Mål på beliggenhet (2.6) Beregning av kvartilene Q 1, Q 2, Q 3. 5-tallssammendrag. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 2 Mål på beliggenhet (2.6) Kvartiler: Deler de ordnede dataene inn i fire like store deler: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 1. kvartil Q 1 : 25% av dataene er mindre og 75% er større enn Q kvartil Q 2 : 50% av dataene er mindre og 50% er større enn Q 2, dvs. Q 2 er det samme som medianen. 3. kvartil Q 3 : 75% av dataene er mindre og 25% er større enn Q 3. 5-tallssammendrag: L (minste observasjon), Q 1,, Q 3, H (største observasjon) 3 5-tallssammendrag 4 Beregning av kvartilene Q 1, Q 2, Q 3 Data (n = 20): Step 1: Ranger fra minste til største: Step 2: 25% av utvalgsstørrelsen 20 blir (20)(25) 100 = 5 Sett strek i dataene etter nr 5, 2 5 = 10 og 3 5 = 15: Step 3: Sett Q 1 = = 73, Q 2 = = 77, Q 3 = tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = = 84

2 5 6 Bo and whiskers displa Data: tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = 96 Hva om 25% av n ikke er et heltall? La f.eks. n = 19. Nå er 25% av 19 lik (19)(25) 100 = Videre er = 9.5, = Boka har da som konvensjon at Q 1 = det 5. største tall, Q 2 = det 10. største, Q 3 = det 15. største (dvs. gå opp til nærmeste heltall). Hvis alle tallene er forskjellige, er da 4 tall ekte mindre enn Q 1,4 tall er ekte mellom Q 1 og Q 2 og 4 tall er ekte større enn Q 3. (Altså: Maksimum 25% av dataene ligger i hvert intervall, se tidligere figur). 7 Tolkning av standardavvik (2.7) Empirisk regel: innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 68% av dataene være. innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 95% av dataene være. innenfor tre standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 99.7% av dataene være. (Gjelder eksakt for en normalfordelt populasjon, men gir generelt en god intuisjon av variasjon i data.) 8 Eksempel på bruk av standardavvik Data: På kalkulator kan vi beregne gjennomsnitt = 77.3, standardavvik s = Fra den empiriske regelen har vi da: ca. 68% av obs ligger innenfor ett standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 10.3, dvs. mellom 67.0 og 87.6 (I virkeligheten er 14 av 20 obs, dvs. 70% her). ca. 95% av obs ligger innenfor to standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 20.6, dvs. mellom 56.7 og 97.9 (I virkeligheten er 19 av 20 obs, dvs. 95% (!) her). ca. 99.7% av obs ligger innenfor tre standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 30.9, dvs. mellom 46.4 og (I virkeligheten er alle, dvs. 100% her).

3 Gender Major Name M LA Adams F BA Argento M LA Baker F LA Se Table 3.1 s. 147 i boka, Bennett M BA som har data for 30 studenter. Brock M T Brand F LA Chun M T Crain F M 13,33 20,00 6,67 40,00 F 20,00 16,67 23,33 60,00 M 9 Bivariate data (3.2) Bivariate data: verdien av to variable som er hentet fra samme objekt i populasjonen. To kategoriske variable: Eksempel der Gender er {Male,Female}. Major er {Business Administration,Liberal Arts,Technolog}. Krsstabell gender og major, frekvens statistics: Gender; Major Tabulated Gender Columns: Major Rows: BA LA T All All Cell Contents: Count Sølegraf av tabellen over. Krsstabell gender og major, prosent av total Tabulated statistics: Gender; Major Rows: Gender Columns: Major BA LA T All All 33,33 36,67 30,00 100,00 Cell Contents: % of Total

4 40,00 54,55 22,22 40,00 F 60,00 45,45 77,78 60,00 M Design A Design B Design C Row ,33 50,00 16,67 100,00 F 33,33 27,78 38,89 100,00 M Krsstabell gender og major, prosent av total i hver kolonne Krsstabell gender og major, prosent av total i hver rad Tabulated statistics: Gender; Major Tabulated statistics: Gender; Major Columns: Major Rows: Gender Columns: Major Rows: Gender BA LA T All BA LA T All All 100,00 100,00 100,00 100,00 All 33,33 36,67 30,00 100,00 Cell Contents: % of Column % of Row Cell Contents: Boplot for de tre tpene bildekk En kategorisk og en numerisk variabel Eksempel med stopplengder for tre tper bildekk (Table 3.7 s. 151 i boka)

