Hvor krum er jorden?
|
|
- Lisbeth Eliassen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 I mverkn melln Nämnren oc Tngenten DAG GULAKER & KJARTAN TVETE Hvor krum er jorden? eller: Hvor feil kn det bli? Hur långt är det till orionten? Hur ög är toppen v jön? Hur långt är det till jorden medelpunkt? Frågor om de kn föroppningvi inpirer elever till mtemtik verkmet i verkligeten. Fr Bergen kl mn eile rkt vet mot Hvrf på Grønlnd, og d eiler mn nord om Setlndøyene ålede t mn å vidt kn e lndet i iktbrt vær, men ønnenom Færøyene og d lik t mn bre er lndet i lv øyde,... (Fr en norrøn eilingbekrivele, Bergen Grønlnd) Vi kl e på en problemtype knyttet til nturgeogrfi, der innledende pørmål kn være: Hvor øy er toppen v Mjø? Hvor lngt ut over vet kn en e fr en øyde på for ekempel meter? Problemene r den motivjonpykologike fordel t intuijonen vår blir utfordret. Riktignok er jord rund, men loklt, om for ekempel over Mjø område, er den vel å regne om flt? (For mer om fenomenet, e for ekempel [], [], [] eller øk på nettet på jord (jorden) krumning ). Problemtypen kn ngripe fr forkjellige nivåer v kolemtemtikken. (Derfor er et pr vnitt med trigonometri og rekker ttt med.) Deuten kn emnet innby til å gjøre prktike underøkeler der mtemtikk og nturgeogrfi tår entrlt. Løningkiene nedenfor vil foråpentlig inpirere til å l elever/tudenter prøve problemene, med pende lærertøtte. Med Pytgor og kvdrtetninger Vi finner øyden v et vnn med lengde. Se figuren, der S er jordentret: Fig Dg Gulker oc Kjrtn Tvete rbetr vid Högkoln i Nord-Trøndelg. dg.gulker@int.no kjrtn.tvete@int.no Når vnnet lengde er liten i forold til jordrdien R kn vi prøve med å i t korden (eller lve korden) er tilnærmet lik buen (eller lve buen). Av den rettvinklede treknten ABS få d: 50 NÄMNAREN NR 1 005
2 ( R ) + R = eller R R + + = R eller R = Høyden kn jo løe ut v denne.-grdligningen. Men for må vnn blir leddet vært mye mindre enn R, og neglijere får vi tilnærmingformelen: () 8R Bruker vi en verdi for jordrdien på km får vi for en innjø på km ( l Mjø) en -verdi på m! Dette tllet tørrele kolliderer om regel krftig med den unne fornuft og v en ville vrt ved gjetning. Vi må vel regnet glt!? Med trigonometri Se på fig ovenfor og merk v vinkel ASB. BS R Kll denne u. D er cou = =. Det AS R gir = R( 1 cou). I rdiner er u / = =. Dermed få: R R (). = R 1 co R For = km gir dette -verdien m, om formel (). Fktik temmer formlene nå overen ned til cm. Prøv elv med et mil lngt vnn! Med Tylorrekk for co x: Forkjellen på formel () og () I den korrekte formel () kn vi erttte co ved å bytte ut x med i Tylorrekk co x = Det gir: R R x x x!!! R R R co = R 70 Formel () kn d krive () For må er /R nær, og rekk konvergerer rkt. Vår formel () vrer ltå til t vi bre tr med. leddet rekk () (eller ledd t o m v grd fr Tylorrekk). I en rekke om () er feilen ved å toppe etter et vit ntll ledd, mindre enn tllverdien v det nete leddet, dv. mindre enn /R for formel (), et uttrykk om er gir et meget godt bilde v feilen. Siktlinj til orionten Dette problemet, å finne lengden v iktlinj til orionten fr en øyeøyde over vet, kn ogå ngripe med Pytgor etning: Fig = 1 8 R + 38 R 080R +... = R R + R Figuren tilier t + R = R + om etter forenklinger og ny neglijering v gir: ( ) () R NÄMNAREN NR
3 Denne kn krive () når vel å merke lengdeeneten er meter. På grunn v lybrytning i tmofæren er en i prki noe lengre. En formel om korrigerer for dette er () Fr en øyeøyde på meter blir vtnden til dit vor immel møter v ikke lengre enn vel km. Vi ntyder noen mulige oppgver/ ktiviteter:. Hv tror du øyden v et km lngt vnn er? Finn den.. Hvor lngt utover vnnet er du når du itter og ror?. Tegn og tuder grfer for funkjonene betemt v () og ().. En rtikkel i Adree-vi (/-) evdet t det ydligte tedet i lndet der en kn e midnttol er fr fjellet Heilornet lengt ør på Helgelnd. Kn det temme?. Se på figur nedenfor. (Vi løfter korden opp v vnnet til tngering.) Vi vordn formel () ved de ntydede tilnærminger nå kn utlede fr formel (). Fig Prktike underøkeler ogå v jorden rdiu? Tr en med elevene til en fjord eller et vnn v bre noen kilometer bredde/lengde, er det, utrolig nok, meget enkelt å l dem få en terk, viuell opplevele v t vnnet virkelig lår kul på eg. Det er bre å e på utvlgte objekter (elt i kikkert) i trnd på den ndre iden men en enker/ever in øyeøyde. Ting vil plutelig forvinne/dukke opp igjen. Formel () kn utprøve på ulike vi. Men ærlig pennende, og etter vink fr Tngenten redktør: Siktlinjeformelen () må kunne prøve til beregning v jord rdiu, ut fr målinger v og! Fig, b og c gir noen ideer til forøkopplegg: Fig, b Fig. er et peiltilfelle v b. To prter mrbeider fr ver in ide v en fjord eller en jø. Formel () gir 1 = R 1 og = R Klle vtnden mellom obervtørene for få = 1 + = R ( 1 + ) eller R = Fig. c er en forenkling + ( 1 ) v en ide gitt v A.I. Vitne i []. Denne berer eg på tilgng til fri oriont. Ant t ved å kltre opp til et punkt P er en toppen H kkurt i orionten. Høyden må finne, likelede, ved mme vnntnd. Formel () gir o igjen uttrykk for og, die ubtrere, og når vtnden mellom P og toppen v H klle, få R = Vi jkter på R Fr et forøk på forøk I det nye utekolebegrepet ånd beveget vi gmle tvlelærere og ppirpedgoger o ( 1 ) 5 NÄMNAREN NR 1 005
4 Måling nr. Dto (meter) 1 (meter) (meter) R (km) ,30 1, ,85 0, ,80, ,1 5, ,15 0,31 30 ut i den fyike verden for å gjøre obervjoner, i mvr med fig. b. Uttyr: Hver vår feltkikkert m/ttiv, x fortørrele, ver vår vite ioporplte (cm x cm), vrt plt, tommetokk og mobiltelefoner. Den ene er i kikkerten men den ndre enker vrt plt nedover plt til den kommer ut v ynet. Vi gjorde måleforøk, de førte over mme fjordtrekning mellom vlgte punkter i fjær på Levngerneet og Ytterøy, det ite over en lengde mellom to trndpunkter ved Tomtvtnet i Levngermrk. Reulttene ee i tbellen: ( er beregnet v... krt i måletokk :.) ( Om vi vr på utflukt til Mr?...) Noen kommentrer: Ved. måling vr det en god del bølger, knkje med opptil en / meter øyde, noe om kn forklre t denne R- verdien ble den klrt lvete. For de ndre målingene lå jø/vnn gnke tille. Vi erfrte likevel t det ikke er elt enkelt å e kkurt når den gjenværende vite plteknten går ut v yne. Antgelig mitet vi den for tidlig. Men rrt er det t den målingen om vi opplevde om den klrt krpete obervjonen, måling, ltå med kikkerten reltivt øyt plert, ikke g en veentlig øyere R-verdi. Målingen over den kortere ferkvnnditnen g en klrt øyere R, dog rent for liten den ogå. Vi bemerker t betydningen v lybrytningen, om er neglijert ovenfor, kulle bidrtt til forøyede R- verdier, ikke omvendt. Temperturen i luften nlå lle dger til c C, i vnnet litt lvere. Fig c Oppfordringer/Oppfølginger Kn ndre Nämnren-leere bidr med forbedringer v vårt opplegg eller med forklringer v feilkildene? Knkje kn obervjoner bert på fig. eller c føre til mer vlide R-verdier? Knkje flere enn o kn få lyt på å prøve underøkeler når bdetemperturen igjen blir god, eller om en r dgng til åpent v eller en tor innjø med fri oriont? Kn leere finne og rpportere om velegnede obervjonteder? Kn fikere benyttet kunnkper om iktlinj til for ekempel vtndbedømming fr lnd? NÄMNAREN NR
5 Tidlige målinger v jord tørrele Klikeren fr Oldtiden er Ertotene måling (c år - ), om bygger på følgende enkle ide, er kort gjengitt (e for ekempel [], [] eller på nettet): Derom vi for en gitt irkelbue b kjenner buen entrlvinkel u, å kn lett irkelen omkret finne. Det gjldt d å finne u d omveier. Ertotene oberverte oltrålene vvik fr en lokl loddlinje i Syene (nå Awn), og i Alexndri, midt på dgen midtommer. (Sol to d fktik i zenit i Syene, men det er i prinippet ikke viktig). Ved prllelle linjer gjenfinne u oppe ved jordoverflt, e fig. Ertotene fnt b tdier og u v rette vinkler ( ), om g omkreten x = tdier, om igjen er km derom tdion = m. Imponerende! For et koleopplegg etter denne metoden, e G. Hjlmron []. Reulttene kn nok er bli lngt ikrere enn med vår prinipielt forkjellige metodetype (uten vinkelmåling), når de to tedene r god vtnd. Likevel er det nærliggende å formode t noen nokå tidlig måtte kommet på, og ltt eg frite til å gjøre et forøk v lignende type om vårt, med ndre jelpemidler enn kikkert og mobiltelefon, og lik fått i det minte en vi peiling på jord tørrele. Krvene til regneferdigeter kn imidlertid bli noe tørre, men flere v de gmle kulturene kulle vel klrt beregningen (ærlig om = ). For et pr ndre gmle forøk på måling v jordrdien, e []. Et pr oppgveideer: 1. Fr to teder på mme meridin måle den vinkelen om iktlinj til polrtjern dnner med en loddlinje til..v. 5 og Avtnden mellom tedene beregne til 575 km. Tegn figur, tuder geometrien, forklr vordn entrlvinkelen ved jordentret nå er betemt, og beregn jord omkret. (Hr tidpunktene for obervjonene noe å i når ol er byttet med polrtjern?). Vi r brukt begrepet oriont om der vor immel møter v. Det tronomike fguttrykket oriont betyr tngentplnet til det tedet en obervtør tår på jord. I nvigjon vr det viktig å regitrere den vinkelen for ekempel ol dnnet med denne nne orionten. Sektnten, og den eldre Jkobtven, regitrerer vinkelen mellom olretningen og iktlinj til ynrnden, eller kimingen, der immel møter v. Feilen klle kimingdlingen.- Finn denne uttrykt ved obervtøren øyeøyde over vet, når lybrytningen ee bort fr. (Et jelpevr: Et kjent uttrykk, når lybrytingeffekten t enyn til, er 1, 78 bueminutter, der er i meter. Og uk: Lybrytningen løfter ynkreten.) Til lutt: Ser du t formelen for kimingdlingen gir en ny muliget for underøkeler v jordrdien? REFERANSER [] H. Idl: Er jord flt eller rund?, Tngenten nr / [] K. Tvete: Geometri - Jordmåling, Cpr. [] Fr fyikken verden, Sommernøtter, nr / [] [] G. Hjlmron: Lyer olen i Skr?, Nämnren, nr [] J.L. Heilbron: Meuring te Ert, Clicl nd Arbic, Encyklopædi Britnnic Fig 5 NÄMNAREN NR 1 005
2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerResultatet måles med en sensor. Feilen er forskjellen mellom sensorens utgang og vårt ønske. Hva er reguleringsteknikk
Forelening FYS0 uke 4 H009 Tilbkekobling og tbilitet Innhold HVA ER REGULERINGSTEKNIKK... Generell bekrivele v et tyrt ytem... Ekemel: Amunden å ki til Sydolen.... Synd hn kom ldri til ydolen!... 6 EKSEMPEL
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Detaljer1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
DetaljerKap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
Kap. 0: Inferen om to populajoner Situajon: Det er to populajoner om vi ønker å ammenligne. Vi trekker da et utvalg fra hver populajon. Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. ST00 Statitikk for amfunnvitere
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerInnledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser
Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.
DetaljerSubstitusjonsmatriser
Additivt kåringytem Subtitujonmtrier Ser på hver poijon i en gitt mmentilling for eg og gir en kår for hver v poijonene. Den totle (kumultive) kåren finne å ved å ddere kåren fr hver v poijonene. Enkelt
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerOppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?
KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr
DetaljerRAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015
RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.
DetaljerLINSEKIKKERTER. Jeg har nå endelig fått laget noen slike skisser, og du finner dem på de neste sidene.
LINSEKIKKERTER Maiken purte meg for en tid tilbake om jeg kunne lage en tegning av trålegangen i en linekikkert, iden un adde fått pørmål om dette på gruppetimene ine og det er jo alltid litt tyr å få
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
Detaljer2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
Detaljer1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka
1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og
DetaljerLøsning på kontrolloppgaver 1 Rekker
Løning på kontrolloppgver Rekker Oppgve ) ) Når følgen er ritmetik, er: = + d 8 = + d 8 = d d = 6 = 8 = + d = + 8 = 0 ) Når følgen er geometrik, er: = k 8 = k k = 8 = 9 k = eller k = Siden tllfølgen betår
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerPraktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen
Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerDigital CMOS VDD A Y INF1400 Y=1 A=0 A=1 Y=0. g=0 g=1. nmos. g=0 g=1. pmos. 3. En positiv strøm (strømretning) vil for en nmos transistor
igitl MOS INF4 NGVR ERG efinijon v inære verier:. Logik V. 2. Logik V SS, GN. I. Trnitor om ryter 3. En poitiv trøm (trømretning) vil for en pmos trnitor llti gå fr ource til rin. II. MOS Inverter. nmos
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
DetaljerFeilestimeringer. i MAT-INF1100
Feilestimeringer i MAT-INF11 Ett v de viktigste punktene i MAT-INF11, og smtidig det som nsees som det vnskeligste i pensum, er feilestimter. Vi bruker mye tid på å beregne tilnærmede verdier for funksjoner,
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:
Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 45,1 0, 451 45,1 % 100 5 4 5 0 0 % 5 4 5 100 Oppgve Vinkelsummen i en treknt er 180. Vi regner
DetaljerNumerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side
Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
Detaljer1 Laplacetransform TMA4125 våren 2019
Lplcernform TMA45 våren 9 Lplcernform er en eknikk vi kl bruke il løe ordinære differenillikninger. For de føre er de en mye mer elegn eknikk enn den du lære i M3, for de ndre kler den en bredere kle v
DetaljerMer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerKap 01 Enheter, fysiske størrelser og vektorer
Kap Enheter, fyike tørreler og vektorer.7 Concorde er det rakete paajerflyet. Det har en hatighet på 45 mi/h (ca ganger lyden hatighet, dv Mach). mi = 69 m. a) Hva er Concorde-flyet hatighet i km/h? b)
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerTerminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerS1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen
DetaljerSensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)
Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst
DetaljerNytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerTR ansistor som bryter anvendt i enkle logiske CMOS porter.
el : Grunnleene iitl CMO NGVR ERG I. Innhol TR nitor om ryter nvent i enkle loike CMO porter. erie- o prllellkolin v nno- o pmo trnitorer. Inverter, NN. NOR o enerelle porter. Komplementær CMO me opptrekk
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerNøtterøy videregående skole
Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk
DetaljerRegn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =
10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med
DetaljerBEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998
BEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998 Lineær programmering og bedriftøkonomike problemer Tor Tangene BI - Sandvika V-00 Dipoijon Bruk av LP i økonomike problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1: 5x y : x y 9 Fr likning : y x+ 9 Innstt i likning 1 gir det 5x (x+ 9) 5x 4x 18 9x 18 x
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerOPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer
OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk
DetaljerNORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME
NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
DetaljerMatematikk for yrkesfag
John Eneeth Odd Heir Håvard Moe fo re nk BOKMÅL l t e Matematikk for yrkefa BOKMÅL 6 Pytaoraetninen I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 90. katet hypotenu Den lente iden kaller vi hypotenu. De
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2
Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerKapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving
Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerSENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005
SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede
DetaljerVurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007
Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerSymbolisering av logisk form: setningslogiske tegn.
Logike ltninger NB! Dette er for peielt intereerte: Siden det ikke tår å mye om dette i lærebøkene er omfanget av dette foreleningmanet alt for tort i forhold til hva vi kan betrakte om penm. Videre kan
DetaljerEffektivitet og fordeling
Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning
DetaljerSignalfiltrering. Finn Haugen TechTeach. 21. september 2003. Sammendrag
Signalfiltrering Finn Haugen TechTeach. eptember 3 Sammendrag Dette dokumentet gir en kort bekrivele av ignalfiltrering med tidkontinuerlige, ogå kalt analoge, filtere og med tiddikrete, ogå kalt digitale,
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
DetaljerVår 2004 Ordinær eksamen
år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)
DetaljerOVERFLATE FRA A TIL Å
OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerKapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.
Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.
DetaljerUn o I. Unio kommunes krav 1. Hovedta riffoppgiøret 2At6. Tirsdag 12. april20l6 kl. 13
Un o I Unio kommunes krv 1 Hovedt riffoppgiøret 2At6 Tirsdg 12. pril20l6 kl. 13 L Hovedtriffoppgiøret 2016 Den største utfordringen for kommunesektoren fremover er å møte den demogrfiske utviklíngen og
DetaljerBrann-/branngasspjeld
4/2.3/N/3 rnn-/brnngpjeld FK-SE Typegodkjent v SITAC, typegodkjennele nr. 0176/06 TROX Aurnor Norge AS Telefon: +47 61 31 00 Telefk: +47 61 31 10 Potbok 100 e-pot: firm@urnor.no 2712 rndbu www.urnor.no
DetaljerProblemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?
Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr
DetaljerKompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215
2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke
DetaljerKan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving?
Gjør dette hjemme 6 #8 Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Skrevet av: Kristian Sørnes Dette eksperimentet ser på hvordan man finner en matematisk formel fra et eksperiment,
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
Detaljera 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
DetaljerFAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad
UNIVERITETET I AGDER Grimd E K A M E N O G A V E : FAG: FY Fyikk ÆRER: Fyikk : er Henrik Hogd Kle(r: Do: 7..6 Ekmenid, fr-il: 9. 4. Ekmenoppgen beår følgende Anll ider: 6 (inkl. foride Anll oppger: 4 Anll
Detaljer