FRAMLEGG TIL LØYSING AV EKSAMENOPPGÅVER I SOS301/ SOS311 8 DES 1997

Transkript

1 1 EKSAMENSOPPGÅVER Haust 1997 FRAMLEGG TIL LØYSING Erling Berge Norges Teknisk Naturvitskapelege Universitet «Bruksanvisning» Når ein går igang med å løyse oppgåver må ein ha i minnet at oppgåvene ofte er problematiske i høve til modellbygginga sitt krav om at modellen må vere fundert på den best tilgjengelege teorien. Mangelen på teoretisk fundament for oppgåvene kan forsvarast ut frå to perspektiv. Det avgjerande er rett og slett mangelen på tid og høvelege data for å lage eksamensoppgåver av den «realistiske» typen det er tale om her. Men tar ein for gitt at oppgåvene sjeldan kan seiast å vere teoretisk velfundert, gir jo dette studentane lettare gode poeng i arbeidet med å vurdere modellane kritisk ut frå spesifikasjonskravet. Når ein studerer framlegga til løysingar er det viktig å vere klar over at det som er presentert ikkje er nokon fasit. Dei fleste oppgåvene kan løysast på mange måtar. Dei tekniske sidene av oppgåvene er sjølvsagt eintydige. Men i dei mange vurderingane (som t.d. «Er denne residualen tilstrekkeleg nær normalfordelinga til at vi kan tru på testane?») er det nett vurderingane og argumentasjonen som er det sentrale. På eksamen er tida knapp. Svært få rekk i eksamenssituasjonen å gjere grundig arbeid på heile oppgåvesettet. I arbeidet med dette løysingsframlegget har det vore gjort meir arbeid enn det som ein ventar å finne til eksamen. Somme stader er det teke med meir detaljar i utrekningar og tilleggsstoff som kan vere relevant, men ikkje nødvendig. Men det er ikkje gjort like grundig alle stader. Det må takast atterhald om feil og lite gjennomtenkte vurderingar. Underteikna har like stor kapasitet til å gjere feil som andre. Kritisk lesning av studentar er den beste kvalitetskontroll ein kan ønskje seg. Den som finn feil eller som meiner andre vurderingar vil vere betre, er hermed oppfordra til å seie frå (t.d. på <Erling.Berge@sv.ntnu.no> ) Erling Berge 2000

2 2 Oppgåve 1(tel 10% i karakteren for alle) a) Forklar kva ein ordningsobservator (som t.d. median) er for noko. Rangordningsobservatorane tar vare kunnskap om rekkefølga til casa etter at dei er sortert i stigande eller fallande verdi på ein variabel. Eit case har da ein rang på denne variabelen. Ordningsobservatorane er variabelverdiane til casa med gitt rang på variabelen. Minimumsverdien er ordningsobservatoren til caset med rang 1 på variabelen (når den er sortert i stigande rekkefølga). Medianen er den variabelverdien som har like mange case med større ordningsobservator som mindre. Dersom utvalsstorleiken, n, er eit odde tal, dvs. n=2k+1, vil caset med rang k+1 på variabelen V ha k case med høgare verdi på V og k case med lågare verdi på V. Variabelverdien (på variabelen V) for caset med rang k+1 på V er da medianverdien. Dersom n er eit like tal, dvs. N=2k vil vi ikkje ha noko case med like mange andre case på kvar side. Dersom ordningsobservatoren til caset med rang k er v k og ordningsobservatoren til caset med rang k+1 er v k+1 vil (den uobserverte) variabelverdien (v k + v k+1 )/2 ha like mange case på begge sider. Dette er medianverdien for variabelen V når talet på observasjonar er eit like tal. Meir generelt kan ein definere persentilar eller kvantilar som dei variabelverdiane som har ein gitt prosent eller ein gitt andel av observasjonane med lågare variabelverdi på rangordningsvariabelen. Medianen blir da anten 50% persentilen eller 0,5 kvantilen i fordelinga.

3 3 b) Forklar ved hjelp av eit diagram korleis vi kan tolke parametrane i den logistiske funksjonen Y i = α / [1+γ exp{-βx i}] + ε i Sett Y=10 / [1+2 exp{-0,5x }] Grafen til denne funksjonen er vist nedanfor. Parametrane i denne funksjonen: α = 10 er den verdien (asymptoten) som kurva (y) nærmar seg når x veks, γ = 2 avgjer kvar på x-aksen kurva (y) startar å vekse, og β = 0,5 avgjer kor raskt kurva (y) veks (kor «bratt» kurva er).

4 4 Oppgåve 2 (tel 50% av karakteren for alle) I vedlagte tabellar er det estimert ein modell av eiga utdanning. a) Finn den forventa utdanninga til ei 44 år gammal ugift kvinne når du får vite at mor hennar hadde 9 års utdanning og far hennar 10 år. Forklar kva effekten av «Kvinne» tyder og finn eit 95% konfidensintervall for den. La Y i = utdanning i år for person nr i. Modellen som er estimert viser at forventa utdanning for gitte verdiar av dei uavhengige variablane kan skrivast E[Y i alder, kjønn, fars, og mors utdanning] = 4, ,1845 Alder -0,0023 Alder**2-1,1270 Kvinne +0,1784 Mors utd år +0,3403 Fars utd år +0,1580 Kvinne*Mors utd -0,0678 Kvinne*Fars utd Når vi set inn oppgitte verdiar for uavhengige variablar finn vi at den forventa utdanninga til denne personen blir den forventa utdanninga i år: E[Y i 44, kvinne, 10, og 9 år] = 4, ,1845 *44-0,0023 *44**2-1,1270 *1 +0,1784 *9 +0,3403 *10 +0,1580 *1*9-0,0678 *1*10 = 12,3641 Ein kan ein trekke inn i drøftinga korleis kodinga av variablane har foregått. I avsnittet der variablane er definert ser vi at mors og fars utdanning berre har 4 ulike verdiar og ingen av dei er 10 slik vi har fått oppgitt fars utdanning skal vere. Men om fars utdanning ville ha vorte koda 9 eller 12 i datamaterialet har vi ikkje nok opplysningar til å avgjere. Det rettaste er da å nytte verdien 10 slik som den er gitt i oppgåveteksten.

5 5 Variabelen «Kvinne» er definert som 1 når personen er kvinne og som 0 når personen er mann. Variabelen er dummykoda. Effekten av variabelen «Kvinne» vil dermed gi oss tillegget (eller frådraget) i utdanning som skuldast at personen er kvinne og ikkje mann. Effekten av å vere mann er innbakt i konstantleddet. Effekten av «Kvinne» kjem i dette høvet ut som (-1, ,158*Mors utdanning -0,0678*Fars utdanning)*kvinne Mengda av utdanning som ei kvinne får er med andre ord avhengig av utdanninga til mor og far. Når vi held alder og kjønn konstant er den direkte effekten av foreldras utdanning positiv, og fars utdanning har dobbelt så stor effekt som mor si utdanning. Dette gjeld både menn og kvinner. Men for kvinner er det tilleggseffektar. For kvinner vil mor si utdanning verke positivt medan far si utdanning vil verke negativt. Til høgar far si utdanning er til relativt mindre utdanning får dottera samanlikna med sonen. Mor si utdanning verkar motsett og effekten er dobbelt så sterk som effekten av far si utdanning. Ser vi på tabellen over parameterestimata i vedlegget finn vi at interaksjonsleddet Kvinne*Fars utd ikkje har ein effekt som med 95% tryggleik (signifikansnivå=0,05) kan seiast å vere ulik null. Ein kan seie at denne variabelen ikkje burde vore inkludert. Effektane av dei andre variablane er imidlertid framleis forventningsrett estimert. Men på grunn av multikollineariteten mellom interaksjonsledda og «Kvinne» og kanskje også Mors utd og Fars utd, må vi vente at effektane av desse vil endre seg om vi utelet Kvinne*Fars utd i modellestimatet.. Vi kan derfor ikkje i denne modellen utan vidare droppe interaksjonsleddet med fars utdanning. Dersom vi droppar interaksjonsleddet Kvinne*Fars utd i denne modellen, vil forventa utdanning for den 44 år gamle ugifte kvinna der mor hadde 9 års utdanning og far 10 år vere 13,0421 år, og effekten av å vere kivnne heller enn mann vil vere (-1, ,158*Mors utdanning). Når vi ikkje skal ta omsyn til interaksjonseffektane der «kvinne» er involvert vil vi finne eit konfidensintervall for effekten av «Kvinne» frå den T-fordelte observatoren t = (b kvinne - β kvinne )/ SE b kvinne der b kvinne er den estimerte regresjonskoeffesient for «Kvinne», β kvinne er populasjonsverdien, og SE b kvinne er standardfeilen til b kvinne. I testar av individuelle regresjonskoeffesientar har T-observatoren n-k fridomsgrader når vi har n case i utvalet og k parametrar i modellen. I regresjonen her er n= 2679 og k=8 slik at observatoren t har

