Hydrologiens innvirkning på systemprisen i det nordiske kraftmarkedet

Transkript

1 Hydrologiens innvirkning på systemprisen i det nordiske kraftmarkedet Kåre Olav Ramstad Veiledere Dennis Frestad (Universitet i Agder) Bernt Viggo Matheussen (Agder Energi) Tom Lassen (Universitet i Agder) Masteroppgaven er gjennomført som ledd i utdanningen ved Universitetet i Agder og er godkjent som del av denne utdanningen. Denne godkjenningen innebærer ikke at universitetet innestår for de metoder som er anvendt og de konklusjoner som er trukket. Universitetet i Agder, 2012 Fakultet for teknologi og realfag Institutt for ingeniørvitenskap

2 Forord Denne rapporten er skrevet som en masteroppgave i industriell økonomi og teknologiledelse ved Universitetet i Agder. Oppgaven ble til etter at jeg kom i kontakt med Agder Energi Produksjon. Arbeidet med utredningen har vært utfordrende og svært lærerikt. Den har gitt meg god innsikt i kraftmarkedet og rekke statistiske metoder innen økonomi. Dette er kunnskap som trolig kommer godt med seinere i arbeidslivet. Jeg ønsker å takke veileder Dennis Frestad ved UiA og Bernt Viggo Matheussen ved Agder Energi for faglig hjelp og konstruktive tilbakemeldinger som har holdt meg på rett spor. I løpet av arbeidsprosessen har jeg også hatt kontakt med ulike personer som er bidratt med innspill og viktig informasjon som har vært nødvendig for å gjennomføre masterutredningen. Biveileder Tom Lassen har gitt meg tips om bruk av programvare, noe som har forenklet en del av oppgaven. Nord Pool Spot har gitt meg adgang på deres server, slik at jeg fikk mulighet til å hente detaljerte data. Universitetet i Agder Grimstad, mai 2012 Kåre Olav Ramstad I

3 Sammendrag Denne studien undersøker hvor sterkt nedbør, energitilsig, magasinfylling og snømengde påvirker systemprisen i det nordiske kraftmarkedet. Måten hydrologiske faktorer påvirker systemprisen er interessant med tanke på måten kraftverk med magasin utfører sin produksjonsplanlegging og risikostyring. Studien er utført med empiriske data fra perioden 1998 til Det er laget to forskerspørsmål, et som undersøker korrelasjon mellom systempris og de hydrologiske variablene, og et som benytter regresjon til å finne ut hvor stor grad systemprisen kan forklares av de utvalgte variablene. Korrelasjonen måles med Pearsons korrelasjonskoeffisient, hvor verdier nærme en eller minus en indikerer sterk korrelasjon, mens verdier lik null indikerer at det ikke finnes korrelasjon. Hver hydrologisk variabel er blitt analysert hver for seg for å oppnå linearitet i regresjonsmodellen. Med dette innebærer blant annet ulike dekomponeringer, filtreringer og transformasjoner. Forklaringsgraden måles med determinasjonskoeffisienten, som er et tall mellom null og en. Er verdien lav har modellen lav forklaringsgrad, er verdien høy har modellen høy forklaringsgrad. Det er blitt testet ut ulike måter å utføre regresjonen på, og to av disse er presentert og diskutert. Av de fire hydrologiske variablene er det tilgjengelige ressurser som samvarierer mest med logaritmisk systempris med en korrelasjonsfaktor lik -0,72. Tilgjengelige ressurser defineres som magasinfylling og snømengde. Nedbøren som er observert de 45 foregående ukene gir en korrelasjonsfaktor på -0,65 mot en logaritmisk trendjustert systempris. Energitilsiget som er observert over fem uker ser ut til å forklare best de kortsiktige svingningene, og har en korrelasjonsfaktor -0,38, mens sesongjusteres magasinfyllingsgraden blir korrelasjonsfaktor -0,65 mot logaritmisk systempris trendjustert kraftpris. Det er knyttet problemer med å bruke magasinfyllingsgraden og tilgjengelige ressurser i prisprognoser fordi den ser ut til å være sterkt påvirket av systemprisen. Modellen med høyest forklaringsgrad bruker nedbøren observert 45 foregående uker, gjennomsnittlig energitilsig fem foregående uker og årstallet som forklarende variabler. Denne forklarer 75,00 % av logaritmisk systempris. En modell med tilsiget de fem siste ukene og tilgjengelige ressurser forklarer logaritmisk systempris med 59,04 %. Begge modellene bruker variabler som inneholder stor usikkerhet, men det er knyttet noe større usikkerhet til den andre modellen da tilgjengelige ressurser ser ut til å være påvirket av systemprisen. Test av regresjonene viser sterk autokorrelasjon i residualene. Dette kan være forårsaket av utelatte variabler eller at regresjonen på andre måter ikke er utført riktig. Dette er med på å redusere validiteten til modellenes resultater. II

4 Innholdsfortegnelse Forord... I Sammendrag... II Innholdsfortegnelse... III 1 Innledning Optimeringsproblemet Oppgavens struktur Beskrivelse av kraftmarkedet Forløpet til dagens kraftmarked Kraftmarkedets virkemåte Kraftbørsen Nord Pool Kraftprisens priskarakteristikker Modellering av kraftpris Problemstilling og metode Problemstilling og forskerspørsmål Bakgrunn for problemstillingen Forskningsdesign Empiriske data Korrelasjon og regresjonsanalyse Transformasjoner, filtreringer og krysskorrelasjon Dekomponering av tidsseriene Innføring av ekstra ledd i modellen Residualanalyse Bruk av resultatene Empirisk analyse og resultater Systemprisen Nedbør Energitilsig Magasinfyllingsgrad Tilgjengelige ressurser Multippel regresjon Konklusjon Litteraturreferanser III

