Tallsystem. M1 vår 2008

Transkript

1 Tallsystem M1 vår mars 2008

2 1. Innledning 2. Ulike tallsystem i historien 3. Titallsystemet og andre tallsystem 4. Heltallene og utvidelser

3 1. Innledning Et interessant ulvebein ble funnet i Tsjekkoslovakia, med hakker tegnet på. De er gruppert i 5ere og 25ere. Det peker på to viktige matematiske begrep: En 1-1 korrespondanse mellom elementene i to forskjellige mengder Et grunntall for det utviklende tallsystemet 3

4 Et tallsystem er en metode å representere tall med symboler. Ulvebeinet foreslår et additivt tallsystem: rekkefølgen på symbolene er ikke viktig. Et symbol svarer til et fast antall gjenstander. I motsetning, i et posisjonssystem er rekkefølgen med for å bestemme verdien på et uttrykk. 4

5 Én to mange Det første leddet i denne utviklingen var å kunne skille mellom én, to og mange. Et symbol med tre gjenstander (planter, vannmugger osv.) ville bety tre eller flere. Dette ser vi i egyptisk, hebraisk, sanskrit og gotisk system, blant andre. 5

6 Fingrenes rolle Vi har fem fingere på hver hånd, så var det naturlig at 5 ble brukt som grunntall. Grønlandsinuittene hadde et system som brukte ikke bare hele kroppen, men kroppen til flere menn. 1 en 2 to 6 en på annen hånd 7 to på annen hånd 11 en på første fot 17 to på annen fot 20 en hel mann 27 på den andre mann to på andre hånd 53 på den tredje mannen tre på første fot Europeiske kulturer har også brukt 20 som grunntall: for eksempel, på fransk heter 80 quatre-vingt ( fire-tjue ) og 90 quatrevingt-dix ( fire-tjue-ti ). 6

7 Også virker romertallene tilpasset til å kunne lages med fingere: I, II, III, IV, L, M, C. Summa de Arithmetica (Luca Pacioli) var den første matematiske teksten som ble trykket. Den inneholder en avansert metode for å representere tall med fingrene (Høines 1998, side 16). 7

8 Tråder og knuter Disse ble brukt i mange kulturer: Inkaene og Mayafolk, samt grupper i Asia og Afrika. Fortsatt finnes det indianere i Bolivia som benytter tråder og knuter. Posisjon av knuter, farge og lengde på tråden kunne alle være betydningsfulle. 8

9 Mot posisjonssystemet Hvilket tall er det enkleste å lese, XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX eller XXXXXXXX XXXX XXXXXX XXXXX eller XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXX? Det er lettest hvis gjenstandene grupperes i like store grupper. Dette er grunnlaget for vårt tallsystem. 9

10 2. Gamle tallsystem Egypt Tall ble skrevet med hieroglyfer. Additivt system med 10 som basis Et nytt symbol for hver potens av 10 Ikke noe symbol for null Ble brukt mye til astronomi, navigasjon og beregning av kalenderen. 10

11 Babylon (Sumererne i Mesopotamia, f. Kr.) Av de første som utviklet skriftspråket: kileskrift En blandning av et posisjons- og et additivt system Bare to symboler: en kile og et hjørne Ikke noe symbol for null Gruntallet var 60. De benyttet også brøkdeler. 11

12 Gresk Et alfabetisk system: 24 bokstaver brukes sammen med 3 eldre symboler. I tillegg, strek og apostrofer (noe som brukes fortsett i matematikken) Ikke noe symbol for null 12

13 Mayafolket Disse var et avansert folk som gjorde store framskritt i perioden e. Kr. Tre symboler: 1, 5 og 0. De hadde et symbol for null. En blandning av et posisjons- og additivt system Skriftene ble brent av erobrere i 1560, så vet vi ikke akkurat hvor langt de kom med tallsystem. 13

14 Romertallene Delvis additivt og subtraktivt system. Ingen symbol for null Upraktisk. Abakus trengtes for å regne. Fullstendig brøkregning ble unngått ved å finne opp flere symboler. 14

15 4. Titall- og andre system Titallsystemet ble oppfunnet av Simon Stevin (flamsk) i Så ikke ut som våre desimaltall, men idéen var den samme. 15

16 (Eggsempel fra Solem Reikerås, sider ) Eggbert har høner som gir ham mange egg, som han pakker inn i kartonger som inneholder seks egg. I tillegg (till-egg) har han et par store flate esker som inneholder seks kartonger hver. (i) Hvis Eggbert har 17 egg, hvor mange kartonger har han fylt opp, og hvor mange løse egg har han igjen? (ii) Hvor mange egg har han plass til i en stor eske? (iii) Hvis han har 99 egg, hvor mange esker og kartonger kan han fylle opp, og hvor mange løse egg igjen har han? 16

17 (iv) Han bruker etterhvert et skjema for å holde rede over hvor tallene, og en dag skriver han det følgende: Esker Kartonger Løse egg Hvor mange egg har han til sammen? (v) Hvis han har 192 egg, hvordan vil skjemaet se ut? (vi) Hvorfor kunne det være lurt for Eggbert å skrive 342 istedenfor 134? 17

18 Forskjellige basiser I desimalsystemet tenker vi på tall som summer av potenser av 10. For eksempel, og 734 = = Dette gjelder også brøker: 53, 2 = og 33, 208 =

19 Men det er ingen ting som forhindrer oss i å bruke et annet tall enn 10. I eksempelet ovenfor så vi at 99 = = Derfor skriver vi 99 = 241 seks, eller, mer presist, 99 ti = 241 seks. Også hos Eggbert så vi at 342 seks = = 134 ti. Vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere med tall som er uttrykket i andre baser akkurat som vi gjør i basis

20 4. Naturlige tall og deres utvidelser Naturlige tall: 1, 2, 3,.... Når kan en likning løses? Tenk på x 5 = 0. Løsningen er x = 5, som er et naturlig tall. Hva med x + 5 = 0? Det er ingen naturlig tall x som er slik at x + 5 = 0. Vi må legge negative tall 1, 2, 3,... til vår tallmengde. Da får vi løsningen x = 5. 20

21 Tenk nå på 2x 5 = 0. Det er ingen heltall som er slik at 2x = 5. Dette, fordi at hvis x er et heltall, da er 2x et partall. Men 5 er et oddetall. Derfor må vi legge til rasjonale tall eller brøker : tall som 4/3, 7/2, og Da får vi løsningen x = 5/2. 21

22 Tenk nå på likninger som x 2 5 = 0. Dette har ingen rasjonal løsning: det finnes ingen heltall a og b som er slik at ( ) a 2 = 5. b Vi må derfor legge til irrasjonale tall som 2, 45, 3 4 og Da får vi løsningen x = 5. 22

23 Hvorfor finnes det ingen heltall a og b som er slik at ( ) a 2 = 5? b Anta at det finnes, og at vi har forkortet alt vi kan i brøken a/b. Da har vi a 2 = 5b 2. Derfor er a 2 delelig med 5, og faktisk er a delelig med 5. Men da er a 2 delelig med 25, og derfor er b 2 delelig med 5, og faktisk er b delelig med 5. Men da er 5 en fellesfaktor for både a og b, som motsier at vi har forkortet alt vi kunne fra a og b. 23

24 Hva med likningen x = 0? Dette har ingen réell løsning, fordi at hvis x er réelt, da kan ikke x 2 være negativ. Vi må derfor legge til imaginære tall som 1 og 4 2. Da får vi løsningen x = 5 = 1 5. Tallet 5 er ikke mer eller mindre enn noe som gir 5 dersom vi kvadrerer det. 24

25 Tallmengden vi har funnet frem til kalles for de komplekse tall. Hvert komplekst tall kan skrives som a + 1 b der a og b er (entydig bestemt) réelle tall. Gode nyheter: nå er vi fremme. Det kan bevises at alle likninger med koeffisienter som er tall har en løsning i de komplekse tall. 25

26 Vi kan regne med komplekse tall på følgende måte: ( ) + (2 4 1) = = 3 1 og ( ) (2 4 1 ) er lik 1 ( ) + ( 3 1 ) ( ) = = ( 1) = =

27 Referanser T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave. Universitetsforlaget, Oslo, M. Johnsen Høines: Begynneropplæringen. Caspar Forlag, Bergen, E. K. Lie Reikerås, I. Heiberg Solem: Det matematiske barnet. Caspar Forlag, Bergen,