6 6 Df=2679-8=2671. Med 2671 fridomsgrader er 0,05 fraktilen (5% fraktilen) i t-fordeling lik 1,96. Da vil følgande påstandar vere rette: Pr{ -1,96 < t < 1.96 } = 0,95 Pr{ -1,96< [(b kvinne - β kvinne )/ SE b-kvinne ] < 1.96 } = 0,95 Pr{ -1,96*SE b-kvinne < (b kvinne - β kvinne )< 1.96*SE b-kvinne } = 0,95 Pr{ 1,96*SE b-kvinne > (β kvinne - b kvinne ) > -1.96*SE b-kvinne } = 0,95 Pr{(b kvinne +1,96*SE b-kvinne ) >(β kvinne +b kvinne -b kvinne ) >(b kvinne -1.96*SE b-kvinne )}=0,95 Pr{(b kvinne +1,96*SE b-kvinne ) > β kvinne > (b kvinne -1.96*SE b-kvinne )} = 0,95 Pr{(-1,127 +1,96*0,445) > β kvinne > (-1, *0,445)} = 0,95 Pr{(-1, ,8722) > β kvinne > (-1,127-0,8722)} = 0,95 Pr{-0,2548 > β kvinne > -1,9992} = 0,95 Vi kan seie at effekten av «kvinne» med 95% sannsyn ligg mellom -0,25 og -2. b) Drøft på bakgrunn av vedlagte tabellar for modellen av eiga utdanning i kva grad ein kan seie at føresetnadene for å kunne dra valide konklusjonar er oppfyllt. Det første vi bør merke oss er ein mogeleg spesifikasjonsfeil. Interaksjonsleddet Kvinne*Fars utd har ikkje ein effekt som er signifikant ulik null og bør vurderast utelatt. I testar av interaksjonsledd vil multikollinearitet gripe inn. Vi kan pga multikollineariteten få upresise estimat av standardfeilen slik at testen av signifikansnivået vert tilsvarande upresis. Det kan vere at interaksjonsleddet likevel skal vere med. Men sjølv om ein variabel faktisk er irrelevant er ikkje inklusjon av den normalt noko stort problem. Eit interaksjonsledd vil imidlertid vere korrelert med dei andre variablanefører med seg multikollinearitet. Samvariasjonen med dei andre variablane gjere at estimata av regresjonskoeffesientane til variablane i kollinearitetsgruppa vert påverka. om vi droppar leddet Kvinne* Fars utd. Vi finn finn her multikollinearitet mellom Kvinne, Mors utd, Fars utd, Kvinne* Mors utd, Kvinne* Fars utd, og mellom Alder og Alderi2. Korrelasjonar mellom parametrane når opp i ca 0,7. Sjølv om dette ikkje er ekstemt høgt slik korrelasjonen på 0,98 mellom alder og alderi2 må seiast å vere, er det høgt nok til at dei individuelle estimata vert upresise. Dei kan såleis ikkje sjåast isolert frå kvarandre. Men det er heller ikkje intensjonen. Det største problemet med multikollineariteten får vi på grunn av feilspesifiseringa av modellen.

7 7 Plottet av residualen mot predikert verdi viser at vi har heteroskedastisitet både fordi vi har få kategoriar på avhengig variabel og fordi det kan sjå ut som at residualane har mindre spreiing for låge verdiar av predikert y-verdi. Kvantil-normal plottet av residualen viser at den er skeivfordelt mot høgre med både høge og låge utliggarar. Avviket frå normalfordelinga er tydeleg, men ikkje dramatisk stort. Det er likevel ikkje opplagt korleis ein kan gjere fordelinga betre. Ein transformasjon av den avhengige variabelen er t.d. ikkje enkelt sidan den har berre 5 ulike verdiar og i utgangspunktet er tilnærma symmetrisk. Dersom utliggarar eller case med uvanlege kombinasjonar av x-verdiar er involvert i heteroskedastisitetsproblemet eller skievfordelinga av residualen kan ein imidlertid gjere noko ved å ta omsyn til dei. Plottet av hatt-observatoren, h(i), viser at caset med størst h(i) har verdien 0,021 dette er langt mindre enn grensa på 0,2 som Hamilton foreslår som grense for det som er trygt. Vi har altså ikkje case med eit potensiale for innflytelse på grunn av uvanleg kombinasjonar av x-verdiar. Det kan likevel vere case med innflytelse på grunn av utliggarar. Plottet av Cook s D(i) gir 0,0199 som høgaste verdi for denne observatoren. Hamilton foreslår at D(i) bør vere mindre enn 4/n = 4/2679 = 0, I tabellen over dei 12 casa som har størst D(i) ser vi at nest største D(i) er berre omlag halvparten så stor som den største. Alle dei 6 høgaste verdiane gjeld eldre personar (over 65 år) med lang utdanning (18 år). Ein kunne freiste å estimere ein modell der dei med lang utdanning og høg alder vart haldne utanom. Resultata frå den kunne så samaliknast med den modellen vi har estimert. Konklusjonen på vurderinga av om føresetnadene er oppfylt må bli at heteroskedastisitetsproblem saman med avvik frå normalfordelinga for residualen sår alvorleg tvil om testresultata. Konklusjonar om populasjonen har ikkje ein kjent grad av sannsyn.

8 8 c) Definer modellen som er estimert og skriv ut likninga for eit betinga effekt plott for verknaden av alder på eiga utdanning for kvinner med foreldre som har gjennomsnittleg utdanning. La Y i = verdien av E.utd for case nr i X i1 = verdien av Alder for case nr i X i2 = verdien av Alder**2 for case nr i X i3 = verdien av Kvinne for case nr i X i4 = verdien av Mors utd år for case nr i X i5 = verdien av Fars utd år for case nr i X i6 = verdien av Kvinne*Mors utd for case nr i X i7 = verdien av Kvinne*Fars utd for case nr i Ein modell av samanhengen mellom E.utd og dei andre variablane i populasjonen kan da kan da skrivast Y i = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + β 4 X i4 + β 5 X i5 + β 6 X i6 + β 7 X i7 + ε i, der ein antar at residualane, ε i, er uavhengige og identiske normalfordelte, og indeksen i går over heile populasjonen. Modellen er lineær i parametrane og har fem substansielle variablar (eiga utdanning, alder, kjønn, fars utdanning og mors utdanning) og åtte faktiske variablar. Alder er inkludert med eit polynom (β 1 X i1 + β 2 X i2 ), og det er inkludert to interaksjonsledd mellom kjønn og foreldras utdanning. I eit estimat av modellen er dei 8 parametrane, b k, k=0,1,2,...,7, estimert slik at Σ i (Y i - Y i ) 2 = Σ (e i ) 2 er minst mogeleg. Da er Y i gitt ved Y i = b 0 + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b 3 X i3 + b 4 X i4 + b 5 X i5 + b 6 X i6 + b 7 X i7, e i = Y i - Y i og i = 1,..., 2679.

9 9 Eit betinga effekt plott for effekten av alder på E.utd for kvinner med foreldre som har gjennomsnittleg utdanning, finn vi fra den estimerte likninga og opplysningar frå den deskriptive statistikken om gjennomsnittsverdiar for fars og mors utdanning (Gjennomsnittet av Fars utd er 9,219, og av Mors utd er det 8,728). E[Y i alder, kjønn, fars, og mors utdanning] = Y = 4, ,1845 Alder -0,0023 Alder**2-1,1270 Kvinne +0,1784 Mors utd år +0,3403 Fars utd år +0,1580 Kvinne*Mors utd -0,0678 Kvinne*Fars utd = 4, ,1845 Alder -0,0023 Alder**2-1,1270 *1 +0,1784 *8,728 +0,3403 *9,219 +0,1580 *1*8,728-0,0678 *1*9,219 = 8, ,1845*Alder - 0,0023*Alder**2 Den betinga samanhengen mellom eiga utdanning i år og alder i år blir eit andregradspolynom. Eiga utdanning vil da ha sin høgaste verdi for Alder = 0,1845/2*0,0023 = 40,1087 år (Ein finn dette ved å sette Y-derivert lik null)

10 10 d) Gi ei substansiell tolking av regresjonsresultata med utgangspunkt i betinga effekt plottet som er lagt ved tabellane. Betinga effekt plott av alderen sin verknad på utdanning for menn og kvinner etter foreldra si utdanning (H.utd = 14 år, og L.utd = 7 år) Alder Bet eff.ald for Kv med H.utd far/m Bet eff.ald for Ma med H.utd far/m Bet eff. ald for Ma med L.utd far/m Bet eff. ald for Kv med L.utd far/m Vi ser av plottet at i dei høve foreldra til mannen eller kvinna har høg utdanning (dvs. 14 år) er det praktisk tala ikkje skilnad mellom dei. Om der er

11 11 ein skilnad så får kvinna noko meir utdanning enn mannen. Når foreldra har låg utdanning (dvs. 7 år) får søner i gjennomsnitt meir utdanning enn døtrer. Ut frå diagrammet kan det sjå ut som at skilnaden på ca 0,5 år er omlag den same for alle aldersgrupper. Går vi attende til den estimerte likninga: Y = E[Y i alder, kjønn, fars, og mors utdanning] = 4, ,1845 Alder -0,0023 Alder**2-1,1270 Kvinne +0,1784 Mors utd år +0,3403 Fars utd år +0,1580 Kvinne*Mors utd -0,0678 Kvinne*Fars utd ser vi at den marginale effekten av fars utdanning (dvs kontrollert for alder og mors utdanning) er (0,3403-0,0678*Kvinne)*Fars utd. Den er med andre ord 0,07 år mindre for kvinner enn for menn. For mors utdanning er det motsett. Den marginale effekten av mors utdanning (kontrollert for alder og fars utdanning) er (0,1784+0,1580*Kvinne)*Mors utd. Dette tyder at den er 0,16 år større for kvinner enn for menn. Sagt på ein annan måte: døtrer får år meir utdanning for kvart år meir utdanning far har, søner får 0,3403 år meir utdanning for kvart år meir utdanning far har, døtrer får 0,3364 år meir utdanning for kvart år meir utdanning mor har, søner får 0,1784 år meir utdanning for kvart år meir utdanning mor har For søner er fars utdanning viktigast. For døtrer er mors utdanning viktigast. Vi ser at fars utdanning er relativt mye viktigare for døtrer enn mors utdanning er det for søner. Men vi må da hugse på at kvinner i utgangspunktet får 1.13 år mindre utdanning enn menn. For å utlikne dette treng kvinner fedre med 1,127/0,2725 = 4,14 år meir utdanning enn tilsvarande menn, eller dei treng mødre med 1,127/0,3364 = 3.35 år meir utdanning enn tilsvarande menn. I betinga effekt plottet ovanfor er høg utdanning for mor og far definert til 14 år for begge. Kvinner har da meir enn utlikna skilnaden samanlikna med tilsvarande menn. I høve til gjennomsnittsverdiane for Fars utd ( 9,219) og Mors utd ( 8,728) er dette 4,78 år over gjennomsnittet av fars utdanning og 5,27 år over gjennomsnittet av mors utdanning. Samanlikna med standardavviket på 2,3 år for Mors utd og 2,6 år for Fars utd er dette mye. Dei fleste kvinner vil med andre ord ha mindre utdanning enn menn.

12 12 Oppgåve 3A og 3B (tel 20% av karakteren for alle) Diagrammet nedanfor illustrerer resultata frå ein rekursiv stimodell med Vassdragsutbygging som siste variabel og med forklaringsvariablane Eiga inntekt, Eiga utdanning, Alder, Kvinne og Offentleg sektor. ζ 2 X 1 =Alder 0,17 Y 2 =Eiga inntekt 0,04-0,05-0,04-0,34 0,12 X 3 =Offentleg sektor 0,21-0,06 ζ 3 Y 3 =Vassdragsutbygging 0,13 X 2 = Kvinne -0,33-0,05 0,34 Y 1 =Eiga utdannning -0,06-0,04 ζ 1 a) Finn ved hjelp av diagrammet den totale kausaleffekten av Eiga Utdanning på Vassdragsutbygging Den totale kausaleffekten finn vi som summen av direkte og indirekte effektar. Total kausaleffekt frå Eiga utdanning på Vassdragsutbygging = β 31 + β 32 * β 21 = -0,04 + 0,04 *0,34 = -0,0264

13 13 b) Finn ved hjelp av diagrammet eit estimat av korrelasjonen mellom Eiga inntekt og Eiga utdanning. Gjer greie for framgangsmåten. Vi ser at Vassdragsutbygging i denne modellen ikkje har noko å gjere med korrelasjonen mellom Eiga inntekt og Eiga utdanning. Vi kan da gjere diagrammet enklare ved å fjerne Vassdragsutbygging og dei stiane som går fram inn til Vassdragsutbygging. ζ 2 X 1 =Alder 0,17 Y 2 =Eiga inntekt -0,05-0,34 0,12-0,04 X 3 =Offentleg sektor 0,13 X 2 = Kvinne -0,33-0,05 0,34 Y 1 =Eiga utdannning ζ 1 Den manglande stien mellom Offentleg sektor og Eiga utdanning fører til at vi må vente å finne ein liten residual. Den har vi ikkje opplysningar nok til å finne storleiken av. Nå vi dekomponerer ein korrelasjon vil vi ha at Korrelasjonen = direkte effekt + indirekte effekt + spuriøse ledd + felleseffektar + residual Legg merke til at vi har gitt korrelasjonane mellom dei eksterne variablane ρ X1X2 = -0,04 ρ X1X3 = -0,05 ρ X2X3 = 0,13 Vi ser vidara at γ 13 = 0 Om ein vil nytte instrumentvariabelmetoden vil dette gjere rekninga enklare.

14 14 I modellen ovanfor kan vi finne eit estimat av korrelasjonen ved å nytte Wrights reglar ρ Y2Y1 = β 21 + γ 21 γ 11 + γ 22 γ 12 +γ 12 γ 23 ρ X2X3 +γ 12 γ 21 ρ X1X2 + γ 11 γ 22 ρ X1X2 + γ 11 γ 23 ρ X1X3 = 0,34 + 0,17*(-0,34) + (-0,33)*(-0,05) + 0,12*0,13*(-0,05) + 0,17*(-0,04)*(-0,05) + (-0,34)*(-0,05)*0,12 + (-0,34)*(-0,33)*( -0,04)= 0, Spuriøse ledd = -0,0413 Felleseffektar = -0, Instrumetvariabelmetoden tar utgangspunkt i den fullstendige modellen Y 1 = γ 13 X 3 + γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1, Y 2 = β 21 Y 1 + γ 23 X 3 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2 og Y 3 = β 32 Y 2 + β 31 Y 1 + γ 33 X 3 + γ 32 X 2 + γ 31 X 1 + ζ 3 der vi antar at variablane er standardiserte z-skårar, at restledda ζ 1, ζ 2, og ζ 3 stettar krava til OLS-regresjon og at dei er ukorrelerte med kvarandre. Vi nyttar berre modellane for Y 1 og Y 2. Vi multipliserer Y 2 med Y 1 på begge sider av likskapsteiknet og tar forventninga: E[Y 2 * Y 1 ]= E[β 21 *Y 1 *Y 1 + γ 23 *X 3 *Y 1 + γ 22 *X 2 *Y 1 + γ 21 * X 1 *Y 1 +ζ 2 *Y 1 ] E[Y 2 * Y 1 ]= β 21 E[Y 1 *Y 1 ]+ γ 23 E[X 3 *Y 1 ]+ γ 22 E[X 2 *Y 1 ]+ γ 21 * E[X 1 *Y 1 ]+ E[ζ 2 *Y 1 ] Ut frå føresetnadene må E[ζ 2 *Y 1 ]=0 og E[Y 1 *Y 1 ] = 1. Vi får da at ρ Y2Y1 = β 21 + γ 23 E[X 3 *Y 1 ]+ γ 22 E[X 2 *Y 1 ]+ γ 21 * E[X 1 *Y 1 ] Korrelasjonane mellom Y 1 og dei eksogene variablanne finn vi på samme måten E[Y 1 *X 3 ]= E[ γ 13 X 3 *X 3 + γ 12 X 2 *X 3 + γ 11 X 1 *X 3 + ζ 1 *X 3 ] E[Y 1 *X 2 ]= E[ γ 13 X 3 *X 2 + γ 12 X 2 *X 2 + γ 11 X 1 *X 2 + ζ 1 *X 2 ] E[Y 1 *X 1 ]= E[ γ 13 X 3 *X 1 + γ 12 X 2 *X 1 + γ 11 X 1 *X 1 + ζ 1 *X 1 ] Og sidan γ 13 = 0 får vi da vidare E[Y 1 *X 3 ]= γ 12 * E[ X 2 *X 3 ]+ γ 11 * E[ X 1 *X 3 ]+ E[ ζ 1 *X 3 ] E[Y 1 *X 2 ]= γ 12 * E[ X 2 *X 2 ]+ γ 11 * E[ X 1 *X 2 ]+ E[ ζ 1 *X 2 ] E[Y 1 *X 1 ]= γ 12 * E[ X 2 *X 1 ]+ γ 11 * E[ X 1 *X 1 ]+ E[ ζ 1 *X 1 ] Her ser vi at E[ ζ 1 *X 3 ] = E[ ζ 1 *X 2 ] = E[ ζ 1 *X 1 ] = 0 og

15 15 at E[ X 2 *X 2 ] = E[ X 1 *X 1 ] = 1 Vi får da ρ Y1X3 = γ 12 * ρ X2X3 + γ 11 * ρ X1X3 ρ Y1X2 = γ 12 + γ 11 * ρ X1X2 ρ Y1X1 = γ 12 * ρ X2X1 + γ 11 som vi kan sette inn i ρ Y2Y1 = β 21 + γ 23 E[X 3 *Y 1 ]+ γ 22 E[X 2 *Y 1 ]+ γ 21 * E[X 1 *Y 1 ] Dette gir ρ Y2Y1 = β 21 + γ 23 (γ 12 * ρ X2X3 + γ 11 * ρ X1X3 ) + γ 22 (γ 12 + γ 11 * ρ X1X2 ) + γ 21 * (γ 12 * ρ X2X1 + γ 11 ) Ordnar vi litt på dette finn vi ρ Y2Y1 = β 21 +γ 12 *γ 22 + γ 11 *γ 21 + γ 12 * γ 23 *ρ X2X3 + γ 11 * γ 23 *ρ X1X3 + γ 11 * γ 22 *ρ X1X2 + γ 12 * γ 21 * ρ X1X2 Dette er sjølvsagt det samme som vi fann ved Wrights reglar. Fasit Den observerte korrelasjonen ρ Y2Y1 = 0,3180 Dette gir oss ein residual = 0,3180-0, = 0, Litt av skilnaden mellom fasit og estimat skuldast avrundingsfeil i stikoeffesientane og litt skuldast den manglande stien mellom Offentleg sektor og Eiga utdanning.

16 16 Oppgåve 3C og 3D (tel 20% av karakteren for SOS31 / SOS311) c) Skriv ned likningssystemet som definerer modellen og gjer greie for kva føresetnader som må vere oppfyllt for å kunne dra konklusjonar med kjent grad av tryggleik Sett Y 3 = Vassdragsutbygging Y 2 = E.inntekt Y 1 = E.utdanning X 1 = Alder X 2 = Kvinne X 3 = Offentleg sektor Då er den fullspesifiserte rekursive modellen definert ved Y 1 = γ 13 X 3 + γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1, Y 2 = β 21 Y 1 + γ 23 X 3 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2 og Y 3 = β 32 Y 2 + β 31 Y 1 + γ 33 X 3 + γ 32 X 2 + γ 31 X 1 + ζ 3 der vi antar at variablane er standardiserte z-skårar, at restledda ζ 1, ζ 2, og ζ 3 stettar krava til OLS-regresjon og at dei er ukorrelerte med kvarandre. OLS føresetnadene kan presiserast til: i. Modellen er korrekt, dvs.: alle relevante variablar er med ingen irrelevante er med modellen er lineær i parametrane ii. Gauss-Markov krava for «Best Linear Unbiased Estimates» (BLUE), dvs.: Faste x-verdiar. Feilleddet har forventning 0 for alle i, dvs: E(ε i )=0 for alle i. Feilleddet har konstant varians (homoskedastisitet) dvs: var(ε i )=σ 2 for alle i. Feilledda er ukorrelerte med kvarandre (ikkje autokorrelasjon) dvs: cov(ε i,ε j ) = 0 for alle i j. iii. Normalfordelingskravet, dvs.: Feilleddet er normalfordelt, dvs: ε i ~ N(0, σ 2 ) for alle i. Når desse føresetnadene er stetta vil OLS regresjonen gi oss dei estimata som har minst varians av alle forventningsrette estimat og vi kan uttale oss med kjent grad av sikkerhet om parameterverdiar i populasjonsmodellen.

17 17 d) Forklar kva ein felleseffekt er for noko og vis korleis ein kan finne felleseffektane i korrelasjonen mellom Vassdragsutbygging og Eiga utdanning. Ein felleseffekt er ein spuriøs effekt basert på samvariasjonen til to variablar. Dersom vi ser bort frå dei to minste korrelasjonane og fjernar stiar som ikkje er relevante for felleseffektane frå X 2 og X 3 finn vi at felleseffekten mellom Vassdragsutbygging og Eiga utdanning har to ledd: γ 12 ρ X3X2 γ 33 + γ 12 ρ X3X2 γ 23 β 32 ζ 2 X 1 =Alder Y 2 =Eiga inntekt 0,04 X 3 =Offentleg sektor 0,12-0,06 ζ 3 Y 3 =Vassdragsutbygging 0,13 X 2 = Kvinne -0,33-0,06-0,05 Y 1 =Eiga utdannning korrelasjon ζ 1 ζ 2 X 1 =Alder Y 2 =Eiga inntekt 0,04 X 3 =Offentleg sektor 0,12-0,06 ζ 3 Y 3 =Vassdragsutbygging 0,13 X 2 = Kvinne -0,33-0,06-0,05 Y 1 =Eiga utdannning korrelasjon ζ 1

18 18 Oppgåve 4 (tel 20% av karakteren for SOS301) a) Forklar tankegangen bak den lineære sannsynsmodellen (LPM) og kommenter føresetnadene den kviler på. I samfunnsfaga vil ein ofte finne variablar der ein konstaterer at eit kjenneteikn er til stades eller ikkje, som t.d. om ein person er ugift eller ikkje. Vi vil ofte kode slike variablar med 1 dersom kjenneteiknet er til stades og 0 når det er borte. Variabelen er dikotom med dummykoding. I regresjonsanalysen lagar vi modellar av kva den forvente verdien av ein avhengig variabel vil vere gitt kunnskap om verdien av visse kjenneteikn (dei uavhengige variablane). Før vi får kunnskap om kva kjenneteikn ein person har, er vi meir eller mindre usikre på kva kjenneteiknet vil vere. I dei høve vi ser etter om kjenneteiknet er til stades eller ikkje kan vi formalisere uvissa gjennom å tale om sannsynet for at kjenneteiknet skal vere til stades eller ikkje. Vi ønskjer med andre ord å tolke den forventa verdien av den avhengige variabelen som sannsynet for at kjenneteiknet skal vere til stades. Dersom Y i =1 for ein ugift person og 0 elles kan vi lage ein lineær modell av den forventa verdien: E[Y i, gitt verdien av x i1, x i2, x i3,... ] = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + β 3 x i Når Y er dikotom og vi ønskjer å tolke forventninga som sannsynet for at kjenneteiknet skal vere til stades (Y i =1), kallast denne modellen den lineære sannsynsmodellen (LPM = Linear Probability Model). Den lineære sannsynsmodellen må sjølvsagt stette alle krava som gjeld for regresjonsmodellar. Ved minste kvadraters metode kan føresetnadene oppsummerast ved i. Modellen er korrekt, dvs.: alle relevante variablar er med ingen irrelevante er med modellen er lineær i parametrane ii. Gauss-Markov krava for «Best Linear Unbiased Estimates» (BLUE), dvs.: Faste x-verdiar, Feilleddet har forventning 0 for alle i, dvs: E(ε i )=0 for alle i, Feilleddet har konstant varians (homoskedastisitet) dvs: var(ε i )=σ 2 for alle i, Feilledda er ukorrelerte med kvarandre (ikkje autokorrelasjon) dvs: cov(ε i,ε j ) = 0 for alle i j.

19 19 iii. Normalfordelingskravet, dvs.: Feilleddet er normalfordelt, dvs: ε i ~ N(0, σ 2 ) for alle i. Ser vi på residualen i den linære sannsynsmodellen finn vi at ε i = Y i - E[Y i x i1, x i2, x i3,... ] = Y i - β 0 - Σ j β j x ij, j=1,...,k-1 Dette tyder at ε i = 1 - β 0 - Σ j β j x ij hvis kjenneteiknet er til stades og ε i = - β 0 - Σ j β j x ij hvis kjenneteiknet er ikkje til stades. Vi ser at residualane aldri kan bli normalfordelt og at storleiken på residualane vil vere avhengig av verdiane på dei uavhengige variablane. Når residualen varierer med storleiken på x-variablane vil vi ikkje kunne finne den samme variansen på alle restledda. Vi har med andre ord problemet heteroskedastisitet. Dette kan løysast ved andre estimeringsmetodar (som t.d. to stegs vekta minste kvadraters metode). Det største problemet med den lineære sannsynsmodellen ligg i lineæritetsføresetnaden: at forventninga skal vere lineær i parametrane. Dette fører ofte til at ein for rimelege kombinasjonar av verdiar på forklaringsvariablane finn at E[Y i x i1, x i2, x i3,... ] > 1 eller E[Y i x i1, x i2, x i3,... ] < 0. Dersom ein ønskjer å tolke forventninga som eit sannsyn er dette ulovlege verdiar. Eit sannsyn skal per definisjon berre kunne variere mellom 0 og 1. Den lineære sannsynsmodellen bryt med spesifikasjonskravet. I staden for ein lineær modell kan ein velge ein ikkje-lineær modell som varierer mellom 0 og 1 for alle verdiar av x. Den mest brukte modellen nyttar den logistiske funksjonen med α = 1 og γ = 1 (sjå oppgåve 1B ovanfor).

20 20 I vedlagte tabellar er det estimert to logit modellar av sannsynet for å vere ugift betinga av alder og kjønn. b) Definer modellen som er estimert i modell 2. Forklar kva skilnaden er mellom modell 1 og 2 og test om den er signifikant. Finn oddsen for å vere ugift for 30 år gamle kvinner. La Y i =1 dersom person nr i er ugift og 0 elles. Vi går ut frå at Pr{ Y i =1 x i1, x i2, x i3,..., x i k-1 } kan skrivast E[Y i x i 1, x i 2, x i 3,... ] = 1 / [1+ exp{- β 0 - Σ j β j x i j }] for j=1,...,k-1. Dette tyder at logiten til sannsynet for at Y i =1, L i, er ein lineær funksjon av parametrane til x-variablane. Vi skriv dette L i = E [L i ] = b 0 + b 1 X i 1 + b 2 X i 2 + b 3 X i 3 der X i 1 = alder til person i, X i 2 = alder kvadrert for person i, X i 3 = 1 dersom person i er mann, 0 elles, og vi går ut frå at denne modellen av logiten stettar krava til OLS regresjon. Skilnaden mellom modell 1 og 2 er at modell 2 inkluderer alder kvadrert. Ein reknar altså med at det er ein kurvelineær samanheng mellom logiten og aldersvariabelen. Vi kan teste om modell 2 er betre enn modell 1 ved å sjå på skilnaden i Log Likelihood, log i, mellom dei to modellane. Dersom H 0 : β 2 =0 er rett, vil observatoren χ 2 = -2(log K-1 - log K ) vere kji-kvadratfordelt med 1 fridomsgrad. K er talet på parametrar i den største modellen (her er altså K=4). Vi finn at χ 2 = -2(log K-1 - log K ) = -2( ( )) = 2( ) = 244,98 Med signifikansnivå 5% i kji-kvadratfordelinga med 1 fridomsgrad finn vi at vi kan forkaste nullhypotesa om ingen effekt dersom observatoren vår er større enn 3,841.

21 21 Logiten er definert som den naturlege logaritmen til oddsen for at personen skal vere gift. Vi har i modell 2 funne at logiten L i = X i X i X i 3 For ei 30 år gammal kvinne blir dette L i (30 år, kvinne) = * *30* *0 = -1,40965 Da finn vi oddsen som O i (30 år, kvinne) = exp{l i (30 år, kvinne)} = e -1,40965 = 0, Med andre ord er det ein odds på omlag 1:4 for at ei 30 år gammal kvinne skal vere ugift. Sannsynet for at ei 30 år gammal kvinne er ugift finn vi tilsvarande Pr{ Y i =1 kvinne, 30 år } = E[Y i kvinne, 30 år ] = 1 / [1+ exp{-l i (kvinne, 30 år)}] = 1 / [1+ exp{-(-1,40965)}] = 0,196289