SPESIALISERING I ØKONOMISTYRING DST 9535 VERDI AV TILLEGGSINFORMASJON A) HVA KJENNETEGNER GODE BESLUTNINGSMODELLER?

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "SPESIALISERING I ØKONOMISTYRING DST 9535 VERDI AV TILLEGGSINFORMASJON A) HVA KJENNETEGNER GODE BESLUTNINGSMODELLER?"

Transkript

1 SPESIALISERING I ØKONOMISTYRING HVA KJENNETEGNER GODE BESLUTNINGSMODELLER? DST 9535 VERDI AV TILLEGGSINFORMASJON.. Forelesningsnotet 3. Hva kjennetegner gode beslutningsmodeller? B) Når har informasjon verdi? C) Verdi av tilleggsinformasjon versus fleksibilitet D) Notasjon og begreper E) Generelle strukturer F) Ulike beslutningskriterier G) Verdi av perfekt informasjon H) Repetisjon av sannsynlighetsregning I) Bayesiansk læring J) Verdi av imperfekt informasjon K) Litt om binomisk fordelte testresultater Tor Tangenes, BI-Sandvika, V03

2 B) NÅR HAR INFORMASJON ØKONOMISK VERDI? Informasjon av betydning for en beslutning som vi i utgangspunktet har eller som vi med letthet og uten vesentlige kostnader kan skaffe oss kalles a priori informasjon. Et sentralt problem i beslutningssammenhenger blir derfor om tilleggsinformasjon bør innhentes. Eksempelvis bør et oljeselskap prøvebore eller ikke? Tilleggsinformasjon har normalt en kostnad som må vurderes opp mot verdien av informasjonen. Temaet verdi av tilleggsinformasjon dreier seg om å utforme hensiktsmessige beslutningsstrukturer samt å vurdere den økonomiske verdien av tilleggsinformasjon. Sentralt i vår sammenheng blir å strukturere beslutningsproblemet slik at den økonomiske verdien av tilleggsinformasjon kan beregnes i forkant av beslutningen om å anskaffe og bruke tilleggsinformasjonen. forventede kontantstrømmer fra feltet til USD 50 mill. Oljeselskapet kan foreta en testboring med to mulige testresultat; Oljefunn eller ikke. Det er rimelig at testresultatet påvirker forventet NV for feltet. Finner en olje ved prøveboringen, øker NV av forventede kontantstrømmer til USD 300 mill. Finner en ikke olje ved prøveboringen reduseres NV av forventede kontantstrømmer til USD 50 mill. Oljeselskapet har ingen prosjekter som konkurrerer med dette prosjektet. Investeringene som må foretas i dag er anslått til USD 5 mill. Hva er forventet verdi av tilleggsinformasjonen fra en eventuell testboring? Generelt kan vi si at tilleggsinformasjon har økonomisk verdi for beslutningstaker når... Oppgave Et oljeselskap vurderer å kjøpe et felt, men er usikker på hvor mye olje det er på feltet. Basert på a priori informasjon beregnes nåverdien av 3 4

3 C) VERDI AV TILLEGGSINFORMASJON VERSUS FLEKSIBILITET Informasjonsmengde Fleksibilitet: Når bør investeringen gjøres? Tilleggsinfo.: Hvor mye tilleggsinfo bør innhentes? D) NOTASJON OG BEGREPER. BESLUTNINGSTAGER - BT Tid for investering. BESLUTNING: A k {A, A,...} (HANDLINGER / PROSJEKTER / LOTTERIER) 3. HYPOTESER (tilstander) : H i {H, H,... } Avspeiler ikke-kontrollerbare faktorer. Samlebetegnelse på en bestemt kombinasjon av ikke-kontrollebare faktorer, som er relevante i den aktuelle beslutningssituasjonen. Tilstandene er gjensidig utelukkende og kollektivt uttømmende. 4. A PRIORI SANNSYNLIGHETER: H i ), Σ H i ) Normalt subjektivt bestemt. Sannsynligheter basert på eksisterende kunnskap om tilstandene. 5. TESTRESULTATER: D j {D, D,...} Tilleggsinformasjon fremskaffes ofte ved en test, men kan også skaffes til veie ved kjøp av informasjon fra f.eks. et ekspertmiljø. Eksempel på det første er prøveboring, kontroll av PC-komponenter og graviditetstester. 6. A POSTERIORI SANNSYNLIGHETER: H i D j ) A posteriori sannsynligheter kalles også oppdaterte sannsynligheter og gjenspeiler både eksisterende kunnskap om hypotesene (tilstandene) og kunnskap fra testen (testresultatet) 7. KONSEKVENSER: X ki { X, X,...} Gitt beslutning og tilstand er konsekvensen forutsatt kjent. Konsekvensene måles ofte i penger og vil i bedriftsøkonomiske sammenhenger kunne være dekningsbidrag, overskudd, nåverdi e.l. 6. BT S PREFERANSER: u(x) Egenskaper ved BT s nyttefunksjon: u (X) > 0 BT er grådig og u (X) < 0 BT er risikoavers) 7. KRITERIER (Beslutningsregel) Tilordner en numerisk verdi til et beslutningsalternativ - eks. prosjektets forventede verdi eller forventede nytte. Ved hjelp av kriteriet kan vi rangere beslutningsmulighetene. 5 6

4 E) GENERELLE BESLUTNINGSSTRUKTURER Med bruk av tilleggsinformasjon: Uten bruk av tilleggsinformasjon: 7 8

5 F) ULIKE BESLUTNINGSKRITERIER. MAXIMAX (uten sannsynligheter) For hver prosjekt bestemmes den mest fordelaktige konsekvensen, som kan inntreffe. Deretter velges det prosjektet der den beste konsekvensen er størst. Gjenspeiler sterk optimisme.. MAXIMIN (uten sannsynligheter) For hver prosjekt bestemmes den minst fordelaktige konsekvensen, som kan inntreffe. Deretter velges det prosjektet der den dårligste konsekvensen er minst. Gjenspeiler sterk pessimisme. 3. HURWICZ (uten sannsynligheter) Et vektet gj.sn. av maximax og maximin 4. GJENNOMSNITTSVERDI (likeveide sannsyn.) Hver konsekvens tilordnes en sannsynlighet lik /n, der n er lik ant. hypoteser(tilstander). Dette kan gjøres når kunnskap om tilstandenes sannsynligheter mangler. 5. MEST SANNSYNLIG HYPOTESE Først bestemmes den hypotese som er mest sannsynlig, og så velges det prosjektet som har mest fordelaktig konsekvens ved den mest sannsynlige hypotesen. 6. FORVENTET VERDI Forventet verdi E[X] Forventet verdi av et prosjekt er den veide sum av prosjektets konsekvenser, der sannsynlighetene for de aktuelle hypoteser fungerer som vekter. Når forventet verdi fungerer som beslutningskriterium, må det forutsetter at BT er risikonøytral forventningsverdien er lineær i X. 7. FORVENTNING/VARIANS-KRITERIET For to prosjekter A og A fortrekkes A hvis og bare hvis E[A ] E[A ] og Var[A ] Var[A ] med minst en streng ulikhet. Kriteriet forutsetter risikoaversjon, men kan ikke rangere alle prosjekter. 8. FORVENTET NYTTE Her må vi kjenne til BT s nyttefunksjon. Antar vi at BT er risikomotvillig, vil nyttefunksjonen, u(x), høre til klassen av konkave funksjoner. Eksempler på slike funksjoner er: a) u(x) ln (x) logaritmisk b) u(x) -x + bx kvadratisk u (x) > 0 (restriksjon) c) u(x) - {exp} -bx negativ eksp. Forventet nytte beregnes ved å plugge konsekvensene ved hver tilstand inn i nyttefunksjonen og multiplisere med den tilhørende sannsynlighet (som også her fungerer som en vekt). En risikoavers BT foretrekker et sikkert beløp tilsvarende lotteriets forventningsverdi fremfor selve lotteriet. En risikonøytral BT er indifferent i valget over, mens en risikosøkende investor foretrekker prosjektet fremfor et sikkert beløp tilsvarende prosjektets forventningsverdi. 9 0

6 Oppgave Prosjekter: A{A, A } A : Prosjekt med høy oljepris som suksesskriterium A : Prosjekt med lav oljepris som suksesskriterium Hypoteser: H{H, H, H 3, H 4 } H : Høy oljepris og høye konjunkturer H : Lav oljepris og høye konjunkturer H 3 : Høy oljepris og lave konjunkturer H 4 : Lav oljepris og lave konjunkturer A priori sannsynligheter (for hypoteser): H) {H ), H ), H 3 ), H 4 ) } a) Beregn prosjektenes forventningsverdi, varians og standardavvik. b) Kan du rangere prosjektene etter forventning/varianskriteriet? c) Hvilket prosjekt vil du velge etter maximax-, maximingjennomsnittsverdi- og mest sannsynlig tilstandkriteriet? d) Hvilket prosjekt vil du velge hvis ditt beslutningskriterium er å maksimere forventet verdi. Hva innebærer dette med hensyn til din risikoholdning. e) Strukturér problemet ved hjelp av et beslutningstre f) Du er usikker på de subjektive hypotesesannsynlighetene som ligger til grunn for analysen (a priori sannsynligheter). Kom med realistiske forslag for hvordan disse kan oppdateres. (Vi skal gjennomgå dette formelt i neste forelesning.) H ) 0, H ) 0,4 H 3 ) 0, H 4 ) 0,3 Konsekvensmatrise: Hypoteser/ H H H 3 H 4 Prosjekter A A G) VERDI AV PERFEKT TILLEGGSINFORMASJON Med informasjon menes informasjon utover vår a priori kunnskap omkring hypoteser, sannsynligheter og konsekvenser. Med perfekt informasjon menes at hypotesen (tilstanden) avsløres før vi velge prosjektet.

7 Uten perfekt informasjon er beslutningsprosessen slik:. Kartlegg hypoteser, sannsynligheter og konsekvenser. Velg prosjekt med høyest forventningsverdi 3. Hypotesen avsløres og konsekvensen blir kjent. Med perfekt informasjon er beslutningssituasjonen slik:. Kartlegg hypoteser, sannsynligheter og konsekvenser. Hypotesen avsløres og konsekvensene blir kjent 3. Velg prosjekt med best konsekvens. Verdifull informasjon kan defineres som informasjon som gir potensiell endring i beslutning. Anta at vi har følgende beslutningsproblem: BT er risikonøytral, dvs. at BT maksimerer forventet verdi i kr. Prosjekter: Hypoteser: A{A, A } H{H, H } A priori sannsynligheter (for hypoteser): H) {H ) 0,, H ) 0,8 } Konsekvensmatrise: Hypoteser/ H H Prosjekter A A Oppgave 3: a) Strukturér problemet ved hjelp av et beslutningstre. b) Beregn forventet verdi til begge prosjektene og angi optimal beslutning. c) Invertér beslutningstreet (først hypoteser, så beslutninger) og vis hvilket prosjekt som blir valgt, gitt hypotese som avsløres. d) Beregn forventet verdi med perfekt informasjon samt verdien av perfekt informasjon. SIKKERHETSEKVIVALENS OG LITT OM FORVENTET NYTTE (Ikke eksamensrelevant) I alle beregningene har vi forutsatt at BT er risikonøytral. En risikonøytral person er indifferent mellom å delta i et usikkert prosjekt og å motta prosjektets forventningsverdi med sikkerhet. En risikoavers investor vil i motsetning foretrekke et sikkert beløp, tilsvarende prosjektets forventningsverdi, fremfor selve prosjektet. 3 4

