Evt. forklar på tavla. Diskuter kjøretid (best-/ worst-case). Innsetting og søk. Rekursjon igjen. A C E G

Transkript

1 TLDR RTFM

2 Innsetting og søk. Rekursjon igjen. Evt. forklar på tavla. Diskuter kjøretid (best-/ worst-case). D B F A C E G

3 reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Søk i søketre uten balansering

4 Balansering

5 Vi kan rotere begge veier. Husk at A, C og E her godt kan ha deltrær under seg, og at B kan ha et tre over seg, som må flyttes til D (eller omvendt). B D Garanterer ikke balansering i seg selv: Må brukes til å overholde en eller annen global «policy». A D B E C E A C Mulig policy: AVL-trær Høyden på deltrær har maks-diff på 1

6 Nodesplitting Heller ingen garanti for balansering. Brukes som regel med flere barn enn 2, og krav til både maks- og min-grad for noder. B For eksempel: Indre noder har minst 2, og maks 3 barn. Da kan vi sørge for balansering uansett. Mer generelt: B-trær. B B E A D E A D E Mulig policy: 2-3-trær Indre noder har 2 eller 3 barn

7 Θ(lg n) Innsetting og søk i selvbalanserende søketre

8 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

9 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

10 Her er de grønne og blå spiralene faktisk (utrolig nok) samme farge Mer her:

11 Litt om grafer og traversering, og om hashing. Jeg gikk en tur i Tredje forelesning

12 Ikke la dere lure av ordet reduksjon her! X? Det er jo bare å Y. Hvilken vei gir informasjon? Hvis jeg vil vise at A er vanskelig og jeg vet at B er vanskelig må jeg redusere _ til _ Retting fra forrige gang.

13 Hvis jeg vil vise at A er vanskelig og jeg vet at B er vanskelig må jeg redusere B til A «B? Det er jo bare å A» Hvis A var enkelt ville B også være det

14 Vanskelig Enten Da kunne du jo Motsatt Ukjent Eller Det er jo bare å Enkelt

15 Eksempel på reduksjon for løsning av problem (fra kont-eksamen). Burde ha vært nærliggende (gitt navnet korteste veialgoritmer )

16

17

18

19 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

20 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

21

22

23 Grafer

24 En digraf. Rettet (directed) graf. (Evt. på tavla: Definisjon, G=(V, E). Self-loops. incident from/to, leaves/enters. Kant fra/til.)

25 Merk: Man kan så å si alltid simulere en urettet graf ved hjelp av en digraf ved å ha kanter i begge retninger. Dermed virker f.eks. Dijkstras algoritme på grafer En (urettet) graf. incident on. Naboer er adjacent i begge typer. degree/(kant-)grad. Isolert. In-degree/outdegree.

26 Path, lengde k. Inneholder visse noder. Reachable. Simple path. Subpath. Cycle. Simple cycle. (Strongly) connected component

27 En indusert graf (av nodesettet {1, 2, 3, 6})

28 Grafer brukes til så mangt

29 Representasjoner Nabolister Nabomatrise Nabotabeller Kantliste Nabokantlister Nabokantmatrise og mange andre

30 Eksempel: Proteiner og gener i mengdevis; relativt få interaksjoner. Nabolister kan være lurt

31 Datanettverk fra Selve nettverket: Kanskje greit med nabolister.

32 Venstrehåndsregelen. Fungerer bare hvis vi ikke har sykler.

33

34

35 To completely traverse all the passages of a labyrinth twice, from any initial point, simply follow the rules posed by Trémaux, marking each entry to or exit from an intersection. These rules may be summarized as follows: When possible, avoid passing an intersection you have already visited, and avoid taking passages you have already traversed. Is this not a prudent approach, which also applies in everyday life? Édouard Lucas, Récréations Mathématiques (1891)

36 !

37 Traversering som for trær (som jo er en type grafer): Vedlikehold en liste med noder du har oppdaget (to do-lista) og noder du har besøkt (krysset av). Når du besøker en node oppdager du (de ubesøkte) naboene. Hvis du har en FIFO-TODO så får du BFS; har du en LIFO-TODO får du DFS. Alle andre rekkefølger også OK (best-first, random-first ) og gir full traversering. (Usammenhengende grafer litt spesielt.)

38 def walk(g, s): # Walk the graph from node s P, Q = dict(), set() # Predecessors + "to do" queue P[s] = None # s has no predecessor Q.add(s) # We plan on starting with s while Q: # Still nodes to visit u = Q.pop() # Pick one, arbitrarily for v in G[u].difference(P): # New nodes? Q.add(v) # We plan to visit them! P[v] = u # Remember where we came from return P # The traversal tree

39 def components(g): comp = [] seen = set() for u in G: if u in seen: continue C = walk(g, u) seen.update(c) comp.append(c) return comp # The connected components # Nodes we've already seen # Try every starting point # Seen? Ignore it # Traverse component # Add keys of C to seen # Collect the components

40 Stack Overflow: Nyttig nettsted. Men poenget her: Rekursjon implementeres vha. en stack. Rekursjon og LIFO-kø er ekvivalent. For hvert funksjonskall legges en stack frame øverst på stacken (som en tallerken øverst i en stabel). Der venter den til evt. rekursive kall terminerer, og andre stack frames (oppå vår) poppes av. Med andre ord: Vi kan bruke en stack i traverseringen vår, eller vi kan implementere den rekursivt. Resultatet blir (i prinsippet) det samme.

41 Adventurers always go right Ikke alle grafer ser ut som grafer Men hvordan navigerer vi i grafer? Eksempel: (1) Besøk aldri et sted mer enn én gang; (2) gå alltid til (f.eks.) høyre; (3) snu 180 i blindveier. Vi markerer også også om vi besøker steder vi har sett før, når vi kom til et sted og når vi forlot det (etter å ha søkt videre), og hvorvidt vi har funnet en node men ikke forlatt den ennå. Denslags bokføring er beskrevet i detalj i boka. (Tree edges, forward edges, back edges, cross edges.) D.F.S.

42 def dfs(g, s, S=None): if S is None: S = set() S.add(s) for u in G[s]: if u in S: continue dfs(g, u, S) # Initialize the history # We've visited s # Explore neighbors # Already visited: Skip # New: Explore recursively Evt. google flood-fill for et viktig eksempel.

43 D.F.S. Foreldre skrives opp før barn Discover-time.

44 D.F.S. Foreldre strykes ut etter barn Backtracking/finish-time

45 Tree edges Traveseringstreet Forward edges Back edges Cross edges Fremover i treet Bakover i treet Andre kanter Kan avgjøres ved hjelp av discover-time og finish-time.

46 Leting i spiralmønster B.F.S. En annen fremgangsmåte: Jobb deg ut fra startpunktet nivå for nivå i spiral. Nye områder du kommer i kontakt med må vente ( stå i kø ) til du er ferdig med nåværende runde (dvs. det som alt står i kø ).

47 def bfs(g, s): P, Q = {s: None}, deque([s]) # Parents and FIFO queue while Q: u = Q.popleft() # Constant-time for deque for v in G[u]: if v in P: continue # Already has parent P[v] = u # Reached from u: u is parent Q.append(v) return P

48 Kjekt å vite Korrekthet (rekursjon, induksjon) for korteste vei og to-farging. BFS kan finne én-til-alle korteste vei DFS har andre nyttige egenskaper All traversering kan brukes til to-farging Vi snakker her om *uvektet* korteste vei. Mer om DFS-anvendelser neste gang. En tofargbar graf kalles også *bipartitt*. Nodene kan deles i to mengder uten interne kanter (f.eks. konflikter). Trefarging (etc.) er atskillig vanskeligere ingen kjente metoder.

49 reduksjon! rekursjon dekomp. Egenskaper vi vil bevise: At vi besøker alle noder (gjelder bare hver sammenhengende komponent) At vi får til tofarging At BFS finner korteste vei - At gjenbruk unngår induksjon travers. gjenbruk BFS og DFS

50 Kan vi bruke BFS på noe vis her? (Reduksjon )

51 4

52

53 «Vent 4» Dijkstras algoritme Nesten, i hvert fall

54 Besøk noder BFS: Korteste vei Uvektede grafer «Huskeliste» Oppdateres Svært anvendelige Ganske naive O(E+V) BFS og DFS

55 Hashfunksjoner kan være brutale Hashing

56 hash, x. There is no definition for this word nobody knows what hash is. The Devil s Dictionary, 1911

57 Nøkler mappes til posisjoner i en tabell; heltall kan f.eks. brukes direkte som indeks (direkte hashing). 0 1 / X 2 Y 5 4 / Z / 5

58 men ordet hashing kommer av det at vi hakker opp og knøvler nøkkelen. (Bilde: Hash brown potatoes, aka hash browns.)

59 ( Bør ikke forveksles med hash brownies )

60 Vi knøvler (hasher) fordi vi da kan tillate større (og merkeligere) verdiområder. Hver nøkkel får en hashverdi (som er en indeks inn i tabellen) vha. en hashfunksjon. k 1 / 0 h(k 1 ) k 3 k 2 / h(k 2 ) h(k 2 ) / m 1

61 k 1 h(k 1 ) = h(k 2 ) k 1 k 1 / k 2 Vi kan nå få kollisjoner (fordi verdiområdet er større enn lengden til tabellen; «pigeonholeprinsippet»). Vi løser det f.eks. ved å legge flere nøkler i hver «bås» (vha. en lenket liste). Vi må bare sørge for jevn fordeling = korte lister.

62 Hashfunksjoner Divisjonsmetoden Multiplikasjonsmetoden og mange andre

63 w / X / / Y «Chaining»: Vi kan, i stedet for å bruke en liste, hoppe videre i tabellen (etter et mønster) for å finne en ledig plass. Når vi leter etter en nøkkel må vi følge samme prosedyre. Z / /

64 Bucket-sort forsmak. Litt uvanlig: Rekkefølge på bøttene, og en «mening» med hvor ting plasseres. Vanligvis prøver vi jo å være «tilfeldige». 0 1

65 Direkte oppslag God plass Statiske objekter Beregn indeks Håndter kollisjoner Veldig kjapt Kollisjonsfare O(1) Avg-case Hashing

66 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

67 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering