Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvendelser nettverksflyt

Transkript

1 Leksjon 9

2 Begreper nettverk / grafteori Minimum-kost nettverksflyt Moellering Spesialvariant av Simpleksmetoen Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvenelser nettverksflyt MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 2

3 Anvenelser nettverksflyt ransportproblemet Hithok-problemet ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Nettverksflyt me øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet eorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Repetisjon Duale av nettverksflyt Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 3

4 Mange reelle problemer kan moelleres som flyt i nettverk ransport av varer Elektrisitet Kommunikasjon Finans Viktigste type LP Spesiell struktur, kan utnyttes i Simpleksmetoe Kommersielle løsere MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 4

5 ! Noer og kanter = { a, b,,, e, f } ( a, ),( a, ),( a, e), ( b, a),( b, ),( b, e), =(, b),(, e),( f, a), ( f, b),( f, ),( f, g), ( g, b),( g, e) f a MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 5 b e g

6 ! =, ( ) ( i, j) : i, j, i j { } a e Nettverk (rettee kanter) (Rettet) graf, igraf b f g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 6

7 " (, ) {( i, j) : i, j, i j} = a -6-2 e Nettverk (rettee kanter) ilgang/behov i hver noe -6 b { b, i } b b i i i > < 0 tilgang 0 behov 9 f g 5 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 7

8 " Nettverk (rettee kanter) ilgang/behov i hver noe Balanse! Forflytningskostna (pr. enhet) for hver kant i b i = { } ij ( i, j ) 0 Mål: Finn billigste flyt i nettverket som tilfresstiller behov og tilgang i hver noe! 9 f a MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b e 19 g

9 " Beslutningsvariable: Flyt i hver kant { x } ij 0 (, ) Målfunksjon: i j min Føringer, flytbalanse: ( i, j ) ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x x x = b, k Føringer, positiv flyt: ij ij 9 a f e b g 5 xij 0, ( i, j) MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 9

10 " min ( i, j ) ij ij x x = b, k ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x ij x 0, ( i, j) min Ax = x b Noe-kant insiensmatrisen x 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 10

11 = a b -2 e 15 7 x = xa xa xae xba xb xbe xb xe x fa 48 x fb x f x fg xgb x ge f g A =, b = [ ] 19 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 11

12 #!" min Ax = x 0 x b ikke stanarform minimeringsproblem likhetsføringer Primal minimering! Det uale problem: en ual variabel for hver noe (ubegrenset) en ual føring for hver kant maksimering max b y A y alternativt min + = A y z z 0 b y MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 12

13 #!" I Læreboka 5.8 (s ) utlees ualitet for en type ikkestanar LP: max Ax = b x 0 x min A y b y Omformer vårt nettverksflytproblem til samme form: min x max x Ax = b Ax = b x 0 x 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 13

14 #!" max Ax = b x 0 x min A y b y max Ax = x 0 La min b y = y x b y A ( y ) min A y min A y b y b y MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 14

15 #!" $%!"! min Ax = x 0 max x b x A b x A b x 0 min x 0 x Ax b Ax b o sett uale variable (ett for hvert sett ulikheter): y y Stanarform! MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 15

16 #!" max x A b x A b x 0 min y ( 1 b y + b y 2 ) 1 A A 2 y 0, y y max ( 1 b y b y 2 ) y A y A y 0, y y = y y 1 gir: max b y A y y ubegrenset MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 16

17 " min x 0 x Ax = b min i b y i i min + = A y z z 0 b y yi y j + zij = ij, ( i, j) zij 0, ( i, j) f 24 9 y f ya + z fa = Det uale problem: Minimering av flyt i ualt nettverk a b e 19 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 17

18 ! min -2 ij xij ( i, j ) a 10 e x ik xkj = bk, k i:( i, k ) j:( k, j) 48 x 7 ij 0, ( i, j) minb 65 i yi b i yi y j + zij = ij, ( i, j) f 24 g zij 0, ( i, j) 9 5 x ij zi j 0, ( i, j) w i i 0, 0, ( i, j) y 0, i Komplementaritetsbetingelser: i x z = 0, ( i, j) ij ij MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 18

19 &!' I nettverksflytproblemer representerer basisløsninger spesielle strukturer i nettverket. De utgjøres av kantene i såkalte spenntrær. a f b e 19 g -2 5 Definisjon: En sti i et nettverk: ( n1 nk ) ( ni, ni + 1) ( ),, n, n, i = 1, k 1 i+ 1 i ( f, g, b, a, e, ) er sti i ette nettverket MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 19

20 9 Et nettverk sies å være sammenhengene ersom et fins en sti mellom alle par av noer. a 56 f b e 19 g Dette nettverket er sammenhengene MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 20

21 En sykel er en sti er første og siste noe er ientiske. Et nettverk sies å være asyklisk ersom et ikke fins sykler i nettverket. a f b e 19 g -2 5 Dette nettverket er ikke asyklisk ( g, b, a, e, g ) er en av mange sykler i ette nettverket MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 21

22 Et tre er et sammenhengene og asyklisk nettverk. a e Dette nettverket er sammenhengene og asyklisk, altså et tre f b g Delnettverk: = (, ) = (, ) hviss MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 22

23 9 Et spenntre for et nettverk er et elnettverk som a) inneholer alle noene i nettverket og b) er et tre. -2 a 10 e a e b b f 24 g f g 5 Dette elnettverket er et spenntre for grafen til venstre MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 23

24 #&!! -2 9 a f e b g 5 Definisjon, balansert flyt: Ethvert valg av primalflyt-verier som tilfresstiller flytbalanseføringene i alle noer kalles en balansert flyt. En balansert flyt kan ha kanter me negativ flyt. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 24

25 #&"!! -2 9 a f b e 19 g Definisjon, brukbar (tillatt) flyt: En balansert flyt er alle veriene er ikke-negative, kalles en brukbar (tillatt) flyt. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 25

26 #(' Definisjon, treløsning: Gitt et spenntre for nettverket. En balansert flyt som tilorner 0 flyt til e kanter som ikke er me i spenntreet, kalles en treløsning. (En treløsning behøver ikke representere brukbar flyt). Det er allti mulig å finne et spenntre (effektivt) Det er allti mulig å finne en treløsning 9 f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 26

27 #&! min Ax = x 0 x b 6 8 f Basis er invertibel, kvaratisk elmatrise B av A Noe-kant insiensmatrisen har ikke full rang! En av balanseføringene følger av e øvrige Fjerner en vilkårlig balanseføring a -6-6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b -2 6 e g

28 #&! min Ax = x 0 min x Ax = b x 0 x b 9 f a b 8 5 e g Fjerner en vilkårlig balanseføring og tilsvarene tilbu Noen som fjernes kalles rotnoe MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 28

29 (#) "!"! * eorem 13.1: Gitt et nettverksflytproblem for et sammenhengene nettverk. Betrakter moifisert insiensmatrise er en vilkårlig av balanseføringene er fjernet. En kvaratisk elmatrise av en moifiserte insiensmatrisen utgjør en basis for problemet hviss søylene svarer til kantene i et spenntre. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 29

30 #&! min x Ax = b Spenntre x 0 Basis er generelt invertibel, kvaratisk elmatrise Matrisen som svarer til spenntre kan ornes til en triangulær matrise Kun me +1, -1 på iagonal, ingen ivisjon ve ligningsløsning Øvrige elementer er -1,0,+1 Spenntre-matrisen er inverterbar Ingen ivisjoner eller multiplikasjoner! 9 f a -6 6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b e g

31 #&!+%!' min x Ax = b x 0 min b y A y + z = z 0 il basis (spenntre) hører også ual løsning Likhetsføringene må hole også for ual løsning y y + z =, ( i, j) j i ij ij x ij zij = 0, ( i, j) Primal flyt er 0 utenom spenntreet, ulik 0 på spenntreet Dual slakk må erfor være 0 på spenntreet: y y =, ( i, j) j i ij MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 31

32 #&!+%!' y y =, ( i, j) j i ij Spenntre i graf me m noer har m-1 kanter m-1 ligninger me m ukjente Dual flyt i rotnoen er 0 Gir m ligninger me m ukjente Bestemmer ual flyt Dual slakk i en noe er sum av reisekostna fra rotnoen, når kjøreretning tas me i betraktning Dual slakk bestemmes ve: z = y + y, ( i, j) ij i ij j -44 a f e 15 b g -84 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 32

33 #,!- Utgangspunkt: 41 Brukbar primal løsning (ikke allti) a 32 Komplementaritet 6 Dual løsning ual flyt (allti brukbar) -1 ikke nøvenigvis positiv slakk 6-9 Komplementær slakkteorem gir 6 optimalitet ersom: 98 positiv primal flyt -5 3 positiv ual slakk Her: vil bruke primal Simpleks behole primal brukbarhet f minke antallet kanter me negativ ual slakk b e 2 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 33

34 ,!-%, a 32 Inngåene, kant som: ikke er i spenntre er ualt ubrukbar (negativ ual -1 slakk) Utgåene: kant i spenntre I eksempelet: velger (a,) inngåene 6 98 b 33 Vil øke primalflyt på inngåene Inngåene lager sykel f e 2 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 34

35 ,!-, Inngåene (a,) lager sykel Strøm på inngåene økes til t>0 Oppaterer flytbalanse Øker t så mye som mulig Opprettholer primal brukbarhet Kan maksimalt øke t til 3 (f,b) får 0 flyt (f,b) blir utgåene 9 a 6+t f t -6 Pivoteringsregel: Velg kant utenom spenntre (ikke-basisk variabel) me negativ ual slakk som inngåene. Utgåene velges som en kant i sykelen som oppstår som først får 0 flyt når flyt på inngåene kant økes. 6 6-t b 3-t 3 e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 35

36 ,!- %!!%! y y =, ( i, j) j i ij Vil oppatere uale variable -9 Hvis vi fjerner utgåene uten å ta 98 inn inngåene får vi to isjunkte trær (f,a,) og (e,g,b,) reet som inneholer rotnoen får ikke enret uale verier -6 f Noene i et anre treet blir minket me ualslakken til (1) (1) ( 0) inngåene ya = y a = y (0) (0) ( 0) za = ya + a y zij = yi + ij y j, ( i, j) (1) ( 0) y = y z 50 a a a a 78 b 35 a 0 e g 19 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 36

37 ,!- %!!%!! y y =, ( i, j) j i ij zij = yi + ij y j, ( i, j) -9 Eneste kanter som enres er e som spenner fra et ene treet til et anre treet For isse kantene er e uale verier i hoe eller hale enret For e kanter som spenner i samme retning som inngåene må ualslakken minkes me ualslakken til inngåene For e anre må en økes f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 37

38 ,!- Itererer inntil ual brukbarhet reløsninger Dualslakk 0 på kantene i spenntreet Velger som inngåene kant me negativ ualslakk Velger utgåene primal brukbarhet (brukbar primalflyt) opprettholes Øker primalflyt så mye som mulig Oppaterer primalflyt Oppaterer uale variable Oppaterer ual slakk f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 38

39 #!- Utgangspunkt: Ubrukbar primal løsning Komplementaritet Brukbar ual løsning ual flyt (allti brukbar) positiv ual slakk Velger kant me negativ primalflyt Lar enne gå ut av basis Finner inngåene som spenner subtrærne ual brukbarhet opprettholes MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 39

40 #-!! Mulig utgangspunkt verken brukbar primalflyt eller brukbar ual: Primal-Dual Dual-Primal Parametrisk selv-ual nettverks Simpleks MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 40

41 #.!/01 Gitt konsistent nettverksflytproblem er alle tilganger og behov er heltallige. Da vil enhver basisløsning, og spesielt en optimale løsning, ha heltallig flyt i alle kanter. Bevis: Primale basisløsninger beregnes uten ivisjon og multiplikasjon. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 41

42 2 01 Gitt en menge me n jenter og n gutter. Anta at hver jente kjenner eksakt 1kn gutter og hver gutt kjenner 1kn jenter. Da er et mulig å parre alle jenter me alle gutter alle maker kjenner hveranre. Bevis: Nettverksflyt i bipartitt graf (er noer for jenter og gutter er separert). Kant mellom noer som kjenner hveranre. Hver jente har behov 1, hver gutt har tilgang 1. Flyt 1/k på hver kant gir brukbar løsning. Følger av integralitetsteoremet. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 42

43 )! Eksempel på bipartitt graf MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 43

44 )! Vilkårlige (positive) kostnaskoeffisienter: velefinert NFP Heltallighet Det fins brukbar løsning (flyt 1/k på hver kant) Heltallighetsteoremet gir at et fins heltallig optimal løsning Flyt i heltallig løsning må være 0 eller 1 Hver noe må ha en og kun en kant me flyt 1 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 44

45 6 %!!! ransport Skipningsproblemet ransportproblemet Hithoks transportproblem ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Varianter av nettverksflyt Beskrankninger på flyt Maksimum flyt i beskranket nettverk MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 45

46 (! " Min-kostna NFP er flyt tolkes som transport av varer kalles Skipningsproblemet Viktig spesialtilfelle: Skille mellom fra-noer og til-noer Enhver kant går fra en fra-noe til til-noe Kalles ransportproblemet MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 46

47 (! " Noene er partisjonert i kiler og sluk: =, = Bipartitt flytgraf: {( i, j) : i } MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 47

48 (! " Krav til konsistens: positiv tilgang i kilenoer, negativ tilgang i sluk b 0, i b 0, i i i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 48

49 (! " 7! Behov * * 9 * ilgang 12 * 3 6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 49

50 (! " )!!"! Duale variable i 1. ra/kolonne Inikasjon på spenntre [ 7 ] 5 * [ 3] [ 8] 4 * [ 18 ] * * [ 3] [ 15] MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 50

51 .8/88! " ransportproblem me komplett graf (alle kiler er forbunet me alle sluk) b = s 0, i b = 0, i i i i i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 51

52 .8/88! "!! min j i b = s 0, i i i i j ij ij i j ij x 0, i, j ij x ij x = s i x = j b = 0, i i Flytbalanse ut fra hver kile Flytbalanse inn til hvert sluk i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 52

53 (% " 6," Gitt m personer og m oppgaver Kjent kostna ve at gitt person utfører gitt oppgave Finn en tilorning av person til oppgave som gir minst kostna MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 53

54 (% "!!% = { 1,, m} personer = { m} 1,, oppgaver 1 hvis person i allokeres til oppgave j x ij = 0 ellers min ij xij i j Alle personer får en og bare en oppgave x = 1 i j i ij ij = 1 { } x 0,1, i, j ij x j Alle oppgaver får en og bare en person Heltallighetsføring! MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 54

55 "% /!',!! Generelt kan ikke heltallsføringer ignoreres gjør slike føringer problemet langt harere beregningsmessig Det LP som fremkommer ve å ignorere heltallighetsføringene i et optimeringsproblem me lineær kostnasfunksjon og lineære føringer kalles LP-relaksasjonen til problemet. LP-relaksasjonen har bere eller like go løsning som et originale problem. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 55

56 (% "! ' %9',!! % - LP-relaksasjonen H til et gitt ilorningsproblem er et spesialtilfelle av Hithok-problemet (er alle tilganger og alle behov er lik 1 og antall kiler er lik antall sluk) Enhver brukbar (heltallig, 0-1) løsning av vil også være en brukbar løsning for H Enhver heltallig brukbar løsning på H vil også være brukbar for Optimal løsning for tilsvarene H er heltallig (Heltallighetsteoremet!), og erve brukbar for, ersom vi benytter Nettverks Simpleks Optimal løsning for H er også optimal løsning for For et vilkårlig ilorningsproblem kan vi neglisjere heltallsføringene og bruke Nettverks Simpleksmetoe til å løse LPrelaksasjonen og erve få optimal løsning. min j i min j i ilorning, i j x 0, i, j MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 56 ij i j ij ij { } ij ij = 1 i = 1 i j ij x ij ij x = s i x = j x 0,1, i, j ij x x x ij j Hithok, H

57 " -/!/"-,, Oppgave: finne korteste (raskeste, billigste,...) vei fra A til B i gitt nettverk (rettet graf) Positiv lenge (kostna) på hver lenke er gitt Respektere enveiskjøring, rettet sti Eksempel: korteste rettee sti fra a til b i nettverket til høyre (a,e,b) kostna 17 a f b e 19 g Mange anvenelser MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 57

58 " 6! Finn korteste vei fra alle noer i igraf til gitt noe r (rotnoen) Kan formuleres som minimum kostna nettverksflytproblem Hvoran? MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 58

59 " ilgang lik 1 på alle noer unntatt rotnoen Behov lik summen av tilgang (negert) i rotnoen Kostna lik lengen (eller reiseti, - kostna) på hver kant Korteste vei fra vilkårlig noe ligger langs et optimale spenntre Lengen på korteste vei fra en gitt noe er forskjellen i ual veri mellom rotnoen og enne noen 1 1 f a b e g -6 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 59

60 " Nettverksflyt-formulering og løsning me Nettverks Simpleksmetoen er ikke en mest effektive beregningsmessig Merkelapp (label)-baserte algoritmer merkelapp-setting merkelapp-korrigering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 60

61 "!+!,! Merkelapp på hver noe (verifunksjon) avstan for korteste vei til rotnoen: vi, Vi må ha, for vilkårlig merkelapp: v r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Bellman s ligning Prinsippet om Dynamisk programmering Rekursjon! v f v a a 56 f v 48 i v b 33 7 v b v e e 19 g v g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 61

62 v "! % r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Korteste vei fra noe i til rotnoen er karakterisert ve: {( i, j) : vi ij v j} = = + Ikke allti tre f a b 33 e 19 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 62

63 v " -!! r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Gjetter på løsning: v (0) r (0) i = 0 { } v =, i r Itererer fram bere tilnærminger, helt til ingen enring skjer: v ( k + 1) r = 0 ( k + 1) ( ) i ij j 24 f a 56 { k } { } v = min + v : ( i, j) i r b Antall iterasjoner: O( ) e 19 g 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 63

64 "!:! Viktige atastrukturer: v j hi,, j merkelapper noer som har fått riktig merkelapp ( ferige ) i neste noe i korteste vei a b 7 e 19 Initialisering: v (0) r (0) i = 0 { } v =, i r f g 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 64

65 "!:! Så lenge { k } { j} { i i j i } j arg min v : k for alle : (, ) hvis + v < v så sihv rof ij j i v + v i ij j h i j a f b e 19 g 0 ås MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 65

66 %'! Kapasitetsbegrensninger på kanter min ( i, j ) ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x ij x ij ij x x = b, k 0, ( i, j) Nye føringer: x u, ( i, j) ij ij 9 f a g 5 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon Kan løses irekte me moifisert Nettverks Simpleks Kan reuseres til Nettverksflyt uten begrensninger! Skal vise Maksimal-flyt Minimalt-kutt teoremet b e 19

67 Anvenelser nettverksflyt ransportproblemet Hithok-problemet ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Nettverksflyt me øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet eorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Neste gang: Heltallsprogrammering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 67