Propabilistisk Analyse og Randomiserte Algoritmer

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Propabilistisk Analyse og Randomiserte Algoritmer"

Transkript

1 Propabilistisk Analyse og Randomiserte Algoritmer Lars Vidar Magnusson Kapittel 5 Propabilistisk analyse Randomiserte algoritmer

2 Hiring Problemet For å forklare propabilistisk analyse kan det være greit med et problem som illustrerer behovet. La oss ta en titt på hiring problemet. Ditt firmat bruker et ansettelsesfirma for finne nye ansatte. De sender deg en ny kandidat hver dag som du intervjuer og ansetter på direkten hvis de er bedre kvalifisert enn forgjengeren. Det er en betydelig større kostnad c h knyttet til å ansette en ny person fremfor bare å utføre intervjuet c i. Hva blir kostnaden til en slik strategi?

3 Hiring Problemet - Pseudokode Under finner du pseudokoden for algoritmen Hire-Assistant som modellerer strategien.

4 Hiring Problemet - Kostnad Vi har n antall kandidater, og vi ansetter m av de. Da får vi en kostnad på O(nc i + mc h ). Vi må betale nc i uansett hvor mange vi ansetter Antall ansettelser m avhenger av rekkefølgen på input I bestefall så ansetter vi bare én (beste kandidat først) I hverstefall så ansetter vi alle sammen (strengt stigende sortering).

5 Hiring Problemet - Analyse Vi har generelt sett ikke kontroll over i hvilken rekkefølge kandidatene blir sendt inn til intervju. For hiring problemet kan vi anta en uniform random permutation (uniform tilfeldig permutering). Vi angir en rangering rank(i) av kandidatene fra 1 til n Den ordnede listen rank(1), rank(2),... rank(n) er en permutering av kandidatene 1, 2,... n Den ordnede listen med rangeringer kan, med like stor sansynlighet, være hvilken som helst av de n! mulige permuteringene.

6 Propabilistisk Analyse vs. Randomiserte Algoritmer Ved propabilistisk analyse må vi gjøre antagelser om distribusjonen av input. Dette krever at vi har innsikt i distribusjonen og at den kan modelleres Vi snakker om average (gjennomsnitt) kostnad/kjøretid Ved randomiserte algoritmer tar vi aktivt grep og påtvinger en distribusjon Vi endrer på rekkefølgen av input slik av kan garantere at den er distribuert på ønsket måte. Vi snakker om expected (forventet) kostnad/kjøretid En algoritme er randomisert hvis oppførselen er kontrollert i stor grad av en pseudorandom-number generator.

7 Indikator Random Variable Indicator random variables (indikator random variable) er en kraftfull teknikk for å beregne den forventede verdien til en tilfeldig variabel. Kan benyttes i situasjoner for både uavhengige og avhengige variable. Definisjon I {A} = { 1 if A occurs 0 if A does not occur Lemma For en hendelse A, så lar vi X A = I {A}. Da er den forventede verdien av variabelen E[X A ] = Pr{A}.

8 Indikator Random Variable - Eksempel Bestemme forventet antall kroner X ved n kast av en mynt. Vi kunne regnet ut forventet antall kroner med ligningen under, men dette er litt tungvint. E[X ] = n k Pr{X = k} k=0 For i = 1, 2,..., n så lar vi X i = I {kast nr i er krone}. Linearity of expectation sier at forventningen til en sum er summen til forventningene. Vi får da [ n ] E[X ] = E X i = = i=1 n E[X i ] i=1 n 1/2 i=1 = n/2

9 Hiring Problemet - Analyse med Indikator Variable Siden vi jobber propabilistisk analyse må vi anta at kandidatene ankommer i uniformt tilfeldig rekkefølge i.e. at alle permutasjoner n! er like sanslige. Vi lar en tilfeldig varabel X være antallet ganger vi ansetter en ny kandidat. Vi lar indikator variablene X 1, X 2,..., X n, hvor Da har vi følgende nyttige egenskaper X i = I {kandidat i blir ansatt} E[X i ] = Pr{X i } = 1/i X = X 1 + X X n

10 Hiring Problemet - Analyse med Indikator Variable Da kan vi enkelt regne oss frem til det forventede antall ansettelser av n kandidater [ n ] E[X ] = E X i = = i=1 n E[X i ] i=1 n 1/i harmonisk serie i=1 = ln n + O(1) Dette gir en ansettelseskostnad på O(c h ln n).

11 Randomiserte Algoritmer Vi har sett at normale algoritmer kan være følsomme for rekkefølgen av input. Noen kan gi høye kostnader e.g. ansette alle kandidater Noen kan gi lave kostnader e.g. ansette bare den første kandidaten Noe midt i mellom I mange tilfeller er det ønskelig å unngå verstefall tilfellene. Dette kan vi gjøre ved å sørge for at vi har en tilfeldig permutasjon. Vi slipper nå å anta en distribusjon Vi kan snakke om forventet kostnad (i stedet for gjennomsnitt)

12 Randomisert Utgave av Hiring Problemet Hvordan må vi endre ansettelsesstrategien for å kunne forsikre oss om en tilfeldig rekkefølge? Vi kan ikke lenger ta inn kandidatene etterhvert som de sendes Vi må i stedet få tilsendt en liste over alle kandidatene, og så velge tilfeldig kandidat hver dag. Pseudokoden for en randomisert utgave for hiring-problemet kan sees under

13 Hvordan Randomisere Input Under er en svært enkel algoritme som, så lenge pseudorandomgeneratoren er uniform, vil produsere en uniform tilfeldig permutasjon av input. Korrektheten til randomiseringen kan sees i boka.

Quicksort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort

Quicksort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort Quicksort Lars Vidar Magnusson 29.1.2014 Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort Om Quicksort Quicksort er en svært populær sorteringsalgoritme. Algoritmen har i verstefall en kjøretid

Detaljer

Sortering i Lineær Tid

Sortering i Lineær Tid Sortering i Lineær Tid Lars Vidar Magnusson 5.2.2014 Kapittel 8 Counting Sort Radix Sort Bucket Sort Sammenligningsbasert Sortering Sorteringsalgoritmene vi har sett på så langt har alle vært sammenligningsbaserte

Detaljer

Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim

Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Lars Vidar Magnusson 4.4.2014 Kapittel 23 Kruskal algoritmen Prim algoritmen Kruskal Algoritmen Kruskal algoritmen kan beskrives med følgende punkter. Vi har en en sammenkoblet

Detaljer

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Korteste Vei II Lars Vidar Magnusson 11.4.2014 Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Bellman-Ford Algoritmen Bellman-Ford er en single-source korteste vei algoritme. Den tillater negative

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast) Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

Hashtabeller. Lars Vidar Magnusson Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering

Hashtabeller. Lars Vidar Magnusson Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering Hashtabeller Lars Vidar Magnusson 12.2.2014 Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering Dictionaries Mange applikasjoner trenger dynamiske sett som bare har dictionary oparsjonene

Detaljer

Grunnleggende Grafalgoritmer II

Grunnleggende Grafalgoritmer II Grunnleggende Grafalgoritmer II Lars Vidar Magnusson March 17, 2015 Kapittel 22 Dybde-først søk Topologisk sortering Relasjonen til backtracking Dybde-Først Søk Dybde-først søk i motsetning til et bredde-først

Detaljer

Histogramprosessering

Histogramprosessering Histogramprosessering Lars Vidar Magnusson January 22, 2018 Delkapittel 3.3 Histogram Processing Histogram i Bildeanalyse Et histogram av et digitalt bilde med intensitet i intervallet [0, L) er en diskret

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind

Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger

Detaljer

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei I Lars Vidar Magnusson 9.4.2014 Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei Problemet I denne forelesningen skal vi se på hvordan vi kan finne korteste

Detaljer

Grunnleggende Grafalgoritmer

Grunnleggende Grafalgoritmer Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson 19.3.2014 Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å

Detaljer

Lars Vidar Magnusson

Lars Vidar Magnusson Binære Søketrær Lars Vidar Magnusson 14.2.2014 Kapittel 12 Binære Søketrær Søking Insetting Sletting Søketrær Søketrær er datastrukturer som støtter mange dynamiske sett operasjoner. Kan bli brukt både

Detaljer

Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 2. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006

Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 2. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 2 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.02.14 Den andre obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 5, 6, og 7 som dreier seg om

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Grådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder

Grådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem

Detaljer

Minimum-weight vertex-cover vha. lineær programmering + avrunding.

Minimum-weight vertex-cover vha. lineær programmering + avrunding. Randomisering Forelesning 4 Magnus Lie Hetland, 3. mars 2009 Stoffet i dette dokumentet er bl.a. hentet fra kapittel 13 i Algorithim Design av Kleinberg og Tardos (Addison Wesley, 2005) og kapittel fem

Detaljer

Histogramprosessering

Histogramprosessering Histogramprosessering Lars Vidar Magnusson January 24, 217 Delkapittel 3.3 Histogram Processing Histogram i Bildeanalyse Et histogram av et digitalt bilde med intensitet i intervallet [, L) er en diskret

Detaljer

Grunnleggende Grafalgoritmer III

Grunnleggende Grafalgoritmer III Grunnleggende Grafalgoritmer III Lars Vidar Magnusson 26.3.2014 Kapittel 21 og 22 Usammenhengende-sett Strongly-connected components Usammenhengende Sett Usammenhengende sett er ikke en grafalgoritme i

Detaljer

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Data, observatorer og relaterte fordelinger. Stokastisk simulering. Illustrasjon: - Sammenligning av jury bedømmelser i idrett. Fra data til

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 18. august 2011 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 8. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Analyse av Algoritmer

Analyse av Algoritmer Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 10.1.2014 Asymptotisk notasjon (kapittel 3) Kompleksitetsklasser Uløselige problem Asymptotisk Notasjon Asymptotisk analyse innebærer å finne en algoritmes kjøretid

Detaljer

Lars Vidar Magnusson

Lars Vidar Magnusson B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner

Detaljer

Divide-and-Conquer II

Divide-and-Conquer II Divide-and-Conquer II Lars Vidar Magnusson 1712014 Kapittel 4 Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av rekursjonstrær Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av masterteoremet Løse

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006

Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.03.14 Den tredje obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 9 til 13, som dreier seg om

Detaljer

Ferdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2

Ferdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2 Besvar alle oppgavene. Hver deloppgave har lik vekt. Oppgave I En kommune skal bygge ny idrettshall og vurderer to entreprenører, A og B. Begge gir samme pristilbud, men kommunen er bekymret for forsinkelser.

Detaljer

Minimum spenntrær. Lars Vidar Magnusson Kapittel 23. Kruskal Prim

Minimum spenntrær. Lars Vidar Magnusson Kapittel 23. Kruskal Prim Minimum Spenntrær Lars Vidar Magnusson 2.4.2014 Kapittel 23 Minimum spenntrær Kruskal Prim Minimum Spenntrær Et spenntre er et tre som spenner over alle nodene i en graf G = (V, E). Et minimum spenntre

Detaljer

ECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind

ECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler

Detaljer

Plenumsregning 1. Kapittel 1. Roger Antonsen januar Velkommen til plenumsregning for MAT1030. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode

Plenumsregning 1. Kapittel 1. Roger Antonsen januar Velkommen til plenumsregning for MAT1030. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode Plenumsregning 1 Kapittel 1 Roger Antonsen - 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang av ukeoppgaver Gjennomgang av eksempler fra boka Litt repetisjon

Detaljer

Velkommen til plenumsregning for MAT1030. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Eksempel fra boka. Eksempel

Velkommen til plenumsregning for MAT1030. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Eksempel fra boka. Eksempel Velkommen til plenumsregning for MAT1030 MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 7. desember 2013 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode Målform/språk

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang

Detaljer

MAT1030 Plenumsregning 1

MAT1030 Plenumsregning 1 MAT1030 Plenumsregning 1 Kapittel 1 Mathias Barra - 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Fredager 12:15 14:00 Vi vil gjennomgå utvalgte

Detaljer

Om Kurset og Analyse av Algoritmer

Om Kurset og Analyse av Algoritmer Om Kurset og Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 8.1.2014 Praktisk informasjon om kurset Hva er en algoritme? (kapittel 1) Hvordan analysere en algoritme? (kapittel 2) Praktisk Informasjon Introduction

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler

Detaljer

Oppsummering fra sist

Oppsummering fra sist 1 av 34 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Terje Rydland - IDI/NTNU 2 av 34 Oppsummering fra sist Betingelser i Python: ,

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Plenumsregning 1. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Velkommen til plenumsregning for MAT1030

Plenumsregning 1. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Velkommen til plenumsregning for MAT1030 MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo Plenumsregning 1 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Forelesning 19

MAT1030 Forelesning 19 MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

Introduction to the Practice of Statistics

Introduction to the Practice of Statistics David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Statistisk inferens

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Med løkke: Læringsmål og pensum. TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Utgave 2: Kap. 5. Mål.

Med løkke: Læringsmål og pensum. TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Utgave 2: Kap. 5. Mål. 1 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Utgave 2: Kap. 5 Terje Rydland - IDI/NTNU 2 Læringsmål og pensum Mål Lære om begrepet løkker

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger

Detaljer

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Slide 1 David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 9/22/2010 Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Slide

Detaljer

Forelesning 30: Kompleksitetsteori

Forelesning 30: Kompleksitetsteori MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 30: Kompleksitetsteori 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs 1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab: Sortering og søking Anders Christensen (anders@idi.ntnu.no) Rune Sætre (satre@idi.ntnu.no) TDT4105 IT Grunnkurs 2 Pensum Matlab-boka: 12.3 og 12.5 Stoffet

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no

Detaljer

Hva er en algoritme? Har allerede sett på mange algoritmer til nå i IT1101. Forholdet mellom en algoritme og et program. Algoritme program prosess

Hva er en algoritme? Har allerede sett på mange algoritmer til nå i IT1101. Forholdet mellom en algoritme og et program. Algoritme program prosess IT1101 Informatikk basisfag, dobbeltime 2/10 Hva er en algoritme? Fremgangsmåte for noe Hittil: Datarepresentasjon Datamanipulasjon Datamaskinarkutektur hvordan maskinen jobber Operativsystem Program som

Detaljer

Grunnleggende Matematiske Operasjoner

Grunnleggende Matematiske Operasjoner Grunnleggende Matematiske Operasjoner Lars Vidar Magnusson January 16, 2017 Delkapittel 2.6 Array vs Matrise Operasjoner Det er vanlig med både array- og matrise-operasjoner på bilder. Array-multiplikasjon

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

Andre obligatoriske oppgave stk 1100

Andre obligatoriske oppgave stk 1100 Andre obligatorise oppgave st 11 John Miael Modin 17. april 8 Oppgave 1 X er årsinteten til en tilfeldig valgt person i en befolningsgruppe. Sansynlighetstettheten til X er gitt ved { θ f X (x) = θ x θ

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)

Detaljer

Oppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver

Oppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Oppgaver fra forelesningene MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson

Høgskoleni østfold EKSAMEN. 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: ITF 20006 Emne: Algoritmer og Datastrukturer Dato: 22.05.2015 Eksamenstid: kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson

Detaljer

LO118D Forelesning 12 (DM)

LO118D Forelesning 12 (DM) LO118D Forelesning 12 (DM) Trær 15.10.2007 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær Preorden-traversering 1 Behandle den nåværende noden. 2 Rekursivt behandle venstre subtre. 3 Rekursivt

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

Plenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3).

Plenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3). Plenumsregning 9 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3). a) Ved å bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skritt

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

Detaljer

Forelesning 2 torsdag den 21. august

Forelesning 2 torsdag den 21. august Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann

Detaljer

Mer om representasjon av tall

Mer om representasjon av tall Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder

Detaljer

KONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)

KONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke) KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder

Detaljer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:44) Velkommen

Detaljer

Velkommen til MAT1030!

Velkommen til MAT1030! MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Velkommen til MAT1030! 13. januar 2009 (Sist oppdatert:

Detaljer

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Av Alf Inge Wang 1. Utførelse av programmer Et dataprogram består oftest av en rekke programlinjer som gir instruksjoner til datamaskinen

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Oppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3

Oppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3 Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01

Detaljer

MAT1030 Forelesning 2

MAT1030 Forelesning 2 MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 3

Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 3 Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 3 3.3 1 Demo innsettingssortering..................... 1 3.5 1 Demo velgesortering........................ 2 3.5 2 Velgesortering...........................

Detaljer

MAT1030 Forelesning 25

MAT1030 Forelesning 25 MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier

Detaljer

Fourier-Transformasjoner

Fourier-Transformasjoner Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 21, 2017 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Fourier Fourier var en fransk matematiker/fysiker som levde på 1700/1800-tallet.

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

Forelesning 1. Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer. Dag Normann - 14. januar 2008. Vi som skal undervise. Hva er diskret matematikk?

Forelesning 1. Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer. Dag Normann - 14. januar 2008. Vi som skal undervise. Hva er diskret matematikk? Forelesning 1 Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer Dag Normann - 14. januar 2008 Vi som skal undervise Dag Normann Roger Antonsen Christian Schaal Robin Bjørnetun Jacobsen http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/mat1030/v08/

Detaljer

Lars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting

Lars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Lars Vidar Magnusson 21.2.2014 Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Rød-Svarte trær (red-black trees) er en variasjon binære søketrær som

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Forelesning 27. mars, 2017

Forelesning 27. mars, 2017 Forelesning 27. mars, 2017 AVSNITT 5.5 Ordningsobservatorene AVSNITT 6.1 Observatorer og deres fordelinger Ordningsobservatorene La X 1,..., X n være n uavhengige stokastiske variable som alle har samme

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL Kandidatnr: Eksamensdato: 12. desember 2002 Varighet: Fagnummer: Fagnavn: Klasse(r): 3 timer LO116D Programmering i Visual Basic FU

Detaljer

Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen

Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H

Detaljer

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50. Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ. S 37: Andre linje i 1.2.4: Det skal være «kile og hakk», dvs. at symbolet som

Detaljer

MATLAB for STK1100. Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar Enkel generering av stokastiske variabler

MATLAB for STK1100. Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar Enkel generering av stokastiske variabler MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar 2014 1 Enkel generering av stokastiske variabler MATLAB har et stort antall funksjoner for å generere tilfeldige tall. Skriv help stats

Detaljer