Forventet avkastning på aksjeindeksobligasjoner

Transkript

1 Forvee avasg på asedesoblgasoer See Koeebaer og Valer Zaamole Is for øoom Høysole Agder Sammedrag Asedesoblgasoer er bl e poplær spareform Norge, og mage velger også å låefasere sle veserger. E av gree l dee er vlsom a apspoesale er begrese. De har frem l å vær svær le fos på gevspoesale l dsse prodee. I dee arele forlarer v hvorda v a berege forvee avasg på asedesoblgasoer. V esemplfserer med o proder som ble laser av DB høse. Selv med opmsse aagelser om forvee avasg asemarede, vser de seg a forvee avasg på dsse prodee så vd oversger rsofr ree. Ved låefaserg fer v a dee har egav forvee avasg.. Iledg Srrere proder er e heeroge grppe av vesergsalerav som omberer le faselle srmeer. Asedesoblgasoer AIO lhører dee famle av veserger, og de besår av e oblgaso og e øpsopso. Basdd med aseavasg BMA lsvarer e AIO, me her er oblgasoe bye med e basdd. Ved øp av e oblgaso, a øper rsere a seder av oblgasoe e er bealgsdyg ved forfall. Basdd dermo, er sre med oppl mlloer orse roer Baees srgsfod. Ser v bor fra redrso, er dsse prodee dese. Klype 6 gr e overs over marede for srrere proder Norge. De førse asedesere prodee ble rodser Norge dlg på 99-alle, og fra mde av 99-alle har prodee av bl maredsfør mo prvamarede. De flese sore baer og eele verdpaprforea lbyr dag sle proder. I følge Nordea ba ble de 5 solg srrere proder for a. 3 mllarder roer. I prvamarede har dsse prodee bl de forere vesergslasse fremfor radsoelle asefod. Prodee blr mage lfeller også låefaser. De har frem l å vær svær le fos på gevspoesale l dsse prodee. I dee arele forlarer v hvorda v a berege forvee avasg på asedesoblgasoer. V esemplfserer med o asedesoblgasoer som ble laser av DB høse ; GLOBAL /6 og SEKTOR /6. For dsse prodee fer v a forvee avasg er svær lav, og ved låefaserg av dsse spesfe prodee fer v a dee har egav forvee avasg. E bredere dersøelse av marede for srrere proder vl e svare på om dsse o prodee er represeav for dee ype veserger. I del gr v e or besrvelse av asedesoblgasoer, og del 3 dserer v hvorda le faorer påvrer forvee avasg l dsse oblgasoee. I del 4 gr v e or besrvelse av DBs o asedesoblgasoer. Vdere forlarer v hvorda v har berege parameree som lgger l gr for aalyse. I del 5 preseerer v forvee avasg l e veserg hver av prodee både gelds- og egeapalfaser. V øser å ae Oo Aderse, Høysole Agder, for yge ommearer og spll.