5 1 Innledning Målet med denne oppgaven er å utføre en empirisk undersøkelse av i hvor stor grad hydrologiske forhold påvirker systemprisen i det nordiske kraftmarkedet. Vannkraft utgjør en stor del av det nordiske kraftmarkedet, derfor bygger i stor grad modellapparatet som mange kraftprodusenter benytter i sin produksjonsplanlegging og risikostyring på en forutsetning om at stokastiske tilsig er den viktigste driveren for utviklingen i områdeprisen. Kraftmarkedet er i stadig utvikling, noe som kan ha svekket den rollen som tilsig historisk har spilt som den viktigste driveren for utvikling i spotprisen. Sett fra et samfunnsøkonomisk perspektiv er det mye å hente på et velfungerende modellapparat. Dette er med på å forhindre kraftkriser samtidig, som det skal behandle kraftressursene så effektivt som mulig. Derfor tar oppgaven for seg å se på hvor stor sammenhengen mellom nedbør, energitilsig, magasinfylling og snømengde mot systemprisen ved Nord Pool. 1.1 Optimeringsproblemet På grunn av Norges vannkraftressurser har Norge en helt unik tilgang på rimelig fornybar energi som svært få andre land i verden har. Norsk vannkraft har også fordel med at produksjonen kan lett tilpasses forbruket av elektrisitet så lenge det er vann i magasinene. Likevel er det en viss risiko rundt dette da den totale kraftproduksjonen avhenger i stor grad av klimatiske forhold. Vinteren 2010/11 fikk strømkundene merke rekordhøye strømpriser som var resultat av en tørr høst og en kald vinter. Vannkraftverkene i det nordiske kraftsystemet kan kategoriseres inn i elvekraftverk og magasinkraftverk. Elvekraftverkene må hovedsakelig produsere mens det er vann tilgjengelig, derfor kan ikke disse tilpasse seg forbruket på samme måte som magasinkraftverkene. På grunn av den unike egenskapen et magasinkraftverk med å kunne tilpasse produksjonen etter forbruket er det mye å tjene på god produksjonsplanlegging. For å få dette til er det nødvendig å ha gode prisprognoser. Spotprisen avhenger av svært mange faktorer. I det nordiske kraftmarkedet er hydrologiske forhold antydet å være en av de viktigste driverne av spotprisen. Dette er temaet denne oppgaven skal omhandle. Oppgaven løses med korrelasjon- og regresjonsanalyse av systempris, nedbør, energitilsig, magasinfyllingsgrad og tilgjengelige ressurser. Korrelasjonsanalysen gir svar på hvor sterkt systemprisen samvarierer med de ulike hydrologiske variablene. Regresjonen bygger videre på funnene i korrelasjonsanalysen og resultatet viser hvor stor grad en eller flere hydrologiske variabler forklarer systemprisen. 1

6 1.2 Oppgavens struktur Kapittel 2 beskriver hvordan det nordiske kraftmarked er bygd opp, hvordan det fungerer og ulike karakteristikker ved kraftprisen. Det gir også et kort overblikk over oppbygningen til andre modeller som er blitt brukt til å forklare kraftpris. Kapittel 3 presenterer problemstilling, forskerspørsmål og metoden som oppgaven er utført etter. De viktigste resultatene fra undersøkelsen blir presentert og diskutert i kapittel 4. 2

7 2 Beskrivelse av kraftmarkedet I dette kapittelet beskrivelses hvordan kraftmarkedet i Norden fungerer. Først presenteres litt bakgrunnsstoff som viser utviklingen til kraftmarkedet og årsaken til hvorfor kraftmarkedet er utformet som det er. Videre beskrives hvordan det fysiske markedet fungerer og hvordan dette påvirker kraftmarkedet der kraftbørsen Nord Pool er meget sentral. Til slutt er noen eksisterende modeller som er utviklet for å forklare kraftpris beskrevet. 2.1 Forløpet til dagens kraftmarked Fram til 1990 var det hvert enkelt fylke som hadde plikt til å forsyne sitt geografiske område med elektrisitet. Kraftprisen ble satt med utgangspunkt i kostnadene ved å drive elektrisitetsforsyningen i området. I 1990 fikk Norge en ny energilov, noe som gav grunnlag for en markedsbasert omsetning av elektrisk energi i Norge. Noe av hensikten med loven var å jevne ut kostnader mellom ulike områder, at produksjon og fordeling drives effektivt og kraftprisen skulle gi signal om hvilke kraftutbygginger som kan være lønnsomme (Lindebæk-Nilsen & Strand, 2004, p. 2). Loven førte også til at Statkraftsverkene, som den gangen hadde monopol på kraftoverføring og produksjon av kraft, ble splittet i to. I dag kjenner vi disse som Statkraft og Statnett, hvor Statkraft har ansvaret for den konkurransebaserte produksjonen av kraft og Statnett har ansvar for den monopolbaserte utvikling og vedlikehold av sentralnettet (Statnett, 2009). Hovedaktørene i kraftmarkedet er produsenter, kraftleverandører, forbrukere og kraftbørsen Nord Pool. Den største andelen av omsetningen går gjennom kraftbørsen Nord Pool som leverer kraft til sluttmarkedet hvor forbrukerne befinner seg. I 2010 ble 74 % av kraften i det Nordiske markedet omsatt gjennom Nord Pool ("Striking the Balance - Annual Report 2010," 2011, p. 3). Erfaringer etter dereguleringen synes å være positive og kraftmarkedet i Norden regnes som det best fungerende kraftmarkedet i verden (Lindebæk-Nilsen & Strand, 2004, p. 3). 2.2 Kraftmarkedets virkemåte I Norge sendes produsert elektrisitet ut på et felles overføringsnett. Når kraften er sendt inn på overføringsnettet et det er fysisk umulig å skille ut hvor kraften kommer. Derfor måles produsert og forbrukt kraft. Produksjonen vil alltid tilsvare forbruk og nettap, og ut fra dette er det mulig å regne ut hvor mye forbrukeren skal betale sin leverandør av elektrisitet. Dette gjør det også mulig å kjøpe kraft som er produsert langt unna uten at kraften fysisk overføres over lange avstander. Ordningen som kalles punkttariff gjør markedsadgangen enkel for kundene og legger til rette for et landsomfattende marked for kraft (Spot). Kraftlinjene i de nordiske landene er eid av staten. I Norge er det Statnett som drifter sentralnettet, en rolle som kalles transmission system operator (TSO). TSO en er også ansvarlig for landets 3

8 Sluttforbruker Engrosmarkedet forsyningssikkerhet, noe som teknisk sett innebærer å holde nettfrekvensen mellom 49,9 og 50,1 Hz. Regulerkraftmarkedet skal sørge for at det hele tiden er balanse mellom produksjon og forbruk. Her brukes tilbud for kjøp og salg fra produsenter og forbrukere som har mulighet til å endre forbruk og produksjonsplaner på kort sikt. I tilfeller hvor forbruket blir høyere enn produksjonen vil frekvensen falle, og TSO en må sørge for at produksjonen øker (oppregulere). Hvis produksjonen blir høyere enn forbruket øker frekvensen, og da sørger TSO en at produksjonen reduseres (nedregulere) (Spot). I Norden omsettes mesteparten av elektrisiteten gjennom Nord Pool. Handelen kan også gjøres utenom Nord Pool ved at en storforbruker handles direkte av en produsent. Dette kalles bilaterale avtaler. Dette blir det stadig mindre av, men det er likevel vanlig måte å gjøre det på. Det skilles vanligvis også mellom engros- og sluttbrukermarked (Figur 2.1). I engrosmarkedet handles det mellom kraftprodusenter, kraftleverandører og store industrikunder. I sluttbrukermarkedet videreformidles kraften av en kraftleverandør til vanlige forbrukere. Produsent Produsent Eksport/Import Nord Pool Storforbruker Kraftleverandør Kraftleverandør Storforbruker Forbruker Forbruker Forbruker Forbruker Forbruker Figur 2.1 Aktørene i kraftmarkedets (Nome, 2010) Hvordan kraften produseres ellers i Europa viker veldig fra de Nordiske landene. I Norge og Norden er 98 % og i overkant 50 % vannkraft (ENTSO-E, 2008), mens i Europa er det bare 1,4 % (Sæthre & Kristoffersen, 2006). Denne forskjellen betyr at prisene i Tyskland ikke avhenger av nedbør og snøsmelting på samme måte som det Nordiske. 2.3 Kraftbørsen Nord Pool I dag består det nordiske kraftmarkedet av Norge, Sverige, Danmark, Finland. En fordel med et felles kraftmarked er at landene kan hjelpe hverandre i perioder når behovet for kraft er ekstra stort, noe som optimaliserer bruken av tilgjengelig kraft og reduserer lokale kraftunderskudd. Dette øker 4

