2.2.1 Framgangsmåte for matematisk modellering Modellering av massesystemer. Modellbegreper... 15

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2.2.1 Framgangsmåte for matematisk modellering Modellering av massesystemer. Modellbegreper... 15"

Transkript

1 Innhold 1 Innledning 9 2 Matematisk modellering Innledning Utviklingavdynamiskemodeller Framgangsmåte for matematisk modellering Modellering av massesystemer. Modellbegreper Modelleringavtermiskesystemer Modelleringavbevegelsessystemer Modellering av elektriske systemer Modellering av elektromekanisk system (likestrømsmotor) Utviklingavstatiskemodeller Modellformer og responsberegning Innledning Differensiallikningsmodeller Klassifisering av differensiallikninger Tilstandsrommodeller

2 2 Dynamiske systemer Blokkdiagram for differensiallikningsmodeller Analytisk beregning av tidsresponser for differensiallikningsmodeller Beregningavstatiskrespons Numerisk beregning av tidsresponser for differensiallikningsmodeller Simuleringsverktøy for differensiallikningsmodeller Lineariseringavulineæremodeller Transferfunksjoner Innledning Definisjonavtransferfunksjonen Karakterisering av transferfunksjoner Transferfunksjoner for modeller med flere enn én inngangsvariabel Transferfunksjoner for tilstandsrommodeller Transferfunksjonsmatrise for multivariable modeller Blokkdiagrammer for transferfunksjonsmodeller Blokkdiagrammanipulering Analytisk beregning av tidsresponser for transferfunksjoner Beregning av statisk tidsrespons med sluttverditeoremet Numerisk beregning av tidsresponser for transferfunksjonsmodeller Simuleringsverktøy for transferfunksjonsmodeller Standard transferfunksjoner og dynamikk Innledning...105

3 Dynamiske systemer Forsterker Integrator ordenssystemer ordenssystemer Transferfunksjonsmodell Klassifiseringav2.ordenssystemer Systemermedtidsforsinkelse Systemer med nullpunkter Frekvensrespons Innledning Hvaerfrekvensrespons? Hvordan finne frekvensresponsen fra eksperimenter Korrelasjonsmetoden Fouriertransformasjon Frekvensrespons fra estimert transferfunksjonsmodell Transferfunksjonsbasertfrekvensrespons Hvordan beregne frekvensresponsen fra transferfunksjonen Resulterende frekvensrespons for multipliserte transferfunksjoner Verktøy for transferfunksjonsbasert frekvensrespons Anvendelseavfrekvensrespons:Filtere Innledning Lavpassfiltere...150

4 4 Dynamiske systemer Utvikling av andre typer filterfunksjoner med frekvenstransformasjon Utvikling av tidsdiskrete filtere Anvendelse av frekvensrespons: Analyse av reguleringssystemer158 6 Stabilitetsanalyse Innledning Impulsresponsogstabilitetsegenskaper Bruk av sprangrespons i stedet for impulsrespons Stabilitetsegenskaperogpoler Stabilitetsegenskaper for tilstandsrommodeller Internstabilitet Verktøyforstabilitetsanalyse Estimering av modellparametre Innledning Parameterestimering med minste kvadraters metode Prinsippet for minste kvadraters metode Detgenerelletilfellet Estimering av parametre i dynamiske modeller Modellformer Gunstigeeksitasjonssignaler Erestimatetbrukbart? A Komplekse tall 197 A.1 Definisjoner...197

5 Dynamiske systemer 5 A.2 Sammenhenger mellom kartesisk og polar formen A.3 Noenregnereglerogidentiteter B Laplacetransformasjonen 201 B.1 Egenskaper ved Laplacetransformasjonen B.2 Transformasjonspar C Matriser og vektorer 205 C.1 Definisjon C.2 Dentransponerte C.3 Addisjonogmultiplikasjon C.4 Determinant C.5 Deninverseogdenadjungerte C.6 Diagonalmatriser og identitetsmatriser C.7 Rang C.8 Egenverdierogegenvektorer...209

6 6 Dynamiske systemer

7 Forord Denne boka gir en innføring i systemteori for dynamiske systemer. Boka skal kunne brukes som lærebok i ingeniør- og sivilingeniørstudiene, f.eks. i faget Lineære systemer i ingeniørstudiet. Den kan også utgjøre delpensum i fag om grunnleggende reguleringsteknikk. Boka forutsetter at du har grunnleggende kunnskaper om komplekse tall, differensiallikninger, Laplacetransformasjonen og matrise- og vektorregning. Bokas vedlegg gir allikevel en kort beskrivelse av disse emnene. Jeg har prøvd å framstille stoffet på en enkel og forståelig måte. Selve boka beskriver kjernestoff, uten innbakte beskrivelser av bruk av programverktøy for analyse og design. Til boka er det imidlertid utviklet omfattende supplerende materiale som er tilgjengelig fra bokas hjemmeside, som kan nås via via Du får tilgang til materialet med brukernavn dynsystbruk og passord dynpass. Materialet omfatter dokumenter som beskriver konkret hvordan analyse, simulering og design av dynamiske systemer kan utføres i MATLAB 1, SIMULINK og LabVIEW. Filer som er benyttet i disse dokumentene, kan også lastes ned. Dokumentene dekker følgende emner: Simulering av differensiallikningsmodeller og transferfunksjonsmodeller, frekvensresponsanalyse, stabilitetsanalyse, filterdesign, samt estimering av modellparametre med minste-kvadraters metode. Bøker som gir en innføring i MATLAB, SIMULINK og LabVIEW er angitt i litteraturlista bak i boka. Til boka er det utviklet en oppgave/løsningsbok, se Boka er skrevet med tekstformateringsprogrammet Scientific Workplace. 1 Octave er et gratis MATLAB-liknende verktøy for numeriske berenginger og plotting av data. Med Octave følger en rekke toolboxer, se 7

8 8 Dynamiske systemer Simulatorer og regneprogrammer er implementert i LabVIEW og MATLAB. Litt om min bakgrunn: Jeg er utdannet som sivilingeniør fra institutt for teknisk kybernetikk ved NTH (nå NTNU) i Jeg har undervist i det fascinerende og spennende fagområdet dynamiske systemer og reguleringsteknikk ved flere høgskoler i over 15 år, samt i emner i signalbehandling. Jeg driver også nettbasert undervisning innen disse områdene. Jeg har holdt en rekke industrikurs i reguleringsteknikk og kurs i bruk av programpakkene MATLAB, SIMULINK og LabVIEW, samt skrevet lærebøker innen reguleringsteknikk. Jeg har også hatt konsulentoppdrag for industrien. Pr. i dag driver jeg (enkeltmanns)firmaet TechTeach. Jeg vil takke min familie for gode arbeidsforhold under arbeidet med boka. Takk også til Tapir Akademisk Forlag og Norsk faglitterær forfatter- og oversetterforening for støtte. FinnHaugen Skien, juni 2003

9 Kapittel 1 Innledning Denne boka gir en introduksjon til systemteori for dynamiske systemer. Dynamisk betyr som har med bevegelse og forandring å gjøre. Dynamiske systemer er systemer der systemvariablene kan være i bevegelse ellerutvikling,dvs.hadynamisketidsforløp.noeneksempler:en væsketank der nivået øker eller avtar, en motor som roterer, en varmetank der temperaturen øker, en elektrisk krets der utgangsspenningen varierer. Figur 1.1 gir en illustrasjon. Figuren viser et blokkdiagram for et dynamisk t Dynamisk system Inngangsvariabel u(t) Utgangsvariabel y(t) t Figur 1.1: Dynamiske systemer er systemer der systemvariablene kan være i bevegelse eller utvikling. system. Inngangsvariabelen er i form av en sprangfunksjon, og responsen i utgangsvariabelen har et dynamisk tidsforløp den er i bevegelse. Fysiske systemer er dynamiske systemer, selv om de under visse forhold tilnærmet kan betraktes som statiske systemer, som er systemer som er i en statisk tilstand (alle systemvariablene har konstante verdier), dvs. er i en likevektstilstand. Det å beherske systemteorien for dynamiske systemer er en nøkkel til å forstå virkelige, fysiske systemer. Nå følger en kort beskrivelse av bokas innhold. 9

10 10 Dynamiske systemer Kapittel 2, Matematisk modellering: I dette kapitlet skal vi lære å utvikle matematiske modeller for dynamiske systemer, samt for statiske systemer. Vi skal se at modellene for dynamiske systemer blir i form av differensiallikninger. Eksempler på modellering av massesystemer, termiske systemer, bevegelsessystemer (mekaniske systemer) og elektriske systemer blir vist. Simulerte responser i systemene blir også vist. Kapitlet går ikke inn på teoretisk analyse av modellene det dekkes av etterfølgende kapitler. Kapittel 3, Modellformer og responsberegning, beskriver to typer modellformer, nemlig differensiallikninger og transferfunksjoner. Det blir vist hvordan differensiallikninger kan presenteres på en standardform som kalles tilstandsrommodellformen, som bare er et sett av 1. ordens differensiallikninger. Transferfunksjoner er en kompakt modellform som finnes ved å Laplacetransformere differensiallikningsmodellen. Kapitlet viser hvordan vi med utgangspunkt i modeller kan beregne tidsresponser såvel analytisk som numerisk. Kapitlet omhandler også linearisering av ulineære modeller. Kapittel 4, Standard transferfunksjoner og dynamikk viser hvordan vi kan analysere dynamiske egenskaper med utgangspunkt i standard transferfunksjonsmodeller. Disse modellene representerer integratorsystemer, 1. ordens systemer, 2. ordens systemer og systemer med tidsforsinkelser. I kapitlet defineres størrelser som forsterkning, tidskonstant, resonansfrekvens og dempningsfaktor. Kapittel 5, Frekvensrespons, definerer et systems frekvensrespons, som er en frekvensavhengig funksjon som uttrykker hvilken respons et sinussignal på systeminngangen er opphav til i systemets utgangsvariabel. Frekvensrespons er et meget viktig begrep innen analyse og design av signalfiltere (som lavpassfiltere og høypassfiltere) og er også nyttig for analyse og design av reguleringssystemer. I kapitlet beskrives også de viktigste filterfunksjonene, med vekt på lavpassfiltere. Filteranalysen er nyttig ikke bare for signalfiltere, men også for analyse av fysiske prosesser (f.eks. vil en tank i en prosesstreng fungere som et lavpassfilter) og reguleringssystemer (et reguleringssystem fungerer på en måte som et lavpassfilter). Kapittel 6, Stabilitetsanalyse, definerer ulike stabilitetsegenskaper for dynamiske systemer ut fra tidsresponser og viser hvordan stabilitetsegenskapene kan fastslås ut fra systemets poler og egenverdier. Stabilitetsanalyse er spesielt viktig innen reguleringsteknikken, siden reguleringssystemer kan få dårlig

11 Dynamiske systemer 11 stabilitet eller bli ustabile ved feilaktig valg av parameterverdier i regulatoren. Kapittel 7, Estimering av modellparametre, viser hvordan minste kvadraters metode kan brukes for å estimere eller beregne verdien av ukjente parametre i matematiske modeller på basis av en (tids)serie av målinger av systemvariable.