2 . Asedesoblgasoer E asedeser oblgaso besår av e llpogoblgaso og e opso. Prode gr vesor e garaer msebeløp ved forfall pålydede. Valgvs preseeres verde V av prodee på forfallsdspe på følgede måe: V P+ P AF C hvor P er pålydede l oblgasoe, AF er avasgsfaore også al delaergrad mål prose og C er opsosbealge. Ubealge fra opsoe er yps g som e avasgssørrelse C S S T max, S hvor S er prse på de derlggede avm opsoe er sreve på. Fosrfee derer sar dsp og sldao dsp T for opsoe. Opsoe lgg er e øpsopso, da de gr gevs hvs avasge er posv. Dersom verdvlge er egav, gr opsoe ll avasg. Sde opsoe a forfalle verdløs C på dsp T, er vesore garaer P ved forfall. Ofe er prodee osrer sl a vesergsbeløpe er l beløpe som er garaer ved forfall. Teggsomosger ommer valgvs llegg. Ved egeapalfaserg aper vesor alså masmal aleraveee plss eggsosadee. Ved geldsfaserg aper vesor masmal fasergsosadee plss eggsosadee. 3. Forvee avasg l e opso I llegg l apspoesale vl e vesor også være eresser hvor sor oppsde for veserge er. Komberer v de le fallee for veserge med sasylghee for de le fallee, fer v forvee verd av prode ved forfallsdspe. I lgg er både P og AF osaer. For å fe forvee verd må alså vesore rege forvee opsosverd lgg på sldspe. Dee er e e hel le obb, og rese av dee arele er deder dee oppgave. V sal rege på oe oree esempler de ese sesoee, me førs sal v or dsere le faorer som påvrer forvee avasg l opsoer som v yps fer asedesere proder. Uderlggede des: Jo sørre sggspoesale forvee avasg de derlggede dese, deso sørre forvee avasg på opsoe. Prse på opsoe, hehold l Bla-Sholes modelle, påvres e av forvee avasg, me de gør alså forvee avasg l opsoe. Ubye: Som asoær e selsap vl avasg yps omme form av rssgg og/eller dvdede. E selsap som bealer mye dvdede, vl, al ae l, oppleve mdre avasg form av rssgg e e selsap som e bealer dvdede. Opsoselemee asedesere proder er ye l rssgge verde av e asedes på e fremdg dsp. Eele deser er byeser DAX-dese Tyslad, dvs. a dvdede blr reveser me Eele asedesoblgasoer gr e garaer mseavasg som er sørre e ll. I e sl lfelle a ST S opsoselemee besrves som C max, x%, hvor x er e sl mseavasg. S

3 de flese asedeser er e byeser. Jo høyere dvdedebealger e e-dvdedeser des, deso lavere forvee avasg for vesor. Volale: Volale er e mål på rssvgger dese. Sde e eer av e opso får gevs ved gsge fall, me har begrese edsde, vl høyere volale g ø sasylghe for gsge fall, og dermed høyere forvee avasg. Mer: Prse på opsoe vl øe som følge av ø volale, me aar v a prse på opsoe er g, vl ø volale g høyere forvee avasg. Korrelaso: Ofe er opsoe sreve på e ved s av flere derlggede deser. Hvs dsse desee er ser orrelere går a er dversfsergseffee le. Ved lavere grad av orrelaso, vl volalee l e ved s bl veselg lavere e volalee l desee eelvs. De vl s dversfsergseffee redserer sasylghee for svær gode og svær dårlge fall fr. volaleseffee over. 3 Geomssberegg: E sadard eropes opso har yps defer avasg forhold l prse på derlggede asedes på e g fremdg forfallsdsp. I de srrere prodee er avasge ofe ye l geomse av derlggede des sle av prodes leved. Dee alles ofe e asas hale, sde geomssbasere opsoer har få beevelse asase opsoer. Jo legre asas hale, deso mer redseres volalee l de derlggede des, og deso mer redseres forvee avasg l opsoe. Vala: de flese asedesere proder har vesor ge valaespoerg. De vl s a avasge defer er mål de loale vala l de lhørede dese. For esempel måles avasge l e ameras des dollar. Prse på dollar mål orse roer påvrer e e eveell opsosbealg. Dee ype opsoer alles Qao-opsoer. 4. Forseger ved vrderg av Global og Seor Høse lasere DB o asedesoblgasoer: DB asedesoblgaso seor /6 e løpede ree Seor og DB asedesoblgaso global /6 e løpede reer Global. Global er deser mo 3 globale deser Eropa, USA og Japa, mes opsoselemee l Seor er ye mo 3 brasespesfe eropese deser. Iformaso om de o prodee er oppsmmer abell. For å vrdere forvee avasg l hver prod reger v å å fe paramere for forvee rssgg, volale og orrelaso for de le deldeser. V sarer med forvee rssgg. Global Seor Sar og forfall Pålydede % % Delaergrad 5% % Uderlggede 5% Ero STOXX5 5% S&P5 5% Ne5 33,33% STOXX Healhare 33,33% STOXX Teleom 33,33% EURO STOXX Ba Ubye Ie byeser Ie byeser 3 E asevesor og e opsosvesor forholder seg l orrelaso dversfserg og volale på forsellg måe. E rsoavers eer av e aseporeføle øser seg, for e g forvee avasg, høy dversfsergseffe, og dermed lav volale. Dee påvrer e forvee avasg l poreføle, bare spredge rd forvegsverde. Høyere volale gr høyere rso. E rsoavers eer av e opso sreve på dese øser seg e høyes mlg volale. Avasge l e opso er e-leær fso av derlggede avm gevs ved gsg fall, ge gevs ved gsge, vl ø volale vde fallsromme på oppsde, mes edsde forblr de samme. Dermed øer forvee bealg l opsoe med ø volale.

4 Vala Ige valaespoerg Ige valaespoerg Tabell : Spesfaso av prodee Global og Seor. Forvee rssgg Som ev a oalavasg e poreføle av aser omme både form av rssgg og dvdede. I aalyser av asemarede er de valg å fosere på oalavasge. Toalavasge deles ofe opp e rsofr avasg plss e rsopreme. E vesor a velge å vesere rsofr sasoblgasoer. Dersom ha sal påa seg rso for ap, vl ha øse e rsopreme for å bære dee rsoe. Rsopreme deferes ofes som forselle mellom avasge asemarede og pegemarede. Elroy Dmso, Pal Marsh og Me Sao fra Lodo Bsess Shool har lege ha e samarbed med ABN- AMRO e felles besrebelse på å samle og pblsere hsorse all for avasg oblgasos- og asemareder verde rd. I ga de boa The Mllem boo A ery of vesme rers. I ble e oe vde verso av boa g, å der ave Trmpf of he opmss: years of global vesme rers. Da prodee v dersøer ble laser mo sle av, beyer v daa som var lgegelg på dee dsp. For alle lesere som er eresser apalforvalg, abefaler v boa fra på de serese. I perode 9- har de geomerse geomse for rsopreme Japa og USA vær heholdsvs 6.7% og 5.8%. 4 De fes e lsvarede all for Eropa samle. E ved geoms for Belga, Damar, Frare, Tyslad, Irlad, Iala, Nederlad, Spaa, Sverge og UK lser e erops rsopreme for hdreårsperode på 5.3%. V velger å bre dsse allee også for fremdge forvee rsopreme. Me v vl dersree a dsse allee er oe høye som progoser. De fes flere grer l dee, me de vgse er ase a rsopreme e er osa, me har ava eer adre verdesrg som følge av avaede pols rso ferg av hadelsbarrerer, ge ye verdesrger, avblåsg av de alde rge e.. E lavere rsopreme vl bdra l e re-prsg de erasoale asemaredee, me e sl re-prsg a e forvees å gea seg. Dee beyr a e geomslg rsopreme for hele forrge århdre vl g e for høy aslag på fremdg rsopreme. Temae drøfes grdg apel 3 Dmso, Marsh ad Sao. Forfaere aslår e fremdg geomers rsopreme på mellom.5%-4% USA og UK og 4%-5% på e verdesporeføle. V velger level dee dersøelse å bre de asllg høyere hsorse allee som progoser på fremde. Dee har v gor for srere å e oldere forhold l forvee avasg l prodee. Dersom prodee gr lav forvee avasg, selv med opmsse aslag på forvee rsopreme de derlggede desee, a v med sor grad av serhe oldere med hvorvd prodee er dårlge vesergsalerav. Samme med de rsofre ree foreller rsopreme oss oe om sggspoesale l asemaredee, me v må sere for dvdedebealgee. Dee dreeavasg ommer asoæree l gode, me e e perso som veserer e opso sreve på e des. Dvdedebealger varerer ser over d, og mo sle av forrge årse. V brer måedlg observasoer de sse fem år frem l ovember for de le deldeser. De årlge prosevse dvdede for heholdsvs Ne5 5, S&P5 og Ero 4 Når v brer hsorse all for rsopreme for å aslå fremdg preme over flere år er de geomerse geomssall som må beyes fremfor e sadard armes geoms. Se apel 4 Krzma for e grdg geomgag av forselle armes og geomers geomslg avasg. 5 Da v e byeall for Ne5 lgegelg valge v å gøre byebereggee for de apase TOPIXdese.

5 STOXX5 er berege l heholdsvs.8%,.7% og.7%. Som rsofr ree har v beye ree på e sesårg sasoblgaso for Japa, Eropa og USA. V a å fe årlg forvee rssgg for Global førse del av abell. Rsofr ree 6 år Rsopreme Dvdede Krssgg Global Ero STOXX5 5.35% 5.3%.7% 8.58% S&P5 6.8% 5.8%.7%.7% Ne5.% 6.7%.8% 6.5% Seor STOXX Healhare 5.35% %.43% 8.5% STOXX Teleom 5.35%.8 5.3%.95% 9.% STOXX Ba 5.35% %.84% 8.7% Tabell : Forvee årlg rssgg for Global og Seor. Forvee rssgg oloe 5 fremommer ved å ree fra forvee dvdede oloe 4 fra smme av rsofr ree oloe og 3. Sde prode Seor er ye opp mo eropese brasedeser, velger v å beye apalverdmodelle for å fe forvee avasg l dee prod. V aveder 5.3% som rsopreme for dee marede og de sesårge eroree ovember. Da a forvee oalavasg på hver deldes fes ved help av sammehege Toalavasg rsofr ree + β rsopreme 3 V har beye e bred eropes des for de eropese marede Ero STOXX6 og esmer verde for bea ved å bre 6 måedlge observasoer for for ovember for deldesee og maredsdese. De esmere verdee for ß er.799,.8 og.484 for heholdsvs STOXX Healhare, STOXX Teleom og STOXX Ba. Dvdedebealgee for desee er berege som forlar over, og årlge dvdedebealer er på heholdsvs.43%,.95% og.84%. Tallee for begge prodee er geg abell. Korrelaso og volale I llegg l forvee rssgg reger parameere for volale og orrelaso. Ige har v br sse 6 måeders avasgsall for de le desee og deldesee. Reslaee av bereggee er geg abell 3. Volale Korrelasoer Global STOXX 5 S&P 5 Ne 5 STOXX 5 9.6%. S&P 5 6.6% Ne 5.36% Seor STOXX Healhare STOXX Teleom STOXX Ba STOXX Healhare 9.97%. STOXX Teleom.36%.548. STOXX Ba.36% Tabell 3: Volale og orrelasosparameere for Global og Seor

6 5. Forvee avasg l Global og Seor Tabell og 3 eholder de ødvedge parameree for å rege forvee avasg. Verøye v beyer er Moe Carlo smlerg. For hver av prodee smlerer v måedlge realserger av 3 orrelere asedeser for de ge parameerverdee. V aar a geomerse avasger er ormalfordele. Fra lgg a v så rege hvor sor opsosgevs v får for e eel smlerg. Dee geas gager, og forvee verd av prode fes ved å a geomssverde over alle smlergee. Her er de vg å få med de asase hale. Fas har dsse prodee asase haler både begyelse og sle av prodes leved. For Global reges sarverde S som de armese geomse av verdee de 4. ovember og. desember for hver eel deldes måeder. Mes for Seor reges sarverde som de armese geoms av verdee de 4. ovember,. desember og 4. aar for hver eel deldes 3 måeder. Slverde S T for Global er oppg som de måedlge armese geoms perode fra og med ovember 5 l og med ovember 6 for hver eel deldes 3 måeder. Slverde for Seor er oppg som de måedlge armese geoms perode fra og med ma 5 l og med ovember 6 9 måeder. V a rege slverde for hele prode fra lgg. Dee geas gager. Geomssverde for alle smlergee represeerer forvee slverd for asedesoblgasoe. Forvee avasg ved egeapalfaserg For asedesoblgasoer er de edre ape er begrese l eggsomosger og ape aleraveer. La oss esempelvs ee oss e vesor som velger å ege seg e av dsse prodee med. I llegg må ha beale 45 eggsomosger, sl a de oale veserge er 45,- Dersom opsoe forfaller verdløs vl ha moa ses år seere. Dee lsvarer e egav avasg på -4.3% over sesårsperode eller -.73% årlg. La oss vrdere e alerav veserg sasoblgasoer. Høse var sesårs sasoblgasosree 6.3%. Ved å vesere sasoblgasoer l 6.3% ree vl ha sege l eller 44.8% løpe av ses år. E sl veserg srer de samme forme om ses år som mmmsavasge hver av dsse prodee. Forselle er beløpe de øper opsoer for, eller 3.7% av de oale vesergsbeløpe. Dee er de masmale beløpe de a ape ry -roer. V ser fra dee esempele a e asedeser oblgaso er e rsabel veserg, hvor v rsere å ape lsvarede 3.7% av de vesere apale løpe av a 6 års perode. Me hvor sor er sasylghee for ap eller gevs på dsse prodee? I abell 4 preseerer v oe all fra våre smlerger.

7 Teggsomosger.5%.5%.5% 3.5% 4.5% "Global" Forvee av. 6.39% 6.8% 59.34% 57,59% 56.% Sas. eg. av 4.6% 4.54% 5.4% 5.98% 6.54% Sas. max ap 3.8% 3.8% 3.8% 3.8% 3.8% Sas. < 6.3% p.a % 47.38% 48.% 49.4% 5.% "Seor" Forvee av. 57.8% 55.7% 54.5% 53.% 5.4% Sas. eg. Av.%.9% 3.4% 4.% 4.9% Sas. max ap.7%.7%.7%.7%.7% Sas. < 6.3% p.a. 53.5% 54.5% 55.5% 56.% 57.% Tabell 4: Forvee avasg og apssasylgheer for egeapalfasere proder Hver av oloee abell 4 represeerer e g vå for eggsosader. For begge prodee påfølger følgede eggsosader; l mllo 4.5%, - mllo 3.5%, -3 mllo.5%, 3-5 mllo.5% og over 5 mllo.5%. Forvee avasg løpe av sesårs perode lgger mellom 5% og 63% avhegg av ype prod og vå på eggsomosgee, Global lgger oe høyere e Seor. Rsofr veserg 6.3% p.a. gr l sammelgg 44.8 %. Dee ebærer a asedesoblgasoee har rsopremer over rsofr ree sørrelsesorde.9% -.%. De sse 3 radee belyser rsoe l prodee. Masmal ap oppsår år opsoee forfaller verdløs. Dee ser 3.8% av lfellee for Global og.7% for Seor. Sasylghee for a e sasoblgaso gr høyere avasg e e asedesoblgaso lgger ervalle 46.35% - 57.%. De a vedes mo våre merse beregger a de er vaselg for e vesor å oppå 6.3% rsofr avasg eer eggsosader. Me selv med e edserg av de rsofre alerave er de le vl om a vesor svær le grad blr ompeser for de rsoe ha påar seg ved øp dsse prodee.

8 ,3,5 Sasylghe,,5, Seor Global,5 < % -3% 3-6% 6-9% 9-% -5% 5-8% > 8% Årlg avasg Fgr : Sasylghesfordelg for avasger l Global og Seor med % egeapalfaserg 4.5% eggsomosger Hva med oppsde for prodee? I fgr har v prodser sasylghesfordelgee for avasgee for egeapalfasere proder med høyese eggsomosger. Mer a fgre rapporerer årlg avasg. V ser a Global har mdre sasylghe for egav avasg og ev over høyere forvee avasg e Seor. Hovedforselle forvee avasg mellom de o prodee lgger geomssberegge. Jo legre perode for geomssberegge er, deso mdre er forvee avasg. Sasylghee for å oppå e avasg over 9% årlg have for e av de 4 sse søylee er a 3% for prodee. Forvee avasg ved geldsfaserg Reslaee abell 4 er baser på % egeapalfaserg. E ree asedesoblgasoer er faser ved lå. La oss aa a e perso låefaser % e veserg e av dsse prodee med e årlg effev fasree på 8.75%. 6 La oss for eelhes syld aa a låe s helhe blr lbaebeal på forfallsdspe. I så fall må v beale lbae +8.75% %. Tabell 5 vser forvee avasg på låebeløpe eer beeg av geldsforplelser. 6 Dee represeerer de effeve ree på e reell låeora gå mellom DB og e sparede forbdelse med veserg dsse prodee høse.

9 Teggsomosger.5%.5%.5% 3.5% 4.5% "Global" Forvee av. -3.4% -4.69% -6.% -7.36% -9.4% Sas. for egav av. 6.89% 6.77% 6.6% 63.5% 66.% Sas. Max ap 3.8% 3.8% 3.8% 3.8% 3.8% Shorfall avasg -4.43% -4.% -4.53% -4.3% -4.6% "Seor" Forvee av. -8.3% -9.8% -.9% -.4% -4.% Sas. for egav av. 65.9% 66.5% 67.% 68.% 68.9% Sas. Max ap.7%.7%.7%.7%.7% Shorfall avasg -45.7% % -46.3% % % Tabell 5: Forvee avasg for geldsfasere proder med 8.75% p.a. effev ree. Ivesore a for alle vå av eggsosader forvee å ape peger. Ved geldsfaserg har dsse prodee e egav rsopreme! Sasylgheee for masmal ap er foradre. I så fall aper vesor 65.4% rege prose av låebeløpe. Låer e vesor peger l e veserg Seor Global pålydede e mllo er de.7% 4.6% sasylg a ha aper 654,- over sesårsperode. Sasylghe for egav avasg lgger ervalle 6.89% %. De er alså /3 sasylghe for a gevse på prodee e er lsreelg l å beee låe. Shorfall avasg represeerer forvee ap g a prodes avasg e er sad l å beee låe. De er med adre ord /3 sasylghe for e ap på 4%-47% av lå beløp.,8,7,6 Sasylghe,5,4,3,, Seor Global < % -3% 3-6% 6-9% 9-% -5% 5-8% > 8% Årlg avasg Fgr : Sasylghesfordelg for avasger l Global og Seor med % geldsfaserg 4.5% eggsomosger For å vrdere oppsde ved geldsfaserg av prodee har v fgr ploe sasylghesfordelgee for avasgee. Ige rapporerer v sasylghesfordelge l aegore med høyes eggsomosger. E årlg avasg prose av lå beløp på mer e 6% 9% reffer a 5% % av lfellee.

10 5. Oppsmmerg og olso Temae for dee arele er forvee avasg l asedesoblgasoer. Uderlggede des, bye, volale, orrelaso og legde på geomssperode påvrer alle de forveede avasg dsse prodee gr. V har dersø forvee avasg l proder laser av DB høse. V har valg å bre aslag på forvee rsopreme som er relav høye. E høy rsopreme brde slå høy forvee avasg på prodee. Selv med svær opmsse aslag på esraavasge asemarede er reslaee form av forvee avasg l vesor edslåede. Dersom veserge faseres med egeapal, gr prodee margal bedre forvee avasg e e rsofr plasserg. Samdg er rsoe dsse prodee beydelg. Når veserge låefaseres, spser baes reemarg opp de llle rsopreme dsse prodee lbyr, sl a forveede avasg blr egav. Med lavere og mer realsse aslag på forvee rsopreme, vlle avasge vær eda dårlgere, og posv forvee avasg vlle vær vaselg å oppå selv på egeapalfaser veserg. Er alle asedesoblgasoer le dårlge vesergsobe? De er mlg å geeralsere på bagr av e dersøelse av bare o proder. Me de er dessverre ge gr l å ro a DB s proder er spesel mye dårlgere e orreees. Hvorfor velger småsparere å låefasere svær rsable ava hvor de må forvee å ape peger på rasasoe? De er gr l å ro a dsse prodee er for vle l a de gegse småsparer larer å geomse de dårlge oddsee prodee gr. I så måe må ha ha ll l rederlg rådgvg fra fasssoee. Dee dersøelse yder på a alle fall e alle fasssoer foreer e sl ll. Referaser Bode, Z., Kae J. og A. J. Mars, 5, Ivesmes, MGraw-Hll, New Yor. Dmso, E., Marsh, P. ad Me Sao,, The mllem boo: A ery of vesme rers, ABN Amro ad Lodo Bsess Shool. Dmso, E., Marsh, P. ad Me Sao,, Trmpf of he opmss: years of global vesme rers. Preo Uversy Press. Preo NJ. Klype, J., 6, Srrere proder, apel 4 Reppe red., Alerave veserger, Gyldedal Nors Forlag. Krzma, M. P.,, Pzzles of fae Sx praal problems ad her remarable solos, Joh Wley & Sos, New Yor.

11 Tes appeds Modelle V aar a hver eel deldes,,3 følger e oerlg geomers Brows bevegelse med dyam g ved ds µ δ S d + σ S dw, 4 hvor S er deldesverd på dsp, µ er forvee rssgge der forsege a alle dvdeder re-veseres, δ er dvdederae, σ er volalee, og W er e Brows bevegelse. Vdere forseer v a dw dw d, hvor er orrelasosoeffsee mellom deldeser og. Mer a rsopreme l deldes er g ved µ r, hvor r er rsofre ree. Lgge 4 ebærer a hvs v eer verde av deldes på dsp, S, og llegg eer alle parameree, så er verde av deldese på e seere dsp T er g ved S T S exp µ δ σ T + σ W T W. 5 E vg egesap l e Brows bevegelse, som v beyer oss av smlergee, er a W T W er ormalfordel med forveg og varas T-. Esmerge av volaleer og orrelasosoeffseer La oss føre oasoe S for e observaso av e av deldesee. Her er +,,,,...,, er dspe for de førse observasoe og er dspe for de sse observasoe. V beyer måedlge observasoer for esmerg av volaleer og orrelasosoeffseer, og følgelg har v a måed. U fra lgge 5 ve v a S + l µ δ σ / + σ ε S, hvor ε er e sadard ormalfordel varabel. Dermed a volalee over + observasoer bereges samsvar med

12 σ, hvor +. Korrelasosoeffsee mellom deldes og deldes fer v ved å beye +. Smlerge av opsosavasge I våre proder er opsoe baser på re derlggede deldeser,,3. For å smlere opsosavasge må v smlere måedlge deldesverder. U fra lgge 5 ve v a g deldesverde på dsp, a v smlere verde l deldese på e fremdg dsp + ved å beye + + exp S S ε σ σ δ µ. Hs a orrelasosoeffsee mellom ε og ε er g ved. De vl s, v må smlere re sadard ormalfordele varable med ge orrelasosoeffseer. Dee er e e hel eel oppgave. Vår smlergsalgorme er baser på e e som alles Cholesy deompoerg. G orrelasosmarse Σ , reger v å rege øvre raglærmarse C sl a Σ C C T. På hver dsp smlerer v re avhegge sadardormalfordele varabler ξ. Verdee l ε fer v fra ξ ξ ξ ε ε ε. De vl s,

13 3 ε ξ. Eer å ha smler måedlge deldesverder S,,,,, v a berege opsosavasge g ved 3 forfall sar S S C max ω ; sar, S sar hvor ω represeerer veee l hver eel deldes, S er armese geomse begyelse av prodes leved S sar m + m S, og forfall S er armese geomse på sle av prodes leved S forfall S l +, sl a < m < l <. l