Spenninger. Irgens: utdrag fra kap. 12, 13 og 17. Hibbeler: Kap 8, 9 og 11

Transkript

1 a HN Teknologisk avd. RA 4..3 Side av Senninger rgens: utdrag fra ka., 3 og 7. Hibbeler: Ka 8, 9 og nnledning snitt A L V V M A da F F da a Vi betrakter et legeme L som er belastet med krefter, trykk (fordelt last) og moment. Så ser vi for oss snittkreftene N, V, og M i et snitt A. Vi tenker oss at senninger i dette snittet forsøkes beregnet i så liten flate som mulig. Når flaten blir liten, blir armen a i dreiemomentet M Fa liten og a M. Momentvirkningen har altså ikke noe lokalt bidrag (men den fremkommer når lokale krefter summeres til kraftar over hele snittflaten). Vi står igjen med den samlede virkningen av kreftene N og V, som kaller vi resultanten K. Resultanten gir senningen t som er en kombinasjon av normalsenning og skjærsenning. Matematisk vil vi uttrykke senningen slik: K t lim A A Å gjennomføre denne beregningen i raksis er komlisert i alle tilfeller som ikke er helt enkle. Her er en osummering av noen rinsier for senninger og senningstilstander: t Senninger beregnes som en grenseverdi av krefter i en artikkel (et lite stykke material) når dennes størrelse går mot null. Senninger knyttes til artikler i snittlan, som vi tenker oss lagt gjennom konstruksjonen Senninger generelt er kombinasjoner av normalsenninger ( ) og skjærsenninger ( ) Senninger som integreres over flaten gir krefter Hvis vi har samme senning i alle artikler, sier vi at vi har homogen senningstilstand. Ved homogen senningstilstand får vi krefter ved å gange senning med areal (særtilfelle av unktet over). Dersom alle senninger virker i ett lan, kaller vi det lan senningstilstand. Vi har som oftest lan senningstilstand i later og tynnvegget gods (senninger ut av flaten er neglisjerbare)

2 Side av Senninger i sesielle konstruksjonsdeler N Aksialstaven aksialstaven løer all kraft i stavens retning. Vi kan anta at kraften fordeler seg jevnt over hele tverrsnittet. Aksialstaven er et eksemel å en konstruksjonsdel med homogen senningstilstand. Senningen i tverrsnittet kalles aksialsenningen og beregnet helt enkelt: N, der N er stavkraften og A er tverrsnittsarealet. A Vi legger så et snitt å skrå for å studere virkningen av skråvinkel og søker størrelsene å og uttrykt ved og vinkelen. Vi tar ut et snitt-element med et rett og ett skrått snitt av en aksialstav med tykkelse h. Den generelle skråsnitt-senningen t virker å arealet A' med (skrå)bredde b og tykkelse h. N t A ' b bcos t h bsin F : t hb hbcos t cos Likevekt for krefter gir x t, og virker å samme areal. Vi kan derfor dekomonere t: t cos cos t sin sin cos sin (formel. og.3) Den maksimale skjærsenningen fås ved sin (45) og den er max. 4 Den maksimale normalsenningen er selvsagt, i tverrsnittet,. Denne senningen betegnes en hovedsenning fordi den otrer i et snitt (snitt-vinkel) uten skjærsenning, sin sin( ). Ved 9 er. Dette er også en hovedsenning, da (9 ).

3 Side 3 av Vi ser at senningene avhenger av snitt-vinkelen. Snitt-vinkelen regnes i forhold til et valgt koordinatsystem. Hovedsenningene blir de samme ved en gitt belastning uansett hvilket koordinatsystem senningene beregnes i. Hovedsenningene benyttes i bruddkriterier, som benyttes for å sjekke om en konstruksjon med komlisert belastning er trygg. For en aksialstav av srøtt material (material som ikke kan flyte) er bruddkriteriet helt enkelt: -tillatt strekk-brudd Når det ostår lastisk flyt i et metall under strekklast, skyldes det hovedsakelig at max forårsaker glidning av materialartikler i et lan som har en vinkel å 45 med strekkretningen. For en aksialstav i duktilt material er bruddkriteriet -tillatt flyt max-tillatt flyt Eksemel En aksialstav har tverrsnitt 8 cm og er belastet med aksialkraft 3 kn. 3 N 3 N 6 Aksialsenningen er 7 Pa 7 MPa A 8 m Den maksimale skjærsenningen er 7 53,6 MPa max en snitt-vinkel å 3 (snittet står 6 å stavens akse) er normalsenningen cos 7 cos 3 8,3 MPa Skjærsenningen i dette snittet er sin 7 sin 3 46,4 MPa Senningstyer og tøyningstyer Krefter som virker å en struktur gir senninger i materialet, men vi kan ikke se senningene bare registrere hendelser, f.eks. et brudd. Tøyninger (Strain) kan ses, f.eks. å et stykke gummi. konstruksjonsmaterialer er tøyningene små, men kan fortsatt måles, f.eks. med strekklaer (Strain Gauge).

4 Side 4 av Det finnes to tyer tøyninger: Lengdetøyninger, angitt som del relative forlengelsen (omtalt dl tidligere), og skjærtøyninger (vinkeltøyninger), angitt med vinkelen målt i radianer. l dl l l dl Lendetøyning og skjærtøyning Når belastningen skjer å en enkel måte, er det en enkel sammenheng mellom tøyning og senning: Lengdetøyning og normalsenning E, rent strekk eller trykk Skjærtøyning og skjærsenning G, rent skjær der E er elastisitetsmodulen (E-modulen, Youngs Modulus) og G er skjærmodulen (Gmodulen, the Shear Modulus). Homogene materialer som stål, aluminium, glass og mange andre, har like egenskaer i alle retninger. Disse materialene kalles isotroe (det motsatte er materialer med anisotroi, eksemel trevirke og fiberkomositter). For isotroiske materialer er det en enkel sammenheng mellom E og G: E G, ( ) der er oissontallet (tverrkontraksjons-tallet, the Poisson Number). Når det er normalsenninger i flere retninger, blir sammenhengene mer komliserte. For materialer som ikke er isotroiske (f.eks. fiber-materialer), blir forholdene ennå mer komliserte idet det vil finnes flere forskjellige oissontall. Vi skal holde oss til isotroe materialer. sotroe materialer er karakterisert av to, og netto to uavhengige elastiske kontanter, E og (eller G og ). Videre skal vi holde oss til enklest mulige senningstilfeller. Vi har netto studert en-akset senning (aksialstaven). For ("vanlige") konstruksjonsmaterialer er tøyningene ved belastning meget små. Vi skal avgrense oss til små tøyninger (vi skal ikke beregne f.eks. ikke gummi-materialer).

5 Side 5 av Noen andre enkle senningstilstander Læreboka viser formler for trykktanker. Vi skal ta for oss en tynnvegget, sylindrisk trykktank og angi formler for den sylindriske delen av tanken. nnvendig vil det være en radiell senning lik det indre trykket (en senning som virker normalt å innvendig vegg). den ytre overflaten vil det ikke være senning i radiell retning. en tynnvegget tank vil de radielle senningene være små sammenlignet med senninger som virker i takkveggens flate. Vi vil derfor anta lan senning for enhver liten del av tankveggen (lanretningen er tangentiell å tankveggen). Det henvises til ka..5 i læreboka, se neste side. Med betegnelsen tynnvegget vil vi mene at veggtykkelsen er under 5 % av radius.

6 Side 6 av Koien fra boka (over) viser senninger som ligger i tankveggen. ethvert unkt å tankveggen finnes det normalsenning i tankens akseretning ( ) og tangentielt å veggen ( ). Vi har sett bort fra radielle senninger ( ). Formlene gir Aksiell senning r z t (formel.9) Tangentiell senning r t (formel.) der r er tankens radius, t er veggtykkelsen og er trykket i tanken. R z Eksemel Et rosessrør har innvendig trykk bar, Ytre diameter d 6 mm og veggtykkelse t mm. Beregn senningene i y rørveggen. 76 t Forholdet mellom radius og tykkelse er % r 6. Vi kan regne røret som tynnvegget, men siden det vil bli noe forskjell mellom resultatet basert å indre og ytre radius, velger vi å benytte gjennomsnittlig radius: dy di di d y t 4 mm, r 76 mm Trykket er 5 bar Pa MPa r 76 Tangentiell senning: MPa 9,MPa t Aksiell senning: z 45,6MPa. Stål for trykktanker har tyisk flytegrense 5 45 MPa, og vil holde med god sikkerhetsmargin. Dersom vil lage rører i fiberkomositt, vil det være mest effektivt å legge dobbelt så mye fiber rundt røret som i rørets lengderetning. Torsjon (vridning) Torsjon er forårsaket av et dreiemoment om et legemes lengdeakse. Av vedlagte utsnitt av læreboka (rgens) kan vi se at det for en aksel med lengde L, og radius R, er en sammenheng mellom skjærtøyning (Shear Strain) og torsjonsvinkelen i enden av akselen (Twist Angle):

7 Side 7 av R (formel 7.) L Denne formelen gjelder for rotasjonssymmetriske legemer ("runde" tverrsnitt).

8 5, HN Teknologisk avd. RA 4..3 Side 8 av Eksemel En 5 meter lang stålaksel med diameter d r 8 mm belastes med torsjonslast. Den ene enden av akselen står fast. den andre enden setter vi et merke før belastning og etter belastning. Med et målebånd finner vi at (den krumme) avstanden mellom merkene er 5, mm. Hvor stor er skjærtøyningen i akselens (sylindriske) overflate? Ø 8 5, mm 5, mm,58 3,3 r 9 mm, Skjærtøyningen er 9 m,4 r (rad) L 5 m Svar: Torsjonsvinkelen er Torsjonssenning som følge av torsjonslast Torsjonslast er som nevnt et dreiemoment. Dette betegnes T og angis i Nm eller kn m. Betrakt figuren å neste side (Læreboka, rgens, formel.5, ka. ). For et tynnvegget rør vil vi anta lan senningstilstand. Vi finner at senningen kan beregnes med formelen T rt (formel.5) der T er torsjonsmomentet, r er rørets radius og t er veggtykkelsen. Det er kun én verdi for radius, idet røret er tynnvegget. Siden alle rør i raksis har en målbar tykkelse, kan vi bruke midlere radius r ( ) ri ry for å minske feilen. For massiv aksel kan vi tenke oss at formel.5 må brukes for alle radier fra senter og ut til ytre radius. kan variere, og betegnes. Ved integrasjon fremkommer torsjonsmomentet ved å kombinere formel.5 og formel 7.5 (se koi fra læreboka, ka. 7): dt R da og materialformelen G G R L dt RG RdA T G R da L L, A når det integreres for hele arealet, A. R er den variable radius. ntegralet olare arealmomentet. R da utgjør en tverrsnitts-konstant for akselen. Denne størrelsen kalles det A Det olare arealmomentet for en massiv sirkelflate kan regnes ut med 4 4 r r d R ( R) dr, altså: 3 4 d, der d er diameter (formel 7.7) 3

9 Side 9 av Ved hjel av kan vi finne skjærsenningen i en gitt radius R T R (formel 7.8) Denne senningen er naturligvis størst i ytre overflate, der R antar sin største verdi, R r. T max r (formel 7.8)

10 Side av Eksemel Akselen i eksemel ble belastet så den vred seg med en torsjonsvinkel å 3,3. Akselen er laget av stål. a) Hvor stort torsjonsmoment vil den overføre ved denne torsjonsvinkelen dersom akselen er et tynnvegget stålrør med diameter 8 mm og veggtykkelse 5 mm? Løsning: De elastiske egenskaene for stål er E GPa og,3. Da blir skjærmodulen E G 8,8 GPa ( ) (,3) 3 3 Skjærsenningen i overflaten er da G 8,8 MPa,4 84 MPa

11 Side av Siden det står at røret er tynnvegget, antar vi at senningen er lik i hele tykkelsen, 84 MPa Vi kan dermed bruke formel.5: T T r t ,4,4 knm rt b) Hvor stort torsjonsmoment vil den overføre ved denne torsjonsvinkelen dersom dette er en massiv stålaksel? Løsning: Vi må beregne det olare arealmoment for akselens tverrsnitt, formel 7.7: d 4 4,3 m 3 3 Senningen i overflaten er som før G 84 MPa, som er max i formel 7.8. Dermed kan vi beregne torsjonsmomentet. 6 4 T max 84,4 max r T 96, knm 3 r 9 altså naturligvis et mye høyere moment enn før røret, da det nå er mer material som har samme senning. Anmerkning: Vi kunne ha regnet røret i a) å en litt mer nøyaktig måte ved å regne med gjennomsnitts-radius. Anta det er ytre diameter som er ogitt, d 8 mm, r 9 mm og r ( r r ) (9 85) 85 mm. Alternativt kunne vi bruke formler for torsjon i y i tykkvegget rør ry ri d y di. Det siste er det mest nøyaktige, da dette er 3 eksakte formler (svaret blir T 9,7 knm, dvs. 6 % mindre). y y Om senninger generelt. eksemlene med lan senning regnet vi ut to normalsenninger (, i to retninger) og én skjærsenning ( ). Hvis vi vil relatere disse senningskomonentene til et koordinatsystem, kan vi kalle dem,,. Legg merke til at skjærsenningene virker i begge retninger i sitt lan, derfor x y xy må de ha to indeks. det generelle, treaksede tilfellet, vil vi få 6 senningskomonenter: x, y, z, xy, xz, yz. Disse betegnes koordinatsenninger Under aksialstaven så vi hvordan en dreining av snitt-vinkelen gjorde at vi fikk forskjellige kombinasjoner av og. Når snittvinkelen legges slik at, får en verdi som kalles en hovedsenning,. det generelle, treaksede tilfellet kan man finne tre hovedsenninger,, 3 i tre innbyrdes ortogonale lan (lanene i en terning).

12 Side av N aksialstaven er en hovedsenning. trykktankene er snittet lagt slik at vi kun får A normalsenninger. Disse er derfor også hovedsenninger. torsjonsstavene fant vi kun skjærsenning. Vi kan finne normalsenninger i andre snitt-vinkler. Dersom normalsenningen overskrider et materials evne til å henge sammen, får man et kløvningsbrudd. Den maksimale hovedsenningen,, overskrider bruddfastheten. Slike brudd dominerer i srø materialer. Når metaller flyter (bøyes, formes) eller når jordmasser glir, er det skjærsenninger som dominerer. Den maksimale skjærsenningen, max, overskrider skjærfastheten. En limskjøt er gjerne utført slik at man baserer seg å limets skjærfasthet. Bruddkriterier benytter helst hovedsenningene fordi disse er uavhengige av det valgte koordinatsystemet som beregningene foretas i. Mekanikk vil det bli resentert formler for å regne ut hovedsenninger ut fra koordinatsenninger. Det er ofte komlisert å beregne senningene (koordinatsenningene), og kun for et mindre antall tilfeller finnes det ferdige formler (å lukket form) som lar oss beregne senningene. Det er utviklet databaserte numeriske metoder, eksemelvis finitt element metoden (FE), som lar oss beregne senninger for alle komliserte former når last og olager kan beskrives entydig. Men siden disse også krever antakelser og har mange muligheter for feil eller uheldige innstillinger, er det viktig å kontrollere rimeligheten av databeregninger med manuelle overslagsberegninger.