Velkommen! Utsagnslogikk. Andreas Nakkerud. 20. august 2015 INF3170 / INF4171. Andreas Nakkerud. Syntaks og semantikk. Utsagnslogikk.

Transkript

1 Velkommen! 20. august 2015

2 Velkommen til 2 forelesninger per uke (tirsdag og torsdag) 1 gruppetime per uke (mandag) Valgfritt (nesten) fordypningspensum for Artikkelseminar 2 eller 3 obligatoriske innleveringer Muntlig vs. skriftlig eksamen? Følg med på kursets nettsider!

3 Syntaks: Representasjon, koding. : Meningsinnhold. Skillet kan være litt vanskelig i starten, fordi vi er så vant med i gjøre det intuitivt. Eksempel: symbolet 2 representerer antallet streker tegnet her

4 (titallsystemet) 8 (ASCII) Syntaktisk manipulasjon gir forskjellige semantiske konsekvenser 58 (titallsystemet) : (ASCII)

5 Eksempel: kurver Syntaks: y = x 2. (Kartesisk koordinatrepresentasjon.) : Parabolsk kurve (et av kjeglesnittene)

6 Eksempel: kurver Hvor stort er det skraverte arealet? Forslag til syntaks: A(x 2, 2, 4).

7 Eksempel: kurver Fra matematikk (kalkulus) henter vi følgende syntaktiske regler: A(x n, a, b) = bn+1 a n+1 n + 1 A ( c f (x), a, b ) = c A ( f (x), a, b ) A ( f (x) + g(x), a, b ) = A ( f (x), a, b ) + A ( g(x), a, b ) Svar: A(x 2, 2, 4) = = 56 3.

8 Eksempel: kurver Spørsmål: Hva er A ( 5x 2 3x x 4, 2, 4 )?

9 Eksempel: kurver Vi bruker reglene og får 5 A(x 2, 2, 4) 3 A(x 3, 2, 4) A(x 4, 2, 4). Videre utregning gir oss A ( 5x 2 3x x 4, 2, 4 ) =

10 Eksempel: kurver Hva er poenget? Koding vs. betydning, syntaks vs.. Vi forstår spørsmalet Hva er A(f, a, b)?, og vi forstår svaret, som er et tall. Vi kan til og med regne ut svaret, helt uten å forstå prosessen. Hvordan vet vi da at prosessen gir rett svar?

11 Definisjon (Språk for utsagnslogikk) Språket for utsagnslogikk bruker et alfabet som består av i. utsagnssymboler: p 0, p 1,..., ii. konnektiver:,,,,, og iii. tillegssymboler: (, ).

12 Utsagnslogiske formler Definisjon (Utsagnslogiske formler) Mengden PROP av utsagnslogiske formler er den minste mengden X slik at i. X og p i X for alle i 0, ii. hvis φ, ψ X, så er også (φ ψ) X, (φ ψ) X, (φ ψ) X og (φ ψ) X og iii. hvis φ X, så er også ( φ) X. (p 17 ) PROP, PROP

13 Genererende sekvens Definisjon (Genererende sekvens) En sekvens φ 0,..., φ n er en genererende sekvens for φ dersom φ n = φ og for alle i n, så er det slik at i. φ i er atomær, ii. φ i = (φ j φ k ) for et valg av j, k < i eller iii. φ i = ( φ j ) for et valg av j < i. Theorem PROP er mengden av utsagnslogiske uttrykk som har genererende sekvenser.

14 Delformler Definisjon (Delformler) Mengden av delformlene til φ, Sub(φ), er gitt ved i. Sub(φ) = {φ} for atomære φ, ii. Sub(φ ψ) = Sub(φ) Sub(ψ) {(φ ψ)}, og iii. Sub(( φ)) = Sub(φ) {( φ)}. Sub ( (p 0 (p 3 )) ) = {(p 0 (p 3 )), p 0, (p 3 ), p 3, }

15 Rang Definisjon (Rang) Rangen r(φ) til en preposisjon φ er gitt ved 0, atomær φ r(φ) = 1 + max(r(φ 1 ), r(φ 2 )), φ = (φ 1 φ 2 ) 1 + r(φ 1 ), φ = ( φ 1 ) r ( (p 0 (p 3 )) ) = 2

16 Theorem () La A være en egenskap. A holder for alle formler i PROP dersom i. A holder og for alle p i, ii. hvis A holder for φ og ψ, så holder A for (φ ψ) og iii. hvis A holder for φ, så holder A for ( φ).

17 over rang Theorem ( over rang) Hvis for alle φ, [A(ψ) for alle ψ med rang mindre enn r(φ)] A(φ), da holder A for alle utsagn i PROP.

18 Definisjon (Valuasjon) En mapping v : PROP {0, 1} er en valuasjon hvis v(φ ψ) = min(v(φ), v(ψ)) v(φ ψ) = max(v(φ), v(ψ)) v(φ ψ) = 0 hviss v(φ) = 1 og v(ψ) = 0 v(φ ψ) = 0 hviss v(φ) = v(ψ) v( φ) = 1 v(φ) v( ) = 0.

19 Theorem Hvis v er en mapping fra atomære utsagn til {0, 1}, slik at v( ) = 0, da finnes det en unik valuasjon [[ ]] v, slik at [[φ]] v = v(φ) for atomære φ. Lemma Hvis v(p i ) = v (p i ) for alle p i som forekommer i φ og v( ) = 0, da er [[φ]] v = [[φ]] v.

20 Definisjon (Tautologi) i. φ er en tautologi hvis [[φ]] v = 1 for alle valuasjoner v, ii. = φ er notasjon for at φ er en tautologi, iii. dersom Γ PROP, da skriver vi at Γ = φ (φ er en logisk konsekvens av Γ), dersom for alle v, hvis [[ψ]] v = 1 for alle ψ Γ, så er [[φ]] v = 1. Det er vanlig å skrive φ 1,..., φ n = ψ i stedet for {φ 1,..., φ n } = ψ.

21 Definisjon ((Atomær) substitusjon) φ[ψ/p i ] = { φ, hvis φ er atomær og φ p i ψ, hvis φ = p i (φ 1 φ 2 )[ψ/p i ] = (φ 1 [ψ/p i ] φ 2 [ψ/p i ]) ( φ)[ψ/p i ] = ( φ[ψ/p i ]).

22 Theorem Hvis = φ 1 φ 2, og p er et atomært utsagn, da er det også slik at = ψ[φ 1 /p] ψ[φ 2 /p]. Lemma i. [[φ 1 φ 2 ]] [[ψ[φ 1 /p] ψ[φ 2 /p]]] og ii. = (φ 1 φ 2 ) (ψ[φ 1 /p] ψ[φ 2 /p]).

23 Definisjon () La φ ij være atomære formler og negasjoner av atomære formler (literaler). Hvis φ = i n j m i φ ij, så er φ på konjunktiv normalform. Hvis φ = i n j m i φ ij, så er φ på disjunktiv normalform. Theorem For enhver phi finnes det en konjunktiv normalform φ og en disjunktiv normalform φ, slik at = φ φ og = φ φ.