PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering
|
|
- Ingvild Nygaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering Lars Sydnes, NITH 22.januar 2014
2 I. Rekursjon
3 commons.wikimedia.org
4 Rekursjon i naturen En gren er et tre som sitter fast på et tre. Følgelig er et tre sammensatt av trær. Hva består blomkål av? Små blomkål som sitter fast på en sentral stamme. Vi kan lese selvrefererende struktur inn i disse fenomenene. REKURSJON
5 Rekursjon i matematikken Potenser: 2 n = 2 2 n 1 i.e. pow(2, n) = 2 pow(2, n 1) Summer: i.e. n i = n + i=1 n 1 i=1 sumints(n) = n + sumints(n 1) i
6 Algoritmisk rekursjon: Hvordan lage blomkål? public Blomk(double size) { Stamme stamme = new Stamme(); while ( stamme.hasnextfeste()) { stamme.nextfeste().add(new Blomk(size/3)); OBS: Hva er galt her?!
7 Rekursiv Noe som refererer til seg selv Rekursiv funksjon = Funksjon som kaller på seg selv. funksjon() { if stoppbetingelse { /*direkte strategi*/ else { /*rekursiv strategi*/ funksjon() Mønster: (i) Stoppbetingelse basis-tilfellet (base-case) (ii) Ellers rekursiv løsning.
8 Indirekte rekursjon public... funksjon1() { if (stoppbetingelse()) { return enkeltsvar(); else { return funksjon2(); private... funksjon2() { return bearbeid(funksjon1()); Dette kalles indirekte rekursjon. Det er ingen ting som forhindrer oss fra å ha mange lag av indirekte rekursjon.
9 Eksempel Backtracking SubsetSum.java Problem: Se på en gitt liste med tall, la oss si n 0, n 1,..., n k = 1, 43, 2, 5, 2, 3, 67, 5, 3, 6, 8 Velge en delmengde med gitt sum S, la oss si S = 13. Her har vi løsningen n 0 + n 2 + n 3 + n 7 = = 13 = S
10 Rekursiv løsning: (i) Prøv først å bygge en løsning med det første elementet n 0 (ii) Prøv å finne en delmengde av n 1,..., n k med sum S n 0 Det lykkes: Vi har en løsning! Det mislykkes: Prøv å finne en delmengde av n 1,..., n k med sum S. Dette kalles Backtracking TEGNE FIGUR PÅ TAVLEN: VALGTRE. GJØRE OVERSLAG OVER KJØRETID.
11 II. Rekursjon, stakker, iterasjon
12 Eksempel int fak(int n) { // rekursiv variant if (n == 0) {//stoppbetingelse return 1; else { // Rekursiv strategi return n*fak(n-1); fak(n) = (n 1) n = fak(n 1) n
13 Organisering av rekursive kall public static void main(string[] args){ int k = fak(4); return 24 return 6 return 2 return 1 main fak fak fak fak fak(4) fak(3) fak(2) fak(1) Argumenter og lokale variabler lagres i programmets funksjonskallstakk. (Call stack) Rekursive funksjonskall fører med seg implisitt strukturering og ressursbruk.
14 Hva er en stakk En stakk er en sist inn, først ut -kø. Papirer i en bunke. Funksjonskallstakken. De første skal bli de siste
15 Iterasjon rekursjon public static int fak(int n){ if (n <= 1){ return 1; else { return n*fak(n-1); public static int fak(n){ int output = 1; while (n > 1){ output *= n; n--; return output;
16 Oversikt Rekursivt kall Stoppbetingelse Rekursjon vs iterasjon Rekursjon kan iblant gi nærmest magiske løsninger. Det kan være krevende å estimere ressursbruken. Problemer som er av rekursiv natur: Web-crawling. Løsningsstrategier som kaller på rekursjon: Backtracking.
17 III. Mer om kjøretidsberegninger
18 Eksempel: Fakultet int fak(int n) { if (n <=1) { return 1; else { return n*fak(n-1); Hvordan estimere ressursbruken? Hva er det lurt å telle? Antall funksjonskall? Antall multiplikasjoner?
19 Eksempel: Fakultet Antall funksjonskall i beregning av fak(n): F n (Name and conquer) int fak(int n) { // F_n kall if (n <=1) { return 1; // ingen kall else { return n*fak(n-1); // F_(n-1) kall (i) F 1 = 1. Vi teller her kun det opprinnelige kallet fak(1). (ii) F n+1 = F n + 1. Følgelig er F n = n Konklusjon: Kall av fak(n) medfører n funksjonskall.
20 Eksempel: TowersOfHanoi.java Problem: Flytt tårnet fra venstre til høyre pinne. Se Applet Regeler: Én brikke om gangen. Store brikker får ikke ligge oppå små. Løsning for to brikker: 0 top bottom 1 bottom top 2 top bottom 3 top bottom
21 Eksempel: TowersOfHanoi.java 0 1 top bottom bottom top 2 top bottom 3 top bottom Rekursiv tankegang: (i) Flytt de n 1 øverste brikkene til midten. (ii) Flytt den nederste brikken. (iii) Flytt de n 1 øverste brikkene til høyre.
22 Eksempel: TowersOfHanoi.java M n = Antall trekk i tilfellet med n brikker. (Name and conquer) Rekursivt steg:... movetower(n-1,...); // M_(n-1) trekk moveonedisk(...); // 1 trekk movetower(n-1...); // M_(n-1) trekk... M n = 2M n Basis-steg: if (n<1) { /* do nothing*/ M 0 = 0
23 Regning: Induksjonsbevis Innledende undersøkelse: M n = 2M n 1 + 1, M 0 = 0; M 1 = 2 M 0 +1 = = 1 M 2 = = 3, M 3 = = 7 M 4 = = 15, M 5 = = 31 Hypotese: H n : M n = 2 n 1. (H n er sann for n = 1, 2, 3, 4, 5.) Kan H n være sann for alle n? Anta at H n er sann for alle n < k. Da er M k = 2M k = 2 (2 k 1 1) + 1 = 2 2 k = 2 k 1. Dette medfører at H n stemmer for n = k! Hurra! Vi vet fra før at hypotesen stemmer for n = 1, 2, 3, 4, 5. Men dette må bety at den stemmer også for n = 6. På tilsvarende måte ser vi at H n er sann for alle n.
24 Regning: Et lurt knep M n = 2M n 1 + 1, M 0 = 0; La U n = M n + 1. Da er U n = M n +1 = 2M n = 2(M n 1 +1) = 2U n 1, U 0 = 1 Dette medfører at U 0 = 1, U 1 = 2, U 2 = 2 2,..., U k = 2 k,..., Altså: M n = U n 1 = 2 n 1.
25 Eksempel: TowersOfHanoi.java Lukket formel: M n = 2 n 1 Data fra kjøring: Antall brikker: Antall trekk:
26 Aritmetiske rekker S n = A + (A + B) + (A + 2B) + + (A + nb) Knep: Paring av ledd med totalsum (2A + nb) 2S n =S n + S n =(A + (A + B) + (A + 2B) + + (A + nb)) Dette betyr: + (A + (A + B) + + (A + (n 1)B) + (A + nb)) =(A + (A + nb) + (A + B) + (A + (n 1)B) + + (A + nb) + A) =((2A + nb) + (2A + nb) + + (2A + nb)) =(n + 1)(2A + nb) S n = 1 (n + 1)(2A + nb) 2
27 Aritmetiske rekker Se på summen Her er A = 0 og B = 1. Vi får S n = n S n = 1 n(n + 1) 2 for(int i = 0 ; i < n; i ++){ function(i); // O(i) Dette betyr at det finnes en konstant K slik at kjøretiden til funksjon(i) er mindre enn K i. Total kjøretid blir da: T n = K 0 + K 1 + K K n = 1 Kn(n + 1). 2
28 Geometriske rekker Knep: Det vil si: altså: S n = A + AB + AB 2 + AB n På de ene side: S n+1 = S n + AB n+1 På den annen side: S n+1 = A + BS n S n + AB n+1 = A + BS n, S n = A(1 Bn+1 ) 1 B Spesialtilfelle: A = 1: 1 + B + B 2 + B n = 1 Bn+1 1 B
29 Utnyttelse: Skarpere estimater for(int i = 1; i < n; i*=3){ function(i); // O(i) Her går i gjenom verdiene 1, 3,..., 3 k, der n 3 k < 3n. Anta at kjøretiden for funksjon(i) er mindre enn K i. Da er total kjøretid lik t(n) = K + 3 K k K = K(1 3k+1 ) 1 3 = 3K 2 3k K 2. Siden 3 k < 3n, medfører dette at t(n) < 9K 2 n K 2, altså at t(n) er av orden O(n).
30 Utnyttelse: Skarpere estimater Dette gir estimatet for(int i = 1; i < n; i*=3){ // O(log(n)) function(i); // O(i) // O(n) Tommelfingerregelestimatet: for(int i = 1; i < n; i*=3){ // O(log(n)) function(i); // O(n) // O(n*log(n)) Dette estimatet gir en gyldig øvre grense for worst case-kjøretid: Kjøretiden er ikke værre enn O(n log n). MEN, det finnes et skarpere estimat: O(n).
31 Utnyttelse: Skarpere estimater? for(int i = 1; i < n; i*=3){ function(i); // O(log(i)) Her går i gjenom verdiene 1, 3,..., 3 k, der n 3 k < 3n. Anta at kjøretiden for funksjon(i) er mindre enn M log i. Da er total kjøretid lik t(n) = M + M log(3) + M log(3 2 ) + + M log(3 k ) = M + M log 3 + 2M log km log(3) = M + M log 3( k) = M + M log 3 1 k(k + 1) 2 3 k < 3n medfører at k < log n log < M log n for en eller annen M. t(n) < M log M log n(m log n + 1) < M log(n) 2
32 Utnyttelse: Skarpere estimater? Dette gir: for(int i = 1; i < n; i*=3){ // O(log(n)) function(i); // O(log(i)) // O(log(n)^2) Tommelfingerregelestimatet er : for(int i = 1; i < n; i*=3){ // O(log(n)) function(i); // O(log(n)) // O(log(n)^2)
33 Skarpere estimater II for(int i = 1; i < n; i*=a){ // a > 1 function(i); // O(i^m) Anta kjøretiden for function(i), t(i) < Mi m. i gjennomløper verdiene 1, a, a 2,..., a k, der a k < an. Total kjøretid T(n) = t(1) + t(a) + + t(a k ) = M1 m + Ma m + M(a 2 ) m + + M(a k ) m = M + Ma m + M(a m ) M(a m ) k = M(1 (am ) k+1 ) 1 a m < K(a m ) k = K(a k ) m < Ka m n m Dette betyr at T(n) vokser med orden O(n m ).
34 Skarpere estimater II for(int i = 1; i < n; i*=a){ function(i); // O(i^m) // O(n^m) Tommelfingerregelestimat: for(int i = 1; i < n; i*=a){ // O(log(n)) function(i); // O(n^m) // O(n^m*log(n))
35 Se it s learning. Oppgaver
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2 Lars Sydnes, NITH 15. januar 2014 I. Forrige gang Praktisk eksempel: Live-koding II. Innlevering Innlevering 1 2.februar Offentliggjøring: 22.januar Innhold:
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 3. Lars Sydnes 29. oktober 2014
PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 3 Lars Sydnes 29. oktober 2014 Plan Måling av kjøretid (delvis repetisjon) Matematisk analyse av kjøretid Presentasjon av innlevering 1 I Innlevering 1 Innlevering
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerRekursjon. (Big Java kapittel 13) Fra Urban dictionary: recursion see recursion. IN1010 uke 8 våren Dag Langmyhr
Fakultet Rekursjon Fibonacci Sjakk Hanois tårn Lister Oppsummering Rekursjon (Big Java kapittel 13) Fra Urban dictionary: recursion see recursion. n! = n x n-1 x n-2 x... x 2 x 1 Å beregne fakultet Den
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerRekursjon. (Big Java kapittel 13) Fra Urban dictionary: recursion see recursion. IN1010 uke 8 våren Dag Langmyhr
Fakultet Bredde Rekursjon Fibonacci Sjakk Hanois tårn Lister Oppsummering Rekursjon (Big Java kapittel 13) Fra Urban dictionary: recursion see recursion. n! = n x n-1 x n-2 x... x 2 x 1 Å beregne fakultet
DetaljerPG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 1. Frist: 2.februar kl 21.00
PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 1 Frist: 2.februar kl 21.00 Utdelt materiale: Alle filer som nevnes er inneholdt i zip-filen innlevering1.zip. Innlevering: Besvarelsen skal være i form
DetaljerDivide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015
Divide-and-Conquer Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Kapittel 4 Maximum sub-array problemet Matrix multiplikasjon Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av substitusjonsmetoden Divide-and-Conquer
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer IAI 21899
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 30. november 2000, kl. 09.00-14.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1, Binære søketrær Totalt
DetaljerLO118D Forelesning 2 (DM)
LO118D Forelesning 2 (DM) Kjøretidsanalyse, matematisk induksjon, rekursjon 22.08.2007 1 Kjøretidsanalyse 2 Matematisk induksjon 3 Rekursjon Kjøretidsanalyse Eksempel Finne antall kombinasjoner med minst
DetaljerRekursjon som programmeringsteknikk
Rekursjon Kap.7 Sist oppdatert 15.02.10 Rekursjon som programmeringsteknikk 10-1 Rekursiv tenkning Rekursjon er en programmeringsteknikk der en metode kan kalle seg selv for å løse problemet. En rekursiv
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab: Sortering og søking Anders Christensen (anders@idi.ntnu.no) Rune Sætre (satre@idi.ntnu.no) TDT4105 IT Grunnkurs 2 Pensum Matlab-boka: 12.3 og 12.5 Stoffet
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 5 Implementasjon av lister
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 5 Implementasjon av lister Lars Sydnes, NITH 5. februar 2014 I. Implementasjoner Tabell-implementasjon av Stakk Tabellen er den lettest tilgjengelige datastrukturen
DetaljerAlgoritmeanalyse. (og litt om datastrukturer)
Algoritmeanalyse (og litt om datastrukturer) Datastrukturer definisjon En datastruktur er den måten en samling data er organisert på. Datastrukturen kan være ordnet (sortert på en eller annen måte) eller
DetaljerAlgoritmer - definisjon
Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede
DetaljerSøking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen
Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Indeksering av
DetaljerSpenntrær, oppsummert: Kruskal: Traverserer ikke. Plukker kanter i hytt og vær Prim: Legger alltid til den noden som er nærmest treet
Spenntrær, oppsummert: Kruskal: Traverserer ikke. Plukker kanter i hytt og vær Prim: Legger alltid til den noden som er nærmest treet 1 A B D C Prim: Kruskal: AB, BD, DC DC, AB, BD 2 0 + 1 + + n 1; antall
DetaljerNORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE PG4200 Algoritmer og datastrukturer
Oppgavesettet består av 7 (syv) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE PG4200 Algoritmer og datastrukturer Tillatte hjelpemidler: Ingen Side av 7 Varighet: 3 timer Dato:.august 203 Fagansvarlig:
DetaljerTuringmaskiner.
Turingmaskiner http://www.youtube.com/watch?v=e3kelemwfhy http://www.youtube.com/watch?v=cyw2ewoo6c4 Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen
DetaljerNITH PG4200 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 4.juni 2013
NITH PG4200 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 4.juni 20 ette løsningsforslaget er til tider mer detaljert enn det man vil forvente av en eksamensbesvarelse. et er altså ikke et eksempel
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i PG4200 Algoritmer og datastrukturer 10. desember 2014
Løsningsforslag Dette er et utbygd løsningsforslag. D.v.s at det kan forekomme feil og at løsningene er mer omfattende enn det som kreves av studentene på eksamen. Oppgavesettet består av 5 (fem) sider.
DetaljerUkeoppgaver INF1000: 12. feb 16. feb
Ukeoppgaver INF1000: 12. feb 16. feb Tema: Øve på programmering med forgreninger, løkker og arrayer. Klasseroms/teoritimer: 1. Oppgave 2 og 4 i kapittel 4 i læreboka. 2. En blokk er en samling programsetninger
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerOppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver
Oppgaver fra forelesningene MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerAlgoritmer - definisjon
Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme* er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede
DetaljerRekursjon. Binærsøk. Hanois tårn.
Rekursjon Binærsøk. Hanois tårn. Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering «orden» i dataene vi blir fort lei av å lete poleksempel internett «alt» er søking og sortering alternativer til
DetaljerRekursjon. Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet
Rekursjon. Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet Forstå spillet Bestemme/skjønne hvordan spillet løses Lage en plan for hva programmet skal gjøre (med
DetaljerIntroduksjon til Algoritmeanalyse
Introduksjon til Algoritmeanalyse 26. August, 2019 Institutt for Informatikk 1 Hvordan skal vi tenke i IN2010? Effektive løsninger Hvordan skalérer problemet og løsningen? 2 Terminologi Betegnelse Problem
DetaljerINF1000 oppgaver til uke 38 (17 sep 23 sep)
INF1000 oppgaver til uke 38 (17 sep 23 sep) Formål: Øve på programmering med forgreninger, løkker og arrayer. Teoritimer (plenumsøvinger): 1. Oppgave 4 og 6 i kapittel 4 i læreboka. 2. En blokk er en samling
DetaljerNinety-nine bottles. Femte forelesning. I dagens forelesning: Mest matematiske verktøy. Først: Asymptotisk notasjon. Så: Rekurrensligninger.
I dagens forelesning: Mest matematiske verktøy. Først: Asymptotisk notasjon. Så: Rekurrensligninger. Hva slags kjøretid har denne sangen? Hvordan kan du formulere det som en rekurrensligning? Ninety-nine
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10. Lars Sydnes 21. november 2014
PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10 Lars Sydnes 21. november 2014 I Grafer Grafisk fremstilling av en graf D A B C Ikke-rettet graf Grafisk fremstilling av en graf D A B C Rettet graf Grafisk
DetaljerEt detaljert induksjonsbevis
Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerEKSAMEN med løsningsforslag
EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:
DetaljerEn implementasjon av binærtre. Dagens tema. Klassestruktur hovedstruktur abstract class BTnode {}
En implementasjon av binærtre Dagens tema Eksempel på binærtreimplementasjon Rekursjon: Tårnet i Hanoi Søking Lineær søking Klassestruktur hovedstruktur abstract class { class Person extends { class Binaertre
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerMED TIDESTIMATER Løsningsforslag
Oppgavesettet består av 12 (mange) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 12 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 6. august 2014 Fagansvarlig:
DetaljerINF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel )
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) PRAKTISK INFORMASJON 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ragnhild Kobro Runde (ragnhilk@ifi.uio.no)
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 12
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 12 Lars Sydnes, NITH 30. april 2014 I. SIST: NOTAT OM HARDE PROBLEMER INNHOLD Håndterlige problemer: Problemer med kjente algoritmer med polynomisk kjøretid
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Løsningsforslag
Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 30. november 2010 Oppgave 1A Et turneringstre for en utslagsturnering med n deltagere blir et komplett binærtre med 2n 1 noder. I vårt tilfelle får
Detaljer"behrozm" Oppsummering - programskisse for traversering av en graf (dybde først) Forelesning i INF februar 2009
Rekursiv programmering BTeksempel Datastruktur I klassen Persontre (rotperson==) Rekursjon Noen oppgaver/problemer er rekursive «av natur» Eksempel på en rekursiv definisjon Fakultetsfunksjonen
DetaljerGenerelle trær BINÆRTRÆR. Binærtrær
BINÆRTRÆR Kort repetisjon Generelle trær Binærtrær Implementasjon Traversering Binære søketrær Definisjon Søking, innsetting og sletting Gjennomsnitts-analyse Eksempel: Ibsens skuespill Generelle trær
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 Lars Sydnes, NITH 9. april 2014 NOE Å STUSSE PÅ? Quadratic probing i Hash-tabell: ( ) 2 i + 1 p = p + ( 1) i+1 2 Underforstått forutsetning: Heltallsaritmetikk
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerNorges Informasjonsteknologiske Høgskole
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 6 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 4. juni 2014 Fagansvarlig:
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
LØSNINGSFORSLAG - KOMMENTARER til SENSOR N.B. RETTELSE 23.05 og 26.05 pkt. e) :UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : IN 5 Eksamensdag : Lørdag 20 mai, 2000 Tillatte
DetaljerOppgave 1. Sekvenser (20%)
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet I 20 - Algoritmer, datastrukturer og programmering Mandag 2.Mai 200, kl. 09-5. Ingen hjelpemidler tillatt. Oppgavesettet
DetaljerPlenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3).
Plenumsregning 9 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3). a) Ved å bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skritt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Prøveeksamen i : INF2440 Praktisk parallell programmering Prøveeksamensdag : 26. mai 2014 Tidspunkter: 11.00 Utdeling av prøveeksamen 15:15
DetaljerBinære søketrær. En ordnet datastruktur med raske oppslag. Sigmund Hansen
Binære søketrær En ordnet datastruktur med raske oppslag Sigmund Hansen Lister og trær Rekke (array): 1 2 3 4 Lenket liste (dobbelt-lenket): 1 2 3 4 Binært søketre: 3 1 4 2 Binære
DetaljerHva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema
va er en algoritme? Vanlig sammenligning: Oppskrift. nput lgoritme NF1020 - ØSTEN 2006 Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: ragnarn@ifi.uio.no Output Knuth : tillegg til å være et endelig sett med regler
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerOppgave 1 LØSNINGSFORSLAG. Eksamen i INF desember Betrakt følgende vektede, urettede graf:
INF100 Algoritmer og datastrukturer INF100 Algoritmer og datastrukturer Oppgave 1 LØSNINGSFORSLAG Betrakt følgende vektede, urettede graf: V 1 V Eksamen i INF100 1. desember 004 V V 4 V 4 V V Ragnar Normann
Detaljeralternativer til sortering og søking binære trær søketrær Ikke-rekursiv algoritme som løser Hanois tårn med n plater
Dagens temaer Sortering: 4 metoder Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering Sortering når objektene som skal sorteres er i et array 1. Sorterering ved bruk av binærtre som «mellomlager»
DetaljerBinære trær: Noen algoritmer og anvendelser
Binære trær: Noen algoritmer og anvendelser Algoritmer / anvendelser: Søking i usortert binært tre Telling av antall noder og nivåer i treet Traversering av binære trær Binære uttrykkstrær Kunstig intelligens(?):
DetaljerINF1010. Rekursjon En rekursiv definisjon av rekursjon, slik det kunne stå i en ordbok: Introduksjon til Rekursiv programmering
Introduksjon til Rekursiv programmering To iterate is human; to recurse, divine. L. Peter Deutsch, Robert Heller Rekursjon En rekursiv definisjon av rekursjon, slik det kunne stå i en ordbok: rekursjon
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
DetaljerDagens temaer. Sortering: 4 metoder Søking: binærsøk Rekursjon: Hanois tårn
Dagens temaer Sortering: 4 metoder Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering Sortering når objektene som skal sorteres er i et array 1. Sorterering ved bruk av binærtre som «mellomlager»
DetaljerNorges Informasjonsteknologiske Høgskole
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 6 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 6. august 2014 Fagansvarlig:
DetaljerINF 4130 Oppgavesett 3, 20/ m/løsningsforslag
INF 4130 Oppgavesett 3, 20/09-2011 m/løsningsforslag Oppgave 1 1.1 Løs oppgave 20.19 (B&P), (a) er vist på forelesningen og kan vel bare repeteres, men løs (b). (a) er altså løst på forelesningen. (b)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Løsningsforslag
1 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 29. november 2011 Oppgave 1A Verdien til variabelen m blir lik posisjonen til den «minste»verdien i tabellen, dvs. bokstaven A, og det blir 6. Oppgave
DetaljerEKSAMEN. Algoritmer og datastrukturer. Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv vedlegg og denne forsiden.
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2008 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 4 A4-sider (2 ark) med valgfritt innhold Kalkulator Faglærer: Mari-Ann
DetaljerØvingsforelesning 3: Splitt og hersk. Daniel Solberg
Øvingsforelesning 3: Splitt og hersk Daniel Solberg Plan for dagen Vi går raskt gjennom øving 2 Splitt og hersk Algoritmer: Mergesort Quicksort Binærsøk Rekurrenser, masse rekurrenser 2 Splitt og hersk
DetaljerStack. En enkel, lineær datastruktur
Stack En enkel, lineær datastruktur Hva er en stack? En datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerKapittel 12: Rekursjon
Kapittel 12: Rekursjon Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk Forlag,
DetaljerKjøretidsanalyse. Hogne Jørgensen
Kjøretidsanalyse Hogne Jørgensen Program Presentasjon/tips til Øving 5 Kompleksitetsanalyse Kahoot Rekurrensligninger Kahoot 2 Øving 5 Veibygging i Ogligogo Finne dyreste kant i minimalt spenntre Prim
DetaljerNORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE PG4200 Algoritmer og datastrukturer
Oppgavesettet består av 8 (åtte) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE PG4200 Algoritmer og datastrukturer Tillatte hjelpemidler: Ingen Side 1 av 8 Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2013 Fagansvarlig:
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.1
Delkapittel 9.1 Generelt om balanserte trær Side 1 av 13 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.1 9.1 Generelt om balanserte trær 9.1.1 Hva er et balansert tre? Begrepene balansert og
DetaljerOppgave 1. Løsningsforslag til eksamensoppgave. ITF20006 Algoritmer og datastrukturer Postorden traversering:
Løsningsforslag til eksamensoppgave ITF20006 Algoritmer og datastrukturer 22.05.2007 Oppgave 1 A. Postorden traversering: 1-16-11-2-35-61-81-47-30 B. velformet = sann ; Stack s = new Stack(); while(
DetaljerEksempel: Uttrykkstrær I uttrykkstrær inneholder bladnodene operander (konstanter, variable,... ), mens de interne nodene inneholder operatorer.
TRÆR Generelle trær Dagens plan: Kort repetisjon Generelle trær Binærtrær Implementasjon Traversering Binære søketrær Definisjon Søking, innsetting og sletting Gjennomsnitts-analyse (!) Eksempel: Ibsens
DetaljerINF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær:
TRÆR Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: Generelle trær (kap. 4.1) Binærtrær (kap. 4.2) Binære søketrær (kap. 4.3) Den siste typen trær vi skal behandle, B-trær (kap. 4.7) kommer
DetaljerBinære søketrær. Et notat for INF1010 Stein Michael Storleer 16. mai 2013
Binære søketrær Et notat for INF Stein Michael Storleer 6. mai 3 Dette notatet er nyskrevet og inneholder sikkert feil. Disse vil bli fortløpende rettet og datoen over blir oppdatert samtidig. Hvis du
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8
Delkapittel 1.8 Algoritmeanalyse Side 1 av 12 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 1.8 Algoritmeanalyse 1.8.1 En algoritmes arbeidsmengde I Delkapittel 1.1 ble det definert og diskutert
DetaljerDivide-and-Conquer II
Divide-and-Conquer II Lars Vidar Magnusson 1712014 Kapittel 4 Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av rekursjonstrær Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av masterteoremet Løse
DetaljerEKSAMEN. Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Kalkulator Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerNITH PG4200 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 4.juni 2013
NITH PG00 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen.juni 0 Dette løsningsforslaget er til tider mer detaljert enn det man vil forvente av en eksamensbesvarelse. Det er altså ikke et eksempel
DetaljerLøsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006
Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.03.14 Den tredje obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 9 til 13, som dreier seg om
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO BOKMÅL Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : Eksamensdag : Torsdag 2. desember 2004 Tid for eksamen : 09.00 12.00 Oppgavesettet er på : Vedlegg : Tillatte hjelpemidler
DetaljerINF1010 Binære søketrær ++
INF1010 Binære søketrær ++ Programeksempler med insetting, gjenfinning av noder i et binært søketre samt eksempler på hvordan lage en liste av et binærtre. Hva må du kunne om binære søketrær i INF1010
DetaljerRepetisjon: Statiske språk uten rekursive metoder (C1 og C2) Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7)
Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri.6,.7) Repetisjon Språk med rekursjon (C3) og blokker (C4) Statisk link Dynamisk allokering (C5) Parameteroverføring 1/5 Repetisjon: Statiske språk uten rekursive
DetaljerEKSAMEN. Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerDagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7)
Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7) Repetisjon Språk med rekursjon (C3) og blokker (C4) Statisk link Dynamisk allokering (C5) Parameteroverføring 1/25 Forelesning 11 5.11.2003 Repetisjon:
DetaljerINF1010 Sortering. Marit Nybakken 1. mars 2004
INF1010 Sortering Marit Nybakken marnybak@ifi.uio.no 1. mars 2004 Dette dokumentet skal tas med en klype salt og forfatter sier fra seg alt ansvar. Dere bør ikke bruke definisjonene i dette dokumentet
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag. med forbehold om bugs :-)
1 EKSAMEN Løsningsforslag med forbehold om bugs :-) Emnekode: ITF20006 000 Dato: 20. mai 2011 Emne: Algoritmer og datastrukturer Eksamenstid: 09:00 til 13:00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater
DetaljerRekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
Detaljeri=0 Repetisjon: arrayer Forelesning inf Java 4 Repetisjon: nesting av løkker Repetisjon: nesting av løkker 0*0 0*2 0*3 0*1 0*4
Forelesning inf - Java 4 Repetisjon: arrayer Tema: Løkker Arrayer Metoder Ole Christian Lingjærde,. september Deklarere og opprette array - eksempler: int[] a = new int[]; String[] a = new String[]; I
DetaljerForelesning inf Java 4
Forelesning inf1000 - Java 4 Tema: Løkker Arrayer Metoder Ole Christian Lingjærde, 12. september 2012 Ole Chr. Lingjærde Institutt for informatikk, 29. august 2012 1 Repetisjon: arrayer Deklarere og opprette
DetaljerInnføring i matematisk analyse av algoritmer
DUMMY Innføring i matematisk analyse av algoritmer Lars Sydnes September 2014 Dette er ment som et supplement til læreboka Algorithms, 4.utgave av Sedgewick & Wayne, heretter omtalt som læreboka. Etter
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
DetaljerOm Kurset og Analyse av Algoritmer
Om Kurset og Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 8.1.2014 Praktisk informasjon om kurset Hva er en algoritme? (kapittel 1) Hvordan analysere en algoritme? (kapittel 2) Praktisk Informasjon Introduction
DetaljerEn algoritme for permutasjonsgenerering
Innledning La oss tenke oss at vi har en grunnskole-klasse på 25 elever der enkelte av elever er uvenner med hverandre. Hvis uvenner sitter nær hverandre blir det bråk og slåssing. Er det mulig å plassere
DetaljerArgumenter fra kommandolinjen
Argumenter fra kommandolinjen Denne veiledningen er laget for å vise hvordan man kan overføre argumenter fra kommandolinjen til et program. Hvordan transportere data fra en kommandolinje slik at dataene
DetaljerNorges Informasjonsteknologiske Høgskole
Oppgavesettet består av 13 (mange) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 13 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 4. juni 2014 Fagansvarlig:
DetaljerGjøre noe i hele treet = kalle på samme metode i alle objekten. Java datastruktur Klassestruktur
Godkjent oblig 1? Les e-post til din UiO-adresse Svar på e-post fra lablærer Ingen godkjenning før avholdt møte med lablærer Godkjentlistene brukes ikke til å informere om status for obligene Ta vare på
Detaljer