8 Med sikkerhetsekvivalent (SE) menes et sikkert beløp som gjør at BT er indifferent mellom å motta dette beløpet eller å delta i selve prosjektet. Risikopremien er definert som differansen mellom prosjektets forventningsverdi og prosjektets sikkerhetsekvivalens. Eks. En investor kan delta i et usikkert prosjekt med forventningsverdi 00. Hvis investor er risikonøytral er han/hun indifferent mellom å motta kr. 00 med sikkerhet og å delta i det usikre prosjektet. Er investor risikoavers, vil han/hun foretrekke kr. 00 fremfor selve prosjektet. Hvis investor spørres om hvilket sikkert beløp som gir indifferens og svarer f.eks. kr. 85, så er kr. 85 prosjektets SE. Risikopremien blir i dette tilfellet kr. 00 kr. 85 kr. 5 Skal modellen over gjelde for risikoaverse investorer kan to fremgangsmåter benyttes;. Omregne alle forventningsverdier til sikkerhetsekvivalenter og velge prosjektet med høyest SE. Kartlegge BT s nyttefunksjon og velge prosjektet med høyest forventede nytte. Problem (ikke pensum): Anta at investoren i problem ikke er risikonøytral, slik forutsatt der, men risikoavers. Du har prøvet å kartlegge nyttefunksjonen hennes ved å stille henne overfor en rekke binære valg. På grunnlag av svarene, estimerer du følgende nyttefunksjon og beregner forventet nytte: Nyttefunksjonen ivaretar BT s risikopreferanse, slik at prosjektet med høyest nyttetall er det beste. Fremgangsmåten gjør det mulig å vurdere og rangere ethvert prosjekt og har derfor ikke de samme begrensningene, som forventning-varianskriteriet. Notasjon: u ( X ) X E 0,5 [ u ( X )] P ( H ) u ( i X i SANNSYNLIGHETSREGNING T: Totalmengde A og B: Delmengder av T N(T): Antall elementer i T N(: Antall elementer i A A': Komplementærmengden til A (les: ikke A B: Snittet av mengdene A og B (både og) A B: Unionen av mengdene A og B (enten eller) : Symbol for en tom mengde A B : A og B er disjunkte mengder, hvis snittet er tomt. Det vil si at A og B er gjensidig utelukkende. Fr(: Andel elementer i delmengden A, dvs. N( / N(T) ) 5 6

9 : Sannsynlighet for delmenge A A B): Simultan sannsynlighet, dvs. sannsynlighet for både A og B. A B): Betinget sannsynlighet, dvs. sannsynlighet for A, gitt B. Uformell definisjon av sannsynlighet: N( P ( Fr( N( T ) Regneregler for sannsynligheter: trekning av en stort ball symboliseres med S og trekning av en grønn ball symboliseres med G. a) Bestem S) og G) Anta at to baller trekkes med tilbakelegning. b) Bestem S S), G G), S G), G S) Anta nå at du først trekker en sort ball, som legges tilbake. Hva er da: c) G S) Anta nå at den første fallen som trekkes er grønn. Den legges tilbake. Hva er da: d) S G) () () (3) (4) (5) (6) T ) 0 B) + B) A B) B) + B), når A og B er disjunkte A B) B), når A og B er uavhengige A B) A B) B) B, når A og B er avhengige Du skal nå trekke én ball fra en annen urne. I denne urnen er det ti baller, seks hvite og fire gule. Fire av de hvite ballene er påskrevet en bokstav, men de resterende to er på-skrevet et tall. Tre av de gule ballene er påskrevet en bokstav, men den siste er påskrevet et tall. 4 hvite baller (H) med bokstaven (B) hvite baller (H) med tallet (T) 3 gule baller (G) med bokstaven (B) gul ball (G) med tallet (T). Oppgave 4 (Enkel sannsynlighetsregning) Anta at du har en urne med tre sorte og syv grønne baller. Du skal nå bestemme sannsynligheten for ulike hendelser, der Beregn følgende sannsynligheter: e) H B), H T), G B), G T), H), G), B), T), B G), T G), B H), T H 7 8

10 Oppgave 6 (Beregn. av sannsynlighter for testresultater) Struktur med to hypoteser: BAYESIANSK LÆRING To mulige hypoteser eller tilstander - H i H i {H, H } med tilhørende a priori sannsynligheter - H i ) H i ) { H ), H ) } To mulige testresultater eller datasett - D j D j {D, D } med betingede sannsynligheter - D j H i ) D j H i ) { D H ) D H ) D H ) D H ) } Oppgave 5 (Konstruksjon av sannsynlighetstre) Konstruér et sannsynlighetstre der hypotesene med a priori sannsynligheter er på første sett av grener, deretter testresultater med betingede sannsynligheter og til slutt de simultane sannsynlighetene (sannsynligheter for både hypotese og testresultat). Vis hvordan sannsynlighetene for et gitt testresultat kan beregnes, dvs. D ) og D ) med utgangspunkt i: a) de simultane sannsynlighetene b) de betingede sannsynlighetene Bayes regel: Bayes regel følger av at den simultane sannsynlighet kan skrives på to måter. D H H ) H D D ) D ) D ) D H) H D ) ) D H) H) D H) D H ) H ) D H ) Eksempel: Anta at vi har to urner med ulikt antall røde og hvite baller. I urne nr. er det 70 røde og 30 hvite balller. I urne nr. er det 30 røde og 70 hvite baller. Urne nr. Antall røde Antall hvite Totalt Problemet ditt er å bestemme hvilken urne som er nr. og hvilken som er nr.. i H ) H ) i i i i 9 0

11 Vi har her to hypoteser, nemlig at urnen du velger er nr. eller nr.. H i {H, H }, der H er urne med flest røde baller og H er urne med flest hvite baller. Før vi kan innhente informasjon ved å å trekke en eller flere baller fra urnen er våre a priori sannsynligheter lik: H i ) { H ) 0,5, H ) 0,5 } Testresultatet (data) vil her være en (eller flere) ball(er) trukket fra den valgte urnen. Kjennskap til dataprosessen gjør at vi ved trekning av en ball kan konkludere som følger: D H ) 0,7 D H ) 0,3 D H ) 0,3 D H ) 0,7 der D er trekning av rød ball og D er trekning av hvit ball Fullstendig kjennskap til dataprosessen innebærer at sannsynlighetene over er objektive. Summerer vi hypoteser over et bestemt testresultat, blir summen i eksemplet over lik én. Generelt sett er dette ikke tilfelle. Summer vi derimot testresultater over en bestemt hypotese, må summen alltid bli lik én. Eksemplet over belyser det generelle problemet ved bayesiansk læring. for oppdatering av a priori sannsynligheter - Oppdateringen skjer ved hjelp av Bayes regel - De oppdaterte sannsynlighetene (a posteriori sannsynligheter benyttes i den endelige beslutning. Oppgave 7 (Konstruksjon av sannsynlighetstre) Konstruér et sannsynlighetstre med hypoteser og test-resultater fra eksemplet over. Før også opp a priori, betingede og simultane sannsynligheter. Anta at du kan trekke én ball fra urnen du velger og at testresultatet (ballen du trekker) er rød. Vi kan da samle informasjonen i nedenstående tabell. Testresultat er rød ball Hypotese A priori sannsyn. Betinget sannsyn. Simultan sannsynl A posteriori sannsyn. H 0,5 0,7 0,35 0,7 H 0,5 0,3 0,5 0,3 ΣH i ) D ) 0,50 ΣH i D ) Hvis testresultatet hadde vært en hvit ball, ville tabellen ha sett slik ut: Testresultat er hvit ball Hypotese A priori sannsyn. Betinget sannsyn. Simultan sannsynl A posteriori sannsyn. H 0,5 0,3 0,5 0,3 H 0,5 0,7 0,35 0,7 ΣH i ) D ) 0,50 ΣH i D ) - Begrenset a priori kunnskap - Kjennskap til en dataprosess (testmetode) gir oss de betingede sannsynlighetene og muligheter

12 Invertert sannsynlighetstre: A porteriori sannsynlighter kan alternativt beregnes ved hjelp av et invertert sannsynlighetstre. Prosessen er som følger:. Konstruér et tre med grener først for mulige testresultater.. Utvid treet med grener for hypoteser, gitt testresultat. 3. Før på de simultane sannsynlighetene; D H ), D H ), D H ), D H ) der eksempelvis D H ) D H ) H ) 4. Beregn deretter sannsynlighetene for testresultater ved å summere sannsynligheten for hvert testresultat over de ulike hypotesene. D ) og D ) der eksempelvis D ) Σ D H i ) H i ) 5. Beregn til slutt de oppdaterte sannsynlighetene ved å dele den simultane sannsynligheten med sannsynligheten for testresultatet. H D ), H D ) og H D ), H D ) Verdi av imperfekt informasjon: Tidligere viste vi hvordan verdien av perfekt informasjon kunne beregnes. I de fleste praktiske tilfeller er ikke testmetoden (presisjonen i datamaterialet) perfekt og vi får følgelig ikke avslørt hypotesen før beslutningen skal fattes. Anta at du vurderer å investere i ett av to aktuelle prosjekter, hvis avkastninger er følsomme for hvorvidt oljeprisen går opp eller ned. Det første prosjektet (A ) reagerer positivt på en prisoppgang, mens det andre prosjektet (A ) reagerer negativt. Problemstillingen er den samme som den vi studerte da vi beregnet verdien av perfekt informasjon i notat (se s. 8). Beslutningsproblemets struktur er der som følger: Prosjekter: A{A, A } Hypoteser: H{H, H } der H er prisoppgang på olje og H er prisnedgang. Ut fra egne erfaringer anslår vi det som mest sannsynlig at oljeprisen går ned. Vi kommer opp med følgende fordeling. A priori sannsynligheter (for hypoteser): Oppgave 8 (Invertert sannsynlighetstre) H) {H ) 0,, H ) 0,8 } Konstruér et invertert sannsynlighetstre med utgangspunkt i tallene fra oppgave