9 Pris [ /MWh] Pris [ /MWh] samfunnsnytten og den samfunnsøkonomiske gevinsten til hvert av landene. Nord Pool-gruppen består av tre hovedkategorier; et fysisk marked, et finansielt marked og clearingvirksomhet Det fysiske markedet Elspot er det fysiske markedet på Nord Pool hvor kraften for neste døgn handles. Energiprisen fastsettes for hver time i døgnet, dette er gjort på grunnlag av aktørenes samlede kjøps- og salgsmeldinger. I 2010 ble 92 TWh i Norge omsatt på Elspot ("Striking the Balance - Annual Report 2010," 2011). Systemprisen settes ut fra skjæringspunktet til aggregerte tilbud og etterspørsel, som registreres dagen før, som vist i Figur 2.2. I denne beregningen blir det ikke tatt hensyn til begrensninger i linjekapasiteten. Når det ikke er noen flaskehalser i overføringslinjene vil områdepris tilsvare systempris. Spotprisen settes for hver time i døgnet (Figur 2.3). Bud Selg Systempris Effekt [MWh] Figur 2.2 Elspot systempriskurve (27. feb. kl. 10:00-11:00) Tid på døgnet Figur 2.3 Endring i spotpris i løpet av 27. feb. Intradagsmarkedet for handel av fysiske timekontrakter kalles Elbas. I dette markedet kan produsenter og forbrukere handle for å rette opp ubalanse som kan ha oppstått etter handelen i Elspot fram til en time før driftstimen I 2010 ble 88,9 GWh omsatt på Elbas ("Striking the Balance - Annual Report 2010," 2011). Regulerkraftmarkedet brukes som et virkemiddel for TSO benytter for å opprettholde balanse mellom forbruk og produksjon i øyeblikket når kraften produseres. Dette er for å holde nettfrekvensen på 50 Hz. Det nordiske kraftmarkedet er delt inn i ulike elspotområder, som vist i Figur 2.4. Dette skyldes begrenset overføringskapasitet i kraftnettet, da dette ikke er dimensjonert for at kraften kan produseres og forbrukes hvor som helst. Siden markedet ble deregulert i 1991 har markedet utvidet seg geografisk og nye områder har blitt opprettet. I 1996 ble en norsk-svensk utveksling etablert. Finland ble med i 1998 og Danmark i 2000 ("Striking the Balance - Annual Report 2010," 2011). De nordiske landene er delt i flere 5

10 prisområder, hvor Norge har fem. Dette blir gjort på bakgrunn av kapasitet og blir håndtert av systemoperatørene. Om prognosene viser at utvekslingen mellom områdene skulle overstige kapasiteten til kraftnettet blir det beregnet områdepriser. Dette blir beregnet ut fra aggregert tilbud og etterspørsel på hver side av den begrensede koblingen, og ny balanse mellom tilbud og etterspørsel settes. Prisen blir på denne måte lavere i overskuddsområdet og høyere i området med kraftunderskudd NO SE SE NO NO5 700 NO SE3 NO DK1 SE DK FI ERI EE ELI ELE Organisation for the Nordic Transmission System Operators Figur 2.4 Overføringskapasitet mellom de ulike prisområdene (ENTSO-E, 2011) Det finansielle markedet Produsenter og leverandører har mulighet til å sikre sine posisjoner mot svingninger i fremtidig kraftpriser. Dette gjøres ved at aktører kan kjøpe og selge opsjons- og terminkontrakter i det nordiske markedet. Kontraktene kan forhandles inntil fire år, fordelt på døgn, uker, måneder, kvartaler og år. Det kan også handles utslippskvoter av karbondioksid Clearing For å redusere den finansielle risikoen ved kjøp og salg av strøm driver også Nord Pool med clearing av kontrakter. Dette blir sett på som et viktig element i det finansielle markedet. Her fungerer Nord Pool som en kontraktsmotpart og garanterer for oppgjør av kontrakteten for alle berørte parter Tilbud / etterspørsel Etterspørselskurven i priskrysset (Figur 2.2) viser hva markedet er villig til å betale for en viss mengde effekt. Denne kurven lite priselastisk, og kan sammenlignes med en vertikal kurve 6

11 Marginalkostnad [ /MWh] Vindkraft Kull (CHP) Kull (el) Olje (el) Gass (CHP) Gass (el) Bioenergi (CHP) (Fiorenzani, 2006). Kraftproduksjonens marginalkostnad gir et godt estimat over tilbudskurven. Dette er fremstilt i Figur 2.5 i et merit order diagram, hvor installert effekt er rangert etter marginalkost Torv (el) Søppel (CHP) 10 Vannkraft Atomkraft Kapasitet [MW] Figur 2.5 Merit order diagram for Nord Pool (ENTSO-E, 2008) Vannkraft dominerer det Nordiske kraftmarkedet, og i Norge er 98 % av elektrisiteten produsert fra vannkraft (Tabell 2.1). På grunn av at prisforskjellen mellom vannkraft og de andre energikildene vil prisendringen bli større jo mindre vannkraft som er tilgjengelig. Nordel Danmark Finland Island 1 Norway Sverige Totalt forbruk [TWh] 412,7 36,1 87,0 16,6 128,9 144,1 Maksimal last [GW] 61,0 6,1 12,5 1,7 18,4 22,2 Produksjon [TWh] 414,0 34,6 74,1 16,5 142,7 146,0 Fordeling av produksjon Vannkraft [%] Atomkraft [%] Annen termisk kraft [%] Vindkraft [%] Geotermisk energi [%] Tabell 2.1 Produksjon og forbruk i de Nordiske landene (ENTSO-E, 2008) 2.4 Kraftprisens priskarakteristikker En viktig egenskap til strømprisen er at den er svært volatile og har flere unike karakteristikker sammenlignet med andre finansielle markeder. På grunn av disse er strømprisen vanskelig å beskrive på samme måte som i aksjemarkedet (Knittel, Roberts, Regulation, & Institute, 2001). De største forskjellene finnes i at prisen på elektrisitet ofte er forskjellig fra marginalkostnaden for produksjon av elektrisitet. Dessuten kan ikke elektrisitet lagres, men må benyttes i øyeblikket den 1 Er ikke på Nord Pool 7

12 produseres. Strømprisen påvirkes i utgangspunktet av faktorer knytet til tilbud og etterspørsel, som igjen er knytet til nedbørsmengde, temperatur, brenselspriser og flaskehalser i overføringsnettet (Refvik & Djupvik, 2010) Sesongvariasjoner Spotprisen beveger seg stokastisk gjennom dager, uker, sesonger og år. Det er påvist at sesongvariasjonene gjelder spesielt for det Nordiske markedet, mye på grunn av klare skiller mellom årstidene (Clewlow & Strickland, 2000). I Norge preges vinteren av lite tilsig og høyt forbruk. Årlig brukes TWh til oppvarming i bygninger, hvor 30 TWh dekkes av elektrisitet (NVE, 2009) Lagringsmuligheter Fordeler og ulemper med å ha en råvare tilgjengelig kalles ofte convenience yield. For å forklare dette begrepet bedre kan man si at en kraftprodusent har negativ convenience yield når magasinene er fulle, på grunn av at produsenten ønsker å selge i stedet for at vannet la renne utenom kraftverket. Når et kraftverk har lite vann i magasinene får det positiv convenience yield. Dette er på grunn av at de risikerer å tape inntekter om magasinet går tomt. Dette påvirker kraftprisen, da produksjon og forbruk må skje samtidig og at forbrukeren ikke har mulighet til å lagre energien (Gjolberg & Johnsen, 2001). Kraftprodusenter i Norge har derimot mulighet til å lagre energi i vannmagasiner. Dette gir skjevheter i kraftmarkedet hvor produsenten stiller sterkere enn forbrukeren Volatilitet Volatiliteten angir styrken og størrelsen på de stokastiske endringene i kraftprisen. Selv om volatiliteten ofte modelleres som konstant, kan den i seg selv være volatil og bør modelleres som en kombinasjon av tidsvarierende og stokastiske ledd (Pilipović, 2007). At elektrisiteten må brukes umiddelbart kombinert med at etterspørselen ikke er særlig priselastisk 2 på kort sikt gjør at kraftprisen blir meget volatile (Fleten, Wallace, & Tomasgard, 2001). Volatilitet er estimert til å være 189 % i det nordiske kraftmarkedet i perioden , og det er ikke funnet bevis på en ikke-stasjonær volatilitet til spotprisen (Lucia & Schwartz, 2002). Ved større etterspørsel av kraft er volatiliteten høyere og omvendt (Knittel et al., 2001). Dette gjør også at det er meget høy risiko for ekstrempriser i kraftmarkedet, noe aktørene velger å hedge 3 ved hjelp av derivater i det finansielle markedet (Refvik & Djupvik, 2010). Forskjellen mellom volatiliteten på Nord Pool og EEX er over tre ganger, hvor den hos EEX ligger på 625 % (Sæthre & Kristoffersen, 2 Liten priselastisitet medfører at endringen i prisen medfører liten endring i forbruket 3 Betyr sikring, er en investering som gjøres for å minimere eller fjerne risiko ved en annen investering 8

13 2006). Dette skyldes i at det er større kostnader ved endringer i produksjonskapasitet ved termiske anlegg enn vannkraft Mean-reversion og prissjokk Med mean reversion mens at man vil ha svingninger på kort sikt, men på lang sikt vil prisen gå mot likevekt. Prissjokk eller rask mean reversion oppstår ved unormal etterspørsel i kraftmarkedet (Lund & Ollmar, 2002). Strømprisene viser en sterk trend til mean reversion i motsetning til det som observeres i aksjemarkedet (Knittel et al., 2001). I følge en artikkel som Schwartz ga ut i 1997 er en naturlig forklaring på men reversion på råvarer er at tilbudet av varer øker som en følge av at flere produsenter med høye kostnader kommer inn i markedet. Dette er mye omtalt av Eydeland and Wolyniec (2003) og har støtte i mange andre publiserte artikler om energipriser (Benth, Kiesel, & Nazarova, 2011), (Weron & Misiorek, 2008). Prissjokk skjer ofte i kraftmarkedet. I perioden 1993 til 1999 er elspotprisens kurtose på 3,5 (Lucia & Schwartz, 2002), til sammenligning har en normalfordeling en kurtose på 3. Dette viser at det er høyere sannsynlighet for ekstrempriser i kraftmarkedet enn det en normalfordeling vil forklare. Kraftprisens skjevhet er positiv i samme periode. Det indikerer at sannsynligheten for høye prissjokk er større enn for lave priser. 2.5 Modellering av kraftpris Trenden går mot et mer liberalisert kraftmarked i Europa, noe som har gjort at interessen for å forklare kraftprisen øker. Derfor er det gjort en rekke studier som forklarer prisen. Prognoser i kraftmarkedet er nødvendig for en optimal strategi for salg av kraft i et deregulert marked. Spotprisen har ulike egenskaper som sesongsvingninger, prissjokk og mean reversion (Eydeland & Wolyniec, 2003). Sesongsvingningene kan observeres daglig, ukentlig, månedlig og årlig. Prissjokkene kan utløses av blant annet uforutsette endringer i værforhold, og går tilbake til sin gjennomsnittlige verdi i ulikt hastighet. Magasinfyllingen er en viktig variabel når spotprisen forklares (Gjolberg & Johnsen, 2001), (Botterud, Bhattacharyya, & Ilic, 2002), (Førsund, Hoel, & Mattei, 2004), (von der Fehr, Amundsen, & Bergman, 2005). De mest nærliggende arbeidet sammenlignet med denne oppgaven som er funnet, er en masteroppgave som har testet modeller basert på fundamentalinformasjon for spot- og kontraktspriser i det nordiske kraftmarkedet (Vallevik & Øyan, 2004). Ved å bruke tidligere pris, futureskontakt, hydorbalanse og temperatur har de oppnådd en R 2 på 0,92. Denne konkluderer med at det ikke er entydig hvilken faktor som har størst innvirkning på kraftprisen. 9

14 Mange andre studier av kraftprisen baserer seg også på Box-Jenkins ARIMA modell eller andre univariate modeller. Noen er utvidet til modeller med temperatur som eksogen variabel. Det er også eksempler på modeller som bruker multippel regresjon (Huovila, 2003). Nome (2010) har i sin utredning av kraftprisen i Nord-Norge bruker ARIMA i sin prognosemodell. Her er det også gjort forsøk på dynamisk regresjon med temperatur og avvik fra normalstand som eksogene variabler. Resultatene viste seg at ingen av disse variablene var signifikante når laggede prisvariabler ble tatt med. 10

15 3 Problemstilling og metode I dette kapittelet utledes problemstillingen og metoden blir beskrevet. Første del definerer forskerspørsmål, videre beskrives hvordan teorien i kapitel 3 kobles sammen med metoder for å løse problemstillingen. Framstillingen av metoder angående regresjon baserer seg i hovedsak på Studenmund (2011), mens modellering av tidsserie baserer seg på Chatfield (2004) og Tsay (2005). 3.1 Problemstilling og forskerspørsmål Forskerspørsmålene i denne oppgaven retter fokus mot hvordan systemprisen påvirkes av hydrologiske faktorer. Dette er kanskje en av de viktigste driverne for spotprisen i Norden påvirker måten produksjonsplanleggingen foregår på i stor grad. Tema og problemstilling for denne oppgaven defineres: Hvor stor innflytelse har hydrologiske forhold på systemprisen ved Nord Pool? Dette spørsmålet er en mindre del av problemstillingen som angår prising av elektrisitet. I denne oppgaven har jeg valgt å belyse problemstillingen ved hjelp av følgende forskerspørsmål: I. Hvor sterk er korrelasjonen mellom systempris og magasinfylling, nedbør, tilsig eller snømengde? II. Hvor stor forklaringsgrad har magasinfylling, nedbør, tilsig og snømengde på systemprisen? 3.2 Bakgrunn for problemstillingen En av de største problemstillingene til en vannkraftprodusent er hvordan vannet i et magasin disponeres. Det vil være ønskelig for produsenten å slippe gjennom optimal mengde vann til enhver tid. For å gjøre dette på best mulig måte er planlegging av produksjonen avgjørende. Et slikt problem inneholder en del usikkerhet, derfor må denne tas hensyn til i planleggingen. I Norden har også kraftmarkedet noen særegenheter som skiller seg fra andre markeder ved at det er deregulert og at en stor andel er produsert fra vannkraft. I 2008 ble 57 % av elektrisitetsproduksjonen i Norden (eks. Island) produsert fra vannkraft (ENTSO-E, 2008). I Norge ble over 98 % av elektrisiteten produsert fra vannkraft i samme periode. Optimering av produksjonsplanlegging er et svært omfattende tema. Det er gjort en rekke andre studier som forsøker å forklare kraftprisen på ulike måter. Noen bruker blant annet hydrologiske faktorer til dette. Likevel er omfanget av denne forskningen begrenset. Dereguleringen av det norske kraftmarkedet og opprettelsen av kraftbørsen Nord Pool ble produksjonsproblemet endret. Det regulerte markedet førte til at kraftprodusentene selv måtte sette 11

16 en verdi på kraften de produserte. I et velfungerende kraftmarked vil både kraftprodusent og forbruker ha nytte av at kraften som produseres prises på de riktige premissene. Dette skal gi insentiver til kraftprodusentene å disponere ressursene mest mulig effektivt. Gode prisprognoser er en avgjørende faktor i dette problemet. Svaret på denne oppgaven skal kunne være med på gjøre eksisterende prisprognoser bedre, eller reise nye spørsmål angående måten prisingen skjer på i dag. 3.3 Forskningsdesign Metoden oppgaven bruker til å besvare forskerspørsmålene er korrelasjonsanalyse og regresjonsanalyse. Korrelasjonsfaktoren beskriver styrken til korrelasjonen mellom systempris og gitt variabel, som brukes til å besvare det første forskerspørsmålet. For å oppnå linearitet mellom spotpris og de hydrologiske variablene utføres det transformasjon og filtrering av tidsseriene. Systemprisen og magasinfyllingsgraden blir dekomponert, dette er også med på å øke lineariteten mellom systempris og forklarende variabler. Regresjon er en av de mest brukte statistisk regneteknikkene til å beregne avhengigheter mellom en gitt variabel og en eller flere andre variabler. Mer spesifikt går dette ut på å forklare variasjoner i en variabel ved hjelp av en eller flere andre variabler. Bruk av regresjon i denne oppgaven vil kunne kvantifisere i hvor stor grad ulike hydrologiske faktorer påvirker systemprisen på Nord Pool. Regresjonsanalysens determinasjonskoeffisient gir svar på hvor stor forklaringsgrad en eller flere forklarende variabler har på systemprisen. Oppgaven fokuserer på å forklare absolutt systempris. Dette gir svar på det andre forskerspørsmålet. Regresjonen som gjøres bygger videre på funnene i det første forskerspørsmålet ved at filtre, transformasjoner og dekomponering også benyttes i denne analysen. Signifikansen til regresjonen, samt test av at forutsetningene som regresjonsmetoden som benyttes er overholdt. I forbindelse med regresjonsanalysen reises også problemstillingen om årsakssammenhengen er kausal, noe som testes med krysskorrelasjon Utfordringer Problemstillingen er omfattende og kompleks, dette har gjort det krevende å kunne sette avgrensninger som er passende for oppgaven. Oppgaven fokuserer bare på en del av det som påvirker prisen, dette gir blant annet problemer med å teste residualene i regresjonen som gjøres på grunn av at det er utelatt flere forklarende variabler. Derfor er det lagt mindre fokus på analysen av residualene. Dekomponering av tidsseriene og fjerning av trend og sesonger kan være med på å forstyrre forklaringsgraden til de hydrologiske variablene da det er ukjent hva som er årsaken disse komponentene. 12

17 3.3.2 Utførelse Mesteparten av analysene gjøres i Excel, og noe er blitt gjort med Statgraphics Centurion XVI. Statgraphics er profesjonell programvare spesialisert for statistiske analyser, og ble valgt på grunnlag av god funksjonalitet, samt et brukergrensesnitt som er forholdsvis lett å lære seg. 3.4 Empiriske data Det ble det brukt empiriske data i tidsrommet uke 36 år 1998 fram til uke Systemprisen er hentet i fra Nord Pool Spots FTP server, og timesprisen er blitt regnet om til en ukentlig aritmetisk gjennomsnittsverdi. Nedbør og energitilsig er hentet fra Agder Energi. Nedbøren er oppgitt hvert døgn, derfor har denne blitt summert sammen til ukentlige verdier Hydrologiske variabler Magasinbeholdning og nedbør er de eneste verdiene som er målt direkte. Energitilsiget beregnes ut fra energi som er blitt produsert pluss energiekvivalenten til endringen i magasinbeholdningen. Snømengden blir beregnet ved å trekke energitilsiget fra nedbøren. Alle dataene er oppgitt som GWh. Det er knyttet noe usikkerhet til nedbørsdataene på grunn av måten disse blir målt på. Dette gjelder spesielt i perioder med snø og mye vind. Dette kan påvirke MKM regresjonen (kapitel 3.5.6), som forutsetter at de forklarende variablene er målt korrekt Tilgjengelige ressurser Med tilgjengelige ressurser menes magasinfyllingsgrad og snømengde. Tilgjengelige ressurser ved tiden beregnes ved Formel 3.1 hvor er absolutt magasinfyllingsgrad i GWh og er relativ snømengde i GWh. I analyseperioden har magasinkapasiteten variert mellom 84,1 84,4 TWh, og det antas at dette ikke påvirker resultatene. blir beregnet ved å summere alle endringene i snømengden gjennom hele analyseperioden. Formel 3.2 På grunn av at er uke 36 år 1998, blir snømengden regnet som 0 GWh på dette tidspunktet. I perioder med snømengde under dette nivået er verdiene negative, slik at. I praksis er dette misvisende, men dette vil ikke påvirke resultatene fra korrelasjons- eller regresjonsanalysen. Endringene i snømengden regnes ut nedbør og tilsig : Formel

18 3.5 Korrelasjon og regresjonsanalyse Regresjon har noen likheter med korrelasjon. Korrelasjonen er et mål på lineær avhengighet mellom to variabler. I motsetning til regresjon vil ikke korrelasjon nødvendigvis føre til at den ene variabelen påvirker den andre. Korrelasjon indikerer bare om det finnes samvariasjon mellom to variabler, mens i en regresjon påvirkes den forklarende variabelen av en eller flere uavhengige. Dette gjør regresjon til et mer nyttig og fleksibelt verktøy enn korrelasjon Korrelasjonskoeffisienten Korrelasjonskoeffisienten, som ofte er kalt Pearsons, er et mål styrken og retningen til den lineære avhengigheten mellom to variabler. Verdien til denne går fra -1 til 1, hvor -1 eller 1 er perfekt korrelasjon, mens verdi lik null sier at det ikke finnes korrelasjon. Er koeffisienten positiv betyr det at blir større når blir større, er den negativ blir mindre når blir større. Korrelasjonskoeffisienten beskrives ved ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) Formel 3.4 hvor og er variabler og er antall «par» observasjoner som er gjort. Korrelasjonsfaktoren tilsvarer den kvadrerte verdien til determinasjonskoeffisienten i en enkel regresjon. Derfor brukes i stedet for når det er bare er korrelasjonene som ønskes å undersøkes. En fordel med korrelasjonskoeffisienten er den er lett å forstå. Men den sier ikke noe som hvilke av variablene som påvirker hverandre, eller om den observerte sammenhengen er kausal Determinasjonskoeffisienten En av de enkleste og mest brukte metodene til å måle regresjonens presisjon på er determinasjonskoeffisienten forklarende verdier og kvadratet av de observerte verdiene. Denne forklarer forholdet mellom regresjonens kvadrerte ( ) Formel 3.5 hvor er summen av kvadrerte feilverdier, er pluss regresjonens kvadrerte verdier. Regresjonens besvarer i hvor stor grad en eller flere hydrologiske faktorer påvirker spotprisen. Er verdien 0 er det ikke noe sammenheng mellom avhengig og uavhengig variabel, er verdien 1 forklares 100 % av den avhengige variabelen av de uavhengige. I prisprognoser ønskes derfor en så høy verdi som mulig. I en enkel regresjon kan også defineres ved å kvadrere verdien av korrelasjonsfaktoren mellom og. Den største fordelen med å bruke som mål er at den er enkel å forstå og gir en god indikasjon på hvordan modellen passer dataene. 14

19 Et problem med er at verdien aldri vil synke om det legges til ekstra uavhengig variabler. Dette resulterer i at regresjonen som inneholder flest uavhengige variabler alltid får størst forklaringsgrad, noe som ikke alltid stemmer i praksis. Derfor kan justert gi et bedre mål når ulike regresjoner skal sammenlignes da den justeres for grad av frihet. Dette medfører også at justert også kan gi negative verdier. Denne verdien brukes når antall forklarende variabler skal vurderes. Selv regresjonen bør ha så høy forklaringsgrad som mulig, er det fare for at man lager en regresjon som optimerer denne for mye. Dette vil resultere i spuriøse resultater. Derfor må regresjonen begrunnes ut fra sunn fornuft og økonomisk forståelse Regresjonens signifikans Regresjonenes signifikans testes med prob (F) og p verdier. F-verdiene gir informasjon om hvor stor sannsynlighet det er for at regresjonen som helhet er ikke statistisk signifikant. De uavhengige variablenes p-verdi sier hvor stor sannsynlighet det er for at variabelen ikke er signifikant. Med signifikant menes at det er et lineært forhold mellom variabelen og spotprisen. Sjansen for at en koeffisient er null påvirker p-verdien, mens sjansen for at alle verdiene er null påvirker F-verdien. Signifikansnivået i oppgaven er satt til 5 %, det vil si at forklarende variabler med p-verdi over 0,05 blir forkastet. Selv om en F- og p-verdiene gir svar på om den er statistisk signifikant, er ikke dette det samme som at sammenhengen er kausal. Virkning årsak forholdet er svært viktig å ta hensyn til i en regresjonsanalyse. Derfor er det nødvendig at en regresjonsanalyse brukes sammen med andre økonomiske teorier og sunn fornuft. Resultatet av en regresjonsanalyse avhenger av at de riktige variablene brukes. Med dette menes at man ikke utelukker noen forklarende variabler, og at man heller ikke tar med irrelevante variabler. I denne oppgaven undersøkes fire forklarende variabler: magasinbeholdning, nedbør, tilsig og snømengde Stegvis regresjon I en regresjonsanalyse kan man få unødvendig mange forklarende variabler å velge mellom. Stegvis regresjon er en metode som bygger en modell ved å legge til eller trekker fra variabler basert på om variablene er statistisk signifikante. -plottet viser hvor mye forklaringsgraden øker ved å legge til en variabel. Om forklaringsgraden ikke øker i særlig grad er dette tegn på at de resterende variablene ikke skal være med Systemprisfunksjonen Regresjonsanalysen gjøres med ulike modell som forklarer spotprisen med en til fire hydrologiske variabler; magasinbeholdning, nedbør, tilsig og snømengde. Utgangspunktet for regresjonen er at systemprisen kan forklares med 15

20 Formel 3.6 hvor er magasinfyllingsgraden oppgitt i prosent,,, er nedbør, tilsig og nedbør i GWh. De forklarende variablene testes ut med ulike filtre og dekomponeringer, som er forklart i kapitel 3.6 og 3.7. Vanligvis inneholder feilleddet sanne tilfeldigheter, men på grunn av at regresjonen mangler forklarende variabler kan det ikke forvente at feilleddet møter forutsetningene en MKM regresjon stiller Minste kvadraters metode (MKM) Koeffisientene til er den deterministiske sammenhengen mellom kraftpris og hydrologiske variabler. Konstantleddet i modellen er. Disse koeffisientene blir beregnet med minste kvadraters metode. I grove trekk går metoden ut på å finne en teoretisk sammenheng slik at forskjellen mellom empiriske hydrologiske data og spotpris blir minst mulig. De beregnede verdiene er en tilnærming til virkeligheten, og betegnes som og. For at resultatene fra MKM regresjon skal bli mest mulig korrekte må et sett av forutsetninger være oppfylt: 1. Spotprisen må være en lineær funksjon av de hydrologiske variablene. 2. Residualene skal ha en forventet verdi på null og sannsynlighetsfordelingen skal være normalfordelt. 3. Residualene er ukorrelerte, dvs. ingen autokorrelasjon. 4. Konstant variasjon eller homoskedastisitet i residualene. 5. Forklaringsintervallene skal være på intervallskala eller være kategoriske. Er verdiene kategoriske (bruk av dummy variabler) skal variabelen kun ha to verdier. 6. Det må ikke være perfekt multikollinearitet, dette vil si at de hydrologiske variablene er 100 % korrelert med en av de andre forklarende variablene. Derfor ønskes lite korrelerte forklarende variabler. Ved multikollinearitet blir koeffisientene ustabile og p-verdiene høye. 7. De hydrologiske faktorene må være ukorrelerte med eksterne variabler som påvirker spotprisen. Eksempel på dette kan være at nedbøren påvirker temperaturen. Selv om ikke temperaturen er med i regresjonen, kan denne også være med å påvirke spotprisen. 3.6 Transformasjoner, filtreringer og krysskorrelasjon Det første kriteriet i MKM regresjonen sier at spotprisen må være en lineær funksjon av de hydrologiske variablene, dessuten skal det også være homoskedastisitet i residualene. Dette 16

21 medfører at variablene som inngår i regresjonen må transformeres og filtreres for å oppnå kriteriene Logaritmisk transformasjon av spotprisen På grunn av prissjokkene (omtalt i kapittel 2.4.4) gjøres det logaritmisk transformasjon av spotprisen. Dette gjør det mulig å få større grad av homoskedastisitet og redusere skjevheten i sannsynlighetsfordelingen til spotprisen. På denne måten passer funksjonsformen til spotprisen bedre inn i MKM regresjonen. Den logaritmiske systemprisen blir gitt ved: Formel 3.7 Når logaritmisk transformasjon benyttes fører dette som regel til at blir høyere enn det den i utgangspunktet er. Logaritmisk transformert spotpris er benyttet i alle analysene, derfor kan resultatene sammenlignes. Skal resultatene sammenlignes med andre modeller er det nødvendig at opprinnelig spotpris regnes ut med regresjonsmodellen, for å så måles opp mot observerte verdier Filtrering På grunn av lagringsmulighetene (omtalt i kapitel 2.4.2) antas det at systemprisen reagerer lite på et en kortvarig nedbørsperiode i forhold til en langvarig periode. For å modellere denne effekten brukes det et lineært filter på nedbørs- og tilsigsserien. I korrelasjonsanalysen og MKM regresjonen resulterer dette i økt linearitet mellom spotpris og nedbør eller tilsig. Et lineært filter konverterer en tidsserie til en annen serie med en lineær operasjon. Dette er nyttig fordi tidsintervallet til de hydrologiske variablene må kanskje være forskjellig i fra tidsintervallet til systemprisen som skal forklares for å oppnå en god forklaringsgrad. Dette testes ulike tidsintervaller med ulike tidsforsinkelser, og tidsintervallet som gir best forklaringsgrad benyttes. Den filtrerte nedbørsserien for nedbør og energitilsiget beskrives med Formel 3.8 Formel 3.9 hvor er lengden på tidsintervallet og er tiden observasjonen er gjort. Den minste tidsenheten som brukes er en uke. Svingninger innenfor dette intervallet antas ikke å være særlig påvirket av de hydrologiske variablene. 17

22 Det er også gjort forsøk med eksponentiell glatting. Denne metoden går ut på å vekte senere verdier sterkere enn de første verdiene i tidsintervallet. Vektfordelingen gjøres ved å justere parameteren mellom 1 og Krysskorrelasjon I en regresjonsmodell som skal brukes i prognosering er det viktig å kjenne årsakssammenhengen. Tidsforsinkelse, eller lag, brukes til å modellere eventuelle forsinkelser som kan oppstå i systemet. Denne kan være med på å gi en indikasjon på hvordan de ulike variablene påvirker hverandre, altså årsakssammenhengen. I likhet med autokorrelasjonsfunksjonen måler krysskorrelasjonsfunksjonen korrelasjonen mot observasjon gjort på et annet tidspunkt, men måler dette mot en annen variabel. Laget beskriver tidsforskyvningen i mellom tidsseriene. Ved tidsforskyvning kan korrelasjonskoeffisienten beskrives som ( ). Har størst verdier når den hydrologiske variabelen har negativ tidsforsinkelse er dette med på å styrke hypotesen om at sammenhengen ar kausal. Dette kalles en ledende variabel. Er størst når den hydrologiske variabelens er det vanskelig å bevise årsakssammenhengen. Er størst når den hydrologiske variabelens kan dette tyde på at den er et resultat av spotprisen. Dette kan bety at variabelen egner seg lite til å forklare spotprisen. På grunn av at minste tidsintervall er en uke og at det er gjort filtreringer av tidsseriene kan dette påvirke resultatet. 3.7 Dekomponering av tidsseriene For å møte forutsetning en, to og fire som en MKM regresjon har er det nødvendig å dekomponere tidsseriene i både den avhengige variabelen og noen av de uavhengige. I en tidsserieanalyse er antagelsen om at verdier i dataene er et resultat av tidligere verdier. Det som ønskes med en tidsserieanalyse er å identifisere fenomenet og kunne forutsi fremtidige verdier i tidsserien. Første steg i dekomponeringen av en tidsserie er å identifisere mønsteret i dataene Identifikasjon av mønstre i tidsserien Den klassiske metoden dekomponerer tidsserien ned i trend, sesong, andre sykliske variasjoner og andre irregulære svingninger. Disse irregulære svingningene gjør vanligvis at mønsteret blir vanskeligere å identifisere. Derfor er det vanlig å bruke ulike teknikker for å filtrere ut støyen slik at mønsteret blir mer tydelig. En vanlig fremgangsmåte i tidsseriemodellering er: 18

23 Plot tidsserien og studer om serien inneholder trend, sesong eller andre sykliske variasjoner. Fjern funne fra tidsserien Velg en modell som passer residualene I denne oppgaven er trend og sesong mest interessante. Ved dekomponering av systemprisen kan det velges mellom additiv eller multiplikativ modell. I den additive modellen er trenden og sesongen uavhengige av hverandre, mens den multiplikative er sesongen påvirket av trenden Autokorrelasjonsfunksjonen Autokorrelasjonsfunksjonen (AKF) er et svært viktig hjelpemiddel når tidsserier skal modelleres. Denne måler korrelasjon i mellom observasjonene i med forskjellige tidsforskyvninger. AKF med tidsforsinkelser er gitt ved ( ) I et korrelogram er autokorrelasjonsfunksjonen plottet som en funksjon av tidsforsinkelsen. Visuell inspeksjon og tolkning av korrelogrammet kan gi nyttig informasjon om tidsserien. Dette kan være å se om serien er tilfeldig, inneholder autokorrelasjon, sesonger eller stasjonær Trend Systemprisen inneholder trend. To vanlige måter å beregne trenden på er ved bevegelig gjennomsnitt eller med MKM. Beregnes trenden med MKM kan dette gjøres med: Formel 3.10 Teknikken kan også bruke polynomutrykk av høyere orden. Dette gjøres ved å legge til flere ledd av opphøyd en verdi ulik en. Trenden kan også elimineres bort ved differensiering. Ved differensiering er det mulig å gjøre tidsserien stasjonær. Dette kan blant annet fjerne autokorrelasjon. På grunn av å begrense oppgavens omfang er ikke denne metoden brukt, men det kan være et godt alternativ på grunn av at kraftprisen i stor grad er bestemt av prisen som var i perioden før. Trenden i tidsserien beskriver hvordan gjennomsnittet endrer seg i det lange løp. Denne påvirker utførelsen av undersøkelsen av det første forskerspørsmålet ved at trenden korrigeres bort. I prognoser som skal gå noen få perioder fram i tid egner metoden seg godt. Skal man prognosere mange perioder fram er det mest hensiktsmessig å fjerne trenden ved å trekke fra bevegelig gjennomsnitt eller lineær trend. I det andre forskerspørsmålet er denne trenden vesentlig, derfor blir ikke prisen korrigert for trend. Mer utfyllende diskusjon er presentert i kapittel

24 3.7.4 Sesongvariasjoner Som omtalt i kapittel har kraftprisen variasjoner som skyldes forbruk og produksjon av kraft. En regresjonsanalyse med sesongjustert 4 spotpris som uavhengig variabel vil resultere i kunstig høy forklaringsgrad, på grunn av at man i dette tilfellet også forklarer spotprisen med endring i forbruk. Utelates sesongjustering resulterer i for lav forklaringsgrad. Derfor analyseres begge tilfellene, og resultatene må gjøres i betraktning av dette. Sesongjustering av de forklarende variablene diskuteres i kapitlene hvor de analyseres. En effektiv måte å korrigere for sesonger er å gjøre en regresjon for hver uke gjennom hele sesongen. Ulempen med dette er at det blir korte tidsserier i regresjonen, og spesielt i regresjoner med mange ledd blir resultatene mindre signifikante. På grunn av dette er det også gjort ved å fjerne sesongkomponenten med additiv måte. Utgangspunktet i denne metoden er å lage en funksjon som beskriver sesongvariasjonen: Formel 3.11 Her er sesongeffekten, mens er tidsserien uten sesongkomponent Spektral fordelingsfunksjonen Om tidsserien inneholder en periodisk sinusformet komponent med en gitt bølgelengde kan denne forklares som ( ) Formel 3.12 hvor er frekvensen til signalet, er faseforskyvning, er amplituden, og er den gjennomsnittlige verdien. Både og er vanligvis oppgitt i radianer. I denne går sesongen over 52 uker, derfor kan den indre funksjonen skrives som ( ). Metoden blir brukt i kapitel Innføring av ekstra ledd i modellen For å modellere kraftprisens egenskaper er det forsøkt å legge inn flere ledd i regresjonsmodellen Kryssproduktledd På grunn av convenience yield undersøkes det om at tilsig og nedbør påvirker prisen i større grad og resultere i prissjokk (kapittel 2.4.4) når avviket fra normalfylling er stort. Denne testen gjøres ved ( ) Formel Innebærer å korrigere tidsserien for variasjoner som skyldes sesonger 20

25 hvor er avviket fra normalen i prosent. Forutsetningen for testen er at prisøkningen er en lineær funksjon av magasinfyllingen Polynomregresjon Om sammenhengen mellom systempris og forklarende variabler ikke er lineære kan polynomregresjon forklare sammenhenger som passer et polynomutrykk av høyere grad. På grunn av at mange elvekraftverk ikke har mulighet til å lagre vannet som kommer, kan det forventes at økt tilsig i tørre perioder vil føre til større fall i systemprisen enn perioder med høyt tilsig. Dessuten er prisutviklingen i merit order diagramet (Figur 2.5) ikke lineært. Om dette er tilfellet vil samvariasjonen mellom systempris og hydrologisk tilsig ikke være lineær. Derfor gjøres det forsøk med følgende modell Formel 3.14 Om verdien er negativ indikerer dette at systemprisen synker raskere jo mer nedbør som kommer. Er verdien positiv synker prisen saktere, eventuelt stiger jo mer nedbør som kommer. 3.9 Residualanalyse For å kontrollere hvordan MKM regresjonen beskriver systemprisen undersøkes residualene for ulike karakteristikker. Residualene er feilverdien mellom regresjonens beregnede verdier og de observerte verdiene Autokorrelasjon Autokorrelasjon, eller seriekorrelasjon, forteller oss noe om korrelasjonen mellom verdier i den samme tidsserien. Finnes dette i residualene i denne MKM regresjonen skyldes det antageligvis: 1. En forklarende variabel er utelatt fra regresjonen 2. Den regresjonsmodellen er ikke satt opp riktig. Dette kan skyldes at sammenhengen ikke er lineær, noe MKM forutsetter. 3. Tidsserien er filtrert for mye, noe som fører til at regresjonen blir for lite «følsom» Det finnes ulike metoder å behandle modeller som inneholder autokorrelasjon. Differensiering, dvs. å bruke differansen i mellom verdiene i tidsserien, er en mye brukt metode (Box & Jenkins, 1970). Et annet alternativ er metoden foreslått av Cochrane and Orcutt (1987) Test av autokorrelasjon Den mest brukte testen for autokorrelasjon er Durbin-Watson testen. Testen tester autokorrelasjon mot verdien før og er definert som 21