Kapittel 10 Utmattings-sprekkvekst

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kapittel 10 Utmattings-sprekkvekst"

Transkript

1 apittel Utattings-sprekkvekst Forelesningsnotater i ME 452 Bruddekanikk Hans A. Bratfos Lærebok: T.L. Anderson, Fracture Mechanics Fundaentals and Applications, 3rd edition. Utattingsbrudd (ap..) Utattingsbrudd er en av de hyppigst ekoende feilekanisene i konstruksjoner, og utgjør dered en betydelig kostnad safunnet. Bruddet utvikler seg gradvis over tid so følge av gjentatte lastvekslinger. Disse lastvekslingene ligger noralt langt under bruddlasten. Hver lastsykel gir en ikroskisk sprekktilvekst so over tikkuuleres til flere illieter. De individuelle tilvekstene er synlige i ikrosk so havbølge-lignende ønster og kalles striasjoner (se fig.). Når utattingssprekken blir tilstrekkelig stor ender det ed et ustabilt brudd; restbrudd.

2 Syklisk belastning: Spenning, ean Spennings-vidde. Tid Utatting er priært avhenging av spenningsvidden lokalt (dvs. inkludert spenningskonsentrasjoner): σ = Alternativt kan spenningen angis so aplitude: σ σ σ σ a = 2 Sekundært avhenginger utatting også av iddelspenningen, σ ean. Dette uttrykkes også gjenno spenningsholdet R: σ R = σ Initiering: Første stadiu i en utattingsprosess er initiering. I denne fasen dannes utattingssprekken vet det pstår ikroskisk flyting langs prefererte glideplan i etallets korn helst der hvor glideplanet saenfaller ed plan ed høy skjærspenning. Hver spenningsendring edfører ikroskisk flytning langs et glideplan i etallkrystallet. Det aktiveres stadig nye glideplan, so edfører en noe tilfeldig dannelse av lepper (eng: intrusions and extrusions). Etter en tid vil dette arte seg so ikroskiske sprekk-lignende defekter. Når initieringen starter ved en plan overflate vil dette ta lang tid og utgjøre det este av konentens levetid. Når initieringen egår ved en skarp defekt kan den lokale spenningsvidden bli ekstre, og initieringen går raskt. Den videre sprekkveksten vil da utgjøre den vesentligste del av levetiden. 2

3 Sprekkvekst i Stadiu I: Etter initiering vil sprekken tsette å vokse langs de prefererte glideplanene ed høy skjærspenning, altså typisk 45 på overflaten. Dette blir referert til so Stadui I. og egår gjenno et fåtall krystallkorn. Sprekkvekst i Stadiu I Sprekkvekst i Stadiu II Initiering Sprekkvekst i Stadui II: Etter å ha vokst i Stadiu I gjenno et fåtall krystallkorn dreier vekstretningen til 9 på største hovedspenning. Sprekkveksten er da i Stadiu II. Mekanisen dette stadiet er vist under: Sprekk 2. Miniu belastning: Sprekken er lukket ed skarp sprekkspiss Striasjoner 2. Maksiu belastning: Sprekken er åpen ed et spenningsfelt ved sprekkspissen i strekk. Spenningsfeltet edfører stor 3 plastisk deasjon ved sprekkspissen so avrundes ( blunting ). Avrundingen ipliserer at sprekken vokser et inkreent innover i aterialet. 3. Miniu belastning: Sprekken er igjen lukket. Et a da/dn spenningsfelt i trykk ved sprekkspissen har fått avrundingen til å knekke innover. Dered er sprekkspissen igjen blitt skarp og tilveksten er beholdt. So illustrasjonen antyder klarer denne odellen hvordan striasjonene pstår. 3

4 I Stadiu II kan an karakterisere sprekkveksthastigheten ved bruddekaniske odeller, gjerne på en: = f (, hvor er karakteriserer variasjon i spenningsintensitetsfaktor (vidden) ved sprekkspissen: = og R er spenningsholdet so nå defineres so: R = Med = Yσ πa ser vi at denne definisjonen av R egentlig er identisk ed definisjonen R = σ / σ. Vi ser også at kan skrives so: = Y σ πa Ved utattingsanalyser å sprekkvekstligningen integreres å regne ut antall spenningsvekslinger til brudd. Dette gjøres vanligvis ved en nuerisk integrasjon av uttrykket: N = N = a f a f (, hvor a er den prinnelige sprekkstørrelsen og a f er den endelige (final) sprekkstørrelsen. Restbrudd inntrer hvis a f overstiger kritisk sprekkstørrelse ustabilt brudd. Epiriske sprekkvekstligninger (ap..2) Sprekkvekst-diagraet under viser hvordan sprekkvekshastigheten typisk avhenger av. Det deles inn i tre soner: I den idtre sonen (sone II) observeres at sprekkvekstålinger faller på en rett linje når dataene plottes på logaritiske akser. Dette ble observert av Paris so dered ulerte Paris ligning so Log(da/dN) Ustabilt brudd = C Sone I Sone II hvor C og betraktes so aterial-konstanter. C og varierer iidlertid ikke så y innen en og sae type etall. Standarder bruddekaniske analyser angir der designverdier eksepel stål og Sone III aluiu. Typisk verdi er 3 eller noe høyere. I den venstre sonen (sone I) bøyer kurven av og ser ut til å gå asyptotisk ot en nedre grense ; terskelverdien th. For -verdier under th får vi ingen sprekkvekst. I den høyre sonen (sone III) bøyer kurven av pover. Dette er er resultat av at vi nærer oss en tilstand hvor ligger nær den kritiske verdien ustabilt bruss, th Log( ) c. Vi har da et salgs blanding av utatting og kløvningsbrudd. 4

5 Mens Paris ligning kun er gyldig sone II finnes det andre epiriske ligninger so også reflekterer sone I og /eller III. Forean odifiserte Paris ligning å inkludere sone III so følger: = C ( lesnil og Lukas odifiserte Paris ligning å inkludere sone I: = C c ( ) th (Flere eksepler i boka.) I praktisk bruk er Paris ligning den doerende. Det er iidlertid vanlig å anta i tillegg at da/dn = når th. Videre kan an ved integrasjonen av Paris ligning anta at den endelige sprekkstørrelsen er lik den kritiske sprekkstørrelsen a c ustabilt brudd so kan beregnes basert på Ic, J c elle δ c i følge tidligere kapitler. (Man ser av Paris ligning og uttrykket at sprekkveksthastigheten øker eksponentielt ed sprekkstørrelsen. Følgelig vil sprekkveksthastigheten bli svært høy ot slutten, og de siste illieterne vil ofte utgjøre en veldig liten andel av den totale tiden til brudd. Det er der vanlig å enkle analysen ved å sette a f lik konentens tykkelse og dered slippe å beregne ustabilt brudd. Sprekklukningsodellen (ap..3 og.4) En noe er teoretisk fundert odell å beskrive pførslen i sone I og ekten av R er sprekklukningsodellen utviklet av Elber. Her antas at sprekken lukkes når I er under en verdi (ening). Den ektive andelen av spenningsvidden blir da når I er større enn. Følgelig: I = Videre antas at en sprekkvekstligning på sae so Paris ligning gjelder: Sprekklukning Tid = C I < Hvis vi også tar ed oss tilfellene der hele - vidden ligger over og hele -vidden en ligger under får vi er generelt: < < Sprekklukning > = = = > 5

6 er ikke en paraeter so noralt blir rapportert. Vi ser iidlertit o = og = har vi full lukning under hele syklusen. Altså har vi at =. Videre har vi / og = -. Vi kan da uttrykke ektiv -vidde so: = = ( ( ( = R ( R Saenhengen ello th vendre R og er gitt av at ved terskelverdien er = og = -. Vi får da: R = so gir: = + R th, Den vanligste etodikken å konstruere ot utatting er bruk av Wöhler-diagra, eller S-N-diagra (stress vs. no. of cycles). Der er det viktig å kjenne til dette, selv o det ikke faller innunder bruddekanikken. Wöhler utførte tester på prøvestaver ed syklisk varierende last og plottet spenningsvidden σ ot antall lastsykler N. Disse ble så benyttet til å bestee aksialt tillatt spenningsvidde en konent avhengig av hvor ange vekslinger den ville bli utsatt. Wöhler-diagra (Ikke pensu) Wöhler-diagraer plottes vanligvis ed logaritiske akser. Da vil prøveresultatene høye spenningsvidder ligge på en rett linje so kan bestees ed lineær regresjon. For lave spenningsvekslinger ser det ut til at an ikke pnår brudd. Man er da under terskelverdien σ th. Dataene vil vise en god del statistisk spredning. Der er det vanlig å legge en designkurve to standardavvik til venstre regresjonslinjen. 6

Kapittel 10 Utmattings-sprekkvekst

Kapittel 10 Utmattings-sprekkvekst Kapittel 10 Utattings-sprekkvekst Forelesningsnotater i MEK 4520 Bruddekanikk Hans A. Bratfos Lærebok: T.L. Anderson, Fracture Mechanics Fundaentals and Applications, 3rd edition. Utattingsbrudd (Kap.

Detaljer

Kapittel 1 Historie og oversikt

Kapittel 1 Historie og oversikt Kapittel 1 Historie og oversikt Forelesningsnotater i MEK 4520 Bruddmekanikk Hans A. Bratfos Lærebok: T.L. Anderson, Fracture Mechanics Fundamentals and Applications, 3rd edition. Merknad: Dette forelesningsnotatet

Detaljer

MEK 4520 Bruddmekanikk Løsningsforslag til eksamensoppgaver høst 2005

MEK 4520 Bruddmekanikk Løsningsforslag til eksamensoppgaver høst 2005 M 450 Bruddekanikk Løsningsforslag til eksaensoppgaver høst 005 Oppgave Du har fått i oppgave å avgjøre hvor store defekter (sprekker) so kan aksepteres i en stor koponent av støpe. Støpe er vanligvis

Detaljer

UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER

UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER konstruksjons Levetid, N = antall lastvekslinger Eksempel: Roterende aksel med svinghjul Akselen roterer med 250 o/min, 8 timer/dag, 300 dager i året. Hvis akselen

Detaljer

Oppgaver. HIN IBDK RA 07.12.07 Side 1 av 6. Oppgave 1. Ved prøving av metalliske materialer kan man finne strekkfastheten,.

Oppgaver. HIN IBDK RA 07.12.07 Side 1 av 6. Oppgave 1. Ved prøving av metalliske materialer kan man finne strekkfastheten,. Side 1 av 6 Oppgaver Oppgave 1. Ved prøving av etalliske aterialer kan an finne strekkfastheten, ( eh og ) og p02. og flytegrensene e e er egentlig flytegrense, dvs. der den kan fastlegges utvetydig. p02

Detaljer

Figur 1.8.2 Spenningskomponenter i sveisesnittet. a) kilsveis, b) buttsveis. (1)

Figur 1.8.2 Spenningskomponenter i sveisesnittet. a) kilsveis, b) buttsveis. (1) 1.8 Statiske beregningsetoder or sveiste konstruksjoner Statiske beregninger av aluiniu konstruksjoner beregnes i bruddgrensetilstanden etter bl.a. Norsk Standard. 8.1 Spenningsteori Flere beregningsstandarder

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMT4185 ;

Løsningsforslag eksamen TMT4185 ; Løsningsforslag eksamen TMT4185 ; 11.12.13 Oppgave1 a) i) Bindingsenergien E 0 tilsvarer minimumsenergien som finnes ved å derivere den potensielle energien E N mhp r og deretter sette den deriverte lik

Detaljer

Q-Q plott. Insitutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk. Kvantiler fra sannsynlighetsfordeling

Q-Q plott. Insitutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk. Kvantiler fra sannsynlighetsfordeling Q-Q plott Notat for TMA/TMA Statistikk Insitutt for ateatiske fag, NTNU. august En ønsker ofte å trekke slutninger o populasjonen til en stokastisk variabel basert på et forholdsvis lite antall observasjoner,

Detaljer

Algoritme-Analyse. Asymptotisk ytelse. Sammenligning av kjøretid. Konstanter mot n. Algoritme-kompeksitet. Hva er størrelsen (n) av et problem?

Algoritme-Analyse. Asymptotisk ytelse. Sammenligning av kjøretid. Konstanter mot n. Algoritme-kompeksitet. Hva er størrelsen (n) av et problem? Hva er størrelsen (n) av et proble? Algorite-Analyse Algoriter og Datastrukturer Antall linjer i et nettverk Antall tegn i en tekst Antall tall so skal sorteres Antall poster det skal søkes blant Antall

Detaljer

Styrkeberegning Sveiseforbindelser - dynamisk

Styrkeberegning Sveiseforbindelser - dynamisk Henning Johansen side: 0 INNHOLD 2 1 UTMATTENDE BELASTNING 3 2 UTMATTINGSKAPASITET 4 2.1 SPENNINGSVIDDEN 4 2.2 SPENNINGSVIDDE MED KONSTANT AMPLITUDE 5 2.3 SPENNINGSVIDDE MED VARIERENDE AMPLITUDE 5 2.3.1

Detaljer

Kapittel 9 Anvendelse på strukturer

Kapittel 9 Anvendelse på strukturer apittel 9 Anvendelse på strukturer Forelesningsnotater i ME 45 Bruddmekanikk Hans A. Bratfos Lærebok: T.L. Anderson, Fracture Mechanics Fundamentals and Applications, 3rd edition. Lineærelastisk bruddmekanikk

Detaljer

FYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall

FYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall FYS130. Tillegg til kapittel 13 Haronisk oscillator. Løsning ed koplekse tall Differensialligningen for en udepet haronisk oscillator er && x+ ω x = 0 (1) so er en hoogen lineær differensialligning av.

Detaljer

Kapasitet av rørknutepunkt

Kapasitet av rørknutepunkt Kapasitet av rørknutepunkt Knutepunkt i fagverksplattformer Knutepunktstyper Knutepunktstyper Knutepunktenes oppgave q Overføre aksialkrefter fra et avstivningsrør til et annet. q Dette utføres ved et

Detaljer

Feilsøking og skadeanalyse. Øivind Husø

Feilsøking og skadeanalyse. Øivind Husø Feilsøking og skadeanalyse Øivind Husø 1 Bruddmekanikk Når vi konstruer deler i duktile materialer som konstruksjonsstål og aluminium, er det flytegrensen, eventuelt R P0,2 som er grensen for hvilken spenning

Detaljer

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V Leggeanvisning ØS Snøatte-300 300W/ 2 230V og 400V ØS Snøatte-300 benyttes til utendørs is- og snøselting av oppkjørsler, gangveier, inngangspartier, parkeringsplasser, raper etc. Varekabelen er stålarert

Detaljer

Innhold. Utmattingsforløpet deles inn i tre faser. Kap. 2-4 Dimensjonering mht utmatting. Kap. 2-4 Utseende av utmattingsbrudd

Innhold. Utmattingsforløpet deles inn i tre faser. Kap. 2-4 Dimensjonering mht utmatting. Kap. 2-4 Utseende av utmattingsbrudd Kap. 2-4 Dimensjonering mht utmatting Kap. 2-4 Utseende av utmattingsbrudd Innhold Introduksjon Prinssipper for dimensjonering mot utmatting Forsøkmetoder for utmattingsfastheten Grafisk fremstilling av

Detaljer

Mot 6: Støy i felteffekttransistorer

Mot 6: Støy i felteffekttransistorer / Mot 6: Støy i felteffekttransistorer To typer av felteffekttransistorer: MOSFET: Kapasitiv kontroll av kanal JFET: Variasjon av bredden på en reversforspent diode hvor deplesjonssonen besteer bredden

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

Mandag 21.08.06. Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc.

Mandag 21.08.06. Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc. Institutt for fysikk, NTNU TFY46/FY2: Bølgefysikk Høsten 26, uke 34 Mandag 2.8.6 Hvorfor bølgefysikk? Man støter på bølgefenoener overalt. Eksepler: overflatebølger på vann akustiske bølger (f.eks. lyd)

Detaljer

Skadevurdering av utmattingssprekker i skipsskrog. Lars G. Bjørheim

Skadevurdering av utmattingssprekker i skipsskrog. Lars G. Bjørheim Skadevurdering av utmattingssprekker i skipsskrog Lars G. Bjørheim 2 Innledning Utmattingssprekker er et velkjent fenomen innen redernæringen Midler og metoder for bestemmelse avutmattingskapasitet er

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for ateatiske fag Øving nuer, blokk I Løsningsskisse Oppgave X er hypergeoetrisk fordelt ed N 000 turer, k turer kjører transportfiraet gjenno sentru

Detaljer

En skruegjenge utfoldet på en omdreining gir et skråplan med høyde P = skruens stigning og stigningsvinkel φ.

En skruegjenge utfoldet på en omdreining gir et skråplan med høyde P = skruens stigning og stigningsvinkel φ. GJENGESYSTEMER En skruegjenge utfoldet på en odreining gir et skråplan ed høyde P = skruens stigning og stigningsvinkel φ. Hvis skruelinjen stiger fra venstre til høyre, høyregjenget (H). Mest vanlig.

Detaljer

Materialer og kjemi 1

Materialer og kjemi 1 Materialer og kjemi 1 Bruddseighet og sensitivitet for overflatefeil i kabeltråd Senior rådgiver Hans Lange SINTEF Materialer og kjemi Foredrag MainTech konferansen 2015-04-08 Materialer og kjemi 2 Oversikt

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Øvingsoppgave 4. Oppgave 4.8 Hvorfor er de mekaniske prøvemetodene i mange tilfelle utilstrekkelige?

Øvingsoppgave 4. Oppgave 4.8 Hvorfor er de mekaniske prøvemetodene i mange tilfelle utilstrekkelige? Oppgave 4.1 Hva er et konstruksjonsmateriale, designmateriale? Oppgave 4.2 Hvilke grupper konstruksjonsmaterialer, designmaterialer har vi? Oppgave 4.3 Hva er egenskapen styrke til et konstruksjonsmateriale?

Detaljer

Ønsket innhold. Hva begrenser levetiden?

Ønsket innhold. Hva begrenser levetiden? Ønsket innhold Materialegenskaper for PE, PVC, støpejern mm Forventet levetid på nye ledningsnett Materialkvalitet og levetid på eldre ledninger Hva begrenser levetiden? Vanlige skader på VA-ledningsanlegg

Detaljer

TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag

TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag Oppgave 1: UAV En AUV (Autonoous Underwater Vehicle) er et ubeannet undervannsfartøy so kan utføre selvstendige oppdrag under vann. I denne oppgaven

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for ateatiske fag Øving nuer, blokk I Løsningsskisse Oppgave a X kan eksepelvis være resultatet av en flervalgsoppgave ed 0 sp og svaralternativ

Detaljer

Prøving av materialenes mekaniske egenskaper del 1: Strekkforsøket

Prøving av materialenes mekaniske egenskaper del 1: Strekkforsøket Prøving av materialenes mekaniske egenskaper del 1: Strekkforsøket Frey Publishing 21.01.2014 1 Prøvemetoder for mekaniske egenskaper Strekkprøving Hardhetsmåling Slagseighetsprøving Sigeforsøket 21.01.2014

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,

Detaljer

Motor - generatoroppgave II

Motor - generatoroppgave II KYBERNETIKKLABORATORIET FAG: Kybernetikk DATO: 01.17 OPPG.NR.: R113 Motor - generatoroppgave II Et reguleringssyste består av en svitsjstyrt (PWM) otor-generatorenhet og en ikrokontroller (MCU) so åler

Detaljer

Elektriske svingekretser - FYS2130

Elektriske svingekretser - FYS2130 Elektriske svingekretser - FYS3 Koplekse ipedanser Vekselsstrøskretser blir ofte enklere å behandle når ipedansene skrives på kopleks for. De koplekse ipedanser er Z ˆ i for kondensator ed kapasitans i

Detaljer

Kapitalverdimodellen. Investering under usikkerhet Risiko og avkastning. Capital Asset Pricing Model Kapitalverdimodellen (KVM)

Kapitalverdimodellen. Investering under usikkerhet Risiko og avkastning. Capital Asset Pricing Model Kapitalverdimodellen (KVM) Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Kapitalverdiodellen Veid kapitalkostnad Finansieringsstruktur og kapitalkostnad John-rik Andreassen 1 Høgskolen i Østold Capital Asset Pricing Model Kapitalverdiodellen

Detaljer

Binomisk fordeling. Hypergeometrisk fordeling. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi har følgende situasjon: = = 2

Binomisk fordeling. Hypergeometrisk fordeling. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi har følgende situasjon: = = 2 MAT0100V Sannsynlighetsregning og kobinatorikk Oppgaver o Binoisk og hypergeoetrisk fordeling Forventning varians og standardavvik Tilnæring av binoiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Underveiseksamen i: STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 22/3, 2006. Tid for eksamen: Kl. 09.00 11.00. Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor

Detaljer

TEKNISK RAPPORT PETROLEUMSTILSYNET HVA SKJER MED KJETTINGER ETTER LOKALE BRUDD RAPPORT NR.2006-0898 DET NORSKE VERITAS I ANKERLØKKER? REVISJON NR.

TEKNISK RAPPORT PETROLEUMSTILSYNET HVA SKJER MED KJETTINGER ETTER LOKALE BRUDD RAPPORT NR.2006-0898 DET NORSKE VERITAS I ANKERLØKKER? REVISJON NR. PETROLEUMSTILSYNET HVA SKJER MED KJETTINGER ETTER LOKALE BRUDD I ANKERLØKKER? RAPPORT NR.2006-0898 REVISJON NR. 01 DET NORSKE VERITAS Innholdsfortegnelse Side 1 SAMMENDRAG... 1 2 INNLEDNING... 1 3 KJETTING

Detaljer

Ekstra formler som ikke finnes i Haugan

Ekstra formler som ikke finnes i Haugan Oppgavetekstene kan inneholde unødvendige opplysninger. Ekstra formler som ikke finnes i Haugan σ n = B n = sikkerhetsfaktor, σ B = bruddspenning (fasthet), σ till = tillatt spenning σ till Kombinert normalkraft

Detaljer

Oblig 6 i Fys-Mek1110

Oblig 6 i Fys-Mek1110 Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke Oblig 6 i Fys-Mek1110 a) Akselerasjon Fart Siden det ikke er noen for for friksjon eller andre ikke-konservative krefter i bildet, vil forholdet

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-

Detaljer

Materiebølger - Elektrondiffraksjon

Materiebølger - Elektrondiffraksjon FY100 Bølgefysikk Institutt for fysikk, NTNU FY100 Bølgefysikk, øst 007 Laboratorieøvelse 3 Materiebølger - Elektrondiffraksjon Oppgave Besteelse av Planck`s konstant ved elektrondiffraksjon. Forslag til

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

Bevegelsesmengde Kollisjoner

Bevegelsesmengde Kollisjoner eegelsesengde Kollisjoner 4.3.3 neste uke: ingen forelesning ingen gruppeunderisning ingen datalab på grunn a idteiseksaen FYS-MEK 4.3.3 Energibearing energi i systeet er beart: E tot = K +U + E T arbeid

Detaljer

1.9 Dynamiske (utmatting) beregningsmetoder for sveiste konstruksjoner

1.9 Dynamiske (utmatting) beregningsmetoder for sveiste konstruksjoner 1.9 Dynamiske (utmatting) beregningsmetoder for sveiste konstruksjoner 9.1 Generelt. De viktigste faktorene som påvirker utmattingsfastheten i konstruksjoner er: a) HØYT FORHOLD MELLOM DYNAMISKE- OG STATISKE

Detaljer

SVEISTE FORBINDELSER NS-EN 1993-1-8 Knutepunkter

SVEISTE FORBINDELSER NS-EN 1993-1-8 Knutepunkter SVEISTE FORBIDELSER S-E 1993-1-8 Knutepunkter I motsetning til S 347 er sveiser og skruer behandlet i S-E 1993-1-8, som i tillegg til orbindelsesmidlene også gir regler or knutepunkter (joints) Generelt

Detaljer

Fysikk-OL Norsk finale 2004

Fysikk-OL Norsk finale 2004 Universitetet i Oslo Norsk Fysikklærerforening Fysikk-OL Norsk finale 004 3. uttakingsrunde Fredag. april kl 09.00 til.00 Hjelpeidler: abell/forelsaling og loeregner Oppgavesettet består av 6 oppgaver

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG Side av 7 NTNU Norges tenis-naturvitensapelige universitet Faultet for fysi, inforati og ateati Institutt for datateni og inforasjonsvitensap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TT23 VISUALISERING TIRSAG 7. AUGUST

Detaljer

1.10 Design for sveising

1.10 Design for sveising 1.10 Design for sveising Målet med god design for sveising er å sørge for kontinuitet mellom delene i en struktur. Det er viktig å sørge for jevn kraftflyt uten hindringer over sveiseskjøtene. Både sveiseutførelse

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka: MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Kapittel 7 Bruddseighetsprøving av metaller

Kapittel 7 Bruddseighetsprøving av metaller aittel 7 Bruddseighetsrøving av metaller Forelesningsnotater i ME 450 Bruddmekanikk Hans A. Bratfos Lærebok: T.L. Anderson, Fracture Mechanics Fundamentals and Alications, 3rd edition. Generelle betraktninger

Detaljer

Inferens i regresjon

Inferens i regresjon Strategi som er fulgt hittil: Inferens i regresjon Deskriptiv analyse og dataanalyse først. Analyse av en variabel før studie av samvariasjon. Emne for dette kapittel er inferens når det er en respons

Detaljer

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V

Leggeanvisning ØS Snømatte W/m 2 230V og 400V Leggeanvisning ØS Snøatte 300 300W/ 2 230V og 400V ØS Snøatte 300 benyttes til utendørs is og snøselting av oppkjørsler, gangveier, inngangspartier, parkeringsplasser, raper etc. Varekabelen er stålarert

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Jernbaneverket Bruer Utmattingsproblematikk på jernbanebruer i stål

Jernbaneverket Bruer Utmattingsproblematikk på jernbanebruer i stål Bruer Utmattingsproblematikk på jernbanebruer i stål Plan og teknikk Over /underbygning Innhold Jernbanebruer i Norge Kort om utmatting Utmatting på jernbanebruer Resultater fra beregninger Resultater

Detaljer

Oppgave N(0, 1) under H 0. S t n 3

Oppgave N(0, 1) under H 0. S t n 3 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr 9 (s 1) Oppgave 1 Modell: Y i β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + ε i der ε 1,, ε n uif N(0, σ 2 ) e) Y Xβ + ε der Y Y 1 Y n, X 1 x 1 x 2 1

Detaljer

Deskriptiv statistikk., Introduksjon til dataanalyse

Deskriptiv statistikk., Introduksjon til dataanalyse Introduksjon til dataanalyse Deskriptiv statistikk 2 Kapittel 1 Denne timen og delvis forrige time er inspirert av Kapittel 1, men vi kommer ikke til å gå igjennom alt fra dette kapittelet i forelesning.

Detaljer

Deskriptiv statistikk., Introduksjon til dataanalyse

Deskriptiv statistikk., Introduksjon til dataanalyse Introduksjon til dataanalyse Deskriptiv statistikk 2 Kapittel 1 Denne timen og delvis forrige time er inspirert av Kapittel 1, men vi kommer ikke til å gå igjennom alt fra dette kapittelet i forelesning.

Detaljer

Styrkeberegning. Løsningsforslag EKSAMEN TEK timer. Henning Johansen

Styrkeberegning. Løsningsforslag EKSAMEN TEK timer. Henning Johansen Institutt for vareprodukson og byggteknikk Løsningsforslag EKSAME EMEAV: Styrkeberegning EMEUMMER: TEK EKSAMESATO: 5. ai 9 TI: EMEASVARLIG: tier Henning Johansen TILLATTE HJELPEMILER: Lærebok (Konstruksonseleenter;

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene:

Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene: Løsningsforslag eksaen FYS1 V11 Oppgave 1 Svar KORTpå disse oppgavene: a) Tversbølge: Svingebevegelsen til hvert punkt på bølgen går på tvers av forplantningsretningen til bølgen. Langsbølge: Svingebevegelsen

Detaljer

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2. Kapittel 2 Utforske og beskrive data Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.4 denne uken To kryssplott av samme datasett, men med forskjellig skala

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 V2016

Løsningsforslag Fysikk 2 V2016 Løsningsforslag Fysikk, Vår 016 Løsningsforslag Fysikk V016 Oppgave Svar Forklaring a) B Faradays induksjonslov: ε = Φ, so gir at Φ = ε t t Det betyr at Φ åles i V s b) D L in = 0,99 10 = 9,9 L aks = 1,04

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Estimering av utmattingslevetid for naglede dobbeltvinklede langbærer-tverrbærer forbindelser i jernbanebruer

Estimering av utmattingslevetid for naglede dobbeltvinklede langbærer-tverrbærer forbindelser i jernbanebruer Estimering av utmattingslevetid for naglede dobbeltvinklede langbærer-tverrbærer forbindelser i jernbanebruer Hot spot metode Martin Alrek Myhre Bygg- og miljøteknikk Innlevert: juni 2015 Hovedveileder:

Detaljer

EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE

EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE 1. Forskjellige typer feil: a) Definisjonsusikkerhet Eksempel: Tenk deg at du skal måle lengden av et noe ullent legeme, f.eks. en sau. Botemiddel: Legg vekt på

Detaljer

EKSAMEN. MATERIALER OG BEARBEIDING Fagkode: ILI 1458

EKSAMEN. MATERIALER OG BEARBEIDING Fagkode: ILI 1458 side 1 av 6 HØGSKOLEN I NARVIK Teknologisk Avdeling Studieretning: Allmenn Maskin EKSAMEN I MATERIALER OG BEARBEIDING Fagkode: ILI 1458 Tid: 12.06.02 kl 0900-1400 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med

Detaljer

For bedre visualisering tegner vi

For bedre visualisering tegner vi MSK MSKIKOSTRUKSJO ØSIGSORSG TI ØVIGSOPPGVR Oppgave 8. 8.5 ØVIG 9: DIMSJORIG V SKRUORBIDSR Oppgave 8- a) Totalraften i ruen er gitt ved: b der er forpenningraften og er andelen av ytre raften o ta av en

Detaljer

Løsningsforslag i stikkordsform til eksamen i maskindeler og materialteknologi Tromsø Desember 2015

Løsningsforslag i stikkordsform til eksamen i maskindeler og materialteknologi Tromsø Desember 2015 Løsningsforslag i stikkordsform til eksamen i maskindeler og materialteknologi Tromsø Desember 2015 Svarene er ikke utfyllende. Det henvises til læreboka Øivind Husø Oppgave 1 Figur 1 viser fasediagrammet

Detaljer

Sprekker i løpehjul. analyser, forebygging og erfaringer Bjarne Børresen Technology Manager

Sprekker i løpehjul. analyser, forebygging og erfaringer Bjarne Børresen Technology Manager Sprekker i løpehjul. analyser, forebygging og erfaringer Bjarne Børresen Technology Manager A specialist knows more and more about less and less until eventually he knows everything about nothing. A generalist

Detaljer

Løsningsforslag TMT 4170 Materialteknologi 1

Løsningsforslag TMT 4170 Materialteknologi 1 1 Løsningsforslag TMT 4170 Materialteknologi 1 Eksamen holdt 16. desember 2003 Oppgave 1: Materialfremstilling. Generelt stoff som kan hentes fra kompendium og forelesning gitt av Prof. Leiv Kolbeinsen.

Detaljer

FYS1120 Elektromagnetisme

FYS1120 Elektromagnetisme Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FYS112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 2 Oppgave 1 a) Gauss lov sier at den elektriske fluksen Φ er lik den totale ladningen

Detaljer

Transistorer en alternativ presentasjon. Temapunkter for de 3 neste ukene

Transistorer en alternativ presentasjon. Temapunkter for de 3 neste ukene ransistorer en alternativ presentasjon Dekkes delvis i boka Kap 19-21 Linde 3. feb 2010 eapunkter for de 3 neste ukene eskrive struktur o virkninsekaniser i bipolare junction transistorer (J) Forklare

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Faglig kontakt under eksamen: Anna Marie Holand Tlf: 951 38 038 Eksamensdato: 30. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.

Detaljer

Hypotesetest: generell fremgangsmåte

Hypotesetest: generell fremgangsmåte TMA4240 Statistikk H2010 (21) 10.8, 10.10: To normalfordelte utvalg 10.9: Teststyrke og antall observasjoner Mette Langaas Foreleses mandag 1.november, 2010 2 Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell

Detaljer

1 10-2: Korrelasjon. 2 10-3: Regresjon

1 10-2: Korrelasjon. 2 10-3: Regresjon 1 10-2: Korrelasjon 2 10-3: Regresjon Example Krysser y-aksen i 1: b 0 = 1 Stiger med 2 hver gang x øker med 1: b 1 = 2 Formelen til linja er derfor y = 1 + 2x Eksempel Example Vi lar fem personer se en

Detaljer

Styrkeberegning Skrueforbindelser

Styrkeberegning Skrueforbindelser Henning Johansen side: 0 INNHOLD 1 INNLEDNING 3 GJENGESYSTEMER 4 3 ASTHETSKLASSER OG MATERIALER 6 4 TILVIRKNINGSMETODER 7 5 SKRUENS MEKANIKK 8 5.1 latgjenget skrue 9 5. Spissgjenget skrue, ved heving av

Detaljer

Øvingsoppgave 4. Oppgave 4.8 Hvorfor er de mekaniske prøvemetodene i mange tilfelle utilstrekkelige?

Øvingsoppgave 4. Oppgave 4.8 Hvorfor er de mekaniske prøvemetodene i mange tilfelle utilstrekkelige? Oppgave 4.1 Hva er et konstruksjonsmateriale, designmateriale? Oppgave 4.2 Hvilke grupper konstruksjonsmaterialer, designmaterialer har vi? Oppgave 4.3 Hva er egenskapen styrke til et konstruksjonsmateriale?

Detaljer

Kap 5 Anvendelser av Newtons lover

Kap 5 Anvendelser av Newtons lover Kap 5 Anendelser a Newtons loer 5.7 En stor kule holdes på plass a to lette stålkabler. Kulens asse er 49 kg. a) este strekket (kraften) T i kabelen so danner en inkel på 4 ed ertikalen. b) este strekket

Detaljer

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio)

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Beskrive fordelinger (sentraltendens, variasjon og form): Observasjon y i Sentraltendens

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen 1/12-03

Løsningsforslag for Eksamen 1/12-03 Løsningsforslag for Eksamen 1/12-03 Oppgave 1 a) Definerer (velger/antar) først positiv retning på reaksjonskreftene som vist i følgende fig.: Beregning av reaksjonskreftene: ΣF y = 0 A y - 3 8 = 0 A y

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Fredag 26. mai 2006

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Eksaensdato: Tirsdag 1.deseber 009 Varighet/eksaenstid: 0900-1400 Enekode: LM005M- Enenavn: Mateatikk 1 Klasse(r): 1E Studiepoeng: 10 Faglærer(e):

Detaljer

Øvingsoppgave 3. Oppgave 3.4 Hva er mest elastisk av stål og gummi, og hvilket av disse to stoffene har høyest E-modul?

Øvingsoppgave 3. Oppgave 3.4 Hva er mest elastisk av stål og gummi, og hvilket av disse to stoffene har høyest E-modul? Oppgave 3.1 Hva er en elastisk deformasjon? Oppgave 3.2 Hvilke lov gjelder for elastisk deformasjon? Oppgave 3.3 Definer E-modulen. Oppgave 3.4 Hva er mest elastisk av stål og gummi, og hvilket av disse

Detaljer

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,

Detaljer

9 Spenninger og likevekt

9 Spenninger og likevekt 9 Spenninger og likevekt Innhold: Volumkrefter og flatekrefter Traksjonsvektoren Spenningsmatrisen Retningscosinuser Cauchs ligning Hovedspenninger og hovedspenningsretninger Spenningsinvarianter Hdrostatisk

Detaljer

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk 1 - Introduksjon - Statikk Kapittel 1:Introduksjon - Statikk Studér: - Emnebeskrivelse - Emneinformasjon - Undervisningsplan 1.1 Oversikt over temaene Skjærkraft-, Moment- og Normalkraft-diagrammer Grunnleggende

Detaljer

LØSNING: Oppgavesett nr. 1

LØSNING: Oppgavesett nr. 1 LØSNING: Oppgavesett nr. MAT0 Statistikk, 208 (Versjon 0) Oppgave : ( fordeling, gjennomsnitt, varians og standardavvik ) a) Plotter fordelingen til x i : antall personer 5 4 5 3 2 2 2 2 40 50 60 70 80

Detaljer

LØSNING FOR EKSAMEN I FAG 75316, NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER, VÅR u t = u xx, < x <, t > 0 < x <

LØSNING FOR EKSAMEN I FAG 75316, NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER, VÅR u t = u xx, < x <, t > 0 < x < LØSNING FO EKSAMEN I FAG 756, NUMEISK LØSNING AV DIFFEENSIALLIGNINGE, VÅ 994. Oppgave Vi skal løse startverdiprobleet u t = u xx, < x 0 ux, 0) = fx), < x < og vi ønsker en eksplisitt forel ed diskretiseringsfeil

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

Mekanisk belastning av konstruksjonsmaterialer Typer av brudd. av Førstelektor Roar Andreassen Høgskolen i Narvik

Mekanisk belastning av konstruksjonsmaterialer Typer av brudd. av Førstelektor Roar Andreassen Høgskolen i Narvik Mekanisk belastning av konstruksjonsmaterialer Typer av brudd av Førstelektor Roar Andreassen Høgskolen i Narvik 1 KONSTRUKSJONSMATERIALENE Metaller Er oftest duktile = kan endre form uten å briste, dvs.

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius

Detaljer