2. PRINSIPPENE FOR FLUID BEVEGELSE

Transkript

1 . PRINSIPPENE FOR FLUID BEVEGELSE I dette kapitlet lanseres de viktigste prinsippene for væskers og gassers bevegelse: Newton s.lov, masse- og energibevarelse. Vi introduserer de kinematiske begreper strømlinjer og substansiell akselerasjon, og viser hvordan Newton's.lov for et ideelt fluid tar seg ut i Euler's framstilling. Fra denne følger utledning og diskusjon av Bernoulli's likning. Kontinuitetslikningen, sammen med Bernoulli og Kraftloven, e.g. Newton's.lov på integralform, danner verktøyet til viskøse problemløsninger..1 Hastighetsfeltet En hastighetsvektor v til et fluid gir ikke hastigheten til en bestemt masse, den gir hastigheten til fluidet i det øyeblikk fluidet passerer det punktet i rommet der hastigheten er lokalisert. Så for å beskrive hastigheter i et område må v være en funksjon av posisjonen r : v= v(r). Videre kan hastighetsfeltet variere med tid, så generellt vil vi skrive v= v(t,r) m.a.o. at hastigheten i et kontinuerlig felt er funksjon av tiden oq av posisionen. Dette er det sentrale poeng i selve feltbegrepet. Dersom hastigheten kun avhenger av romkoordinatene, slik at v(r) er hele sannheten om v, sier vi at feltet er stasjonært. Dersom på den annen side hastigheten bare avhenger av tiden, slik at v(t) inneholder alt om v, sies strømningsfeltet å være homogent. (.1) y v (y) Figuren viser en strømning langsmed en fast flate. Typisk vil hastigheten nær en fast grenseflate vise sterk avhengighet av avstanden normalt på flaten. Figur.1 Hastighetsprofil Her er hastighetsprofilet (omhyllningskurven til hastighetsvektorene) kun tegnet for posisjonen = 0. Hvis dette ikke endrer seg i -retning har vi at hastigheten varierer bare med y. Generelt skriver vi hastighetsvektoren v som v= v (t,,y,z)i + v (t,,y,z)j+ v (t,,y,z)k y z (.) eller bare som v= v,v,v ( y z) (.3) hvor v, v y og v z er komponenter langs, y og z-retningene, alle i prinsippet avhengige av tiden t og de tre romkoordinatene, y og z.

2 36 Gjennomsnittshastighet, v av ( average velocity ) Se på en hastighetsfordeling v over et tverrsnittsareal som vist i figur.. Ofte er vi ikke interessert i detaljene i strømningen, kun hovedresultater slik som gjennomsnittshastigheten. n For å finne gjennomsnittshastigheten v av kan vi sette v av 1 = v d v I det generelle tilfellet der vi har en hastighetsvektor v må vi ta hensyn til retningen. Det er kun hastigheten vinkelrett på flaten som bidrar til transport gjennom flaten, så vi bruker flatenormalen n : Figur. Volumstrøm, q ( volume flow ) v av 1 = v nd Gjennomsnittshastighet (.4) For å beskrive hvor mye strømmer gjennom tverrsnittet (eller gjennom et rør, i en kanal etc.) brukes ofte volumstrømmen q. q= v nd Volumstrøm (.5) Hvis vi allerede har regnet ut gjennomsnittshastigheten fra (.4) får vi q = v av. Dimensjonen til volumstrømmen q blir Volumtid, og i SI-enheter: m 3 s. Massestrøm, m ( mass flow ) For å beskrive hvor mye masse som strømmer gjennom tverrsnittet brukes massestrøm: dm = m = ρ v nd dt Massestrøm (.6) Enhetene for massestrømmen blir kgs. For spesialtilfellet Inkompressibel strømning, dvs. tettheten ρ er konstant, har vi den enkle sammenhengen m =ρ q=ρv av (.7)

3 37. Strømlinjer Et nyttig redskap til å kartlegge et hastighetsfelt har vi i begrepet strømlinjer, definert ved linjer som overalt er parallell med hastighetsvektoren v. Figur.3 viser dette for et punkt: v Hastighetsvektoren kan vi dele i komponentene v og v y. ds v y Strømlinje Ser vi på en liten bit av strømlinja, ds, så kan den også deles opp i komponentene d og dy. d dy v Hvis ds v så må dy vy d dy = = d v v v y Figur.3 I tre dimensjoner får vi d dy dz = = v v v y z Diff.likning for strømlinjer (.8) EKSEMPEL.1: To-dimensjonal stagnasjonsstrømning. Gitt hastighetskomponentene v =, v y = y, v z = 0 hvor er en positiv konstant. Bestem strømlinjene. Strømningsfeltet er to-dimensjonalt fordi v z = 0 og stasjonært fordi tiden t ingår ikke. Strømlinjene er da gitt ved d dy = = + = = = y C ln ln y C ln y C y e C ' som er likningen for hyperbler symmetriske om - og y-aksen. Figur.4 Plotting i Matlab: clear all; [,y]=meshgrid(-1:.0:1); C=.*y; contour(,y,c,50); whitebg('w') ais square colormap cool

4 38 Vi får en linje i hver av l. og 3. kvadrant for hver verdi C > 0 vi velger for konstanten C, og vi får tilsvarende linjer i. og 4. kvadrant for negative verdier av C. Det blir m.a.o. uendelig mange strømlinjer svarende til uendelig mange valgmuligheter for konstanten C. Strømretningen er gitt ved fortegnene på de oppgitte hastighetskomponentene. n Dersom vi aksepterer som eneste grensebetingelse på hastighetsfeltet nær en fast flate at komponenten av v vinkelrett på flaten skal være null, så kan en hvilken som helst strømlinje betraktes som en fast vegg. Vi tillater dermed hastighet langsmed "veggen" ( dvs. friksjonsfri v strømning). Figur.5 Krav: v n = 0 (.9) La nå -aksen i eksemplet ovenfor tolkes som en grenselinje mellom et fast legeme og et strømningsfelt. Strømlinjene kommer da inn mot det faste z-planet, stagnerer og bøyes av. Punktet = 0, y = 0 er et stagnasjonspunkt fordi hastigheten der er lik null. Herav navnet stagnasjonsstrømning. y Grensebetingelsen (.9) er nødvendig for å beskrive ideelle og viskøse fluiders oppførsel ved faste inpermeable flater. For ideelt ( = friksjonsfri) fluid, hvor tangentialspenninger per definisjon ikke eksisterer, er betingelsen (.9) også tilstrekkelig. Det er den imidlertid ikke for viskøse fluider, hvor tangentialspenningen får fluidet til å hefte ved den faste flaten..3 kselerasjon - Substansielt derivert Vi har sett foran at i beskrivelsen av et kontinuerlig felt kan hastigheten oppfattes å være en funksjon av tiden og av romkoordinatene v= v(t,r) hvor r = (, y, z ) og t i utgangspunktet er uavhengige variable. Vi skal nå se hvordan vi i denne EULER'ske feltbeskrivelsen kan uttrykke akselerasjonen til en fluidpartikkel (element), eller mer generelt hvordan vi kan danne substansielt deriverte. Dette vil si derivasjoner når vi følger identifiserte elementer av substansen. La oss først uttrykke endringen av hastigheten, formelt og matematisk som totalt differensial: v v v v dv = dt + d + dy + dz (.10) t y z Nå søker vi akselerasjonen a, altså endringen av hastigheten per tidsenhet, så vi deler likning.10 på dt: dv v v d v dy v dz = dt t dt y dt z dt

5 39 d dy dz Her har vi fått fram hastigheter v =,v y =,vz = sammen med de romlige deriverte. dt dt dt dv v v v v Dv a = = + v + vy + vz dt t y z Dt Substansielt derivert (.11) Denne måten å skrive en tidsderivert på er såpass spesiell at vi benytter et eget symbol, D Dt, som kalles substansiell derivert, altså den deriverte når vi følger substansen. De enkelte leddene heter v Lokal akselerasjon: t v Konvektiv akselerasjon: v etc. d Resultatet kan med en gang generaliseres til å gjelde en vilkårlig feltvariabel f(t,r) knyttet til substansen, for eksempel temperaturen, tettheten, konsentrasjonen, eller de forskjellige hastighetskomponentene av v. Vi har: Df f f f f = + v + vy + vz Dt t y z (.1) Det finnes en vektoriell stenografi for de samme leddene; nemlig D = + Dt t ( v ) hvor vi oppfatter ( v ) ( ) ( ) som en matematisk operator, v = iv + jvy + kvz i + j + k = v + vy + vz z z y z (.13) (.14) Her har vi ikke puttet inn noe å derivere ennå. Denne hastighetsfelt-betraktningen (.1), at hastigheten tilhører et punkt i rommet framfor en klump masse, kalles EULER's betraktningsmåte, og fører til uttrykkene (.11) og (.1) som er den vanlige måten å uttrykke tidsderiverte på i strømningsmekanikken. Det finnes en annen betraktningsmåte, oppkalt etter LGRNGE, som går ut på å følge den enkelte fluidpartikkel gjennom hele feltet og så benytte Newton's.lov for en partikkel på den vanlige formen dv m F dt =Σ

6 40 Spesielt fordi fluidelementer i sine bevegelser over endelige strekninger undergår store deformasjoner, og geometrisk sett kan bli forvandlet til det ugjenkjennelige, har denne metoden store praktiske ulemper. Vi skal her utelukkende holde oss til den EULER'ske betraktningsmåten. EKSEMPEL.: Gitt hastighetsfeltet fra Eks..1: v =, v y = y, v z = 0. Bestem akselerasjonen. Det er enklere og mer praktisk å finne komponentene av akselerasjonen. Da dekomponener vi hastighetsvektoren v i alle leddene i (.11): Dv v v v a = = + v + v Dt t y Dv v v v a v v Dt t y y y y y y y = = + + y Her har vi sløyfet z-leddene siden dette eksemplet er to-dimensjonalt. Innsetting for hastighetskomponentene gir så Dv Dt Dv a = = = ( ) ( ) y ay = = y = y Dt Resultatet kan til slutt skrives på vektorform: ( y) ( ) a = a,a =,y = r kselerasjonen (både størrelse og retning) er altså gitt direkte av posisjonen r. Geometrisk kan vi tolke dette som at akselerasjonsvektoren i ethvert punkt vil ligge i forlengelsen av posisjonsvektoren til punktet. y I figur.6 er det tegnet inn akselerasjonsvektoren for to punkter på en strømlinje. r r a a På linja y = vil akselerasjonen stå normalt på strømlinje-retningen. Vi har m.a.o. her ren sentripetalakselerasjon. Dersom vi følger strømlinjene langt utover langs -aksen vil akselerasjonen nærmer seg ren lineær-akselerasjon. Figur.6

7 41 EKSEMPEL.3: Parallelle strømlinjer La oss gå tilbake til Fig..1 hvor vi introduserte et hastighetsfelt av typen y v = f(y), v y = 0, v z = 0 v (y) Dette gir strømlinjer y = C, altså linjer parallelle med -aksen. Vi trenger bare å betrakte akselerasjonskomponenten a som blir: Figur.7 Dv v v v a = = + v + vy = 0+ v 0+ 0 Dt t y altså lik null. v dette eksemplet lærer vi at parallelle strømlinjer i stasjonær strømning ( t = 0) gir null akselerasjon hvis v = f(y). Dette er typisk for viktige klasser av inkompressible viskøse strømninger fordi når akselerasjonen, som inneholder ikke-lineære ledd, er null kan vi klare å finne analytiske løsninger..4 Viskositet. Spenninger i fluid. Viskositet er en materialparameter tilhørende ethvert reellt fluid, og den sier noe om seigheten til fluidet. Vi har to forskjellige viskositetskoeffisienter som brukes om hverandre: og µ (Gresk: my ) = dynamisk viskositetskoefffisient, [µ] = kgm s = Pa s ν (Gresk: ny ) = kinematisk viskositetskoefffisient, [ν] = m s Sammenhengen mellom disse to er gitt ved tettheten: µ=ν ρ (.15) I tallverdi er disse koeffisientene vanligvis svært små. Eksempelvis: µ [kg ms] ν [m s] ρ [kg m 3 ] Vann, 0ºC Luft, 0ºC Fordi viskositetskoeffisientene tallmessig er små brukes (desverre fortsatt) andre enheter: For µ: 1 P (Poise) = 1 g cm s = 0.1 kgm s (tatt fra CGS-systemet) 1 cp (centi-poise) = 1100 P For ν: 1 St (Stoke) = 1 cm s = 10-4 m s (tatt fra CGS-systemet) 1 cst (centi-stoke) = 1100 St Viskositetskoeffisientene varierer med temperatur, spesielt for væsker (se figur.8 neste side). Verdier for µ og ν for forskjellige fluider finner du bak i vedlegg og 3 i Geankoplis. Det er viskositeten til et fluid som er årsak til friksjonskrefter mellom fluid og faste vegger, og inne i fluidet der vi har områder med forskjellige hastigheter.

8 µ Vann µ Luft Dynamisk viskositet for vann µ [kgms] Dynamisk viskositet for luft µ [kgms] Temperatur [ C] Temperatur [ C] Se på en enkel strømning langsmed en fast vegg: Figur.8 y v = konstant v (y) Figur.9 Til venstre har vi med viskositet, og får null hastighet langsmed veggen ( No Slip ). Til høyre har vi et såkallt ideellt fluid: ingen viskositet, og tillater dermed hastighet langsmed veggen. Et lite fluidelement, markert som et stiplet rektangel i figur.9, vil bli deformert i det viskøse tilfelle, mens uten viskositet vil elementet bare bli transportert med strømningen. Ser nærmere på deformasjonen av et lite fluid-element på grunn av hastighetsforskjell oppe og nede på elementet: v + dv dv dt α La elementet bli transportert med strømningen en liten tid dt. Fordi toppen beveger seg hurtigere vil den ha gått et stykke dv dt lenger enn bunnen, og sidekanten i elementet tippes en vinkel α (som er liten fordi dt er dy liten). v Figur.10 tan dv dt dv dy dy α α= = Deformasjon Så helningen på hastighetsprofilet, dv dy, kan ses som en vinkeldeformasjonshastighet; den sier noe om hvor fort et element blir dratt i en annen form.

9 43 En slik deformasjon krever kraft, så vi innfører begrepet skjærspenning, Shear stress. For skjærspenning brukes det greske symbolet τ tau, og den uttrykker Kraftreal langsmed en flate. For å gi retning både på kraften og flatenormalen som kraften virker på brukes to indekser: y τ y : Første indeks = retning på flatenormalen, ndre indeks = retning til kraften. Figur.11 Skjærspenninger tegnes som halve piler, og figur.11 viser definisjonen på positive retninger for τ y. kraft Dimensjon: τ y = = Pa (samme som trykk) flate Newton antok en lineær sammenheng mellom skjærspenningen τ y og deformasjonshastigheten: dv τ y = µ dy Newton s friksjonslov (.16) Svært mange almindelige væsker og gasser, også vann og luft, følger likning.16 brukbart, og slike fluider kalles for Newtonske fluider. Fluider som ikke følger.16 kalles dermed ikke-newtonske. τ y Bingham fluid: tannpasta Plastisk: maling Newtonsk Dilatant: våt sand dv dy Figur.1 viser endel sammenhenger mellom skjærspenningen og vinkeldeformasjonshastigheten for forskjellige typer fluider. Dette er et eget fagfelt som kalles reologi, og vi skal innskrenke oss til de Newtonske fluidene. For mer informasjon, se Geankoplis kapittel 3.5. Figur.1 EKSEMPEL.4: Couette strømning h y Figur.13 Hastighetsprofil: v (y) V 0 Som et første eksempel på bruk av Newton's friksjonslov skal vi se på den klassiske Couette strømningen: Et viskøst fluid mellom to uendelig store parallelle plater settes i bevegelse ved at den øverste platen beveger seg med konstant hastighet V 0 langmed platene. Heft-betingelsen, No slip, gir null hastighet ved nedre vegg som står stille, mens ved den øverste veggen vil fluidet klistre seg fast og få hastigheten V 0.

10 44 En Couette strømning er karakterisert ved et lineært hastighetsprofil: v (y) = y + B For å finne konstantene og B trenger vi to grensebetingelser, og Heft-betingelsen fordi fluiden er viskøs gir her: v (y= 0) = 0 0= 0+ B B= 0 0 v(y = h) = V0 V0 = h + B = h V Da får vi hastighetsfordelingen mellom platene til å bli v(y) V h 0 = y Couette - strømning. Denne strømningen tilhører familien v = f(y) og v y = v z = 0 som vi undersøkte i eksempel.3, og der vi fant at aksellerasjonen er null. Skjærspenningen τ y blir for Couette-strømningen dv dy V h τ = µ = µ 0 dvs. konstant! y Det er altså likegyldig hvilken posisjon mellom platene vi betrakter; skjærspenningen er den samme overalt i en Couette strømning. Lager oss et talleksempel, og søker kraften F som vi må bruke for å bevege topp-plata med hastigheten V 0 : Vann, 0 C : µ = 10-3 kgms, V 0 = 1 ms, h = 1 cm, real = 1 m. Kraften blir da y y h h 0.01m V 10 kg ms 1m s 1m 3 0 F =τ real = µ = = 0.1kgm s = 0.1N = Her blir kraften negativ fordi skjærspenningen er negativ. Da må vi snu retningene på de halve pilene i figur.11 for å se hvilken vei skjærspenningen virker på et element eller en vegg. y h τ y < 0 Topp-plata blir bremset av strømningen, altså må vi bruke en kraft i positiv -retning for å overvinne friksjonen og holde plata i bevegelse.

11 45 Overflatespenning, ( Surface tension ) er en annen type spenning som kan være tilstede i den frie overflaten mellom en væske og en gass. Insekter kan gå oppå en vannoverflate, og hvis du legger en synål på tvers over tennene på en gaffel og senker den forsiktig ned i vann vil synålen bli liggende på vannflaten. For enkelt å modellere overflatespenning brukes en parameter, T, som gir kraftlinje. Hvis du forstiller deg en liten linje med T lengde l langsmed en væskeoverflate, så virker den en kraft F = T l i overflateplanet og vinkelrett på linja. l Enheter: [ T ] = Nm Tallmessig er disse kreftene små; T (vann - luft) = Nm T (Hg - luft) = 0.48 Nm Figur.14 For en krum væskeoverflate som på en dråpe vil spenningen langsmed overflaten øke trykket inni dråpen: p = p INNI - p UTENFOR. Dette overtrykket kan vi finne ved å se på kraftlikevekt for en halv dråpe vist som en halv kule med diameter d i figur.15. Kraften fra overflatespenningen langs sirkel-linja må ballansere trykkraften som virker vinkelrett nedover på den skraverte snittflaten: F = T l Kraftballanse i vertikal retning: d 4T F= T π d= p π p = (.17) DRÅPE DRÅPE 4 d Hvis det er en boble, så har den to sider, innside og utside, og kraften (og dermed overtrykket) blir dobbelt så stor: d Figur.15 d 8T F= T π d= pboble π pboble = (.18) 4 d En annen overflate-effekt er kontaktvinkel θ som oppstår når en væskeoverflate kommer i kontakt med et fast materiale, som vist i figur.16. Denne kontaktvinkelen er avhengig av hvilken væske og hvilket materiale vi betrakter. Hvis θ er mindre enn 90 sier vi at væsken fukter materialet. Vann mot glass: θ 0 fukter, Kvikksølv mot glass: θ 140 fukter ikke. h Vann Figur.17 mg T d Figur.16 Denne effekten kan være viktig ved avlesninger av væskesøyler. I figur.17 er et glassrør med diameter d stukket ned i vann, og på grunn av overflatespenningen T løftes vannet en høyde h. Kraftlikevekt for den skraverte vannmengden: d 4Tcosθ mg =ρπ hg = Tπd cosθ h = 4 ρgd Diameter d = 1 mm gir her en høyde h = 0 mm. θ

12 46.5 Reynoldstallet - Strømningsregimer Viskositet (µ og ν) medfører friksjonskrefter i en strømning, og den viktigste parameteren som korrellerer den viskøse oppførselen for alle Newtonske fluider er det dimensjonsløse Reynoldstallet, N Re : ρvl VL NRe = µ ν Reynoldstallet (.19) der V og L er karakteristisk hastighets- og lengde-skala i strømningen. Reynoldstallet kan betraktes som forholdet mellom massekrefter og friksjonskrefter. Se på en generalisert strømning der et fluid treffer et legeme med geometrisk utstrekning L som skissert i figur.18. Fluidet har en hastighet V, tetthet ρ og viskositet ν, og vi lager estimater for massekreftene og friksjonskreftene i strømningen: aksellerasjon: friksjonskraft: v V, masse: L V τ real µ L L a v V 3 ρl Dermed blir forholdet: 3 V ρl V masse aksellerasjon L ρlv = = = N friksjonskrefter V µ L µ L To spesialtilfeller er åpenbare: Re (.0) (i) N Re 1 Friksjonskraften neglisjerbar (bortsett fra nær grenseflater) (ii) N Re 1 kselerasjonen neglisjerbar og dette definerer henholdsvis det friksjonsfrie og det viskøst dominerte strømningsregime. Unntaket for strømning nær fast grenseflate i tilfelle (i) skyldes heftbetingelsen for viskøs fluid. Den betyr at friksjonen må bli av betydning når en kommer nær nok grenseflaten uansett hvor stort Revnoldstallet er. Dette fører til et spesielt tilpassningsområde, kalt grensesjikt ( Boundary layer ), mellom den praktisk talt friksjonsfrie hovedstrømningen og den faste grenseflaten. Tykkelsen av dette skiktet, grensesjikttykkelsen δ, definerer en ny og mye mindre lengdeskala i problemet. Grensesjikt δ Hvis Reynoldstallet basert på V og L er stort, kan strømningen rundt legemet regnes som friksjonsfri. V L Vake, bakevje I grensesjiktet og i vaken derimot vil de viskøse kreftene alltid være viktige og de kan ikke neglisjeres. Stagnasjonspunkt Figur.18 Separasjonspunkt

13 47 Rørstrømning. I 1883 eksperimenterte Osborne Reynolds ved å sende inn blekk i vannstrømninger i glassrør, og han observerte at strømningen endret karakter avhengig av Reynoldstallet: LMINÆR: N Re 100 TURBULENT: N Re 4000 Blekk Blekk Vann Vann glatt regulær stabil strømlinjer ligger i faste sjikt fluktuerende irregulær ustabil strømlinjene dekker hele rørtverrsnittet Reynoldstall mellom 100 og 4000 medfører en ustabil strømningstype som vil være følsom for støy fra innløpet, ruhet på rørveggene, stabilliteten til vannforsyningen etc. Den aksepterte verdien for å skille laminær turbulent strømning i rør er ρvd Re Crit ( ) N = = 300 µ Kritisk Reynoldstall for rørstrøm (.1) der D er rørdiameteren og V er gjennomsnittshastigheten i røret. Modeller. Det følger av ovenstående definisjon for Reynoldstallet, likning (.0), at i to forskjellige strømninger vil forholdet mellom masse G akselerasjon og friksjonskraft være det samme - hvis Reynoldstallet er det samme i de to strømningene. Dette er noe av grunnlaget for modellteorien, som gjør det mulig ut fra eksperimentering i en liten geometrisk skala (modell) å forutsi oppførselen til full-skala strømningen (prototyp), når Reynoldstallene for modell og prototyp er like. Luft: ν 1 = m s V 1 Vann: ν = 10-6 m s V Figur.19 H H 1 For å undersøke strømningsbildet av vind rundt et hus kan vi slippe å måtte bygge huset i fullskala ved å lage en liten modell og så kjøre eksperimenter i vann. VH VH ν 1 N = = H = H = H Re 1 1 ν1 ν ν1 Forskjellen i den kinematiske viskositeten mellom luft og vann er ca. 15, så vi får samme strømningsbilde i vanneksperimentet med en modell som er 115 av originalen hvis vi bruker samme hastighet V 1 = V.

14 48.6 Kontinuitetslikningen - Konservering av masse I den klassiske mekanikken skjenker vi vanligvis ikke prinsippet om massebevarelse en tanke fordi vi der typisk ser på faste legemer med fast masse. I fluidmekanikken derimot, der hastighetsfeltet og tettheten gir verdier for posisjoner i rommet uten å være knyttet til en bestemt massemengde, må vi sørge for at kravet om massens konstans er oppfyllt overalt og til alle tider. Kontrollvolum CV og Kontrollflate CS: I mange problemstillinger vil vi ikke være interessert i detaljene i strømningen, men søke etter hovedresultater som gjennomsnittshastighet eller massestrøm gjennom et system, netto kraft på ett-eller-annet, effekten til en pumpe etc. Da legger vi et Kontrollvolum ( Control Volume ) CV med tilhørende Kontrollflate ( Control Surface ) CS, og ser kun på hva som foregår av transport inn og ut gjennom kontrollflaten. Som standard konvensjon lar vi kotrollflatens normalvektor n alltid peke ut av kontrollvolumet. n CV Figur.0 n n n CS Kontrollflaten må legges med omtanke og med problemstillingen i fokus slik at flaten snitter gjennom inn- og utløp der vi kan beskrive variable som hastighet og trykk uten at vi introduserer unødvendige ukjente størrelser. Denne betraktningsmåten resulterer i våre basislikninger (massebevarelse, Newton s.lov, energibevarelse) skrevet på Integral-form. Ved å la kontrollvolumet skrumpe ned til et lite differensiellt volum får vi basis-likningene på differensiell form som vi må bruke i problemer som skal løses i detalj, dvs. vi skal bestemme størrelser som v(r,t) og p(r,t) i alle punkter i feltet. Strømning gjennom flate Vi stiller oss først som oppgave å uttrykke massestrømmen, dvs. massen som per tidsenhet passerer gjennom den lille flaten ds i figur.1 nedenfor. vn = V n n V Bare hastighetens komponent v n langs flatenormalens retning vil bidra til å transportere masse gjennom flaten, og i løpet av tiden t vil derfor all masse som finnes innenfor en sylinder av høyde v n t skyves gjennom flaten ds i figuren. Vi har derfor dm =ρvn t ds Figur.1 ds Massen som pr. tidsenhet passerer gjennom flaten kan da skrives dm =ρv ds n

15 49 når vi på vanlig måte har betegnet tidsderivasjon med en prikk: dm m = dt Lar vi så ds være en del av en stor flate CS, kan vi skrive netto massestrøm ut gjennom en lukket kontrollflate som skissert i figur.: n m = M ρv n ds (.) CS n CV n Flaten CS er lukket omkring kontrollvolumet CV og er en matematisk (ikke materiell) flate, slik at den er gjennomstrømbar. Vektorproduktet vn ordner fortegnet slik at innstrømning blir negativt og utstrømning blir positivt. Husk på at flatenormalen alltid peker ut av volumet. n Figur. CS Kontinuitetsprinsippet sier nå at netto utstrømt masse gjennom kontrollflaten CS må resultere i en minskning av den totale massen inne i kontrollvolumet CV. Matematisk uttrykkes dette ved ρ dv = ρv n ds t CV M CS Minskning av = Netto utstrømt masse i CV masse gjennom CS som er kontinuitetslikningen på integral form. Setter vanligvis leddene på samme side: ρ dv + ρv n ds = 0 t CV M CS Kontinuitetslikningen, integral form (.3) La geometrien i figur. være fast, dvs. at CV og CS ikke forandrer seg. Da kan vi skrive t CV ρ dv = CV ρ dv t samt benytte diverqensteoremet: M CS ρvnds = ρvdv CV ( ) slik at vi får begge ledd som et volumintegral over kontrollvolumet CV. Samlet:

16 50 CV ρ + ( ρ v) dv= 0 t Men skal denne likningen gjelde for vilkårlige valg av volumet CV, må integranden i klammene forsvinne i alle punkter innen integrasjonsområdet, altså: ρ + ( ρ v) = 0 t Kontinuitetslikningen, differensiell form (.4) Denne utgaven av kontinuitetslikningen stiller på grunn av sin lokale karakter langt mer detaljerte krav til oppførselen av ρ og v enn likning (.3) som er en global betingelse. Overgangen fra (.3) til (.4) forutsetter i tillegg eksistens av endelige deriverte ρ og v, noe som ikke er påkrevet i integralversjonen av kontinuitetslikningen. For problemer som skal løses i detalj, dvs. om v(r,t) og p(r,t) skal bestemmes i alle punkter av feltet, må en gå ut fra versjonen (.4). Om vi nøyer oss med globale eller gjennomsnittlige løsninger (systemanalyse) er det tilstrekkelig at (.3) er oppfyllt. Vi skal spesielt merke oss de inkompressible versjonene av (.3) og (.4). De fås ved å sette tettheten ρ = konstant begge steder. Det gir M CS vnds = 0 Kontinuitetslikningen, integral form, inkompressibel strømning v= 0 Kontinuitetslikningen, differensiell form, inkompressibel strømning (.5) (.6) De inkompressible variantene av kontinuitetsprinsippet berører hastighetsfeltet alene. EKSEMPEL.5: Bruk av v= 0. Gitt det to-dimensjonale hastighetsfeltet v =, v y = By, hvor konstanten er kjent. Bestem den andre konstanten, B, slik at feltet beskriver en inkompressibel strømning. Her bruker vi likning (.6) og får ved ren innsetting: v v v= 0 + y = 0 + B= 0 B= y Sammenholder vi dette resultatet med eksempel.1 ser vi grunnen til at vi valgte v y = y der: Det gitte hastighetsfeltet skulle beskrive en inkompressibel strømning.

17 51 EKSEMPEL.6 : Tverrsnittsovergang La oss betrakte inkompressibel strømning i et rør eller en kanal hvor tverrsnittet går gjennom en kontinuerlig endring over en gitt strekning, figur.3 nedenfor. Vi er nå kun interesserte i innstrømnings- og utstrømningsforholdene ved tverrsnittene 1 og, og legger ingen vekt på detaljene i systemet forøvrig. Her bruker vi likning (.5); M CS vnds = 0 som utregnet gir n n CV q1+ q = 0 der q = v n ds, dvs volumstrømmen gjennom et tverrsnitt. ltså har vi q1 = q = q 1 Figur.3 CV uansett hvordan detaljene i hastighetfordelingene over tverrsnittene l og ser ut. Størrelsen q kalles volumstrømmen p.g.a. sin dimensjon volumtid, og er det naturlige mål for strømningsmengden når tettheten ρ er konstant. Likning (.5) tar høyde for at hastigheten kan variere over tverrsnittet. Hvis vi i eksemplet her hadde fått tilleggsinformasjonen at hastighetene i snitt 1 og kan regnes konstant ( = v gjennomsnitt ) blir utregningen svært så enkel: q = v nds= v = v Energilikningen. Bernoulli og Euler s likning Vi skal nå utlede og diskutere et av de viktigste elementære teoretiske resultat i hele strømningsmekanikken, nemlig Bernoulli's likning for energibalansen langs strømlinjer. Likningen for energibevarelse kan utledes fra termodynamikken s lover slik det gjort i Geankoplis kapittel.7. Imdlertid kan vi få fram det samme praktiske sluttproduktet, nemlig Bernoulli s likning ved å starte med Newton s. lov for et ideelt fluid; dvs. ingen friksjon. La oss betrakte et ideelt fluid ( = friksjonsfritt) slik at bare trykkrefter kan virke på et elements overflate. Den totale kraften på et element av masse ρdv blir da slik som før df = pdv +ρg dv Vi kan da stille opp Newton' s.lov for et element av ideelt fluid med volum dv:

18 5 hvor Dv Dt Dv ma =ρ dv = pdv +ρg dv Dt er den substansielle akselerasjonen gitt ved (.11). Ordnet kan likningen skrives Dv 1 p g Dt = ρ + EULER s bevegelseslikning som er bevegelseslikningen for ideellt fluid, kalt EULER' s bevegelseslikning. (.7) I et generellt (friksjonsfritt) strømningsproblem der vi søker de ukjente funksjonene: hastighetskomponenter (v, v y, v z ), trykk p og tetthet ρ kan vi nå sette opp det nødvendige antallet likninger: Euler ( = 3), massebevarelse og en tilstandslikning. Vesentlig på grunn av avvikene fra linearitet i ledd av typen v v ( ρ ) v (bev. likn.) (kont. likn.) leder dette til formidable matematiske oppgaver, som kan løses forholdsvis enkelt og generelt kun for to store klasser av problemer: (i) (ii) Inkompressibel potensialstrømning: Krav: v= 0 Euler reduseres til Bernoulli s likning. En-dimensjonal kompressibel strømning: ρ ρ v + +ρ = t v v 1 p + + = t ρ v 0 v 0 I tillegg finnes generelt anvendbare analytiske teknikker for mer spesielle klasser som: stasjonær to-dimensjonal supersonisk strømning, linearisert kompressibel potensialstrømning, og akustisk bevegelse. Vi skal ikke gå nærmere inn på noen av disse problemtypene her, men bare konstatere at de knytter seg til mange viktige tekniske anvendelser. For klasse (i)'s vedkommende først og fremst til klassisk aero- og hydrodynamikk; d.e. anvendelser som flyvning, skipsbevegelse, bølgers utbredelse og påkjenninger på farkoster og konstruksjoner. For klasse (ii)'s vedkommende vesentlig til romfart og høyhastighetsflyvning med dannelse og utbredelse av sjokk- og kompressjonsbølger. Spesielt disse siste anvendelsene har ført til en markert utvikling på den matematisk-numeriske siden av strømningsmekanikken gjennom de siste årtier. Endelig skal det nevnes at den fullstendige Eulerlikningen (.7), med massekrefter av typen sentrifugal- og Coriolis inkludert i g, og kombinert med atmosfærens termodynamikk utgjør det

19 53 viktigste modellgrunnlaget i meteorologenes moderne værvarslingsprogram. Faktisk er disse blant de største numerisk-matematiske beregninger som pr. idag i det hele tatt blir utført. Ved på denne måten å gå utenom et nærmere studie av Eulerlikningen og dens avledninger, hopper vi derfor bukk over svært viktige deler av strømningsmekanikken. Disse blir imidlertid tradisjonelt ivaretatt i strømningsfagene innen Skips, Maskin og Bygg, samt i geofysikk- og meteorologimiljøene. Bernoulli s likning Vi vil nå integrere Euler s bevegelseslikning langs strømlinjeretningen under forutsetningene: g v 1) Friksjonsfri strømning ) Stasjonær bevegelse: t = 0 3) g konstant = gk z ds CV θ dz Vi betrakter kontrollvolumet CV lagt som en sylinder rundt strømlinja. Dermed har vi kun innog utstrømning gjennom endeflatene med hastigheter v 1 og v som vist i figur.4. v 1 Kontrollvolumet har en lengde ds, og fra figuren ser vi at sin θ = dzds. Massen m i kontrollvolumet blir Figur.4 m =ρ ds Vi skalarmultipliserer bevegelseslikningen (.7) med strømlinjeelementet ds, og har v t 1 + ( v ) v ds = p ds+ g ds ρ Vi benytter så vektoridentiteten hentet fra matematikken: v ( v ) v v ( v) ordner likningen og får v 1 ds + p ds g ds = v ( v) ds ρ (.8) Venstresiden er enkel fordi leddene der av typen: f ds = df og definerer totale differensial, og tyngdeleddet blir kun dz. Høyresiden vil vi gjerne ha vekk, noe som er oppfyllt hvis enten v= 0 eller ds er parallell med hastighetsvektoren v, dvs. vi går langs en strømlinje fra 1 til.

20 54 Likning (.8) integreres nå direkte til v dp gz konstant + ρ + = Bernoulli s likning (.9) som er Bernoulli's likning langs en strømlinje. Likningen er et energiintegral framkommet ved å projisere bevegelseslikningen (.7) i strømlinjeretningen. Bernoulli's likning inneholder derfor informasjon kun i strømlinjeretningen og sier ingenting om hvordan størrelser endrer seg tvers på denne retningen. Leddene i likningen er lett identifiserbare. De er: v - kinetisk energi per masseenhet dp ρ - trykkenergi (Vdp - ledd) gz - potensiell energi per masseenhet Bortsett fra mellomleddet gjenkjenner vi disse størrelsene fra energi-setningen: E kin + E pot = konstant fra faststoff-mekanikken i kapittel 0. Også det resultatet var en projeksjon av Newton's.1ov i bevegelsesretningen. Leddet dpρ er den potensielle energien svarende til trykkraften pdv på et fluid element. Termodynamisk sett er leddet av "Vdp - type" og kan regnes ut bare hvis sammenhengen mellom V og p (ρ og p) er gitt for den aktuelle, koblede termostrømningsdynamiske prosessen. Resultatet er enkelt i to viktige spesialtilfeller: l) Inkompressibelt fluid: ) diabatisk prosess: dp p = ρ ρ (.30) dp γ p = ρ γ 1 ρ (.31) Det første tilfellet er innlysende fordi tettheten ρ da er konstant. Resultatet for det andre tilfellet kan lett verifiseres ved å ta utgangspunkt i adiabatrelasjonen p p ρ = ρ 0 0 γ (.3) hvor γ er adiabateksponenten. Det er verd å merke seg at (.3) er en entydig relasjon mellom ρ og p; dvs. den inneholder ikke en tredje termodynamisk variabel.

21 55 EKSEMPEL.7: Utstrømning fra kar Det første og mest opplagte eksempel som en kan tenke seg for Bernoulli's likning er utstrømning av væske fra et kar. p 0 Væskeoverflaten regnes å ligge på konstant høydenivå H over utløpsåpningen, og omgivelsenes trykk er p 0. Oppgaven går ut på å finne utstrømningshastigheten v B ved utløpet B. g z H B v B For væske er tettheten konstant, og Bernoulli's likning gjelder her på formen v p gz konstant + ρ + = (.33) langs en strømlinje. Flere alternative strømlinjer er indikert i figur.5. De har alle det til felles at Figur.5 de begynner i overflaten, hvor hastigheten er null og trykket er p 0, og de konvergerer mot utløpet hvor hastigheten er forskjellig fra null og ukjent, men hvor trykket igjen er blitt p 0. Trykket inne i en fri væskestråle regner vi som omgivelsestrykket. Vi har derfor, for en typisk strømlinje mellom og B: v p v p + + gz = + + gz ρ ρ B Velger origo som vist i figur.5: p0 vb p0 0 + gh g 0 ρ + = + ρ + som ordnet gir vb = gh (.34) Dette resultatet kalles Toricelli's lov etter Toricelli som fant sammenhengen eksperimentelt lenge før Bernoulli stilte opp sin berømte likning. Strømningstilstanden inne i karet er derimot ikke bestemt ved disse enkle betraktningene. Spesielt vil det gjelde området hvor strømlinjene konvergerer mot utløpet og hastigheten bygger seg opp fra praktisk talt null mot v B i utløpet. Her kjenner vi hverken strømlinjenes retning, hastigheten langs dem eller trykket i vilkårlige punkter på dem. Vi kan heller ikke si noe om retningen på v B, kun tallverdien.

22 56 EKSEMPEL.8: Stagnasjonstrykk. Strømning mot fast legeme p v v= 0 Figur.6 S Vi betrakter her en opprinnelig uniform strømning med gitt hastighet og trykk v og p som kommer inn mot et fast legeme. Strømlinjene vil her bøyes av for å unnvike legemet - bortsett fra en - som er delelinjen mellom de strømlinjene som bøyes av oppover og de som bøyes av nedover. Denne strømlinjen går mot den faste grenseflaten og møter denne i stagnasjonspunktet S hvor hastigheten per definisjon er null. Hastighetsvektorens komponenter både loddrett på og tangensielt til grenseflaten forsvinner altså i dette punktet. Vi bruker så Bernoulli's likning langs denne stagnasjonsstrømlinjen for et inkompressibelt fluid, og får: v p p + = 0 + s ρ ρ idet strømlinjen enten regnes å ligge horisontalt, eller ytre feltkrefter sløyfes generelt. Dette bestemmer trykket i stagnasjonspunktet, stagnasjonstrykket p S, 1 ps = p + ρv Stagnasjonstrykk = statisk + dynamisk trykk (.35) Som vi ser er stagnasjonstrykket summen av trykket i den uforstyrrede strømmen p (statisk trykk) og det dynamiske trykket; ½ρv. Det følger av dette at stagnasjonstrykket er det maksimale oppnåelige trykk i en gitt strømning. EKSEMPEL.9: Pitot-rør. Vi skal nå se på en enkel innretning som har stor praktisk anvendelse ved måling av hastighet; nemlig Pitotrøret, som er skissert i figuren. Røret har to åpninger (trykkhull), en omkring senterlinjen i snuten, (S), og en i overflaten bak den dobbeltkrumme delen, (). Åpningene er via tynne manometerslanger forbundet med et trykkmåleinstrument, et manometer, som registrerer differansen p mellom trykket i åpningen ved S og åpningen ved. (Dette kan for eksempel være et væskemanometer, et membranmanometer, en piezoelektrisk trykkcelle etc.) p v S p Figur.7

23 57 Røret orienteres med aksen langs retningen på den ukjente hastigheten v. Da blir trykkåpningen S et stagnasjonspunkt, og (.35) gir direkte at 1 ps = p + ρv Røret er strømlinjeformet og slankt (diameter noen millimeter), slik at hastigheten langs røret er praktisk talt v straks en er bakenfor den krumme delen. Bernoulli's likning for en strømlinje som tangerer røret vil da gi at p = p dvs. at trykket langsmed rørets overflate er lik trykket i strømningen langt foran røret. Derfor har vi eller 1 p = ps p = ρv p v = ρ hvor p er den målte trykkdifferansen. Hastigheten i strømningen er derved bestemt ved måling. Pitotrøret brukes som standard måleinstrument på fly og romfartøyer og er et alminnelig redskap i eksperimentell strømningsteknikk. Se også kapittel 3. i Geankoplis der en dimensjonsløs justeringskoeffisient C p ( = ) er innført. EKSEMPEL.10: Kinetisk oppvarming Vi refererer igjen til situasjonen i eksempel.8 og figur.6, men vi betrakter nå et kompressibelt strømmende medium (gass) og vilkårlig store hastigheter v inn mot det faste legemet. Tilstandsforandringen i gassen antas å foregå adiabatisk, og trykkleddet i Bernoulli's likning har derfor formen (.31). Det gir v γ p + = konstant γ 1ρ (.36) langs strømlinjer, når ytre feltkrefter sløyfes. nvendt på stagnasjonsstrømlinjen gir (.36) v γ p γ p + = 0 + S γ 1 ρ γ 1 ρ (.37) hvor p er tettheten i uforstyrret strøm. ntar vi videre at gassen er ideell, har vi generelt

24 58 R p =ρ T M der R er den universelle gasskonstanten og M er molmassen til gassen. Resultatet.37 kan da skrives som γ 1 v TS = T + γrm (.38) Stagnasjonstemperaturen T S er derfor alltid høyere enn fristrømstemperaturen T og differansen er proporsjonal med kvadratet på fristrømshastigheten v. Størrelsen γ 1 v γrm representerer den kinetiske oppvarmingen; d.e. omformingen av makroskopisk kinetisk energi til termisk energi, eller varme. Det er vanlig å omskrive formelen (.38) ved hjelp av strømningens MCH-tall; M v = γ TRM Mach-tall (.39) Da får vi γ 1 TS = T 1+ M (.40) Det kan vises at størrelsen γ TRM representerer lydhastigheten i gassen, så Mach-tallet uttrykker forholdet strømningshastighet på lydhastighet. For moderate strømningshastigheter (M 0.3) er det vanlig å neglisjere kompressible effekter og regne tettheten som konstant, og.40 viser da også at forskjellen er liten ( < %). Kinetisk oppvarming er derimot viktig i romfart og høyhastighets flyving, hvor Machtallet kan bli stort. Talleksempler for γ = 1.4: M T S T Romfergen vil i sin tilbakevending til jorden utsettes for Machtall på opptil 5 i en høyde av omkring 100 km over bakken. Med en lufttemperatur på omtrent l70 K vil den beregnede stagnasjonstemperaturen bli ca T S = K. Lenge før slike temperaturer oppnås vil imidlertid (og heldigvis) de diatomiske gassene N og O i luften oppta en stor del av den kinetiske energien ½v til dissosiasjon og elektronisk eksitasjon, i tillegg til at energi sendes bort i form av ståling, slik at den reelle stagnasjonstemperaturen "bare" blir litt over 000 K.

25 59 Som det framgår av eksemplene ovenfor spenner anvendelsesområdet til Bernoulli's likning over et vidt problemspekter. Selv om likningen er utledet - og strengt tatt gyldig - bare for ideelt fluid, er det en kjent sak at den gir gode tilnærmelser også for mange reelle strømningssituasjoner. Dette gjør likningen til et av de viktigste praktiske resultater i hele strømningsmekanikken. Begrensningen ligger først og fremst i at strømlinjeretningen må være kjent på forhånd for at likningen skal kunne brukes. Dette er en begrensning som mest rammer utvendige strømninger; strømninger omkring faste legemer, hvor strømlinjene ikke styres gjennom rør, utløpsdyser, kanaler, porer, o.l. For slike utvendige strømninger må en i regelen basere analysen på den vektorielle bevegelseslikningen (3.0), eller på forenklede modeller av denne. Bernoulli's likning er en skalar algebraisk likning, og den kan derfor alene bestemme kun en ukjent størrelse. I praktiske anvendelser er den imidlertid mest aktuell i kombinasjon med andre grunn1ikninger, slik som kontinuitetslikningen. EKSEMPEL.11: Venturimeter Vi skal bestemme volumstrømmen q gjennom et rør uten å måtte gå inn i røret med noe måleinstrument. I et rør med tverrsnittsareal S 1 har vi en innsnevring der tverrsnittsarealet er S. 1 S 1 S v 1 v Strømningen forutsettes inkompressibel og ideell, slik at hastigheten kan regnes konstant over tverrsnittet bortsett fra i de konvergerende og divergerende seksjonene. Her gir massebevarelsen, likning (.5) M CS p vnds = 0= vs+ vs 1 1 Figur.8 eller q= vs 1 1= vs v1= v S 1 S

26 60 Igjen er dette en global innstrømnings - utstrømningsrelasjon som ikke sier noe om detaljene i hastighetsfunksjonen lokalt i feltet. Bernoullis likning langs en hvilken som helst strømlinje mellom tverrsnittene 1 og vil her gi: v1 p1 v p ρ + = + ρ + idet enten (i) røret forutsettes å ligge horisontalt, eller (ii) tyngdens innvirkning neglisjeres. Eliminerer v 1 ved å kombinere massebevarelse og Bernoulli: v = p S ρ 1 S1 (.41) hvor vi har innført trykkdifferansen p = p 1 p som kan måles ved hjelp av et manometer koplet inn på røret i posisjonene 1 og. Formelen (.41) gir derfor en eksperimentell bestemmelse av hastigheten v 1 gjennom røret ut fra måling av en trykkdifferanse over en kjent innsnevring. Se også kapittel 3.B i Geankoplis. Der er resultatet (.41) justert med en eksperimentelt bestemt justeringskoeffisient C v som typisk vil ha tallverdi ca v = C p v S ρ 1 S1 Hvis innsnevringen består av en skarpkantet måleblende, orifice flow meter, som vist i figur.9 får vi et større tap enn i Venturimeteret. Hastigheten v 0 i måleblende-åpningen er gitt ved 0 1 v = C p 0 O S 0 ρ 1 S1 p 1 p Figur.9 og justeringskoeffisienten, som nå betegnes C O, har verdi avhengig av Reynoldstallet N Re i åpningen. Hvis N Re > og diameterforholdet D 0 D 1 < 0.5 er C O = Ved lavere Reynoldstall er sammenhengen mer kompleks og kan finnes i oppslagsverk som Perry s Chemical Engineers Handbook.

27 61 EKSEMPEL.1: Tømmetid Karet i figur.30 tappes gjennom en utløpsåpning med areal S B ved B, og væskeoverflaten i karet synker som et resultat av dette. Karets tverrsnitt er S, og væskeoverflaten stod opprinnelig en høyde H 0 over utløpsåpningen ved karets bunn. Vi søker tiden T som går med før karet er tomt. g p 0 v S Starter med massebevarelse for inkompressibel strømning (.5), og får z H S B v B S vs + vs = 0 v = v v B B B B B S Figur.30 hvor og B refererer seg til overflaten og til utløpet, henholdsvis, og hvor det typisk forholder seg slik at S B «S. Strømningen ut av karet er her strengt tatt ikke-stasjonær, fordi overflaten synker med tiden og utløpshastigheten derfor vil avta. Vi forutsetter imidlertid at hastighetsendringen foregår langsomt slik at Bernoulli's likning i stasjonær versjon fortsatt kan brukes. Vi har, for en strømlinje fra overflaten til utløpet: v p0 vb p0 gh 0 vb gh + ρ + = + ρ + når vi har benyttet opplysningen v «v B. Resultatet er den kvasi-stasjonære utgaven av Toricelli's lov, hvor altså nå høyden H må oppfattes som en ukjent tidsavhengig funksjon H(t). Til slutt skriver vi en kinematisk relasjon mellom overflatens synkehastighet og endringen av høydekoordinaten H(t): dh = v dt Det er nå en enkel sak å kombinere disse uttrykkene til å gi: dh SB dh S = gh = dt S H S B gdt Dermed har vi en ferdig separert differensiallikning for den ukjente høyden H(t). En bestemt integrasjon mellom grenser [0,t] og [H 0, H] gir så relasjonen S g B H0 H = t S

28 6 Karet er tomt når H = 0 etter tiden t = T, dvs. når S g S H = = S S g B H0 T T B Talleksempel: En melkekartong på 1 liter har ca. dimensjonene 7cm 7cm 0cm. Vi punkterer kartongen med en standard blyant med diameter ca. 7mm. S = 7cm 7cm = 49 cm = m S B = π (7mm) 4 = m S S B = 17 S H 0.m T = = 17 = 5.6s SB g 9.81m s Før vi begynner med å utvide bruken av Bernoulli s likning kan det være greit å rekapitulere forutsetningene som må være oppfyllt for å kunne bruke den enkleste formen: v p gz konstant + ρ + = (.33) 1) Friksjonsfri strømning. ) Stasjonær bevegelse: v t= 0. 3) g konstant = gk. Vi har dermed valgt positiv z-retning opp. 4) Inkompressibel strøm. Ok hvis Machtallet er mindre enn ) Langs en strømlinje (eller v= 0). 6) Ingen varmeutveksling. Hverken tilført eller fjernet. 7) Ingen W S ( = arbeid utført av pumper eller på turbiner). Figur.31 under illustrerer noen praktiske begrensninger på Bernoulli s likning.33. Gyldig Ikke gyldig Gyldig Gyldig Gyldig, ny konstant Ikke gyldig Figur.31 Gyldig, ny konstant Ikke gyldig

29 63 Korreksjonsfaktor for kinetisk energi α I en reell kanal- eller rør-strømning vil hastighetsfordelingen over et tverrsnitt ikke være konstant, men vil variere som skissert i figur.3. Vi kan dermed ikke uten videre bruke gjennomsnittshastigheten v av i Bernoulli s likning, men ved å midle transporten av kinetisk energi over tverrsnittet kan vi sette opp følgende sammenheng: Kinetisk energi v 1 1 = vd mvav tid ρ α (.4) Vi lager på denne måten en korreksjonsfaktor α slik at vi kan bruke v av likevel. Med inkompressibel strømning er massetransporten gitt ved m =ρv av Laminært: Turbulent: v av v av v r v konstant Figur.3 som innsatt i likning.4 gir oss definisjonen av korreksjonsfaktoren α: mv av α= = 3 vd 1 ρ v 3 av 3 vd Definisjon av korreksjonsfaktor for kinetisk energi (.43) Det er først og fremst for strømning i rør vi har nytte av denne korreksjonsfaktoren. Friksjonsfri rør-strømning: Hastighetsfordelingen er konstant lik v av og likning.43 gir direkte at α = 1. Laminær rør-strømning: Hastighetsfordelingen er parabolsk, og likning.43 gir etter litt algebra at α = 1. Turbulent rør-strømning: Hastighetsfordelingen er tilnærmet konstant lik v av og likning.43 gir at α 1. Verdien vil egentlig variere fra ca til ca. 0.99, men for de fleste tilfeller er verdien 1.0 nøyaktig nok.

30 64 V i kan da sette opp en utvidet versjon av Bernoulli langs en strømlinje fra snitt 1 til snitt : p v av p v av + + gz = + + gz + Tap Gevinst ρ α ρ α 1 Utvidet Bernoulli (.44) der Tap skal dekke energitapet fra den rent mekaniske strømningsenergien mellom 1 og, og Gevinst dekker tilført energi, f.eks. i form av vifter og pumper. Mer om denne likningen kommer i kapittel.10. Se også eksemplene i Geankoplis: Eks..7-4 og.7-5.

31 65.8 Kraftloven Også kalt impuls-bevarelse på tross av at impuls ( = bevegelsesmengde: mv, Momentum ) generelt ikke er bevart, for i følge Newtom s. lov er endring av impuls lik masse gange aksellerasjon. Figur.33 viser en bestemt masse m som endrer hastighet. v etter I vanlig mekanikk kan vi da sette opp Newton s. lov som: m v før m Figur.33 d mv etter før F dt ( ) lim ( mv ) ( mv ) = = t 0 t (.45) I Fluidmekanikk: vi vil ikke følge massen m, vi vil se på et fast kontrollvolum CV med tilhørende kontrollflate CS. Problemet er at loven (.45) er gyldig for en bestemt masse m, ikke sett i forhold til CV der masse er på vei inn og ut. Ser på samme problem som i figur.33, men nå med et fluid som strømmer gjennom et bend: Før: CV v ρ p Etter t: CV Volum ut : v t masse : ρ v t ρ 1 p 1 1 v 1 m Figur.34 Volum inn : v t 1 1 masse : ρ v t Ved situasjonen Før spikrer vi fast kontrollvolumet CV. Massen m som akkurat da er inne i CV er den massen som den fysiske loven (Newton s.lov) er gyldig for. Etter en (liten) tid t har noe masse med hastighet v 1 kommet inn i CV, og noe masse med hastighet v har forsvunnet ut av CV. Sett i forhold til kontrollvolumet CV: Før: ( ) Før Etter: ( mv) +ρ1v11 t v1 ρv t v mv Etter I fluksleddene (inn- og utstrømningen) av bevegelsesmengde kan vi sette inn volumstrømmen q: mv +ρq t v ρ q t v Etter: ( ) 1 1 Etter

32 66 Da blir Newton s.lov, likning.45, slik: Etter Før ( mv) ( mv) Etter Før = + ρ 1 qv1 ρ qv t t Endringavbev.mengde inne i CV F som vir ker på massen m ( ρqv) ( ρqv) 1 I første ledd inngår all bevegelsesmengde inne i CV = F = ρvdv ρ qv + ρqv Inn t CV ( ) ( ) Ut CV ρvdv. Isolerer summen av kreftene: (.46) Vanligvis vil problemene vi ser på i kurset her være stasjonære, dvs. tidsuavhengige: F = ( ρ qv) + ( ρqv) Inn Ut Kraftloven, enkel versjon. (.47) Likning.47 forutsetter i tillegg til stasjonær strømning at hastighetene inn og ut kan regnes som konstant over inn- og utløp. Vi har også forutsatt at kontrollvolumet CV ligger fast. Den mer generelle formen tar høyde for at hastigheten inn og ut gjennom kontrollflaten CS varierer: F= ρ vdv + ρv( v n) d t CV M (.48) CS Kraftloven. I fluksleddet (flateintegralet over CS) er normalvektoren n er definert med positiv retning ut av kontrollvolumet CV slik at fortegnet blir riktig for inn- og utstrømning. Summen av kreftene omfatter: Tyngdekraft: Vekten av fluidet inne i CV mg Generellt: mg = ρdv g CV F p n d Netto trykkraft: Generellt: = ( ) Trykkrefter langs hele overflaten CS Friksjonskraft: Friksjonskrefter langs hele overflaten CS Generellt: τ Kontaktkraft: Generellt: F K Tilstede hvis kontrollflaten CS går gjennom noe fast p 1 1 p τ 1 1 F P M CS = τd