KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z"

Transkript

1 KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at i =. Det betyr at vi har laget oss en løsning av likningen x = eller x + =. Den andre løsningen av denne andregradslikningen blir da selvsagt i. i kalles for den imaginære enheten. Et vilkårlig komplekst tall kan skrives på formen z = x + iy hvor x og y er reelle tall x kalles for realdelen og y for imaginærdelen til z, og vi skriver x = Re z og y = Im z Maple: Re(x+I*y); Im(x+I*y); Ovenfor er det komplekse tallet z representert på normalform (rektangulær form). For å danne et bilde av den komplekse tallmengden, kan det være hensiktsmessig å representere hvert komplekst tall ved et punkt i det komplekse (tall)plan iy iy x + iy x x

2 Som en ser, er det her en klar geometrisk parallell til xy-planet. På samme måten som vi kan dekomponere en vilkårlig vektor i R på formen p = x e +y e = x, y kan vi faktisk betrakte de komplekse tallene som vektorer i det vi lar tallet være enhetsvektor langs realaksen og lar i være enhetsvektor langs imaginæraksen. Noen av de operasjonene vi kan gjøre på vanlige vektorer i planet, som for eksempel addisjon av vektorer og finne lengden av vektorer, har dermed relevans for regning med komplekse tall. La oss, før vi går løs på regnereglene, gjøre de nødvendige definisjonene: Vi definerer normen (modulen/absoluttverdien) til det komplekse tallet z = x + iy ved z = x + y Maple: abs(x+i*y); Den kompleks konjugerte til z defineres ved z = x iy Maple: conjugate(x+i*y); Av figuren under kan vi se at kompleks konjugering svarer til en speilvending om realaksen Im x + iy Re x iy

3 3 Noen ganger er det hensiktsmessig å representere et punkt i xy-planet ved hjelp av polare koordinater. Tilsvarende kan vi representere det komplekse tallet z = x + iy på polar form (trigonometrisk form): z = r cos ϕ + ir sin ϕ Maple: polar(x+i*y); Her er r lengden av det begrensede linjestykket fra origo til z, altså normen til z, og ϕ er vinkelen som denne linjen danner med realaksen. ϕ kalles for argumentet til z. Dersom vi krever at π < ϕ π, kalles ϕ for hovedargumentet til z. Geometrisk vil r og ϕ fremkomme slik: Im r ϕ z Re Vi har følgende sammenhenger: x = r cos ϕ y = r sin ϕ r = x + y = z tan ϕ = y x Vi presiserer at normen til et komplekst tall er avstanden fra origo og ut til det komplekse tallet. En kan også legge merke til følgende: z = x iy = r(cos ϕ i sin ϕ) = r(cos( ϕ) + i sin( ϕ)) Vi ser altså at vi kommer til den konjugerte ved å gå ut vinkelen ϕ istedenfor ϕ, noe som stemmer overens med speiling om førsteaksen.

4 4. Regning med komplekse tall Vi må nå huske at de komplekse tallene er "nye" matematiske objekter, så derfor må vi definere hvilke regneregler som skal gjelde: Addisjon: Vi kan her tenke tilbake på hvordan to vektorer i planet legges sammen komponentvis. Hvis derfor z = x + iy og z = x + iy, definerer vi summen av z og z ved z + z = (x + x ) + i(y + y ) For z = 3 + 4i og z = 4 6i, finner vi z + z = ( 3 + 4) + i(4 6) = i. Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z+z); Tilsvarende regel gjelder for subtraksjon av komplekse tall. Multiplikasjon: Her har vi ingen klar parallell til vektorregning, men ved å kreve at regneregelen (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd skal gjelde, oppnår en: z z = (x + iy )(x + iy ) = x x + ix y + iy x + i y y Hvis vi så benytter at i = og samler reelt og imaginært hver for seg (skriver på normalform), finner vi: z z = (x x y y ) + i(x y + y x ) For z = 3 + 4i og z = 4 6i, finner vi z z = ( 3 + 4i)(4 6i) = + 8i + 6i 4i = + 34i. Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z*z);

5 5 Siden det egentlig bare finnes to regnearter, nemlig addisjon og multiplikasjon, trenger vi ikke definere hvordan vi skal dividere et komplekst tall med et annet. Men det er likevel behov for å forklare hvordan det kan gjøres. For det første må vi klargjøre at vi anser divisjonen for utført når svaret er skrevet på normalform, og for det andre må vi inn med et lite triks for å få dette til. Eksempel La oss ta utgangspunkt i brøken z z = 3 + 4i 4 6i Vi legger merke til at den ikke står på normalform a + ib. Hvordan skal vi få det til? Poenget er å multiplisere teller og nevner med et passende tall, slik at nevneren blir reell. Det viser seg at vi alltid får dette til ved å multiplisere med den konjugerte av nevneren. Vi skal altså følge opp regnestykket I nevneren får vi da z z = z z z z z z = (4 6i)(4 + 6i) = 4 + 4i 4i 36i = = 5 Som vi ser, er dette reelt. Når vi multipliserer med den konjugerte av nevneren i telleren, får vi z z = ( 3 + 4i)(4 + 6i) = 8i + 6i + 4i = 36 i Dette resulterer i at vi får z z = 36 i 5 = i = i Maple: z:=-3+4*i: z:=4-6*i: evalc(z/z); I forbindelse med det å skrive brøker på normalform, vil vi ofte få bruk for resultatet zz = z = x + y

6 6 Eksempel Skriv på polar form tallet z = 3i + ( 3) = + 3 = og tan ϕ = 3 = 3, slik at r = z = ϕ = π. 3 Tallets polare form er altså ( ( z = cos π ) ( + i sin π )) 3 3 Maple: polar(-sqrt(3)*i); På grunnlag av regnereglene som er etablert, er det mulig å vise følgende: () z z = z z () z /z = z / z (3) z = z (4) z z = z z (5) z + z = z + z (6) (z /z ) = z /z (7) arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ) (8) arg(z /z ) = arg(z ) arg(z ) La oss gå gjennom beviset for () og (7): Bevis av () La her z = a + bi og z = c + di. Da er z z = ac bd + i(ad + bc) og z z = (ac bd) +(ad+bc) = a c acbd+b d +a d +adbc+b c. Når vi så stryker de leddene som faller, finner vi z z = a c +b d +a d +b c. På den annen side vil z z = (a +b )(c +d ) = a c +a d +b c +b d. Vi ser altså at z z = z z, noe som bringer oss til at z z = z z Bevis av (7) Vi skal senere, ved hjelp av Eulers formel, se at dette beviset kan gjøres enda enklere, men la oss nå bruke de midler vi har. Polar form: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) og z = r (cos ϕ + i sin ϕ ). Vi multipliserer sammen på vanlig måte og oppnår z z = r r {(cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ ) + i(sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ )}

7 7 Vi benytter så de trigonometriske identitenene og oppnår cos(ϕ + ϕ ) = cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin(ϕ + ϕ ) = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ Vi ser altså at z z = r r {cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )} arg(z z ) = ϕ + ϕ = arg(z ) + arg(z ) Eksempel 3 Finn argumentet til det komplekse tallet z = + i 3 + i Her bør vi benytte resultat (8) fra rammen på forrige side. Vi vet at ϕ = arg( + i) = π og at ϕ 4 = arg( 3 + i) = π. Det følger da at 6 ( ) + i ϕ = arg = ϕ ϕ = π 3 + i 4 π 6 = π Maple: argument((+i)/(sqrt(3)+i)); 3. Eulers formel og de Moivres formel I emnet matematiske metoder lærer man å foreta ulike typer rekkeutviklinger av funksjoner. En rekkeutvikling av en funksjon er en alternativ representasjon av funksjonen. For eksempel har vi at det er mulig å skrive cosinus- og sinusfunksjonen som uendeliggradspolynomer. Disse uendeliggradspolynomene kan en bruke til å vise følgende sammenheng, som kalles Eulers formel: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Denne sammenhengen gjør at den polare formen til et komplekst tall kan skrives z = re iϕ

8 8 Siden vi definerer e iϕ regneregler gjelder: = cos ϕ + i sin ϕ, bør vi egentlig verifisere at vanlige (e iϕ ) = e iϕ og e i(ϕ +ϕ ) = e iϕ e iϕ Dette er ikke vanskelig, men vi hopper over det her (ta det som en øvelse). Eksempel 4 Vis på to måter at z = + i i = i Direkte beregning: Vi multipliserer med den konjugerte av nevneren oppe og nede og finner: z = ( + i)( + i) ( i)( + i) = + i + ( ) = i = i Ved hjelp av Eulers formel: Vi har + i = e i π 4 og i = e i( π 4 ). Dette gjør at + i i = e i π ( ) ( ) 4 = π e i( π 4 ) ei( 4 ( π 4 )) = e i π π π = cos + i sin = + i = i Eksempel 5 Skriv z på normalform dersom z = + 3 i. Siden z = r = + ( 3) = og arg(z) = arctan( 3/) = π, får vi at 3 z = ( e i π 3 Ved Eulers formel vet vi at ) = ( ) e i π 3 = e i π 3 ( ) ( ) e i π π π 3 = cos + i sin 3 3 = 3 i Dette gir oss at z = 4 ( ) 3 i = i Maple: z:=+sqrt(3)*i; polar(z); polar(%ˆ); simplify(%); evalc(%);

9 9 Formler for cos ϕ og sin ϕ Eulers formel e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ gir oss samtidig formelen Hvis vi så betrakter likningene e iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cos ϕ i sin ϕ e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos ϕ i sin ϕ som et likningssystem med cos ϕ og sin ϕ som ukjente, finner vi følgende formler cos ϕ = (eiϕ + e iϕ ) sin ϕ = i (eiϕ e iϕ ) Man kan forstå at det blir en enkel sak å for eksempel finne sin 3 ϕ dϕ på grunnlag av slike formler. Det hele reduserer seg til å integrere eksponensialfunksjoner. Når vi deriverer eller integrerer er det imidlertid viktig at vi regner med i som en vanlig konstant. Vi vet for eksempel at vi får cos ϕ når vi deriverer sin ϕ. Dette er det lett å konstatere ved å derivere i (eiϕ e iϕ ) med hensyn på ϕ. Vi oppnår da ved hjelp av kjernederivasjon d dϕ (sin ϕ) = i (ieiϕ ( i)e iϕ ) = (eiϕ + e iϕ ) = cos ϕ. Eulers formel gir opphav til noe vi kaller de Moivres formel, ved at vi opphøyer hver side i n. venstre side høyre side (e iϕ ) n = e inϕ = cos(nϕ) + i sin(nϕ) (cos ϕ + i sin ϕ) n de Moivres formel er altså gitt ved: cos(nϕ) + i sin(nϕ) = (cos ϕ + i sin ϕ) n For n = står det jo det samme på hver side, men for n = får vi cos(ϕ) + i sin(ϕ) = (cos ϕ + i sin ϕ)

10 Hvis vi nå regner ut høyresiden på vanlig måte, finner vi Vi har altså identiteten (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ sin ϕ + i cos ϕ sin ϕ cos(ϕ) + i sin(ϕ) = cos ϕ sin ϕ + i cos ϕ sin ϕ Realdelen og imaginærdelen på hver side må stemme, noe som fører til de kjente identitetene cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ og sin(ϕ) = cos ϕ sin ϕ Det er klart at vi kan få tilsvarende formler for høyere verdier av n. Maple: likn:=cos(*phi)+i*sin(*phi)=(cos(phi)+i*sin(phi))ˆ:%; lhs(likn)=expand(rhs(likn)); evalc(re(lhs(%)))=evalc(re(rhs(%))); evalc(im(lhs(%%)))=evalc(im(rhs(%%))); 4. Noen likninger med komplekse løsninger Andregradslikninger La oss se på parabelen gitt ved y = x + x +. Grafen ser slik ut Ut fra grafen skjønner vi at andregradslikningen x + x + = ikke vil ha reelle løsninger. Den ligger i sin helhet over førsteaksen. Algebraens fundamentalteorem forteller at en n-tegradslikning alltid vil ha n løsninger, men da regner vi med multiplisitet. Det vil si at vi skriver x = x =, og markerer at vi har to løsninger dersom likningen skulle være gitt ved (x ) =. x = sies å være en løsning med multiplisitet. Fundamentalteoremet sier altså at likningen x +x+ = vil ha to løsninger

11 siden den er av grad. Når vi bruker abc-formelen, finner vi (siden a = og b = c = ) x, = ± 4 = ± 4 Siden vi har at (±i) = (±) i = 4 ( ) = 4, finner vi Maple: solve(xˆ+*x+=, x); x, = ± i = ± i Selv om det ikke er helt matematisk presist, går det greit å regne med i = når vi løser andregradslikninger. Vi legger også merke til at de to løsningene er kompleks konjugerte av hverandre. Dette er ikke tilfeldig. I enhver n- tegradslikning a n z n + a n z n a z + a = med reelle koeffisienter a n, a n,..., a vil løsningene forekomme i komplekskonjugerte par (husk at reelle tall er komplekskonjugert av seg selv). En andregradslikning az + bz + c = har komplekse løsninger når b 4ac < (negativt under rottegnet). Løsningene kan da skrives: z, = b ± 4ac b i a Her forutsetter vi at a, b og c er reelle Eksempel 6 La oss betrakte andregradslikningen z = + i Her er ikke alle koeffisientene reelle, så vi må inn med en annen tilnærmingsmåte. Løsningene av denne likningen må uansett kunne skrives på formen z = x + iy, så la oss sette inn dette for z og se hva som skjer: Vi regner ut venstresiden og får (x + iy) = + i x y + xyi = + i Real- og imaginærdel må stemme overens, slik at x y =