5 Student Push_Ups Sit_Ups Row To numeriske variable: Eksempel: Antall push ups og antall sit ups for ti tilfeldig valgte studenter. 18 Spredningsplott ( scatter diagram ) Plott av antall sit ups mot antall push ups Eksempel: Punkt nederst til venstre: push ups er 15, sit ups er 25. Spredningsplott: Plott av armstrke mot gripestrke for 149 håndverkere. 20 Lineær korrelasjon (3.3) Lineær korrelasjon måler lineær sammenheng mellom to variable. Med positiv korrelasjon menes at hvis vokser, har også en tendens til å vokse. Med negativ korrelasjon menes at hvis vokser, har en tendens til å avta. Her er ingen korrelasjon:

6 Positiv korrelasjon (0.5) Negativ korrelasjon (-0.5) Perfekt positiv korrelasjon (1) Perfekt negativ korrelasjon (-1)

7 Ingen lineær korrelasjon (men tdeligvis en ikke-lineær sammenheng) 26 Pearsons produktmomentformel Numerisk mål på strken av den lineære korrelasjonen: Den lineære korrelasjonskoeffisienten r: ( )( ȳ) r = (n 1)S S hvor S og S er standardavvikene til og Enklere formel hvor r = SS() SS()SS() SS() = 2 ( ) 2 n SS() = 2 ( ) 2 n SS() = n 28 Beregning av den lineære korrelasjonskoeffisienten r

8 30 Å forstå den lineære korrelasjonskoeffisienten r (fra boka) 31 Eksempel på metoden for å anslå korrelasjonskoeffisienten r 32 Årsakssammenheng (kausalitet) og skjulte (latente) variable Skjult (latent) variabel: En variabel som har en viktig effekt på sammenhengen mellom de observerte variablene, men som ikke er inkludert i undersøkelsen. Dersom det er sterk korrelasjon mellom to variable kan en ha at: Det er en direkte årsakssammenheng mellom de to variablene. Det er en reversert årsakssammenheng mellom de to variablene. Sammenhengen skldes en tredje (eller flere) skjulte variable Sammenhengen kan være helt tilfeldig.

9 33 Advarsel En sterk korrelasjon betr ikke nødvendigvis årsakssammenheng! Eksempler: Sammenheng mellom iskremsalg og antall drukningsulkker i juli måned. Det ble i sin tid påvist sammenheng mellom antall storker og antall barn i ulike regioner i Danmark. Forklaringen var at det er flere barn på landet, der det også er flere storker, ikke at barn kom med storken! Merk også: Kausalitet kan ikke påvises i observasjonsstudier. (Det vil alltid kunne være en bakenforliggende skjult variabel). 34 Lineær regresjon (3.4) Motivasjon: Korrelasjon er et mål på lineær sammenheng mellom to variable, men den gir oss ikke noe anslag for en av variablene når verdien av den andre er gitt. For eksempel: Gitt at en student tar 40 push-ups, hvor mange sit-ups kan en da anslå at han tar? I lineær regresjon antas at det er en sammenheng av formen: ŷ = b 0 + b 1 som er formelen for en rett linje i matematikken. EKSEMPEL: Plot av sit-ups mot push-ups og linjen ŷ = b 0 + b 1 med b 0 = 14.9 ogb 1 = 0.66 funnet ved minste kvadraters metode. 36 Minste kvadraters ( least squares ) metode Modell: ŷ = b 0 + b 1 Ide: Velg b 0 og b 1 slik at kvadratisk avvik mellom ŷ og for punktene i spredningsplottet blir minst mulig. Da er b 1 = ( )( ȳ) ( ) 2 For = 40 push ups, anslår ( predikerer ) vi dermed antall sit-ups til å være ŷ = = med ekvivalent formel b 1 = SS() SS(). b1 og b 0 = n

10 37 Prediksjon Av spesiell interesse er det å kunne gjøre prediksjoner basert på verdier av. Dette gjøres ved å sette inn verdier i uttrkket ŷ = b 0 + b 1 Eksemplet vi så på: Gitt at en student tar 40 push-ups, predikerer vi antall sit-ups til Husk: Prediksjonen er bare gldig for elementer i populasjonen som utvalget stammer fra. Prediksjonen er usikker utenfor tpiske verdier. Sammenhenger mellom variable endres i tid. ŷ = b 0 + b 1 = = 41.3