13 Konsekvensmatrise: Hypoteser/ H H Prosjekter A A For å bedre ditt beslutningsgrunnlag, kontakter du en bekjent som er sentralt plassert i OPEC. Du spør ham om utfallet av neste OPEC-møte. Du har tidligere kontaktet ham for lignende konsultasjoner. I disse sammenhenger har han vist en 00 % treffsikkerhet i situasjoner der prisen har gått opp, men har bare truffet i 50 % av gangene prisen har gått ned. Vi kan nå strukturere og løse problemet ved hjelp av sannsynlighets- og beslutningstrær. Sannsynlighetstre A priori s. Betingede s. Simultane s. D 0, H D 0, 0 0 H D 0,4 0,8 0,5 D 0,5 0,4 Inverter sannsynlighetstre Sann. for testres. A posteriori s. Simultane s. H D 0, 0,33 D H D 0,6 0,4 0,67 D H D 0 0,4 0 H D 0,4 Oppgave 9 (Oppdatering, prosjektvalg og verdi av info.) Konstruér et beslutningstre og velg det prosjektet som gir høyest forventningsverdi. Beregn også verdien av imperfekt informasjon, dvs. av din OPEC-kontakts råd. Hvor meget er du maksimalt villig til å betale for dette rådet? Oppgave 0 (Oppdatering av sannsynligheter) Anta at du er engasjert i oljeleting og at et bestemt felt vurderes. Feltet er enten fullt av olje, halvfullt eller tomt. Vi har følgelig tre hypoteser. A priori sannsynligheter for hver hypotese er hhv. 0,, 0,4 og 0,5. 5 6

14 En prøveboring vil bedre din kunnskap om feltet er fullt, halvfullt eller tomt. Hvis feltet er fullt, vil du med helt sikkert finne olje ved en prøveboring. Hvis feltet er halvfullt, er sannsynligheten 50 % for at du finner olje ved en prøveboring. Hvis feltet er tomt, vil du ikke finne olje ved en prøveboring. Strukturér problemet og finn a posteriori sannsynlighter (oppdaterte) under forutsetning av at prøveboringen medfører oljefunn. Gjenta beregningen under forutsetning av at prøveboringen ikke gir oljefunn. Anta videre at verdien av et fullt oljefelt er lik 0, verdien av et halvfullt felt er lik 5 og verdien av et tomt felt er lik 0. 0,3 A') 0,7 Enten finnes det olje eller ikke. Følgelig må de to sannsynlighetene over summere til. Hvis feltet inneholder olje, vil en geologisk test vise at olje finnes med 70 % sannsynlighet. Hvis feltet ikke inneholder olje vil en geologisk test vise at olje finnes med 0 % sannsynlighet. La B symbolisere positivt testresultat. Med utgangspunkt i denne kunnskap kan vi formulere betingende sannsynligheter. B 0,70 B' 0,30 B A') 0,0 B' A') 0,80 Siden testmetoden ikke gir perfekt informasjon, er her en situasjon med imperfekt informasjon. Det er 30 % sannsynlig at det finnes olje i feltet og 70 % sannsynlig at en test vil gi korrekt resultat når olje finnes. Sannsynligheten for at det både er olje og at testen gir korrekt resultat, må derfor være lik: P ( A B) * B 0,3* 0,7 0, Benytt a posteriori sannsynligheter og beregn: a) Forventet verdi, gitt oljefunn ved testboring b) Forventet verdi, gitt ikke oljefunn ved testboring c) Forventet verdi uavhengig av testresultat. Eksempel på oppdatering av sannsynligheter Du skal igjen vurdere et oljefelt. Erfaring viser at 30 % av slike oljefelt inneholder olje. Vi symboliserer at olje finnes (hypotese ) med A og at olje ikke finnes (hypotese ) med A'. Vi får da: Vi kan på tilsvarende måte regne ut de øvrige simultane sannsynlighetene. P ( A' B) A') * B A') 0,7 *0, 0,4 P ( A B') * B' 0,3* 0,3 0,09 P ( A' B') A') * B' A') 0,7 * 0,8 0,56 Tabellarisk kan de betingede sannsynligheter vises slik: 7 8

15 Bayes regel: T A A' B 0, 0,4 0,35 B' 0,09 0,56 0,65 A B) A B) B) Benytter vi tallene fra tabellen over får vi: 0,3 0,7,0 0, A B) 0,60 0,35 0,4 A' B) 0,40 0,35 0,09 A B') 0,385 0,65 0,56 A' B') 0,865 0,65 Benytt Bayes regel og finn følgende sannsynligheter: - en dømt person er skyldig - en dømt person er uskyldig - en frikjent person er skyldig - en frikjent person er uskyldig BINOMIALFORDELT TESTRESULTAT Ta utgangspunkt i oppg. 7 og forutsett nå at foretar fem prøveboringer og finner olje i to av dem. De er rimelig å anta at antall hull med olje er binomisk fordelt med betinget sannsynlighet lik: D der a n a n a a H i ) p ( p) a er antall suksesser, n er antall forsøk, p betinget sannsyn. j n n! for suksess gitt hypotese og a a!( n a)! n over a gir antall uordnede muligheter uten tilbakelegning for a suksesser fra n forsøk. I vårt eksempel er det 0 ulike muligheter for å få to oljefunn fra fem forsøk. Oppgave Anta at T er mengden av alle som blir tiltalt i norske rettssaker. En tiltalt kan enten bli funnet skyldig eller frifunnet. Anta videre at 75 % av alle tiltalte er skyldige, at sannsynligheten for at en skyldig blir dømt er 70 % og sannsynligheten for at en uskyldig blir dømt er 0 %. Våre a priori sannsynligheter vedr. feltets størrelse var: H Fullt felt) 0, H Halvfullt felt) 0,4 H Tomt felt) 0,5 De betingede sannsynlighetene (sannsynlighet for test-resultat, gitt hypotese) for oljefunn i ett tilfeldig hull var: 9 30

16 3 D oljefunn ved prøveboring H ) D ikke oljefunn ved prøveboring H ) 0 D oljefunn ved prøveboring H ) 0,5 D ikke oljefunn ved prøveboring H ) 0,5 D oljefunn ved prøveboring H 3 ) 0 D ikke oljefunn ved prøveboring H 3 ) Når vi nå gjør fem testboringer og finner olje i to hull, blir de betingede sannsynlighetene som følger: Sjekk ved Bayes regel at H D ) 0 H D ) H 3 D ) ) ( 0,35 0,5 0,5 5 ) ( ) ( H D P H D P H D P j j j 3

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET 24. april 2002 Aanund Hylland: # BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET Standard teori og kritikk av denne 1. Innledning En (individuell) beslutning under usikkerhet kan beskrives på følgende måte: Beslutningstakeren

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund (a) Spillet er vist i figur 1 på siste side. Legg merke til at når det ikke er et endelig antall handlingsalternativ, men valget gjøres innenfor en kontinuerlig mengde,

Detaljer

MAN 89981 Bedriftsøkonomisk analyse med beslutningsverktøy

MAN 89981 Bedriftsøkonomisk analyse med beslutningsverktøy Handelshøyskolen BI Institutt for regnskap, revisjon og jus Skriftlig eksamen: MAN 89981 Bedriftsøkonomisk analyse med beslutningsverktøy Eksamensdato: 19.06.2002, kl. 09.00-14.00 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

= 5, forventet inntekt er 26

= 5, forventet inntekt er 26 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002 Usikkerhet, disposisjon Denne og neste forelesning: o Et individs beslutninger under usikkerhet o Varian kapittel 11 De to forelesningene deretter: o Markeder under usikkerhet, finansmarkeder o Frikonkurranse;

Detaljer

Systematisk usikkerhet

Systematisk usikkerhet Kvalitetssikring av konseptvalg, samt styringsunderlag og kostnadsoverslag for valgt prosjektalternativ Systematisk usikkerhet Basert på et utkast utarbeidet under ledelse av Dovre International AS Versjon

Detaljer

Oppgave 6 (4 poeng) La X være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. a) Forklar at. b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

Oppgave 6 (4 poeng) La X være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. a) Forklar at. b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. Oppgave 6 (4 poeng) I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

a) Siden man baserer sine beslutninger på forventet verdi, er man risikonøytral. Vi kan sette opp følgende tabell:

a) Siden man baserer sine beslutninger på forventet verdi, er man risikonøytral. Vi kan sette opp følgende tabell: Oppgave (30 %) a) Siden man baserer sine beslutninger på forventet verdi, er man risikonøytral. Vi kan sette opp følgende tabell: Nåverdi Høy Lav Sannsynlighet 0,65 0,35 Investere 350-00 Leie 50-50 Ikke

Detaljer

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Tar opp forskjellige egenskaper ved markeder under usikkerhet. I virkeligheten usikkerhet i mange markeder, bl.a. usikkerhet om kvalitet på varen i et spotmarked,

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Økonomisk institutt Universitetet i Oslo OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Oppgave (Eksamen V-98, oppg. ) Betrakt et individ som maksimerer forventet nytte.

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 9530

Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 9530 Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 950 Disposisjon Bruk av LP i økonomiske problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende sammenhenger Lineær programmering og bedriftsøkonomiske

Detaljer

Oppgave 11: Oppgave 12: Oppgave 13: Oppgave 14:

Oppgave 11: Oppgave 12: Oppgave 13: Oppgave 14: Oppgave 11: Ved produksjon på 100 000 enheter pr periode har en bedrift marginalkostnader på 1 000, gjennomsnittskostnader på 2 500, variable kostnader på 200 000 000 og faste kostnader på 50 000 000.

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Prinsipal-agent-modeller

Prinsipal-agent-modeller Prinsipal-agent-modeller gent: Person som utfører oppdrag for andre Prinsipal: Den som gir oppdraget Eksempler (oppgave, prinsipal, agent): o Helse, pasient, lege o nvestering, aksjeeier, bedriftsleder

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars) HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Mikroøkonomi del 2 - D5. Innledning. Definisjoner, modell og avgrensninger

Mikroøkonomi del 2 - D5. Innledning. Definisjoner, modell og avgrensninger Mikroøkonomi del 2 Innledning Et firma som selger en merkevare vil ha et annet utgangspunkt enn andre firma. I denne oppgaven vil markedstilpasningen belyses, da med fokus på kosnadsstrukturen. Resultatet

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

EKSAMEN. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler.

EKSAMEN. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Kvalitetsledelse med Statistikk. SMF2121 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010 KLASSE: Ingeniørutdanning TID: kl. 9.00 13.00. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Kommunal regnskapsstandard nr. 7 (revidert) Høringsutkast (HU) Usikre forpliktelser, betingede eiendeler og hendelser etter balansedagen

Kommunal regnskapsstandard nr. 7 (revidert) Høringsutkast (HU) Usikre forpliktelser, betingede eiendeler og hendelser etter balansedagen Kommunal regnskapsstandard nr. 7 (revidert) Høringsutkast (HU) Usikre forpliktelser, betingede eiendeler og hendelser etter balansedagen Høringsutkast til revidert standard fastsatt av styret i Foreningen

Detaljer

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE Side 1 av 8 UNIVERSITET

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE Side 1 av 8 UNIVERSITET NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE Side 1 av 8 UNIVERSITET INSTITUTT FOR INDUSTRIELL ØKONOMI OG TEKNOLOGILEDELSE Faglig kontakt under eksamen: Institutt for industriell økonomi og teknologiledelse, Gløshaugen

Detaljer

Dagens tema: Begrepsdannelse Eksterne entydighetsskranker Verdiskranker Mengdeskranker Underbegreper og underbegrepsskranker Kombinerte totale roller

Dagens tema: Begrepsdannelse Eksterne entydighetsskranker Verdiskranker Mengdeskranker Underbegreper og underbegrepsskranker Kombinerte totale roller UNIVERSITETET I OSLO INF1300 Introduksjon til databaser Dagens tema: Begrepsdannelse Eksterne entydighetsskranker Verdiskranker Mengdeskranker Underbegreper og underbegrepsskranker Kombinerte totale roller

Detaljer

Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 1. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS

Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 1. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 1. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Denne artikkelserien handler om statistisk behandling av kalibreringsresultatene. I de fleste tilfeller

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats.

Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats. kjulte handlinger Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats. pørsmålet er: Hvordan skal kontrakten se ut?

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Løsningsforslag til oppgaver - kapittel 11

Løsningsforslag til oppgaver - kapittel 11 Løsningsforslag til oppgaver - kapittel 11 11.1 Årlige innbetalinger 600 000 - utbetalinger til variable kostnader 350 000 - utbetalinger til betalbare faste kostnader 50 000 Årlig innbetalingsoverskudd

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

MENON - NOTAT. Hvordan vil eiendomsskatt i Oslo ramme husholdninger med lav inntekt?

MENON - NOTAT. Hvordan vil eiendomsskatt i Oslo ramme husholdninger med lav inntekt? MENON - NOTAT Hvordan vil eiendomsskatt i Oslo ramme husholdninger med lav inntekt? 07.09.2015 Sammendrag Menon Business Economics har fått i oppdrag av Oslo Høyre om å skaffe til veie tallgrunnlag som

Detaljer

Unik4590/Unik9590/TTK Mønstergjenkjenning

Unik4590/Unik9590/TTK Mønstergjenkjenning Sammendrag og eksempler Universitetssenteret på Kjeller Høsten 2016 (17. august 2016) Hva er mønstergjenkjenning? Formålet med mønstergjenkjenning Gjenkjenne objekter - tilordne objekter til én av flere

Detaljer

Konvertering fra døgn- til timemiddelbaserte varslingsklasser for svevestøv i Bedre byluft Sam-Erik Walker

Konvertering fra døgn- til timemiddelbaserte varslingsklasser for svevestøv i Bedre byluft Sam-Erik Walker NILU: OR 60/2003 NILU: OR 60/2003 REFERANSE: O-2205 DATO: AUGUST 2003 ISBN: 82-425-1490-9 Konvertering fra døgn- til timemiddelbaserte varslingsklasser for svevestøv i Bedre byluft Sam-Erik Walker 1 Innhold

Detaljer

Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler. Mål for sentraltendens

Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler. Mål for sentraltendens Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler Statistiske mål for univariate fordelinger: Sentraltendens Verdien for fordelingens tyngdepunkt Spredning Hvor nært opp til tyngdepunktet ligger

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

> 6 7 ) = 1 Φ( 1) = 1 0.1587 = 0.8413 P (X < 7 X < 8) P (X < 8) < 7 6 1 ) < 8 6 1 ) = Φ(2) = 0.8413

> 6 7 ) = 1 Φ( 1) = 1 0.1587 = 0.8413 P (X < 7 X < 8) P (X < 8) < 7 6 1 ) < 8 6 1 ) = Φ(2) = 0.8413 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Oppgave Sykkelruter a) P (Y > 6) P (Y > 6) P ( Y 7 > 6 7 ) Φ( ) 0.587 0.843 b) Hypoteser: H 0 : µ µ 2 H : µ < µ 2

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Wilcoxon Signed-Rank Test I uke, bruker vi Z test eller t-test for hypotesen H:, og begge tester er basert på forutsetningen om normalfordeling

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Introduction to the Practice of Statistics

Introduction to the Practice of Statistics David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Statistisk inferens

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Bruk data fra tabellen over (utvalget) og opplysninger som blir gitt i oppgavene og svar på følgende spørsmål:

Bruk data fra tabellen over (utvalget) og opplysninger som blir gitt i oppgavene og svar på følgende spørsmål: Frafall fra videregende skole (VGS) er et stort problem. Bare ca 70% av elevene som begynner p VGS fullfører og bestr i løpet av 5 r. For noen elever er skolen s lite attraktiv at de velger slutte før

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

ECON1220 Høsten 2007 QUIZ

ECON1220 Høsten 2007 QUIZ ECON1220 Høsten 2007 QUIZ Uke 42 I oppgavene nedenfor skal du velge ett og bare ett av alternativene 1, 2, 3, 4 eller 5. Du får 2 poeng for et riktig svar, -1 for et galt svar og 0 for intet svar. Oppgave

Detaljer

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Slide 1 David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 9/22/2010 Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Slide

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

8. Sammenstilling av samfunnsøkonomisk analyse

8. Sammenstilling av samfunnsøkonomisk analyse 8. Sammenstilling av samfunnsøkonomisk analyse 8.1 Sammenstilling av prissatte konsekvenser Fra planprogrammet: Det skal lages en samlet framstilling av konsekvensvurderingene for de prissatte temaene.

Detaljer

Sentralmål og spredningsmål

Sentralmål og spredningsmål Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir

Detaljer

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner a) Sannsynlighetene i oppgaven blir P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + 1 P (F2 C ) P (F 1 F 2 ) 0.080 + 0.075 0.006 0.149 P (F 1 F 2 ) P (F 1 F 2

Detaljer

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Flere grunner til å se på denne teorien tidlig i kurset De neste gangene skal vi bl.a. se på hva slags kontrakter

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7 3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1,

Detaljer

Konsumentteori. Grensenytte er økningen i nytte ved å konsumere én enhet til av et gode.

Konsumentteori. Grensenytte er økningen i nytte ved å konsumere én enhet til av et gode. Konsumentteori Nyttefunksjonen U(x 1, x 2 ) forteller oss hvordan vår nytte avhenger av konsumet av x 1 og x 2. En indifferenskurve viser godekombinasjonene som gir konsumenten samme nytte. Grensenytte

Detaljer

b) i) Finn sannsynligheten for at nøyaktig 2 av 120 slike firmaer går konkurs.

b) i) Finn sannsynligheten for at nøyaktig 2 av 120 slike firmaer går konkurs. Eksamen i: MET 040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 31 Mai 2007 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) Resultater fra QM: a) Maximin = 0 ved ikke å lansere. b) Maximax = 27000000 for produkt 2.

Oppgave 1 (25 %) Resultater fra QM: a) Maximin = 0 ved ikke å lansere. b) Maximax = 27000000 for produkt 2. Oppgave 1 (25 %) Resultater fra QM: a) Maximin = 0 ved ikke å lansere. b) Maximax = 27000000 for produkt 2. c) EMV max = 1000000 * 0.8 + 27000000 * 0.2 = 4600000 for produkt 2. d) 0.2 * 27000000 4600000

Detaljer

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger

Detaljer

Løsningsforslag Til Statlab 5

Løsningsforslag Til Statlab 5 Løsningsforslag Til Statlab 5 Jimmy Paul September 6, 007 Oppgave 8.1 Vi skal se på ukentlige forbruk av søtsaker blant barn i et visst område. En pilotstudie gir at standardavviket til det ukentige forbruket

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

TENK SOM EN MILLIONÆ ÆR http://pengeblogg.bloggnorge.com/

TENK SOM EN MILLIONÆ ÆR http://pengeblogg.bloggnorge.com/ TENK SOM EN MILLIO ONÆR http://pengeblogg.bloggnorge.com/ Innledning Hva kjennetegner millionærer, og hva skiller dem fra andre mennesker? Har millionærer et medfødt talent for tall og penger? Er millionærer

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

TDT4171 Metoder i kunstig intelligens

TDT4171 Metoder i kunstig intelligens Eksamensoppgave i TDT4171 Metoder i kunstig intelligens XX. Aug 2011, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Keith Downing og kvalitetssikrer Pauline Haddow. Kontaktperson under eksamen er

Detaljer

Marginalkostnaden er den deriverte av totalkostnaden: MC = dtc/dq = 700.

Marginalkostnaden er den deriverte av totalkostnaden: MC = dtc/dq = 700. Oppgaver fra økonomipensumet: Oppgave 11: En bedrift har variable kostnader gitt av VC = 700Q der Q er mengden som produseres. De faste kostnadene er på 2 500 000. Bedriften produserer 10 000 enheter pr

Detaljer

EKSEMPEL. Finansplan. Formålet med finansplanen. Finansplanen omfatter: NAVN NAVNESEN ADRESSEVEIEN 1 1234 STED

EKSEMPEL. Finansplan. Formålet med finansplanen. Finansplanen omfatter: NAVN NAVNESEN ADRESSEVEIEN 1 1234 STED plan Finansplan 1(9) NAVN NAVNESEN ADRESSEVEIEN 1 1234 STED Navn Navnesen xx xx xx xx din.rådgiver@nordea.no Private Banker Tel Fax E-mail Finansplan Formålet med finansplanen Finansplanen er utarbeidet

Detaljer

Eksempler: Nasjonalt forsvar, fyrtårn, gatelys, kunst i det offentlige rom, kunnskap, flokkimmunitet (ved vaksine), et bærekraftig klima

Eksempler: Nasjonalt forsvar, fyrtårn, gatelys, kunst i det offentlige rom, kunnskap, flokkimmunitet (ved vaksine), et bærekraftig klima Eksamen in ECON1210 V15 Oppgave 1 (vekt 25 %) Forklart kort følgende begreper (1/2-1 side på hver): Lorenz-kurve: Definisjon Kollektivt gode c) Nåverdi Sensorveiledning: Se side 386 i læreboka: «..the

Detaljer

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling.

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. 1 ECON 2130 HG mars 2015 Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. Grunnen til dette supplementet er dels at forholdet mellom hypergeometrisk og binomisk fordeling

Detaljer

NOU 21012: 16 Samfunnsøkonomiske analyser:

NOU 21012: 16 Samfunnsøkonomiske analyser: www.nhh.no 1 NOU 21012: 16 Samfunnsøkonomiske analyser: Fokus på tilrådninger og virkninger for langsiktige investeringer innenfor samferdsel DFØ-seminar 12. desember 2012 Kåre P. Hagen Professor em. NHH

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer