MAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim"

Transkript

1 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 ) Det første vi gjør er å lage et diagram over spillet, for å få en oversikt over spillets gang. Hver gang vi i andre runde kommer til like går vi tilbake til start. Med dette kan vi forklare a, b og c gitt at I a er A s sannsynlighet for å vinne gamet dersom stillingen er like, b er A s sannsynlighet for å vinne gamet dersom A har fordel, c er A s sannsynlighet for å vinne gamet dersom B har fordel. Start Figur : Diagram for spillet a = P b eller c =.6b +.4c Sannsynligheten for å vinne gamet ved lik stilling er gitt ved enten As sannsynlighet for å vinne når A har fordel eller når B har fordel hvor fordelen er gitt ved enten.6 eller.4. Mao. er.6b sjansen for å vinne gamet når A har fordel, da A vinner første ballen ved lik stilling..4c er sjansen for å vinne gamet når B har fordel, da B vinner første ballen ved lik stilling. Summen av disse gir sjansen for å vinne gamet. Vi kan forklare.6 og.4 ved å se på sjansen for å vinne ballen. Da A server gjennom hele spillet, vil A ha 6% sjanse for å vinne ballen hver runde. De restere, 4%, er sjansen for at B vinner ballen. II b = P a eller vinne neste ball =.4a +.6 b er gitt ved enten å vinne gamet når stillingen er lik eller ved å vinne ballen. b tar utgangspunkt i at A allerede har vunnet ballen én gang slik at gamet blir vunnet med en gang dersom A vinner ballen igjen. Dersom B vinner ballen vil stillingen bli lik, dermed.4a. Like A:.6 Fordel A B:.4 Fordel B 2 A:.6 A har vunnet B:.4 Like A:.6 Like B:.4 B har vunnet III c = P vinne ballen og gamet =.6a c er A s sannsynlighet for å vinne gamet dersom B har fordel. Det vil si at sjansen for å vinne gamet er gitt ved sjansen for å vinne ballen, slik at stillingen blir like, for så å vinne hele gamet. Med andre ord er sjansen for å vinne.6a. Da vi har tre likninger og tre ukjente vil det være mulig å finne a, b og c. I a =.6b +.4c II b =.4a +.6 III c =.6a I a =.6b +.4c a =.6b +.4.6a a =.6b +.24a a.24 =.6b a =.6.76 b II b =.4a +.6 b =.4.6 b b =.24 b

2 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim b =.6 b =.6 b = b = = I a =.6.76 b a = a = = 9 3 III c =.6a c = c = = Vi har med dette funnet at a = , b = og c =

3 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 2) Vi kan finne en matrise A for x n+ = Ax n hvor n, gitt at x n = x n y n z n u n v n der x n = sannsynligheten for at A har vunnet gamet etter n baller, y n = sannsynligheten for at A har fordel etter n baller, z n = sannsynligheten stillingen er like etter n baller, u n = sannsynligheten for at B har fordel etter n baller, v n = sannsynligheten for at B har vunnet gamet etter n baller. Vi kan med dette finne sannsynligheten for de forskjellige helsene for neste runde gitt resultatene fra de forrige runde, da det n-te utfallet er avhengig av det forrige utfallet: x n+ = P A vinner A vinner fordel A = P A vinner + P A vinner fordel A x n+ = x n +.6y n y n+ = P fordel A like y n+ =.6z n z n+ = P like fordel A like fordel B = P like fordel A + P like fordel B z n+ =.4y n +.6u n u n+ = P fordel B like u n+ =.4z n v n+ = P B vinner B vinner fordel B = P B vinner + P B vinner fordel B v n+ =.4u n + v n Dette gir oss en matrise A: A = slik at x n+ = Ax n. Vi kan sjekke om A er riktig ved å finne sannsynligheten for de de første rundene. Dersom A er riktig, skal vi følge sannsynligheter for de tre første utfallene dersom vi setter A inn i x n+ = Ax n : x =,.6,,.4, T, x 2 =.36,,.48,,.6 T og x 3 =.36,.288,,.92,.6 T x x = Ax, hvor x =,,,, T x =

4 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim x =.6.4 x 2 x 2 = Ax x 2 = x 2 = x 3 x 3 = Ax 2 x 3 = x 3 = Sannsynlighetene over er funnet med hjelp av en MATLAB-kode: A = [,.6,,,;,,.6,,;,.4,,.6,;,,.4,,;,,,.4,]; x = [;;;;]; for i=:3; i x = A*x Vi kan med dette anta at A = for x n+ = Ax n. 4

5 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 3) Vi kan finne egenverdiene for A ved λi 5 A hvor egenverdiene er gitt ved λ n. Da vi er har 5 5 matrise vil vi ha fem egenverdier. det λi 5 A = λi 5 A = λ = = λ λ λ λ λ λ.6 λ.6.4 λ.6.4 λ.4 λ = λ λ.6.4 λ.6.4 λ.4 λ.6.6 λ.6.4 λ.4 λ + + = λ λ λ.6.4 λ.4 λ λ.4 λ λ.4 λ + = λ λ λ λ.4 λ.6.4 λ λ.4 λ.6 λ λ + = λ λ λ λ λ λ λ λ = λ λ λ λ 2 λ +.6.4λ λ 2 λ = λ λ λ 3 λ 2.24λ λ 2 +.4λ = λ λ λ 3 λ 2.24λ λ 2 +.4λ = λ λ 4 λ λ λ = λ λ 4 λ 3.48λ λ = λ 5 λ 4.48λ λ 2 λ 4 + λ λ 2.48λ = λ 5 2λ 4 + λ λ 2.48λ det λi 5 A = λ 5 2λ λ λ 2.48λ 5

6 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Vi har nå funnet determinanten, og da dette er et femtegradspolynom skal vi ha fem forskjellige egenverdier λ n. For å finne λ n må vi faktorisere uttrykket og finne de reelle løsningene for det λi 5 A =. = λ 5 2λ λ λ 2.48λ = λ(λ 4 2λ λ λ.48) = λ 25λ4 25 5λ λ λ = λ 25 25λ4 5λ 3 + 3λ λ 2 = λ 25 25λ4 5λ 3 + 3λ λ 2 = λ 25 25λ4 2 25λ λ λ 2 = λ 25 25λ2 λ 2 2λ λ λ 2 = λ 25 25λ2 λ 2 2λ λ 2 = λ 25 25λ2 λ 2 2 λ 2 2λ + = λ 25 25λ2 λ 2 2 λ 2 = λ 25 λ 2 25λ 2 2 Vi har med dette at enten λ 25, λ 2 eller 25λ 2 2 må være lik null. Gitt dette kan vi nå finne de fem egenverdiene. De to første egenverdiene er : λ 2 = λ 2 2λ + = λ = ( 2)± ( 2)2 4 2 λ = og λ 2 = De to neste er: 25λ 2 2 = λ = ± 2 4 ( 2) λ 3 = 2 3 og λ 5 4 = = 2± 2 Og den siste egenverdien er: λ lim = lim λ x λ = = 25 λ 5 = = ± 2 5 = ± = ±2 3 5 Vi har med dette at funnet at egenverdiene til matrisen A er λ =,, 2 3 5, 2 3 5, T 6

7 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 4) Da vi har funnet egenverdiene kan vi finne egenvektorene til de største egenverdiene til A slik at Av = λv, hvor A = , v =.4.4 x y z u v og λ = λ 2 =. Med dette har vi at x y z u v = x y z u v x +.6y.6z.4y +.6u.4z.4u + v = x y z u v Vi kan med dette se at y = slik at x +.6y = x + = x eller u = slik at.4u + v = + v = v for at uttrykkene skal være oppfylt. Vi har dermed at v = og v 2 =. Vi kan tolke dette som utfall, hvor enten A eller B vil vinne etter n runder. Som vi kan se fra disse egenvektorene kan ikke både A og B vinne, men kun én av partene. 7

8 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 5) Vi kan finne de andre egenvektorene ved å bruke et verktøy som MATLAB. Ved å skrive et program oppg5.m kan vi finne det vi er ute etter. Koden kan se slik ut: % Data A = [,.6,,,;,,.6,,;,.4,,.6,;,,.4,,;,,,.4,]; X=[;;;;]; % Finne egenverdier og egenvektorer [egenvektorer, egenverdier]=eig(a) % Vi kan radredusere matrisen for å se om den er radekvivalent med identitetsmatrisen for i=:5; A(i,6)=X(i,); B=rref(A) % Finne koeffisienter for lineærkombinasjonen av x c =egenvektorer\x % Sjekke at om det blir riktig for i=:5; num = c(i,); e(:5,i)=(num*egenvektorer(:5,i)); check=e(:5,)+e(:5,2)+e(:5,3)+e(:5,4)+e(:5,5) Dersom vi nå kjører dette programmet vil vi få følge resultater: >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MAT\24 OBLIG2\oppg5.m') egenvektorer = egenverdier = B = c =

9 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim check = Fra dette programmet får vi oppgitt egenvektorene og egenverdiene: v =, v 2 =, v 3 = , v 4 = , v 5 = og λ= Videre får vi også radredusert matrisen A til en utvidet matrise B slik at vi kan se om X kan uttrykkes som en lineærkombinasjon, og under hvilke omstigheter. B = Vi kan fra den utvidede matrisen B se at den femte og sjette søylen ikke er en pivotsøyle, noe som betyr at x n kan skrives som en lineærkombinasjon av v + v v 5 på uelig mange måter. Vi har med dette programmet også regnet ut koeffisientene for x slik at vi kan uttrykke x som en lineærkombinasjon. x = c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 + c 5 v 5 x = c + c 2 + c c c hvor c = x =

10 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim x = = Med dette har vi at x kan uttrykkes som en lineærkombinasjon x =

11 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 6) Vi kan plotte komponentene til x n ved å lage et program oppg6.m som behandler matriserne og plotter en figur. % Data A = [,.6,,,;,,.6,,;,.4,,.6,;,,.4,,;,,,.4,]; x(:5,) = [;;;;]; n(,) = ; % Finne x_n fra n= til for i=2:; x(:5,i)= A*x(:5,i-); n(,i) = i-; % Sortere data for i=:; xval(,i) = x(,i); yval(,i) = x(2,i); zval(,i) = x(3,i); uval(,i) = x(4,i); vval(,i) = x(5,i); % Plotte verdiene mot n plot(n,xval,n,yval,n,zval,n,uval,n,vval) leg('x_n','y_n','z_n','u_n','v_n') title('oppgave 6') xlabel('n'); ylabel('sannsynlighet') Dersom vi nå kjører dette programmet får vi følge kjørekode og figur (se figur 2): >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MAT\24 OBLIG2\oppg6.m') Figur 2: Plott av komponentene til x n mot n. Vi kan fra figur 2 se hvordan de forskjellige komponentene til x n, altsåx n, y n, z n, u n og v n, rer seg når n.

12 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 7) Vi kan finne sannsynligheten for at gamet består av mer enn baller, mao. sannsynligheten for at A server mer enn ganger før noen vinner, ved å bruke deler av samme kode som i oppgave 6. Vi vet at P A B = P A + P B, slik at P mer enn baller = P A B = P y + P z + P u Anta at vi lager et program oppg7.m som regner både P = P A B og P2 = P y + P z + P u hvor P = P2. % Data A = [,.6,,,;,,.6,,;,.4,,.6,;,,.4,,;,,,.4,]; x(:5,) = [;;;;]; n(,) = ; % Finne x_n fra n= til for i=2:; x(:5,i)= A*x(:5,i-); n(,i) = i-; % Sortere data for i=:; xval(,i) = x(,i); yval(,i) = x(2,i); zval(,i) = x(3,i); uval(,i) = x(4,i); vval(,i) = x(5,i); % Finne p=p(a)+p(b), P=-p og P2=P(y,z,u)=y+z+u=z p = xval() + vval(); P = -p P2 = yval(,)+zval(,)+ uval(,) Dersom vi nå kjører programmet vil vi få følge resultat hvor P mer enn baller = P = P2: >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MAT\24 OBLIG2\oppg7.m') P =.255 P2 =.255 Vi har fra dette at sannsynligheten for at gamet består av mer enn baller, P mer enn baller =.25 eller 2.5 prosent. 2

13 MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim 8) Vi kan finne grenseverdien til x n+ = A n x ved å skrive om uttrykket slik at x n+ = A n x x n+ = c A n v + c 2 A n v 2 + c 3 A n v 3 + c 4 A n v 4 + c 5 A n v 5 x n+ = c λ n v + c 2 λ 2 n v 2 + c 3 λ 3 n v 3 + c 4 λ 4 n v 4 + c 5 λ 5 n v 5, hvor λ = λ 2 Deretter setter vi λ med høyest verdi utenfor. x n+ = λ n (c v + c 2 v 2 + c 3 λ 3 λ n v3 + c 4 λ 4 λ n v4 + c 5 λ 5 λ n v5 ) lim n x n + = lim n λ n (c v + c 2 v 2 + c λ n 3 3 v3 + c λ n 4 λ 4 v4 + c λ n 5 λ 5 v5 ) λ λ n Hvor lim 3 λ n n λ =, lim 4 λ n n λ =, lim 5 n λ =, da λ > λ 3 > λ 4 > λ 5 Med dette får vi lim n x n+ = lim n λ n (c v + c 2 v 2, hvor λ = (se oppgave 3). Dette gir at lim n x n+ = lim n λ n (c v + c 2 v 2 lim n x n+ = lim n n (c v + c 2 v 2 lim n x n+ = c v + c 2 v 2 lim n x n+ = c + c 2, hvor c =.6923 og c 2 =.377 (se oppgave 5) lim n x n+ = = lim n x n+ = Vi har med dette funnet at grenseverdien lim n A n x =

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til

Detaljer

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0 TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A = Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (

Detaljer

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med

Detaljer

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018 7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07 Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Oppgaver til seksjon med fasit

Oppgaver til seksjon med fasit Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.

Detaljer

Oppgaver til seksjon med fasit

Oppgaver til seksjon med fasit Oppgaver til seksjon 4.-4.5 med fasit Oppgaver til seksjon 4.. Finn alle løsningene til ligningssystemet x + y z = x + y z = x + y + z =. Finn alle løsningene til ligningssystemet x y + z = x y = 4 x +

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. ln x sin x 2 (ln x) (ln x) 2 = cos ( x2. (ln x) 2 = cos x 2 2x ln x x sin x 2 (ln x) 2 x + 2 = 1, P = (2, 2 4 y4 = 0

Høgskolen i Oslo og Akershus. ln x sin x 2 (ln x) (ln x) 2 = cos ( x2. (ln x) 2 = cos x 2 2x ln x x sin x 2 (ln x) 2 x + 2 = 1, P = (2, 2 4 y4 = 0 Løysingsforslag. Oppgåve a f cos f cos + cos cos + sin cos sin g g sin ln sin ln sin ln ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ln sin ln b 4 4 + y 4, P, 4 5 Implisitt derivasjon: d 4 y 4 + d d 4 d d d 4 4

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag

MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

Diagonalisering. Kapittel 10

Diagonalisering. Kapittel 10 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005 TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3

Eksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3 Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

MA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer

MA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Oppgaver fra boken: :, 9,,, 5, 9, 5, 67 Det er oppgavene i boldface som

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 23. september 2009 A =

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 23. september 2009 A = Oblig - MAT Fredrik Meyer. september 9 Oppgave Linkmatrise: A = En basis til nullrommet til matrisen A I kan finnes ved å bruke MATLAB. Jeg kjører kommandoen rref(a-i) og får følge: >> rref(a-i). -.875.

Detaljer

Obligatorisk oppgave 2

Obligatorisk oppgave 2 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1

Obligatorisk oppgave 1 Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende:

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

5.5 Komplekse egenverdier

5.5 Komplekse egenverdier 5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 Obligatorisk oppgave 10 Oppgave 1 a) Ligningene 1, 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon. b)

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014 Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A =

1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 2 3. 1 4 Svar: λ = 5 med egenvektorer [x, y] T = y[1, 1] T og λ = 1 med egenvektorer [x, y] T = y[ 3, 1] T, begge strengt tatt med y 0. (b)

Detaljer

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

UNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).

UNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side). UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016 MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 8. juni 07 Tid for eksamen: 09.00 3.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT-INF360

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:

EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid: EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

ECON2130 Obligatorisk Oppgave

ECON2130 Obligatorisk Oppgave 201303 ECON2130 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi lar være uavhengige og normalfordelte,, setter og ønsker å vise at og at den teoretiske korrelasjonskoeffisienten mellom og er. Vi betrakter her en standard

Detaljer

MAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).

MAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Innleveringsfrist MAT20 Obligatorisk oppgave av 2 Torsdag 20. september 208, klokken 4:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

OBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005

OBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005 > with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer

Detaljer