Gottlob Frege: matematiker, logiker, og filosof

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Gottlob Frege: matematiker, logiker, og filosof"

Transkript

1 Gottlob Frege: matematiker, logiker, og filosof Friedrich Ludwig Gottlob Frege ble født i Wismar i Tyskland 8. november Frege regnes som grunnleggeren av den i dag dominerende retningen innenfor engelskspråklig filosofi, ofte kalt analytisk filosofi. Vi vet lite om Freges personlige liv. 1 Hans foreldre, Karl Alexander Frege og Auguste Frege, jobbet begge ved en privatskole for jenter og døde relativt tidlig i Freges liv. Hans far døde i 1866, da Frege var 18 år gammel, og hans mor døde i 1878, da Frege var 30 år gammel. Frege var elev ved gymnaset i Wismar i årene Han begynte studier ved Universitetet i Jena i Etter fire semester med studier i kjemi, matematikk og filosofi, begynte han på videre studier i matematikk, fysikk og religionsfilosofi ved Universitetet i Göttingen. Frege oppnådde sin doktorgrad i 1873 med avhandlingen: Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene. I 1874 fikk han en ulønnet stilling ved Universitet i Jena. Denne stillingen hadde han i fem år, økonomisk støttet av sin mor. De første årene var preget av mye undervisning, men Frege fullførte sin første bok Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens i Boken ble ikke godt mottatt blant hans samtidige, men med denne publikasjonen ble han allikevel forfremmet til en lønnet stilling. Frege forble i Jena resten av sin karriere. Etter publikasjonen av Begriffsschrift giftet Frege seg med Margaret Lieseburg. Margaret var åtte år yngre, født i De fikk to barn, som begge døde unge. Senere adopterte de en gutt, Alfred, som i sin tid fikk ansvar for Freges etterlatte skrifter. Margaret døde i 1905, bare 49 år gammel, og Frege hadde derved mistet begge sine foreldre, to barn, og sin kone i en alder av 57 år. Han trakk seg tilbake fra undervisning i 1918 da han flyttet fra Jena til Bad Kleinen, nær hans barndomshjem. Men Frege fortsatte å arbeide helt til sin død 26. juli 1925, 76 år gammel. 1 Se Kevin Klements artikkel på Frege i Internet Encyclopedia of Philosophy; samt kapittel 1 i Richard L. Mendelsohns The Philosophy of Gottlob Frege, Cambridge University Press,

2 Frege oppnådde aldri stor anerkjennelse i sin egen levetid. Hans arbeider ble for det meste negativt mottatt, og ofte simpelthen oversett. Men selv om han aldri selv fikk oppleve den anerkjennelsen han fortjener, hadde han allikevel en direkte innflytelse på noen av de største filosofene i sin tid. Han brevvekslet med blant andre Edmund Husserl og David Hilbert, hans arbeider ble nøye studert av, og hadde stor innflytelse på blant andre Bertrand Russell og Ludwig Wittgenstein. Rudolf Carnap var også en av hans elever ved Universitetet i Jena. Wittgenstein møtte Frege personlig ved flere anledninger og ble anbefalt av ham å reise til Cambridge for å studere med Russell, noe Wittgenstein også gjorde. Dette fikk som kjent enorm innflytelse på hvordan filosofien utviklet seg utover i det 20. århundre. I forordet til Tractatus skriver Wittgenstein at hans tanker står i gjeld til Frege s great works and to the writings of my friend Mr. Bertrand Russell. Det var med andre ord Frege som var den største av de to, i følge Wittgenstein. Om Frege som person sies det at han var liten av vekst, så eldre ut enn han var, og at han var sjenert, stille og reservert. Hans dagbøker avslører en svært konservativ mann med til tider ekstreme politiske holdninger, men hans vitenskapelige arbeider inneholder ingen spor av dette. Carnap sier om Frege som foreleser at han sjelden så på sitt publikum, at han for det meste stod med ryggen til salen mens han tegnet og forklarte symboler på tavlen. Aldri hadde studentene noen spørsmål eller kommentarer, verken før, under, eller etter forelesningene. Bare muligheten for en diskusjon så ut til å være utelukket. 2 Wittgenstein sier om et av sine mange personlige møter med Frege at han absolutt feiet gulvet med meg, og at han bare ville snakke om logikk og matematikk. Hvis Wittgenstein forsøkte å bringe diskusjonen over på andre temaer, sa Frege noe høflig til svar, for deretter å bringe diskusjonen tilbake på logikk eller matematikk. 3 Freges direkte og indirekte innflytelse på dagens filosofi kan ikke overvurderes, men er tydeligst innenfor logikk, matematikkens filosofi, meningsteori, og filosofisk logikk (bredt forstått). Jeg vil nå kort skissere noen viktige bidrag fra ham innenfor disse områdene, før jeg avslutter med noen kommentarer til utvalget av tekster. 2 Rudolf Carnap, Intellectual Autobiography, in Schilp, P.A. (red.), The Philosophy of Rudolf Carnap, LaSalle III. Open Court, Anscombe, G.E.M. & Geach, P.T., Three Philosophers, Oxford: Blackwell,

3 1. Logikk Frege regnes som grunnleggeren av moderne logikk, studiet av formelle systemer hvori vi kan gjennomføre logisk gyldig argumentasjon. Ethvert introduksjonskurs i logikk på universitetsnivå i dag er i praksis et introduksjonskurs til deler av et formelt system oppfunnet av Frege, først presentert i hans Begriffsschrift. Logikk før Frege bestod, med visse unntak, hovedsaklig av studiet av såkalte syllogismer, og det mer eller mindre slik de ble først fremstilt hos Aristoteles mer enn to tusen år tidligere. Syllogismer er, kort sagt, visse former for gyldige argumenter hvor det er umulig for alle premissene å være sanne uten at konklusjonen også er sann. En slik logikk tok utgangspunkt i setninger av formene: (i) alle F er G, (ii) ingen F er G, (iii) noen F er G, og (iv) noen F er ikke G, for deretter å gi regler for hva vi kan gyldig slutte fra disse sammen med ett ekstra premiss. For eksempel, med utgangspunkt i (i), har vi følgende gyldig argument: (i) (ii) (iii) Alle mennesker er dødelig Sokrates er et menneske Derfor, Sokrates er dødelig Det var kjent at et slikt system har mange begrensninger ved at vi kan gi logisk gyldige argumenter som faller utenfor det syllogistiske systemet. Freges store bidrag innenfor logikk var å utvikle et nytt formelt system som var mer presist og generelt, og som unngikk de mest kjente begrensningene ved klassisk logikk. La meg kort nevne to begrensninger ved syllogistisk logikk som Freges system kan behandle på en adekvat måte. Den første begrensningen ligger i at syllogistisk logikk antok at alle elementære setninger bestod av ett subjekt og ett predikat. Begrensningen kan sees ved følgende slutning: (i) (ii) Alle drepte seg selv Derfor, Cato drepte Cato 3

4 Ved antakelsen om at alle elementære setninger har ett subjekt og ett predikat, består konklusjon (ii) av subjektet Cato og predikatet drepte Cato mens (i) består av subjektet alle og predikatet drepte seg selv. Men det å drepe seg selv er en helt annen egenskap enn det å drepe Cato, så hvorfor, innenfor syllogistisk logikk, følger det rent logisk fra det at alle drepte seg selv at Cato drepte Cato? En annen begrensning ligger i at syllogistisk logikk ikke har noen måte å behandle typer slutninger som involverer setninger med flertallige generaliseringer, for eksempel setningen Alle gutter er glad i minst én jente, eller setningen Noen er glad i alle som ikke er glad i noen andre enn seg selv. Nok en gang finnes det derfor logisk gyldige argumenter som simpelthen ikke kan behandles i syllogistisk logikk. Problemet ved begge begrensningene ligger dypest sett i antakelsen om at alle elementære setninger består av ett subjekt og ett predikat. Ved å forkaste denne antakelsen, beveget Frege logikken et svært viktig skritt fremover. La meg derfor kort forklare hvordan han tok dette skrittet. Frege var matematiker, og i matematikken snakkes det ofte om funksjoner. Visuelt kan man tenke på en funksjon som en svart boks med ett eller flere hull på den ene siden, og ett og bare et hull på den andre siden. Man dytter noen ting (av et visst slag) inn i hullene på den ene siden av boksen, for deretter å få noe (av et visst slag) ut fra det ene hullet på den andre siden av boksen. Mer formelt er en funksjon noe som tar inn argumenter og gir deretter fra seg i henhold til visse regler en verdi. Addisjon (eller pluss: +) er en slik funksjon. Den tar to tall som sine argumenter, for eksempel 7 og 3, og den gir deretter fra seg ett tall som sin verdi, nemlig tallet 10 (7+3=10!). Addisjon blir slik sett en ufullstendig ting med to hull som skal fylles med to tall (argumenter). Etter at tingen (funksjonen) slik har blitt fylt med tall, gir den fra seg det tallet (verdien) som er summen av de to foregående tallene. Vi kan formalisere funksjonen addisjon slik: ( )+( ), hvor ( ) representerer hullet som skal fylles med tall. Ved å fylle funksjonen med tallene 3 og 7 får vi derved: (3)+(7), eller 3+7, som jo er 10. Freges enkle, men geniale trekk var å forkaste den gamle antakelsen om at enhver elementær setning består av ett subjekt og ett predikat og i stedet tenke på elementære setninger som bestående av en funksjon og dens argumenter. Funksjonen tilsvarte setningens predikat, og funksjonens argumenter tilsvarte setningens subjekter. Som 4

5 vi har sett, kan en funksjon ta mer enn ett argument (for eksempel tar addisjon to), og slik sett kan også en elementær setning i Freges system ta mer enn ett argument, og slik bestå av mer enn ett subjekt. For eksempel, setningen Eva er filosof blir i Freges system analysert som bestående av funksjonen ( ) er filosof fylt med argumentet Eva : (Eva) er filosof. Setningen Adam er glad i Eva blir analysert som bestående av funksjonen ( ) er glad i ( ) og de to argumentene Adam og Eva, i den rekkefølgen: (Adam) er glad i (Eva). Mens den siste setningen i syllogistisk logikk ville bestå av det ene subjektet Adam og predikatet er glad i Eva, består det altså i Freges system i stedet av funksjonen ( ) er glad i ( ) og de to argumentene Adam og Eva. I tillegg til dette kom Frege frem til en helt ny måte å forstå kvantorene på. Det er tilstrekkelig for vårt formål å tenke på kvantorene som uttrykkene alle, noen, og ingen. Tenk tilbake på setningen Alle mennesker er dødelig. I syllogistisk logikk består denne setningen av subjektet Alle mennesker og predikatet er dødelige. I samsvar med ideen om funksjoner og deres argumenter tenkte Frege i stedet på setningen som en høyere ordens funksjon i påvente av å bli fylt med argumenter bestående av andre lavere ordens funksjoner og deres argumenter. Setningen Alle mennesker er dødelig blir analysert som å bestå av funksjonen Alle ting er slik at hvis den tingen er..., så er den tingen, hvor... og symboliserer hullene i funksjonen som skal fylles av de to andre funksjonene ( ) er menneske og ( ) er dødelig, og hvor ( ) her i begge tilfellene fylles av ting. Sagt på en annen og enklere måte, setningen Alle mennesker er dødelige blir analysert som: for enhver ting, hvis den tingen er et menneske, så er den samme tingen dødelig. Dette har vist seg å være en mye mer presis og tilfredsstillende måte å logisk behandle slike setninger på enn hva vi finner innenfor syllogistisk logikk. Frege viste oss også hvordan kvantorene noen og ingen kan defineres ut i fra kvantoren alle / enhver : noen ting er slik at bla, bla er det samme som det er ikke slik at enhver ting ikke er bla, bla, og ingen er slik at bla, bla er det samme som det er ikke slik at noen er bla, bla. ( Alle/enhver kan også defineres ut i fra noen : alle ting er slik at bla, bla er det samme som det er ikke slik at noen ikke er bla, bla.) Vi trenger derfor bare én kvantor for å bygge opp et logisk system som inneholder alle de ovennevnte kvantorene. 5

6 Med disse nye måtene å tenke på elementære setninger og kvantorer på, kan Frege lett gjøre rede for de to ovennevnte begrensningene ved syllogistisk logikk. Den første mangelen bestod i å forklare hvorfor det følgende er en gyldig slutning: (i) (ii) Alle drepte seg selv Derfor, Cato drepte Cato Frege kan forklare det som følger. Premiss (i) analyseres som: for enhver ting x er det slik at x drepte x. Siden Cato er en ting blant enhver x er det derved slik at Cato drepte Cato. Løsningen ligger i å ikke tenke at predikatet i (i) er drepte seg selv og predikatet i (ii) er drepte Cato, men heller å tenke at predikatet er det samme i begge tilfeller, nemlig funksjonen ( ) drepte ( ) som tar to argumenter (subjekter), i dette tilfelle det samme argumentet begge steder. Den andre ovennevnte begrensningen ved syllogistisk logikk bestod i å ikke ha ressurser til å formalisere slutninger som involverer flertallige generaliseringer som i setningen Alle gutter er glad i minst én jente, eller Noen er glad i alle som ikke er glad i andre enn seg selv. I Freges system formaliseres den første setningen som: for enhver ting x, så finnes det minst en annen ting y, slik at x er en gutt og y er en jente, og x er glad i y. Dette er åpenbart en mye mer presis måte å forstå slike setninger på enn hva vi finner innenfor syllogistisk logikk. 4 Frege gir oss kort sagt en måte å holde orden på subjektene og predikatene i elementære setninger med flertallige generaliseringer slik at vi kan gjøre rede for flere gyldige slutninger som involverer slike setninger enn det som var mulig innenfor syllogistisk logikk. Frege har derved ved et enkelt grep, nemlig ved å forkaste antakelsen om at enhver elementær setning består av ett subjekt og ett predikat, og i stedet behandle elementære setninger som bestående av en funksjon og dens argumenter, utviklet logikken til å ha et mye bredere og mer finkornet nedslagsfelt enn hva som var tilfelle tidligere. 2. Matematikkens filosofi 4 Jeg overlater det til leseren å finne Freges formalisering av den andre setningen. 6

7 Frege argumenterer for at aritmetiske sannheter er analytiske a priori sannheter. 5 Det vil si (i følge Freges forståelse av begrepene) at alle aritmetiske bevis, alle bevis innenfor tallteori (studiet av de naturlige tallene 0, 1, 2, 3,...), kun hviler på rent logiske sannheter, uten noen appell til intuisjon eller empirisk erfaring. Denne retningen er blitt kjent som logisisme. Logisisme står i motsetning til spesielt to tidligere teorier gitt av Immanuel Kant og John Stuart Mill. Kant argumenterte for at all matematikk hvilte på a priori intuisjon, og dermed er syntetisk a priori, mens Mill argumenterte for at det hvilte på a posteriori erfaring, og dermed er syntetisk a posteriori. Frege argumenterer sterkt mot begge to, som han mener ikke klarer å redegjøre for aritmetikkens objektive, nødvendige og absolutte natur. 6 For Frege er ethvert naturlig tall et objektivt eksisterende objekt, hvis natur er helt uavhengig av oss mennesker. Alle sannheter om disse objektene kan bevises ved hjelp av ren logikk alene. Det presserende blir da hvordan det er mulig å ha analytisk a priori (rent logisk) kunnskap om slike objektivt eksisterende objekter. Freges idé var at vi kan definere de naturlige tallene ut i fra andre rent logiske prinsipper. Han diskuterer følgende eksempel, som har blitt kalt Humes prinsipp (men første gang systematisk studert av den moderne mengdelærens far, Georg Cantor): (HP): antall F er det samme som antall G hvis, og bare hvis, det finnes en en-til-en korrespondanse mellom tingene som er F og tingene som er G. Frege definerer en én-til-én korrespondanse ved hjelp av bare logiske begreper. Men han forkaster HP som en definisjon på grunn av det som har blitt kjent som Cæsar-problemet. Problemet er, enkelt sagt, at HP ikke gir oss noe svar på om antallet F er det samme som, for eksempel, Julius Cæsar eller ikke. Men en definisjon av et tall må, for å være en tilstrekkelig definisjon, avgjøre om det som defineres er det samme som Julius Cæsar eller ikke. En definisjon av en ting skal tross alt si oss hva den tingen er. Dersom den ikke sier noe om det som defineres er det samme som Julius Cæsar eller ikke, så er 5 Se Aritmetikkens grunnlag (1884). 6 Men Frege er enig med Kant i at geometri hviler på intuisjon. 7

8 definisjonen utilstrekkelig. Det betyr ikke nødvendigvis at HP er usann, men bare at den ikke er tilstrekkelig som en definisjon på hva de naturlige tallene er. I stedet for HP definerer derfor Frege tallet som tilhører et begrep F som ekstensjonen til begrepet like mange som F. Han bruker så denne nye definisjonen til å utlede HP, som han så igjen bruker til å definere alle de naturlige tallene. I moderne sjargong vil dette si at et tall n er identisk med mengden av alle mengder som består av n elementer. Tallet 0 er slik sett mengden av alle tomme mengder, tallet 1 er mengden av alle mengder bestående av én ting, tallet 2 er mengden av alle mengder bestående av to ting, osv. Et par ting som har skapt mye debatt er her verdt å merke seg. For det første, for at Freges logisisme, hans forsøk på å redusere aritmetikk til logikk, skal lykkes må hans definisjon av tall være basert på kun logiske begreper. Men er begrepet om ekstensjonen til et gitt begrep virkelig et logisk begrep? Frege bare antar at så er tilfelle uten noen argumenter. For det andre, er Freges nye definisjon virkelig en løsning på Cæsarproblemet? Forteller den nye definisjonen oss noe om for eksempel tallet 3 er identisk med Julius Cæsar eller ikke? Men det som har skapt mest debatt, er det som har blitt kjent som Russells paradoks. 16. juni 1902 skrev Bertrand Russell et brev til Frege hvor han påpekte at hans system leder til kontradiksjon. Kontradiksjonen ble raskt ledet tilbake til Freges Lov V i hans Grundgesetze der Arithmetik, som igjen hvilte på hans begrep om ekstensjonen til et begrep. Frege antok at alle begreper har en ekstensjon (hvor en tom ekstensjon også regnes som en ekstensjon), og at ekstensjonen til to begreper er den samme hvis, og bare hvis, alle ting som faller inn under det ene begrepet også faller inn under det andre begrepet (Lov V). Men Russell påpekte at dette ikke kan være tilfelle. Betrakt begrepet å ikke være i sin egen ekstensjon. Er dette begrepet i sin egen ekstensjon? Hvis det er i sin egen ekstensjon, så tilfredsstiller det begrepet og er dermed ikke i sin egen ekstensjon, men hvis det ikke er det, så tilfredsstiller det ikke begrepet og er dermed (ved dobbel negasjon) i sin egen ekstensjon. Kontradiksjon! Et enklere og mer konkret eksempel er dette: betrakt begrepet barbereren som barberer alle de som ikke barberer seg selv. Barberer denne barbereren seg selv? Hvis han gjør det, så gjør han det ikke, men hvis han 8

9 ikke gjør det, så gjør han det. En slik barberer kan derfor ikke finnes. Selve begrepet er inkonsistent, og derved uforståelig. Frege brukte sitt begrep om ekstensjonen til et begrep hovedsakelig for å utlede HP, som han så brukte til å utlede aritmetikkens lover. Mye av den senere debatten har derfor gått på om Frege virkelig trenger begrepet om ekstensjonen til et begrep, eller om HP er tilstrekkelig alene. For at HP skal være tilstrekkelig, må man som sagt blant annet løse Cæsar-problemet. Men man må også påvise at HP er et rent logisk prinsipp, noe som for Frege betyr at man kan (i prinsippet) a priori erkjenne det som en analytisk sannhet uavhengig av empirisk erfaring. Hvis det siste ikke er tilfelle, så faller logisisme som idé. Aritmetikk vil da ikke hvile på ren logikk alene. 3. Meningsteori Mye av Freges arbeid sirkulerer omkring begrepet identitet som forstått ut i fra at alle ting er identiske med seg selv, og at hvis a og b er identiske (én og samme ting), så deler de alle egenskaper. Artikkelen Über Sinn und Bedeutung 7 er kanskje Freges mest innflytelsesrike arbeid, og springer ut i fra et problem med identitetsutsagn av formen a=a versus a=b. Problemet kan best belyses ved et av Freges mest kjente eksempler. Fra gammelt av snakket man om en stjerne som skinte om kvelden som man kalte aftenstjernen, og en stjerne som skinte om morgenen som man kalte morgenstjernen. Det var, og er, åpenbart sant at morgenstjernen er identisk med morgenstjernen, og at aftenstjernen er identisk med aftenstjernen. Det er simpelthen trivielt sant at alle ting er det samme som seg selv. Men før babylonerne 8 visste man ikke at morgenstjernen var identisk med aftenstjernen (og heller ikke, som vi vet i dag, at begge faktisk er identisk med planeten Venus). Det ligger derfor en kognitiv forskjell i påstanden om at morgenstjernen er identisk med morgenstjernen og påstanden om at morgenstjernen er identisk med aftenstjernen. Problemet var, og er, å gjøre rede for nøyaktig hva denne forskjellen består i. Det vil si, hva gjør at påstand 1 er triviell, mens påstand 2 ikke er det: 1. morgenstjernen = morgenstjernen 7 Se Om mening og betydning (1892). 8 At babylonerne visste at morgenstjernen var aftenstjernen kommer frem av Ammi- saduqas Venus- tavler, datert 1581 f.kr. 9

10 2. morgenstjernen = aftenstjernen Freges konklusjon er at den eneste måten å gjøre rede for forskjellen på er ved å postulere at ordet morgenstjernen har en annen mening enn ordet aftenstjernen. Men hvis meningen til et ord bare er objektet som ordet står for, det Frege kaller ordets betydning, så kan det ikke være noen kognitiv forskjell på påstand 1 og 2 siden objektet ordene står for er det samme i begge tilfeller. Meningen til et ord må derfor være noe annet enn objektet ordet står for. For Frege består denne meningen i måten objektet blir presentert på. Slik kom Frege frem til sitt berømte skille mellom et ords mening (Sinn) og dets betydning (Bedeutung). Dette skillet har hatt enorm påvirkning ikke bare på moderne språkfilosofi, men også på analytisk filosofi mer generelt. 4. Filosofisk logikk 9 En funksjon er, som vi har sett, noe som tar argumenter og gir tilbake en unik verdi i henhold til en regel. Addisjon er et eksempel på en slik funksjon ved at det er noe som tar to argumenter (tall) og gir tilbake en unik verdi (et tall): for eksempel, det tar 7 og 3 som dets argumenter og gir tilbake 10 som dets verdi. Vi så også at Frege revolusjonerte logikken ved å tenke på setninger som bestående av funksjoner (predikatene) og deres argumenter (subjektene). Frege generaliserer denne ideen og argumenterer for at verden består av funksjoner og deres argumenter. Og ikke bare inneholder den funksjoner og deres argumenter, den inneholder ingenting annet! Freges ontologi (hans teori om hva som finnes), består slik sett av kun to typer ting: funksjoner og deres argumenter. Hva med verdiene funksjonene gir fra seg? De er igjen argumenter funksjoner kan fylles med, akkurat som verdiene addisjon gir fra seg er tall som den også kan ta inn igjen som argumenter. Frege identifiserer så funksjoner med begreper, og argumenter og verdier med objekter. 10 Ethvert begrep er slik sett en funksjon som tar ethvert objekt som argument og gir fra seg et bestemt objekt som verdi. La oss se på noen utvalgte eksempler og peke på noen problemer. 9 Filosofisk logikk er her bredt forstått, som å inkludere filosofiske prinsipper knyttet til logikken, samt anvendelse av logikken på filosofiske problemstillinger. 10 Dette er strengt tatt ikke helt korrekt. Frege tillater også at begreper tar begreper som argumenter. Mer presist bør vi derfor si at Frege identifiserer første- ordens argumenter og verdier med objekter. 10

11 Siden vår ontologi nå består av kun begreper og objekter, må vi forstå objekter svært bredt. Et objekt blir enhver ting som kan fungere som et subjekt for et begrep, eller det som et begrep er om. Et objekt blir slik sett enhver ting som kan refereres til ved hjelp av en singulær term (dvs navn: Aristoteles, eller bestemte beskrivelser: Den største filosofen igjennom alle tider ). Begrepet om å være filosof, som vi kan uttrykke ved ( ) er filosof, er derved en funksjon som tar referansen til en singulær term som dets argument. For eksempel kan denne funksjonen ta mennesket Aristoteles som argument. Når funksjonen ( ) er filosof er slik fylt med Aristoteles, får vi som resultat en fylt funksjon som vi kan uttrykke ved Aristoteles er filosof. Verdiene for enhver fylt funksjon er i følge Frege objekter, så verdien i tilfelle Aristoteles er filosof må også være et objekt. Hva slags objekt kan det være? Tenk tilbake på funksjonen addisjon. Den tar tall som argumenter og gir fra seg tall som verdier: 7+3 uttrykker en fylt funksjon som gir 10 som verdi. 7+3 kan derfor sees på som en term som refererer til tallet 10 (7+3=10, dvs 7+3 er det samme som 10). Frege tenker likt om enhver fylt funksjon, inkludert Aristoteles er filosof. Påstanden Aristoteles er filosof blir derved en term som refererer til et objekt. Frege argumenterer for at dette objektet er sannhetsverdien for påstanden. Siden vi antar at Aristoteles er filosof, blir verdien av den fylte funksjonen vi uttrykker ved (Aristoteles) er filosof sannhetsverdien Sann. Hvis vi i stedet fyller funksjonen ( ) er filosof med min gamle katt Slash, uttrykt ved (Slash) er filosof, eller tallet 10, uttrykt ved (10) er filosof, refererer vi til objektet Falsk. Kort sagt: i følge Frege består verden av begreper (funksjoner) og objekter (argumenter), og ethvert begrep kan fylles med ethvert objekt. Når så er gjort, så har vi objektet (verdien) Sann eller Falsk som resultat. Det er enkelt å se hvordan denne ideen er en ontologisk versjon av Freges logikk. Men den er, som Freges logikk, ikke uten problemer. Å tenke på sannhetsverdiene Sann og Falsk som objekter er rart, men ikke uforståelig hvis vi tar hele Freges filosofiske system i betraktning. Det som derimot virker uforståelig, og som derfor blir sett på som et mye mer alvorlig problem for Freges idé, er det som har blitt kjent som paradokset angående begrepet hest. 11 Frege argumenterer for at verden består utelukkende av begreper og objekter, og at ingenting 11 Se Om begrep og objekt (1892). 11

12 kan være både et begrep og et objekt. Begreper og objekter gir oss slik sett to uttømmende og gjensidig utelukkende ontologiske kategorier. Men siden objekter forstås bredt som enhver ting som kan refereres til ved hjelp av en singulær term, oppstår følgende problem: betrakt påstanden Begrepet hest er et begrep. Her er Begrepet hest den singulære termen som refererer til objektet som fyller begrepet ( ) er et begrep. Men hva slags objekt er referert til ved hjelp av den singulære termen Begrepet hest? Det ser ut til å måtte være begrepet om å være en hest. Men i følge Frege er dette umulig da begreper ikke er objekter! Problemet for Frege er derfor å gjøre rede for hva slags objekt som fyller begrepet ( ) er et begrep. Det kan ikke være et begrep, men hva er det da? Med andre ord, for at x er et begrep noen gang skal være sant, som det jo er, må termen x referere til et begrep. Men det kan den ikke gjøre i følge Frege. Freges løsning er at selv om det i naturlige språk kan se ut som om vi forsøker å referere til et begrep ved uttrykk som Begrepet hest, så gjør vi faktisk aldri det. Det kan noen steder se ut til at Frege mener at ved den singulære termen Begrepet hest refererer vi egentlig til ekstensjonen til begrepet hest. Men dette løser selvfølgelig ikke problemet med for eksempel påstanden Begrepet hest er et begrep fordi et begreps ekstensjon er et (logisk) objekt (i følge Frege), ikke et begrep. Resultatet blir i stedet at vi i følge Frege aldri kan referere til eller snakke om et begrep direkte, men må i stedet nøye oss med å uttrykke det på en eller annen mer indirekte måte, for eksempel i bruken av meningsfulle setninger hvor de opererer som predikater fylt med subjekter. Men så fort vi forsøker å referere til begreper direkte, så refererer vi egentlig til noe annet. Om vi bør følge Frege på dette punktet, kan saktens diskuteres. Men med tanke på at Frege og Wittgenstein møttes personlig ved flere anledninger og at Frege var den filosofen Wittgenstein holdt høyest, er det i hvert fall nærliggende å tenke på dette som forløperen til Wittgensteins mer berømte og innflytelsesrike skille i Tractatus mellom det vi kan si direkte og det vi ikke kan si direkte, men bare kan uttrykke (eller vise) indirekte. La meg kort også nevne en annen, men relatert idé, samt et problem i Freges filosofiske logikk. Frege gjør altså et skille mellom et ords mening og dets betydning, eller det som ordet er om. For Frege gjelder dette skillet ikke bare for singulære termer som Morgenstjernen og Aftenstjernen, men også for språklige uttrykk for begreper, som 12

13 for eksempel ( ) er filosof, samt for fulle setninger, som for eksempel Aristoteles er filosof. Akkurat som Aftenstjernen har en mening i tillegg til å referere til et objekt, nemlig Venus, så har også ( ) er filosof en mening i tillegg til å uttrykke (men ikke referere til!) et begrep og Aristoteles er filosof en mening i tillegg til å referere til et objekt. For hele setninger er denne meningen det Frege kaller en tanke. (I mer moderne sjargong tenker vi gjerne på slike tanker som proposisjoner.) Frege argumenterer sterkt for at disse tankene ikke er psykologiske enheter bundet til vår menneskelige mentalitet. Påstanden om at 7+3=10, eller at jorden er rund, uttrykker en objektivt eksisterende tanke, et abstrakt objekt, som er offentlig tilgjengelig for alle. Et av Freges argumenter for denne ideen er meget sterkt, og går som følger. Anta at Freges idé er gal, og at en setnings mening, dvs tanken den uttrykker, er i stedet for et objektivt eksisterende abstrakt objekt, kun en subjektivt eksisterende forestilling i mitt hode. Anta så at jeg uttaler følgende påstand til deg: Aristoteles er den største filosofen gjennom alle tider. Du benekter denne påstanden (du mener heller at denne tittelen tilfaller Kant). Du sier derfor: Aristoteles er ikke den største filosofen gjennom alle tider. Det ser slik ut til at vi er genuint uenige om en tanke. Jeg mener at en tanke er sann som du mener er usann. Men Frege påpeker at hvis vår første antakelse er sann, nemlig at tanken setninger uttrykker er subjektivt eksisterende forestillinger i våre hoder, ikke objektivt eksisterende offentlig tilgjengelige ting, så kan det ikke være tilfelle at vi er genuint uenige allikevel. Dette fordi jeg bare uttrykker min subjektive forestilling, mens du uttrykker din. Disse to forestilingene er ikke én og samme forestilling (i hvert fall har vi ingen garanti for at de er det) fordi de er kun subjektivt eksisterende i hvert av våre hoder, ikke objektivt og offentlige eksisterende ting utenfor hvert enkelt av våre hoder. Det jeg hevder er derfor ikke det samme som det du benekter, og vi kan derfor ikke være genuint uenige. Derfor, hvis det skal finnes genuin enighet eller uenighet om noe, så må det som man er enig eller uenig om være noe objektivt eksisterende som er offentlig tilgjengelig for all de som deltar i diskusjonen. Frege hevder derfor mer generelt at for at språklig kommunikasjon (og med det alle eksisterende vitenskaper) i det hele tatt skal være mulig, må en tanke være slik at enhver av oss kan gripe denne ene og samme tanken. 13

14 Problemet er selvfølgelig å forstå hva og hvordan denne ene og samme tanken er. 5. Om tekstutvalget Hva gjelder tekstutvalg, har jeg plukket ut Freges mest innflytelsesrike bidrag til filosofihistorien. Personlig er jeg spesielt glad for å ha kunnet ta med hele Aritmetikkens grunnlag, da dette er etter min mening en av filosofihistoriens beste verker. Dessverre har jeg måttet utelate det meste av Begrepsskrift og Aritmetikkens grunnsetninger. Spesielt tynger det meg at jeg har måttet utelate lengre deler av disse bøkene som omhandler Freges forståelse av kvantifikasjon. Jeg skulle også ønske jeg kunne hatt med flere av Freges brevvekslinger, spesielt hans brevvekslinger med David Hilbert og Edmund Husserl. Men det må heller bli i en eventuelt oppfølger. Prosjektet med å oversette Freges verker til norsk startet på et julebord ved Universitetet i Oslo i desember Litt utpå kvelden, etter mange fornærmelser, utfordret undertegnede Øystein Skar til å begynne å oversette litt ordentlig filosofi. Utfordringen ble tatt på strak arm. Allerede dagen derpå forelå det en etterspørsel fra Skar om hvilke tekster som skulle oversettes. Jeg vil derfor først og fremst takke nettopp Øystein Skar for en fantastisk innsats. Det har vært et svært hyggelig og berikende samarbeid over mang en kaffe. Resultatet er overveldende bra. Stor takk også til Olav Asheim for å ha lest igjennom alle tekstene, med utfyllende kommentarer og innspill underveis. En stor takk går også til Tore Fjetland Øgaard for å ha lagt alle tekstene over i LaTex med tilhørende symboler, samt for viktige kommentarer og innspill underveis. Takk også til Dagfinn Føllesdal og Øystein Linnebo for kommentarer og innspill. Og sist, men ikke minst, vil jeg rette en stor takk til Andreas Østby og Pax forlag for å ta på seg et meget viktig prosjekt på vegne av norsk filosofi. Einar Duenger Bøhn Oslo, 27.juni,

Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant.

Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant. Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant. Spørsmålet om det finnes noe der ute som er absolutt sannhet har vært aktuelle siden tidlig gresk filosofi, men det er etter Descartes

Detaljer

ALEXIUS MEINONG Einar Duenger Bøhn UiO, 2012

ALEXIUS MEINONG Einar Duenger Bøhn UiO, 2012 ALEXIUS MEINONG Einar Duenger Bøhn UiO, 2012 Alexius Meinong (1853-1920) var østerriksk filosof og psykolog, elev av Franz Brentano (1838-1917), og lærer til grunnleggeren av Gestalt psykologien, Christian

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)

Detaljer

Bevisføring mot Menons paradoks

Bevisføring mot Menons paradoks I Platons filosofiske dialog Menon utfordrer stormannen Menon tenkeren Sokrates til å vurdere om dyd kan læres, øves opp eller er en naturlig egenskap. På dette spørsmålet svarer Sokrates at han ikke en

Detaljer

Det betyr igjen at det får verdien F nøyaktig når p = T, q = T og r = F.

Det betyr igjen at det får verdien F nøyaktig når p = T, q = T og r = F. Forelesning 7 Dag Normann - 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel og de utsagnslogiske bindeordene,,, og. Vi har sett hvordan vi kan undersøke egenskapene

Detaljer

Logisk positivisme. Inspirasjon: To typer sanne utsagn:

Logisk positivisme. Inspirasjon: To typer sanne utsagn: Logisk positivisme En retning innenfor vitenskapsteori som er knyttet til Wienerkretsen, en sammenslutning av filosofer, logikere, matematikere og vitenskapsmenn i Wien på 1920- og 30-tallene. Omtales

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel ((p q) r) Eksempel (p (q r))

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel ((p q) r) Eksempel (p (q r)) Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

FOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning

FOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Emne 13 Utsagnslogikk

Emne 13 Utsagnslogikk Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato

Detaljer

Intuisjonistisk logikk

Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Intuisjonistisk logikk 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) INF3170 Logikk

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 9: Arild Waaler 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 Konsistens 19. mars 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 19.03.2007 2 / 28 Innledning

Detaljer

Introduksjon Meningsrelativisme Konvensjonalisme Begrepsrelativisme Oppsummering References. Moralsk Relativisme.

Introduksjon Meningsrelativisme Konvensjonalisme Begrepsrelativisme Oppsummering References. Moralsk Relativisme. Moralsk Relativisme Torfinn Huvenes 1 1 Institutt for filosofi, ide- og kunsthistorie og klassiske språk Universitetet i Oslo November 26, 2013 Metaetikk Anvendt etikk handler om konkrete moralske problemstillinger.

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 2, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) August 29, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA 4140

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 14:22)

Detaljer

Noen betraktninger over det ontologiske gudbevis.

Noen betraktninger over det ontologiske gudbevis. 1 * Noen betraktninger over det ontologiske gudbevis. * Morten Rognes 1985 * Filosofisk institutt, Universitetet i Oslo 2 I dette arbeid vil vi fremsette noen betraktninger over det såkalte "ontologiske

Detaljer

Ordenes makt. Første kapittel

Ordenes makt. Første kapittel Første kapittel Ordenes makt De sier et ord i fjernsynet, et ord jeg ikke forstår. Det er en kvinne som sier det, langsomt og tydelig, sånn at alle skal være med. Det gjør det bare verre, for det hun sier,

Detaljer

Brev til en psykopat

Brev til en psykopat Brev til en psykopat Det er ikke ofte jeg tenker på deg nå. Eller egentlig, det er riktigere å si at det ikke er ofte jeg tenker på deg helt bevisst. Jeg vet jo at du ligger i underbevisstheten min, alltid.

Detaljer

Eventyr og fabler Æsops fabler

Eventyr og fabler Æsops fabler Side 1 av 6 En far, en sønn og et esel Tekst: Eventyret er hentet fra samlingen «Storken og reven. 20 dyrefabler av Æsop» gjenfortalt av Søren Christensen, Aschehoug, Oslo 1985. Illustrasjoner: Clipart.com

Detaljer

Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år.

Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år. 1 Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år. De fleste av oss kjenner pi som størrelsen 3,14, og mange

Detaljer

Hume: Epistemologi og etikk. Brit Strandhagen Institutt for filosofi og religionsvitenskap, NTNU

Hume: Epistemologi og etikk. Brit Strandhagen Institutt for filosofi og religionsvitenskap, NTNU Hume: Epistemologi og etikk Brit Strandhagen Institutt for filosofi og religionsvitenskap, NTNU 1 David Hume (1711-1776) Empirismen Reaksjon på rasjonalismen (Descartes) medfødte forestillinger (ideer)

Detaljer

Om filosofifagets egenart

Om filosofifagets egenart Noen vanlige betydninger av ordet filosofi : Et standpunkt til en person eller en gruppe. ( Vår filosofi er... ). Ofte vil ha konsekvenser for hvordan man tenker eller prioriterer i sin handling. Livsfilosofi:

Detaljer

David Hume ( ) Av Einar Duenger Bøhn, UiO, 2011

David Hume ( ) Av Einar Duenger Bøhn, UiO, 2011 David Hume (1711 1776) Av Einar Duenger Bøhn, UiO, 2011 Historisk kontekst David Hume er en skotsk filosof (og historiker) som levde 1711 1776, med base i Edinburgh. Historisk sett, gjør man ofte et skille

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Logikk og vitenskapsteori

Logikk og vitenskapsteori Logikk og vitenskapsteori Logikk og argumentasjon Vitenskapelige idealer, forklaringsmodeller og metoder Verifikasjon og falsifikasjon Vitenskap og kvasi-vitenskap (Logisk positivisme, Popper) Vitenskapelig

Detaljer

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere! Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:

Detaljer

Ekvivalente utsagn. Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p

Ekvivalente utsagn. Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p Ekvivalente utsagn Definisjoner: Et sammensatt utsagn som ALLTID er SANT kalles for en TAUTOLOGI. Et sammensatt utsagn som ALLTID er USANT kalles for en SELVMOTIGELSE eller en KONTRADIKSJON (eng. contradiction).

Detaljer

Kritikk av den rene fornuft: Begrunne hvordan naturvitenskapen kan være absolutt sann. Redde kausaliteten.

Kritikk av den rene fornuft: Begrunne hvordan naturvitenskapen kan være absolutt sann. Redde kausaliteten. Kritikk av den rene fornuft: Begrunne hvordan naturvitenskapen kan være absolutt sann. Redde kausaliteten. «Hvordan er ren matematikk mulig? Hvordan er ren naturvitenskap mulig? ( )Hvordan er metafysikk

Detaljer

Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo Hovedtest Elevspørreskjema 8. klasse Veiledning I dette heftet vil du finne spørsmål om deg selv. Noen spørsmål dreier seg om fakta,

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

Hume 1711 1776 Situasjon: rasjonalisme empirisme, Newtons kraftbegrep, atomistisk individbegrep Problem/ Løsning: Vil undersøke bevisstheten empirisk.

Hume 1711 1776 Situasjon: rasjonalisme empirisme, Newtons kraftbegrep, atomistisk individbegrep Problem/ Løsning: Vil undersøke bevisstheten empirisk. Hume 1711 1776 Situasjon: rasjonalisme empirisme, Newtons kraftbegrep, atomistisk individbegrep Problem/ Løsning: Vil undersøke bevisstheten empirisk. Empirist: Alt i bevisstheten kan føres tilbake til

Detaljer

Language descriptors in Norwegian Norwegian listening Beskrivelser for lytting i historie/samfunnsfag og matematikk

Language descriptors in Norwegian Norwegian listening Beskrivelser for lytting i historie/samfunnsfag og matematikk Language descriptors in Norwegian Norwegian listening Beskrivelser for lytting i historie/samfunnsfag og matematikk Forstå faktainformasjon og forklaringer Forstå instruksjoner og veiledning Forstå meninger

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11

Detaljer

Filosofi i skolen. Filosofi er et stort tema som det finnes svært mye litteratur om. Fokuset vil ligge på. Hva er filosofi?

Filosofi i skolen. Filosofi er et stort tema som det finnes svært mye litteratur om. Fokuset vil ligge på. Hva er filosofi? Filosofi i skolen Filosofi er et stort tema som det finnes svært mye litteratur om. Fokuset vil ligge på hvordan filosofi kan fungere som fag og eller metode i dagens skole og lærerens rolle i denne sammenheng.

Detaljer

Utdrag fra Beate Børresen og Bo Malmhester: Filosofere i barnehagen, manus mars 2008.

Utdrag fra Beate Børresen og Bo Malmhester: Filosofere i barnehagen, manus mars 2008. Utdrag fra Beate Børresen og Bo Malmhester: Filosofere i barnehagen, manus mars 2008. Hvorfor skal barn filosofere? Filosofiske samtaler er måte å lære på som tar utgangspunkt i barnets egne tanker, erfaring

Detaljer

Susin Nielsen. Vi er molekyler. Oversatt av Tonje Røed

Susin Nielsen. Vi er molekyler. Oversatt av Tonje Røed Susin Nielsen Vi er molekyler Oversatt av Tonje Røed Om forfatteren: Susin Nielsen startet sin karriere i TV-bransjen hvor hun skrev manus for kanadiske ungdomsserier. Etter hvert begynte hun å skrive

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

Allmenndel - Oppgave 2

Allmenndel - Oppgave 2 Allmenndel - Oppgave 2 Gjør rede for kvalitativ og kvantitativ metode, med vekt på hvordan disse metodene brukes innen samfunnsvitenskapene. Sammenlign deretter disse to metodene med det som kalles metodologisk

Detaljer

Analyse av Wittgensteins subjektfilosofiske bemerkninger i Tractatus Logico-philosophicus

Analyse av Wittgensteins subjektfilosofiske bemerkninger i Tractatus Logico-philosophicus En grense for Verden Analyse av Wittgensteins subjektfilosofiske bemerkninger i Tractatus Logico-philosophicus A limit of the World An analysis of Wittgensteins remarks on the subject in Tractatus logico-philosophicus

Detaljer

GUD SKAPT I MENNESKETS BILDE. John Einbu

GUD SKAPT I MENNESKETS BILDE. John Einbu GUD SKAPT I MENNESKETS BILDE John Einbu INNHOLD Forord 1. Innledning 2. Psykologisk perspektiv Tro kontra virkelighet Holdninger til uforklarlige fenomener Tendensen til å underkaste seg autoriteter Holdninger

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 4: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger

Detaljer

Elev ID: Elevspørreskjema. 8. årstrinn. Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo

Elev ID: Elevspørreskjema. 8. årstrinn. Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo Elev ID: Elevspørreskjema 8. årstrinn Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA, 2005 Veiledning

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 2008 Kvantorer Mandag 04.02.2008 introduserte vi predikatlogikk Vi

Detaljer

What designers know. Rune Simensen, 04hbmeda Designhistorie og designteori Høgskolen i Gjøvik, våren 2006

What designers know. Rune Simensen, 04hbmeda Designhistorie og designteori Høgskolen i Gjøvik, våren 2006 Rune Simensen, 04hbmeda Designhistorie og designteori Høgskolen i Gjøvik, våren 2006 Innledning Oppgaven omfatter: skriv et fortellende resymé av Bryan Lawsons bok What Designers Know Oxford England :

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Deborah Borgen. Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det

Deborah Borgen. Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det Deborah Borgen Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det Forord Med boken Magisk hverdag ønsket jeg å gi mennesker det verktøyet jeg selv brukte og bruker, og som har hjulpet meg til å skape et godt

Detaljer

KRISTIN OUDMAYER. Du er viktigere enn du tror

KRISTIN OUDMAYER. Du er viktigere enn du tror KRISTIN OUDMAYER Du er viktigere enn du tror HUMANIST FORLAG 2014 HUMANIST FORLAG 2014 Omslag: Lilo design Tilrettelagt for ebok av eboknorden as ISBN: 978-82-828-2091-2 (epub) ISBN: 978-82-82820-8-51

Detaljer

Immanuel Kant (1724-1804)

Immanuel Kant (1724-1804) Immanuel Kant (1724-1804) Forelesning 1: Teoretisk filosofi v/stig Hareide 15.2. 2011 Praktisk filosofi (etikk, politikk): Hvordan bør vi handle? Teoretisk filosofi (erkjennelsesteori/vitenskapsteori):

Detaljer

Test of English as a Foreign Language (TOEFL)

Test of English as a Foreign Language (TOEFL) Test of English as a Foreign Language (TOEFL) TOEFL er en standardisert test som måler hvor godt du kan bruke og forstå engelsk på universitets- og høyskolenivå. Hvor godt må du snake engelsk? TOEFL-testen

Detaljer

INF1800 Forelesning 4

INF1800 Forelesning 4 INF1800 Forelesning 4 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger Kursets hjemmeside blir stadig oppdatert: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf1800/

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY2010 Arbeids- og organisasjonspsykologi

Eksamensoppgave i PSY2010 Arbeids- og organisasjonspsykologi Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY2010 Arbeids- og organisasjonspsykologi Faglig kontakt under eksamen: Fay Giæver Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 03.12.2014 Eksamenstid (fra-til): 09:00 15:00

Detaljer

Allmenndel opg 1 - Hermeneutikk som metode

Allmenndel opg 1 - Hermeneutikk som metode Allmenndel opg 1 - Hermeneutikk som metode Hermeneutikk handler om forståelse og tolkning, og blir brukt som en metode innenfor humaniora og enkelte ganger innenfor samfunnsfagene. Det letteste når man

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse

Detaljer

Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 EX / Flervalg Automatisk poengsum Levert

Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 EX / Flervalg Automatisk poengsum Levert EX-100 1 Examen philosophicum Kandidat-ID: 1140 Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 EX-100 07/12-2015 Flervalg Automatisk poengsum Levert 2 EX-100 07/12-2015 Filosofihistorie Skriveoppgave Manuell

Detaljer

Religionen innenfor fornuftens grenser

Religionen innenfor fornuftens grenser IMMANUEL KANT Religionen innenfor fornuftens grenser Oversatt av Øystein Skar Innledning av Trond Berg Eriksen Religionen innenfor fornuftens grenser Humanist forlag 2004 OMSLAG: Valiant, Asbjørn Jensen

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Context Questionnaire Sykepleie

Context Questionnaire Sykepleie Context Questionnaire Sykepleie Kjære studenter, På de følgende sider vil du finne noen spørsmål om dine studier og praktiske opplæring. Dette spørreskjemaet inngår som en del av et europeisk utviklings-

Detaljer

Revidert veiledningstekst til dilemmaet «Uoffisiell informasjon»

Revidert veiledningstekst til dilemmaet «Uoffisiell informasjon» Revidert veiledningstekst til dilemmaet «Uoffisiell informasjon» Et eksempel på et relevant dilemma: Uoffisiell informasjon Dette dilemmaet var opprinnelig et av dilemmaene i den praktiske prøven i etikk

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2015

Matematikk for IT, høsten 2015 Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,

Detaljer

MAT1030 Forelesning 6

MAT1030 Forelesning 6 MAT1030 Forelesning 6 Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen - 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28 12:23) Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) Mer om parenteser Eksempel. (p q r) (p r) (q r) Her mangler

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste

Detaljer

Spørreskjema til elever på VK1

Spørreskjema til elever på VK1 Spørreskjema til elever på VK1 F1. Kjønn: Jente Gutt F2. Har noen av dine foreldre/foresatte utdanning i realfag (ingeniør, fysikk, kjemi, biologi, biokjemi, matematikk, geofag, astronomi e.l.) fra universitet

Detaljer

EXPHIL03 Høst 2011 Seminargruppe 41 Solheim, Nicolai Kristen. EXPHIL03 Høst 2011. Seminargruppe 41. Menons Paradoks. Skrevet av

EXPHIL03 Høst 2011 Seminargruppe 41 Solheim, Nicolai Kristen. EXPHIL03 Høst 2011. Seminargruppe 41. Menons Paradoks. Skrevet av EXPHIL03 Høst 2011 Seminargruppe 41 Menons Paradoks Menon spør: Og på hvilken måte, Sokrates, skal du undersøke det som du overhodet ikke vet hva er Utdyp spørsmålet, forklar hvorfor det er viktig og redegjør

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.

Detaljer

René Descartes

René Descartes René Descartes 1596-1650 Descartes (sms-versjonen) Ontologi Dualisme: det finnes to substanser - Den åndelige substans (res cogitans) og utstrekningens substans (res extensa). September 3, 2009 2 Epistemologi

Detaljer

Temaer fra vitenskapen i antikken

Temaer fra vitenskapen i antikken Temaer fra vitenskapen i antikken Matematikkens utvikling i det gamle Hellas. Etablering av begrepet om aksiomatisk system. Utvikling av astronomien som et geosentrisk matematisk system. 1 Nøkkelmomenter

Detaljer

Kjønn i skolens rådgiving et glemt tema?

Kjønn i skolens rådgiving et glemt tema? Kjønn i skolens rådgiving et glemt tema? Ida Holth Mathiesen Hurtigruta 09.11.2010 1 Evaluering av skolens rådgivning Sosialpedagogisk rådgiving, Yrkes- og utdanningsrådgiving og Oppfølgingstjenesten Fullføres

Detaljer

Jeg og Earl og jenta som dør

Jeg og Earl og jenta som dør Erik Holien Jeg og Earl og jenta som dør Oversatt av Egil Halmøy Om forfatteren: Jesse Andrews er amerikansk manusforfatter og musiker. Han har jobbet som reisejournalist, reiseguide og som resepsjonist

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

INF3170 Forelesning 2

INF3170 Forelesning 2 INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

matematikk? Arne B. Sletsjøe Gyldendal 04.11.2010 Universitetet i Oslo Trenger man digitale verktøy for å lære matematikk? A.B.

matematikk? Arne B. Sletsjøe Gyldendal 04.11.2010 Universitetet i Oslo Trenger man digitale verktøy for å lære matematikk? A.B. Trenger man Det er mange mulige forklaringer på hvorfor begynnerstudentene på universiteter og høgskoler har dårligere basisferdigheter i matematikk nå enn tidligere. Vi ser på denne problemstillingen

Detaljer

ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014

ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014 ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014 «Man trenger noen ganger å være alene, så man slipper å gjøre seg mindre enn man er.» KJELL ASKILDSEN, notatbok, 24. februar 2007 INNHOLD

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Datamodellering 101 En tenkt høgskoledatabase

Datamodellering 101 En tenkt høgskoledatabase Datamodellering 101 En tenkt høgskoledatabase Spesifikasjoner for databasen vi skal modellere: Oversikt over studenter med: Fullt navn Klasse Studium Avdeling Brukernavn Fødselsdag Adresse Telefonnummer

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon

Dagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk

Detaljer

Kapittel 3: Litt om representasjon av tall

Kapittel 3: Litt om representasjon av tall MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 3: Litt om representasjon av tall, logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 3: Litt om representasjon av tall 20. januar 2009

Detaljer

Korrespondanseteorien om sannhet. Morten Rognes

Korrespondanseteorien om sannhet. Morten Rognes * Korrespondanseteorien om sannhet. * Morten Rognes 1993 * Korrespodanseteorien om sannhet 0 Er korrespondanseteorien om sannhet i en eller annen forstand en holdbar teori om sannhet, eller er det slik

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

www.skoletorget.no Fortellingen om Jesu fødsel KRL Side 1 av 5 Juleevangeliet

www.skoletorget.no Fortellingen om Jesu fødsel KRL Side 1 av 5 Juleevangeliet Side 1 av 5 Tekst/illustrasjoner: Ariane Schjelderup/Clipart.com Filosofiske spørsmål: Ariane Schjelderup Sist oppdatert: 17. desember 2003 Juleevangeliet Julen er i dag først og fremst en kristen høytid

Detaljer

Disposisjon for faget

Disposisjon for faget Side 1 for Exphil03 Hva er Exphil 26. august 2014 17:16 Disposisjon for faget Hva er kunnskap Hva kan vi vite sikkert Hvordan kan vi vite Kan vi vite noe sikkert Metafysikk, hva er virkelig De mest grunnleggende

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

MAT1030 Forelesning 19

MAT1030 Forelesning 19 MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

SALG. Hvorfor skal vi selge? For å sikre at. Hva er salg? Salg er å få. På samme måte

SALG. Hvorfor skal vi selge? For å sikre at. Hva er salg? Salg er å få. På samme måte SALG Hvorfor skal vi selge? For å sikre at For å sikre at Hva er salg? Salg er å få På samme måte Selgerstiler Skal vi bare være hyggelige eller selge for enhver pris? Salgsintensitet Målrettet salg Definere

Detaljer

Deduksjon i utsagnslogikk

Deduksjon i utsagnslogikk Deduksjon i utsagnslogikk Lars Reinholdtsen, Universitetet i Oslo Merknad Dette notatet om deduksjon er ikke pensum, og den behandlingen som Goldfarb gir av emnet fra 33 og utover dekker fullt ut det som

Detaljer

Forespørsel om deltakelse i forskningsprosjekt Hva er din holdning til testing for arvelige sykdommer? +

Forespørsel om deltakelse i forskningsprosjekt Hva er din holdning til testing for arvelige sykdommer? + Kodebok 10399 Instrumentelle og affektive holdninger til testing for ulike typer arvelige sykdommer Forespørsel om deltakelse i forskningsprosjekt Hva er din holdning til testing for arvelige sykdommer?

Detaljer

Et detaljert induksjonsbevis

Et detaljert induksjonsbevis Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall

Detaljer