Statistisk termodynamikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Statistisk termodynamikk"

Transkript

1 Statistisk termodynamikk i kjemi og biologi TKJ415) Det følgende er et ærlig forsøk på å forklare statterm. For det meste følges Molecular Driving Forces av Dill & Bromberg tett, men det finnes også noen digrasjoner og alternative forklaringer. Figurer inkluderes ikke, for jeg har verken tid til å lage dem eller rettighet til å legge ved figurer fra boka/forelesninger. Referer derfor til bok/slides for figurer rundt aktuelle kapitler. Status: Del 1 kapittel 1 til 16) er stort sett ferdig der annet ikke er nevnt. Del kapittel 17 og utover) er mindre ferdig og blir kanskje aldri ferdig. Del 1 Jonathan 1 GITTERMODELLER Dette kapittelet introduserer gittermodeller og multiplisitet, to fundamentale konsepter i det matematiske rammeverket vi kommer til å bruke for å lage og utforske fysiske modeller. 1.1 Multiplisitet Multinomalkoeffisient Det meste av det man må vite om kombinatorikk og sannsynlighet i statistisk termodynamikk skal være kjent fra et grunnleggende kurs i statistikk. Men det kan være lurt å huske på hva en multinomialkoeffisient er. Størrelsen dukker opp når vi stiller følgende spørsmål: på hvor mange måter kan vi plassere n 0 identiske partikler på energinivå 0, n 1 partikler på energinivå 1, og så videre opp til energinivå m? Vi kaller det totale antallet partikler N, slik at m i0 n i N. Svaret på dette spørsmålet er en multinomialkoeffisient. En gitt konstellasjon av energinivåer {0,..., m} og antall plasser {n 0,..., n m } i hvert energinivå kalles en makrotilstand, og sier noe om hvordan et system ser ut på makronivå. Svaret på spørsmålet vårt kalles systemets multiplisitet og er antallet mikrotilstand er per makrotilstand, altså hvor mange forskjellige konfigurasjoner av de individuelle partiklene som oppfyller kravet om at det er n i partikler på energinivå i for alle i fra 0 til m. Utregning av multiplisiteten La oss først se for oss at partiklene ikke er identiske. Vi begynner ved å plassere par- 1 tikler på energinivå 0. Vi har N muligheter for vårt valg av første partikkel, N 1 muligheter for andre partikkel, og så videre ned til vi har N n muligheter for partikkel nummer n 0. Dermed blir W 0, det totale antallet måter vi kan plassere n 0 ikke-identiske partikler på energinivå 0 på, lik W 0 NN 1)...N n0 + 1) N! N n 0 )! Siden partiklene i virkeligheten er identiske, kan vi ikke se forskjell på dem. Derfor kan ikke rekkefølgen vi brukte for å plassere partiklene på energinivå 0 ha noe å si. Blant de n 0 partiklene på energinivå 0 kunne vi valgt n 0! forskjellige rekkefølger, så vi må dele på n 0 for å få W 0, det sanne antallet måter vi kan plassere n 0 identiske partikler på energinivå 1 på: W 0 W 0 n 0! N! N n 0 )! n 0! Når vi er ferdige med å plassere partikler på energinivå 0 vi har valgt oss 1 av de W 0 mulige måtene å gjøre dette på), begynner vi å plassere partikler på energinivå 1. Prosedyren blir som før, men nå har vi N n 0 muligheter for første partikkel og N n 0 n 1 +1 muligheter for partikkel nummer n 0 n 1. Tilsvarende som i 1) blir 1) ) W 1 N n 0 )N n 0 1)...N n0 n 1 + 1) N n 0)! N n 0 n 1 )! 3)

2 og W 1 W 1 n 1! N n 0 )! N n 0 n 1 )! n 1! Nå blir W 0,1, det totale antallet måter vi kan plassere n 0 partikler på energinivå 0 og samtidig plassere n 1 partikler på energinivå 1 på, lik produktet av W 0 og W 1 : W 0,1 W 0 W 1 N! N n 0 )! N n 0 )! N n 0 n 1 )! n 1! N! N n 0 n 1 )! n 0! n 1! Hvis vi fortsetter til energinivå, får vi til slutt at W 0,1, W 0 W 1 W 4) 5) N! N n 0 n 1 n )! n 0! n 1! n!, 6) og når vi omsider er ferdige med å plassere partiklene på energinivå m, blir svaret på det opprinnelige spørsmålet vårt W W 0,1,...,m N! N m i0 n i)! m i0 n, 7) i som vi altså kalte systemets multiplisitet. Siden N m i0 n i)! N N)! 0! 1, blir det endelige uttrykket for denne multiplisiteten så enkelt som W N! m i0 n. 8) i Dette er en størrelse vi skal komme tilbake til mange, mange ganger. Den skal om ikke lenge brukes til å finne entropien til en ideell gass gjennom Bolzmanns lov, S k B ln W. 9) 1. Gittermodeller plasser. I dette tilfellet stopper vi allerede ved 4). Uttrykket for multiplisiteten blir en funksjon av kun N og M: W N, M) M! N! M N)! 10) Her får M rollen som N spilte i kapittel 1, mens N får rollen som n 1 spilte. Stirlings formel Fakultetsfunksjonen kan approksimeres med n! πn) 1/ n n, e som er ganske nøyaktig hvis n er stor nok. Dermed blir ln n! 1 lnπ) + n + 1 ) ln n n. Det første leddet, samt 1 i andre ledd, blir neglisjerbart når n er større enn ca. 10. Dermed kan man forenkle videre til ln n! n ln n n, 11) og, om vi vil, n ) n n!, 1) e så lenge n er større enn ca. 100, noe den i praksis alltid er i statistisk termodynamikk. 11) og 1) er ekstremt nyttige fordi høyresiden i ligningene er relativt greie å integrere eller derivere i hvert fall i 11) - vi jobber oftere med ln n! enn med n! selv), slik at vi kan bruke kalkulus på uttrykkene vi får når vi regner på multiplisiteter. Gittermodeller som fysiske modeller Et standard triks å bruke når gittermodeller skal beskrive virkelige fenomener, er at volumet til systemet er proporsjonalt med antall plasser i gitteret: M kv. Siden k M V, blir dm dv k M V. Dette kommer til å bli nyttig fra og med kapittel 6, da kan vi bruke kjerneregelen til å skrive S S dm M dv S M M V. Grunnen til at dette var nyttig, er at vi om noen kapitler) kan finne SM), og dermed S M, ved hjelp av Bolzmanns lov. Gittermodell En gittermodell er en fysisk modell av et system som er definert på et gitter i stedet for et kontinuum. Gittermodeller er nyttige modeller for å forutsi makroskopiske fenomener ut i fra grunnleggende, EKSTREMVERDIPRINSIPPER OG LIKEVEKT mikroskopiske prinsipper. Det ble vist i kapittel 1 er antall måter man kan plassere n 0 av N partikler på energinivå Dette kapittelet forklarer at alt som noensinne skjer i verden kan formuleres som at et system beveger seg mot 0, n 1 partikler på energinivå 1, og så videre opp til energinivå en likevekt der en eller annen tilstandsfunksjon er minimert m, er gitt som multinomialkoeffisienten W N! m. Når vi i1 ni eller maksimert). bruker de enkleste gittermodellene, er vi interessert i et helt analogt problem: på hvor mange måter kan man å plassere N identiske partikler på M tilgjengelige plasser i et gitter?.1 Ekstremverdiprinsipper I: energi M er nødt til å være større enn eller lik N, så vi vil ende opp Frihetsgrader En frihetsgrad er en variabel som systemet med et gitter med N opptatte plasser og M N ledige står fritt til å endre. Alternativet til en frihetsgrad er en

3 begrensning, som er når en variabel x er låst til å ha en verdi x 0. Begrensninger er bestemt av ytre faktorer, og kan ikke endres av systemet. Et system der et ekstremverdiprinsipp gjelder, vil endre på sine frihetsgrader til den når et maksimum eller minimum for viss en funksjon som er bestemt av begrensningene. I dette punktet vil summen av krefter være 0, og vi sier at systemet er i likevekt. Likevekt Vi kan forutsi tendensene til et system ved å regne på minima og maksima for visse matematiske funksjoner. La oss si at vi har en eller annen type energi V som avhenger av en frihetsgrad x, og at vi vet av V er en funksjon som minimeres hvorfor visse typer energi minimeres, skal vi komme tilbake til senere). Hvis systemet er i likevekt, det vil si hvis x x slik at dv dx 0, da er x vi i en av fire situasjoner: Stabil likevekt: Energien er i et globalt minimum. Hvis en forstyrrelse flytter systemet vekk fra x x, vil systemet ha en tendens til å gå tilbake mot x x. Nøytral likevekt: Funksjonen som beskriver den potensielle energien er flat. 0 for alle x. Systemet dv dx responderer ikke på ytre endringer. Metastabil likevekt: Energien er i et lokalt minimum, men ikke et globalt minimum. Etter en forstyrrelse vil systemet kun ha en tendens til å gå tilbake til x x dersom x x er liten nok. Ustabil likevekt: Energien er i et lokalt maksimum. Hvis en forstyrrelse flytter systemet vekk fra x x, vil systemet ha en tendens til å fortsette å bevege seg vekk fra x x. Stort mer er det egentlig ikke å si om den saken før vi ser på typer energi som det faktisk finnes ekstremverdiprinsipper for, slik som Helmholz fri energi og Gibbs fri energi. Merk at det ikke finnes noe ekstremverdiprinsipp for den totale indre energien til et system.. Ekstremverdiprinsipper II: Entropi mesteparten av statistisk mekanikk, resten følger av matematisk nødvendighet. For eksempel detter termodynamikkens andre lov rett ut av det fundamentale postulatet: siden alle mikrotilstander er like sannsynlige, vil ethvert system ha en tendens til å gå mot makrotilstanden med størst multiplisitet fordi en slik makrotilstand inneholder det største antallet mikrotilstander, og dermed rett og slett er mest sannsynlig. Siden W øker med tida, må også S gjøre det på grunn av 9). Under dette paradigmet blir termodynamikkens andre lov nærmest en tautologi; den sier bare at det som er mest sannsynlig skjer oftest. De tre påfølgende eksemplene demonstrerer slagkraften til det nye verdenssynet vårt ved å vise hvordan prinsippet om økende multiplisitet gir opphav til trykk, kjemisk potensial og elastisiteten til gummi. Eksempel: trykk Gasser har en tendens til å utvide seg - til å gå mot en større V. La oss si at vi har en gass som består av N partikler. Volumet kan vi beskrive med antallet plasser som er tilgjengelige for hver partikkel, altså M. Hvis dette er frihetsgraden til systemet, vil systemet ha en tendens til å gå mot en stadig større M, fordi en større M gir en større multiplisitet W N, M). At dette er tilfelle, kan vises ved å bruke uttrykket fra 10) til å se at W N, M + 1) > W N, M), altså at multiplisiteten øker når vi legger til en plass i gitteret: M + 1)! W N, M + 1) N! M N + 1)! M! M + 1) N! M + 1 N)! M! N! M N)! M + 1 M + 1 N M + 1 W N, M) M + 1 N > W N, M) 13) Denne tendensen gasser har til å utvide seg er grunnlaget for drivkraften som vi kaller trykk. Systemer går mot makrotilstanden med størst multiplisitet Alternativt til å tenke på en en stabil likevekt som den tilstanden med minimal energi, kan man tenke på den som den makrotilstanden som har flest korresponderende mikrotilstander, altså den som har størst multiplisitet. Det fundamentale postulatet i statistisk mekanikk, også kalt postulatet om like a priori sannsynligheter, er at alle mikrotilstander som stemmer overens med en gitt makrotilstand er like sannsynlige. Dette er nesten det eneste man trenger å påstå om den fysiske verden for å utlede Eksempel: kjemisk potensial La oss si at vi har en væske som består av M/ partikler av type A og M/ partikler av type B som tar opp et helt gitter med M plasser. Hvis vi deler inn i to kamre som hver har M/ plasser, hvordan regner vi med at A- og B-partiklene er fordelt utover de to kamrene? Vel, multiplisiteten til hele systemet må være produktet av multiplisitetene til høyre og venstre system, så W W venstre W høyre. Hvert system er bestemt av hvor mange A-partikler det er i systemet antall B-partikler må være M/ N A ), og på grunn av symmetri 3

4 er W venstre W høyre, så W Whøyre. La oss kalle antall partikler av type A i høyre kammer for N A og B-partikler i høyre kammer for N B. Da er at noen polymerer spretter tilbake når du strekker dem eller trykker dem sammen: de går tilbake til tilstanden med høyest multiplisitet. W høyre W N A, M/) W N A, N A + N B ) N A + N B )! N A! N B! 14) Vi postulerer så at, hvis N A + N B er konstant slik det er her, da er fn A, N B ) N A+N B )! N A!N B! størst hvis N A N B. For å vise dette, la oss sammenligne verdien til fn A, N A ) og verdien til funksjonen når vi har byttet ut en partikkel fra N A til N B, altså fn A 1, N A + 1). For det første er For det andre er fn A, N A ) N A + N A )! N A! N A)! N A! 15) fn A + 1, N A 1) N A N A 1)! N A + 1)! N A 1)! N A )! N A! N A + 1) N A! N A 1 N A)! N A! N A +1 N A 1 fn A, N A ) N A 1 N A + 1 < fn A, N A ) 16) Det blir naturligvis det samme om det var N A som økte og N B som ble mindre. Så W høyre, og dermed W, er størst når N A N B. Ifølge prinsippet om maksimal multiplisitet forventer vi derfor at det er like mange partikler av type A som av type B i høyre del av systemet, altså at det er halvparten av hver. Da er det også halvparten av hver type i venstre kammer. Siden vi kan fortsette å dele inn venstre og høyre kammer i mindre kamre helt ned til atomnivå, og gjøre samme utregning, betyr dette at A- og B-partiklene vil spre seg jevnt utover. Denne tendensen for partikler til å blande seg er grunnlaget for drivkraften som vi kaller kjemisk potensial. 3 VARME, ARBEID OG ENERGI Dette kapittelet Termodynamikkens første lov er at indre energi er bevart i et lukket system. Kinetisk gassteori er en modell for å beskrive varme ved hjelp av klassisk mekanikk. Kvantemekanikken forteller oss at systemer har diskrete, ikke kontinuerlige, energinivåer. Termodynamikkens andre lov forklarer varmestrømning og sier at systemer går mot en tilstand med maksimal multiplisitet. Noe ufullstendig 3.1 Bevaringslover En størrelse som er bevart, kan ikke oppstå eller destrueres, men den kan strømme fra et sted til et annet i en kollisjon eller noe tilsvarende totalenergi og bevegelsesmengde er naturlige eksempler). Bevaringslov for total energi. I ethvert lukket mekanisk system har vi at den totale energien E K + V er konstant. Den kinetiske energien K er arbeidet et objekt kan utføre på grunn av sin hastighet og har uttrykket K 1 mv. Den potensielle energien V er arbeidet et objekt kan utføre på grunn av sin posisjon i rommet. Denne energien har forskjellige uttrykk avhengig av hva slags situasjon man jobber med det kan være snakk om en ball i et gravitasjonsfelt, en ladet partikkel i et elektrisk felt, en strukket fjær eller noe helt annet). Selv om både K og V hver for seg kan endre seg i løpet av en prosess, vil summen av dem være konstant. Konservative krefter. En kraft defineres med Newtons. lov som F ma m d x dt. En konservativ kraft er en kraft der det ikke er noe tap av energi på grunn av friksjon, turbulens eller andre former for dissipasjon. For en slik kraft utføres det ikke noe netto arbeid på et objekt dersom det følger en bane som returnerer til utgangspunktet - arbeidet som gjøres i løpet av prosessen summerer opp til 0. Eksempel: elastisitet i gummi Elastisitet i gummi kan forklares med at multiplisiteten maksimeres. En polymer kan modelleres som en sammenhengende kjede av n partikler som hver opptar en plass i gitteret. Hvis den ene enden av polymeren er bundet til en vegg, vil det finnes få konformasjoner der kjeden er strukket helt eller nesten helt ut. Det Termodynamikkens første lov. vil også finnes få konformasjoner der kjeden er veldig kort trykt inntil veggen og strukket ut på tvers). Det vil finnes flest konformasjoner et sted i mellom. Dette rettferdiggjør Varme er en egenskap som kan strømme fra et sted til et annet, men det betyr ikke at det er bevart - det er ingen bevaringslov for varme men man trodde at det gjorde det frem til 1800-tallet). Egenskapen som er bevart, er summen av varme og arbeid. Denne 4

5 summen, endringen i indre energi, er bevart, og dette er termodynamikkens første lov: U q + w 17) U kan forandre seg i et system, men enhver slik endring medfører en like stor endring med motsatt fortegn et annet sted. Dermed er U bevart kun dersom man ser på både systemet og omgivelsene altså hele universet, om man vil). Denne loven er viktig fordi energi er en egenskap til systemet, mens varme og arbeid er egenskaper til en energioverføringsprosess. Termodynamikkens andre lov. Som nevnt litt i forbifarten i forrige kapittel, er termodynamiske systemers tendens til å gå mot en tilstand med maksimal multiplisitet termodynamikkens andre lov. Denne loven, og konsekvensen av den, utforskes i mer detalj i de neste kapitlene det er egentlig nesten det eneste vi kommer til å gjøre). 4 MATEMATISKE VERKTØY Dette kapittelet Det totale differensialet til en funksjon forteller hvordan funksjonen endrer seg med de forskjellige variablene som funksjonen avhenger av. En funksjon kan ha ekstremverdier i punkter der alle de partiellderiverte er lik 0. Når et system er underlagt eksterne begrensninger, kan vi finne ekstremverdier med Lagranges multiplikatormetode. 4.1 Små forandringer og totaldifferensialet Når man kjenner verdien til en funksjon f i et punkt a, kan man bruke Taylorrekker til å finne fx) i nærheten av Kinetisk gassteori. Dette er en mikroskopisk modell for å beskrive varme ved hjelp av mekanikk. Den er basert på x a: tre prinsipper: 1 d n ) f f fx) fa) 1. Stoff består av molekyler som kan bevege seg fritt n! dx n x n 19) n1 xa gjennom rom som ellers er tomt.. Varme er energioverføring som finner sted på grunn For veldig små forandringer, der x x a) dx, blir av bevegelsene til, og kollisjonene mellom, molekylene. leddene med x, x 3 og så videre forsvinnende små. Når Man antar at kollisjoner og energioverføring skjer som f df, kan dermed df gis ved det første leddet: om molekylene var billiardkuler som følger Newtons df df dx 0) lover. dx xa 3. Elektromagnetisk stråling kan påvirke bevegelsen til Taylorrekka kan også brukes for å finne f fx, y) fa, b) molekyler dette er grunnlaget for varmestråling). for en funksjon av flere variable. Også her vil alle ledd av typen x, y, x y og så videre bli forsvinnende små, Energi er kvantisert. Fra kvantemekanikken vet vi at energiene til atomer og molekyler er kvantisert: hver partikkel så vi sitter igjen med har en diskret energi assosiert med hver av sine frihetsgrader. df df df dx + dy 1) For enkle systemer der partiklene anses som uavhengige kan dx y dy x vi uttrykke den totale indre energien U til et system som summen av energiene til hver enkelt partikkel: U i N Og helt generelt for en funksjon fx iε i, 1,..., x n ) der ε i er energien til en partikkel med energitilstand i, og N i n f df dx er antall partikler som har denne energitilstanden. Når den i ) x i1 i x j i totale indre energien til et system forandrer seg på grunn av varme, er det fordi N i forandrer seg - hver ε i er uforandret. Men når den endrer seg på grunn av arbeid er det energinivåene, ε i, som endrer seg. Vi kan uttrykke dette på differensiell form: Der x j i betyr at man holder alle de t 1 variablene x j konstant når man tar den deriverte med hensyn på x i. Dermed tolkes det totale differensialet df som summen av alle bidragene man får fra en liten økning i hver av de uavhengige variablene x i. de dn i ε i + n i dε i ) dq + dw du 18) i0 4. Kritiske verdier og ekstremverdier for funksjoner av flere variable Som en utvidelse av at en) funksjon har en kritisk verdi i punktet x x når 0, har en funksjon df dx xx fx 1,..., x n ) av flere variable en kritisk verdi i et punkt når alle de partiellderiverte i punktet er lik 0. En alternativ metode for å komme fram til at ekstremverdier må være der alle de partiellderiverte må være 5

6 null, er å bestemme at totaldifferensialet df skal bli 0, og df 0 f f x dx + y dy. Siden x og y er uavhengige, er det ikke noe spesielt forhold mellom de infinitessimale verdiene dx og dy, så vi kan ikke satse på at de to leddene balanserer hverandre for å gi df 0. Derfor må både f dx 0 og f y dy 0. Verken dx eller dy er lik 0, så vi kommer fram til at begge de partiellderiverte må være 0. For å bekrefte at det er en ekstremverdi ikke bare en kritisk verdi) i punktet, må man i det generelle tilfellet se på Hesse-determinanten, og hvis f fx, y) er en funksjon av kun to variable er denne lik M f f x y f x y. I så tilfelle: Hvis M > 0 og f x Hvis M > 0 og f x x > 0, har man et lokalt minimum < 0, har man et lokalt maksimum Hvis M < 0 har man et sadelpunkt Hvis M 0 gir testen ingen informasjon Dette er en likhet mellom to forhold, så de partiellderiverte må være like opp til en eller annen konstant λ: f g dx λ 7) x y x y f g dx λ 8) y x y x som vi kan bruke for å løse oppgaven. Og så heelt generelt, når vi skal maksimere fx) fx 1,..., x t ) med bibetingelsen gx) gx 1,..., x t ) konst.: f λ g 9) Hvis vi har flere bibetingelser, dvs. g 1 x) c 1,..., g n x) c n, blir f λ 1 g 1... λ n g 0 30) 4.3 Kritiske verdier og ekstremverdier når bibetingelser gjelder Eksempler på bibetingelser i fysiske systemer, er når man holder temperatur, trykk eller konsentrasjonsgradienter konstante. Derfor er det ofte nødvendig å finne minima og maksima for funksjoner der en eller flere bibetingelser gjelder. Hvis vi bruker en funksjon av to variable som eksempel: ) vi skal) finne verdier som både tilfredsstiller df dx + dy 0 og en bibetingelse som ofte f x y f y x er på formen gx, y) konst.. Siden g er konstant, har vi at det totale differensialet til g blir 0: dg g dx + x y Da er det bare å regne ut g x y g dy 0 3) y x og g y for å finne ut x hvordan dx og dy forholder seg til hverandre. Hvis for eksempel g x y 0, må dx dy, som vi setter inn i det totale differensialet til f. Lagrangemultiplikatorer f dx + y x g x dx + y Siden f y g y dy 0 4) x dy 0 5) x ved punktet vi ønsker oss, kan vi i dette punktet løse for dy dx i begge ligningene for å få at f dy dx x g x y y ) 6) f y x g y x 6 5 ENTROPI OG BOLZMANNS LOV Dette kapittelet Bolzmanns lov forbinder den makroskopiske verden med den mikroskopiske ved å knytte entropi, en egenskap for makroskopiske systemer, til multiplisitet, som kan utledes fra mikroskopiske modeller. Bolzmanns lov er 5.1 Bolzmanns lov S k B ln W 31) Der S er den makroskopiske entropien vi kjenner fra fysikken, k B J K 1 er Bolzmanns konstant, og W er den maksimale) multiplisiteten for store N) som vi kjenner fra tidligere kapitler. Dermed forbinder ligningen den makroskopiske verden med den mikroskopiske. En enkel begrunnelse for at uttrykket for entropien bør være på denne formen, er at entropien er kjent fra den klassiske termodynamikken som en ekstensiv størrelse: entropien til summen av to systemer er lik summen av entropiene til hver av de to systemene. Med andre ord: S total S A + S B. Samtidig vet vi at multiplisiteten til summen av to systemer er lik produktet av multiplisitetene til de to systemene. Det eneste enkle forholdet mellom S og W som tilfredsstiller begge kravene, er at S er proporsjonal med logaritmen til W, og det er akkurat det Bolzmanns lov sier - og proporsjonalitetskonstanten er k B.

7 Fra informasjonsteori og sannsynlighet vet vi at S k B p i ln p i 3) i1 En viss motivasjon for dette vises i neste delkapittel. 3) kan omformes til Bolzmanns lov ved å bruke at N! ln W ln t i1 n i! ln N! ln n i! 33) i1 Hvis vi ser for oss at vi i stedet har en m-sidet terning med sider fra 1 til m, så er antallet bits vi trenger for å fortelle noen resultatet av terningkastet, lik antall bits vi trenger for å representere et tall fra 1 til m, altså log m. Hvis vi tenker hakket mer abstrakt og ikke ser for oss at vi trenger å skrive ned resultatet, kan vi si at informasjonen inneholdt i resultatet av terningkastet er eksakt I log m. 34) og deretter bruke Stirlings tilnærming og at t i1 n i N begge veier: ln W N ln N N n i ln n i n i ) i1 ) ) n i ln N N n i ln n i + N i1 n i ln N n i ln n i ) i1 n i ln n i ln N)) i1 n i ln n ) i N N N i1 i1 i1 ni ) N ln p i i1 n i ln p i ) i1 p i ln p i ) S N k B der S N er entropien for N partikler. Den vanlige definisjonen av entropi er per partikkel eller strengt tatt per mol), S S N /N. 5. Digresjon: entropi i informasjonsteori 3) er, i slides, antatt som et kjent resultat fra informasjonsteori som vi tar med oss inn i termodynamikken. Det er likevel fint å forstå hva høyresiden i likheten egentlig betyr, men hopp for all del over dette delkapittelet om det ikke er interessant. For å fortelle noen hvilken side som landet opp i et myntkast, trenger du bare å sende dem ett binært tall, så lenge dere har blitt enige om hvorvidt 0 er kron eller mynt. Derfor sier vi at informasjonen I som er inneholdt i resultatet av et myntkast er 1 bit. Informasjonen som er inneholdt i resultatet av n myntkast er n bits: systemet av alle myntene har n mulige tilstander, og du trenger n log n bits for å fortelle noen av dem hvilken av dem som faktisk hendte. Hvis vi lar X være den stokastiske variabelen som representerer resultatet fra et kast av denne m-sidede terningen, er sannsynligheten p i for at X x i at terningen landet på x i ) lik 1/m for alle i. Derfor er Ix i ) log m log 1/p i ) log p i. 35) 35) er en god definisjon av informasjonen som er inneholdt i en hendelse også når p i ikke er den samme for alle i altså gjelder den for vilkårlige sannsynlighetsfordelinger for X), av mange grunner: 1. Det er mer informasjon i en sjelden hendelse og mindre informasjon i en vanlig hendelse; Ix i ) er større hvis p i er liten. Ix i ) kan derfor uformelt kalles en sjeldenhetsfunksjon som forteller hvor overraskende det er hvis X x i.. Uttrykt som funksjon av p i har Ip i ) den hendige egenskapen at Ip 1 p ) Ip 1 ) + Ip ); informasjonen fra to uavhengige hendelser er summen av informasjonen fra hver hendelse. 3. Garanterte hendelser formidler ikke informasjon; hvis p i 1 er Ix i ) 0. Mer kompakt kan vi skrive opp IX) som en stokastisk variabel, IX) log P X) 36) I kan oppgis med forskjellige enheter. Vi kunne for eksempel brukt trits, altså et tall i base 3-systemet. Med 3 tilgjengelige symboler 0, 1 og ) ville vi brukt færre symboler for å representere resultatet av hendelsen, nærmere bestemt log 3 m, men til gjengjeld inneholder hver trit mer informasjon. Derfor er Ix i ) log 3 p i når vi bruker trits som enhet for I. 1 trit er da informasjonen som er inneholdt i en hendelse med sannsynlighet 1/3. Enheten vi skal bruke videre er nats, der 1 nat er informasjonen som er inneholdt i en hendelse med sannsynlighet 1/e. Oppgitt i nats får vi da at IX) ln P X). 37) 7

8 Shannon-entropi en H til X er definert som forventningsverdien til IX): HX) E[IX)] E[ ln P X)] 38) Siden X er en diskret variabel er E[fX)] m i1 p ifx i ), så m m HX) p i Ix i ) p i ln p i 39) i1 Shannon-entropien har mange av egenskapene vi forbinder med termodynamisk entropi men det tok mange år før likheten ble fastslått, og det gjøres ikke her): den er maksimal hvis alle utfall er like sannsynlige, og den øker med antall mulige utfall. 39) er ofte oppgitt som definisjonen på Shannon-entropien, fordi det viser seg at det er den eneste funksjonen som tilfredsstiller visse egenskaper man ønsker at entropi-funksjonen skal ha i informasjonsteori. Eller, det er ikke helt sant - hvis man ganger opp uttrykket med en konstant, vil resultatet tilfredsstille de samme betingelsene. Hvis vi lar denne konstanten være k B, får vi uttrykket for termodynamisk entropi, S k B i1 m p i ln p i 40) i1 Så Bolzmanns konstant er på et vis en konstant vi bruker for å konvertere nats til enheter for varmekapasitet. Forøvrig er p i gjerne sannsynligheten for en vilkårlig mikrotilstand, og hvis alle W slike mikrotilstander er like sannsynlige blir p i 1/W og W i1 p i ln p i W p i ln p i ln p i, slik at vi får Bolzmanns lov på enda enklere vis: S k B ln p i k B ln 1/p i k B ln W 41) 5.3 Maksimering av entropi uten fysiske bibetingelser Vi ønsker å finne en fordeling av sannsynligheter som maksimerer entropien, dvs. en p p 1,..., p t ) som maksimerer t funksjonen Sp) Sp 1,..., p t ) k B i1 p i ln p i ) under denne bibetingelsen. Siden g p i 1 for alle i, gir )p i j Lagranges metode at S g λ 0 44) p i p i j p j p i j slik at 1 ln p i λ 0 45) p i e 1 λ) 46) Vi må bli kvitt λ. Siden t i1 p i 1, kan vi dele ligningen over på 1 for å få at p i p i 1 e 1 λ) e 1 λ) t, 47) i1 e 1 λ) te 1 λ) der vi i siste likhet brukte at p i e 1 λ) er det samme for alle i. Dermed er som er det vi skulle vise. p i 1/t, 48) 5.4 Maksimering av entropi med fysiske bibetingelser Hvis vi har en fysisk bibetingelse om at det er en eller annen gjennomsnittlig energi i systemet, forutsier prinsippet om maksimering av entropi en eksponensialfordeling. Situasjonen er: du har t utfall i 1,..., t, som hver skjer med en sannsynlighet p i. Denne sannsynligheten er det vi ønsker å utlede. Samtidig er hvert utfall assosiert med et energinivå ε i - disse energinivåene får vi fra en eller annen fysisk modell. Den fysiske bibetingelsen er at systemet har en eller annen gjennomsnittlig energi ε t i1 p iε i. Vi har nå, for alle i 1,..., t, at Hvis vi ikke har fysiske bibetingelser, forutsier prinsippet om maksimering av entropi at sannsynlighetsfordelingen er flat - det vil si at dersom vi har t mulige utfall i 1,..., t, så er p i 1/t. Vi har kun en bibetingelse, som er at sannsynlighetene summerer opp til 1: gp) p i 1 4) i1 Dette innebærer at summen av endringer i sannsynligheter må summere opp til 0, dg dp i 0 43) i1 8 altså er gp) 1 p i hp) ε i1 dg dh p i ε i 49) i1 dp i 0 50) i1 ε i dp i 0 51) i1 samtidig som vi ønsker å oppfylle S p i p j i 0 5)

9 Da gir Lagranges metode at S g h λ 1 λ 0 53) p i p j i p i p j i p i p j i Da er 1 ln p i λ 1 λ ε i 0 54) p i e 1 α βεi 55) der vi har kalt λ 1 α og λ β. På samme måte som før deler vi på summen av sannsynligheter, som er 1: p i e 1 α βεi e βεi t t 56) i1 e 1 α βεi i1 e βεi hvis vi nå noe prematurt innfører partisjonsfunksjonen q t i1 e βεi inntil videre kan vi se på den som en eller annen konstant assosiert med systemet), blir det tydelig at vi har fått en eksponensialfordeling: p i q 1 e βεi, 57) altså synker sannsynligheten for utfall i jo større energi som er assosiert med dette utfallet. Vi skal studere disse fordelingene, samt partisjonsfunksjonen, nærmere fra og med kapittel TERMODYNAMISKE DRIVKREFTER Termodynamisk system Et termodynamisk system er definert basert på grensen mellom systemet og omgivelsene: i et åpent system kan både energi, volum og stoff utveksles med omgivelsene. Jordkloden er et åpent system. i et lukket system kan energi utveksles, og volumet kan endres, men stoff kan ikke utveksles med omgivelsene. Et eksempel på et lukket system er en ballong. i et isolert system kan verken energi eller stoff utveksles med omgivelsene, og volumet kan ikke forandres. Et eksempel på et isolert system er en veldig god termos. Enkelt system I et enkelt system antar man at systemet kun består av en termodynamisk fase, slik at overflateeffekter kan ses bort i fra. Dette er ofte en nødvendig antagelse for å kunne løse problemer analytisk. Ekstensive og intensive størrelser Hvis en størrelse P kan finnes fra summen av subsystemene som systemet består av P P 1 + P P n ) er den en ekstensiv størrelse, og avhengig av størrelsen på systemet. Noen ekstensive størrelser er romlig utbredning volum eller areal), antall partikler, indre energi og entropi. Intensive størrelser er uavhengige av størrelsen på systemet. Eksempler på intensive størrelser er temperatur, trykk, konsentrasjon og kjemisk potensial. Dette kapittelet En endring i entropi er en sum av bidrag fra endringer i energi, volum og konsentrasjon. Det er henholdsvis temperatur, trykk og kjemisk potensial som fungerer som drivkrefter for disse endringene. Disse drivkreftene kan uttrykkes som partiellderiverte av indre energi, men også som partiellderiverte av entropi. 6.1 Definisjoner fra termodynamikken Termodynamiske drivkrefter De termodynamiske drivkreftene som vi skal ta for oss i begynnelsen) er Trykk - tendens til å endre volum Temperatur - tendens til å utveksle energi Kjemisk potensial - tendens til å utveksle stoff 6. Den fundamentale ligningen for entropi De termodynamiske ligningene forutsier likevekter Maksimering av entropi S) med hensyn på volum V ) forutsier utvidelsen av gasser trykk), maksimering av entropi med hensyn på partikler N) forutsier blanding av fluider kjemisk potenisal), og maksimering av entropi med hensyn på indre energi U) forutsier varmestrømming temperatur). Vi kan se på enda mer komplekse prosesser ved å se på den fundamentale ligningen for entropi: Verktøy i termodynamikken De tre viktigste verktøyene i termodynamikken er Termodynamikkens første lov for bevaring av energi Termodynamikkens andre lov for prinsippet om maksimal entropi Multivariat kalkulus S SU, V, N) der N kan ha flere komponenter N 1, N,...) 58) U, V og hver N i er uavhengige variable og kan forandres uavhengig av de andre. Dessverre ble termodynamikk utviklet basert på U US, V, N), så det blir noen uheldige definisjoner som vi må ta vare på for å ikke forvirre folk som ikke kan statistisk termodynamikk. 9

10 Definisjoner av temperatur, trykk og kjemisk potensial Vi ser på en liten endring i indre energi: U U M du ds + dv + U dn j 59) S V,N S,N N j S,V,Ni Nj og definerer temperaturen T, trykket p og det kjemiske potensialet µ j til å være disse størrelsene vi skal senere se at disse partiellderiverte har de samme egenskapene som vi forbinder med de termodynamiske størrelsene for makroskopiske systemer): U T 60) S V,N U p 61) S,N U µ j 6) N j S,V,N i N j som gir oss den fundamentale ligningen for indre energi, du T ds pdv + M µ j dn j 63) Intensive og ekstensive størrelser oppstår i par, og vi sier at U x er konjugatvariabelen til x. Dermed er temperatur konjugatvariabelen til entropi, trykk er konjugatvariabelen til volum og kjemisk potensial er konjugatvariabelen til antallet partikler. Fra indre energi til entropi Indre energi blir kanskje tradisjonelt sett på som den mer fundamentale størrelsen i klassisk termodynamikk, men på mikroskopisk nivå forstås termodynamiske krefter bedre når vi tenker på entropi som den fundamentale størrelsen. Dette er fordi vi har en presis matematisk definisjon av entropi basert på multiplisitet. La oss derfor i stedet på en liten endring i entropi: S S M ds du + dv + S dn j 64) U V,N U,N N j U,V,Ni Nj Vi kan også velge å stokke om på 63), som gir oss den fundamentale ligningen for entropi, ds 1 T du + p T dv M µ j T dn j 65) Hvis vi nå sammenligner 64) og 65), ser vi at definisjonene våre kan skrives slik: 1 T p T µ j T S U V,N S U,N S N j 66) 67) U,V,N i N j 68) Denne formen er mer praktisk, siden ds 0 ved likevekt fra prinsippet om at entropien er maksimert). Det finnes ikke et tilsvarende likevektsprinsipp for indre energi. 6.3 Den ideelle gassloven fra gittermodell Vi ser på en gittermodell og tar utgangspunkt i Boltzmanns lov, S k ln W N, M). Så bruker vi at M V, eller formulert annerledes, volumet per plass i gitteret er V/M slik at M V/M. Kjerneregelen gir da at S S M ) N M S M. Stirlings approksimasjon på Boltzmanns lov gir at S k ln k ln ) N M V M! N! M N)! M M N N M N) M N N km ln M N ln N M N) lnm N)) slik at S M blir N S kln M lnm N)) M N M k ln M N k ln 1 N M ) 69) 70) Vi kan uttrykke dette med en Taylorrekke. Rekka til ln1 x) er ln1 x) x x / +... Hvis vi ser på en gass er x N/M 1, så vi tar bare med det første leddet, så S ) M k N N M. Så drar vi fram definisjonen av p fra 66), S p T T S M M T k N M M V NkT 71) V U,N som er den ideelle gassloven. Hvis vi tar med flere ledd i Taylorrekka får vi en mer presis modell som tar oss nærmere van der Waals lov, siden vi da tar hensyn til at molekylene i seg selv opptar et volum. Dette er en av de to modifikasjonene i van der Waals lov; den andre er å ta hensyn til attraktive interaksjoner mellom molekyler som vi skal se nærmere på fra og med kapittel 8). 10

11 6.4 Drivkrefter og likevekter Vi skal vise at 1/T, p/t og µ/t oppfører seg som krefter ved å drive systemet mot likevekt, basert på at ds 0 definerer termisk, mekanisk og kjemisk likevekt og, fra termodynamikkens andre lov, at ds > 0 utenfor likevekt). Den overordnede drivkraften er at multiplisiteten, og dermed entropien, maksimeres. I de tre neste avsnittene skal vi se på to isolerte systemer A og B som vi lar interagere med hverandre på forskjellige måter. ds ds A + ds B SA SB dv A + dv B Temperatur er drivkraften for energiutveksling Termisk likevekt mellom to systemer betyr at de to systemene SA SB A U A,N A B U B,N B + du A + du B har samme temperatur. Vi antar at vi har to isolerte systemer som ikke kan endre volum, partikkelantall eller energi: SA SB U A V A,N A U B V B,N B dv dv dn du 0 for begge systemene. Så bringes lar vi A + dv B 75) A U A,N A B U B,N B disse to systemene ha termisk kontakt slik at de kan utveksle energi hverandre imellom, gitt at summen av energi er SA SB + 1/T A 1/T B )du A konstant. Med andre ord er dv A dv B dn A dn B 0, dv A + dv B A U men du A og du B er ikke nødvendigvis 0. Imidlertid er A,N A B U B,N B pa du du A + du B 0 fortsatt, så du A du B. p ) B dv A 0. T A T B Siden S er maksimert, er ds 0 ved likevekt. S er en ekstensiv størrelse, så ds ds A +ds B 0. Hvis vi erstatter Så p A ds A og ds B med sine respektive høyresider i den fundamentale ligningen for entropi, og ser bort i fra ledd som er 0, får p B 0 p A p B 76) T A T B ved likevekt mekanisk likevekt, om man vil). vi at Hvis vi er utenfor likevekt kan vi forutsi oppførselen til SA SB SB systemet på samme måte som før. Vi har at du A du B du A U A V A,N A U B V B,N B U B V B,N B 7) Som innsatt definisjonen av ds p A /T A p B /T B ) dv A > 0 p A p B )dv A > 0 ) S U blir 77) V,N 1 1 T A T B 73) T A T B Med andre ord: ved likevekt er temperaturen til de to systemene den samme. Hva med når vi ikke har likevekt? Vel, da gjelder fortsatt 1 ds 1 ) du A. 74) T A T B Samtidig som ds > 0 for et system utenfor likevekt. Hvis T A > T B blir parentesen negativ, og da må også du A være negativ for å oppnå at ds > 0. Med andre ord strømmer energi fra A til B så lenge temperaturen i A er høyere enn temperaturen i B. Og vice versa når T B > T A. Det er dette vi mener med at temperatur er drivkraften for energiutveksling. utveksle volum seg imellom, for eksempel ved å ha en bevegelig vegg mellom dem. Likevel er det totale volumet konstant, så dv 0 dv A + dv B. Det er ingen energiutveksling med omgivelsene, så du 0 slik at du A du B. Vi antar også termisk likevekt hele tiden, T A T B og 1/T A 1/T B ). Siden dn A dn B 0 reduseres likevektsligningen ds 0 til så hvis p A > p B p A p B > 0 må dv A > 0, det vil si at volumet til A øker på bekostning av volumet til B frem til p A p B og ds 0. Vice versa om p B > p A. Kjemisk potensial er drivkraften for diffusjon Til slutt lar vi skillet mellom de to systemene være en permeabel membran slik at systemene kan utveksle partikler seg imellom: dn A dn B. Temperatur og trykk holdes konstant likt i begge systemene. Nå blir ds 0 til at SA SB ds dn A + dn B 0 N A V A,U A N B V B,U B µa ds µ ) 78) B dn A 0 T A T B Siden temperaturen holdes konstant er likevektsbetingelsen vår nå at µ A µ B. 79) Trykk er drivkraften for volumforandring La oss endre litt på oppsettet fra forrige avsnitt. Nå lar vi systemene Oppførselen til systemet ute av likevekt er helt analogt med det for trykk og temperatur. 11

12 7 TERMODYNAMIKKENS LOGIKK Dette kapittelet Vi kan kombinere termodynamikkens første lov med forenklende antagelser vi gjør om systemet for å regne på endringer i indre energi, varme og arbeid. Noe ufullstendig 7.1 Analyse av termodynamiske prosesser Termodynamikkens første lov kan skrives som du δq + δw 80) Vi skriver det slik fordi δq og δw er veiavhengige egenskaper se ), mens du er en tilstandsvariabel: U B A du U B U A er kun avhengig av starttilstanden og sluttilstanden, ikke veien mellom. Den første loven er definert slik at δq > 0 når varme strømmer inn i systemet, og δw > 0 når arbeid gjøres på systemet av omgivelsene. Derfor er δq < 0 når varme strømmer ut av systemet, og δw < 0 når systemet gjør arbeid på omgivelsene. Kvasistatiske prosesser Termodynamikken er nyttigst når den brukes om prosesser som går så sakte at prosessen er tilnærmet uavhengig av hvor raskt prosessen gjennomføres. Slike prosesser kalles kvasistatiske prosesser. Når vi har gass i et kammer der arbeid utføres på gassen med et stempel, defineres en kvasistatisk prosess som en prosess der vi kan bruke den tidsuavhengige ligningen δw p ekstern dv 81) Trykket p p ekstern påføres for eksempel av et stempel, og fordi prosessen er kvasistatisk, får trykket inni beholderen stadig tid til å utjevne seg til å være det samme som utsiden: p p intern p ekstern. for indre energi eller S SU, V, N) for entropi. Men ligningen for varmekapasitet er nyttig i eksperimenter, fordi temperaturen er noe som kan måles eksperimentelt på en måte man ikke kan med f.eks indre energi. Hvis vi kjenner temperaturavhengigheten til C V kan vi bruke at du C V dt for å finne U: U TB T A C V T )dt 8) Varmekapasiteten til gasser Vi ser på hvordan indre energi varierer med volum og temperatur. Eller med andre ord: U UV, T ) slik at du U T dv + U T dt. Siden gasser er relativt tynne og partikler tilnærmet ikke interagerer med hverandre, blir U -leddet neglisjerbart. Så T uansett om vi har konstant volum eller ikke er du C V dt for en gass med lav tetthet. Reversibel prosess En der det å returnere systemet til utgangspunktet innebærer å returnere omgivelsene til utgangspunktet. Siden man i et lukket system dn 0) har at du T ds pdv δq + δw, og i en kvasistatisk prosess har at δw pdv, blir ds δqrev T. Dette er den termodynamiske definisjonen av entropi. Og siden gitt dv dn 0) du T ds C V dt får vi at S B A ds T B C V T A T dt. 7. Prosesser med ideelle gasser Her er det veldig nyttig å ha noen relevante figurer foran seg, så kanskje man bare skal lese boka her. Konstant-volum-prosess isokor prosess) Vi ser på en prosess p 1, V, T 1 ) p, V, T ). Siden volumet ikke endrer seg er pdv 0 og w V V 1 pdv 0. Dermed blir U q T T 1 C V dt. Hvis C V er uavhengig av temperaturen, får vi videre at U C V T T 1 ) C V p p 1) Nk B V. Varmekapasitet Varmekapasitet ved konstant volum vi skal se på varmekapasiteten ved konstant trykk i kapittel 8) er den vi kan måle i et bombekalorimeter med fast volum, der dv 0 gjør at δw p ekstern dv 0, slik at du δq T ds. Varmekapasiteten C V defineres da som varmen som kreves for å heve temperaturen ) til systemet med 1K ved konstant V : C V δq dt U V V T S V. Dette er nytt: her deriverer vi S med hensyn på en variabel som ikke er med i tilstandsfunksjonene U US, V, N) Konstant-trykk-prosess isobar prosess). Vi ser på en prosess p, V 1, T 1 ) p, V, T ). Videre har vi at p intern p ekstern p som forklart i avsnittet om kvasistatiske prosesser. Da blir arbeidet stempelet påfører lik w V V 1 pdv pv V 1 ). Også i en slik prosess er U C V T T 1 ) når C V er temperaturuavhengig, så da gir den ideelle gassloven at U C V p Nk B V V 1 ). Til slutt kan vi finne varmen ) med termodynamikkens første lov: q U w CV Nk B 1 pv V 1 ). 1

13 Oppsummering av termodynamiske prosesser Resultatene fra forrige delkapittel skriver vi nå litt mer oversiktlig: Isokor: U C V T T 1 ) q og w 0 Isobar: U C V T T 1 ), w pv V 1 ) og q C V Nk B )T T 1 ) Isoterm: U 0 og w Nk B T ln V V 1 q Adiabatisk: q 0 denne ser vi ikke så veldig mye på her) 7.3 Termodynamiske sykluser og fiktive prosesser Vi kan bruke kombinasjoner av prosessene som er nevnt over for å ta et system fra en vilkårlig starttilstand p 1, V 1, T 1 ) til en vilkårlig sluttilstand p, V, T ). Vi kan for eksempel gå langs isokoren p 1, V 1, T 1 ) p, V 1, T X ), og så videre langs isobaren p, V 1, T X ) p, V, T ). Men vi kan også begynne langs isobaren p 1, V 1, T 1 ) p 1, V, T Y ) og så videre langs isokoren p 1, V, T Y ) p, V, T ). Begge disse prosessene vil føre til samme endring i entropi og energi, fordi disse størrelsene er tilstandsfunksjoner. Men hvor stor del av endringen i energi som skyldes arbeid, og hvor stor del som skyldes varme, vil være forskjellig for de to prosessene. Derfor er varme og arbeid veiavhengige, mens summen av dem er en tilstandsfunksjon. Termodynamiske sykluser En termodynamisk syklus er en samling prosesser som begynner i en starttilstand, passerer en eller flere mellomtilstander, og ender opp tilbake i starttilstanden til slutt. Eksempler på termodynamiske sykluser er motorer, kjøleskap, metabolisme og mye annet. I enhver termodynamisk syklus vil summen av en tilstandsvariabel kall den θ eller noe sånt) rundt syklusen være 0, fordi θ θ 0 θ 0 0. Summen av en veiavhengig variabler er ikke generelt lik 0: for eksempel vil man i en syklus få et negativt eller positivt, avhengig av om man går mot eller med klokka) arbeid med størrelse lik arealet inni syklusen når man tegner den i et pv -diagram. Fiktive prosesser Uansett hvor kompleks en fysisk prosess er - uansett hvor kronglete veien prosessen tar i et tilstandsdiagram er - kan vi finne resultatet av den ved å summere opp enkle prosesser som begynner i startpunktet og slutter i sluttpunktet til den komplekse prosessen. Disse enkle prosessene vi finner opp for å forenkle matematikken kalles fiktive prosesser, og trenger ikke å være fysisk realiserbare - det eneste som kreves av termodynamikken, er at vi har samme utgangspunkt og sluttpunkt som den fysiske prosessen vi bryr oss om. 8 LABORATORIEFORHOLD OG FRI ENERGI Dette kapittelet definerer termodynamiske ensembler eller, boka gjør det ikke, men jeg synes det passer fint å introdusere det her) og innfører to viktige termodynamiske størrelser - Helmholtz fri energi og Gibbs fri energi - med egne ekstremverdiprinsipper som er analoge med prinsippet om maksimering av multiplisitet de er egentlig bare omformuleringer av det samme prinsippet). 8.1 Ensembler Et ensemble i statistisk mekanikk har et par forskjellige tolkninger, men vi skal bruke denne: Ensemblet forteller hvilke variable man holder konstant. Da vi så på hvordan maksimering av entropi ga opphav til de termodynamiske drivkreftene 1/T, p/t og µ/t i kapittel 6 brukte vi U, V, N)-ensemblet, siden U, V og N ble holdt konstant mens systemet selv fikk variere T, p og µ for å oppnå likevekt. Men vi kan like gjerne se på systemer der andre variable holdes konstant, og da vil vi få et annet ensemble. 4 ensembler brukes så ofte at de har egne navn: T, V, N)-ensemblet kalles det kanoniske ensemblet U, V, N)-ensemblet kalles det mikrokanoniske ensemblet T, p, N)-ensemblet kalles det isobar-isoterme ensemblet T, V, µ)-ensemblet kalles det store kanoniske ensemblet Vi har med andre ord brukt det mikrokanoniske ensemblet så langt. 8. Helmholtz fri energi F ) og det kanoniske ensemblet Bytte fra det mikrokanoniske til det kanoniske ensemblet I laboratoriet er det temmelig vanskelig å kontrollere den indre energien til et system. Derimot går det helt fint å kontrollere temperaturen til systemet - dette gjør vi når vi setter et reagensrør i et varmebad eller legger en beholder på en varm plate. Vi ønsker derfor å se på systemer der vi holder T konstant, og lar systemet selv stille inn på U etter eget ønske for å oppnå likevekt. 13

14 Et slikt system har vi dersom vi ser på et reagensrør konstant N) med lokk konstant V ) som vi senker i et varmebad med kontrollert temperatur. Reagensrøret og varmebadet har hele tiden samme temperatur, som vi selv kontrollerer konstant T ). I resten av kapittelet kommer vi til å behandle reagensrøret som systemet og varmebadet som omgivelser, men la oss først se på reagensrøret som vi kaller R) og varmebadet som vi kaller B) som et kombinert system C. Vi har selvfølgelig at entropien er maksimert, ds C ds R + ds B 0, 83) samtidig som det kombinerte systemet er isolert fra omgivelsene, du C du R + du B 0. 84) Vi ønsker nå å fjerne størrelser med subskript B, fordi vi egentlig helst bare vil se på reagensrøret. Siden volumet og partikkelantallet i varmebadet er konstant, har vi at Da blir 83) til at ds B 1/T )du B du R T. 85) ds R du R T 0 du R T ds R 0 86) Nå har vi altså funnet et likevektsprinsipp som kun omhandler reagensrøret, altså undersystemet som vi er interessert i, i seg selv. Det siste vi gjør er å definere den nye størrelsen F, også kalt Helmholtz fri energi: F U T S. 87) Med betingelsene som settes i det kanoniske ensemblet, blant annet at T konst. dt 0, blir differensialet til Helmholtz fri energi df du T ds SdT du T ds, 88) som er det vi nettop fant ut at er minimert i 86)). Med andre ord kan likevektsbetingelsen vår formuleres slik: i et system der T, V, N) holdes konstant, er Helmholtz fri energi minimert. Og ved likevekt er df 0. Til slutt: det at U T S er minimert, forteller oss at likevekten er kontrollert av en balanse mellom energi og entropi. Eksempel: gittermodell for dimerisering La oss nå se på en gittermodell med to partikler N ) i et lineært gitter med konstant volum V M, for enkelhets skyld) og konstant temperatur. Fra fysikken innfører vi nå konseptet om kjemisk binding: partiklene har lavere energi hvis de er bundet til hverandre. En binding representeres i gittermodellen med at partiklene befinner seg på tilstøtende plasser i gitteret, og at systemet da får en energi U dimer ε, ε > 0 vi kan definere U monomer 0 som referansepunkt). Vi er nå interessert i å sammenligne tilfellet der partiklene er bundet til hverandre i en dimer og tilfellet der partiklene eksisterer som to monomerer som ikke er bundet til hverandre. I dimertilfellet har vi egentlig én partikkel som kan befinne seg på V 1 steder den første partikkelen kan ikke befinne seg på plass V, for da ligger partikkel utenfor gitteret), så da er W V 1. Dermed er Helmholtz fri energi for systemet F dimer U dimer T S dimer ε k B T lnv 1) 89) I monomertilfellet har vi to partikler der den første partikkelen kan befinne seg på V steder og den andre kan befinne seg på V 1 steder, som vanligvis ville gjort at V! V!V ) W!V )! V 1)! V!V )V 1) V!) 1 V )V 1). Men i monomertilfellet kan partiklene ikke befinne seg på tilstøtende plasser i gitteret for da er de jo i en dimer), så og fri energi blir W monomer W total W dimer V! V 1)! V )! V 1) 1 V 1) F monomer U monomer T S monomer T S monomer ) V k B T ln 1 V 1) 90) 91) Definer så en Helmholtz fri energiendring for dimerisering F F dimer F monomer : F ε k B T lnv 1) ) V k B T ln 1 V 1) ε k B T ln V 1 V/ 1)V 1) ε + k B T lnv/ 1) ε + k B T lnv/) 9) Vi ser at denne fri energiendringen har et energetisk bidrag ε) samt et entropisk bidrag k B T lnv/)). Hvis F < 0, betyr det at systemet har lavere fri energi dersom systemet partiklene inngår i en dimer enn dersom de eksisterer som to partikler. Siden F minimeres av systemet, betyr dette at systemet kommer til å være i dimertilstand dersom F < 0. I dette tilfellet er ε > k B T lnv/). Siden T er det eneste vi kan kontrollere, betyr det at det 14

Statistisk termodynamikk

Statistisk termodynamikk Statistisk termodynamikk i kjemi og biologi (TKJ415) Det følgende er et ærlig forsøk på å forklare statterm. For det meste følges Molecular Driving Forces av Dill & Bromberg tett, men det finnes også noen

Detaljer

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov

KJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov KJ1042 Øving 3: arme, arbeid og termodynamikkens første lov Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hvordan ser Ideell gasslov ut? Ideell gasslov kan skrives P nrt der P er trykket, volumet,

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

T L) = ---------------------- H λ A T H., λ = varmeledningsevnen og A er stavens tverrsnitt-areal. eks. λ Al = 205 W/m K

T L) = ---------------------- H λ A T H., λ = varmeledningsevnen og A er stavens tverrsnitt-areal. eks. λ Al = 205 W/m K Side av 6 ΔL Termisk lengdeutvidelseskoeffisient α: α ΔT ------, eks. α Al 24 0-6 K - L Varmekapasitet C: Q mcδt eks. C vann 486 J/(kg K), (varmekapasitet kan oppgis pr. kg, eller pr. mol (ett mol er N

Detaljer

Kap Termisk fysikk (varmelære, termodynamikk)

Kap Termisk fysikk (varmelære, termodynamikk) TFY4115 Fysikk Mekanikk: (kap.ref Young & Freedman) SI-systemet (kap. 1); Kinematikk (kap. 2+3). (Rekapitulasjon) Newtons lover (kap. 4+5) Arbeid og energi (kap. 6+7) Bevegelsesmengde, kollisjoner (kap.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO NIVERSIEE I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys60 Eksamensdag: Fredag 6. desember 03 id for eksamen: 430 830 Oppgavesettet er på: 4 sider Vedlegg: ingen ilatte hjelpemidler Godkjente

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys216 Eksamensdag: Tirsdag 8. desember 215 Tid for eksamen: 143 183 Oppgavesettet er på: 4 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler

Detaljer

Arbeid = kraft vei hvor kraft = masse akselerasjon. Hvis kraften F er konstant og virker i samme retning som forflytningen (θ = 0) får vi:

Arbeid = kraft vei hvor kraft = masse akselerasjon. Hvis kraften F er konstant og virker i samme retning som forflytningen (θ = 0) får vi: Klassisk mekanikk 1.1. rbeid rbeid som utføres kan observeres i mange former: Mekanisk arbeid, kjemisk arbeid, elektrisk arbeid o.l. rbeid (w) kan likevel alltid beskrives som: rbeid = kraft vei hvor kraft

Detaljer

Termisk fysikk består av:

Termisk fysikk består av: Termisk fysikk består av: 1. Termodynamikk: (= varmens kraft ) Makroskopiske likevektslover ( slik vi ser det ) Temperatur. 1. og. hovedsetning. Kinetisk gassteori: Mekanikkens lover på mikrokosmos Uttrykk

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001 Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl. 09.00 13.00 Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys2160 Eksamensdag: Mandag 5. desember 2016 Tid for eksamen: 1430 1830 Oppgavesettet er på: 5 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler

Detaljer

SAMMENDRAG AV FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 23.02.00

SAMMENDRAG AV FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 23.02.00 SAMMENDRAG A FORELESNING I TERMODYNAMIKK ONSDAG 3.0.00 Tema for forelesningen var termodynamikkens 1. hovedsetning. En konsekvens av denne loven er: Energien til et isolert system er konstant. Dette betyr

Detaljer

2. Termodynamikkens lover Termodynamikkens 1. lov Energiutveksling i form av varme og arbeid Trykk-volum arbeid

2. Termodynamikkens lover Termodynamikkens 1. lov Energiutveksling i form av varme og arbeid Trykk-volum arbeid Fysikk / Termodynamikk åren 2001 2. Termodynamikkens lover 2.1. Termodynamikkens 1. lov Termodynamikkens første lov kan formuleres å mange måter. En vanlig formulering er: Energien til et isolert system

Detaljer

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2013 Løsninger

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2013 Løsninger Side 1 av 6 KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2013 Løsninger Oppgave 1 a) Termodynamikkens tredje lov kan formuleres slik: «Entropien for et rent stoff i perfekt krystallinsk

Detaljer

Oppgave 1 V 1 V 4 V 2 V 3

Oppgave 1 V 1 V 4 V 2 V 3 Oppgave 1 Carnot-syklusen er den mest effektive sykliske prosessen som omdanner termisk energi til arbeid. I en maskin som anvender Carnot-syklusen vil arbeidssubstansen være i kontakt med et varmt reservoar

Detaljer

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I BIT 130 Termodynamikk VARIGHET: 9.00 13.00 (4 timer). DATO: 1/12 2005 TILLATTE HJELPEMIDLER: Lommekalkulator OPPGAVESETTET BESTÅR AV: 2 oppgaver på 5

Detaljer

- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2

- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2 Kapittel 6 Termokjemi (repetisjon 1 23.10.03) 1. Energi - Definisjon Energi: Evnen til å utføre arbeid eller produsere varme Energi kan ikke bli dannet eller ødelagt, bare overført mellom ulike former

Detaljer

Flervalgsoppgave. Kollisjoner. Kap. 6. Arbeid og energi. Energibevaring. Konstant-akselerasjonslikninger REP

Flervalgsoppgave. Kollisjoner. Kap. 6. Arbeid og energi. Energibevaring. Konstant-akselerasjonslikninger REP Kap. 6. Arbeid og energi. Energibevaring. Arbeid = dw = F ds Kinetisk energi E k = ½ m v 2 Effekt = arbeid/tid = P = dw /dt Arbeid på legeme øker E k : dw = de k Potensiell energi E p (x,y,z) (Tyngdefelt:

Detaljer

Sammendrag, forelesning onsdag 17/ Likevektsbetingelser og massevirkningsloven

Sammendrag, forelesning onsdag 17/ Likevektsbetingelser og massevirkningsloven Sammendrag, forelesning onsdag 17/10 01 Kjemisk likevekt og minimumspunkt for G Reaksjonsligningen for en kjemisk reaksjon kan generelt skrives: ν 1 X 1 + ν X +... ν 3 X 3 + ν 4 X 4 +... 1) Utgangsstoffer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys26 Eksamensdag: Fredag 5. desember 24 Tid for eksamen: 43 83 Oppgavesettet er på: 3 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys2160 Eksamensdag: Mandag 5. desember 2016 Tid for eksamen: 1430 1830 Oppgavesettet er på: 5 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler

Detaljer

Løsningsforslag til øving 10

Løsningsforslag til øving 10 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU Våren 2015 Løsningsforslag til øving 10 Oppgave 1 a) Helmholtz fri energi er F = U TS, slik at df = du TdS SdT = pdv SdT +µdn, som viser at Entalpien

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

SIO 1027 Termodynamikk I Noen formler og uttrykk som er viktige, samt noen stikkord fra de forskjellige kapitler,, Versjon 25/

SIO 1027 Termodynamikk I Noen formler og uttrykk som er viktige, samt noen stikkord fra de forskjellige kapitler,, Versjon 25/ SIO 1027 Termodynamikk I Noen formler og uttrykk som er viktige, samt noen stikkord fra de forskjellige kapitler,, Versjon 25/11-2001 Geir Owren November 25, 2001 Som avtalt med referansegruppen, er det

Detaljer

Folkevandringstelling

Folkevandringstelling Termisk fysikk består av: 1. Termodynamikk: (= varmens kraft ) Makroskopiske likevektslover ( slik vi ser det ) Temperatur. 1. og. hovedsetning. Kinetisk gassteori: Mekanikkens lover på mikrokosmos Uttrykk

Detaljer

Løsningsforslag til ukeoppgave 6

Løsningsforslag til ukeoppgave 6 Oppgaver FYS1001 Vår 2018 1 Løsningsforslag til ukeoppgave 6 Oppgave 11.07 a) pv T = konstant, og siden T er konstant blir da pv også konstant. p/kpa 45 35 25 60 80 130 V/dm 3 1,8 2,2 3,0 1,4 1,0 0,6 pv/kpa*dm

Detaljer

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger Side 1 av 10 KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2012 Løsninger Oppgave 1 a) Et forsøk kan gjennomføres som vist i figur 1. Røret er isolert, dvs. at det ikke tilføres varme

Detaljer

Retningen til Spontane Prosesser. Prosessers Retning

Retningen til Spontane Prosesser. Prosessers Retning Retningen til Spontane Prosesser T. Gundersen 5-1 Prosessers Retning Spontane Prosesser har en definert Retning Inverse Prosesser kan ikke skje uten ekstra hjelp i form av Utstyr og Energi i en eller annen

Detaljer

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2011 Løsninger

KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2011 Løsninger Side 1 av 11 KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2011 Løsninger Oppgave 1 a) Gibbs energi for et system er definert som og entalpien er definert som Det gir En liten endring

Detaljer

1 d 3 p. dpp 2 e β Z = Z N 1 = U = N 6 1 kt = 3NkT.

1 d 3 p. dpp 2 e β Z = Z N 1 = U = N 6 1 kt = 3NkT. Oppgave a) Partisjonsfunksjonen for én oscillator: Z d p (2π h) (4π)2 8π h 2 π h ( k hω (2mk )/2 ), d re β 2m p2 βmω2 2 r 2 dpp 2 e β ( 2k mω 2 2m p2 ) /2 ( drr 2 e βmω2 2 r 2 dxx 2 e x2 ) 2 der integralet

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Definisjon arbeid, W Kinetisk energi, E k Potensiell energi, E p. Konservative krefter Energibevaring Energibevaring når friksjon. Arbeid = areal under kurve F(x)

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Eksamen i: Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: Tirsdag 26. februar 2013 Tid: Kl 09:00 13:00

Eksamen i: Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: Tirsdag 26. februar 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: irsdag 26. februar 2013 id: Kl 09:00 13:00 Sted: B154 illatte jelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, O. Øgrim:

Detaljer

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl august 2018 Nynorsk

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl august 2018 Nynorsk TFY4165 9. august 2018 Side 1 av 7 Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl 09.00-13.00 9. august 2018 Nynorsk Oppgåve 1. Partiklar med tre diskrete energi-nivå. (Poeng: 6+6+8=20) Eit system består av N uavhengige

Detaljer

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Torsdag 6 juni 013 kl 1500-1900 Oppgave 1 Ti flervalgsoppgaver Poeng: pr

Detaljer

Introduction to thermal physics - Short course in thermodynamics

Introduction to thermal physics - Short course in thermodynamics Introduction to thermal physics - Short course in thermodynamics Anders Malthe-Sørenssen 19. august 2013 1 1 Introduction Vi ønsker å forstå makroskopiske objekter basert på de mikroskopiske vekselvirkningene.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1 AST1010 En kosmisk reise Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1 Innhold Mekanikk Termodynamikk Elektrisitet og magnetisme Elektromagnetiske bølger Mekanikk Newtons bevegelseslover Et legeme som ikke

Detaljer

Termodynamikk ΔU = Q - W. 1. Hovedsetning = Energibevarelse: (endring indre energi) = (varme inn) (arbeid utført)

Termodynamikk ΔU = Q - W. 1. Hovedsetning = Energibevarelse: (endring indre energi) = (varme inn) (arbeid utført) Termodynamikk 1. Hovedsetning = Energibevarelse: ΔU = Q - W (endring indre energi) = (varme inn) (arbeid utført) 2. Hovedsetning = Mulige prosesser: Varme kan ikke strømme fra kaldt til varmt legeme Prosesser

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring. Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring. Definisjon arbeid, W Kinetisk energi, E k Potensiell energi, E p. Konservative krefter Energibevaring Energibevaring når friksjon. F F x Arbeid = areal under

Detaljer

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde

Detaljer

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring. TFY4145/FY11 Mekanisk fysikk Størrelser og enheter (Kap 1) Kinematikk i en, to og tre dimensjoner (Kap. +3) Posisjon, hastighet, akselerasjon. Sirkelbevegelse. Dynamikk (krefter): Newtons lover (Kap. 4)

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Oppsummering av første del av kapitlet

Oppsummering av første del av kapitlet Forelesningsnotater om eksergi Siste halvdel av kapittel 7 i Fundamentals of Engineering Thermodynamics, M.J. Moran & H.N. Shapiro Rune N. Kleiveland, oktober Notatene følger presentasjonen i læreboka,

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TFY desember 2010.

Løsningsforslag eksamen TFY desember 2010. Løsningsforslag eksamen TFY4115 10. desember 010. Oppgave 1 a) Kreftene på klossene er vist under: Siden trinsene og snorene er masseløse er det bare to ulike snordrag T 1 og T. b) For å finne snordraget

Detaljer

Løsningsforslag til ukeoppgave 7

Løsningsforslag til ukeoppgave 7 Oppgaver FYS1001 Vår 2018 1 Løsningsforslag til ukeoppgave 7 Oppgave 11.35 Virkningsgraden er 63,1 % Oppgave 11.37 W = 16, 6 kj Q L = 9, 70 kj Q H = W + Q L = 16, 6 kj + 9, 70 kj = 26, 3 kj η = W Q H =

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

Retningen til Spontane Prosesser

Retningen til Spontane Prosesser Retningen til Spontane Prosesser Termodynamikkens 2. Lov 5-1 Prosessers Retning Spontane Prosesser har en definert Retning u Inverse motsatte Prosesser kan ikke skje uten ekstra hjelp i form av Utstyr

Detaljer

GEF1100: kapittel 6. Ada Gjermundsen. September 2017

GEF1100: kapittel 6. Ada Gjermundsen. September 2017 GEF1100: kapittel 6 Ada Gjermundsen September 2017 Hvem er jeg? (forha pentligvis snart Dr.) Ada Gjermundsen ada.gjermundsen@geo.uio.no adagjermundsen@gmail.com Studerer varmetransport i atmosfære og hav

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen Kollokvium 4 Grunnlaget for Scrödingerligningen 10. februar 2016 I dette kollokviet skal vi se litt på grunnlaget for Scrödingerligningen, og på når den er relevant. Den første oppgaven er en diskusjonsoppgave

Detaljer

Løsningsforslag til øving 5

Løsningsforslag til øving 5 FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 011. Løsningsforslag til øving 5 Oppgave 1 a) Energibevarelse E A = E B gir U A + K A = U B + K B Innsetting av r = L x i ligningen gir

Detaljer

Figur 1: Isoterm ekspansjon. For en gitt temperatur T endrer trykket seg langs den viste kurven.

Figur 1: Isoterm ekspansjon. For en gitt temperatur T endrer trykket seg langs den viste kurven. Fysikk / ermodynamikk åren 00 6. Gassers termodynamikk 6.. Ekspansjon av ideelle gasser vslutningsvis skal vi se på noen viktige prosesser som involverer ideelle gasser. isse prosessene danner i sin tur

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Brukerkurs i Gauss feilforplantning

Brukerkurs i Gauss feilforplantning Brukerkurs i Gauss feilforplantning Knut S. Gjerden 9. august 2011 evt. gaussisk feilforplantning eller bruk av Gauss lov for feilforplantning. Samt litt generelt om fysikkting.

Detaljer

Kapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

Kapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne Kapittel 4. Algebra Mål for kapittel 4: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Magnus Borstad Lilledahl Telefon: 73591873 (kontor) 92851014 (mobil) KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Eksamen i FYS Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 7 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI

Eksamen i FYS Oppgavesettet, inklusiv ark med formler, er på 7 sider, inkludert forside. FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Eksamen i FYS-0100 Eksamen i : Fys-0100 Generell fysikk Eksamensdag : 16. desember, 2011 Tid for eksamen : kl. 9.00-13.00 Sted : Åsgårdveien 9 Hjelpemidler : K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, O. Øgrim:

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I TE 335 Termodynamikk VARIGHET: 9.00 14.00 (5 timer). DATO: 24/2 2001 TILLATTE HJELPEMIDLER: Lommekalkulator OPPGAVESETTET BESTÅR AV 2 oppgaver på 5 sider (inklusive tabeller) HØGSKOLEN I STAVANGER

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131 Mandag 30

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. FYS-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato:

EKSAMENSOPPGAVE. FYS-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMESOGAVE Eksamen i: FYS-00 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: 4..07 Klokkeslett: 09.00 -.00 Sted: Åsgårdvn. 9 Tillatte jelpemidler: Type innføringsark

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

1 I mengdeteori er kontinuumshypotesen en antakelse om at det ikke eksisterer en mengde som

1 I mengdeteori er kontinuumshypotesen en antakelse om at det ikke eksisterer en mengde som Forelesning 12/3 2019 ved Karsten Trulsen Fluid- og kontinuumsmekanikk Som eksempel på anvendelse av vektor feltteori og flervariabel kalkulus, og som illustrasjon av begrepene vi har gått igjennom så

Detaljer

TFY4106 Fysikk Eksamen 17. august V=V = 3 r=r ) V = 3V r=r ' 0:15 cm 3. = m=v 5 = 7:86 g=cm 3

TFY4106 Fysikk Eksamen 17. august V=V = 3 r=r ) V = 3V r=r ' 0:15 cm 3. = m=v 5 = 7:86 g=cm 3 TFY4106 Fysikk Eksamen 17. august 2018 Lsningsforslag 1) C: V = 4r 3 =3 = 5:575 cm 3 For a ansla usikkerheten i V kan vi regne ut V med radius hhv 11.1 og 10.9 mm. Dette gir hhv 5.729 og 5.425 cm 3, sa

Detaljer

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl torsdag 15. desember 2016 Bokmål

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl torsdag 15. desember 2016 Bokmål FY4165 15. desember 2016 Side 1 av 7 Eksamen FY4165 ermisk fysikk kl 09.00-13.00 torsdag 15. desember 2016 Bokmål Ogave 1. (armeledning. Poeng: 10+10+10=30) Kontinuitetsligningen for energitetthet u og

Detaljer

Fysikkolympiaden 1. runde 27. oktober 7. november 2014

Fysikkolympiaden 1. runde 27. oktober 7. november 2014 Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Universitetet i Oslo Fysikkolympiaden 1. runde 7. oktober 7. november 014 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons lover i én dimensjon 3.01.018 snuble-gruppe i dag, kl.16:15-18:00, Origo FYS-MEK 1110 3.01.018 1 Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons lover i én dimensjon.01.014 Interessert å være studentrepresentant for YS-MEK kurset? ta kontakt med meg. YS-MEK 1110.01.014 1 Bok på bordet Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 404 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 200 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 2

Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 2 FYS6 Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig Sindre Rannem Bilden. september 05 Oppgave 0. - Likevekt i et spinnsystem a Hva er antallet mikrotilstander i et system med antall spinn? Svar: Da hver spinn

Detaljer

Løsningsforslag nr.4 - GEF2200

Løsningsforslag nr.4 - GEF2200 Løsningsforslag nr.4 - GEF2200 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 - Definisjoner og annet pugg s. 375-380 a) Hva er normal tykkelse på det atmosfæriske grenselaget, og hvor finner vi det? 1-2 km. fra bakken

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag

Fysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag Fysikkolympiaden Norsk finale 018 øsningsforslag Oppgave 1 Det virker tre krefter: Tyngden G = mg, normalkrafta fra veggen, som må være sentripetalkrafta N = mv /R og friksjonskrafta F oppover parallelt

Detaljer

A 252 kg B 287 kg C 322 kg D 357 kg E 392 kg. Velg ett alternativ

A 252 kg B 287 kg C 322 kg D 357 kg E 392 kg. Velg ett alternativ 1 n sugekopp har tre sirkulære "skiver", hver med diameter 115 mm. Hva er sugekoppens maksimale (teoretiske) løfteevne ved normale betingelser (dvs lufttrykk 1 atm)? 252 kg 287 kg 322 kg 357 kg 392 kg

Detaljer

Løsningsforslag til øving 6

Løsningsforslag til øving 6 Ogave 1 FY1005/FY4165 ermisk fysikk Institutt for fysikk NNU åren 2015 Entroiendring for kloss 1: Entroiendring for kloss 2: 1 2 Løsningsforslag til øving 6 0 1 dq 0 2 dq 0 Cd 1 0 Cd 2 C ln 0 1 C ln 0

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon

Detaljer

Oppsummering - Kap. 5 Termodynamikkens 2. Lov

Oppsummering - Kap. 5 Termodynamikkens 2. Lov EP 410 ermodynamikk 1 Spontane Prosesser Varmeoverføring ( > omg ), Ekspansjon (P > P omg ), og Frigjort Masse i Gravitasjonsfelt er Eksempler Energibalanser kan ikke prediktere Retning Hva kan ermodynamikkens.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Tirsdag 9. desember 2008 Tid: kl. 09:00-13:00

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Tirsdag 9. desember 2008 Tid: kl. 09:00-13:00 Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 410 TERMODYNAMIKK 1 Tirsdag 9. desember 008 Tid: kl. 09:00-13:00

Detaljer

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving?

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Gjør dette hjemme 6 #8 Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Skrevet av: Kristian Sørnes Dette eksperimentet ser på hvordan man finner en matematisk formel fra et eksperiment,

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

Fuktig luft. Faseovergang under trippelpunktet < > 1/71

Fuktig luft. Faseovergang under trippelpunktet < > 1/71 Fuktig luft 1/71 Faseovergang under trippelpunktet Fuktig luft som blanding at to gasser 2/71 Luft betraktes som en ren komponent Vanndamp og luft oppfører seg som en blanding av nær ideelle gasser 3/71

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk

Detaljer