Utforskende oppgaver i matematikkundervisningen

Transkript

1 Utforskende oppgaver i matematikkundervisningen Aspekter ved undervisning i hel klasse Barne- og ungdomstrinnet Novemberkonferansen tirsdag 29.november 2016 Svein Anders Heggem

2 Læringspartnerne: Anne Line Bruun Marita Mathiassen Øyvind Volden Kari Bale Lars Otto Paust Lisbeth Guren Bjørge Eilertsen Rajesh Kumar Nayyar Vivian Ytterli Bjørn Geisler Hansen Vigdis Marie Larsen Fritz Rognan Carina Hæreid Abell Lisa Stokmo Hansen Lars Hammer Siri Pettersen Geir Andre Wahlquist Marita Tolaas Lars Erik Ryen Stig Morten Stømner Eva Bye Nystrøm Roald Amundsen Ingvill Berg Andreas Randen Mona Søyland Nina Aalberg Stig Atle Myhre Turid Lund Eskil Braseth Anne Aarøe Øystein Mørk

3 Tor Arne Mjølund: «Er trening og øving det samme som læring?»..om å utvikle fotballforståelse og matematisk kompetanse

4 Læringspartner i matematikk og læringsmiljøet I oppstarten, underveis eller som oppsummering av timen Når lærer stiller spørsmål til klassen (snakk sammen, plenum, ingen håndsopprekking!) Når elevene får en utfordring eller et problem Ferdighetstrening: Prøv om dere kan hjelpe hverandre først Ved gjennomgang av lekser eller prøver I forbindelse med muntlig og skriftlig vurdering Når eleven skal være med på å lage kriterier

5 Nødvendige rammer for matematikktimene Det skal være trygghet for å prøve en tankegang eller strategi. Alle bidrag er velkommen: Feilsvar er viktige og brukes pedagogisk. Tid til å tenke, diskutere med læringsvennen og jobbe med problemfelt og oppgaver. Plenumssamtale / oppsummering Ingen håndsopprekking: Alle blir utfordret over en periode på en til to timer. Lytte og respondere med respekt og høflighet til medelever Læringsvenner trekkes hver fjortende dag eller hver tredje uke. Når det blinkes med lyset samles oppmerksomheten til plenumsamtale.

6 Hva er nødvendige for at alle elevene skal utvikle sin regne- og matematikkompetanse? Imitasjonslæring (Prosedyre / algoritmisk tilnærming /instrumentell forståelse) eller mer kreative undervisningsformer (utforskende og resonnerende tinærming / begrepsmessig og relasjonell kunnskap)?

7 Et forsøk på en slags situasjonsanalyse: Prosedyre- eller algoritmepreget undervisning Tradisjonelt og svært utbredt fagsyn: Matematikk er et hierarkisk oppbygd fag: Viktig med riktig progresjon. Lærebøkene: Stykkevis utporsjonering (fragmentering) av små kunnskapsdeler Lærerens rolle: Gjennomgå og forklare med vekt på regler og fremgangsmåter Elevene øver. «Neste time går vi videre og bygger på det vi lærte sist» En konsekvens, lærerens tidsklemme: Læreboka er tykk med mange kapitler som klassen «må igjennom».

8 Noen viktige momenter som kjennetegner god læring og undervisning i matematikk og konsekvenser for undervisningen? Undersøkende matematikkundervisning (inquiry based teaching): Oppstart: En ny og kognitivt krevende oppgave presenteres. Elevene får god tid til å jobbe med oppgaven eller aktiviteten, finne nye løsninger, beskriver strategier, hvordan de tenker etc. Oppsummering: Klassen diskuterer oppgaven og forskjellige løsningsmetoder. Elevene utvikler forståelse for prosedyrene og må kunne bruke disse. Forståelse: Instrumentell forståelse: lære regler og formler som hjelp for å finne løsninger på ulike oppgaver. Prosedyrekunnskap. Relasjonell forståelse: bygge opp begrepsmessige strukturer og se sammenhenger mellom begreper, vite hvordan man løser en oppgave og hvorfor det blir slik. Begrepsmessig kunnskap. Eksempel: Instrumentell forståelse, en rekke bestemte instrukser fra start til et bestemmelsessted. Hvis du gjør en feil i forhold til instruksen. Relasjonell forståelse, et mentalt kart over området. (Richard Skemp: The Psychology of Learning Mathematics,1971m.revisjoner)

9 Utforskende holdning til mindre og større oppgaver: Tenk først et par minutter selv og drøft med læringsvennen din

10 Minner på formålet med faget Matematikkfaget i skolen medvirker til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den enkelte trenger. For å oppnå dette må elevene få mulighet til å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening. (LK-06)

11 Brette eske uten lokk av et A4-ark. (Et A4-ark er 30cm x 21cm)

12 Eske uten lokk

13 IKT-tilgang i våre klasserom i dag Behov for et regneark melder seg for noen:

14 Og må finsikte litt.

15 «Kan vi bruke GeoGebra?»

16 Snakk sammen med læringsvennen om har vi tid til slike oppgaver eller bør vi gi elevene flere opplysninger, presentere prosedyrer og algoritmer i undervisningen? hvordan sikre at alle utvikler kompetanse og har utbytte av undervisningen? er dette en god modell for å tilpasse opplæringen?

17 Teacher Move Hva en lærer gjør Fordeler Det kan høres ut som Fem produktive Samtaletrekk (Talk moves) 1. Gjenta Repeterer deler eller alt en elev sier, og ber deretter eleven respondere og bekrefte om det er korrekt eller ikke. Bekrefte og avklare Gjør elevens ideer tilgjengelig for læreren og andre elever slik at de kan forstå dem Elevene får rom til å tenke slik at de lettere kan følge med på det matematiske innholdet Du sier at dette er et oddetall? Så du sier at? Er det det du mener? 2. Repetere Spør en elev om å gjenta en annens elevs resonnering Gir elevene mer tid til å fordøye en ide, samt å høre den på en annen måte Får bekreftet at andre elever virkelig hørte ideen til eleven Kan du gjenta hva han sa med dine egne ord? Forsto alle sammen det? La oss ta en rask snakk med sidemannen. Viser elevene at deres matematiske ideer er viktige og blir tatt på alvor 3. Resonnere Spør elevene om å bruke deres egen resonnering på noen andres resonnering Presser på for å få frem resonnering Inngangsdør for å få frem elevenes tenking. Posisjonerer elevenes ideer som viktige matematiske ideer. Hjelper elevene med å engasjere seg i hverandres resonnering Er du enig eller uenig, og hvorfor? Hva mener du om det? Hvorfor tror du det? 4. Tilføye Prøver å få elevene til å delta i en videre diskusjon Oppmuntrer elevene til å dele sine ideer. Har noen noe de vil føye til? Bidrar til å etablere en norm om å se sammenhenger mellom matematiske ideer og bygge på dem. Kari, jeg ser at du rekker opp hånda. Har du noe å tilføye? 5. Vente Venter uten å si noe Bringer viktige bidrag fra flere elever inn i diskusjonen. Kommuniserer en forventning om at alle har viktige ideer de kan bidra med. Ta den tiden du trenger vi venter. (Teller sakte til 10 inni deg.)

18 Oppsummering: 1. Hva har du lært i dag? Vær konkret! 2. Hvordan lærte du dette? Lærer forklarte, medelev forklarte, fant ut av det selv, diskuterte med læringsvennen, fant stoff med annen tilnærming, jobbet med læreboka, gjorde målinger, tegnet opp, lagde modeller etc. 3. Er det noe av dette du er usikker på eller fremdeles ikke forstår? Konkret: Hva da? 4. Hvordan er du fornøyd med ditt eget arbeid i dag? Noe du vil gjøre annerledes neste matematikktime? 5. Hvilken nytte kan du ha av dette du har lært? Henger det sammen med noe annet du kan? Noe fra andre fagområder?

19 Grep for bedre undervisning? Holder faglig fokus: Læring er viktigere enn aktivitet Undervisning for begrepsforståelse Ser og utnytter sammenhenger Legger opp til konstruktive diskusjoner Utfordrer og stiller faglige krav til alle elever Utvikler positive holdninger Tydelig oppstart og god oppsummering

20 Mye forskning tyder på at....kognitivt krevende matematikkoppgaver fremmer større begrepsmessig forståelse hos elevene elevene må streve litt / gjøre en innsats for å forstå matematikken og ikke bare bli presentert for informasjon (algoritmer, prosedyrer etc.).algebra er det området hvor elevene oftest møter algoritmer og huskeregler for å løse problemer: Dermed forblir forståelsen av algebra på et instrumentelt nivå. «I dag skal dere lære å multiplisere inn i parenteser.»

21 Hvordan veileder vi elever som trenger hjelp? Presentere en algoritme eller skal eleven tenke og resonnere selv? Hvordan var det nå: Er a 5 * a 3 = 2 a 15? Nei, du bare adderer eksponentene!

22 Påstand: «Alle rektangel med samme omkrets har samme areal» Elev på 8.trinn : «Hei,nå oppdaget jeg noe rart!» n n-1 n n+1

23 Påstand: «Alle rektangel med samme omkrets har samme areal» Oppstart og motivering for oppgaven

24 «Det som Turid så.»

25 Se på dette: Finner dere noe mønster?

26 Anvendelse: Ta utgangspunkt i multiplikasjon av to tall dere synes er greie å gange sammen.. eksempelvis 20 x 20 Lag deretter en oppgave og bytt med læringsvennen: Hva blir 18 x 22..?

27 Hoderegningsoppgaver: Ta utgangspunkt i noe kjent 100x100=.. 103x97=. 30x30=. 35x25= 50x50= 43x57= Lag en eller to liknende oppgaver til læringsvennen din! Bli enige om en oppgave dere presenterer i plenum!

28 4 m langt tau Lag et kvadrat av tauet: Hva er omkrets? Areal? Lag et nytt rektangel som er 3 ganger så langt som det er bredt: Omkrets? Areal? Noe sammenheng til «Konjugatsetningen»? a*a = a 2 (a-0,5)(a+0,5) = a 2-0,25 og noen ser det slik: 1,5a*0,5a = 0,75a 2

29

30 Gjennkjenne, lage uttrykk og bruke

31 Fra matematikkdidaktisk forskning: Johan Lithner, Umeå universitet: Utenatlæring er en av hovedårsakene til at matematikk blir vanskelig for store grupper av elever. Å imitere prosedyrer utvikler ikke grunnleggende begreper og matematikkompetanse.

32 To undervisningsmetoder, to motstridende hypoteser: Algoritmisk resonnement (AR) bør lede til bedre læring. Elevene får mer informasjon i oppgavene. De er blitt gitt løsningsmetodene: Det forenkler læringen. Kreativt matematisk resonnement (CMR)-gruppa må konstruere egne løsninger og de blir tvunget til å finne ut selv omkring matematikken de anvender. 30 min individuell forberedelse i en datalab. En uke senere: Ny test: Under forberedelsen: AR-gruppa løser bortimot 100% CMR-gruppa ca.60%.

33 AR-gruppa: Tradisjonelle lærebokoppgaver Når kvadrater settes sammen til en rekke som vist over, trenger man 13 fyrstikker for å lage 4 kvadrater. Hvis x er antall kvadrater, kan man regne ut antall fyrstikker ved formelen y = 3x + 1 Eksempel: Hvis du skal lage ei rekke med 4 kvadrater, trenger du y = 3 * = 13 fyrstikker Hvor mange fyrstikker trenger man for å lage ei rekke med 6 kvadrater? Hva med 9 kvadrater?

34 CMR-gruppa: Mindre informasjon, mer utforsking, «inquiry»: Når kvadrater settes sammen til en rekke som vist over, trenger man 13 fyrstikker for å lage 4 kvadrater. Hvor mange fyrstikker trenger man for å lage ei rekke med 6 kvadrater? Hva med 9 kvadrater?

35 Algoritmisk resonnement(ar) eller kreativt matematisk resonnement (CMR)?

36 «Kreative og mer åpne oppgaver passer bare for de flinkeste elevene, ikke for de svakeste.! De må få en oppskrift!»

37 Johan Lithner, Umeå universitet: Elever som kun har lært en oppskrift er fortapt når de ikke husker dem riktig. Elever som har lært å resonnere matematisk, tenker og gjenskaper regnestrategier når de er i tvil. De regner bedre!

38 Takk for oppmerksomheten!

39 Noen ressurser for utforskingsoppgaver: Artikler og filmer fra videregående nivå kan også inspirere og gi læreren i grunnskolen gode idéer: %20matematikk