KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z"

Transkript

1 KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at i =. Det betyr at vi har laget oss en løsning av likningen x = eller x + =. Den andre løsningen av denne andregradslikningen blir da selvsagt i. i kalles for den imaginære enheten. Et vilkårlig komplekst tall kan skrives på formen z = x + iy hvor x og y er reelle tall x kalles for realdelen og y for imaginærdelen til z, og vi skriver x = Re z og y = Im z Maple: Re(x+I*y); Im(x+I*y); Ovenfor er det komplekse tallet z representert på normalform (rektangulær form). For å danne et bilde av den komplekse tallmengden, kan det være hensiktsmessig å representere hvert komplekst tall ved et punkt i det komplekse (tall)plan iy iy x + iy x x

2 Som en ser, er det her en klar geometrisk parallell til xy-planet. På samme måten som vi kan dekomponere en vilkårlig vektor i R på formen p = x e +y e = x, y kan vi faktisk betrakte de komplekse tallene som vektorer i det vi lar tallet være enhetsvektor langs realaksen og lar i være enhetsvektor langs imaginæraksen. Noen av de operasjonene vi kan gjøre på vanlige vektorer i planet, som for eksempel addisjon av vektorer og finne lengden av vektorer, har dermed relevans for regning med komplekse tall. La oss, før vi går løs på regnereglene, gjøre de nødvendige definisjonene: Vi definerer normen (modulen/absoluttverdien) til det komplekse tallet z = x + iy ved z = x + y Maple: abs(x+i*y); Den kompleks konjugerte til z defineres ved z = x iy Maple: conjugate(x+i*y); Av figuren under kan vi se at kompleks konjugering svarer til en speilvending om realaksen Im x + iy Re x iy

3 3 Noen ganger er det hensiktsmessig å representere et punkt i xy-planet ved hjelp av polare koordinater. Tilsvarende kan vi representere det komplekse tallet z = x + iy på polar form (trigonometrisk form): z = r cos ϕ + ir sin ϕ Maple: polar(x+i*y); Her er r lengden av det begrensede linjestykket fra origo til z, altså normen til z, og ϕ er vinkelen som denne linjen danner med realaksen. ϕ kalles for argumentet til z. Dersom vi krever at π < ϕ π, kalles ϕ for hovedargumentet til z. Geometrisk vil r og ϕ fremkomme slik: Im r ϕ z Re Vi har følgende sammenhenger: x = r cos ϕ y = r sin ϕ r = x + y = z tan ϕ = y x Vi presiserer at normen til et komplekst tall er avstanden fra origo og ut til det komplekse tallet. En kan også legge merke til følgende: z = x iy = r(cos ϕ i sin ϕ) = r(cos( ϕ) + i sin( ϕ)) Vi ser altså at vi kommer til den konjugerte ved å gå ut vinkelen ϕ istedenfor ϕ, noe som stemmer overens med speiling om førsteaksen.

4 4. Regning med komplekse tall Vi må nå huske at de komplekse tallene er "nye" matematiske objekter, så derfor må vi definere hvilke regneregler som skal gjelde: Addisjon: Vi kan her tenke tilbake på hvordan to vektorer i planet legges sammen komponentvis. Hvis derfor z = x + iy og z = x + iy, definerer vi summen av z og z ved z + z = (x + x ) + i(y + y ) For z = 3 + 4i og z = 4 6i, finner vi z + z = ( 3 + 4) + i(4 6) = i. Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z+z); Tilsvarende regel gjelder for subtraksjon av komplekse tall. Multiplikasjon: Her har vi ingen klar parallell til vektorregning, men ved å kreve at regneregelen (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd skal gjelde, oppnår en: z z = (x + iy )(x + iy ) = x x + ix y + iy x + i y y Hvis vi så benytter at i = og samler reelt og imaginært hver for seg (skriver på normalform), finner vi: z z = (x x y y ) + i(x y + y x ) For z = 3 + 4i og z = 4 6i, finner vi z z = ( 3 + 4i)(4 6i) = + 8i + 6i 4i = + 34i. Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z*z);

5 5 Siden det egentlig bare finnes to regnearter, nemlig addisjon og multiplikasjon, trenger vi ikke definere hvordan vi skal dividere et komplekst tall med et annet. Men det er likevel behov for å forklare hvordan det kan gjøres. For det første må vi klargjøre at vi anser divisjonen for utført når svaret er skrevet på normalform, og for det andre må vi inn med et lite triks for å få dette til. Eksempel La oss ta utgangspunkt i brøken z z = 3 + 4i 4 6i Vi legger merke til at den ikke står på normalform a + ib. Hvordan skal vi få det til? Poenget er å multiplisere teller og nevner med et passende tall, slik at nevneren blir reell. Det viser seg at vi alltid får dette til ved å multiplisere med den konjugerte av nevneren. Vi skal altså følge opp regnestykket I nevneren får vi da z z = z z z z z z = (4 6i)(4 + 6i) = 4 + 4i 4i 36i = = 5 Som vi ser, er dette reelt. Når vi multipliserer med den konjugerte av nevneren i telleren, får vi z z = ( 3 + 4i)(4 + 6i) = 8i + 6i + 4i = 36 i Dette resulterer i at vi får z z = 36 i 5 = i = i Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z/z); I forbindelse med det å skrive brøker på normalform, vil vi ofte få bruk for resultatet zz = z = x + y

6 6 Eksempel Skriv på polar form tallet z = 3i + ( 3) = + 3 = og tan ϕ = 3 = 3, slik at r = z = ϕ = π. 3 Tallets polare form er altså ( ( z = cos π ) ( + i sin π )) 3 3 Maple: polar(-sqrt(3)*i); På grunnlag av regnereglene som er etablert, er det mulig å vise følgende: () z z = z z () z /z = z / z (3) z = z (4) z z = z z (5) z + z = z + z (6) (z /z ) = z /z (7) arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ) (8) arg(z /z ) = arg(z ) arg(z ) La oss gå gjennom beviset for () og (7): Bevis av () La her z = a + bi og z = c + di. Da er z z = ac bd + i(ad + bc) og z z = (ac bd) +(ad+bc) = a c acbd+b d +a d +adbc+b c. Når vi så stryker de leddene som faller, finner vi z z = a c +b d +a d +b c. På den annen side vil z z = (a +b )(c +d ) = a c +a d +b c +b d. Vi ser altså at z z = z z, noe som bringer oss til at z z = z z Bevis av (7) Vi skal senere, ved hjelp av Eulers formel, se at dette beviset kan gjøres enda enklere, men la oss nå bruke de midler vi har. Polar form: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) og z = r (cos ϕ + i sin ϕ ). Vi multipliserer sammen på vanlig måte og oppnår z z = r r {(cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ ) + i(sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ )}

7 7 Vi benytter så de trigonometriske identitenene og oppnår cos(ϕ + ϕ ) = cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin(ϕ + ϕ ) = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ Vi ser altså at z z = r r {cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )} arg(z z ) = ϕ + ϕ = arg(z ) + arg(z ) Eksempel 3 Finn argumentet til det komplekse tallet z = + i 3 + i Her bør vi benytte resultat (8) fra rammen på forrige side. Vi vet at ϕ = arg( + i) = π og at ϕ 4 = arg( 3 + i) = π. Det følger da at 6 ( ) + i ϕ = arg = ϕ ϕ = π 3 + i 4 π 6 = π Maple: argument((+i)/(sqrt(3)+i)); 3. Eulers formel og de Moivres formel I emnet matematiske metoder lærer man å foreta ulike typer rekkeutviklinger av funksjoner. En rekkeutvikling av en funksjon er en alternativ representasjon av funksjonen. For eksempel har vi at det er mulig å skrive cosinus- og sinusfunksjonen som uendeliggradspolynomer. Disse uendeliggradspolynomene kan en bruke til å vise følgende sammenheng, som kalles Eulers formel: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Denne sammenhengen gjør at den polare formen til et komplekst tall kan skrives z = re iϕ

8 8 Siden vi definerer e iϕ regneregler gjelder: = cos ϕ + i sin ϕ, bør vi egentlig verifisere at vanlige (e iϕ ) = e iϕ og e i(ϕ +ϕ ) = e iϕ e iϕ Dette er ikke vanskelig, men vi hopper over det her (ta det som en øvelse). Eksempel 4 Vis på to måter at z = + i i = i Direkte beregning: Vi multipliserer med den konjugerte av nevneren oppe og nede og finner: z = ( + i)( + i) ( i)( + i) = + i + ( ) = i = i Ved hjelp av Eulers formel: Vi har + i = e i π 4 og i = e i( π 4 ). Dette gjør at + i i = e i π ( ) ( ) 4 = π e i( π 4 ) ei( 4 ( π 4 )) = e i π π π = cos + i sin = + i = i Eksempel 5 Skriv z på normalform dersom z = + 3 i. Siden z = r = + ( 3) = og arg(z) = arctan( 3/) = π, får vi at 3 z = ( e i π 3 Ved Eulers formel vet vi at ) = ( ) e i π 3 = e i π 3 ( ) ( ) e i π π π 3 = cos + i sin 3 3 = 3 i Dette gir oss at z = 4 ( ) 3 i = i Maple: z:=+sqrt(3)*i; polar(z); polar(%ˆ); simplify(%); evalc(%);

9 9 Formler for cos ϕ og sin ϕ Eulers formel e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ gir oss samtidig formelen Hvis vi så betrakter likningene e iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cos ϕ i sin ϕ e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos ϕ i sin ϕ som et likningssystem med cos ϕ og sin ϕ som ukjente, finner vi følgende formler cos ϕ = (eiϕ + e iϕ ) sin ϕ = i (eiϕ e iϕ ) Man kan forstå at det blir en enkel sak å for eksempel finne sin 3 ϕ dϕ på grunnlag av slike formler. Det hele reduserer seg til å integrere eksponensialfunksjoner. Når vi deriverer eller integrerer er det imidlertid viktig at vi regner med i som en vanlig konstant. Vi vet for eksempel at vi får cos ϕ når vi deriverer sin ϕ. Dette er det lett å konstatere ved å derivere i (eiϕ e iϕ ) med hensyn på ϕ. Vi oppnår da ved hjelp av kjernederivasjon d dϕ (sin ϕ) = i (ieiϕ ( i)e iϕ ) = (eiϕ + e iϕ ) = cos ϕ. Eulers formel gir opphav til noe vi kaller de Moivres formel, ved at vi opphøyer hver side i n. venstre side høyre side (e iϕ ) n = e inϕ = cos(nϕ) + i sin(nϕ) (cos ϕ + i sin ϕ) n de Moivres formel er altså gitt ved: cos(nϕ) + i sin(nϕ) = (cos ϕ + i sin ϕ) n For n = står det jo det samme på hver side, men for n = får vi cos(ϕ) + i sin(ϕ) = (cos ϕ + i sin ϕ)

10 Hvis vi nå regner ut høyresiden på vanlig måte, finner vi Vi har altså identiteten (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ sin ϕ + i cos ϕ sin ϕ cos(ϕ) + i sin(ϕ) = cos ϕ sin ϕ + i cos ϕ sin ϕ Realdelen og imaginærdelen på hver side må stemme, noe som fører til de kjente identitetene cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ og sin(ϕ) = cos ϕ sin ϕ Det er klart at vi kan få tilsvarende formler for høyere verdier av n. Maple: likn:=cos(*phi)+i*sin(*phi)=(cos(phi)+i*sin(phi))ˆ:%; lhs(likn)=expand(rhs(likn)); evalc(re(lhs(%)))=evalc(re(rhs(%))); evalc(im(lhs(%%)))=evalc(im(rhs(%%))); 4. Noen likninger med komplekse løsninger Andregradslikninger La oss se på parabelen gitt ved y = x + x +. Grafen ser slik ut Ut fra grafen skjønner vi at andregradslikningen x + x + = ikke vil ha reelle løsninger. Den ligger i sin helhet over førsteaksen. Algebraens fundamentalteorem forteller at en n-tegradslikning alltid vil ha n løsninger, men da regner vi med multiplisitet. Det vil si at vi skriver x = x =, og markerer at vi har to løsninger dersom likningen skulle være gitt ved (x ) =. x = sies å være en løsning med multiplisitet. Fundamentalteoremet sier altså at likningen x +x+ = vil ha to løsninger

11 siden den er av grad. Når vi bruker abc-formelen, finner vi (siden a = og b = c = ) x, = ± 4 = ± 4 Siden vi har at (±i) = (±) i = 4 ( ) = 4, finner vi Maple: solve(xˆ+*x+=, x); x, = ± i = ± i Selv om det ikke er helt matematisk presist, går det greit å regne med i = når vi løser andregradslikninger. Vi legger også merke til at de to løsningene er kompleks konjugerte av hverandre. Dette er ikke tilfeldig. I enhver n- tegradslikning a n z n + a n z n a z + a = med reelle koeffisienter a n, a n,..., a vil løsningene forekomme i komplekskonjugerte par (husk at reelle tall er komplekskonjugert av seg selv). En andregradslikning az + bz + c = har komplekse løsninger når b 4ac < (negativt under rottegnet). Løsningene kan da skrives: z, = b ± 4ac b i a Her forutsetter vi at a, b og c er reelle Eksempel 6 La oss betrakte andregradslikningen z = + i Her er ikke alle koeffisientene reelle, så vi må inn med en annen tilnærmingsmåte. Løsningene av denne likningen må uansett kunne skrives på formen z = x + iy, så la oss sette inn dette for z og se hva som skjer: Vi regner ut venstresiden og får (x + iy) = + i x y + xyi = + i Real- og imaginærdel må stemme overens, slik at x y =

12 og xy = Dette er to (ikkelineære) likninger med to ukjente. Vi må nå huske at x og y begge er rent reelle tall. Vi får fra den andre at y =, som innsettes i den x første. Da oppnår vi ( ) x = x Vi multipliserer med (x) = 4x på hver side av likhetstegnet, slik at vi oppnår 4x 4 4x = Dette er en kamuflert andregradslikning i u = x : 4u 4u = Vi løser på vanlig måte og oppnår u, = 4 ± ( 4) 4 4 ( ) 4 = 4 ± 3 8 = 4 ± 6 8 = 4 ± 4 8 Vi finner altså x = ± Her er det selvsagt bare plussvarianten som er gyldig, så vi får + x = som gir x = ± + og y = ± De to løsningene av den opprinnelige likningen blir derfor + z = + i + og z = i Maple: solve(zˆ=+i, z); seq(zi=evalc(%i), i=..); Vi skal i neste avsnitt se hvordan en likning som denne kan løses uten å bruke rotuttrykk, nemlig ved hjelp av sinus- og cosinusfunksjoner. Først setter vi imidlertid opp generelle uttrykk for løsningene av likningen z = w der w er kompleks

13 3 Dersom Im w >, har likningen z = w løsningene: w + Re w w Re w z, = ± + i Dersom Im w <, har likningen z = w løsningene: w + Re w w Re w z, = ± i Eksempel 7 Løs likningen, gitt ved z = 3 i. Vi bruker formelen i den nederste av rammene over fordi w = 3 i gir Im w = <. Vi har videre Re w = 3 og w = 3 + ( ) = 3. De to løsningene gis derfor ved z, = ± i Maple: solve(zˆ=3-*i, z); seq(zi=evalc(%i), i=..); Eksempel 8 Løs likningen gitt ved ( i)z + ( + i)z + =. abc-formelen gir z, = ( + i) ± ( + i) 4 ( i) ( i) Vi samler leddene under rottegnet slik at z, = i ± 8 + 6i 4 i = i ± + i 8 + 4i 4 i For å komme videre, legger vi merke til at ± 8 + 6i er løsningene til likningen u = 8 + 6i. For å få skrevet løsningene på normalform, bruker vi den øverste av formlene i rammen over. Vi finner da u = ± + i = ±( + 3i)

14 4 Løsningene av den opprinnelige likningen blir da z, = i ± ( + 3i) 4 i = i = i(4+i) 4 i 4i 4 i = + i 4 +( ) 5 5 = ( 4i)(4+i) = i = i 4 +( ) Vi finner altså z = i og z = i Vi legger merke til at disse ikke utgjør et komplekskonjugert par. Det er fordi koeffisientene i likningen ikke alle er reelle. Likningen z n = w der w er kompleks Vi legger merke til at likningen z = w, som vi tidligere har skrevet opp løsningene til, blir et spesialtilfelle av denne. Når vi løser likningen z n = w, pleier vi å si at vi finner n-terøttene til tallet w. Vi skal her imidlertid finne løsningene på trigonometrisk form istedenfor ved rottegn. Vi skal altså bruke cosinus og sinus for å uttrykke løsningene. Det vi alltid kan si om løsningene til en slik likning, er at det er n stykker av dem og at de ligger jevnt fordelt langs en sirkel om origo med radius w. n Hvis vi da bare vet hvor en av løsningene befinner seg, kan vi lett finne de andre ved å dele sirkelen inn i n like store deler. For å finne alle løsningene, må vi bruke at sinus og cosinus er periodiske funksjoner med periode π. Løsningene er gitt ved ( ( ) ( )) arg(w) + kπ arg(w) + kπ z k = w n cos + i sin n n, k =,..., n For hver verdi av k vi setter inn får vi en ny løsning. Hvis vi skulle sette inn k-verdier som er større eller lik n, får vi bare gjentakelser av de løsningene vi allerede har oppnådd for lavere verdier. Vi kan også nevne at løsningene kan uttrykkes mer elegant ved hjelp av Eulers formel. Det er via denne vi faktisk kommer frem til løsningene i rammen over. Eulers formel gir oss z k = n w e arg(w)+kπ n i, k =,..., n

15 5 Eksempel 9 Finn røttene i likningen z 5 = 3 og tegn dem inn i det komplekse planet. Her har vi altså w = 3, så w er et positivt reelt tall, med arg(w) =. Vi må og så finne ut hva n w blir i dette tilfellet. Siden w er reell, får vi w = w = 3. Vi har n = 5, noe som gir oss w n = 5 3 =. Løsningene av likningen blir derfor ( ( ) ( )) + kπ + kπ z k = cos + i sin, k =,..., Vi setter så inn de 5 k-verdiene for å se nærmere på løsningene. z = (cos + i sin ) = Dette er den vanlige reelle femteroten til 3. z = z = z 3 = z 4 = ( ( π cos 5 ( ( 4π cos 5 ( ( 6π cos 5 ( ( 8π cos 5 ) ) ) ) ( π + i sin 5 ( 4π + i sin 5 ( 6π + i sin 5 ( 8π + i sin 5 )) )) )) )) En grafisk fremstilling av røttene: Maple: p:=plot(*cos(t),*sin(t), t=..*pi, color=black, thickness=):%; L:=seq(*cos(*Pi*k/5),*sin(*Pi*k/5), k=..4); p:=plot(l, style=point, symbol=circle, symbolsize=5, color=black):%; display(p,p);

16 6 De som har calc-pakka, kan få røttene i likningen z 5 = 3 representert direkte ved å skrive dette: Maple: with(calc): KompleksRot(zˆ5=3); Hvis vi har en rekke komplekse tall som ikke er knyttet til en likning, men som vi ønsker en grafisk representasjon for, kan vi bruke kommandoen complexplot som er tilgjengelig innenfor plots-pakka. La oss likevel ta utgangspunkt i de komplekse tallene + i, 3i, i og 3 i. Vi benytter så complexplot-kommandoen for å representere dem grafisk: Maple: with(plots): L:=-+I,-3*I,I,3-I; complexplot(l, x=-..3, style=point); Når vi for eksempel opphøyer et komplekst tall i andre, vil argumentet dobles. Opphøyer vi i tredje, triples argumentet osv. Når vi for eksempel skal finne kvadratroten til et komplekst tall, vil argumentet i utgangspunktet halveres. Om vi tar tredjeroten, tredeles argumentet. Eksempel Finn ved geometrisk resonnement de to røttene til likningen z = i. Vi vet at argumentet til høyresiden i er π, siden dette tallet ligger på den positive imaginæraksen. Det betyr at vi må få en rot som har halve argumentet, nemlig π. Siden røttene jevnfordeler seg langs enhetssirkelen (husk at i = ), 4 må den andre roten ha argument π + π = 5π. Vi skjønner også at dersom en 4 4 av løsningene er z, vil den andre være z = z. De to røttene blir derfor z = z = ( ( ) ( )) π π cos + i sin = 4 4 ( ( 5π cos 4 ) ( 5π + i sin 4 )) = + i i Dette svarer jo til at både real- og imaginærdel skifter fortegn når vi legger til en vinkel π.

17 7 OPPGAVER K- Skriv tallene på rektangulær form (normalform): a) ( + i)(3 i) b) ( + i) 4 c) i d) 3 + 4i + i + + i + ( 3 + i e) + i + i ) ( 3 i i i ) f) ( ) ( 6 )i 3 + i ( ) i ( ) + i ( ) 3 3 i g) + h) i) ( + i) n 3 + i 3 i K- Skriv tallene på polar form (trigonometrisk form). Uttrykk vinklene i grader og avrund til desimaltall om nødvendig: n= a) + 3i b) 3 + i c) i d) ( + i) 6 e) (3 i) 4 ( + i) 6 f) + 3i + i K-3 La U og V være komplekse tall. Vis at da er a) UV + UV et reelt tall. b) U U V UV U et tall med modul. K-4 Det komplekse tallet z har realdel og argument π. Finn z. 3 K-5 Skriv røttene i likningen z 6z+34 = på formen a+bi (normalform/rektangulær form). K-6 Skriv røttene i likningen z 3z + = på formen a + bi. K-7 a) Finn det komplekskonjugerte tallet til z = 4 i. b) Tegn z og z i samme aksekors.

18 8 K-8 Regn ut + i 4 (3i 5 i 6 ) ( i) 7. K-9 Regn ut i 5 + i 67. K- Skriv det komplekse tallet 3 + 3i på trigonometrisk (polar) form. K- Skriv det komplekse tallet på formen x + iy. ( ( 5π 4 cos 6 ) ( 5π + i sin 6 )) K- a) Finn likningssammenhengen mellom x og y for kurven i det komplekse planet som er definert ved z i = når z = x + iy. Hvordan kan dette sees uten regning? b) Plot kurven. K-3 Gitt z = ( 3 + 3i)( 3 + i). a) Utfør multiplikasjonen direkte. b) Utfør multiplikasjonen ved først å skrive faktorene i z på trigonometrisk form. K-4 3 i Gitt z = + 3i. a) Utfør divisjonen direkte. b) Utfør divisjonen ved først å skrive teller og nevner i z på trigonometrisk form. K-5 Gitt z = ( + 3i) ( 3 i) a) Finn z direkte. b) Finn z ved først å skrive teller og nevner på trigonometrisk form. K-6 Bruk de Moivres formel til å utlede formler for cos(4ϕ) og sin(4ϕ).

19 9 K-7 Bruk de Moivres formel til å utlede formler for cos(5ϕ) og sin(5ϕ). K-8 Løs likningen z 4 = 6i. K-9 Løs likningen z 8 = 56i K- Skriv 6i på formen re iϕ. K- Løs likningen z = 3 + i og uttrykk løsningene både ved hjelp av rottegn og ved hjelp av sinus og cosinus. Finn utfra dette formler for cos ( ( ) π ) og sin π. K- Løs likningen z + ( i)z + i =. K-3 Finn alle røttene i likningen z 4 + 5z + 6 =. K-4 Gitt polynomet p(z) = z 6 z 5 + z 4 6z 3 4z 4z 4. Finn alle røttene i likningen p(z) =. Plot grafen til p(x) i et passende intervall. Kommenter grafen i lys av nullpunktene.

20 FASIT K-: a) 8 i b) 7 4i c).48.64i d) h) i) i j) 3 i K-: a) 3.66(cos(56.3 ) + i sin(56.3 )) b) (cos(5 ) + i sin(5 )) c) (cos( 35 ) + i sin( 35 )) d) 5(cos(59.39 ) + i sin(59.39 )) e).5(cos( ) + i sin( )) f) (cos(5 ) + i sin(5 )) K-4: z = + 3i K-5: x = 3 ± 5i K-6: x = 3 4 ± 7 4 i K-7: z = 4 + i K-8: 4i K-9: i e)..8i f) 4 65 g) i K-: 3 ( cos ( ) ( 5π 6 + i sin 5π )) 6 K-: 3 + i K-: x + (y ) = 4. Sirkel med sentrum i i og radius=. K-3: 4 3i K-4: i K-5: 3i K-6: cos(4ϕ) = cos 4 ϕ 6 cos ϕ sin ϕ + sin 4 ϕ og sin(4ϕ) = 4 sin ϕ cos 3 ϕ 4 cos ϕ sin 3 ϕ K-7: cos(5ϕ) = cos 5 ϕ cos 3 ϕ sin ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ og sin(5ϕ) = 5 cos 4 ϕ sin ϕ cos ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ K-8: z = ( cos ( ) ( π 8 + i sin π 8 z 3 = ( cos ( ) ( 3π 8 + i sin 3π )) 8 K-9: z = ( cos ( π z 3 = ( cos ( 3π 6 z 6 = ( cos ( 5π 6 K-: z = e π 3 i K-: cos ( π )), z = ( cos ( 5π 8 ) + i sin ( 5π 8 )), z = ( cos ( ) ( 9π 8 + i sin 9π )) 8, ( 6) + i sin π )) 6, z = ( cos ( ) ( 5π 6 + i sin 5π )) 6, z = ( cos ( ) ( 9π 6 + i sin 9π )) ) ( 6, + i sin 3π )) 6 z4 = ( cos ( ) ( 7π 6 + i sin 7π )) 6, z5 = ( cos ( ) ( π 6 + i sin π )) ) ( 6, + i sin 5π )), z7 = ( cos ( ) ( 9π + i sin 9π )) 6 ) = 6+ 4 og sin ( π 6 ) = 6 4 K-: z = + + i og z = + + i K-3: z = ± i og z = ± 3i K-4: z = ± i, z = ±i og z = ± 3 Bare de reelle løsningene fremkommer som skjæringspunkter mellom polynomets graf og førsteaksen, slik vi kan se på figuren under. 6

21 UKE 4. Matriser Vi skal ta for oss en type matematiske objekter som kan sies å være en generalisering av vektorene. Disse objektene kalles matriser. Matrisene er svært nyttige i mange situasjoner, for eksempel ved representasjon og løsning av lineære likningssystemer. Ved hjelp av matriser kan en også introdusere det svært sentrale begrepet lineær transformasjon. Definisjon En systematisk oppstilling av elementer i m rekker (horisontale) og n søyler (eller kolonner) kalles en m n-matrise (m ganger n-matrise). I vårt tilfelle vil hvert element være et tall (reelt eller komplekst). Matrisen A under er et eksempel på en 3 4-matrise: A = Maple: with(linalg): A:=matrix(3,4,,-3,5,,-,3,,6,-4,4,9,7); Hvis vi lar a i,j betegne det elementet i en vilkårlig matrise, som står både på rekke i og søyle j, vil vi for matrisen A for eksempel ha at a,3 = og a 3, = 4. Maple: A,3; A3,; Vi skal senere lære å regne med matriser som egne matematiske objekter (addere, multiplisere, invertere osv), men først skal vi se hvordan matrisenotasjonen kan være et middel for løsning av lineære likningssystemer.. Løsning av lineære likningssystemer uten hjelp av matriser La oss ta utgangspunkt i et likningssystem med 3 likninger og 3 ukjente. x + y 3z = 6 x y + z = x + y + 4z = 3

22 Et slikt likningssystem vil enten ha ingen løsninger (selvmotsigende system), en eneste løsning eller uendelig mange løsninger. Hvis vi ønsker å løse et lineært likningssystemet ved å eliminere ukjente, er følgende operasjoner lovlige uten at løsningsmengden endres: () Erstatte en av likningene med summen av seg selv og en annen. () To likninger kan bytte plass. (3) Multiplisere hver side av en likning med en konstant. Med utgangspunkt i likningssystemet på foregående side kan vi da få fram et nytt likningssystem x + y 3z = 6 5y + 7z = 3y + z = 3 Dette fremkom fra det første ved at vi gjorde endringene likning likning + ( ) likning likning 3 likning 3 + likning Som vi ser over, kan det ofte være effektivt å kombinere () og (3) i en samlet operasjon, men vi kan også multiplisere opp likningene med passende konstanter før likningsaddisjonen foretas. La oss derfor, før vi går videre, multiplisere likning og likning 3 med henholdsvis 3 og 5, slik at vi oppnår systemet: La oss så foreta endringen x + y 3z = 6 5y + z = 33 5y + 5z = 5 Dette gir systemet: likning 3 likning 3 + likning x + y 3z = 6 5y + z = 33 6z = 8 Vi ser at denne prosessen har gitt et forenklet likningssystem, hvor vi umiddelbart finner z = 9 fra den siste av likningene. Ideen er å suksessivt 3 tilbakesubstituere til likningene over, slik at vi finner en og en løsning. ) Setter vi altså denne z-verdien inn i likningen over, finner vi 5y+ ( 9 3 = 33. Løser vi denne på vanlig måte, finner vi y = 6. Hvis både z og y settes inn i 3 den øverste av likningene, finner vi at x = 9 3.

23 3 3. Sammenhengen mellom matriser og likningssystemer. Rekkeoperasjoner på matriser. Vi skal nå se hvordan matriser kan brukes til å løse likningssystemer. La oss betrakte likningssystemet x + y + 3z = x + y + z = x + y + z = 3 Vi sier at A= 3 er koeffisientmatrisen til likningssystemet og videre at 3 T = 3 er totalmatrisen eller den utvidede matrisen til systemet. Det er totalmatrisen til likningssystemet som representerer hele systemet, så det er den vi skal gå videre med. På tilsvarende måte som vi definerte lovlige operasjoner for likningene, kan vi nå definere lovlige rekkeoperasjoner for de tre rekkene R, R og R 3 i totalmatrisen T : () Erstatte en av rekkene med summen av seg selv og en annen. () To rekker kan bytte plass. (3) Multiplisere en rekke med en konstant. Når vi legger sammen to rekker, gjør vi det ved komponentvis addisjon. For eksempel vil vi få en rekke med komponentene hvis vi adderer den første og den andre rekka i matrisen T. Etter å ha gjort et visst antall lovlige rekkeoperasjoner på en totalmatrise, har vi en matrise som ikke er lik den vi startet med, men som likevel har de samme løsningene (hvis noen). Vi kaller matriser som vi kommer til ved hjelp av rekkeoperasjoner for rekkeekvivalente matriser. Hvis en matrise E og en matrise F er rekkeekvivalente, skriver vi E F Ideen er altså nå at vi skal bruke matriser i mellomregningen mellom et første komplisert likningssystem og et likningssystem som har en enklere form.

24 4 4. Likningsløsning ved Gauss-eliminasjon. Matriser på innrykksform/trappeform. Vi husker at likningssystemet x + y + 3z = x + y + z = x + y + z = 3 har totalmatrisen T = 3 3 Vi skal nå ved hjelp av rekkeoperasjoner bringe T over på innrykksformen a b c d e f g h i Vi legger merke til at innrykksformen har bare nuller under hoveddiagonalen (som består av elementene a, e og h). Grunnen til at innrykksformen er gunstig, er at den representerer et enklere likningssystem ax + by + cz = d ey + fz = g hz = i Som vi tidligere har sett, kan dette systemet løses ved hjelp av suksessiv tilbakesubstitusjon ved at vi starter nederst, med den enkleste av likningene, og så arbeider oss oppover. La oss gå konkret til verks og bringe matrisen T = 3 3 innrykksform. Den generelle framgangsmåten er slik og betegnes med gausseliminasjon: over på (A) Ved eventuelt å bytte plassering, sørger vi for at den første rekka ikke har null som første element, altså a,. (B) Vi lager oss nuller i hele første kolonne under a, ved å utføre passende rekkeoperasjoner. (C) Etter at (A) og (B) er gjennomført, sørger vi for, ved eventuell ombytting, at a, (altså elementet som står i andre rekke og andre kolonne). Og benytter deretter rekkeoperasjoner til å lage nuller under a,. Slik fortsetter prosedyren inntil matrisen står på innrykksform.

25 5 La oss gjennomføre gausseliminasjon på matrisen T, slik at vi får den på innrykksform: 3 3 R R R R 3 R 3 R 3 5 R 3 R 3 + R Maple manuell: with(linalg): T:=matrix(3,4,,,3,,,,,,,,,3); T:=addrow(T,,,-); T:=addrow(T,,3,-); T3:=mulrow(T,3,-); T4:=addrow(T3,,3,); Maple direkte: with(linalg): T:=matrix(3,4,,,3,,,,,,,,,3); S:=gausselim(T); Det tilhørende likningssystemet blir nå Ved suksessiv innsetting oppnår vi x + y + 3z = y + 5z = z = 4 z = 4 y = 5 z = 5 4 = x = y 3z = ( ) 3 4 = 9 Maple: x,y,z =backsub(s); Dette forutsetter at S er matrisen på innrykksform. 5. Likningssystemer med ingen eller uendelig mange løsninger Et likningssystem kan være inkonsistent (selvmotsigende) eller ha uendelig mange løsninger. La oss se hvordan vi kan håndtere disse situasjonene ved å benytte gausseliminasjon (bringe totalmatrisen på innrykksform). Vi skal gjøre det ved å se på to eksempler:

26 6 Eksempel Finn eventuelle løsninger av likningssystemet x 3y + 6z = 7 x + 4y z = 3 x 5y + 7z = 4 Vi danner totalmatrisen T = Vi bringer så matrisen over på innrykksform ved gausseliminering: R R + R R 3 R 3 R R 3 R 3 R Vi ser at nederste rekka består av bare nuller, noe som betyr at vi bare har uavhengige likninger, nemlig x 3y + 6z = 7 y + z = 7 Vi kan nå uttrykke både x og y ved hjelp av z, som da blir fri variabel. Fra den andre likningen finner vi y = z 7 Hvis dette uttrykket for y settes inn i den første likningen, finner vi x uttrykt ved z: ( x = 7 + 3y 6z = z 7 ) 6z = z 6z = 37 + z Samlet er det da mulig å skrive løsningstriplene (som det er uendelig mange av) slik: x = 37 + z y = 7 + z z = z z kan velges fritt

27 7 Geometrisk svarer dette til at de to likningene representerer to plan. Hvis begge likningene skal være tilfredsstilt, svarer det til at vi er på skjæringslinja mellom de to planene. Punktene på skjæringslinja utgjør altså alle løsningene av systemet. Maple med matriser: with(linalg): T:=matrix(3,4,,-3,6,7,-,4,-,3,,-5,7,4); S:=gausselim(T); x,y,z=backsub(s); Maple uten matriser: solve({x-3*y+6*z=7,-*x+4*y-z=3,x-5*y+7*z=4}, {x,y,z}); Eksempel Finn eventuelle løsninger av likningssystemet x + 6y 3z = 6x y z = 3 3x 7y + z = Vi setter som vanlig opp totalmatrisen og finner deretter innrykksformen ved gausseliminasjon: R 3 R 3 + R R R + 6 R R 3 R 3 3R Hvis vi nå konverterer denne matrisen tilbake til likningssystem, får vi

28 8 x + 6y 3z = 35y z = 3 = Her ser vi selvmotsigelsen i siste likning. Altså konkluderer vi med at det ikke finnes løsninger av dette systemet. Geometrisk svarer dette til at tre plan ikke går gjennom noe felles punkt. Dette vil for eksempel inntreffe dersom to av planene er parallelle. 6. Matriser på redusert innrykksform. Gauss-jordan-eliminasjon. En matrise sies å være på innrykksform dersom (A) (B) (C) Alle rekkene med bare nuller er samlet nederst. Det ledende elementet (det første som er ) i en rekke finnes i en kolonne til høyre for det ledende elementet i rekka over. Alle elementer i en kolonne som ligger under et ledende element, er null. En matrise som er på redusert innrykksform, må i tillegg til å oppfylle kravene ovenfor også tilfredsstille følgende: (D) Det ledende elementet i hver rekke er. (E) Hvert ledende ettall er det eneste elementet forskjellig fra null på den kolonnen hvor den står. Vi skal da være klar over at matriser på redusert innrykksform entydige, mens matriser på innrykksform ikke er det. Eksempel 3 Bring matrisen A = over på redusert innrykksform. 3 3 Vi bringer først A over på ordinær innrykksform ved vanlig gausseliminasjon: 3 3 R 3 R 3 3R R 3 R 3 + 4R

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04. Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011 R 011/1 - Kapittel : 19. september 19. oktober 011 Plan for skoleåret 011/01: Kapittel : 17/9-0/10. Kapittel 3:5/10 19/11. Kapittel 4: 19/11 1/1. Kapittel 5: 1/1 11/. Kapittel 6: 11/ 9/3. Kapittel 7: 19/3

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

Multiplikasjon og divisjon av brøk

Multiplikasjon og divisjon av brøk Geir Martinussen, Bjørn Smestad Multiplikasjon og divisjon av brøk I denne artikkelen vil vi behandle multiplikasjon og divisjon av brøk, med særlig vekt på hvilke kontekster vi kan bruke og hvordan vi

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer