ORDINÆR/UTSATT EKSAMEN 19. mai Sensurfrist: dato.

Transkript

1 Skriftlig eksamen i Matematikk 1 1-7, LGU studiepoeng ORDINÆR/UTSATT EKSAMEN 19. mai Sensurfrist: dato. BOKMÅL Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studentweb., senest første virkedag etter sensurfrist. (se Timer: 6 Hjelpemidler: Inntil 2 A4-ark med egne notater (begge sider kan benyttes), samt læreplanen for fellesfaget matematikk fra Kunnskapsløftet (LK06) Informasjon: Alle oppgaver skal besvares, og alle oppgaver skal begrunnes Oppgave 1 a. Regn ut ved å bruke like grupper-modellen for multiplikasjon. Lag en kontekst som passer til regnestykket og begrunn alle dine steg i utregningen innenfor denne konteksten. Her kan vi eksempelvis bruke distributiv lov:. Dette kan vi vise ved å bruke poser med klinkekuler. kan bety 8 poser med 23 klinkekuler i hver. Hvis vi tar ut 3 klinkekuler av hver pose og putter disse i åtte små poser (med 3 i hver), så sitter vi igjen med 8 poser med 20 klinkekuler i hver og 8 poser med 3 klinkekuler i hver pose. Det totale antall klinkekuler har selvfølgelig ikke endret seg. Da kan vi finnet antallet kuler i de store posene og de små posene hver for seg (som vil tilsvare multiplikasjonsstykkene og ) og addere dette for å finne svaret på det opprinnelige multiplikasjonsstykket, se utregningen over. En tegning for å illustrere dette bør være med. Vi kan anta at regnestykkene og kan løses uten videre utregning (kjent tabellkunnskap, gjentatt addisjon), eventuelt kan en ta med et argument for hvorfor kan regnes ut ved å ta, og så tidoble dette svaret. I oppgaven skal like grupper-modellen bli brukt for å løse multiplikasjonsstykket, og ikke bare være en tegning av situasjonen. 1

2 b. Vis ved å bruke tabellmodellen for multiplikasjon hvordan du kan regne ut. Hvordan kan du bruke modellen til raskt å regne ut svaret? Først tegner vi en tabell som representerer fornuftig måte: og deler den opp på en Vi ser her for oss en tabell/et rutenett med 12 rader og 22 kolonner, slik at svaret på regnestykket gir antall ruter totalt i tabellen/rutenettet. Når vi deler opp tabellen i to deler og beregner antall ruter i hver del, endrer vi ikke antall ruter. Siden og så kan vi raskt regne ut. I denne oppgaven ble det spurte etter en rask måte å finne svaret på. En oppdeling av tabellen i mange deler, gir i dette tilfellet unødvendig komplisert utregning. c. En sjetteklasse bruker 100-kvadratet (se Figur 1. nedenfor) til å øve på å multiplisere og finne egenskaper ved multiplikasjon. Figur 1: 100-kvadrat Kari og Nils jobber sammen og de ber læreren komme bort til dem. Kari sier: «Du se her vi har tatt som e 60 og så som e 70, og 70 e 10 mer enn 60, og så tok vi som e 126 og som e 136. Ser du forskjell e 10! Å for å sjekk større tall så tok vi å som e 2322 og som e 2332, ja det stemme, 10 i forskjell her også! Det ser ut som om at når vi tar et slikt lite kvadrat i det store (peker på tallene 43, 44, 53 og 54 i 100-kvadratet) og så multiplisere vi tallene diagonalt så er forskjellen alltid 10.» De små kvadratene som elevene snakker om er merket med rødt i figuren ovenfor. Formuler med egne ord hypotesen som Kari og Nils har kommet fram til. Gi en begrunnelse for at hypotesen til Kari og Nils er sann innenfor 100-kvadratet. Gjelder hypotesen og argumentet ditt også for tall utenfor 100-kvadratet? 2

3 Hypotesen til Kari og Nils er at om vi tar et hvilket som helst lite kvadrat med fire tall inne i 100-kvadratet, og multipliserer tallene diagonalt i det lille kvadratet, så vil forskjellen alltid være 10 mellom svarene på de to multiplikasjonsstykkene (produktet mellom tallet i øvre venstre hjørne og nedre høyre hjørne er 10 mindre enn produktet mellom tallet i øvre høyre hjørne og nedre venstre hjørne). Her lønner det seg også å se på tallene og formulere en hypotese på bakgrunn av dem, spesielt hvis vi også vil utvide hypotesen til å gjelde utenfor 100- kvadratet. Her er det flere måter å utrykke seg på, for eksempel - Ta en hvilket som helst tall og multipliser med tallet som er 11 større (tilsvarer at de to tallene står på skrå under hverandre i to etterfølgende rader i hundrekvadratet, fra øverst til venstre til nederst til høyre). Sammenlikn dette med produktet vi får om vi øker den første faktoren med 1 og samtidig minker den andre faktoren med 1 (tilsvarer produktet mellom de to tallene på den andre diagonalen i hundrekvadratet.) Da vil alltid differansen mellom de to regnestykkene være Ta et hvilket som helst tall a og multipliser det med a+11. Svaret vil være 10 mindre enn om vi multipliserte a+1 med a+10. For å argumentere for at hypotesen gjelder, kan vi ta i bruk en modell for multiplikasjon. Like grupper: Vi kan se på og : kan være 7 poser med 18 klinkekuler:. Om vi tar ut én klinkekule fra hver pose, har vi 7 poser med 17 klinkekuler i hver pose og 7 klinkekuler utenom. Altså, som er det samme som. Da mangler det 10 klinkekuler for å få en pose til med 17 klinkekuler. En tegning som illustrerer dette bør være med. Det holder ikke bare å vise til et eksempel. Man må også si noe om hvorfor dette alltid gjelder. Vi legger jo merke til at antall poser i det første stykket alltid er 1 mindre enn i det andre stykket (dette gjelder for og, men også for alle andre tilfeller vi ønsker å studere, hvor vi jo alltid øker den første faktoren i multiplikasjonsstykket med 1), og antall klinkekuler i hver pose i det første stykket er 1 mer enn antall klinkekuler i det andre stykket (siden vi alltid minker den andre faktoren med 1). Vi ser også at antall poser i det første stykket alltid er 10 mindre enn antall klinkekuler i hver pose i det andre stykket. Dette gjelder uansett hvilke tall som passer til hypotesen vi velger å se på. Dersom vi gjør tilsvarende omorganisering av kuler som i eksempelet med (altså tar ut en kule fra hver pose for å lage en ny pose), vil vi derfor alltid mangle nøyaktig 10 kuler for å fylle denne posen. Areal/tabell: Vi kan starte med å sammenlikne tabeller som illustrerer og. Vi kan dele opp tabellen for horisontalt i to biter, og. Tilsvarende kan vi dele opp tabellen for i biter på størrelse og. Vi ser at tabellene inneholder to like store, men motsatt orienterte biter ( og ), mens inneholder en kolonne med 10 mindre enn. 3

4 7*8 8*7 7*10 8*10 Tilsvarende representasjon kan brukes uansett hvilke tall som passer til hypotesen vi velger, hvis vi passer på å dele tabellene i to deler, hvor den ene delen inneholder nøyaktig 10 rader (det vil si at dersom vi skal sammenlikne for eksempel 152*163 og 153*162, vil tabellene få én del av størrelse hhv 152*153 og 153*152 (altså like), og én del på hhv 152*10 og 153*10 (altså den siste inneholder en 10 er mer.) Vi kan også vise dette med symbolsk utregning: ( ) ( ) ( ) d. Å bare jobbe med å multiplisere sammen to og to tall er det som kalles et opplegg på lavt kognitivt nivå, det vil si et opplegg hvor en bare blir bedt om å gjennomføre prosedyrer uten noe resonnering. Beskriv kort noen opplegg til elevaktivitet innen multiplikasjon som er på et høyt kognitivt nivå. Husk å begrunne hvorfor du mener aktivitetene du beskriver er på et høyt kognitivt nivå. Du kan spesifisere klassetrinn selv om du føler det er nødvendig. I denne oppgaven er det viktig å være konkret. Oppgaver med høye kognitive krav kjennetegnes ofte av utforsking, hypotesetesting, systematisering, resonnering, argumentering og/eller generalisering. Det er ikke tilstrekkelig å ramse opp disse kjennetegnene uten å komme med konkrete eksempler på oppgaver. For de forslagene en setter opp må en si klart hva som kan være aktuelle hypoteser, hva som kan generaliseres osv. 4

5 Oppgave 2 a. I en lærebok finner vi følgende oppgave: En eske inneholder drops. Eileen og hennes fire venner ønsker å dele dropsene likt mellom seg. Hvor mange drops får Eileen og hver av hennes venner? Løs oppgaven uten å bruke standardalgoritmen for divisjon. Alle steg i utregningen din skal begrunnes gjennom bruk av konteksten i oppgaven. Konteksten gir mening til divisjonsstykket 783:5. Vi tenker oss at vi deler ut noen drops om gangen til de fem vennene. Det er mange måter å gjøre denne utdelingen på (jfr. artikkelen til Nils Johan Kjøsnes om divisjonsalgoritmen). Vi kan starte ganske raust med å dele ut 100 drops til hver, det gir totalt 5 100=500 utdelte drops, og vi sitter igjen med =283 drops. Så kan vi prøve oss med 50 drops til hver, som gir nye 5 50=250 utdelte drops (kan ses ved gjentatt addisjon, eller ved halvering av 100 drops til hver), så nå sitter vi igjen med =33 drops. Vi må begynne å bli litt mer forsiktig med hvor mange vi deler ut til hver. Siden 5 6=30, ser vi at vi kan gi ytterligere 6 drops til hver, og vi sitter da igjen med bare 3 drops, som vi må betrakte som rest. Totalt har hvert barn fått =156 drops. Utregning: 783:5 = =156 Denne utdelingen gir ganske tilsvarende regning som standardalgoritmen i divisjon. Det kan også lett tenkes andre utdelinger, for eksempel kan en tenke at en deler ut ti og ti drops til hvert av barna, slik at man i hver utdelingsrunde deler ut 5 10=50 drops, til man har for få drops igjen til å fortsette på denne måten. Da vil utregningen se slik ut (til slutt har man delt ut bare 6 drops til hver, 30 til sammen, og sitter igjen med 3 drops som ikke blir delt ut): 783:5 =

6 =156 Det er viktig her at alle tall i utregningen gis mening i konteksten. Forklaringen kan gjerne støttes av illustrasjoner. b. Lag en kontekst som passer til divisjonsstykket. Bruk konteksten til å resonnere deg fram til svaret på divisjonsstykket. Siden det er divisjon med desimaltall i oppgaven, vil det være naturlig å tenke en målingsdivisjonskontekst. I en målingsdivisjon vi vet hvor mye vi har totalt (her 48), og vi kjenner også størrelsen på hver av gruppene (her 1,2). Svaret på divisjonsstykket blir hvor mange grupper vi får. Eksempler på slike kontekster kan være fordeling av 48 liter vann i mugger som rommer 1,2 liter hver, 48 meter tau som skal klippes i biter på 1,2 meter hver, eller 48 kilo mel som skal fordeles i poser som rommer 1,2 kilo hver. Vi gjør resonneringen i den første av disse, altså 48 liter vann som skal fordeles i mugger som rommer 1,2 liter hver. Vi lurer da på hvor mange mugger vi kan fylle. Vi kan starte ut med gjentatt addisjon av 1,2, for eksempel til vi kommer til at vi trenger 5 mugger til 6 liter vann. Vi kan nå bruke dobling eller en form for gjentatt addisjon videre, og ser da at 10 mugger vil romme 12 liter, 20 mugger vil romme 24 liter, og 40 mugger vil romme 48 liter, som er alt vannet vi har. Svaret på divisjonsstykket blir dermed 40. (Ta gjerne med en illustrasjon til resonnementet!) Igjen er det viktig at alle tall og mellomregninger gis mening i konteksten man velger å jobbe i. Merk at å multiplisere begge tall med 10 for å unngå desimaltall gir ingen uttelling med mindre det argumenteres for gyldigheten av dette gjennom konteksten. c. Nedenfor følger et utdrag fra en samtale fra 5.trinn. Les gjennom samtalen og drøft følgende spørsmål: i) Hva kan være de faglige målene for denne samtalen? Vær helt konkret når du beskriver regnestrategien som blir diskutert. 6

7 ii) I linje 20 etterspør læreren en regnefortelling som kan brukes til å argumentere for påstanden Ahmed kommer med i linje 14. Lag en slik regnefortelling og bruk den til å argumentere for påstanden. iii) Hva skal til for at samtalen under skal kunne betraktes som en produktiv matematikksamtale ut fra de faglige målene du har antatt? Vær konkret i drøftingen din. Samtale: 1. Lærer: Det første regnestykket i dag er (skriver regnestykket på tavla, venter 8 sekunder). Ja, Kari? 2. Kari: Det blir 3. Lærer: Er dere andre enige? (Elevene nikker.) Hvordan visste du det, Kari? 4. Kari: Jeg bare vet det. Eller - jeg vet at blir, og å dele er liksom det motsatte av å gange. 5. Lærer: Ok, det var fint (skriver bak regnestykket på tavla). Da tar vi neste stykke. Det er, tenk litt på det. (Skriver på tavla, rett under, venter 25 sekunder). Even, hva har du kommet fram til? 6. Even: Ehm jeg synes det var litt vanskelig med så store tall, men jeg tenkte at må bli altså, og så åttere til blir, men så skal vi ha mindre liksom, og 16 er det samme som to åttere, så da blir det. 7. Lærer: Så du tror at svaret er? (Skriver på tavla etter, men ikke noe likhetstegn ennå.) 8. Even: Ja. 9. Lærer: Mhm, så du fant ut hvor mange åttere det er plass til i du fant at det var plass til åttere. Hva tenker dere andre? Er det noen som har fått et annet svar? Eller som har tenkt på en annen måte? 10. Ahmed: Jeg tenkte at eller, jeg så på det forrige stykket, og er dobbelt av, og er dobbelt av 11. Lærer: Så du tror også at svaret er? 12. Ahmed: Ja. 13. Lærer:(Skriver mellom og på tavla.) Kan du si litt mer om hva du tenkte? 14. Ahmed: Jo, jeg så på det som vi regnet ut i stad,, det var Nå er det dobbelt så mye, er dobbelt av, så da må svaret bli dobbelt så mye også, og det dobbelte av er. 15. Lærer: Så du fant en sammenheng mellom tallene i de to regnestykkene vi har, og (peker på tavla samtidig). Kan noen gjenta hvilken sammenheng Ahmed så? Else? 16. Else: er dobbelt av, og er dobbelt av 17. Lærer: Mhm, men hvorfor blir svaret dobbelt så stort når det første tallet i regnestykket dobles? Ehm, jeg lurer på ville vi fått dobbelt så mye som svar om vi doblet det andre tallet i stedet, la meg se om vi først hadde regnet ut at, og så prøvde å regne ut i stedet, er dobbelt av ja. Ville vi få dobbelt så mye da? 18. Elevene: Neeeei! 19. Knut: Da blir det mindre. Kanskje dobbelt så lite? 20. Lærer: Kanskje halvparten ja. Tror dere det? Hm, jeg tror vi må forsøke å finne ut av dette. Hvorfor blir svaret dobbelt så stort når vi dobler det første tallet i divisjonsstykket? Hvordan kan vi tenke på disse regnestykkene? Kan vi lage en regnefortelling, kanskje? Snakk litt med sidemann om dette (venter 2 minutter mens elevene snakker seg imellom). i) Faglige mål: Diskutere følgende strategi (egenskap) ved divisjon med heltall: Når det første tallet i divisjonsstykket forstørres eller forminskes med en bestemt faktor, så forstørres eller forminskes svaret på divisjonsstykket med samme faktor. I samtalen er endringsfaktoren 2 i eksempelet som gis, det vil si 7

8 det fokuseres på at når det første tallet i divisjonsstykket dobles, så dobles også svaret på divisjonsstykket, og det kommer ikke frem om det er tenk at det skal generaliseres til andre faktorer. Symbolsk kan denne sammenhengen utrykkes som følger: Dersom a:b=c, så vil (k a):b=k c, (evt. ved (k a):b=k (a:b)) Det er tydelig at målet er å diskutere hvorfor strategien/egenskapen holder, i og med lærerens innspill i linje 17 og 20. Det er ikke helt klart om målet er å diskutere strategien kun på det utvalgte eksempelet, eller om målet er å få til et resonnement som kan brukes som et generelt argument for strategien/egenskapen. Språkbruken til læreren i linje 20 kan tyde på at det siktes mot et generelt argument, siden språket der er løsrevet fra tallene i eksempelet. Det kan også tenkes at et faglig mål er å komme opp med og bruke en regnefortelling gjennom samtalen (se linje 20 igjen). Denne regnefortellingen vil ha som hensikt både å gi en tolkning av divisjon, men også som en helt nødvendig del av argumentasjonen for strategien/egenskapen (jfr. artikkel om representasjonsbevis). Vi ser også at læreren er opptatt av å gi mening til divisjon gjennom responsen som gis i linje 9, hvor læreren repeterer en elevs tankegang, men med et språk som tydeligere legger opp til en målingsdivisjonsfortolkning av divisjon. (I linje 20 legges det ingen føringer på om konteksten som eleven kommer opp med skal være målings- eller delingsdivisjon.) Ellers kan lærerens mål med samtalen også innebære at elevene skal øve seg på å delta i matematiske samtaler, med alt det innebærer med å øve på å sette ord på egne tanker og resonnement (se for eksempel linje 3 og 13, hvor læreren etterspør hvordan elevene har tenkt), høre på og ta stilling til andres resonnement (se for eksempel linje 3 og 15.), utvikle og utvide sitt eget resonnement (linje 13), bygge videre på andres resonnement (ingen eksempler?). Det er viktig å være eksplisitt på det faglige målet (det er ikke nok å si at det er en strategi i divisjon som diskuteres, eller at det handler om dobling og halvering uten å presisere videre.) ii) Her er selvsagt mange kontekster mulige. Argumentasjonen vil bli ganske lik om en velger en målingsdivisjonskontekst eller en delingsdivisjonskontekst, men illustrasjonene kan bli noe ulike. Målingsdivisjon: Om vi holder oss til eksempelet i samtalen, så skal vi argumentere for hvorfor 144:8 gir dobbelt så stort svar som regnestykket 72:8. 8

9 Vi kan se for oss 144:8 som 144 liter saft som skal fordeles på flasker som rommer 8 liter hver, og så lurer vi på hvor mange flasker vi kan fylle. Vi kan starte med å fordele de 144 literne likt i store tønner som hver rommer 72 liter. Når vi så fyller over fra tønnene til flasker som rommer 8 liter, så vil hver tønne gi opphav til 72:8=9 flasker. Siden 144 er dobbelt så mye som 72 vil vi ha to slike tønner, slik at vi får fylt 72:8=9 flasker to ganger. Dette argumentet kan brukes også om vi endrer tallene i regnestykket, når vi dobler mengden saft som skal fordeles, kan vi alltid tenke på det som om saften er (likt) fordelt på to tønner, hver av tønnene gir opphav til et bestemt antall flasker, og to tønner (dobbel mengde saft) vil gi opphav til dobbelt så mange flasker som én slik tønne (i alle fall så lenge divisjonen går opp ) (Argumentasjonen kan lett utvides til å gjelde generelle forstørrelsesfaktorer, vi kan fordele på flere tønner før vi fordeler videre på flaskene.) Delingsdivisjon: Her kan vi for eksempel ta utgangspunkt i 144 kroner som skal fordeles likt blant 8 barn. For å utnytte at 144=2 72, kan vi tenke oss at pengene i utgangspunktet ligger likt fordelt i to poser, det vil si 72 kroner i hver pose. Vi kan nå tenke at vi først fordeler innholdet i den ene posen til de 8 barna, da får hvert barn 72:8=9 kroner fra denne posen. Barna får samme beløp fra den andre posen, siden den inneholder nøyaktig like mye, til sammen får de da 2 (72:8) kroner, dobbelt så mye som hvis de bare hadde fått penger fra den første posen. Vi ser at det ikke var viktig for at det var akkurat 72 kroner i hver pose. Barna vil alltid få dobbelt så mye penger når de får penger fra dobbelt så mange poser (så lenge det er likt innhold i begge posene). Det er ikke tilstrekkelig å komme med en situasjon til hvert av regnestykkene, uten å koble de sammen gjennom å utnytte at 144 er det samme som to grupper av 72. iii) En produktiv matematikksamtale kjennetegnes av at den fokuserer på et konkret matematisk innhold, ofte en regnestrategi, en egenskap ved en regneoperasjon, eller et bestemt matematisk begrep. Denne samtalen fokuserer på en egenskap/strategi ved divisjon, nemlig at når det første tallet i divisjonsstykket dobles, så dobles også svaret. Tallene virker fornuftig valgt, det første regnestykket har forholdsvis snille tall (innenfor den lille gangetabellen, og nært regnestykket 80:8), slik at alle elevene vil ha mulighet til å koble seg på samtalen. Det er også forholdsvis lett å se at 144 er det dobbelte av 72, samtidig som regnestykket 144:8 er såpass vanskelig at det inviterer til å se etter forenklende strategier (som å se etter en sammenheng med det forrige regnestykket.) For at samtalen skal kunne betraktes som produktiv, må elevene få mulighet til å klargjøre og dele sine tanker, i utdraget over ser vi eksempler på dette i linje 9

10 4, linje 6 og linje 10, hvor elevene forklarer hvordan de har tenkt for å komme fram til et svar. Det er også viktig at elevene orienterer seg mot andre elevers tenking, noe man som lærer kan fremme gjennom å be elever gjenta eller si med egne ord en sammenheng eller et resonnement som en medelev har kommet med. Vi ser et eksempel på dette i linje 16. Her gjentas den sammenhengen/forholdet mellom regnestykkene som er helt i kjernen på strategien som diskuteres. Foreløpig har det ikke kommet noe argument for hvorfor strategien virker, men for å komme dit må alle elevene først ha klart for seg hvilken relasjon som skal forklares/undersøkes. Videre er det viktig at elevene hjelpes til å utvikle sin evne til resonnering, altså må det være noe som bringer dem videre i sin tenking og gir en dypere forståelse for en matematisk sammenheng. I denne samtalen vil det gå på å få frem et argument for hvorfor strategien virker, ikke bare sette ord på hva som skjer med tallene. Vi ser at læreren legger opp til dette med sine utsagn i linje 17 og linje 20. Ved å spørre om vi ville sett samme sammenheng mellom svarene dersom vi hadde doblet det andre tallet i divisjonsstykket, utfordres elevene til å tenke videre, og behovet for en argumentasjon melder seg. Ved å etterspørre en regnefortelling, gir læreren en mulighet til å gi mening til tallene og regneoperasjonen, som samtidig vil være et verktøy for komme fram til en argumentasjon for hvorfor strategien virker. Samtalen stopper før en slik regnefortelling kommer, og vi ser dermed ikke hvordan den blir brukt. Det er en fare for at det kommer to separate regnefortellinger, en til 72:8 og en til 144:8, og at disse bare brukes til å regne ut de to stykkene hver for seg, uten at de kobles sammen. I så fall kan ikke samtalen betraktes som særlig produktiv. Dersom målet med samtalen er å diskutere strategien generelt, er det viktig at språket i argumentasjonen løftes fra de konkrete tallene i eksempelet og at representasjonen som velges kan generaliseres. 10

11 Oppgave 3 a. Sett brøkene under i stigende rekkefølge. Du skal argumentere for løsningen din uten å bruke fellesnevner, uten å gjøre om til desimaltall og uten å basere argumentasjonen på en tegning alene. Vi ser at flere av brøkene bare mangler én del for å bli en hel, dette gjelder 7/8, 4/5 og ¾, de mangler hhv 1/8, 1/5 og ¼. Hvis vi tenker på brøk som del av en hel, kan vi se for oss en kake som er delt i enten 8, 5 eller 4 biter (Vi må tenke på den samme kaka hele tiden, slik at vi har lik enhet når vi sammenlikner. Vi bruker her en arealmodell i resonnementet vårt.) Bitene blir størst når vi deler kaka i færrest deler (her 4), og minst når vi deler kaka i flest biter (her 8). Derfor er ¼ mer enn 1/5, som igjen er mer enn 1/8, og dette fører da til at ¾ er mindre enn 4/5, som igjen er mindre enn 7/8 (Brøken ¾ mangler mest for å bli en hel). Rekkefølge så langt: Så gjelder det å plassere de to siste brøkene. Vi ser på 3/5 først. Denne har samme teller som ¾, og vi kan bruke resonnementet med at når vi deler en kake i 5 biter, så blir bitene mindre enn om vi hadde delt den i 4 biter. Nå sammenlikner vi like mange biter (3), dermed må 3/5 være mindre enn ¾. (Vi kan også bruke andre typer resonnementer her, som at dersom en deler 3 sjokolader på 5 personer, så blir det mindre på hver enn hvis man hadde delt de samme 3 sjokoladene på 4 personer, derfor er 3/5 mindre enn ¾. Her tenker man da på brøk som svar på et fordelings- /divisjonsstykke.) Rekkefølge så langt: Nå gjenstår bare å plassere 7/9 i forhold til de andre brøkene. Denne har samme teller som 7/8, og ved samme resonnement som over, må 7/9 være mindre enn 7/8. Vi må finne ut om 7/9 er mer eller mindre enn 4/5. Begge brøkene er mer enn en halv, siden telleren er mer enn halvparten av nevneren, så sammenlikning med ½ hjelper lite her. Vi kan prøve å se hva som mangler til en hel. Brøken 7/9 mangler 2/9, mens 4/5 mangler 1/5. 1/5 er ekvivalent med 2/10 (her kan vi for eksempel resonnere opp én pizza fordelt på 5 personer er samme forhold som 2 pizzaer fordelt på 10 personer), og da ser vi at 2/10 er mindre enn 2/9 (samme teller, så den brøken med størst nevner er minst), og dermed er 4/5 større enn 7/9 (den som mangler minst til en hel er størst). Så da vet vi at 7/9 må plasseres til venstre for 4/5, men er den større eller mindre enn 3/4? Vel, 3/4 mangler 1/4 for å bli en hel, og 1/4 er det samme som 2/8, så samme type argumentasjon som tidligere gir at 2/8 er mer enn 2/9, så da må 3/4 være mindre enn 7/9. Nå har vi plassert alle brøkene, og i stigende rekkefølge får vi da: 11

12 b. Lag en kontekst til hvert av regnestykkene under og resonner deg frem til svarene på regnestykkene. i) ii) iii) i) Kontekst: Kari skal bake en kake. I oppskriften står det at hun skal blande liter melk og liter fløte. Kari lurer på hvor mye væske dette blir til sammen. Resonnement: Siden er mer enn en halv (teller er litt mer enn halvparten av nevner), så ser vi at summen blir litt mer enn en hel. Hvor mye mer enn en hel får vi? Jo, er «en halv femdel mer enn en halv», og «en halv femdel» er det samme som (en halv sjokolade fordelt på fem personer tilsvarer en hel sjokolade fordelt på ti personer, resonnering opp). Svaret på addisjonsstykket blir dermed 1. ii) Kontekst: Kari og Nils har 2 ½ pizza (merk at enheten her er én pizza). Nils spiser ¾ pizza. Hvor mye er det igjen til Kari da? Resonnement: Hvis vi ser for oss at Nils spiser ¾ fra en av de hele pizzaene, så blir det igjen ¼ pizza der. I tillegg har vi en hel pizza som Nils ikke har rørt, og en halv pizza som han heller ikke har smakt på. Alt dette til sammen blir 1 ¾ pizza. iii) Kontekst: Kari har 5/2 meter bomullsstoff som hun skal sy puter av. Hver pute krever ¾ meter stoff. Hvor mange puter har hun nok til? Resonnement: Spørsmålet er altså hvor mange ¾ er det plass til i 5/2. Vi kan tenke på 5 halve som 10 kvarte (felles nevner), slik at spørsmålet blir hvor mange ¾ er det plass til i 10/4. Vi ser da at vi har plass til 3 (bruker da opp 9 av de 10 kvarte), og at vi har igjen ¼ meter stoff. Dette er ikke nok til å sy en hel pute til, det rekker bare til 1/3 pute. Dermed blir svaret på divisjonsstykket 3 1/3. Alternativt kan vi tenke på 5/2 som 2 ½, og starte et resonnement derfra, eller starte med gjentatt addisjon av ¾. 12

13 c. I hvert av tilfellene under skal du lage en tegning av enheten. (For sammenlikning, tegn i hvert tilfelle også opp de figurene som er gitt i oppgaven). i) Den skyggelagte delen er 3 1 ii) Den skyggelagte delen er iii) Den skyggelagte delen er 9 2 Her skal det være en tegning av den opprinnelige figuren, og en tegning av helheten. Det må gå tydelig fram i besvarelsen hva som er helheten/enheten i hvert punkt. i) Den skyggelagte delen er 3 1 Helheten er: ii) (Vi kan for eksempel tenke at vi trenger tre tredjedeler for å lage en hel, altså trenger vi en enhet som er tre ganger så stor som den skyggelagte delen.) 1 Den skyggelagte delen er

14 Helheten er: (Vi kan for eksempel tenke at den skyggelagte delen består av tre halve, for å lage enheten trenger vi bare to halve.) iii) Den skyggelagte delen er 9 2 Helheten er: (Vi kan for eksempel starte med å finne ut hvor stor 1/9 er, dette vil være halvparten av 2/9, altså en og en halv rute. Enheten består av ni nideler, så da trenger vi en og en halv rute ni ganger. Dett blir til sammen 13 hele og en halv rute. En kan også tenke at om vi tar de tre skraverte rutene ni ganger (til sammen 27 ruter), så får vi to hele. Én hel vil være halvparten av to hele, så da blir en hel 13 ½ rute.) 14