Ulike typer redundans. Lempel-Ziv-koding. Universell koding. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Ulike typer redundans. Lempel-Ziv-koding. Universell koding. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II"

Transkript

1 Ulike typer redundns INF 230 Digitl ildeehndling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon v gråtoneilder JPEG-kompresjon v frgeilder Rekonstruksjonsfeil i ilder Tpsfri prediktiv koding F INF 230 Psykovisuell redundns Det finnes informsjon vi ikke kn se. D kn vi su-smple, eller redusere ntll it per piksel. Interilde redundns Det er en viss likhet mellom no-ilder i en tids-sekvens Vi koder noen ilder i sekvensen, og deretter re differnser. Intersmpel redundns No-piksler ligner på hverndre eller er like. Hver linje i ildet kn run-length trnsformeres. Kodings-redundns Gjennomsnittlig kodelengde minus et teoretisk minimum. Velg en metode som er grei å ruke, med liten redundns. F INF Universell koding Lempel-Ziv-koding Huffmn-koding ygger på t mn finner ntll forekomster v hvert symol i teksten, og lger kodene fr dette. Kodene må lges fr gng til gng, og kodeoken må også oversendes. Er det mulig å finne en universell kode for hvor mnge gnger et symol forekommer? Vi kn f.eks. se på forekomster v ulike okstver i norsk eller engelsk tekst. e forekommer oftest, z, x og q er sjeldne Eller vi kn ygge opp kodestrenger etterhvert som vi ser gjenttte mønstere. Lempel-Ziv koding er et eksempel på universell koding v symoler (f.eks. en itsekvens). Premierer mønstre i dtene, ser på smforekomster v symoler. Bygger opp en symolstreng-liste åde under kompresjon og dekompresjon. Denne listen skl ikke lgres eller sendes, for mottkeren kn ygge opp listen ved hjelp v den symolstrengen hn mottr. Det eneste mn trenger er et stndrd lfet (f.eks ASCII). F INF F INF 230 4

2 Lempel-Ziv-koding Mottker kjenner re lfetet, og lgrer nye frser ved å tnest siste streng pluss første symol i sist tilsendte streng, inntil listen er full (det er en prktisk grense her!). En ulempe er t mn v og til lger kodeord som mn ikke får ruk for. Finnes i Unix compress siden 96. Ble en del v GIF-formtet i 97. Er en opsjon i TIFF-formtet. Finnes i Aoe Acrot. Komprimerer typisk tekst-filer med c fktor 2. F INF Eksempel på Lempel-Ziv Ant t lfetet er, og c som tilordnes kodene, 2 og 3. L dtene være c ( tegn) sender: ny frse = sendt streng pluss neste usendte symol mottker: ny frse = nest siste streng pluss første symol i sist tilsendte streng Ser c Sender Senders liste =,=2,c=3 =4 =5 c=6 c=7 = =9 Mottr Vi mottr en kode som ikke finnes i listen. Kode le lget som +?, og nå sendes kode. Altså må vi h? = => = + =. F INF Tolker c Mottkers liste =, =2, c=3 =4 =5 c=6 c=7 Eksempel på Lempel-Ziv - II Ser c Sender Senders liste =,=2,c=3 =4 =5 c=6 c=7 = =9 =0 = =2 Mottr = =9 =0 = =2 Kode 0 le lget idet = le sendt, som 0 +?. Så sendes 0. D må vi h 0= + =. Istedenfor tegn er det sendt 0 koder. 5 v 2 koder le ikke rukt. F INF Tolker c Mottkers liste =, =2, c=3 =4 =5 c=6 c=7 Et eksempel fr ok Dt : (6 piksler med gråtoner =39 og =26) sender: ny frse = sendt streng pluss neste usendte symol mottker: ny frse = nest siste streng pluss første symol i sist tilsendte streng ser sender liste =256 =257 =25 =259 =260 =26 =262 =263 =264 mottr Listen utvides fr til 9 iter Kompresjonsrte C= (6x)/(0x9) =.42 tolker liste 256= 257= 25= 259= 260= 26= 262= 263= 264= F INF 230

3 Aritmetisk koding Aritmetisk koding er en metode for tpsfri kompresjon. Det er en vriel lengde entropi-kode. Metoden produserer ikke kode-ord for enkelt-symoler. Metoden koder en sekvens v symoler til et tll n (0.0 n <.0). Dermed kn mn få en mer optiml koding enn med Huffmn-koding, fordi mn ikke lenger er egrenset til et heltlls ntll iter per tegn i sekvensen. Produserer nær optiml kode for et gitt sett v symoler og snnsynligheter. Jo edre smsvr det er mellom modellen og de virkelige forekomstene i sekvensen, desto nærmere optimlitet kommer mn. Aritmetisk koding - 2 Vi plsserer symol-snnsynlighetene etter hverndre på tllinjen fr 0 til. Får et estemt del-intervll mellom 0 og som tilsvrer hvert tegn. Hr vi to tegn etter hverndre, så lir det delintervllet som representerer dette tegnpret et delintervll v intervllet til det første tegnet, osv. Et kodeord for en lengre sekvens v tegn vil d eskrive et hlvåpent delintervll v det hlvåpne enhetsintervllet [0, ), og kodeordet må inneholde kkurt tilstrekkelig mnge iter til å gi en entydig peker til det riktige delintervllet. F INF F INF Algoritme Algoritmen kn eskrives i pros : Vi strter med et current intervl = [0,). For hvert nytt tegn gjør vi to ting: Vi deler opp current intervl i nye delintervller, der størrelsen på hvert delintervll er proporsjonl med snnsynligheten for vedkommende tegn. Vi velger det delintervllet v current intervl som svrer til det tegnet vi fktisk hr truffet på, og gjør dette til vårt nye current intervl. Til slutt ruker vi så mnge iter til å representere det endelige intervllet t det entydig skiller dette intervllet fr lle ndre mulige intervller. Sttisk modell Ant t vi hr følgende enkle sttiske snnsynlighets-modell: 60% snnsynlighet for symolet A 20% snnsynlighet for symolet B 0% snnsynlighet for symolet C 0% snnsynlighet for symol END-OF-DATA. Siden EOD ts med i modellen, får vi en intern terminering. Dette er gnske vnlig i prktisk dt-kompresjon. F INF 230 F INF 230 2

4 Koding Kodingen deler current intervl opp i su-intervller Hvert su-intervll hr en redde som er proporsjonl med snnsynligheten til et gitt symol i current context. Det intervllet som svrer til det neste symolet i sekvensen lir current intervl i neste steg. Eksempel: for den 4-tegns modellen vi hr: intervllet for A er [0.0, 0.6) intervllet for B er [0.6, 0.) intervllet for C er [0., 0.9) intervllet for EOD er [0.9, ). Et kodings-eksempel Ant t vi hr et lfet {,,c} med snnsynligheter {0.6,0.2,0.2}. Hvilket intervll mellom 0 og vil entydig representere teksten c? ligger i intervllet [0, 0.6). Current intervl hr nå en redde på 0.6. c ligger i intervllet [0+0.6*0., 0+0.6*) = [0.4, 0.6). Intervllredden er nå 0.2. c ligger i intervllet [ *0, *0.6) = [0.4, 0.552). Intervllredden er c ligger i intervllet [ *0.6, *0.) = [0.5232, ). Intervllredden er c er i [ *0, *0.6) = [0.5232, 0.534). Intervllredden er nå (= produktet 0.6*0.2*0.6*0.2*0.6). Et tll i intervllet, f.eks , vil entydig representere teksten c, forutstt t mottkeren hr den smme modellen. F INF F INF Eksempel på dekoding Ant t vi skl dekode tllet 0.53 Vi strter med intervllet [0,) som current intervl. Vi ruker modellen med EOD, og deler opp i 4 su-intervller Vårt tll 0.53 ligger i su-intervllet for A, [0, 0.6): => Første tegn er A. Så deler vi opp intervllet [0, 0.6) for å finne neste tegn: intervllet for A er [0, 0.36) redde 60% v [0, 0.6) intervllet for B er [0.36, 0.4) redde 20% v [0, 0.6) intervllet for C er [0.4, 0.54) redde 0% v [0, 0.6) intervllet for EOD er [0.54, 0.6) redde 0% of [0, 0.6) Vårt tll.53 er i intervllet [0.4, 0.54): => Neste tegn må være C. Vi deler opp intervllet [0.4, 0.54): intervllet for A er [0.4, 0.56) intervllet for B er [0.56, 0.52) intervllet for C er [0.52, 0.534) intervllet for EOD er [0.534, 0.540). Tllet.53 ligger i intervllet for EOD: => Dekodingen er ferdig. Representsjon v desimltll Vi sender ikke desimltll, men et itmønster. Hvor mnge iter trenger vi for å gi en entydig representsjon v et intervll? Vi kn skrive tllet N i intervllet [0,) som en veiet sum v negtive toerpotenser N 0 = c *2 - + c 2 *2-2 + c 3 * c n *2 -n + Rekken v koeffisienter c c 2 c 3 c 4 utgjør d itmønsteret i den inære representsjonen v tllet. Det er dette vi mener når vi skriver desimltllet N som N=0.c c 2 c 3 c F INF F INF 230 6

5 Desimltll som it-sekvens For å konvertere et desimltll i titllsystemet til et inært tll kn vi ruke suksessive multipliksjoner med 2 :. Vi multipliserer egge sider v ligningen nedenfor med 2: N 0 = c *2 - + c 2 *2-2 + c 3 * c n *2 -n + Heltllsdelen v resulttet er d lik c fordi 2N = c +R, der R = c 2 *2 - + c 3 * c n *2 -(n-) + Hvis resten er 0 er vi ferdige. 2. Multipliser resten R med 2. Heltllsdelen v resulttet er neste it. 3. Hvis resten er 0 er vi ferdige. Ellers går vi til 2. Representsjon v intervll - I Vi kn ruke intervllet [0.534, 0.540) som eksempel er et desimltll i dette intervllet. 2* = > c =, rest = * = > c 2 = 0, rest = * = > c 3 = 0, rest = *0.325 = > c 4 = 0, rest = *0.625 =.25 -> c 5 =, rest =0.25 2*0.25 = > c 6 = 0, rest = 0.5 2*0.5 =.0 -> c 7 =, rest = 0. Vi kn kode intervllet vårt med det inære desimltllet.0000 (ekvivlent med desimlt) med re 7 iter. F INF F INF 230 Representsjon v intervll - II Finn kortest mulig N=0.c c 2 c 3... innenfor [0.6, 0.7). Husk t i totll-systemet gjelder følgende : c k *2 -k + + c n *2 -n < c k- *2 -(k-) Ergo: N = 0. => 0.5 N < N = 0.0 => 0.5 N < 0.75 N = 0.00 => 0.5 N < N = 0.0 => N < 0.75 N = 0.00 => N < Vi kn kode intervllet vårt med det inære desimltllet.00 (ekvivlent med desimlt) med re 4 iter. Prolemer og løsninger Den stdige krympingen v current intervl krever ritmetikk med stdig økende presisjon etter hvert som teksten lir lengre. Metoden gir ingen output før hele sekvensen er ehndlet. Løsning: Send den mest signifiknte iten strks den er entydig kjent, og så dole lengden på current intervl, slik t det re inneholder den ukjente delen v det endelige intervllet. Det finnes flere prktiske implementsjoner v dette, lle er gnske regnetunge de ller fleste er elgt med ptenter. F INF F INF

6 Sttistiske modeller Sttiske histogrm-serte modeller er ikke optimle. Høyere ordens modeller endrer estimtet v snnsynligheten for et tegn (og dermed del-intervllet) sert på foregående tegn (context). I en modell for engelsk tekst vil intervllredden for u øke hvis u kommer etter Q eller q. Modellen kn også være dptiv, slik t den kontinuerlig endres ved en tilpsning til den fktiske dtstrømmen. Dekoderen må h den smme modellen som koderen! JPEG-koding (tpsfri) JPEG (Joint Photogrphic Expert Group) er et v de vnligste ildeformtene med kompresjon. JPEG-stndrden hr vrinter åde for tpsfri og ikke-tpsfri kompresjon. JPEG kn ruke enten Huffmn-koding eller ritmetisk koding. Prediktiv koding rukes for å predikere t neste piksel hr lignende verdi som forrige piksel å predikere t en piksel hr lignende verdi som pikselen på linjen over å predikere t neste piksel på linjen hr lignende verdi som de tre nærmest pikslene Typen koding estemmes fr ilde til ilde F INF F INF Ikke-tpsfri (lossy) kompresjon For å få høye kompresjonsrter, er det ofte nødvendig med ikke-tpsfri kompresjon. Ulempen er t mn ikke kn rekonstruere det originle ildet, fordi et informsjonstp hr skjedd. Enkle metoder for ikke-tpsfri kompresjon er rekvntisering til færre ntll gråtoner, eller resmpling til dårligere romlig oppløsning. Andre enkle metoder er filtering der f.eks. 3 3 piksler ersttter med ett nytt piksel som er enten middelverdien eller medinverdien v de opprinnelige pikselverdiene. F INF Lossy JPEG-kompresjon v ilde Bildet deles opp i lokker på x piksler, og hver lokk kodes seprt. Trekk fr 2 fr lle pikselverdiene. Hver lokk trnsformeres med DCT (Diskret Cosinus Trnsform): F( u, v) 2 MN N M = πu πv forξ = 0 c( x) c( y)cos ( 2x + ) cos ( 2 y + ) f ( x, y), c( ξ ) = 2 = 0 2N 2M ellers x= 0 y DCT trnsform Informsjonen i de 64 pikslene smles i en liten del v de 64 koeffisientene Mest i øverste venstre hjørne F INF

7 Lossy JPEG-kompresjon 2 Trnsformkoeffisientene skleres med en vektmtrise kvntiseres til heltll. Lossy JPEG-kompresjon 3 Sikk-skk-scnning ordner koeffisientene i D-rekkefølge. divideres med Avrundes til F INF Koeffisientene vil d stort sett vt i verdi utover i rekk Mnge koeffisienter er rundet v til null. Løpelengde-trnsform v koeffisientene Huffmn-koding v løpelengdene. Huffmn-koden og kodeoken sendes til mottker / lger. Gjents for lle lokker i lle knler. F INF Aritmetisk koding v DC-koeff. JPEG dekompresjon - DC-koeffisientene fr lle lokkene legges etter hverndre. Disse er korrelerte og ør differnse-trnsformeres. Kjenner snnsynligheten for hvert symol i lfetet. Deler opp intervllet [0,) etter snnsynlighetene Velger intervllet som svrer til første tegn Deler intervllet i del-intervller Velger del-intervllet som svrer til ndre tegn Osv. En symolsekvens gir et tll i et intervll!!! Bruker så mnge iter t vi får en entydig eskrivelse. Huffmn-koden for en lokk er reversiel og gir løpelengdene. Løpelengdetrnsformen er reversiel, gir kvntiserte DCT-koeffisienter. Sikk-skk trnsformen er reversiel, og gir en heltllsmtrise. Denne mtrisen multipliseres med vektmtrisen. multipliseres med Dette gir F INF F INF 230 2

8 JPEG dekompresjon - 2 JPEG dekompresjon 3 Dette er IKKE helt likt koeffisientene etter forlengs DCT-trnsformsjon. Så gjør vi en invers DCT, og får en rekonstruert piksels ildelokk. Men de store trekkene er evrt: De største tllene ligger i øvre venstre hjørne De fleste tllene i mtrisen er lik 0. invers DCT trnsform F INF F INF JPEG dekompresjon 4 Differnsene fr den originle lokken er små! - = JPEG-kompresjon v frgeilde Vi skifter frgerom slik t vi seprerer lysintensitet fr kromsi (perseptuell redundns, sprer plss). Bildet deles opp i lokker på x piksler, og hver lokk kodes seprt. Vi skifter frgerom for hvert ildepln Kompresjon / dekompresjon lokk for lokk gir lokk-effekter i ildet. Hver lokk trnsformeres med DCT. Forskjellige vektmtriser for intensitet og kromtisitet.... resten er som for gråtoneilder... F INF F INF

9 JPEG dekompresjon v frgeilde Alle dekomprimerte x-lokker i hvert ildepln smles til et ilde. Bildeplnene smles til et YIQ frgeilde Vi skifter frgerom fr YIQ til RGB for fremvisning, CMYK for utskrift. Rekonstruksjons-feil i gråtoneilder DCT kn gi piksels lokk-rtefkter, sløring og doelt-konturer. Avhengig v vektmtrise ntll koeffisienter for hvert ildepln smle ildeplnene Vi skifter frgerom Vi hr redusert oppløsning i Y og Q, men full oppløsning i RGB: Gir lokkeffekt i intensitet 6 6 piksels lokkeffekt i frgene i RGB F INF F INF Blokk-rtefkter Blokk-rtefktene øker med kompresjonsrten. Sklering v vekt-mtrisen Vi hr rukt vektmtrisen Z: Øverst: kompresjonsrte = 25 Nederst: kompresjonsrte = 52 Sklerer vi Z med, 2, 4, 6, 32 får vi C = 2, 9, 30 49, 5, 2 F INF F INF

10 Rekonstruksjons-feil i frgeilder 24 iters RGB komprimert til.5-2 iter per piksel (pp) pp gir god/meget god kvlitet pp gir noen feil Frgefeil i mkrolokk JPEG gir lokkeffekt JPEG 2000 uten lokker: Høyere kompresjon Mye edre kvlitet Hvorfor DCT? Den implisitte N-punkts periodisiteten i Fouriertrnsformen vil introdusere høye frekvenser, og gir krftige lokk-rtefkter. DCT hr en implisitt 2N-punkts periodisitet, og unngår denne effekten. F INF F INF Blokkstørrelse Kompresjon og kompleksitet øker med lokkstørrelsen, men rekonstruksjonsfeilen vtr. Eksperiment: Del opp ildet i nxn piksels lokker Trnsformer Behold 25% v koeffisientene Gjør invers trnsform og eregn rms-feil Blokk-rtefkter vtr med økende lokkstørrelse. Tpsfri prediktiv koding Istedenfor å kode pikselverdiene f(x,y) kn vi kode e(x,y) = f(x,y) - g(x,y) der g er predikert fr m noer. En -D lineær prediktor v orden m: En første-ordens lineær prediktor: g( x, y) = round [ α f ( x, y) ] Hvilken trnsform er dette? Lik-lengde koding krever ekstr it Bruker entropi-koding Mx kompresjon er gitt ved: Biter per piksel i originl Entropien til prediksjonsfeilen Her lir mx C 2. m g( x, y) = round αi f ( x i, y) i= F INF F INF

11 Tpsfri koding v ildesekvenser Prediksjon kn utvides til tids-sekvenser: Enklest mulig: første ordens lineær: Differnse-entropien er lv: H=2.59 Mx kompresjon: C / Bevegelses-deteksjon og evegelses-kompenssjon innenfor 6x6 mkro-lokker er nødvendig for å få høy kompresjon. m g( x, y, t) = round αi f ( x, y, t i) i= [ α f ( x, y, ) ] g( x, y, t) = round t Digitl video Koding v digitle ildesekvenser eller digitl video er sert på differnsekoding. Områder uten interilde evegelse kodes ikke flere gnger, kun koding i områder der endringer skjer. Med ilder i sekundet er det mye å spre på dette. MPEG (Motion Picture Expert Group) stndrd for videokompresjon. MPEG historie: MPEG- video og udio (992) MPEG-2 Digitl TV og DVD (994) MPEG-4: Multimedi nvendelser (99) MPEG-7: Multimedi søking og filtering (200) MPEG-2: Multimedi uvhengig v plttform. F INF F INF Oppsummering - kompresjon Hensikten med kompresjon er mer kompkt lgring eller rsk oversending v informsjon. Kompresjon er sert på informsjonsteori. Antll it. pr. smpel er sentrlt, og vrierer med kompresjonsmetodene og dtene. Sentrle metoder: Før koding: løpelengde-trnsform og differnsetrnsform. Prediktiv koding: differnse i rom eller tid. Huffmn-koding lg snnsynlighetstell, send kokeok Universell koding (f.eks. Lempel Ziv) utnytter mønstre, sender ikke kokeok. Aritmetisk koding koder sekvenser til tll i et intervll. F INF

Ulike typer redundans. Et annet eksempel. Kodingsredundans et eksempel. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II

Ulike typer redundans. Et annet eksempel. Kodingsredundans et eksempel. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II Ulike typer redundns INF 230 Digitl ildeehndling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon v gråtoneilder JPEG-kompresjon v frgeilder Rekonstruksjonsfeil i ilder Tpsfri prediktiv

Detaljer

Ulike typer redundans. Lempel-Ziv-koding. Universell koding. INF 2310 Digital bildebehandling

Ulike typer redundans. Lempel-Ziv-koding. Universell koding. INF 2310 Digital bildebehandling Ulike typer redundns INF 30 Digitl bildebehndling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon v gråtonebilder JPEG-kompresjon v frgebilder Rekonstruksjonsfeil i bilder Efford:

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. Litt om de tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. Litt om de tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Kompresjon og koding Tem i dg :. Hvor mye informsjon inneholder en melding?. Redundns Dt Kompresjon Noen egreper Lgring eller oversending Kompresjonslgoritme Dekompresjonslgoritme Dekompresjon Dt

Detaljer

Lempel-Ziv-koding. Lempel-Ziv-koding. Eksempel på Lempel-Ziv. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II

Lempel-Ziv-koding. Lempel-Ziv-koding. Eksempel på Lempel-Ziv. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II Lempel-Ziv-koding INF 2310 Digital bildebehandling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon av gråtonebilder JPEG-kompresjon av fargebilder Rekonstruksjonsfeil i bilder

Detaljer

da INF 2310 Digital bildebehandling

da INF 2310 Digital bildebehandling Ulike typer redundans da INF 2310 Digital bildebehandling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon av gråtonebilder JPEG-kompresjon av fargebilder Rekonstruksjonsfeil i

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Kompresjon og koding Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Tema i dag :. Noen egreper. Redundans Data Kompresjon Lagring eller oversending Dekompresjon Data. Differanse- og løpelengdetransformer

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Kompresjon og koding Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Tema i dag :. Noen egreper. Redundans Data Kompresjon Lagring eller oversending Dekompresjon Data. Differanse- og løpelengdetransformer

Detaljer

Kompresjon. Noen begreper. Plass og tid. Kompresjon. Digitale data kan ta stor plass. Eksemper : Overføring av data tar tid: Dekompresjonsalgoritme

Kompresjon. Noen begreper. Plass og tid. Kompresjon. Digitale data kan ta stor plass. Eksemper : Overføring av data tar tid: Dekompresjonsalgoritme Kompresjon Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Litteratur : Cyganski kap. 7 Compressing Information kap. 8 Image Compression kap. 9 Digital Video Data Kompresjon Lagring eller oversending

Detaljer

Repetisjon: Kompresjon

Repetisjon: Kompresjon Repetisjon: Kompresjon INF 2310 Digital bildebehandling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon av gråtonebilder JPEG-kompresjon av fargebilder Rekonstruksjonsfeil i bilder

Detaljer

INF 1040 Digital video digital bildeanalyse. Noen begreper. Kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Digital video digital bildeanalyse. Noen begreper. Kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Digital video digital ildeanalyse Tema i dag :. Hvor mye informasjon inneholder en melding?. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding

Detaljer

INF2310 Digital bildebehandling

INF2310 Digital bildebehandling INF2310 Digital bildebehandling Forelesning 12 Kompresjon og koding II Andreas Kleppe LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon Tapsfri prediktiv koding Kompendium: 18.7.3-18.7.4 og 18.8-18.8.1 F12

Detaljer

Repetisjon: Kompresjon

Repetisjon: Kompresjon Repetisjon: Kompresjon INF230 Digital bildebehandling Forelesning Kompresjon og koding II Ole Marius Hoel Rindal, foiler av Andreas Kleppe Differansetransform Løpelengdetransform LZW-transform JPEG-kompresjon

Detaljer

Repetisjon: Kompresjon

Repetisjon: Kompresjon Repetisjon: Kompresjon INF2310 Digital bildebehandling FORELESNING 11 KOMPRESJON OG KODING II Andreas Kleppe Differansetransform Løpelengdetransform LZW-transform JPEG-kompresjon Tapsfri prediktiv koding

Detaljer

FORELESNING 12. KOMPRESJON OG KODING II Andreas Kleppe

FORELESNING 12. KOMPRESJON OG KODING II Andreas Kleppe Repetisjon: Kompresjon INF2310 Digital bildebehandling FORELESNING 12 KOMPRESJON OG KODING II Andreas Kleppe LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon Tapsfri prediktiv koding Kompendium: 18.7.3-18.7.4

Detaljer

INF2310 Digital bildebehandling

INF2310 Digital bildebehandling INF2310 Digital bildebehandling Forelesning 11 Kompresjon og koding II Andreas Kleppe Differansetransform Løpelengdetransform LZW-transform JPEG-kompresjon Tapsfri prediktiv koding Kompendium: 18.4, 18.7.3

Detaljer

Repetisjon: Kompresjon

Repetisjon: Kompresjon INF2310 Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, foiler av Andreas Kleppe Differansetransform Løpelengdetransform LZW-transform JPEG-kompresjon Tapsfri prediktiv koding Kompendium: 18.4, 18.7.3

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer

2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer 2 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture Kort repetisjon 2-komplements form Binær ddisjon/sutrksjon Aritmetisk-logisk enhet (ALU) Sekvensiell logikk RS-ltch 2-komplements

Detaljer

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før Dgens temer Enkoder! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture! Dekoder: En v 2 n output linjer er høy, vhengig v verdien på n inputlinjer! Enkoder/demultiplekser (vslutte fr

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Noen begreper 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding 7. Lempel-Ziv koding 8. JPEG koding

Detaljer

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Noen begreper 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding 7. Lempel-Ziv koding 8. JPEG koding

Detaljer

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon Anvendelser INF 30 Digital it ildeehandling dli 7.04.0 Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundans Bildekvalitet Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman GW: Kap. 8 unntatt

Detaljer

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon. INF 2310 Digital bildebehandling

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon. INF 2310 Digital bildebehandling Anvendelser INF 30 Digital ildeehandling Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Kompendium: Frem t.o.m. 8.7. + Appendiks B Kompresjon

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

Anvendelser. Kompresjon. Noen begreper. INF 2310 Digital bildebehandling

Anvendelser. Kompresjon. Noen begreper. INF 2310 Digital bildebehandling Anvendelser IF 3 Digital ildeehandling Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman GW: Kap. 8 unntatt 8..7, 8.., 8..6, 8.., 8.3 Kompresjon

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

TFE4101 Krets- og Digitalteknikk Vår 2016

TFE4101 Krets- og Digitalteknikk Vår 2016 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekomuniksjon TFE4101 Krets- og Digitlteknikk Vår 2016 Løsningsforslg Øving 4 1 Oppgve 1 R 1 = 10 R 2 = 8 V = 600 V R 3 = 40

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Hvor mye informasjon inneholder en melding? 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding

Detaljer

FORELESNING 11. KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe. Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman

FORELESNING 11. KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe. Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Anvendelser INF30 Digital ildeehandling FORELESNING KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Kompendium: Frem t.o.m.

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2 Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s

Detaljer

Kapittel 15 ANDREGRADSLIGNINGER. Arealet av det ytre kvadratet skal være dobbelt så stort som arealet av bassenget. x =?

Kapittel 15 ANDREGRADSLIGNINGER. Arealet av det ytre kvadratet skal være dobbelt så stort som arealet av bassenget. x =? Arelet v det ytre vdrtet sl være doelt så stort som relet v ssenget.? ( 4) ( 4) > 0 Hvis > 4, så ( 4) 4 4 4,44,44 4 9,66 Løsningen n rues dersom > 0. 9,66 n rues. 9,66 93,3 m 86,60 m ( 4) ( ) 8 6 8 6 8

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk Eksmen FY045 30. mi 007 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 30. mi 007 FY045 Kvntefysikk. I grensen 0 er potensilet V x et enkelt okspotensil, V = V 0 for < x < 0 og uendelig ellers. Den

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding Løsning av øvingsoppgaver, INF230, 2005,. Vi har gitt følgende bilde: kompresjon og koding 0 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 0 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 4 4 2 2 3 2 2 3 4 4 2 2 2 3 3 3 4 3 4 a. Finn Huffman-kodingen av

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

Eksamen våren 2018 Løsninger

Eksamen våren 2018 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

1 Mandag 25. januar 2010

1 Mandag 25. januar 2010 Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:

Detaljer

Numerisk Integrasjon

Numerisk Integrasjon Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Eksamen høsten 2015 Løsninger

Eksamen høsten 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz

Detaljer

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir 2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER

PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER IN 106, V-2001 PLASS og TID Digitale bilder tar stor plass Eksempler: a 512 512 8 bits 3 farger 63 10 6 bits KOMPRESJON OG KODING 30/4 2001 b 24 36 mm fargefilm digitalisert ( x = y=12µm) 2000 3000 8 3

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.

Detaljer

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11

Detaljer

PLASS og TID INF Fritz Albregtsen. Tema: komprimering av bilder ANVENDELSER METODER

PLASS og TID INF Fritz Albregtsen. Tema: komprimering av bilder ANVENDELSER METODER PLASS og TID INF 60-30042002 Fritz Albregtsen Tema: komprimering av bilder Litteratur: Efford, DIP, kap 2 Digitale bilder tar stor plass Eksempler: a 52 52 8 bits 3 farger 63 0 6 bits b 24 36 mm fargefilm

Detaljer

Del 5 Måleusikkerhet 5.2 Type A og type B usikkerhetsbidrag

Del 5 Måleusikkerhet 5.2 Type A og type B usikkerhetsbidrag Del 5 Måleusikkerhet 5. Type A og type B usikkerhetsbidrg Utdrg fr VIM:.8 Type A evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty by sttisticl nlysis of mesured quntity

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2

Detaljer

INF 1040 Løsningsforslag til kapittel

INF 1040 Løsningsforslag til kapittel INF 040 Løsningsforslag til kapittel 8 Oppgave : Huffmankoding med kjente sannsynligheter Gitt en sekvens av symboler som er tilstrekkelig lang, og som inneholder de 6 symbolene A, B, C, D, E, F. Symbolene

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Nøtterøy videregående skole

Nøtterøy videregående skole Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren kompresjon og koding del I

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren kompresjon og koding del I Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren 2009 6. Vi har gitt følgende bilde: kompresjon og koding del I 1 0 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 1 1 3 3 3 1 0 1 1 2 2 2 3 3 2 1 2 2 3 2 3 4 4 2 1 2 3 2 2 3 4 4 2

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT Dgens temer Boolsk lger! Brukes for å eskrive funksjoner i igitle kretser! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture! Kort repetisjon fr forrige gng! Komintorisk logikk! Tre grunnleggene

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til Tll i reid P kp. 1 Tll og lger 1.1 Regning med hele tll 1. Brøk 1.3 Store og små tll 1.4 Bokstvuttrykk 1.5 Likninger 1.6 Formler 1.7 Hverdgsmtemtikk 1.8 Proporsjonlitet Bsisoppgver 1.1

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

INF2310 Digital bildebehandling

INF2310 Digital bildebehandling INF2310 Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal Gråtonetrasformasjoner Histogramtransformasjoner 2D diskret Fourier-transform (2D DFT Filtrering i Fourierdomenet Kompresjon og koding Segmentering

Detaljer

Montering av Grand Star leddporter

Montering av Grand Star leddporter Montering v Grnd Str leddporter Slik holder du porten fin i mnge år Før du strter å mle, gi porten ett til to strøk Visir eller tilsvrende grunning. Bruk nerkjent, god husmling. To til tre strøk er å nefle.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve f = + f ( ) = 6 ( ) 3 g = ( ) e g = + = + ( ) e e e ( ) h = 3 ( ) ln( ) 3 h ( ) = 3 = 3 3 Oppgve

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 4. juni 2013 Tid for eksamen : 09:00 13:00 Oppgavesettet er på : 7 sider

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199

Detaljer

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012.

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Stvnger, 8. ferur 0 Det teknisknturvitenskpelige fkultet MIK 00 Anvendt signlehndling, 0. L. 9, ikke-lineære filter. I denne øving skl vi se litt på hvordn noen ikke-lineære filter kn implementeres i en

Detaljer