12 12 Dynamiske systemer

13 Kapittel 2 Matematisk modellering 2.1 Innledning En matematisk modell for et system er den eller de likningene som beskriver systemets oppførsel. Med utgangspunkt i en matematisk modell av et gitt system kan du beregne hvordan systemet vil oppføre seg. I dynamiske systemer, som blandetanker, bevegelsessystemer (f.eks. motorer) og elektriske kretser, er variablene funksjoner av (bl.a.) tiden, dvs. at tidsforløpene av variablene kan variere som funksjoner av tiden. En matematisk modell for et dynamisk system kan brukes som grunnlag for utvikling av simulatorer, til å analysere systemets stabilitetsegenskaper og til å designe systemer, f.eks. fysiske prosesser, reguleringssystemer og signalfiltere. Vi skjønner at en matematisk modell kan være svært nyttig. Dessverre kan vi aldri lage en helt nøyaktig matematisk modell av et fysisk system det er alltid fenomener vi ikke klarer å modellere. Det fins altså alltid modellfeil eller modellusikkerhet. Men en modell som beskriver bare deler av virkeligheten, kan allikevel være nyttig for analyse og design, dersom den beskriver systemets dominerende dynamiske egenskaper. Dersom vi føler oss nokså sikre på at modellen har riktig struktur og enkelte parametre i modellen er usikre eller ukjente, kan vi prøve å beregne eller estimere dem. I kap. 7 beskrives parameterestimering med minste kvadraters metode. Dette kapitlet beskriver de viktigste prinsippene for matematisk modellering, som er de fysiske balansene, og viser eksempler på bruk av disse prinsippene på massesystemer, termiske systemer, bevegelsessystemer og elektriske systemer. Som vi skal se, blir modellene for dynamiske 13

14 14 Dynamiske systemer systemer i første omgang i form av differensiallikninger. Kapitlet fokuserer kun på utvikling av slike modeller og går ikke inn på modellanalyse. Kapittel 3 beskriver andre modellformer og overgang mellom modellformer, samt hvordan tidsresponser kan beregnes på basis av modeller. Analyse av modeller behandles i kapitlene 4, 5 og 6. (Modeller fra inneværende kapittel dukker opp som eksempler i disse kapitlene.) 2.2 Utvikling av dynamiske modeller Framgangsmåte for matematisk modellering Følgende punkter beskriver en fornuftig fremgangsmåte ved utvikling av dynamiske matematiske modeller for fysiske systemer: 1. Avgrens systemet. Alle fysiske systemer virker i interaksjon med andre systemer. Det er derfor nødvendig å bestemme grensene for et systemene før vi kan begynne å utvikle en matematisk modell for systemet, men i de fleste tilfeller blir avgrensningen helt naturlig. 2. Gjør (forenklende) antakelser. Et eksempel er å anta at temperaturen i en tank er lik overalt, dvs. at det er homogene forhold. 3. Bruk balanseloven for fysiske balanser i systemet, og angi eventuelle bibetingelser. Balanseloven lyder: Endringav mengde pr.tidisystemeterliknetto mengde strømning til systemet. Mengde kan være energi, masse, bevegelsesmengde (impuls eller spinn), ladning, men også brutto-nasjonalprodukt eller populasjon. Netto strømning er summen av innstrømningene minus summen av utstrømningene pluss generert mengde inne i systemet (for eksempel kan det ved visse kjemiske reaksjoner genereres eller frigjøres energi inne i systemet). Balanseloven er illustrert i figur 2.1. Balanseloven kan uttrykkes matematisk slik: d(mengde) dt = X innstrømninger X utstrømninger + X generert (2.1) Balanseloven resulterer i én eller flere differensiallikninger fordi d dt jo inngår i balanseloven.

15 Dynamiske systemer 15 Innstrømningene Mengde Generert Utstrømningene Figur 2.1: Illustrasjon av balanseloven (2.1) Bibetingelser er krav til verdien av variablene i systemet, f.eks. at massen av væsken i en tank ikke kan bli negativ. 4. Presenter modellen på en hensiktsmessig form. Demest aktuelle modellformene er tilstandsrommodell, blokkdiagram, transferfunksjon, som alle beskrives i kap. 3, og frekvensrespons, som beskrives i kap. 5. Valg av modellform avhenger av hva modellen skal brukes til. I de følgende underkapitler gis en rekke eksempler på matematisk modellering. Punktene 1 og 2 ovenfor blir da utført mer eller mindre implisitt Modellering av massesystemer. Modellbegreper Dette kapitlet beskriver matematisk modellering av massesystemer. Viktige generelle begreper som matematisk modell, inngangsvariabel, utgangsvariabel og parameter blir introdusert i tilknytning til eksempelet om modellering av væsketank (eks. 1). Balanseloven (2.1) benyttet på et massesystem blir en massebalanse: dm(t) dt = X i w i (t) (2.2) der m [kg] er massen og w i [kg/s] er masseinnstrømning (nr. i). t [sek] er tidsargumentet. Eksempel 1 Massebalanse for væsketank Figur 2.2 viser en væsketank med inn- og utløp. Tettheten er den samme

16 16 Dynamiske systemer q i [m 3 /s] h [m] 0 q u [m 3 /s] V [m 3 ] m [kg] [kg/m 3 ] A [m 2 ] Figur 2.2: Væsketank overalt, i innløpet, utløpet og tanken. Vi antar at tanken har rette vegger. Symbolene i figur 2.2 er som følger: q i er voluminnstrømningen. q u er volumutstrømningen. h er væskenivået. A er tverrsnittsarealet. V er væskevolumet. m er massen. ρ er (masse)tettheten. Væskestrømningene q i og q u og massen m i tanken er variable. Parametrene A og ρ antas å være konstante. Vi skal finne en matematisk modell som uttrykker hvordan massen m varierer (som funksjon av tiden). Vi setter da opp en massebalanse for massen i tanken: dm(t) = ρq i (t) ρq u (t) (2.3) dt som er en differensiallikning for m(t). En bibetingelse for differensiallikningen er m 0. (2.3) er en matematisk modell for systemet. ρ er en parameter i modellen. Parametre er størrelser som vanligvis har konstante verdier og som karakteriserer modellen. Med utgangspunkt i differensiallikningen (2.3) kan vi bl.a. beregne m(t) analytisk (slik at vi får en sluttet formel for m(t)) eller numerisk (slik at vi får en algoritme for beregning av m(t)), eller vi kan benytte den i et simuleringsprogram for å simulere m(t). Slike beregninger og simuleringer beskrives i kapittel 3. (2.3) er en differensiallikning for m(t). Vi er kanskje mer interessert i

17 Dynamiske systemer 17 hvordan h vil varierere? Sammenhengen mellom h og m er gitt ved m(t) =ρv (t) =ρah(t) (2.4) Vi setter dette inn i massebalansen (2.3), som da blir dm(t) dt = d [ρv (t)] dt = d [ρah(t)] dt = ρa dh(t) dt = ρq i (t) ρq u (t) (2.5) der parametrene ρ og A er trukket utenfor derivasjonen (disse antas å være konstante). Vi kan nå forkorte ρ og dividere med A og får da følgende differensiallikning for h(t): dh(t) dt med bibetingelsen h 0. = ḣ(t) = 1 A [q i(t) q u (t)] (2.6) Figur2.3viseretblokkdiagram for modellen (2.6). q i og q u er inngangsvariable, som generelt er variable som påvirker eller eksiterer systemet (vi antar her at q u er uavhengig av nivået, som når den manipuleres via en pumpe). h er utgangsvariabel, som generelt er den variabelen som uttrykker systemets respons eller tilstand. Merk at q u er en inngangsvariabel, til tross for at den representerer en fysisk utgang (utstrømning) fra tanken! q i q u Væsketank h Figur 2.3: Blokkdiagram for væsketanken Anta at utstrømningen q u er avhengig av nivået, slik det er dersom utstrømningen skjer gjennom en ventil. Anta at q u er proporsjonal med kvadratroten av det hydrostatiske trykket foran (og over) ventilen, slik: Da blir massebalansen q u (t) =K v p ρgh(t) (2.7) dm(t) dt = ρq i (t) ρk v p ρgh(t) (2.8) q u er da ikke lenger noen uavhengig inngangsvariabel for systemet. (Den er i stedet en funksjon av utgangsvariabelen h.)

18 18 Dynamiske systemer La oss se på en simulerering av tanken. Simulatoren er basert på modellen (2.6) og er implementert i LabVIEW. Figur 2.4 viser inngangssignalene q i (t) og q u (t) og den tilhørende tidsresponsen h(t) i systemets utgangsvariabel. Modellparametrene er angitt på simulatorens frontpanel (se figuren). Responsen er som forventet: Jevnt økende nivå når innstrømningen er større enn utstrømningen, konstant nivå når de er like store, og jevnt avtakende nivå når innstrømningen er mindre enn utstrømningen. Figur 2.4: Simulator for nivået h(t) i en væsketank [Slutt på eksempel 1]

Simulering i MATLAB og SIMULINK

Simulering i MATLAB og SIMULINK Simulering i MATLAB og SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 13. november 2004 1 2 TechTeach Innhold 1 Simulering av differensiallikningsmodeller 7 1.1 Innledning...

Detaljer

Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW

Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 21.12 2002 1 2 TechTeach Innhold 1 Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW 7 1.1 MATLAB... 7 1.1.1

Detaljer

Reguleringsteknikk. Finn Aakre Haugen. 16. juni 2014

Reguleringsteknikk. Finn Aakre Haugen. 16. juni 2014 Reguleringsteknikk Finn Aakre Haugen 16. juni 2014 1 2 F. Haugen: Reguleringsteknikk Innhold 1 Innledning til reguleringsteknikk 15 1.1 Grunnleggende begreper..................... 15 1.2 Hvaerreguleringgodtfor?...

Detaljer

Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW

Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 22.12 2002 1 2 TechTeach Innhold 1 Minste kvadraters metode i MATLAB 7 2 Minste kvadraters

Detaljer

Foroverkopling. Kapittel Innledning

Foroverkopling. Kapittel Innledning Kapittel 10 Foroverkopling 10.1 Innledning Vi vet fra tidligere kapitler at tilbakekoplet regulering vil kunne bringe prosessutgangen tilstrekkelig nær referansen. I de fleste tilfeller er dette en tilstrekkelig

Detaljer

Lineær analyse i SIMULINK

Lineær analyse i SIMULINK Lineær analyse i SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 20.12 2002 1 2 Lineær analyse i SIMULINK Innhold 1 Innledning 7 2 Kommandobasert linearisering av modeller 9

Detaljer

Stabilitetsanalyse. Kapittel Innledning

Stabilitetsanalyse. Kapittel Innledning Kapittel 6 Stabilitetsanalyse 6.1 Innledning I noen sammenhenger er det ønskelig å undersøke om, eller betingelsene for at, et system er stabilt eller ustabilt. Spesielt innen reguleringsteknikken er stabilitetsanalyse

Detaljer

Control Engineering. State-space Models. Hans-Petter Halvorsen

Control Engineering. State-space Models. Hans-Petter Halvorsen Control Engineering State-space Models Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie,

Detaljer

Sammenlikningav simuleringsverktøyfor reguleringsteknikk

Sammenlikningav simuleringsverktøyfor reguleringsteknikk Presentasjon ved NFA-dagene 28.-29.4 2010 Sammenlikningav simuleringsverktøyfor reguleringsteknikk Av Finn Haugen (finn.haugen@hit.no) Høgskolen i Telemark Innhold: Eksempler på min egen bruk av simuleringsverktøy

Detaljer

48 Praktisk reguleringsteknikk

48 Praktisk reguleringsteknikk 48 Praktisk reguleringsteknikk Figur 2.18: Simulering av nivåreguleringssystemet for flistanken. Regulatoren er en PI-regulator. (Resten av frontpanelet for simulatoren er som vist i figur 2.14.) Kompenseringsegenskaper:

Detaljer

Løsning til eksamen i EK3114 Automatisering og vannkraftregulering ved Høgskolen i Sørøst-Norge

Løsning til eksamen i EK3114 Automatisering og vannkraftregulering ved Høgskolen i Sørøst-Norge Løsning til eksamen i EK3114 Automatisering og vannkraftregulering ved Høgskolen i Sørøst-Norge Eksamensdato: 24.11 2017. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning

Detaljer

1 Tidsdiskret PID-regulering

1 Tidsdiskret PID-regulering Finn Haugen (finn@techteach.no), TechTeach (techteach.no) 16.2.02 1 Tidsdiskret PID-regulering 1.1 Innledning Dette notatet gir en kortfattet beskrivelse av analyse av tidsdiskrete PID-reguleringssystemer.

Detaljer

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Løsning til eksamen i IA32 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 24. 207. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning til oppgave a (5%).

Detaljer

3.2.2 Tilstandsrommodeller

3.2.2 Tilstandsrommodeller 54 Dnamiske sstemer Sperposisjonsprinsippet. For lineære differensiallikninger men ikke for lineære gjelder sperposisjonsprinsippet: Den totale responsen som skldes avhengige inngangssignaler, vil være

Detaljer

Kapittel 5. Frekvensrespons. Beregningavfrekvensresponsfrasignaler. Figur 25 viser sammenhørende inngangssignal og utgangssignal for et system.

Kapittel 5. Frekvensrespons. Beregningavfrekvensresponsfrasignaler. Figur 25 viser sammenhørende inngangssignal og utgangssignal for et system. Kapittel 5 Frekvensrespons Oppgave5.1 Beregningavfrekvensresponsfrasignaler Figur 25 viser sammenhørende inngangssignal og utgangssignal for et system. Figur 25: Oppgave 5.1: Inngangssignalet u og utgangssignalet

Detaljer

Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner

Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Figur 30: Oppgave 5.2: Frekvensresponsen fra T i til T for regulert system Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6. Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Bestem stabilitetsegenskapen for følgende

Detaljer

Løsningsforslag øving 4

Løsningsforslag øving 4 TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.

Detaljer

Simuleringsalgoritmer

Simuleringsalgoritmer Simuleringsalgoritmer Finn Aakre Haugen, dosent Høgskolen i Telemark 14. september 2015 1 Innledning 1.1 Hva er simulering? Simulering av et system er beregning av tidsresponser vha. en matematisk modell

Detaljer

Tilstandsrommodeller. Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc.

Tilstandsrommodeller. Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrommodeller Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrom- modeller Dataverktøy Spesial>lfelle MathScript LabVIEW Differensial - likninger Tidsplanet Laplace Blokk- diagrammer Transfer- funksjoner

Detaljer

Tidsdiskrete systemer

Tidsdiskrete systemer Tidsdiskrete systemer Finn Haugen TechTeach 22.juli2004 Innhold 1 Tidsdiskrete signaler 2 2 Z-transformasjonen 3 2.1 Definisjon av Z-transformasjonen... 3 2.2 Egenskaper ved Z-transformasjonen... 4 3 Differenslikninger

Detaljer

Frekvensrespons. Kapittel Innledning

Frekvensrespons. Kapittel Innledning Kapittel 5 Frekvensrespons 5. Innledning Et systems frekvensrespons er en frekvensavhengig funksjon som uttrykker hvilken respons sinussignaler (eller cosinussignaler) med forskjellige frekvenser i systemets

Detaljer

EDT211T-A Reguleringsteknikk PC øving 5: Løsningsforslag

EDT211T-A Reguleringsteknikk PC øving 5: Løsningsforslag EDT2T-A Reguleringsteknikk PC øving 5: Løsningsforslag Til simuleringene trengs en del parametre som areal i tanken, ventilkonstanter osv. Det er som oftest en stor fordel å forhåndsdefinere disse i Matlab,

Detaljer

Løsningsforslag Dataøving 2

Løsningsforslag Dataøving 2 TTK45 Reguleringsteknikk, Vår 6 Løsningsforslag Dataøving Oppgave a) Modellen er gitt ved: Setter de deriverte lik : ẋ = a x c x x () ẋ = a x + c x x x (a c x ) = () x ( a + c x ) = Det gir oss likevektspunktene

Detaljer

EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn

EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn BOKMÅL EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn Emnekode: IA311 Dato: Porsgrunn Ansv. faglærer: Finn Aakre Haugen (9701915). Emnenavn: Automatiseringsteknikk Tid fra / til: 03. desember 018. Kl. 09:00-14:00

Detaljer

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk Høgskolen i Telemark/Finn Haugen (finn.haugen@hit.no). Løsning til eksamen i IA32 Automatiseringsteknikk Eksamensdato: 8. desember 203. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 00%. Hjelpemidler: Ingen

Detaljer

Modellbasert regulering: Foroverkopling

Modellbasert regulering: Foroverkopling 36 Generelt Dette er artikkel nr. 5 i artikkelserien Reguleringsteknikk som publiseres i AMNYTT. Artiklene er/blir som følger: Artikkel 1: Reguleringsteknikkens betydning og grunnprinsipp. (Publisert i

Detaljer

Control Engineering. MathScript. Hans-Petter Halvorsen

Control Engineering. MathScript. Hans-Petter Halvorsen Control Engineering MathScript Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie, Parallel,

Detaljer

Artikkelserien Reguleringsteknikk

Artikkelserien Reguleringsteknikk Finn Haugen (finn@techteach.no) 18. november, 2008 Artikkelserien Reguleringsteknikk Dette er artikkel nr. 7 i artikkelserien Reguleringsteknikk: Artikkel 1: Reguleringsteknikkens betydning og grunnprinsipp.

Detaljer

Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3112 Automatiseringsteknikk

Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3112 Automatiseringsteknikk Høgskolen i Telemark. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@hit.no). Løsningsforslag til sluttprøven i emne IA3 Automatiseringsteknikk Sluttprøvens dato: 5. desember 04. Varighet 5 timer. Vekt

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,

Detaljer

Eksamensoppgave i TELE2001 Reguleringsteknikk

Eksamensoppgave i TELE2001 Reguleringsteknikk Fakultet for teknologi Eksamensoppgave i TELE2001 Reguleringsteknikk Faglig kontakt under eksamen: Fredrik Dessen Tlf.: 48159443 Eksamensdato: 7. juni 2016 Eksamenstid (fra-til): 09:00 til 14:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2

Detaljer

Løsningsforslag øving 8

Løsningsforslag øving 8 K405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 8 a Vi begynner med å finne M 2 s fra figur 2 i oppgaveteksten. M 2 s ω r 2 ω h m sh a sh R2 sr 2 ω K v ω 2 h m sh a sh R2 sr 2 h m sh a sh

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk Eksamensdato: 03.12 2018. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning til oppgave 1 (35%) a (5%) Massebalanse: ρ*a*dh/dt

Detaljer

Simuleringsnotat. Prosjekt i emnet «Styresystemer og reguleringsteknikk» Gruppe 6. av Stian Venseth og Kim Joar Øverås

Simuleringsnotat. Prosjekt i emnet «Styresystemer og reguleringsteknikk» Gruppe 6. av Stian Venseth og Kim Joar Øverås av Stian Venseth og Kim Joar Øverås Prosjekt i emnet «Styresystemer og reguleringsteknikk» Gruppe 6 Sammendrag I dette arbeidsnotatet vil det bli komme frem hvordan vi har jobbet med modellering og simulering

Detaljer

Systemidentifikasjon Oppgaver

Systemidentifikasjon Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.03.16 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

SLUTTPRØVE. EMNEANSVARLIG: Finn Aakre Haugen. Tlf Epost: Antall sider: 14 (medregnet denne forsiden)

SLUTTPRØVE. EMNEANSVARLIG: Finn Aakre Haugen. Tlf Epost: Antall sider: 14 (medregnet denne forsiden) Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE EMNE: IA311 Automatiseringsteknikk. EMNEANSVARLIG: Finn Aakre Haugen. Tlf. 9701915. Epost: finn.haugen@hit.no. KLASSE(R): Sluttprøven består

Detaljer

Computers in Technology Education

Computers in Technology Education Computers in Technology Education Beregningsorientert matematikk ved Høgskolen i Oslo Skisse til samlet innhold i MAT1 og MAT2 JOHN HAUGAN Både NTNU og UiO har en god del repetisjon av videregående skoles

Detaljer

Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24

Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56, N-3901 Porsgrunn,

Detaljer

Control Engineering. Stability Analysis. Hans-Petter Halvorsen

Control Engineering. Stability Analysis. Hans-Petter Halvorsen Control Engineering Stability Analysis Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie,

Detaljer

Systemidentifikasjon

Systemidentifikasjon University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet brukes som forelesningsnotater i modellbasert regulering over temaet systemidentifikasjon.

Detaljer

Systemidentifikasjon Oppgaver

Systemidentifikasjon Oppgaver University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 4 3 Validering...

Detaljer

Kalmanfilter på svingende pendel

Kalmanfilter på svingende pendel Kalmanfilter på svingende pendel Rolf Henriksen og Torbjørn Houge Institutt for teknisk kybernetikk NTNU 2005 Vi skal se på hvordan Kalmanfilteret fungerer på et velkjent eksempel, den svingende pendel

Detaljer

Spørretime / Oppsummering

Spørretime / Oppsummering MAS107 Reguleringsteknikk Spørretime / Oppsummering AUD F 29. mai kl. 10:00 12:00 Generell bakgrunnsmateriale Gjennomgang av eksamen 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 1 G. Hovland Presentasjon

Detaljer

FIE Signalprosessering i instrumentering

FIE Signalprosessering i instrumentering FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Øvelse #4: Z-transform, poler og nullpunkt Av Knut Ingvald Dietel Universitetet i Bergen Fysisk institutt 5 februar Innhold FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering

Detaljer

Oppgaver til Dynamiske systemer 1

Oppgaver til Dynamiske systemer 1 Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0. Lineariering av ulineær modell Likning (2.28) i læreboka er en dynamik modell av en tank med gjennomtrømning og oppvarming. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw(t)[t

Detaljer

Løsning til eksamen i EE4107 Kybernetikk- videregående

Løsning til eksamen i EE4107 Kybernetikk- videregående Høgskolen i elemark. Finn Haugen(finn.haugen@hit.no). Løsning til eksamen i EE4107 Kybernetikk- videregående Eksamensdato: 11.6 2009. Varighet 3 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70%. Hjelpemidler: Ingen

Detaljer

Løsningsforslag oppgavene (Øving 3)

Løsningsforslag oppgavene (Øving 3) D:\Per\Fag\Regtek\Oppgavebok\4 Løsning på øving\reglov3_2014.wpd Fag TELE2001 Reguleringsteknikk HIST,EDT Okt 14 PHv,DA,PG Løsningsforslag oppgavene 10-15 (Øving 3) Bare oppgave 10, 13, 14 og 15 er en

Detaljer

Læreplan i Programmering og modellering - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

Læreplan i Programmering og modellering - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram 2.12.2016 Læreplan i - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram Formål Programmering er et emne som stadig blir viktigere i vår moderne tid. Det er en stor fordel å kunne forstå og bruke programmering

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: 21 februar 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk

Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Tidligere dette semesteret er det gjennomført et såkalt Tracker-eksperiment i fysikk ved UiA. Her sammenlignes data fra et kast-eksperiment med data fra en tilhørende

Detaljer

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,

Detaljer

Nå integrer vi begge sider og får på venstre side. der C 1 er en vilkårlig konstant. Høyre side blir. Dette gir. og dermed

Nå integrer vi begge sider og får på venstre side. der C 1 er en vilkårlig konstant. Høyre side blir. Dette gir. og dermed Kapittel 6 Vekstmodeller For å forstå prosesser i naturen er matematiske modeller et nyttig verktøy. Matematiske modeller tar utgangspunkt i naturlover og modellerer disse i et matematisk språk. Naturlovene

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Forelesning nr.7 INF 1411 Elektroniske systemer. Tidsrespons til reaktive kretser Integrasjon og derivasjon med RC-krester

Forelesning nr.7 INF 1411 Elektroniske systemer. Tidsrespons til reaktive kretser Integrasjon og derivasjon med RC-krester Forelesning nr.7 INF 1411 Elektroniske systemer Tidsrespons til reaktive kretser Integrasjon og derivasjon med RC-krester Dagens temaer Nøyaktigere modeller for ledere, R, C og L Tidsrespons til reaktive

Detaljer

Oppgave 1.1. Den første er en klassiker. Studer figur A4.1 i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen ved hjelp av manuelle, grafiske metoder.

Oppgave 1.1. Den første er en klassiker. Studer figur A4.1 i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen ved hjelp av manuelle, grafiske metoder. Inst. for teknisk kybernetikk TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 4 Revidert sist Fredrik Dessen 2017-10-12 Del 1. En klassiker, og en litt mer utfordrende Du skal her finne overføringsfunksjonen representert

Detaljer

Quo vadis prosessregulering?

Quo vadis prosessregulering? Quo vadis prosessregulering? Morten Hovd PROST industrimøte Granfos, 24. Januar 2001 PROST Industrimøte, Granfos, 24. januar 2001 Hvor står vi? Et subjektivt bilde PROST Industrimøte, Granfos, 24. januar

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand. Last ned

Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand. Last ned Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand Last ned Forfatter: Aasmund Holand ISBN: 9788202283674 Antall sider: 116 Format: PDF Filstørrelse:35.09 Mb Dette er en bok om ulike aspekter ved bevegelse analysert

Detaljer

Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand. Last ned. Last ned e-bok ny norsk Bevegelsens årsak Gratis boken Pdf, ibook, Kindle, Txt, Doc, Mobi

Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand. Last ned. Last ned e-bok ny norsk Bevegelsens årsak Gratis boken Pdf, ibook, Kindle, Txt, Doc, Mobi Last ned Bevegelsens årsak - Aasmund Holand Last ned Forfatter: Aasmund Holand ISBN: 9788202283674 Antall sider: 116 Format: PDF Filstørrelse: 21.72 Mb Dette er en bok om ulike aspekter ved bevegelse analysert

Detaljer

Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka: Reguleringsteknikk, skrevet av. Per Hveem og Kåre Bjørvik

Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka: Reguleringsteknikk, skrevet av. Per Hveem og Kåre Bjørvik Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka: Reguleringsteknikk, skrevet av Per Hveem og Kåre Bjørvik Kapittelnummering og eksempelnummering stemmer ikke overens med det står i boka. 1 5.1 Fra overføringsfunksjon

Detaljer

Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer. Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L

Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer. Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L Dagens temaer Induksjon og spoler RL-kretser og anvendelser Fysiske versus ideelle

Detaljer

Contents. Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet. 01 Innledende oppgave om ABC tilbakekobling. 02 Innledende oppgave om Nyquist diagram

Contents. Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet. 01 Innledende oppgave om ABC tilbakekobling. 02 Innledende oppgave om Nyquist diagram Contents Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet... Innledende oppgave om ABC tilbakekobling... Innledende oppgave om Nyquist diagram... 3 Bodeplott og stabilitet (H94 5)... 4 Bodediagram og stabilitet

Detaljer

Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven.

Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven. SO526E Multivariable Reguleringssystemer Øving 5 HiST-AFT aug 29 Pål Gisvold Innlevering: se framdriftsplan Tema: Matlab Identification Toolbox Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere

Detaljer

Nå er det på tide å se hvordan dette fungerer i praksis. Vi skal beregne et par Laplacetransformer som vi får mye bruk for senere.

Nå er det på tide å se hvordan dette fungerer i praksis. Vi skal beregne et par Laplacetransformer som vi får mye bruk for senere. Laplace-transform: Et nyttig hjelpemiddel Side - Laplace-transformen et nyttig hjelpemiddel Hva er Laplace-transformen? Vi starter med å definere Laplace-transformen: Definisjon : La f t være en funksjon

Detaljer

EMAR2101 Reguleringssystemer 1: Øving 3

EMAR2101 Reguleringssystemer 1: Øving 3 Høgskolen i Buskerud Finn Haugen (finn.haugen@hibu.no) 6.10 2008 EMAR2101 Reguleringssystemer 1: Øving 3 Oppgave 1 I underkapittel 1.1 i læreboken er det listet opp syv forskjellige formål for reguleringsteknikken,

Detaljer

6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg...

6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg... Stavanger, 28. mai 2019 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2019. Innhold 6 Modellering av smelteovn. 1 6.1 Modellering............................. 1 6.2 Tilstandsromform..........................

Detaljer

Reguleringsstrukturer

Reguleringsstrukturer Kapittel 11 Reguleringsstrukturer Dette kapitlet beskriver diverse reguleringsstrukturer for industrielle anvendelser. I strukturene inngår én eller flere PID-reguleringssløyfer. 11.1 Kaskaderegulering

Detaljer

Eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3

Eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3 Høgskolen i Buskerud. Finn Haugen(finn.augen@ibu.no). Eksamen i SEY3322 ybernetikk 3 Tid: 27. mai 2009. Variget 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70% Hjelpemidler: Ingen trykte eller åndskrevne jelpemidler.

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

KYBERNETIKKLABORATORIET. FAG: Industriell IT DATO: 08.14 OPPG.NR.: LV4. LabVIEW Temperaturmålinger BNC-2120

KYBERNETIKKLABORATORIET. FAG: Industriell IT DATO: 08.14 OPPG.NR.: LV4. LabVIEW Temperaturmålinger BNC-2120 KYBERNETIKKLABORATORIET FAG: Industriell IT DATO: 08.14 OPPG.NR.: LV4. LabVIEW LabVIEW Temperaturmålinger BNC-2120 Lampe/sensor-system u y I denne oppgaven skal vi teste et lampe/sensor-system som vist

Detaljer

Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1. Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg.

Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1. Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg. Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1 Oppgave 0.1 Hvilke variable skal reguleres? Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg. Oppgave 0.2 Blokkdiagram

Detaljer

Systemidentifikasjon Løsninger

Systemidentifikasjon Løsninger University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 7 3 Validering...

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen

Detaljer

TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag

TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag Oppgave 1: UAV En AUV (Autonoous Underwater Vehicle) er et ubeannet undervannsfartøy so kan utføre selvstendige oppdrag under vann. I denne oppgaven

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Emne: Gruppe(r): Eksamensoppgaven består av: Kybernetikk I E Antall sider (inkl. forsiden): 7 Emnekode: SO 8E Dato: 7. juni Antall oppgaver: Faglig veileder:

Detaljer

Del 1. Linearisering av dynamisk modell

Del 1. Linearisering av dynamisk modell Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE200 Reguleringsteknikk Øving 2, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen 207-09-4 Del. Linearisering av dynamisk modell Vi skal fortsette med cruisekontrollen

Detaljer

Status for simuleringsmodeller -muligheter og begrensninger

Status for simuleringsmodeller -muligheter og begrensninger Petroleumstilsynets brannseminar 2009 Status for simuleringsmodeller -muligheter og begrensninger Dr. Geir Berge Petrell as Petroleumstilsynet Ullandhaug, Stavanger 22. april, 2009 Innhold Hvorfor gjøre

Detaljer

Stabilitetsanalyse. Hans- Pe/er Halvorsen, M.Sc.

Stabilitetsanalyse. Hans- Pe/er Halvorsen, M.Sc. Stabilitetsanalyse Hans- Pe/er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrom- modeller Dataverktøy Spesial@lfelle MathScript LabVIEW Differensial - likninger Tidsplanet Laplace Blokk- diagrammer Transfer- funksjoner 2.orden

Detaljer

TMA 4110 Matematikk 3 Høsten 2004 Svingeligningen med kompleks regnemåte

TMA 4110 Matematikk 3 Høsten 2004 Svingeligningen med kompleks regnemåte TMA 4 Matematikk Høsten 4 Svingeligningen med kompleks regnemåte H.E.K., Inst. for matematiske fag, NTNU Svingeligningen forekommer i mange sammenhenger, og ofte vil vi møte regning og utledninger der

Detaljer

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge

Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 30.11 2016. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 100%. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@hit.no).

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Eksamensdato Fag Dato: 11.12.14 \\hjem.hist.no\pgis\mine dokumenter\backup\fag\reguleringsteknikk\2014\eksamen\lx2014des_korrigert.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVD. FOR INGENIØR OG NÆRINGSMIDDELFAG INSTITUTT

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Eksamensdato: Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: Fredag 7.juni 23 5 klokketimer TLM3- / LM5M- Matematikk Klasse(r): EL FEN Studiepoeng:

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

Last ned Ingeniørmekanikk - Fridtjov Irgens. Last ned. Forfatter: Fridtjov Irgens ISBN: Format: PDF Filstørrelse: 20.

Last ned Ingeniørmekanikk - Fridtjov Irgens. Last ned. Forfatter: Fridtjov Irgens ISBN: Format: PDF Filstørrelse: 20. Last ned Ingeniørmekanikk - Fridtjov Irgens Last ned Forfatter: Fridtjov Irgens ISBN: 9788245016918 Format: PDF Filstørrelse: 20.66 Mb Ingeniørmekanikk er mekanikk tilpasset ingeniører og realister som

Detaljer

NB! Vedlegg 2 skal benyttes i forbindelse med oppgave 3a), og vedlegges besvarelsen.

NB! Vedlegg 2 skal benyttes i forbindelse med oppgave 3a), og vedlegges besvarelsen. SLUTTPRØVE EMNE: EE407 Kybernetikk videregående LÆRER Kjell Erik Wolden KLASSE(R): IA, EL DATO: 0..0 PRØVETID, fra - til (kl.): 9.00.00 Oppgavesettet består av følgende: Antall sider (inkl. vedlegg): 0

Detaljer

Slik skal du tune dine PID-regulatorer

Slik skal du tune dine PID-regulatorer Slik skal du tune dine PID-regulatorer Ivar J. Halvorsen SINTEF, Reguleringsteknikk PROST temadag Tirsdag 22. januar 2002 Granfos Konferansesenter, Oslo 1 Innhold Hva er regulering og tuning Enkle regler

Detaljer

Viktige læringsaktiviteter

Viktige læringsaktiviteter Viktige læringsaktiviteter Læringsaktiviteter som dekkes av Aktiviteter Stille spørsmål. Utvikle og bruke modeller. = dekkes Planlegge og gjennomføre undersøkelser. Analysere og tolke data. Bruke matematikk,

Detaljer

EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn

EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn Emnekode: IA311 Dato: Porsgrunn Ansv. faglærer: Finn Aakre Haugen Campus: Porsgrunn Antall oppgaver: 1 Tillatte hjelpemidler: EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn Emnenavn: Automatiseringsteknikk

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi C:\Per\Fag\Regtek\Eksamen\Eksamen12\LX2012desEDT212Tv6.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato Fag 17. desember 2012 LØSNINGSFORSLAG (Ikke kvalitetssikra!) EDT212T Reguleringsteknikk

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

HØGSKOLEN - I - STAVANGER. Institutt for elektroteknikk og databehandling

HØGSKOLEN - I - STAVANGER. Institutt for elektroteknikk og databehandling HØGSKOLEN - I - STAVANGER Institutt for elektroteknikk og databehandling EKSAMEN I: TE 559 Signaler og systemer VARIGHET: 5 timer TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator, K. Rottmanns formelsamling OPPGAVESETTET

Detaljer