12 og xy = Dette er to (ikkelineære) likninger med to ukjente. Vi må nå huske at x og y begge er rent reelle tall. Vi får fra den andre at y =, som innsettes i den x første. Da oppnår vi ( ) x = x Vi multipliserer med (x) = 4x på hver side av likhetstegnet, slik at vi oppnår 4x 4 4x = Dette er en kamuflert andregradslikning i u = x : 4u 4u = Vi løser på vanlig måte og oppnår u, = 4 ± ( 4) 4 4 ( ) 4 = 4 ± 3 8 = 4 ± 6 8 = 4 ± 4 8 Vi finner altså x = ± Her er det selvsagt bare plussvarianten som er gyldig, så vi får + x = som gir x = ± + og y = ± De to løsningene av den opprinnelige likningen blir derfor + z = + i + og z = i Maple: solve(zˆ=+i, z); seq(zi=evalc(%i), i=..); Vi skal i neste avsnitt se hvordan en likning som denne kan løses uten å bruke rotuttrykk, nemlig ved hjelp av sinus- og cosinusfunksjoner. Først setter vi imidlertid opp generelle uttrykk for løsningene av likningen z = w der w er kompleks

13 3 Dersom Im w >, har likningen z = w løsningene: w + Re w w Re w z, = ± + i Dersom Im w <, har likningen z = w løsningene: w + Re w w Re w z, = ± i Eksempel 7 Løs likningen, gitt ved z = 3 i. Vi bruker formelen i den nederste av rammene over fordi w = 3 i gir Im w = <. Vi har videre Re w = 3 og w = 3 + ( ) = 3. De to løsningene gis derfor ved z, = ± i Maple: solve(zˆ=3-*i, z); seq(zi=evalc(%i), i=..); Eksempel 8 Løs likningen gitt ved ( i)z + ( + i)z + =. abc-formelen gir z, = ( + i) ± ( + i) 4 ( i) ( i) Vi samler leddene under rottegnet slik at z, = i ± 8 + 6i 4 i = i ± + i 8 + 4i 4 i For å komme videre, legger vi merke til at ± 8 + 6i er løsningene til likningen u = 8 + 6i. For å få skrevet løsningene på normalform, bruker vi den øverste av formlene i rammen over. Vi finner da u = ± + i = ±( + 3i)

14 4 Løsningene av den opprinnelige likningen blir da z, = i ± ( + 3i) 4 i = i = i(4+i) 4 i 4i 4 i = + i 4 +( ) 5 5 = ( 4i)(4+i) = i = i 4 +( ) Vi finner altså z = i og z = i Vi legger merke til at disse ikke utgjør et komplekskonjugert par. Det er fordi koeffisientene i likningen ikke alle er reelle. Likningen z n = w der w er kompleks Vi legger merke til at likningen z = w, som vi tidligere har skrevet opp løsningene til, blir et spesialtilfelle av denne. Når vi løser likningen z n = w, pleier vi å si at vi finner n-terøttene til tallet w. Vi skal her imidlertid finne løsningene på trigonometrisk form istedenfor ved rottegn. Vi skal altså bruke cosinus og sinus for å uttrykke løsningene. Det vi alltid kan si om løsningene til en slik likning, er at det er n stykker av dem og at de ligger jevnt fordelt langs en sirkel om origo med radius w. n Hvis vi da bare vet hvor en av løsningene befinner seg, kan vi lett finne de andre ved å dele sirkelen inn i n like store deler. For å finne alle løsningene, må vi bruke at sinus og cosinus er periodiske funksjoner med periode π. Løsningene er gitt ved ( ( ) ( )) arg(w) + kπ arg(w) + kπ z k = w n cos + i sin n n, k =,..., n For hver verdi av k vi setter inn får vi en ny løsning. Hvis vi skulle sette inn k-verdier som er større eller lik n, får vi bare gjentakelser av de løsningene vi allerede har oppnådd for lavere verdier. Vi kan også nevne at løsningene kan uttrykkes mer elegant ved hjelp av Eulers formel. Det er via denne vi faktisk kommer frem til løsningene i rammen over. Eulers formel gir oss z k = n w e arg(w)+kπ n i, k =,..., n

15 5 Eksempel 9 Finn røttene i likningen z 5 = 3 og tegn dem inn i det komplekse planet. Her har vi altså w = 3, så w er et positivt reelt tall, med arg(w) =. Vi må og så finne ut hva n w blir i dette tilfellet. Siden w er reell, får vi w = w = 3. Vi har n = 5, noe som gir oss w n = 5 3 =. Løsningene av likningen blir derfor ( ( ) ( )) + kπ + kπ z k = cos + i sin, k =,..., Vi setter så inn de 5 k-verdiene for å se nærmere på løsningene. z = (cos + i sin ) = Dette er den vanlige reelle femteroten til 3. z = z = z 3 = z 4 = ( ( π cos 5 ( ( 4π cos 5 ( ( 6π cos 5 ( ( 8π cos 5 ) ) ) ) ( π + i sin 5 ( 4π + i sin 5 ( 6π + i sin 5 ( 8π + i sin 5 )) )) )) )) En grafisk fremstilling av røttene: Maple: p:=plot(*cos(t),*sin(t), t=..*pi, color=black, thickness=):%; L:=seq(*cos(*Pi*k/5),*sin(*Pi*k/5), k=..4); p:=plot(l, style=point, symbol=circle, symbolsize=5, color=black):%; display(p,p);

16 6 De som har calc-pakka, kan få røttene i likningen z 5 = 3 representert direkte ved å skrive dette: Maple: with(calc): KompleksRot(zˆ5=3); Hvis vi har en rekke komplekse tall som ikke er knyttet til en likning, men som vi ønsker en grafisk representasjon for, kan vi bruke kommandoen complexplot som er tilgjengelig innenfor plots-pakka. La oss likevel ta utgangspunkt i de komplekse tallene + i, 3i, i og 3 i. Vi benytter så complexplot-kommandoen for å representere dem grafisk: Maple: with(plots): L:=-+I,-3*I,I,3-I; complexplot(l, x=-..3, style=point); Når vi for eksempel opphøyer et komplekst tall i andre, vil argumentet dobles. Opphøyer vi i tredje, triples argumentet osv. Når vi for eksempel skal finne kvadratroten til et komplekst tall, vil argumentet i utgangspunktet halveres. Om vi tar tredjeroten, tredeles argumentet. Eksempel Finn ved geometrisk resonnement de to røttene til likningen z = i. Vi vet at argumentet til høyresiden i er π, siden dette tallet ligger på den positive imaginæraksen. Det betyr at vi må få en rot som har halve argumentet, nemlig π. Siden røttene jevnfordeler seg langs enhetssirkelen (husk at i = ), 4 må den andre roten ha argument π + π = 5π. Vi skjønner også at dersom en 4 4 av løsningene er z, vil den andre være z = z. De to røttene blir derfor z = z = ( ( ) ( )) π π cos + i sin = 4 4 ( ( 5π cos 4 ) ( 5π + i sin 4 )) = + i i Dette svarer jo til at både real- og imaginærdel skifter fortegn når vi legger til en vinkel π.

17 7 OPPGAVER K- Skriv tallene på rektangulær form (normalform): a) ( + i)(3 i) b) ( + i) 4 c) i d) 3 + 4i + i + + i + ( 3 + i e) + i + i ) ( 3 i i i ) f) ( ) ( 6 )i 3 + i ( ) i ( ) + i ( ) 3 3 i g) + h) i) ( + i) n 3 + i 3 i K- Skriv tallene på polar form (trigonometrisk form). Uttrykk vinklene i grader og avrund til desimaltall om nødvendig: n= a) + 3i b) 3 + i c) i d) ( + i) 6 e) (3 i) 4 ( + i) 6 f) + 3i + i K-3 La U og V være komplekse tall. Vis at da er a) UV + UV et reelt tall. b) U U V UV U et tall med modul. K-4 Det komplekse tallet z har realdel og argument π. Finn z. 3 K-5 Skriv røttene i likningen z 6z+34 = på formen a+bi (normalform/rektangulær form). K-6 Skriv røttene i likningen z 3z + = på formen a + bi. K-7 a) Finn det komplekskonjugerte tallet til z = 4 i. b) Tegn z og z i samme aksekors.

18 8 K-8 Regn ut + i 4 (3i 5 i 6 ) ( i) 7. K-9 Regn ut i 5 + i 67. K- Skriv det komplekse tallet 3 + 3i på trigonometrisk (polar) form. K- Skriv det komplekse tallet på formen x + iy. ( ( 5π 4 cos 6 ) ( 5π + i sin 6 )) K- a) Finn likningssammenhengen mellom x og y for kurven i det komplekse planet som er definert ved z i = når z = x + iy. Hvordan kan dette sees uten regning? b) Plot kurven. K-3 Gitt z = ( 3 + 3i)( 3 + i). a) Utfør multiplikasjonen direkte. b) Utfør multiplikasjonen ved først å skrive faktorene i z på trigonometrisk form. K-4 3 i Gitt z = + 3i. a) Utfør divisjonen direkte. b) Utfør divisjonen ved først å skrive teller og nevner i z på trigonometrisk form. K-5 Gitt z = ( + 3i) ( 3 i) a) Finn z direkte. b) Finn z ved først å skrive teller og nevner på trigonometrisk form. K-6 Bruk de Moivres formel til å utlede formler for cos(4ϕ) og sin(4ϕ).

19 9 K-7 Bruk de Moivres formel til å utlede formler for cos(5ϕ) og sin(5ϕ). K-8 Løs likningen z 4 = 6i. K-9 Løs likningen z 8 = 56i K- Skriv 6i på formen re iϕ. K- Løs likningen z = 3 + i og uttrykk løsningene både ved hjelp av rottegn og ved hjelp av sinus og cosinus. Finn utfra dette formler for cos ( ( ) π ) og sin π. K- Løs likningen z + ( i)z + i =. K-3 Finn alle røttene i likningen z 4 + 5z + 6 =. K-4 Gitt polynomet p(z) = z 6 z 5 + z 4 6z 3 4z 4z 4. Finn alle røttene i likningen p(z) =. Plot grafen til p(x) i et passende intervall. Kommenter grafen i lys av nullpunktene.

20 FASIT K-: a) 8 i b) 7 4i c).48.64i d) h) i) i j) 3 i K-: a) 3.66(cos(56.3 ) + i sin(56.3 )) b) (cos(5 ) + i sin(5 )) c) (cos( 35 ) + i sin( 35 )) d) 5(cos(59.39 ) + i sin(59.39 )) e).5(cos( ) + i sin( )) f) (cos(5 ) + i sin(5 )) K-4: z = + 3i K-5: x = 3 ± 5i K-6: x = 3 4 ± 7 4 i K-7: z = 4 + i K-8: 4i K-9: i e)..8i f) 4 65 g) i K-: 3 ( cos ( ) ( 5π 6 + i sin 5π )) 6 K-: 3 + i K-: x + (y ) = 4. Sirkel med sentrum i i og radius=. K-3: 4 3i K-4: i K-5: 3i K-6: cos(4ϕ) = cos 4 ϕ 6 cos ϕ sin ϕ + sin 4 ϕ og sin(4ϕ) = 4 sin ϕ cos 3 ϕ 4 cos ϕ sin 3 ϕ K-7: cos(5ϕ) = cos 5 ϕ cos 3 ϕ sin ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ og sin(5ϕ) = 5 cos 4 ϕ sin ϕ cos ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ K-8: z = ( cos ( ) ( π 8 + i sin π 8 z 3 = ( cos ( ) ( 3π 8 + i sin 3π )) 8 K-9: z = ( cos ( π z 3 = ( cos ( 3π 6 z 6 = ( cos ( 5π 6 K-: z = e π 3 i K-: cos ( π )), z = ( cos ( 5π 8 ) + i sin ( 5π 8 )), z = ( cos ( ) ( 9π 8 + i sin 9π )) 8, ( 6) + i sin π )) 6, z = ( cos ( ) ( 5π 6 + i sin 5π )) 6, z = ( cos ( ) ( 9π 6 + i sin 9π )) ) ( 6, + i sin 3π )) 6 z4 = ( cos ( ) ( 7π 6 + i sin 7π )) 6, z5 = ( cos ( ) ( π 6 + i sin π )) ) ( 6, + i sin 5π )), z7 = ( cos ( ) ( 9π + i sin 9π )) 6 ) = 6+ 4 og sin ( π 6 ) = 6 4 K-: z = + + i og z = + + i K-3: z = ± i og z = ± 3i K-4: z = ± i, z = ±i og z = ± 3 Bare de reelle løsningene fremkommer som skjæringspunkter mellom polynomets graf og førsteaksen, slik vi kan se på figuren under. 6

21 UKE 4. Matriser Vi skal ta for oss en type matematiske objekter som kan sies å være en generalisering av vektorene. Disse objektene kalles matriser. Matrisene er svært nyttige i mange situasjoner, for eksempel ved representasjon og løsning av lineære likningssystemer. Ved hjelp av matriser kan en også introdusere det svært sentrale begrepet lineær transformasjon. Definisjon En systematisk oppstilling av elementer i m rekker (horisontale) og n søyler (eller kolonner) kalles en m n-matrise (m ganger n-matrise). I vårt tilfelle vil hvert element være et tall (reelt eller komplekst). Matrisen A under er et eksempel på en 3 4-matrise: A = Maple: with(linalg): A:=matrix(3,4,,-3,5,,-,3,,6,-4,4,9,7); Hvis vi lar a i,j betegne det elementet i en vilkårlig matrise, som står både på rekke i og søyle j, vil vi for matrisen A for eksempel ha at a,3 = og a 3, = 4. Maple: A,3; A3,; Vi skal senere lære å regne med matriser som egne matematiske objekter (addere, multiplisere, invertere osv), men først skal vi se hvordan matrisenotasjonen kan være et middel for løsning av lineære likningssystemer.. Løsning av lineære likningssystemer uten hjelp av matriser La oss ta utgangspunkt i et likningssystem med 3 likninger og 3 ukjente. x + y 3z = 6 x y + z = x + y + 4z = 3

22 Et slikt likningssystem vil enten ha ingen løsninger (selvmotsigende system), en eneste løsning eller uendelig mange løsninger. Hvis vi ønsker å løse et lineært likningssystemet ved å eliminere ukjente, er følgende operasjoner lovlige uten at løsningsmengden endres: () Erstatte en av likningene med summen av seg selv og en annen. () To likninger kan bytte plass. (3) Multiplisere hver side av en likning med en konstant. Med utgangspunkt i likningssystemet på foregående side kan vi da få fram et nytt likningssystem x + y 3z = 6 5y + 7z = 3y + z = 3 Dette fremkom fra det første ved at vi gjorde endringene likning likning + ( ) likning likning 3 likning 3 + likning Som vi ser over, kan det ofte være effektivt å kombinere () og (3) i en samlet operasjon, men vi kan også multiplisere opp likningene med passende konstanter før likningsaddisjonen foretas. La oss derfor, før vi går videre, multiplisere likning og likning 3 med henholdsvis 3 og 5, slik at vi oppnår systemet: La oss så foreta endringen x + y 3z = 6 5y + z = 33 5y + 5z = 5 Dette gir systemet: likning 3 likning 3 + likning x + y 3z = 6 5y + z = 33 6z = 8 Vi ser at denne prosessen har gitt et forenklet likningssystem, hvor vi umiddelbart finner z = 9 fra den siste av likningene. Ideen er å suksessivt 3 tilbakesubstituere til likningene over, slik at vi finner en og en løsning. ) Setter vi altså denne z-verdien inn i likningen over, finner vi 5y+ ( 9 3 = 33. Løser vi denne på vanlig måte, finner vi y = 6. Hvis både z og y settes inn i 3 den øverste av likningene, finner vi at x = 9 3.

23 3 3. Sammenhengen mellom matriser og likningssystemer. Rekkeoperasjoner på matriser. Vi skal nå se hvordan matriser kan brukes til å løse likningssystemer. La oss betrakte likningssystemet x + y + 3z = x + y + z = x + y + z = 3 Vi sier at A= 3 er koeffisientmatrisen til likningssystemet og videre at 3 T = 3 er totalmatrisen eller den utvidede matrisen til systemet. Det er totalmatrisen til likningssystemet som representerer hele systemet, så det er den vi skal gå videre med. På tilsvarende måte som vi definerte lovlige operasjoner for likningene, kan vi nå definere lovlige rekkeoperasjoner for de tre rekkene R, R og R 3 i totalmatrisen T : () Erstatte en av rekkene med summen av seg selv og en annen. () To rekker kan bytte plass. (3) Multiplisere en rekke med en konstant. Når vi legger sammen to rekker, gjør vi det ved komponentvis addisjon. For eksempel vil vi få en rekke med komponentene hvis vi adderer den første og den andre rekka i matrisen T. Etter å ha gjort et visst antall lovlige rekkeoperasjoner på en totalmatrise, har vi en matrise som ikke er lik den vi startet med, men som likevel har de samme løsningene (hvis noen). Vi kaller matriser som vi kommer til ved hjelp av rekkeoperasjoner for rekkeekvivalente matriser. Hvis en matrise E og en matrise F er rekkeekvivalente, skriver vi E F Ideen er altså nå at vi skal bruke matriser i mellomregningen mellom et første komplisert likningssystem og et likningssystem som har en enklere form.

24 4 4. Likningsløsning ved Gauss-eliminasjon. Matriser på innrykksform/trappeform. Vi husker at likningssystemet x + y + 3z = x + y + z = x + y + z = 3 har totalmatrisen T = 3 3 Vi skal nå ved hjelp av rekkeoperasjoner bringe T over på innrykksformen a b c d e f g h i Vi legger merke til at innrykksformen har bare nuller under hoveddiagonalen (som består av elementene a, e og h). Grunnen til at innrykksformen er gunstig, er at den representerer et enklere likningssystem ax + by + cz = d ey + fz = g hz = i Som vi tidligere har sett, kan dette systemet løses ved hjelp av suksessiv tilbakesubstitusjon ved at vi starter nederst, med den enkleste av likningene, og så arbeider oss oppover. La oss gå konkret til verks og bringe matrisen T = 3 3 innrykksform. Den generelle framgangsmåten er slik og betegnes med gausseliminasjon: over på (A) Ved eventuelt å bytte plassering, sørger vi for at den første rekka ikke har null som første element, altså a,. (B) Vi lager oss nuller i hele første kolonne under a, ved å utføre passende rekkeoperasjoner. (C) Etter at (A) og (B) er gjennomført, sørger vi for, ved eventuell ombytting, at a, (altså elementet som står i andre rekke og andre kolonne). Og benytter deretter rekkeoperasjoner til å lage nuller under a,. Slik fortsetter prosedyren inntil matrisen står på innrykksform.

25 5 La oss gjennomføre gausseliminasjon på matrisen T, slik at vi får den på innrykksform: 3 3 R R R R 3 R 3 R 3 5 R 3 R 3 + R Maple manuell: with(linalg): T:=matrix(3,4,,,3,,,,,,,,,3); T:=addrow(T,,,-); T:=addrow(T,,3,-); T3:=mulrow(T,3,-); T4:=addrow(T3,,3,); Maple direkte: with(linalg): T:=matrix(3,4,,,3,,,,,,,,,3); S:=gausselim(T); Det tilhørende likningssystemet blir nå Ved suksessiv innsetting oppnår vi x + y + 3z = y + 5z = z = 4 z = 4 y = 5 z = 5 4 = x = y 3z = ( ) 3 4 = 9 Maple: x,y,z =backsub(s); Dette forutsetter at S er matrisen på innrykksform. 5. Likningssystemer med ingen eller uendelig mange løsninger Et likningssystem kan være inkonsistent (selvmotsigende) eller ha uendelig mange løsninger. La oss se hvordan vi kan håndtere disse situasjonene ved å benytte gausseliminasjon (bringe totalmatrisen på innrykksform). Vi skal gjøre det ved å se på to eksempler:

26 6 Eksempel Finn eventuelle løsninger av likningssystemet x 3y + 6z = 7 x + 4y z = 3 x 5y + 7z = 4 Vi danner totalmatrisen T = Vi bringer så matrisen over på innrykksform ved gausseliminering: R R + R R 3 R 3 R R 3 R 3 R Vi ser at nederste rekka består av bare nuller, noe som betyr at vi bare har uavhengige likninger, nemlig x 3y + 6z = 7 y + z = 7 Vi kan nå uttrykke både x og y ved hjelp av z, som da blir fri variabel. Fra den andre likningen finner vi y = z 7 Hvis dette uttrykket for y settes inn i den første likningen, finner vi x uttrykt ved z: ( x = 7 + 3y 6z = z 7 ) 6z = z 6z = 37 + z Samlet er det da mulig å skrive løsningstriplene (som det er uendelig mange av) slik: x = 37 + z y = 7 + z z = z z kan velges fritt

27 7 Geometrisk svarer dette til at de to likningene representerer to plan. Hvis begge likningene skal være tilfredsstilt, svarer det til at vi er på skjæringslinja mellom de to planene. Punktene på skjæringslinja utgjør altså alle løsningene av systemet. Maple med matriser: with(linalg): T:=matrix(3,4,,-3,6,7,-,4,-,3,,-5,7,4); S:=gausselim(T); x,y,z=backsub(s); Maple uten matriser: solve({x-3*y+6*z=7,-*x+4*y-z=3,x-5*y+7*z=4}, {x,y,z}); Eksempel Finn eventuelle løsninger av likningssystemet x + 6y 3z = 6x y z = 3 3x 7y + z = Vi setter som vanlig opp totalmatrisen og finner deretter innrykksformen ved gausseliminasjon: R 3 R 3 + R R R + 6 R R 3 R 3 3R Hvis vi nå konverterer denne matrisen tilbake til likningssystem, får vi

28 8 x + 6y 3z = 35y z = 3 = Her ser vi selvmotsigelsen i siste likning. Altså konkluderer vi med at det ikke finnes løsninger av dette systemet. Geometrisk svarer dette til at tre plan ikke går gjennom noe felles punkt. Dette vil for eksempel inntreffe dersom to av planene er parallelle. 6. Matriser på redusert innrykksform. Gauss-jordan-eliminasjon. En matrise sies å være på innrykksform dersom (A) (B) (C) Alle rekkene med bare nuller er samlet nederst. Det ledende elementet (det første som er ) i en rekke finnes i en kolonne til høyre for det ledende elementet i rekka over. Alle elementer i en kolonne som ligger under et ledende element, er null. En matrise som er på redusert innrykksform, må i tillegg til å oppfylle kravene ovenfor også tilfredsstille følgende: (D) Det ledende elementet i hver rekke er. (E) Hvert ledende ettall er det eneste elementet forskjellig fra null på den kolonnen hvor den står. Vi skal da være klar over at matriser på redusert innrykksform entydige, mens matriser på innrykksform ikke er det. Eksempel 3 Bring matrisen A = over på redusert innrykksform. 3 3 Vi bringer først A over på ordinær innrykksform ved vanlig gausseliminasjon: 3 3 R 3 R 3 3R R 3 R 3 + 4R

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Oppgavehefte om komplekse tall

Oppgavehefte om komplekse tall Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, tore.a.kro@hiof.no 11. august 009 1 Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04. Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Innledning Kjeglesnittene sirkler, ellipser, parabler og hyperbler er klassiske kurver som har vært studert siden antikken. Kjeglesnittene

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer