Dataøvelse 4 Kjikvadratfordeling
|
|
- Oda Aamodt
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk institutt STAT200 Anvendt statistikk Universitetet i Bergen 3. mars 2004 Dataøvelse 4 Kjikvadratfordeling A. Formål med øvelsen Øvelsen skal vise hvordan SAS-systemet kan brukes til å generere tilfeldige verdier som kan danne grunnlag for studium av mer kompliserte fordelinger. På denne måten skal man sette opp empiriske histogrammer for variable som følger kjikvadratfordelinger med ulike antall frihetsgrader. Formen på histogrammene skal så sammenlignes med diagrammer som viser forløpet av de tilhørende sannsynlighetstetthetene. Øvelsen skal slik gi en slags empirisk begrunnelse for det vanlige uttrykket for kjikvadrattettheten. Samtidig skal histogrammene bidra med inntrykk av hvor store sprang man må regne med å få i frekvensfordelinger for variable som følger en glatt sannsynlighetsfordeling, til og med i ganske store datamaterialer. B. Løkker i data-steg Programteknisk utgjør ordinære data-steg automatisk en løkke, som gjennomløpes én gang for hver observasjon i datasettet. I enkelte situasjoner har vi også bruk for å definere løkker internt i et data-steg. Dette foregår ved DO-setninger av forskjellig type. En løkke blir dannet av en DO group, innledet ved en DOsetning, etterfulgt av andre setninger som vanlig i et data-steg, og avsluttet av en spesiell END-setning. Løkkene kan om ønskelig bli nøstet inni hverandre. DO-setninger blir beskrevet på egne manualsider på Internett under Base SAS Software. Det enkleste kan være å lete etter DO ved hjelp av Search. Eventuelt kan man bevege seg innover i systemet ved å gå til SAS Language Reference: Dictionary og deretter til Dictionary of Language Elements og Statements. Listen med mulige grunnleggende setninger i SAS kan være nyttig også i mange andre situasjoner. Den formen av DO-setningen som særlig er aktuell, kan illustreres ved følgende eksempel: DO I = 3 TO 25 BY 2; Løkken vil i dette tilfellet gjennomgås først for verdien 3 av variabelen I, så for verdien 3+2=5, deretter for 5+2=7, osv., inntil den siste verdien I = 25 blir nådd. Legg spesielt merke til at indeksvariabelen I blir tatt med i det ferdige datasettet som produseres, med mindre det gis uttrykkelig beskjed om det motsatte.
2 4.2 C. Generering av nye observasjoner inne i et data-steg I mange situasjoner vil antallet observasjoner (datalinjer) i et SAS-datasett være gitt ved antallet linjer lest fra en ytre fil, forutsatt at data-steget inneholder en INFILE-setning. Blir et SAS-datasett dannet på grunnlag av et tidligere SASdatasett, vil antallet observasjoner normalt være likt i de to datasettene. I spesielle tilfeller ønsker man imidlertid å danne nye observasjoner etter et mønster som ikke følger oppsettet for dataene slik de leses inn. Dette er særlig aktuelt dersom man definerer alle verdiene av variablene i det nye SAS-datasettet ved regneforskrifter gitt inne i data-steget. I slike situasjoner kan man benytte en OUTPUT-setning på en bestemt plass i data-steget, etter at alle de aktuelle verdiene er definert. Denne setningen er beskrevet nøyere på egne manualsider på Internett. Det enkleste er å gå til samme liste over aktuelle setninger som angitt ovenfor for DO-setningen og så velge OUTPUT. Alternativt kan man også her søke etter ordet OUTPUT, men akkurat dette uttrykket brukes også i så mange andre sammenhenger i SAS at det lett kan bli forvirrende. I oppsett for data-steg som ikke inneholder noen OUTPUT-setning, blir nye observasjoner automatisk lagt til datasettet hver gang man kommer til slutten av steget. Forekommer det derimot minst én OUTPUT-setning, blir nye observasjoner generert bare hver gang man støter på en slik setning. Ofte er det aktuelt å kombinere OUTPUT-setninger med DO-løkker. Hvis regningene inne i løkken viser hvordan de aktuelle variablene skal regnes ut, er det naturlig at den aktuelle observasjonen (datalinjen) virkelig blir generert på slutten av løkken, dvs. like foran END-setningen. LSB behandler slike problemstillinger på side 146. Selve OUTPUT-setningen blir omtalt på side 144 i LSB. Som vist der, kan man også skrive ut datalinjer til flere datasett i samme data-steg ved å angi navnet på datasettet like etter OUTPUT-setningen. Vi har tidligere generert nye datasett ved hjelp av DO-løkker og OUTPUT i siste del av Øvelse 1 (ved utregning av Poisson-sannsynligheter) og i Øvelse 2 (ved generering av mange observasjonssett bestående av 3 normalfordelte verdier). D. Utregning av nye verdier i et data-steg I mange situasjoner ønsker vi å innføre nye variable underveis i et data-steg, eller vi vil forandre på verdiene til variable som allerede er innført. I slike tilfeller kan vi ganske enkelt sette opp tilordningssetninger inne i datasteget med det aktuelle variabelnavnet til venstre for et likhetstegn. Til høyre for likhetstegnet kan vi skrive inn et passende regneuttrykk, der det inngår konstanter eller verdier av variable som allerede er definert. Hvis vi fører opp samme variabelnavn i uttrykket på høyresiden som vi har på venstresiden, gjelder den gamle verdien på høyresiden (mens den nye verdien på venstresiden kan være noe helt annet). Kompliserte regneuttrykk på høyresiden kan være satt sammen ved addisjon (angitt ved +), subtraksjon ( ), multiplikasjon ( ) og divisjon (/). Rekkefølgen av de ulike regneoperasjonene kan angis ved parenteser. Egne manualsider
3 4.3 viser hvordan slike uttrykk kan bygges opp. Velg SAS Language Reference: Concepts, så SAS System Concepts og deretter Expressions. Spesielt er opplysningene under SAS Operators in Expressions nyttige. På mange måter kan disse reglene minne om tilsvarende regler i vanlige programmeringsspråk (og andre statistikkprogrammer), men legg likevel merke til at SAS følger enkelte spesielle konvensjoner. F. eks. betegnes potensering med to stjerner. LSB gir på side 66 eksempler på tilordningssetninger med regneuttrykk. Ofte er det bruk for verdier av bestemte funksjoner i slike regneuttrykk. SAS har svært mange standardfunksjoner tilgjengelig. Dette er forklart på side i LSB, selv om listen som er gitt der, bare omfatter et lite utvalg av de aktuelle funksjonene. F. eks. er eksponensialfunksjonen e x utelatt. Den betegnes som EXP(X) i SAS. Kvadratroten x skrives som SQRT(X) (eller den kan uttrykkes som x 1/2, dvs. som X 0.5). En mer omfattende liste kan finnes på Internett ved å velge etter tur SAS Language Reference: Concepts, SAS System Concepts og Functions and CALL Routines. Her er funksjonene ordnet i forskjellige kategorier, avhengig av anvendelsestypen, f. eks. med matematiske funksjoner samlet for seg. I Øvelse 1 anvendte vi tilordning ved hjelp av regneuttrykk i siste del med funksjonen POISSON(M,X) for kumulative Poissonsannsynligheter. I Øvelse 2 genererte vi på denne måten variable som fulgte en generell normalfordeling (µ, σ) på grunnlag av standardnormalfordelte variable. E. Tittellinjer i utskrift fra SAS Vi har hittil brukt en setning innledet med ordet TITLE for å vise i utskriften hvem resultatene tilhører. I prinsippet kan man på denne måten naturligvis oppgi en vilkårlig tekst som kommer som overskrift på sidene i Output-vinduet. I mange situasjoner kan det være aktuelt med flere linjer av denne typen. F. eks. kan vi fortsatt ønske å anvende første tittellinje til å vise studentnavnet i hele utskriften, mens vi i tillegg vil bruke undertitler som veksler etter hvert som SAS går gjennom ulike prosedyrer. Dette kan lett oppnås med tilsvarende setninger som blir innledet med ordene TITLE2, TITLE3, osv. På denne måten kan vi definere inntil 10 ulike tittellinjer. Her tilsvarer TITLE1 den gamle angivelsen TITLE. En bestemt av titlene kan skiftes ut i løpet av en SAS-kjøring ved å angi TITLE-setningen på nytt. Dette er forklart nøyere i manualsidene for TITLE. Disse sidene kan velges ut på listen over mulige Statements som forklart ovenfor for DO-setningen. (Også begrepet TITLE benyttes i mange sammenhenger i SAS, så det er vanskelig å søke på riktig uttrykk.) Det finnes også et tilsvarende sett med kommandoer FOOTNOTE. Se også LSB side 91.
4 4.4 F. Flere plott i samme diagram Som forklart i øvelse 3 kan man bruke proc plot eller proc gplot til å sette opp spredningsdiagrammer for gitte x- og y-variable. Flere plott kan genereres med samme PLOT-setning med flere spesifikasjoner av typen Y X. Vanligvis vil dette gi et nytt plott for hvert variabelpar. Oppgir man imidlertid opsjonen OVERLAY til slutt i en bestemt PLOT-setning, etter en skråstrek, vil de tilhørende plottene bli stilt opp i et felles koordinatsystem. Muligheten er beskrevet på side 117 i LSB (som riktignok bare omtaler proc plot ). I plott produsert av proc gplot er det av og til rimelig å tegne opp glatte forbindelseslinjer mellom de aktuelle punktene. Dette kan oppnås ved setningen SYMBOL INTERPOL = SPLINE; før den aktuelle PLOT-setningen. G. Generering av verdier fra en normalfordeling I data-steget i SAS er det tilgjengelig en rekke funksjoner som produserer verdier fra stokastiske variable med oppgitte sannsynlighetsfordelinger. I oversikten Function categories er dette kategorien Random Number Functions. Spesielt gir funksjonen RANNOR verdier fra en standardnormalfordeling. I virkeligheten blir disse verdiene beregnet ut fra en bestemt matematisk forskrift, men poenget er at en følge med slike verdier oppfører seg statistisk som om vi trakk uavhengige observasjoner fra normalfordelingen. Egentlig er hele følgen med verdier bestemt automatisk når vi fastlegger hvordan første verdi skal beregnes. Vi spesifiserer hvordan følgen skal innledes ved å oppgi et eget frø ( seed ). Dette er argumentverdien som blir skrevet opp i SAS-programmet sammen med funksjonsnavnet RANNOR. Man kan her skrive opp et vilkårlig positivt heltall. Men som forklart på manualsidene for Random number functions blir dette frøet bare utnyttet første gangen funksjonen kalles opp. Dette er altså det første stedet i data-steget der det blir referert til funksjonen, for første observasjon. Man kan godt generere flere stokastiske variable fra samme fordeling etter hverandre innenfor for samme observasjon, men disse verdiene stammer i så fall fra senere ledd i samme følge med tilsynelatende tilfeldige verdier. Argumentverdiene som oppgis for funksjonen RANNOR etter første kall har prinsipielt ingen betydning. RANNOR ble utnyttet allerede i siste del av øvelse 2. H. Øvelsesopplegg Vi har generelt definert kjikvadratfordelingen ved å stille opp uttrykk for en tilsvarende variabel W, gitt ved hjelp av standardnormalfordelte variable Z i. Vil vil nå utnytte denne sammenhengen til å generere tilfeldige verdier fra aktuelle kjikvadratfordelinger.
5 Bruk SAS til å generere et datasett som inneholder tre variable W1, W2 og W3 som er kjikvadratfordelt med henholdsvis 1, 2 og 3 frihetsgrader. Datasettet skal inneholde i alt 500 datalinjer med verdier for W1, W2 og W3. Hver linje skal bli dannet ved først å trekke tilfeldige verdier for 3 uavhengige standardnormalfordelte variable. Sett opp et passende data-steg som leder til et datasett av denne typen. Titt på toppen av datasettet i VIEWTABLE etter at data-steget er kjørt for å kontrollere at resultatene ser rimelige ut. 2. La proc gchart konstruere histogrammer for de tre fordelingene for W1, W2 og W3, med klasseinndeling (0.0,0.2], (0.2,0.4],..., (7.8,8.0], (8.0, ). Bruk også proc univariate for å studere de tre fordelingene. Ta utskrift av Log-vinduet og Output-vinduet, og start SAS på nytt hvis alt er i orden. Sannsynlighetstettheten for kjikvadratfordelingen med k frihetsgrader kan skrives på denne formen: f(x) = 1 2 k/2 Γ(k/2) x(k/2) 1 e x/2, x > 0. Her står Γ for den såkalte gammafunksjonen (definert ved integraluttrykket Γ(y) = t y 1 e t dt). Funksjonen er tilgjengelig som standard Mathematical 0 Function i SAS. Vi ønsker nå skisser av sannsynlighetstettheten for k = 1, k = 2 og k = 3. Vi kan da anse ulike sammenhørende verdipar (x, y) med y = f(x) som om de stammet fra forskjellige observasjoner i et SAS-datasett. 3. Still opp et data-steg som skal produsere et SAS-datasett der hver observasjon inneholder fire variable X, Y1, Y2, Y3. Størrelsene Y1, Y2, Y3 skal angi verdiene av tettheten f(x) når vi har henholdsvis 1, 2 og 3 frihetsgrader. De ulike observasjonene i datasettet skal f. eks. tilsvare X-verdiene 0.0, 0.1, 0.2,..., 7.9, 8.0. Utfør data-steget og kontroller at verdiene i datasettet ser rimelige ut (spesielt for første observasjon!). 4. Bruk proc plot til å tegne opp aktuelle skisser av de tre tetthetene i hvert sitt diagram i Output-vinduet. Lag dessuten et diagram i et grafikkvindu med proc gplot der alle tre tetthetene er tegnet inn oppå hverandre med glatting. Ta utskrift av resultatene og av Log-vinduet. Under kjøringene med SAS skal det hele veien brukes passende titler og undertitler. I. Spørsmål som skal besvares ved innleveringen a) Hvilke estimater for forventning og varians i de tre kjikvadratfordelingene fører simuleringene til? Sammenlign med de tilsvarende teoretiske verdiene. b) Betrakt Table B.1 for kjikvadratfordeling i læreboken av J. H. Zar (på side App12). Se spesielt på verdiene i tabellen for α = 0.05 og α = 0.01 tilsvarende ν = 1, 2 og 3. Utnytt resultatene fra simuleringen til å finne estimater for de samme størrelsene. Er det god overensstemmelse?
Dataøvelse 3 Histogram og normalplott
Matematisk institutt STAT200 Anvendt statistikk Universitetet i Bergen 18. februar 2004 Dataøvelse 3 Histogram og normalplott A. Formål med øvelsen Denne øvelsen skal vise hvordan man med SAS-systemet
DetaljerDataøvelse 2 Utregning av enkle observatorer
Matematisk institutt STAT 200 Anvendt statistikk Universitetet i Bergen 11. februar 2004 Dataøvelse 2 Utregning av enkle observatorer A. Formål med øvelsen Denne øvelsen skal dels vise hvordan man kan
DetaljerDataøvelse 8 Toveis variansanalyse
Matematisk institutt STAT200 Anvendt statistikk Universitetet i Bergen 14. april 2004 Dataøvelse 8 Toveis variansanalyse A. Formål med øvelsen Øvelsen skal vise litt mer avansert bruk av metodene som er
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen.
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.
DetaljerGammafordelingen og χ 2 -fordelingen
Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerUtvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling
Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen.
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST0 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Torsdag 9. mai 994. Tid for eksamen: 09.00 5.00. Oppgavesettet
DetaljerBinomisk sannsynlighetsfunksjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige
DetaljerSTK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler
STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige
DetaljerLøsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B
Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerDataøvelse 1 Poissonmodeller
Matematisk institutt STAT200 Anvendt statistikk Universitetet i Bergen 28. januar 2004 Dataøvelse 1 Poissonmodeller A. Formål med øvelsen I første dataøvelse skal en ved hjelp av SAS avgjøre om bestemte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent
DetaljerFørste sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts
DetaljerSnøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk oppgave: STK 2400 - Elementær innføring i risiko- og pålitelighetsanalyse Innleveringsfrist: Torsdag 10. november 2011, kl.
DetaljerBootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100
Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerOPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må
OPPGAVEHEFTE I STK000 TIL KAPITTEL 7 Regneoppgaver til kapittel 7 Oppgave Anta at man har resultatet av et randomisert forsøk med to grupper, og observerer fra gruppe, mens man observerer X,, X,2,, X,n
DetaljerAndre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Dette er det andre settet med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Det er valgfritt om du vil
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerStatistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 464 32 506, b 962 09 710 Eksamensdato: 23. mai 2018 Eksamenstid
DetaljerTransformasjoner av stokastiske variabler
Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 13. oktober 2010. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerFra første forelesning:
2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
DetaljerMA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide
MA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide Magnus T. Ekløff, Kristoffer S. Tronstad, Henrik G. Fauske, Omer A. Zec Våren 2016 1 Innhold 1 Basics... 4 2 1.1 Dokumenter... 4 1.1.1 Regneark... 4 1.1.2
DetaljerBootstrapping og simulering
Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor statistikk, men
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30- Statistikk Dato for utlevering: 5.03.06 Dato for innlevering: 05.04.06 innen kl. 5:00 Innleveringssted: Ekspedisjonen i. etasje ES hus
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerDatamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio)
Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Beskrive fordelinger (sentraltendens, variasjon og form): Observasjon y i Sentraltendens
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerSTK juni 2018
Løsningsforslag til eksamen i STK. juni 8 Oppgave Tvillingpar kan være enten eneggede eller toeggede. Sannsynligheten for at det ved en tvillingfødsel blir født eneggede tvillinger er i Nord-Europa omtrent
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerLitt om Javas håndtering av tall MAT-INF 1100 høsten 2004
Litt om Javas håndtering av tall MAT-INF 1100 høsten 2004 13. september 2004 En viktig del av den første obligatoriske oppgaven er å få erfaring med hvordan Java håndterer tall. Til å begynne med kan dette
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 22 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november 2017 Eksamenstid
DetaljerKort overblikk over kurset sålangt
Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente
DetaljerLikninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?
side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jarle Tufto Tlf: 99 70 55 19 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
Detaljerlage og bruke funksjoner som tar argumenter lage og bruke funksjoner med returverdier forklare forskjellen mellom globale og lokale variabler
42 Funksjoner Kapittel 4 Funksjoner Etter dette kapitlet skal du kunne lage og bruke enkle funksjoner lage og bruke funksjoner som tar argumenter lage og bruke funksjoner med returverdier forklare forskjellen
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk.
Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den
DetaljerForslag til endringar
Forslag til endringar Bakgrunn: Vi har ingen forelesningar veka etter påske. Eg skal bort 18. og 19. april. Eksamen er 30.mai Forslag til endringar: Ekstra forelesningar onsdag 16.mars og onsdag 30 mars
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLøsning eksamen desember 2016
Løsning eksamen desember 016 Oppgave 1 a) En drone har to uavhengige motorer. Vi innfører hendelsene A: motor 1 svikter B: motor svikter Dronen er avhengig av at begge virker, slik at sannsynligheten for
DetaljerTMA4245 Statistikk Høst 2016
TMA5 Statistikk Høst 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving Løsningsskisse Oppgave a) Den tilfeldige variabelen X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet
Detaljerår i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 alder x i 37 38 39 40 41 42 43 44 45 tid y i 45.54 41.38 42.50 38.80 41.26 37.20 38.19 38.05 37.45 i=1 (x i x) 2 = 60, 9
TMA424 Statistikk Vår 214 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II Oppgave 1 Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 29.05.2019 Sensur kunngjøres: 19.06.2019 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
DetaljerOblig2 - obligatorisk oppgave nr. 2 (av 4) i INF1000
Oblig2 - obligatorisk oppgave nr 2 (av 4) i INF1000 Leveringsfrist Oppgaven må leveres senest fredag 29 september kl 1600 Viktig: les slutten av oppgaven for detaljerte leveringskrav Formål Formålet med
DetaljerKap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse
Kap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse Utvalsfordelingar Utvalsfordeling for gjennomsnitt (med kjent varians) ( X ) Sentralgrenseteoremet (SGT) Utvalsfordeling for varians (normalfordeling) Utvalfordeling
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 10. oktober 2012. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
Detaljerting å gjøre å prøve å oppsummere informasjonen i Hva som er hensiktsmessig måter å beskrive dataene på en hensiktsmessig måte.
Kapittel : Beskrivende statistikk Etter at vi har samlet inn data er en naturlig første ting å gjøre å prøve å oppsummere informasjonen i dataene på en hensiktsmessig måte. Hva som er hensiktsmessig måter
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerMAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1
8. september, 2005 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 23/9-2005, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres på ekspedisjonskontoret i 7. etg. i Niels Henrik Abels
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
Detaljer