Innholdsfortegnelse Sammendrag Innledning Teori 2.1 Slug -modell 2.2 Elementer fra klassisk regulerings teori

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Innholdsfortegnelse Sammendrag Innledning Teori 2.1 Slug -modell 2.2 Elementer fra klassisk regulerings teori"

Transkript

1 Saendrag Tradisjonelle odeller for flerfase strøning er ofte bygget opp av partielledifferensial ligninger. Slike odeller er ofte kopliserte, og derfor lite egnet til regulerbarhets analyser og for å se på regulering strukturer. Det er her brukt en forenklet odell av gravitasjons-induset slug-strøning. En regulerbarhetsanalyse ble gjort. De ble sett fe ålepunkter: Oppstrøs trykk(p ), nedstrøs trykk foran choke ventilen(p 2 ), tetthet gjenno choke ventilen(ρ T ), total assestrø gjenno choke ventilen(w) og total volustrø gjenno choke ventilen(q). Systeet har ustabile poler. P ble funnet å være det beste ålepunktet da den ikke gir inversrepons og ikke har nullpunkter nær iaginær akse. P 2 og ρ T går ikke an å bruke so ålepunkt i en stabiliserende regulator, p.g.a. uforenlige båndbredde begrensninger fra ustabile poler og nullpunkter so gir inversrespons. Q og w har nullpunkter nær eller på iaginær akse. Med disse so ålepunkter for tilbake kobling vil an få et tilnæret integrerende syste. P-, PI-, PID- regulatorer ed P so ålepunkt stabiliserer systeet. P- regulatoren gir stasjonæravvik. PI- og PID- regulatorene klarer også settpunksendringer. Kaskaderegulering ed Q so ålepunkt for indre sløyfe og P 2 so ålepunkt for ytre sløyfe, klarer også å stabilisere slug-strøningen. Denne regulatoren stabiliserer seg også på nye settpunksendringer. Når ålepunktet P 2 gir invers respons gir det en øvre begrensning i båndbredden til den ytre sløyfen. Kaskadereguleringen gir tregere respons enn hva regulering ed P so ålepunkt gjør, p.g.a. båndbredde begrensningene i ytre sløyfe. 0

2 Innholdsfortegnelse Saendrag Innledning Teori Slug-odell Antagelser for slug-odell Notasjon for slug-odell igninger for slug-odell Eleenter fra klassisk regulerings teori Sensitivitet og koplienter sensitivitet funksjoner Poler og nullpunkter Resultater og diskusjon Siulering Regulerbarhets analyse Regulering Regulator ed P so ålings paraeter Kaskaderegulering Konklusjon Referanser Vedlegg

3 Innledning Slug-strøning kan være et proble offshore. Når olje skal transporteres til produksjonsplattforen kan uønsket slug-strøning oppstå. Disse slugene kan vokse seg eget store, og skape probleer når de ankoer produksjonsenheten. Det første probleet kan oppstå i ottaks-separatoren. Store variasjoner i væskenivået fører til ikke-optial separering, og i verste fall flooding. Flooding er at væsken stuves opp og i realiteten begynner å gå over topp i tårnet. Neste proble kan oppstå i kopressorene. Probleet er at for store trykksvingninger i inngangen kan føre til uønsket flaring. En eller begge av disse probleene fører til dårlig regulering. I tillegg kan trykksvingninger forårsaket av slug-strøning føre til redusert ytelse for produksjonen. Figur : Periodisk oppførsel av slug-strøning ved vertikalt løft (riser) Slug-strøning er et fenoen so kan oppstå i flerfaserørledninger ed høydeforskjell. Først sales væsken opp i bunnpunktet i det vertikale løftet (riseren). En forutsetning for sluging er at gass- og væske- hastigheten er lav nok til å tillate en væske ansalingen. Når væskeansalingen har blitt stor nok, vil den blokkere for gasstrøen i bunnpunktet av riseren, og en kontinuerlig væskeslug dannes her. Væskeslugen vil vokse så lenge trykkøkningen oppstrøs for slugen er lavere enn økningen av tyngden til væskesøylen i riseren. Dette er trinn to i den periodiske oppførselen. Trinn tre skjer når trykket oppstrøs av slugen blir større enn tyngden til væskesøylen og gassen vil begynne å penetrere væsken i riseren og presse væsken ut. Dette fører til et trykkfall, gassen vil ekspandere og tetthet i riseren reduseres. Etter at esteparten av væsken og gassen har forlatt riseren, er ikke gasshastigheten stor nok til å dra ed seg væske oppover. Væsken vil derfor renne ned i bunnen av riseren (skritt fire), og en ny væskeansaling begynner å vokse. 2

4 2 Teori 2. Slug-odell Figur 2: illustrerer føderør, bunnpunkt av riseren, riser og shoke ventil Modellen so er brukt i oppgaven er utviklet av Storkaas, og en er detaljert beskrivelse kan leses i artikkelen til Storkaas og Skogestad (2002). 2.. Antagelser for slugg-odellen For å lage en forenklet odell er følgende antagelser gjort: Konstant væsketetthet i føderøret (neglisjert dynaikk i væske nivået). Dette gir: o Konstant gassvolu oppstrøs (volu variasjoner p.g.a. varierende væskenivå i bunnpunktet av riseren er neglisjert) o Konstant føde av væske rett i riser Kun et kontrollvolu for væsken (so er en del av føde røret) To kontrollvolu for gass, separert av bunnpunktet i riseren, og henger saen gjenno trykk- strøning saenheng. Ideell gasslov Stasjonær trykkbalanse ello riser og fødepunkt. Forenklet ventil odell for gass og væske so forlater riseren Konstant teperatur 3

5 2..2 Notasjon for slug-odellen Sybol Forklaring Benevning Masse av gass i volu i Kg Gi Masse av væske Kg V Gi Gass volu i i 3 V Volu tattopp av væske 3 V R Volu av væske i riser 3 V T Totalt volu i riser 3 P Trykk i volu i N/ 2 i ρ Gi Gass tetthet i volu i kg/ 3 ρ Væske tetthet kg/ 3 ρ Gjennosnittlig tetthet i riseren kg/ 3 ρ T Tetthet oppstrøs ventil kg/ 3 υ Gass hastighet ved laveste punkt /s G υ Væskehastighet gjenno choke ventil /s ix,out ṁ Massestrø av gass i G kg/s G Massestrø av gass gjenno choke ventil kg/s G, out, out Massestrø av væske gjenno choke ventil kg/s α Gjennosnittlig væske fraksjon av væske, volu basis - α Væske fraksjon oppstrøs ventil, volu basis - T α Væske fraksjon oppstrøs ventil, asse basis - h Væske nivået høyde oppstrøs H Kritisk væske nivå H 2 Høyde til riser r Radius av rør A Areal av væske overflate i V 2 A Areal av tverrsnitt av røret i riser 2 2 Â Areal tilgjengelig for gass i bunn av riser 2 3 engde av horisontalt rør i topp θ Føderørets vinkel ot horisontalt plan rad R Gass konstant (834) J/K*kol g Tyngdens akselrasjon i gravitasjons feltet (9.8) /s 2 T Systeets teperatur K M Molekyl vekt til gassen kg/kol G Gass asse tilført systeet kg/s G, inn, inn Væske asse tilført systeet kg/s P 0 Trykk etter chokventil N/ 2 z Ventilens posisjon - K Choke ventil konstant - K Gasstrøning konstant - 2 4

6 K 3 Friksjons paraeter - n n n i friksjons utrykket ( w ) igninger for slug-odell Interne ligninger P GRT V M G G G = V = () ρ (2) V G G = (3) ρ h A + V R = V V T A H + V (4) = (5) ( ) = V V G2 = V G2 T R (6) ρ (7) G2 V G2 R α = (8) VT P V G ρ = G2 G2 RT M G + V V 2 = (9) 2 T R ( H 2 + H 3 ) ρ gh = P P2 ρ (0) ρ g () n V A H w V A H α = (2) T R 2 2 R 2 2 ( V > ) + ( > ) + R H2A2 α V H2 A n R 2 A3H 3 w A3H 3 hvor w = K ρ 3 ρ υ 2 G G ρ G ρ α T T ( α T ) ρg2 = α ρ + (3) α ρ = T α ρ + ( α ) ρ (4) T T G2 5

7 Transport ligninger: υ ( h < H ) H h P P ρ gα 2 2 G = K2 (5) H ρg G =υ Gρ G Aˆ (6) ( P ) ix, out Kz T 2 P0 = ρ (7) ( ) ix out (8) G, out = α, (9), out = α ix, out H Geoetriske ligninger φ = (( H h ) cos( θ ) < r) (( H h ) cos( θ ) > r) ˆ 2 2r H = (20) cos( θ ) A2 A = (2) sin θ a cos ( ) π a cos ( H h ) cos( θ ) ( π φ cos( π φ) ( π φ ) r ( H h ) cos( θ ) r + (22) A = r sin (23) Massebalanser: d dt d dt d dt = (24), inn, out = (25) G G, inn G G2 G = (26) G, out De fleste ligningene er vanlige assebalanser, ideel gasslov, volubalanser for væske ed konstant tetthet og volu / asse fraksjoner. I den stasjonære trykkbalansen (ligning ) er de dynaiske effektene akselerasjon og friksjon i rørveggen neglisjert. En forenklet ventil ligning (ligning7) er brukt for choken, ed antagelse o konstant assestrøning gjenno ventilen. Isteden for ipuls balanse i røret er det brukt en trykk- strøning saenheng for gassen (ligning 5) og en edrivingsligning for væsken (ligning 2). 6

8 Det er ligningene (), (2) og (5) so skaper odellens slug-oppførsel. Av ligning (5) ser vi at an kun har gasshastighet i bunnpunktet på riseren hvis H >h. Hvis H <h betyr det at væskeansalingen i bunnpunktet av riseren blokkerer inngangen for gassen. igning (6) beskriver assestrø av gass inn i riseren. Denne ligningen avhenger av G v (ligning 5) og tilgjengelig arealet so gassen kan strøe inn i riseren. Vi ser at begge disse ligningene styres av forholdet ello H og h. Hvis h er større en H koer det ikke gass inn i riseren, og jo indre h, jo er gass koer inn i riseren. igning (2) beskriver hvordan gassen river ed seg væske oppover i riseren. 2.2 Eleenter fra klassisk regulerings teori 2.2. Sensitivitet- og kopleentær sensitivitet- funksjoner For et SISO syste er sensitivitetsfunksjonen (S) og kopleentær sensitivitetfunksjonen (T) (transfer funksjonen til lukket sløyfe) definert på følgende åte: = GK (27) S = (28) + T = (29) + S +T = (30) Det er brukt Skogeskad og Postlethwaite (200) sin definisjon for båndbredden til lukket-sløyfe: ukket-sløyfe båndbredde ω B, er frekvensen der S(jw) først krysser / 2 = nedenfra. Båndbredden kan også alternativt defineres ed hensyn på T: Båndbredde i for av T, ω BT, er frekvenser der T(jw) først krysser / 2 = ovenfra. Denne definisjonen gir so regel litt større båndbredde enn definisjonen ed S. Ved frekvenser opptil ω B, S <0.7, er tilbakekobling effektiv og øker ytelsen. I frekvens oråder ello ω B og ω BT er fredeles tilbakekobling effektiv en øker ikke ytelsen. Hvis S er større enn i dette orådet virker reguleringen ot sin hensikt, og inker ytelsen. Ved frekvenser høyere en ω BT har vi S og reguleringen har ikke lenger noen betydelig effekt. For at tilbakekoblingen skal være best ulig ot forstyrrelser ønsker vi S 0 eller ekvivalent T. På en annen side, for å best ulig kunne eliinere ålt støy, ønsker vi T 0 eller ekvivalent S. Støy er hovedsakelig et proble ved høye frekvenser og forstyrrelser et proble ved lave, vi ønsker derfor S 0 og T ved lave frekvenser, og T og S 0 ved høye frekvenser. Maksial topp for sensitivitets- og kopleentær sensitivitetsfunksjoner er definert 7

9 på følgende åte: M S = ax S( jω) M T = ax T( jω ) (3) ω M S ønskes so regel under 2 og M T under.25. Hvis verdiene av M S eller M T blir store (større en 4) gir dette utslag i dårlig ytelse og dårlig robusthet. Skogestad og Postlethwaite (200) gir følgende saenhengen ello GM (forsterkningsargin), PM (faseargin), M T og M S : For M S : M S GM M S For M T : GM ω 2arcsin 2M S M S [rad] (32) GM + GM 2arcsin M T 2M T M T Hvis M S = 2 vil an være garantert en GM 2 og PM 29.0, M T = 2 vil an være garantert en GM.5 og PM 29.0 Disse verdiene for GM og PM gir en robust tilbakekobling. [rad] (33) Poler og nullpunkter t( s) Hvis vi har en generell transfer funksjon Y ( s) = k n( s) hvor: n(s) = (s - λ ) (s - λ 2 ) (s - λ 3 )... (s - λ n ) t(s) = (s - z ) (s - z 2 ) (s - z 3 )... (s - n n ) k er forsterkningen λ i er poler. z i er nullpunkter. Poler For et lineært syste kan an ut fra polene si o systeet er stabilt eller ikke. (Skogestad og Postlethwaite 200): Et lineært dynaisk syste x = Ax + Bu er stabilt hvis og bare hvis alle polene ligger i det åpene venstre-halv plan (HP), det vil si, Re{λ i ( A)} < 0, i. En atrise A so innfrir disse kriterier kalles stabil eller Hurwiz. igger en eller flere av polene til det åpne høyre-halv plan (RHP) er systeet ustabilt. For å stabilisere en ustabil pol (RHP-pol) ed tilbakekobling kreves det en inius båndbredde. Skogestad og Postlethwaite (200) gir følgende inius begrensinger i båndbredden for RHP-poler: Reelle RHP-poler ed en fornuftig robusthet: ω * BT > 2 p so oppnås tilnæret ved ω > 2p. (34) C 8

10 * Ren iaginær pol ed fornuftig robusthet: ω.5 p so oppnås tilnæret ved BT > ω > C.5 p (35) Hvis en skal stabilisere en pol ed en fornuftig ytelse kreves det en båndbredde større enn avstanden fra RHP-polen til origo, ed andre ord båndbredden å være større enn den ustabile polens absolutt verdi p. Nullpunkter Nullpunkter i høyre-halv plan (RHP-nullpunkter) vil gi inversrespons. Når an har RHP-nullpunkt får an en øvre begrensning i båndbredden. Skogestad og Postlethwaite (200) gir følgende aksius begrensinger i båndbredden for RHPnullpunkter: For reelle RHP-nullpunkter: z ω B ωc < 2 (36) For iaginere RHP-nullpunkter: ω ω < z /4 Re(z)>>I(z) B C ω B ω C < z 2.8 Re(z) = I(z) (37) ω ω < z Re(z)<<I(z) B C RHP-nullpunkter nær origo skaper de største begrensningene i båndbredden, og det er verre o de er lokalisert nær reell aksen enn iaginær aksen. Hvis en både har RHP-poler og RHP-nullpunkter, kan systeet kun stabiliseres hvis og bare hvis z > p (Skogestad og Postlethwaite 200). 9

11 3 Resultater og diskusjon 3. Siulering For å få sae aplitude på slug-syklusen bruker vi en relativt lav konstantverdi for V G =2 3. I realiteten vil dette voluet ikke være konstant, og voluvariasjonene vil senke frekvensen. Riserens høyde er 300. Trykket etter choke ventilen er konstant 50 bar. For en er detaljert beskrivelse av paraeterene so er brukt henvises det til artikkelen til Storkaas og Skogestad (2002). Figur 3: Siulering ed z = 0.20 Figuren viser en ties siulering ed en ventil åpning på 0.2. Fe av paraeterene so er siulert blir det sett nærere på i regulerbarhets analysen, disse er beskrevet i tabell. Den siste paraeteren er væske nivået oppstrøs (h ). 0

12 3.2 Regulerbarhets analyse Tabell : Alternative ålepunkt Sybol Benevning Forklaring P [bar] Oppstrøs trykk P 2 [bar] Nedstrøs trykk (foran choke ventilen) ρ T [kg/ 3 ] Tetthet gjenno choke ventil w [kg/s] Total assestrø gjenno ventil Q [ 3 /s] Total volustrø gjenno ventil I regulerbarhets analysen ble det sett på poler, nullpunkter, vektet stasjonær gain og vektet pol gain, for de fe ålepunktene gitt i tabell over. Det ble sett på to operasjons punkt: z = 0.75 og z = Polene for systeet ved sae operasjonspunktet, er felles for alle transfer funksjonene. Systeets poler ved z = 0.75: Systeets poler ved z = λ = 6.5 λ = λ 2 = i λ 2 = i λ 3 = i λ 3 = i RHP-pols lengde: RHP-pols lengde: Systeet er ustabilt for begge operasjonspunktene, da det er et koplekst polpar i RHP for begge ventil åpningene. Både reell- og iaginær delen av polene blir større ed økende ventil åpning. Dette gir at kravet o iniu båndbredde øker ed økende ventil åpning. Polene kan flyttes ed tilbakekobling for å gjøre systeet stabilt. For å klare å stabilisere systeet ed en fornuftig ytelse krever det iniu båndbredde for z = 0.75 og for z = Tabell 2: Nullpunkter for systeet ved operasjons punktet z = 0.75 P P 2 ρ T w Q Tabell 3: Nullpunkter for systeet ved operasjons punktet z = P P 2 ρ T w Q

13 P 2 og ρ T har ett eller flere RHP-nullpunkter. RHP-nullpunkter gir inversrespons, noe so gjør regulering vanskeligere ed disse so ålepunkter. Reelle RHPnullpunkter gir en øvre begrensning i båndbredden: ω B ωc < z / 2. P 2 sitt verste RHP-nullpunk beveger seg ot origo ed økende ventil åpninger. Maksial frekvens ed P 2 so åling blir derfor lavere og lavere, ed økende ventil åpninger. Ved operasjonspunkt z = er aksial båndbredde for prosessen, ed P 2 so ålepunkt (0.03/2) og ed ρ T so ålepunkt (0.0048/2). Miniu båndbredde so trengs for stabilisering av RHP-polen er større enn kravet o aksiu båndbredde for RHP-nullpunktet, for begge ålepunktene. P 2 og ρ T vil derfor ikke kunne brukes so ålepunkter til å stabilisere prosessen. P, w og Q har kun HP-nullpunkter. Dette gir ingen inversrespons, og derfor ingen øvre begrensinger i båndbredden. w og Q har et nullpunkt i og like ved origo, noe so tyder på lite stasjonær gain. Tabell 4: Vektet stasjonær gain og vektet pol gain for operasjons punktet z = 0.75 P P 2 ρ T w Q V. stasjonær gain: V. pol gain: Tabell 5: Vektet stasjonær gain og vektet pol gain for operasjons punktet z = P P 2 ρ T w Q V. stasjonær gain: V. pol gain: Vektet gain ble beregnet ved å finne forsterkningen ved ønsket frekvens. Denne verdien ble dividert ed åle punktets stasjonær verdi for operasjonspunktet. Å bruke w so ålepunkt for å stabilisere systeet ed tilbakekobling vil gi et tilnæret integrerende syste for den lukkede sløyfen. Dette fordi w har null i stasjonær gain. P har en høyere stasjonær gain enn Q. Dette gjør at ved SISO regulering er P den beste ålingen å bruke for å stabilisere prosessen. Probleet ed nullpunkter nær eller på den iaginære aksen kan løses ed kaskaderegulering. Q ble brukt so ålepunkt for indresløyfe og P 2 ble brukt so ålepunkt for ytre sløyfe. 2

14 Figur 4: Blokkdiagra av kaskaderegulering Figuren er hentet fra artikkelen til Storkaas og Skogestad (2002). K M er aster regulatoren, K S er slave regulatoren, G er transfer funksjonen til Q ultiplisert ed transfer funksjonen til ventilen. G 2 er transfer funksjonen til P 2 ultiplisert ed transfer funksjonen til ventilen. Sensitivitetfunksjonen til den indre sløyfen er S I = /(+G K S ). For å forsikre indre stabilitet kan ikke de ustabile polene i G kanselleres av K S, fordi S I får RHP-nullpunkt der G hadde RHP-poler. Prosessens transfer funksjon for ytre sløyfe vil være G M = G 2 S I K S. Når G 2 har sae RHP-poler so G, vil RHP- nullpunktene til S I bli kansellert, en G 2 sine egne RHPnullpunkter vil ikke bli kansellert. Disse vil skape en øvre begrensning for båndbredde for kaskadereguleringens ytre sløyfe. I dette tilfellet hvor an skal bruke P 2 so åle punkt for ytre sløyfe vil begrensningene i øvre båndbredde være ca (0.03/2). 3.3 Regulering 3.3. Regulator ed P so ålings paraeter. Når prosessen er ustabil ed koplekse RHP- poler, ble det ikke funnet noen tunings regler for prosessen. Det ble først forsøkt å finne aksial verdi for K C (P-regulator) so ga M S og M T indre eller lik.5. For PI- og PID- regulator ble det forsøkt funnet aksialverdi for K C /τ I so ga M S og M T indre eller lik.5. Dette ble gjort for ventil åpningene z = 0.75 og z = Tabell 6: Viser aksiale verdier av K C og K C /τ I so ble funnet for ventil åpningene z = 0.75 og z = z = 0.75 z =0.250 K c K c /τ I τ D M T M S M T M S P -2,52 - -,953,5000,0625,3753 PI -,5 -,6 -,3803,4999,4090,402 PID PID-regulatoren ble ikke vktlagt, da resultatet fra P- og PI-regulatoren ga dårlige reguleringsresultater, so vist i figur 5. 3

15 Figur 5: Variasjoner i trykket (P ) og ventil åpningen (z) ed PI- regulator Figur 5 viser regulering ed PI-regulator ed K C = -.5 og τ I =.03, og P so åling. Regulatoren begynner å virke ved tiden 200s og har 70 bar so settpunkt. Denne regulatoren gav høyest verdi for K C /τ I ed M S og M T verdier under.5. Ut fra figur 5 ser an at regulatoren øker trykk svingningene. Dette skylles at an får store probleer ed at ventilen går i etning og PI regulatoren får wind up. At pådraget går i etning går klart fra av grafen for z. Probleet ed etning av pådraget er så stort at etoden ikke er egnet for å finne regulatorverdier ed P so ålepunkt. Det ble nå forsøkt å iniere gjennosnittssuen til M S og M T for de to operasjons punktene for å se o disse regulatorverdiene klarte å stabilisere prosessen. Det ble laget et forenklet utrykk for en lineær ventil so bruker 60s fra åpen til lukket tilstand og vise versa. Denne ventilen ble forenklet til en første ordens transfer funksjon: V = (38) 40s + τ ble valgt til 40 fordi dette er tilnæret 63% av tiden det tar for ventilen å gå fra lukket til åpen stilling ( ). 4

16 For en ren P-regulator ga K C = 0.0 lavest snitt av suene for M S og M T for operasjonspunktene z = 0.75 og z = Minius gjennosnittssu for M T og M S ble funnet til for de to operasjonspunktene. Resultatene for hvert enkelt operasjons punkt er vist under. Tabell 7: tabellen viser M S, M T,M S + M T, ω B lukket sløyfe og KS ax for de to operasjonspunktene z = 0.75 og z = z = 0.75 z = M S M T Su ω B lukket sløyfe[rad/s] KS ax KS er sensitivitetsfunksjonen ultiplisert ed regulatoren. Grafene av S og T, og grafene av KS for de to operasjonspunktene er gitt i vedlegg (Figur: V, V2, V3 og V4). Figur 6: Regulering ed P-regulator og P so ålepunkt. 5

17 Figur 6 viser P-regulator ed K C = -0. bar -, og oppstrøs trykk so ålepunkt. Reguleringen starter ved tiden 200s ed settpunkt 70 bar, ved 2000s er det en settpunkts endring fra 70 til 69 bar. Prosessen lar seg stabilisere ved P-regulator ed P so ålepunkt. Av figur 6 ser vi at det gir en relativt høyt overskytt, trykket er oppe på 72 bar før det begynner å gå ned ot 70 bar so er den ønskede verdien. Trykket er ikke stabilt på 70 bar før ved ca. 800s. Ved settpunktsendringen til 69 bar gir P-regulatoren et stasjonær avvik, og den stabiliserer seg på ca bar. En P- regulator gir et stasjonæravvik fordi steady-state sensitivitet funksjonen ikke er lik null ( S(0) = ( + K G(0) ) C 0). For å unngå stasjonæravvik å en bruke en PI- eller PID-regulator. Det ble så forsøkt å se hvor lavt an kunne få gjennosnittssuen av M T og M S ved z = 0.75 og z = ed en PI- regulator. τ I ble variert ed skritt på 00s. Minius verdien ble funnet til 5.43, ed paraeterene K C = -0.5 og τ I = 700 Tabell 8: tabellen viser M S, M T, M S + M T, ω B lukket sløyfe [rad/s] og KS ax for de to operasjonspunktene z = 0.75 og z = z = 0.75 z = M S M T Su ω B lukket sløyfe [rad/s] KS ax Grafene av S og T, og grafene av KS for de to operasjonspunktene er gitt i vedlegg 2 (figur: V5,V6, V7 og V8). 6

18 Figur 7: Regulering ed PI-regulator og P so ålepunkt. Figur 7 viser en PI-regulator ed K C =0.5 bar - og τ I = 700 s, og oppstrøs trykk so ålepunkt. Reguleringen starter ved tiden 200s ed settpunkt 70 bar, ved 2000s er det en settpunktsendring fra 70 til 69 bar. Overskyten er ca lik so for P- regulatoren, en I-virknigen bidrar til raskere stabilisering til settpunktet. Stabil verdi er nå nådd ved 600s istedenfor 800s ed P-regulering. Settpunktsendringen blir bedre ed PI-regulatoren. Det tar litt tid en trykket stabiliseres på det nye settpunktet. Det ble forsøkt å lage en ideel PID-regulator på foren: C = K + + s C τ D (39) τ I s Dette ga lave verdier for M S og M T ed K C = -0.7 bar -, τ I = 500s og τ D =60s, aveste gjennosnittssu for z = 0.75 og z = var Regulering ed disse verdiene ga en bra stabilisering av trykket ved 70 bar, og en god settpunksendring fra 70 til 69 bar. Denne reguleringen hadde en veldig rask hakkete ventilbruk so ikke er gunstig. Dette skyldes at derivatvirkningen ikke skrur seg av ved høye frekvenser og regulatoren prøver å regulere ålt støy. Det ble derfor forsøkt videre ed en kaskade PID hvor α leddet gjør at derivatvirkningen skrur seg av på høye frekvenser: C = K C τ I s + τ Ds + τ I s ατds + (40) 7

19 K C og τ D ble variert for å finne en iniusverdi for gjennosnittssuen for M T og M S, ens α og τ I ble holdt konstante (α = 0. og τ I = 500). K C = -0.2 og τ D = 40 var kobinasjonen av de to variable so gav lavest snitt su av M T og M S. Gjennosnitts suen er Tabell 9: Viser M S M T og M S + M T, ω B lukket sløyfe [rad/s] og KS ax for de to operasjonspunktene z = 0.75 og z = z = 0.75 z = M S M T Su ω B luket-sløyfe [rad/s] KS ax Grafene av S og T, og grafene av KS for de to operasjonspunktene er gitt i vedlegg 3 (Figur V9, V0, V og V2). Figur 8: Regulering ed kaskade PID- regulator ed P so ålepunkt 8

20 Figur 8 viser en kaskade PID-regulator ed K C = bar -, τ I = 500s, τ D = 40s og α = 0., ed oppstrøs trykk so åleparaeter. Reguleringen starter ved tiden 200s ed settpunkt 70 bar. Ved 2000s er det en settpunktsendring fra 70 til 69 bar. Reguleringen ed PID-regulatoren gir et indre overskytt enn P og PI-regulatorene, en bruker litt lenger tid på å nå settpunktet på 70 bar enn hva PI- regulatoren gjorde. Settpunksendringen fra 70 til 69 bar klarer den bra. Prosessen stabiliseres ed P-, PI- og PID-regulatorer ed P so ålepunkt. Reguleringen so er vist er kun ed de verdiene so gav lavest snittsu av M T og M S. Det er ikke foretatt noen fin-tuning av regulatorene. Hvis regulatorene skal fintunes til å stabilisere prosessen virker det til å være avgjørende hvor i slugg perioden regulatoren skrus på. Alle tre regulatorene stabiliserer seg på 70 bar, og det er kun P- regultoren so ikke klarer å stabilisere seg på 69 bar. Båndbredden for lukket sløyfe ed P- og PI-regulatorene er relativt like. De varierer fra 0.029[rad/s] til 0.067[rad/s], dette er over nedre begrensing i båndbredden gitt fra RHP-polene so var [rad/s]. KS ax er litt høyere for PI- enn P-regulatoren. Den høyeste verdien for PI-regulatoren er Dette er en lav verdi, så an har liten bruk av pådraget. Av denne grunn ser det ikke ut til at an vil få probleer ed etning av pådraget for P og PI-regulatorene. PID-regulatoren har en høyere båndbredde ved z = 0.75 enn hva P og PI- regulatorene har. Ved z = er båndbredden relativt lik, den båndbredden an har ed P- og PI-regulator. Den største forskjellen ello PIDregulatoren og de to andre regulatorene, er KS ax verdien so er 2. Dette betyr at PID- regulatoren bruker er pådrag enn P- og PI-regulatorene. KS ax for PIDregulatoren holder seg stabil på verdien 2 for høye frekvenser, dette gjør PIDregulatoren er sensitiv for støy enn P og PI-regulatorene Kaskaderegulering Regulatoren i indre sløyfe ble satt ed K C = 8, fordi dette er en relativ høy verdi for indre sløyfe uten at an får probleer ed støy. τ I ble satt til 40s for å eliinere ventil dynaikken. Ved å forsøke å finne gjennosnitts iniusverdi for M S og M T for de to operasjonspunktene ble det oppdaget at dette gav en ugunstig slapp og treg regulering. Regulatoren for den ytre sløyfen ble derfor tunet i SIMUINK ed prøving og feiling. Det ble funnet at ed verdiene K C = og τ I = 200 ble et tilfredsstillende resultat oppnådd. Tabell 0: viser M T, M S, båndbredde for lukket sløyfe og KS ax for ytre sløyfe av kaskadereguleringen for de to operasjonspunktene z = 0.75 og z = 0.75 z = M S M T ω B luket-sløyfe [rad/s] KS ax Grafene av S og T, og grafene av KS for de to operasjonspunktene er gitt i vedlegg 4 (Figur: V3, V4, V5 og V6). 9

21 Figur 9: Kaskaderegulering av prosessen. Figur 9 viser kaskaderegulering for prosessen. Q er ålepunkt for indre sløyfe og P 2 ålepunkt for ytre sløyfe. Indre sløyfe er en PI-regulator ed K C = 8 s/ 3 og τ I = 40s, og ytre sløyfe er en PI-regulator ed K C = -0.00bar - og τ I =200s. Regulering starter ved 200s ed settpunktet 52 bar. Ved tiden 500s er det en settpunktsendring fra 52 til 5 bar. Kaskadereguleringen klarer å stabilisere systeet på settpunkts trykket 52 bar og ved settpunktsendringen til 5bar. Systeet bruker betraktelig lenger tid på å stabilisere seg ed kaskaderegulering enn ed regulering ed P so ålepunkt. Dette fordi P 2 so ålepunkt gir en øvre begrensning i båndbredden. Båndbredden for lukket ytre sløyfe i kaskadereguleringen er ye lavere enn båndbredden an har ed P-, PI- og PID- regulatorene. Kaskadereguleringens lukkede ytre sløyfe har en båndbredde på for z = 0.75 so er lavere enn den øvre begrensning i båndbredden på KS ax for ytre sløyfe er også lav, så den ytre sløyfen bruker lite pådrag. 20

22 4 Konklusjon Ut fra regulerbarhets analysen ble det bekreftet at trykkåling oppstrøs (P ) er det beste ålepunktet for en enkel SISO regulering. P har kun en nedre grense for båndbredden p.g.a. RHP-poler, gir ikke inversrespons og har stasjonær gain. Trykket nedstrøs (P 2 ) og tettheten gjenno ventilen (ρ T ) går ikke å bruke i en stabiliserende regulator, på grunn av uforenlige båndbredde begrensninger fra RHP-poler og RHPnullpunkter. Volustrø (Q) og assestrø (w) har kun nedre begrensning i båndbredden, en lite eller ingen stasjonær gain. De vil derfor gi et tilnæret integrerende syste ed tilbakekobling. Dette kan løses ved å bruke en kaskaderegulerings struktur. Slug-strøningen stabiliseres godt ed P- PI- og PID-regulator ed P so ålepunkt. P-regulatoren gir stasjonæravvik på settpunkt forskjellig fra 70 bar. PI- og PID- regulatorene klarer å stabilisere prosessen til gitte settpunkt, og klarer også settpunkts endringer. PI-regulatoren har den høyeste verdiene for M S og M T, M T 3, dette gir GM.33 og PM 9. Båndbredden for den lukkede sløyfen ligger over begrensningene gitt av RHP-polene til systeet, for alle regulatorene ed P so ålepunkt. Verdiene for KS ax indikerer lav bruk av pådraget for P- og PIregulatorene. PID- regulatoren har en høyere verdi for KS ax enn P- og PIregulatorene. Dette betyr at den bruker er pådrag. KS ax er stabil ved høye frekvenser, og gjør at den er er sensitiv for støy enn de to andre regulatorene. Kaskadestruktur for reguleringen ed Q so ålepunkt i indre sløyfe, og P 2 so ålepunkt for ytre sløyfe stabiliserer også slug-strøningen. Denne strukturen klarer også settpunktsendringer. Det tar både lenger tid, og systeet svinger er før det blir stabilt enn hva so var tilfellet ed P so ålepunkt. Dette fordi P 2 sine RHPnullpunkter gir en øvre begrensning i båndbredden for lukket ytre sløyfe. Båndbredden for lukket ytre sløyfe er lavere enn denne øvre begrensning i båndbredden. Av KS ax ser vi at ytre sløyfe bruker lite pådrag. Trondhei den Christian F. Trudvang 2

23 5 Referanser S. Skogestad og I. Postlethwaite, MUTIVARIABE FEEDBACK CONTRO Analysis and design, Second Edition, John Wiley & sons, 200 E. Storkaas og S. Skogestad, Stabilization of severe slugging based on a lowdiensional nonlinear odel,

24 6 Vedlegg Vedlegg Vedlegg : Viser log S og T plottet ot log frekvensen og log KS plottet ot log frekvensen. Dette er vist for en P-regulator ed K C =-0.0, for operasjonspunktene z = 0.75 og z = Figur V: log S og T plottet ot log frekvens for P-regulator ed z = 0.75 Figur V2: log KS plottet ot log frekvens for P-regulator ed z =

25 Vedlegg Figure V3: log S og T plottet ot log frekvens for P-regulator ed z = Figuer V4: log KS plottet ot log frekvens for P-regulator ed z =

26 Vedlegg 2 Vedlegg 2: Viser log S og T plottet ot log frekvensen og log KS plottet ot log frekvensen. Dette er vist for en PI-regulator ed K C =-0.5 og τ I =700, for operasjonspunktene z = 0.75 og z = figur V5: log S og T plottet ot log frekvens for PI- regulator ed z = 0.75 Figur V6: log KS plottet ot log frekvens for PI ed z =

27 Vedlegg 2 Figur V7: log S og T plottet ot log frekvens for PI-regulator ed z = Figur V8: log S og T plottet ot log frekvens for PI-regulator ed z =

28 Vedlegg 3 Vedlegg 2: Viser log S og T plottet ot log frekvensen og log KS plottet ot log frekvensen. Dette er vist for en kaskade PID-regulator ed K C =-0.20 og τ I = 500, τ D = 40 og α =0. for operasjonspunktene z = 0.75 og z = Figur V9: log S og T plottet ot log frekvens for kaskade PID ed z = 0.75 FigurV0: log KS plottet ot log frekvens for kaskade PID ed z =

29 Vedlegg 3 Figur V: log S og T plottet ot log frekvens for PID ed z =0.25 Figur V2: log KS plottet ot log frekvens for PID ed z =

30 Vedlegg 4 Vedlegg 4: Viser log S og T plottet ot log frekvensen og log KS plottet ot log frekvensen. Dette er vist for en PI- regulator for ytre sløyfe i kaskadereguleringen ed K C = og τ I =200, for operasjonspunktene z = 0.75 og z = Figur V3 : log S og T plottet ot log frekvens for PI-regulator i ytre sløyfe for kaskaderegulering ed z = 0.75 Figur V4: log KS plottet ot log frekvens for PI-regulator i ytre sløyfe for kaskaderegulering ed z =

31 Vedlegg 4 Figur V5:log S og T plottet ot log frekvens for PI-regulator i ytre sløyfe for kaskaderegulering ed z = Figur V6: log KS plottet ot log frekvens for PI-regulator i ytre sløyfe for kaskaderegulering ed z =

FYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall

FYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall FYS130. Tillegg til kapittel 13 Haronisk oscillator. Løsning ed koplekse tall Differensialligningen for en udepet haronisk oscillator er && x+ ω x = 0 (1) so er en hoogen lineær differensialligning av.

Detaljer

Løsningsforslag. Midtveiseksamen i Fys-Mek1110 våren 2008

Løsningsforslag. Midtveiseksamen i Fys-Mek1110 våren 2008 Side av Løsningsforslag idtveiseksaen i Fys-ek våren 8 Oppgave a) En roer sitter i en båt på vannet og ror ed konstant fart. Tegn et frilegeediagra for roeren, og navngi alle kreftene. Suen av kreftene

Detaljer

Prosjekt Høsten 2003 Slug regulering i tofase strømning Eksperimentell verifikasjon

Prosjekt Høsten 2003 Slug regulering i tofase strømning Eksperimentell verifikasjon Prosjekt Høsten 2003 Slug regulering i tofase strømning Eksperimentell verifikasjon Ingvald Bårdsen Institutt for kjemisk prosessteknologi NTNU Veiledere :Espen Storkaas og Heidi Sivertsen 25. november

Detaljer

Fysikkolympiaden 1. runde 28. oktober 8. november 2013

Fysikkolympiaden 1. runde 28. oktober 8. november 2013 Norsk Fysikklærerforening i saarbeid ed Skolelaboratoriet Universitetet i Oslo Fysikkolypiaden 1. runde 8. oktober 8. noveber 013 Hjelpeidler: Tabell og forelsalinger i fysikk og ateatikk Loeregner Tid:

Detaljer

Utledning av Skogestads PID-regler

Utledning av Skogestads PID-regler Utledning av Skogestads PID-regler + +?!?!! (This version: August 0, 1998) 1 Approksimasjon av dynamikk (Skogestads halveringsregel) Vi ønsker å approksimere høyre ordens dynamikk som dødtid. Merk at rene

Detaljer

FAG: FYS105 Fysikk (utsatt eksamen) LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: FYS105 Fysikk (utsatt eksamen) LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVERSITETET I AGDER Gristad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS105 Fysikk (utsatt eksaen) LÆRER: Per Henrik Hogstad Klasse(r): Dato: 6.11.11 Eksaenstid, fra-til: 09.00 14.00 Eksaensoppgaven består

Detaljer

Spinn og Impulsbalanse HIA Avd. teknologi Morten Ottestad

Spinn og Impulsbalanse HIA Avd. teknologi Morten Ottestad Ipuls og spinn balanse 4.0.005 Side av Spinn og Ipulsbalanse HIA Avd. teknologi Morten Ottestad. ynaikk rettlinjede bevegelser. Ipuls balansen Newtons I lov). Eleenter i ekaniske syste.. jær 3.. eper 4..3

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. FYS-1001 Mekanikk. Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator ikke tillatt. Ruter.

EKSAMENSOPPGAVE. FYS-1001 Mekanikk. Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator ikke tillatt. Ruter. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksaen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 1.12.2016 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpeidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark)

Detaljer

Elektriske svingekretser - FYS2130

Elektriske svingekretser - FYS2130 Elektriske svingekretser - FYS3 Koplekse ipedanser Vekselsstrøskretser blir ofte enklere å behandle når ipedansene skrives på kopleks for. De koplekse ipedanser er Z ˆ i for kondensator ed kapasitans i

Detaljer

Motor - generatoroppgave II

Motor - generatoroppgave II KYBERNETIKKLABORATORIET FAG: Kybernetikk DATO: 01.17 OPPG.NR.: R113 Motor - generatoroppgave II Et reguleringssyste består av en svitsjstyrt (PWM) otor-generatorenhet og en ikrokontroller (MCU) so åler

Detaljer

Løsningsforslag Dataøving 2

Løsningsforslag Dataøving 2 TTK45 Reguleringsteknikk, Vår 6 Løsningsforslag Dataøving Oppgave a) Modellen er gitt ved: Setter de deriverte lik : ẋ = a x c x x () ẋ = a x + c x x x (a c x ) = () x ( a + c x ) = Det gir oss likevektspunktene

Detaljer

1) Hva blir akselerasjonen til en kloss som glir nedover et friksjonsfritt skråplan med helningsvinkel 30?

1) Hva blir akselerasjonen til en kloss som glir nedover et friksjonsfritt skråplan med helningsvinkel 30? FY1001/TFY4145 Mekanisk Fysikk Eksaen Tirsdag 16. Deseber 2014 OKMÅL OPPGVE 1: Flervalgsoppgaver (Teller 45%, 18 stk so teller 2.5% hver) 1) Hva blir akselerasjonen til en kloss so glir nedover et friksjonsfritt

Detaljer

Mandag 21.08.06. Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc.

Mandag 21.08.06. Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc. Institutt for fysikk, NTNU TFY46/FY2: Bølgefysikk Høsten 26, uke 34 Mandag 2.8.6 Hvorfor bølgefysikk? Man støter på bølgefenoener overalt. Eksepler: overflatebølger på vann akustiske bølger (f.eks. lyd)

Detaljer

Detaljert modellering av 'gas blowby'

Detaljert modellering av 'gas blowby' Bilag Innhold BILAG 1 FLYTSKJEMA... 57 B1.1 MODELL 1... 57 B1.2 MODELL2... 58 B1.3 MODELL 3... 59 B1.4 MODELL 4... 60 BILAG 2 DIMENSJONER PÅ UTSTYR... 61 B2.1 DIMENSJONER FOR MODELL 1-3... 61 B2.2 MODELL

Detaljer

Materiebølger - Elektrondiffraksjon

Materiebølger - Elektrondiffraksjon FY100 Bølgefysikk Institutt for fysikk, NTNU FY100 Bølgefysikk, øst 007 Laboratorieøvelse 3 Materiebølger - Elektrondiffraksjon Oppgave Besteelse av Planck`s konstant ved elektrondiffraksjon. Forslag til

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler

Detaljer

Slik skal du tune dine PID-regulatorer

Slik skal du tune dine PID-regulatorer Slik skal du tune dine PID-regulatorer Ivar J. Halvorsen SINTEF, Reguleringsteknikk PROST temadag Tirsdag 22. januar 2002 Granfos Konferansesenter, Oslo 1 Innhold Hva er regulering og tuning Enkle regler

Detaljer

Algoritme-Analyse. Asymptotisk ytelse. Sammenligning av kjøretid. Konstanter mot n. Algoritme-kompeksitet. Hva er størrelsen (n) av et problem?

Algoritme-Analyse. Asymptotisk ytelse. Sammenligning av kjøretid. Konstanter mot n. Algoritme-kompeksitet. Hva er størrelsen (n) av et problem? Hva er størrelsen (n) av et proble? Algorite-Analyse Algoriter og Datastrukturer Antall linjer i et nettverk Antall tegn i en tekst Antall tall so skal sorteres Antall poster det skal søkes blant Antall

Detaljer

Auditorieøving 6, Fluidmekanikk

Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Utført av (alle i gruppen): Oppgave 1 En beholder er åpen i ene enden og har et hull i bunnen, påsatt et innadrettet rør av lengde l og med sirkulært tverrsnitt A 0. Beholderen,

Detaljer

LABORATORIEØVELSE C FYS LINEÆR KRETSELEKTRONIKK 1. TILBAKEKOBLING AV 2-ORDENS SYSTEM 2. KONTURANALYSE OG NYQUISTDIAGRAMMER

LABORATORIEØVELSE C FYS LINEÆR KRETSELEKTRONIKK 1. TILBAKEKOBLING AV 2-ORDENS SYSTEM 2. KONTURANALYSE OG NYQUISTDIAGRAMMER FYS322 - LINEÆR KRETSELEKTRONIKK LABORATORIEØVELSE C 1. TILBAKEKOBLING AV 2-ORDENS SYSTEM 2. KONTURANALYSE OG NYQUISTDIAGRAMMER 3. PI REGULATOR 4. FILTRE Maris Tali(maristal) maristal@student.matnat. uio.no

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 V2016

Løsningsforslag Fysikk 2 V2016 Løsningsforslag Fysikk, Vår 016 Løsningsforslag Fysikk V016 Oppgave Svar Forklaring a) B Faradays induksjonslov: ε = Φ, so gir at Φ = ε t t Det betyr at Φ åles i V s b) D L in = 0,99 10 = 9,9 L aks = 1,04

Detaljer

Prosess-systemteknikk fordypningsemne PROSJEKTTITTEL: Stabiliserende regulering av kompressor. Atle Andreassen

Prosess-systemteknikk fordypningsemne PROSJEKTTITTEL: Stabiliserende regulering av kompressor. Atle Andreassen NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for kjemi og biologi Institutt for kjemisk prosessteknologi FORDYPNINGSEMNE HØST 2001 SIK 2092P1 Prosess-systemteknikk fordypningsemne PROSJEKTTITTEL:

Detaljer

Q = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa

Q = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa 35 Løsning C.1 Q π 4 D2 V π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s 0.00393 m 3 /s 3.93 l/s G gsρ vann Q 9.81 1.26 998 0.00393 N/s 0.0484 kn/s ṁ G/g 48.4/9.81 kg/s 4.94 kg/s Løsning C.2 Omregning til absolutt trykk: p abs

Detaljer

Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3112 Automatiseringsteknikk

Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3112 Automatiseringsteknikk Høgskolen i Telemark. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@hit.no). Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3 Automatiseringsteknikk Sluttprøvens dato: 5. desember 04. Varighet 5 timer. Vekt

Detaljer

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL TFY46 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. Oppgave. a) Hastigheten v til kule like før kollisjonen finnes lettest ved å bruke energibevarelse: Riktig svar: C. m gl = 2 m v 2

Detaljer

Løsningsforslag øving 8

Løsningsforslag øving 8 K405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 8 a Vi begynner med å finne M 2 s fra figur 2 i oppgaveteksten. M 2 s ω r 2 ω h m sh a sh R2 sr 2 ω K v ω 2 h m sh a sh R2 sr 2 h m sh a sh

Detaljer

Theory Norwegian (Norway) Vær vennlig å lese de generelle instruksjonene i den separate konvolutten før du begynner på dette problemet.

Theory Norwegian (Norway) Vær vennlig å lese de generelle instruksjonene i den separate konvolutten før du begynner på dette problemet. Q1-1 To problemer i mekanikk (10 poeng) Vær vennlig å lese de generelle instruksjonene i den separate konvolutten før du begynner på dette problemet. Del A. Den gjemte disken (3,5 poeng) Vi ser på en massiv

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 TTK5 Reguleringsteknikk, Vår Løsningsforslag øving Oppgave Vi setter inntil videre at τ = e τs. a) Finn først h s) gitt ved h s) = T i s T s) + T i s) ) ) ) ) + ζ s ω + s ω Vi starter med amplitudeforløpet.

Detaljer

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgave 1: Stående svingninger

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgave 1: Stående svingninger Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgave

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Oblig 6 i Fys-Mek1110

Oblig 6 i Fys-Mek1110 Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke Oblig 6 i Fys-Mek1110 a) Akselerasjon Fart Siden det ikke er noen for for friksjon eller andre ikke-konservative krefter i bildet, vil forholdet

Detaljer

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Harald E Krogstad, tlf: 9 35 36/ mobil:416 51 817 Sensur: uke 1, 2002 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016 Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016 Oppgave 1 a) Sola skinner både på snøen og på treet. Men snøen er hvit og reflekterer det meste av sollyset. Derfor varmes den ikke så mye opp. Treet er

Detaljer

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK TFY4145/FY1001 6. aug. 2012 Side 1 av 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Kontakt under eksaen: Jon Andreas Støvneng, telefon: 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1001 og TFY4145

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for ateatiske fag Øving nuer, blokk I Løsningsskisse Oppgave a X kan eksepelvis være resultatet av en flervalgsoppgave ed 0 sp og svaralternativ

Detaljer

Bevegelsesmengde Kollisjoner

Bevegelsesmengde Kollisjoner eegelsesengde Kollisjoner 4.3.3 neste uke: ingen forelesning ingen gruppeunderisning ingen datalab på grunn a idteiseksaen FYS-MEK 4.3.3 Energibearing energi i systeet er beart: E tot = K +U + E T arbeid

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Plan. I dag. Neste uke

Plan. I dag. Neste uke Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt

Detaljer

Pendler, differensialligninger og resonansfenomen

Pendler, differensialligninger og resonansfenomen Pendler, differensialligninger og resonansfenomen Hensikt Oppsettet pa bildet kan brukes til a illustrere ulike fenomen som opptrer i drevede svingesystemer, slik som for eksempel resonans. Labteksten

Detaljer

Kondenserte fasers fysikk Modul 2

Kondenserte fasers fysikk Modul 2 FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul Sindre Rannem Bilden 1. mai 016 Oppgave 1 - Endimensjonal krystall (Obligatorisk Se på vibrasjoner i en uendelig lang endimensjonell krystall med kun ett atom i

Detaljer

pdf

pdf FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksaen i MIK130, Systeidentifikasjon (10 sp) Dato: Torsdag 17 deseber 2009 Lengde på eksaen: 4 tier Tillatte hjelpeidler:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FY 5 - Svingninger og bølger Eksamensdag: 5. januar 4 Tid for eksamen: Kl. 9-5 Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser

Detaljer

Reguleringsstrukturer

Reguleringsstrukturer Kapittel 11 Reguleringsstrukturer Dette kapitlet beskriver diverse reguleringsstrukturer for industrielle anvendelser. I strukturene inngår én eller flere PID-reguleringssløyfer. 11.1 Kaskaderegulering

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Fiktive krefter

Fiktive krefter Fiktie krefter 8.04.014 FYS-MEK 1110 8.04.014 1 Fiktie krefter proble: Newtons loer gjelder bare i inertialsysteer hordan analyserer i en beegelse i et akselerert syste? z z x y transforasjon transforasjon

Detaljer

Løsningsforslag Øving 3

Løsningsforslag Øving 3 Løsningsforslag Øving 3 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 206 Oppgave 3-86 Løsning En sikkerhetsdemning for gjørmeskred skal konstrueres med rektangulære betongblokker. Gjørmehøyden som får blokkene til å begynne

Detaljer

EKSAMEN 07HBINEA, 07HBINET, 07HBINDA, 07HBINDT

EKSAMEN 07HBINEA, 07HBINET, 07HBINDA, 07HBINDT KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Fysikk REA2041 EKSAMENSDATO: 14. mai 2008 KLASSE: 07HBINBPL, 07HBINBLAN, 0HBINBK, 07HBINEA, 07HBINET, 07HBINDA, 07HBINDT TID: kl. 9.00 13.00 FAGLÆRER: Are Strandlie

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte

Detaljer

1) Hva blir akselerasjonen til en kloss som glir nedover et friksjonsfritt skråplan med helningsvinkel 30?

1) Hva blir akselerasjonen til en kloss som glir nedover et friksjonsfritt skråplan med helningsvinkel 30? FY1001/TFY4145 Mekanisk Fysikk Eksaen Tirsdag 16. Deseber 2014 OPPGAVER MED LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 1: Flervalgsoppgaver (Teller 45%, 18 stk so teller 2.5% hver) 1) Hva blir akselerasjonen til en kloss

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza

Detaljer

EKSAMEN FAG TFY4160 BØLGEFYSIKK OG FAG FY1002 GENERELL FYSIKK II Onsdag 8. desember 2004 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling

EKSAMEN FAG TFY4160 BØLGEFYSIKK OG FAG FY1002 GENERELL FYSIKK II Onsdag 8. desember 2004 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling Side 1 av 11 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis Knut Arne Strand Telefon: 73 59 34 61 EKSAMEN FAG TFY416 BØLGEFYSIKK OG

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015 Løsningsforslag til eksamen i FYS000, 4/8 205 Oppgave a) For den første: t = 4 km 0 km/t For den andre: t 2 = = 0.4 t. 2 km 5 km/t + 2 km 5 km/t Den første kommer fortest fram. = 0.53 t. b) Dette er en

Detaljer

Øving 2: Krefter. Newtons lover. Dreiemoment.

Øving 2: Krefter. Newtons lover. Dreiemoment. Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 15. september kl 12:15 15:00. Øving 2: Krefter. Newtons lover. Dreiemoment. Oppgave 1 a) Du trekker en kloss bortover et friksjonsløst

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Forelesning 23 den 18/4 2017

Forelesning 23 den 18/4 2017 Forelesning 3 den 18/4 017 Eksperiment Toricelli hvor fort renner vann ut av et kar? Vi navngir eksperimentet til ære for Evangelista Torricelli (1608 1647) som oppdaget Toricellis lov i 1643. Toricelli

Detaljer

Løsningsforslag Øving 8

Løsningsforslag Øving 8 Løsningsforslag Øving 8 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 016 Oppgave 5-78 Løsning En vannslange koblet til bunnen av en tank har en dyse som er rettet oppover. Trykket i slangen økes med en pumpe og høyden av

Detaljer

Løsningsforslag Øving 4

Løsningsforslag Øving 4 Løsningsforslag Øving 4 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 2016 Oppgave 3-162 Løsning En halvsirkelformet tunnel skal bygges på bunnen av en innsjø. Vi ønsker å finne den totale hydrostatiske trykkraften som virker

Detaljer

Fysikk-OL Norsk finale 2004

Fysikk-OL Norsk finale 2004 Universitetet i Oslo Norsk Fysikklærerforening Fysikk-OL Norsk finale 004 3. uttakingsrunde Fredag. april kl 09.00 til.00 Hjelpeidler: abell/forelsaling og loeregner Oppgavesettet består av 6 oppgaver

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016 TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen

Detaljer

Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene:

Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene: Løsningsforslag eksaen FYS1 V11 Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene: a) Tversbølge: Svingebevegelsen til hvert punkt på bølgen går på tvers av forplantningsretningen til bølgen. Langsbølge: Svingebevegelsen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Fagnr: FO 443A Dato: Antall oppgaver:

EKSAMENSOPPGAVE. Fagnr: FO 443A Dato: Antall oppgaver: Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMENSOPPGAVE Fag: FYSIKK/TERMODYNAMIKK Gruppe(r): 1 KA Eksamensoppgaven består av Tillatte hjelpemidler: Oppgave 1 Antall sider inkl forside: 4 Fagnr: FO 443A Dato: 80501

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017 Norsk fysikklærerforening Fysikkolympiaden Norsk finale 7 Fredag. mars kl. 8. til. Hjelpemidler: abell/formelsamling, lommeregner og utdelt formelark Oppgavesettet består av 6 oppgaver på sider Lykke til!

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar). Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy

Detaljer

Bevegelsesmengde og kollisjoner

Bevegelsesmengde og kollisjoner eegelsesengde og kollisjoner 4.4.6 Midteisealuering: https://nettskjea.uio.no/answer/7744.htl Oblig 4: nye initialbetingelser i oppgaedel i og j FYS-MEK 4.4.6 Konseratie krefter potensiell energi: U r

Detaljer

Contents. Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet. 01 Innledende oppgave om ABC tilbakekobling. 02 Innledende oppgave om Nyquist diagram

Contents. Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet. 01 Innledende oppgave om ABC tilbakekobling. 02 Innledende oppgave om Nyquist diagram Contents Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet... Innledende oppgave om ABC tilbakekobling... Innledende oppgave om Nyquist diagram... 3 Bodeplott og stabilitet (H94 5)... 4 Bodediagram og stabilitet

Detaljer

NB! Vedlegg 2 skal benyttes i forbindelse med oppgave 3a), og vedlegges besvarelsen.

NB! Vedlegg 2 skal benyttes i forbindelse med oppgave 3a), og vedlegges besvarelsen. SLUTTPRØVE EMNE: EE407 Kybernetikk videregående LÆRER Kjell Erik Wolden KLASSE(R): IA, EL DATO: 0..0 PRØVETID, fra - til (kl.): 9.00.00 Oppgavesettet består av følgende: Antall sider (inkl. vedlegg): 0

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det ateatisk-aturviteskapelige fakultet Eksae i: FY 105 - Svigiger og bølger Eksaesdag: 11. jui 003 Tid for eksae: Kl. 0900-1500 Tillatte hjelpeidler: Øgri og Lia: Størrelser og eheter

Detaljer

Q-Q plott. Insitutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk. Kvantiler fra sannsynlighetsfordeling

Q-Q plott. Insitutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk. Kvantiler fra sannsynlighetsfordeling Q-Q plott Notat for TMA/TMA Statistikk Insitutt for ateatiske fag, NTNU. august En ønsker ofte å trekke slutninger o populasjonen til en stokastisk variabel basert på et forholdsvis lite antall observasjoner,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 22 mars 2017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

- trykk-krefter. µ. u u u x. u venstre side. Det siste forsvinner fordi vi nettopp har vist x. r, der A er en integrasjonskonstant.

- trykk-krefter. µ. u u u x. u venstre side. Det siste forsvinner fordi vi nettopp har vist x. r, der A er en integrasjonskonstant. Løsningsforslag, MPT 1 Fluiddynamikk, vår 7 Oppgave 1 1. Bevarelse av impuls, massefart,..; k ma. Venstre side er ma og høyre side kreftene (pr. volumenhet). Substansielt deriverte: Akselerasjon av fluidpartikkel,

Detaljer

Bachelor i idrettsvitenskap med spesialisering i idrettsbiologi 2014/2016. Utsatt individuell skriftlig eksamen. IBI 240- Basal biomekanikk

Bachelor i idrettsvitenskap med spesialisering i idrettsbiologi 2014/2016. Utsatt individuell skriftlig eksamen. IBI 240- Basal biomekanikk Bachelor i idrettsvitenskap med spesialisering i idrettsbiologi 14/16 Utsatt individuell skriftlig eksamen i IBI 4- Basal biomekanikk Torsdag 6. februar 15 kl. 1.-13. Hjelpemidler: kalkulator formelsamling

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 7 59 6 6 / 45 45 55 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag.

Detaljer

Løsningsforslag Øving 3

Løsningsforslag Øving 3 Løsningsforslag Øving 3 TEP4105 Fluidmekanikk, Høst 2017 Oppgave 3-75 Løsning En sikkerhetsdemning for gjørmeskred skal konstrueres med rektangulære betongblokker. Gjørmehøyden som får blokkene til å begynne

Detaljer

Løsningsforslag. FY-ME 100 eksamen 2. september 2003

Løsningsforslag. FY-ME 100 eksamen 2. september 2003 Løsningsforslag FY-ME 00 eksaen. septeber 003 Oppgave Her følger først noen begrepsoppgaver / kvalitative oppgaver. Svarene å begrunnes (en gjør dette kort). a) En stein ed asse kg er festet til enden

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 2011

Løysingsframlegg TFY 4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 2011 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 011 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Løsningsforslag Øving 1

Løsningsforslag Øving 1 Løsningsforslag Øving 1 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 2016 Oppgave 1-59 Løsning Luftstrømmen gjennom en vindturbin er analysert. Basert på en dimensjonsanalyse er et uttrykk for massestrømmen gjennom turbinarealet

Detaljer

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm]. Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen

Detaljer

Inst. for elektrofag og fornybar energi

Inst. for elektrofag og fornybar energi Inst. for elektrofag og fornybar energi Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Løsningsforslag, Tank 4 øving 1 Utarbeidet av Erlend Melbye 2015-09-07 Revidert sist Fredrik Dessen 2015-09-07 1 Oppstart av Tank

Detaljer

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Side 2 av 5 Oppgave 1 Hvilket av de følgende fritt-legeme diagrammene representerer bilen som kjører nedover uten å akselerere? Oppgave 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 En lampe med masse m er hengt opp fra

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN NYNORSK TEKST UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet, V. 2004. Eksamen i emnet MAT25 - Mekanikk. Måndag 7. juni 2004, kl 09.00-4.00. Tillatne hjelpemiddel: Ingen Oppgåver med svar

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 27 Tid for eksamen: 14.3 17.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 347 / INF 447 Digital Signalbehandling

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Magnus Borstad Lilledahl Telefon: 73591873 (kontor) 92851014 (mobil) KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE

Detaljer

2 1 -- 1 = = = 2. 2 2 --mv2 1. Energi. k,t

2 1 -- 1 = = = 2. 2 2 --mv2 1. Energi. k,t 1 Kortfattet løsningsforslag / fasit Eksaen i: FYS-MEK 1110 - Mekanikk / FYS-MEF 1110 - Mekanikk for MEF Konteeksaen: Fredag 18. august 2006 Det tas forbehold o at løsningsforslaget kan inneholde feil!

Detaljer

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V Leggeanvisning ØS Snøatte-300 300W/ 2 230V og 400V ØS Snøatte-300 benyttes til utendørs is- og snøselting av oppkjørsler, gangveier, inngangspartier, parkeringsplasser, raper etc. Varekabelen er stålarert

Detaljer

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov KJ1042 Øving 3: arme, arbeid og termodynamikkens første lov Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hvordan ser Ideell gasslov ut? Ideell gasslov kan skrives P nrt der P er trykket, volumet,

Detaljer