis. b. Anta nå at oscillatoren er i tilstanden ψ N=2,l=m= = R N=2,l= Y ved t =. Vi vil studere strålingsoverganger fra denne tilstanden via absorpsjon og spontan og stimulert emisjon. Om vi bruker dreieimpulsegentilstander ψ Nlm som basis, ser nivåskjemaet for denne oscillatoren slik ut for N 4:

5 Page 5 of 5 I dipoltilnærmelsen er overgangsratene for absorpsjon og stimulert emisjon proporsjonale med e k d fi 2, der e k er polarisasjonsvektoren for strålingen og vektoren d fi = ψ f r ψ i d 3 r er dipolmomentet for overgangen. Overgangsraten for spontan emisjon er proporsjonal med d fi 2. Vis direkte ut fra integralet over at overganger fra ψ N=2,l=m= i dipoltilnærmelsen bare skjer til p-tilstander ψ N l m med l =, i tråd med utvalgsregelen l = ±. Hint: Bruk at [ ] r = r 4π/3 ê z Y êx iê y Y + êx + iê y Y, 2 2 og se på vinkeldelen av integralet over. Vis at de tillatte overgangene i dipoltilnærmelsen for dette systemet generelt begrenser seg til N = ±. Hint: I dipolmomentet ψ f r ψ i er ket-vektoren ψ i en superposisjon av kartesiske tilstander som alle har n x +n y +n z = N. Betrakt r ψ i = ê x x + ê y ŷ + ê x ẑ ψ i, og undersøk hvordan operatorene h x = 2mω a x + a x virker på ψ i. Husk at a x n x = n x n x og a x n x = n x + n x +. etc c. Fra resultatene ovenfor følger det at spontane overganger fra tilstanden ψ N=2,l=m= i dipoltilnærmelsen bare skjer til tilstander med N =. For de sistnevnte kan vi like godt velge å bruke de kartesiske. Raten sannsynligheten pr tidsenhet for spontan overgang fra tilstanden ψ N=2,l=m= til den kartesiske tilstanden ψ er i dipoltilnærmelsen gitt ved formelen w i f = α 4ω3 if 3c 2 d fi 2. Hva er Bohr-frekvensen ω if for denne overgangen? Forklar ut fra symmetriegenskapene til de aktuelle tilstandene hvorfor dipolmoment-vektoren d fi for denne overgangen ikke kan ha komponenter i y- og z-retningene. Forklar også hvorfor lengden av d fi må være av størrelsesorden h/mω. Forklar dessuten hvorfor d fi er like stor for alle de tre slutt-tilstandene, og. d. Det opplyses at d fi = h/3mω for hver av de tre nevnte overgangene. Anta at m = m e og ω = 6 s, og finn i dipoltilnærmelsen tallverdier for den totale raten for spontan overgang fra tilstanden ψ N=2,l=m= og den tilsvarende levetiden τ. Avgjør om dipoltilnærmelsen er en god tilnærmelse i dette tilfellet.

6

7 Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Diskontinuitetsbetingelse, med potensial V x = αδx a ψ a + ψ a = 2mα h 2 ψa. Spinn 2 For en partikkel med spinn 2 kan en bruke spinnoperatoren S = 2 hσ = 2 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x =, σ y = i i er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = og χ = er da a egentilstander til S z = 2 hσ z med egenverdiene ± 2 h. En normert spinntilstand χ = b kan karakteriseres ved spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Re2a b + ê y Im2a b + ê z a 2 b 2. Matrisene S x = 2 hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Videre er S 2 x = S 2 y = S 2 z = S ˆn 2 = h2 4 Harmonisk oscillator og S 2 = 3 h2 4. Energiegenfunksjonene for potensialet V = 2 mω2 x 2 < x < oppfyller egenverdiligningen [ h2 2 ] 2m x mω2 x 2 n + hω ψ 2 n x =, n =,, 2,..., med normerte løsninger på formen ψ n x = mω /4 /2 h π h 2n n! e mωx2 H n ξ, ξ = x h/mω ; H ξ =, H ξ = 2ξ, H 2 ξ = 4ξ 2 2,.

8 Utgangspunktet for tidsavhengig perturbasjonsteori Med en Hamilton-operator Ĥ = Ĥ + V t kan den eksakte løsningen utvikles i de uperturberte stasjonære løsningene: Ψr, t = n a n tψ n r, t, der Ψ n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥψ n r = E n ψ n r. Det eksakte ligningssettet for utviklingskoeffisientene er i h da k dt = e iωknt V kn ta n t; n V kn t = ψ k V t ψ n = ω kn = E k E n / h; ψ k V tψ n dτ. Med a n t = δ ni oppfyller den eksakte amplituden ligningen a f t = δ fi + t iωfnt e V fn t a n t dt. i h n t Til første orden i perturbasjonen er da amplituden a f a i f gitt ved a i f = δ fi + t iωfit e V fi t dt. i h t Sfæriske harmoniske { L 2 L z } { h 2 ll + Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; L z = h i φ ; Y 2 = 3 3 Y = 4π, Y = 4π cos θ, Y,± = 8π sin θ e±iφ π 3 cos2 θ, Y 2,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y 2,±2 = 32π sin2 θ e ±2iφ. Noen fysiske konstanter a 4πɛ h 2 m e e 2 = α h m e c =.529 m; α e2 4πɛ hc = ; c = m/s; h = evs; m e =.5 MeV/c 2. h 2 2m e a 2 Tidsutvikling av forventningsverdier 3.6 ev. d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t

9 ENGLISH TEXT Page of 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I FY245/TFY425 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 2. desember 22 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter The questions are given in English on pages 5. The Norwegian version is also attached. A sheet with expressions and formulae is attached Sensuren faller i januar 23. Problem An electron of mass m e is moving in a one-dimensional potential consisting of a deltafunction well and a potential step: g h2 δx for < x < b, b >, g > m e a V x = h 2 V 2m e a 2 for b < x <. Suppose that ψ E x is an energy eigenfunction with energy E for this system. Use the time-independent Schrödinger equation to find out how ψ E must behave for negative x for i E >, ii E =. iii Find the form of ψ E for negative x also for E < and, based on the discussion of these three cases, explain why a bound state must have E <. [Hint: A bound state must be quadratically integrable.] Find also the form of a possible bound state ψ E for x > b.

10 Page 2 of 5 b. The condition for this system to have a bound state ψx is that the factor g which determines the strength of the delta well is larger than a certain limiting value g. Assume now that the condition g > g is satisfied, and that we choose ψx to be real and normalized in such a way that ψ = at the origin. The behaviour of ψx for x < and for x > b was found above. State how ψ curves, both in these regions and elsewhere. For < x < b the general solution of the time-independent Schrödinger equation can be written on the form ψ = Ae κx + Be κx, where A and B are real constants. From an isolated point of view, this expression can have a zero in the interval < x < b. Explain why the eigenfunction ψ still can not have a zero. [Hint: Try to sketch a solution with a zero for < x < b, and explain what goes wrong with this solution.] Then make a sketch which shows how the eigenfunction ψ of the bound state without zeros must look, and explain why this eigenfunction is unique, so that we have only one such bound state for a given g > g. [Hint: How many unknown quantities do we have in this problem?] c. In the limiting case g = g, this system has an unbound energy eigenstate with the energy E =. Explain which forms this eigenfunction has in the three regions x <, < x < b og x > b, and make a sketch of it. Use the necessary conditions to determine g. Is the result reasonable in the limit b? Problem 2 A spin- particle of mass m, charge q and magnetic moment µ = gq/2ms is from 2 the outset in a constant and homogeneous magnetic field B = B ẑ pointing in the z-direction. When other degrees of freedom are neglected, the Hamiltonian of this unperturbed system can be written as g Ĥ = µ B ω S = ω S z, where ω = qb 2m ẑ ω ẑ. Here we assume that ω is positive, so that the vector ω points in the positive z-direction. We choose to perturb this system with a time-dependent magnetic field B = ɛb ˆx cos ω t + ŷ sin ω t which lies in the xy-plane and rotates with the same angular frequency ω that occurs in Ĥ. This magnetic field corresponds to a perturbing term V t = µ B = ɛω ˆx cos ω t + ŷ sin ω t S ω S ω = ɛω, and a total Hamiltonian Ĥ = Ĥ + V t = ω + ω S = 2 hω + 2 hω e iω t e iω t.

11 Page 3 of 5 a. Find the energy eigenvalues E ± of the unperturbed system that is, for ɛ = expressed in terms of ω, and show that the corresponding stationary states can be written on the form χ ± t = χ ± e iω t/2, where χ + = and χ = Since the states χ ± t form a basis, the state of the spin system may in general be expanded in terms of these states: χt = a + tχ + t + a tχ t. What is the physical interpretation of the coefficients a + t and a t? Inserting into the Schrödinger equation i h d χt = Ĥ χt one finds that the expansion coefficients satisfy the coupled set of equations dt i h d a+ t = dt a t 2 hω a+ t ω a t = ɛω. What does this set of equations tell us about the time dependence of the coefficients a + t and a t in the case when the perturbing magnetic field is equal to zero that is, when ɛ =? b. Assume that ɛ >, so that the perturbing field is different from zero. Use the set of equations above to show that a + t = i sin ω 2 t and a t = cos ω 2 t, given that the spin was in the ground state at t = ; χ = χ =. c. Write the resulting spin state χt = a + tχ + t + a tχ t on the form at χt =, bt and find the components σ x, σ y and σ z of the spin direction σ as functions of t, using the formula sheet. From these results it follows that the component of σ perpendicular to the z-axis can be written on the form σ = sin ω t [ˆx cosω t + π/2 + ŷ sinω t + π/2]. As you will observe, this component rotates with the same angular frequency as the perturbing B-field, but 9 degrees ahead of the latter the whole time when t increases from to π/ω. Together with the formula d σ /dt = ω + ω σ which can be derived from the angular-momentum algebra, this explains why σ z increases the whole time while sin ω t >, that is, until σ z becomes equal to. Suppose now that ɛ, so that ω ω. Describe qualitatively what will then happen with σ z if we let the perturbing field rotate with an angular frequency ω which lies far away from the resonance frequency ω?.

12 Page 4 of 5 d. Assume once again that the perturbing field B rotates with the angular frequency ω, and calculate the transition amplitude a + t at time t using first-order time-dependent perturbation theory. Compare the first-order result for a + t with the exact result given above in point b, and find in this way what is required in order that first-order perturbation theory give a good approximation in this case. Problem 3 A particle of mass m is moving in the three-dimensional oscillator potential V r = 2 mω2 r 2. As energy eigenstates of this system we can use either i product states of Cartesian type, ψ nxn yn z = ψ nx xψ ny yψ nz z n x n y n z, E nxn yn z = hωn x + n y + n z + 3/2, wher ψ nx x etc are ordinary one-dimensional oscillator solutions see the formula sheet, or ii angular-momentum states of the type ψ Nlm = R Nl ry lm θ, φ where each such state is a linear combination af Cartesian states with n x + n y + n z = N. a. Assume that the oscillator is at t = prepared in the following linear combination of Cartesian states, Ψr, = [ ] Show that this state is normalized. Suppose that we immediately after the preparation that is, at t = + measure the energy E. What is the probability that the measurement gives i the result E = 2 hω 3 7 and leaves the system in the ground state ψ, ii the result E = 2 hω? What is the normalized state immediately after a measurement with the result E = 7 2 hω? Use the formula sheet to show that the state [ ]/ 3 is independent of angles, that is depends only on r, and therefore is a state of the type ψ Nlm. What are the values of N, l and m for this state. b. Assume now that the oscillator is in the state ψ N=2,l=m= = R N=2,l= Y at t =. We want to study radiative transitions from this state via absorption and stimulated and spontaneous emission. If we use angular-momentum states ψ Nlm as a basis, the level scheme for this oscillator looks like this for N 4:

13 Side 5 av 5 In the dipole approximation, the transition rates for absorption and stimulated emission are proporstional to e k d fi 2, where e k is the polarization vector of the radiation and the vector d fi = ψ f r ψ i d 3 r is the dipole moment of the transition. The spontaneous transition rate is proportional to d fi 2. Show directly from the integral above that transitions from ψ N=2,l=m= in the dipole approximation only occur to p-states ψ N l m with l =, in accordance with the selection rule l = ±. Hint: Use that [ ] r = r 4π/3 ê z Y êx iê y Y + êx + iê y Y, 2 2 and consider the angular part of the above integral. Show that in the dipole approximation the allowed transitions for this system are in general limited to N = ±. Hint: In the dipole moment ψ f r ψ i, the ket ψ i is a superposition of Cartesian states which all have n x + n y + n z = N. Consider r ψ i = ê x x + ê y ŷ + ê x ẑ ψ i, and investigate how the operators h x = 2mω a x + a x act on ψ i. Remember that a x n x = n x n x and a x n x = n x + n x +. etc c. From the above results it follows that sponataneous transitions from the state ψ N=2,l=m= in the dipole approximation occur only for final states with N =. For the latter we may just as well use the Cartesian ones. The rate probability per unit time for spontaneos transition from the state ψ N=2,l=m= to the Cartesian state ψ is in the dipole approximation given by the formula w i f = α 4ω3 if 3c d fi 2. 2 What is the Bohr frequency ω if for this transition? Using the symmetry properties of the states in question, explain why the dipole moment vector d fi of this transition can not have components in the y- and z-directions. Explain also why the length of d fi must be of the order of h/mω. Explain in addition why the length d fi of the dipole moment vector has the same value for all of the three final states, og. d. Actually, we have d fi = h/3mω for each of the three transitions. Assume that m = m e and ω = 6 s, and find in the dipole approximation numerical values for the total rate for spontaneous transition from the state ψ N=2,l=m= and the corresponding lifetime τ. Decide if the dipole approximation is a good approximation in this case.

14

15 Attachment: Formulae and expressions Some of this may turn out to be useful. Discontinuity condition, with potential V x = αδx a ψ a + ψ a = 2mα h 2 ψa. Spinn 2 For a particle with spin 2 one may use the spin operator S = 2 hσ = 2 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, where i σ x =, σ y =, σ i z = are the so-called Pauli matrices. The Pauli spinors χ + = and χ = then are eigenstates of S z = 2 hσ z with the eigenvalues ± 2 h. A normalized spin state a χ = may be charcterized by the spin direction, b σ = χ σχ = ê x Re2a b + ê y Im2a b + ê z a 2 b 2. The matrices S x = 2 hσ x etc satisfy the angular momentum algebra, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Furthermore, Harmonic oscillator S 2 x = S 2 y = S 2 z = h2 4 og S 2 = 3 h2 4. The energy eigenfunctions for the potential V = 2 mω2 x 2 < x < satisfy the eigenvalue equation [ h2 2 ] 2m x mω2 x 2 n + hω ψ 2 n x =, n =,, 2,..., with normalized solutions on the form ψ n x = mω /4 /2 h π h 2n n! e mωx2 H n ξ, ξ = x h/mω ; H ξ =, H ξ = 2ξ, H 2 ξ = 4ξ 2 2,.

16 Starting point for time-dependent perturbation theory With a Hamiltonian Ĥ = Ĥ + V t, the exact solution can be expanded in terms of the unperturbed stationary solutions: Ψr, t = n a n tψ n r, t, where Ψ n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥψ n r = E n ψ n r. The exact set of equations for the expansion coefficients is i h da k dt = n e iω knt V kn ta n t; V kn t = ψ k V t ψ n, ω kn = E k E n / h. With a n t = δ ni, the exact amplitude satisfies the equation a f t = δ fi + i h t e n t iω fnt V fn t a n t dt. To first order in the perturbation the amplitude a f a i f is then given by Spherical harmonics a i f = δ fi + t iωfit e V fi t dt. i h t { L 2 L z } { h 2 ll + Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; L z = h i φ ; Y 2 = Y = 5 6π 3 cos2 θ, Some physical constants 3 4π, Y = 4π cos θ, 3 Y,± = 8π sin θ e±iφ. 5 Y 2,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y 2,±2 = 5 32π sin2 θ e ±2iφ. a 4πɛ h 2 m e e 2 = α h m e c =.529 m; α e2 4πɛ hc = ; c = m/s; h = evs; m e =.5 MeV/c 2. h ev. 2m e a 2