RF5100 Lineær algebra Leksjon 1
|
|
- Åshild Nilssen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013
2 I. INFORMASJON
3 FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell matematikk, NTNU (2007) Geometri Differensialgometri Rotasjonsbevegelse Anvendelser innenfor fysikk / astronomi. Ved NITH: Førsteamanuensis. Algoritmer og datastrukturer Lineær algebra, fysikk Matematikk forkurs / Matematikk R1
4 HVA ER FAGLÆRER NYSKJERRIG PÅ? Matematikk og algoritmer: Matematikk som beregningskunst. Hvor går grensene for hva som kan behandles matematisk? Geometri: Klassisk geometri og differensialgeometri. Programmering av geometri. Symmetri: En verden uten symmetrier er ubegripelig. Fysikk: Modellering av trelegemeproblemet
5 GRUNNSPØRSMÅL Et dypt(?) spørsmål: Hvilke data/datastrukturer er velegnede instrumenter når vi skal gjenskape/imitere sanseerfaringer?
6 GRUNNSPØRSMÅL Et dypt(?) spørsmål: Hvilke data/datastrukturer er velegnede instrumenter når vi skal gjenskape/imitere sanseerfaringer? Praktisk spørsmål: Hvordan representere en uhyre komplisert virkelighet i med en endelig datamengde?
7 NOEN VERKTØY Punkter i rommet: i rommet. Vi setter opp referanseposisjoner P 0, P 1, P 2,..., P n Posisjonene representeres som dkoordinatvektorer: P i = (x i, y i, z i ) -> Vinkler, Avstander, Areal, Volum, Sammensatte figurer.
8 NOEN VERKTØY Punkter i rommet: i rommet. Vi setter opp referanseposisjoner P 0, P 1, P 2,..., P n Posisjonene representeres som dkoordinatvektorer: P i = (x i, y i, z i ) -> Vinkler, Avstander, Areal, Volum, Sammensatte figurer. Komprimering av data: Forenkling av JPEG: Bilde på n m piksler betraktes som vektor med n m komponenter: B = (x 0, x 1,..., x nm 2, x nm 1 ) Byggeklossbilder: B 0, B 1,... B N Approksimasjon: B a 0 B 0 + a 1 B 1 + a N B N B representeres nå ved N + 1 tall a 0, a 1,..., a N. (a 0, a 1,..., a N ). vektor
9 EKSEMPEL: MODELLERING AV UJEVN LYSKILDE (2D) θ Intensitet = f(θ) Potensielt komplisert.
10 EKSEMPEL: MODELLERING AV UJEVN LYSKILDE (2D) θ Intensitet = f(θ) Potensielt komplisert. Forenklet modell: Intensistet g(θ) = 1.2 cos θ sin θ 0.34 cos 2θ sin 2θ. De fire tallene (1.2, 1, 0.34, 0.21) spesifiserer g(θ). d Vi arbeider med et firedimensjonalt funksjonsrom.
11 EKSEMPEL: MODELLERING AV UJEVN LYSKILDE (2D) θ Intensitet = f(θ) Potensielt komplisert. Forenklet modell: Intensistet g(θ) = 1.2 cos θ sin θ 0.34 cos 2θ sin 2θ. De fire tallene (1.2, 1, 0.34, 0.21) spesifiserer g(θ). d Vi arbeider med et firedimensjonalt funksjonsrom. Terminologi: f(x) og g(x) kan betraktes som vektorer. g(x) er en projeksjon av f(x).
12 PHONGS REFLEKSJONSMODELL Refleksjonsegenskapene til naturlige materialer er uhyre kompliserte [Wikipedia] Med Phongs refleksjonsmodell reduseres refleksjonsegenskapene til tre konstanter i tillegg til Phong-eksponenten: Refleksjon = Ambient + Diffuse + Specular.
13 II. ARBEIDSMETODER
14 PAPIR OG BLYANT TAVLE d Hvordan foregår matematisk arbeid? Tavlebruk: Foreleser forteller og forklarer. Forelser utøver matematikk. Derfor: Det er viktig å bruke tavlen! (jfr. live-koding)
15 PAPIR OG BLYANT TAVLE d Hvordan foregår matematisk arbeid? Tavlebruk: Foreleser forteller og forklarer. Forelser utøver matematikk. Derfor: Det er viktig å bruke tavlen! (jfr. live-koding) Papir og blyant: Vi forstår begrepene ved å bruke dem på enkle problemer. Vi forstår algoritmene ved å gjøre dem for hånd. Vi utvikler modeller og algoritmer.
16 DATA d Lære å bruke eksisterende bibliotek (la4j) Forstå hvordan slike bibliotek fungerer. Skape forståelse ved å utvikle egne bibliotek. Forstå ulike bruksområder.
17 DATA d Lære å bruke eksisterende bibliotek (la4j) Forstå hvordan slike bibliotek fungerer. Skape forståelse ved å utvikle egne bibliotek. Forstå ulike bruksområder. Viktig målsetning: Hver og en av oss skal skrive et velfungerende bibliotek for lineær algebra.
18 DATA d Lære å bruke eksisterende bibliotek (la4j) Forstå hvordan slike bibliotek fungerer. Skape forståelse ved å utvikle egne bibliotek. Forstå ulike bruksområder. Viktig målsetning: Hver og en av oss skal skrive et velfungerende bibliotek for lineær algebra. d Offisielt rammeverk: Java, la4j 1 (Emnebeskrivelsen: python. Java+la4j bør gi mindre friksjon) 0/ 1 Finnes også her:
19 la4j er et ferdig lineæralgebrabibliotek som vi vil bruke parallelt med det egenutviklede.
20 LÆREBØKER Dunn & Parberry: (D&P) Game Development. 3D Math Primer for Graphics and Uformell og vennlig introduksjon rettet mot spillprogrammerere.
21 LÆREBØKER Dunn & Parberry: (D&P) Game Development. 3D Math Primer for Graphics and Uformell og vennlig introduksjon rettet mot spillprogrammerere. Elementary Linear Algebra with Sup- Anton & Rorres: (A&R) plemental Applications. Matematikkbok.
22 LÆREBØKER Dunn & Parberry: (D&P) Game Development. 3D Math Primer for Graphics and Uformell og vennlig introduksjon rettet mot spillprogrammerere. Elementary Linear Algebra with Sup- Anton & Rorres: (A&R) plemental Applications. Matematikkbok. Vi følger ingen av dem slavisk, men refererer til spesifikke kapitler og oppgaver. fruktbar friksjon (?) mellom bøkene og forelesningene.
23 OPPSUMMERING Arbeidsform: Regneoppgaver < > Programmering Skriftlig. Fokus på det matematiske innholdet, 11.de- Eksamen: sember. Vi mestrer matematikken gjennom oppgaveregning og programmering.
24 FORELESNINGSPLAN AUGUST Vektorer, Matriser, Lineæradvbildninger.
25 FORELESNINGSPLAN AUGUST Vektorer, Matriser, Lineæradvbildninger. Lage kjernen av lineæralgebrabiblioteket. Bygge geometriske objekter.
26 FORELESNINGSPLAN AUGUST Vektorer, Matriser, Lineæradvbildninger. Lage kjernen av lineæralgebrabiblioteket. Bygge geometriske objekter.
27 FORELESNINGSPLAN SEPTEMBER Løsning av ligningssystemer, Indreproduktrom, projeksjoner approksimasjoner.
28 FORELESNINGSPLAN SEPTEMBER Løsning av ligningssystemer, Indreproduktrom, projeksjoner approksimasjoner. Lage ligningsløsere, Projeksjoner Andvendelse: Komprimering av data. Anvendelse: Polynominterpolasjon.
29 FORELESNINGSPLAN OKTOBER 3d-geometri og transformasjoner, Rotasjoner Kvaternioner Interpolasjon.
30 FORELESNINGSPLAN OKTOBER 3d-geometri og transformasjoner, Rotasjoner Kvaternioner Interpolasjon. Skrive rutiner for konvertering mellom kvaternioner og matriser. Lage løsninger for transformasjon mellom ulike koordinater. d Anvendelse: Projeksjon av geometriske objekter.
31 FORELESNINGSPLAN NOVEMBER Lyssetting. Rendering-ligningen, Phongs refleksjonsmodell Rendering og projeksjoner Eventuelle ønsketemaer (Kom med ønsker) Samle tråder.
32 FORELESNINGSPLAN NOVEMBER Lyssetting. Rendering-ligningen, Phongs refleksjonsmodell Rendering og projeksjoner Eventuelle ønsketemaer (Kom med ønsker) Samle tråder. Lage program for spline-interpolasjon? Mer eller mindre åpne prosjekter. d Se Planlegger i it s learning samt ~sydlar/rf5100/forelesninger
33 d III. VEKTORER
34 OPPSUMMERING (POSTHUMT) Vektorer: I planet, rommet, samt generelle vektorer/vektorrom. Essensiell egenskap: Vi kan danne lineærkombinasjoner. D.v.s: Hvis a, b er to vektorer og α, β er to reelle tall, så vil uttrykket αa + βb være en meningsfull definisjon av en vektor. Vektorrom: Det er ikke nødvendigvis meningsfullt å legge sammen vektorer av ulik type, f.eks en 2d-vektor og en 3dvektor. Derfor lar vi vektorene leve i ulike vektorrom. Eksempler: (i) n-dimensjonalt standardrom: Mengden av lister (x 0, x 1,..., x n 1 ) av reelle tall. Operasjoner foregår komponentvis. (ii) Rom av reelle funksjoner: Hvis f(x) og g(x) er to funksjoner og α, β er to reelle tall, så er også αf(x) + βg(x) en funksjon.
35 OPPSUMMERING (POSTHUMT) Skalarproduktet: Et skalarprodukt i et vektorrom V er en operasjon a, b a b slik at (i) a b er et reelt tall. (ii) a b = b a (iii) (α 1 a 1 + α 2 a 2 ) b = α 1 (a 1 b) + α 2 (a 2 b). (iv) Hvis a b = 0 for alle b V, så er a = 0 (nullvektoren). Norm: Skalarproduktet lar oss definere normen/lengden til en vektor: a = a a Vinkler: Skalarproduktet gir oss også et vinkelbegrep: Vinkelen θ mellom a og b tilfredsstiller cos θ = a b a b. Spesielt: Vinkelen er rett/normal/ortogonal dersom a b = 0.
36 OPPSUMMERING (POSTHUMT) Standard euklidsk skalarprodukt: Det vanlige skalarproduktet er: [x 0, x 1,..., x n 1 ] [y 0, y 1,..., y n 1 ] = x 0 y 0 + x 1 y x n 1 y n 1 Dette er ikke det eneste: Vi kan lage mange custom-made skalarprodukt. Formelen 100x 0 y x 1 y 1 + x 2 y x 3y 3 + gir et lovlig men uvanlig skalarprodukt. Man kan dog tenke seg av vi er ekstremt opptatt av den første komponenten, og da kan dette vise seg å være et nyttig skalarprodukt. Kryssproduktet: Tredimensjonal geometri nyter den velsignelsen det er å ha et kryssprodukt. Dette er unikt for tredimensjonal geometri, så vi bør være ganske fornøyd med at verden er tredimensjonal. Med vanlige koordinater er formelen slik: [x 1, y 1, z 1 ] [x 2, y 2, z 2 ] = [y 1 z 2 z 1 y 2, z 1 x 2 x 1 z 2, y 1 z 2 z 1 y 2 ]
37 IV. LA4J
38 V. LAB
39 LAB public class Vector Addisjon av vektorer. Vector add(vector other) Subtraksjon av vektorer. Vector subtract(vector other) Skalarmultiplikasjon. Vector multiply(double s ) Euklidsk skalarprodukt. double scalarproduct(vector other) Lengde. double length() Dimensjon. int dim();
40 LAB public class Vector Addisjon av vektorer. Vector add(vector other) Subtraksjon av vektorer. Vector subtract(vector other) Skalarmultiplikasjon. Vector multiply(double s ) Euklidsk skalarprodukt. double scalarproduct(vector other) Lengde. double length() Dimensjon. int dim(); Undersøk tilsvarende metoder i la4j.
41 LAB Spesielle operasjoner for 3d-vektorer: double x(),y(),z(), Vector crossproduct(vector other). Spesielle operasjoner for 2d-vektorer: double x(),y(), double determinant(vector other);
42 LAB Spesielle operasjoner for 3d-vektorer: double x(),y(),z(), Vector crossproduct(vector other). Spesielle operasjoner for 2d-vektorer: double x(),y(), double determinant(vector other); Arv: Vector3d extends Vector Andre løsninger: if (dim!= 3) throw new UnsupportedOperationException(); (Her slipper vi muligens unna en hel del casting-problematikk?)
43 REFERANSER - Euklidske vektorrom: A&F Norm, skalarprodukt, distanse: A&F Kryssprodukt: A&F: Generelle vektorrom: A&F 4.1. D&P: kap 1,2.
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell
DetaljerRF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 30. august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Ved NTNU: Doktorgrad i Matematikk 2012, Siv.ing. Industriell
DetaljerRF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 30. august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Ved NTNU: Doktorgrad i Matematikk 2012, Siv.ing. Industriell
DetaljerRF5100 Lineær algebra Leksjon 12
RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z
DetaljerRF5100 Lineær algebra Leksjon 10
RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. LITT OM LYS OG FARGER GRUNNLEGGENDE FORUTSETNINGER Vi ser objekter fordi de reflekterer lys. Lys kan betraktes som bølger / forstyrrelser
DetaljerProjeksjoner av vektorer Analyse av værdata
Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes 11. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger gjort
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerVektorer og matriser
DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerDagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling
Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå
DetaljerRF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x
DetaljerForelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling
Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerNTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016
NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning
DetaljerEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 18. DESEMBER 2007 KL LØSNINGSFORSLAG
Side 1 av 10 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I EMNE TDT40 VISUALISERING TIRSDAG
DetaljerRF5100 Lineær algebra Leksjon 2
RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på
DetaljerTDT4195 Bildeteknikk
TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMatematikk og fysikk RF3100
DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 7. april 015 Tidsfrist: 15. april 015 Oppgave 1 Her studerer vi et stivt 1 system som består av tre punktmasser m 1 1 kg, m kg, m 3 3 kg. Ved t 0 ligger
DetaljerA.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerProjeksjoner av vektorer Analyse av værdata
Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes NITH 12. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljera. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z
Kommentar: Svar kort og konsist. Husk at eksamen har tre oppgaver. Poengene for hver (del-) oppgave bør gi en indikasjon på hvor me tid som bør benttes per oppgave. Oppgave 1: Forskjellige emner (40 poeng)
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerRF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen
RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 6
MAT00 - Grublegruppen Notat 6 Jørgen O. Lye Vektorrom og indreprodukt Vektorrom Vi trenger å si litt om vektorrom og indreprodukt for å formulere Fourierrekker. Denisjonen av vektorrom kan man tenke på
DetaljerMatematikk 5., 6. og 7. klasse.
Matematikk 5., 6. og 7. klasse. Kompetansemål 5. 6. 7. Tall og algebra (regnemåter) Beskrive og bruke plassverdisystemet for, regne med positive og negative hele tall,, brøker og prosent, og plassere de
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerÅrsplan i matematikk for 5. trinn, skoleåret 2009/2010. Læreverk Abakus 5A og 5B (grunnbøker+oppgavebøker), digitale læringsressurser
Årsplan i matematikk for 5. trinn, skoleåret 2009/2010. Hovedområde Læreverk Abakus 5A og 5B (grunnbøker+oppgavebøker), digitale sressurser for 5. trinn Fra Lese-forlivet-planen brukes jevnlig i alle fag
DetaljerTMA4115 Matematikk 3 Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk Vår 2017 Obligatoriske oppgaver Lay, avsnitt 1.6 5. Bor-sulfid reagerer voldsomt med vann for å danne borsyre
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerEKSAMEN RF5100, Lineær algebra
Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes
DetaljerEksamensoppgave i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 01. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 9. AUGUST 2005 KL LØSNINGSFORSLAG
Side 1 av 8 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT430 VISUALISERING
DetaljerMatematikk påbygging
Høgskolen i Østfold Matematikk påbygging Omfang: 1 år 60 studiepoeng Påbyggingsstudium Godkjent Av Dato: 14.08.04 Endret av Dato: Innholdsfortegnelse INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 MÅLGRUPPE OG OPPTAKSKRAV...
DetaljerLOKAL LÆREPLAN SKEIENE UNGDOMSSKOLE MATEMATIKK 9.TRINN
Det vil bli utarbeidet målark for hvert tema, disse sier noe om aktiviteter og vurdering. Formatert: Skrift: 14 pt Tall og algebra Bruk av konkretiseringsmateriell, spill og konkurranser. Samtaler, oppgaveregning
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerFlervariabel analyse med lineær algebra
Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo i Forord Dette heftet består av et utdrag
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerFlervariabel analyse med lineær algebra
Flervariabel analyse med lineær algebra Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo 2 Innhold 1 Vektorer og matriser 1 11 Algebra for n-tupler 1 12 Geometri for n-tupler 6
DetaljerGauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon
DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,
DetaljerInnlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014
EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 17/18
Tall KOMPETANSEMÅL PERIODE ARBEIDSMETODE DIGITALT VERKTØY Forstå plassverdisystemet for hele tall og, alt fra tusendeler til millioner og så med brøker og prosent. De skal også forstå utvidelsen til negative
DetaljerHvordan forklare datamaskinen hva en vektor er
Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Lars Sydnes 20. mars 2013 1 Introduksjon Det finnes mange måter å presentere vektorbegrepet. Ulike stikkord kan være (i) En vektor er en pil AB som går fra
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl.
Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG Emnekode: Emnenavn: DAT2 Grafisk Databehandling Dato:. desember 28 Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 7 OPPGAVE. (2%) a) b)
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 7. AUGUST 2006 KL LØSNINGSFORSLAG
Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerVelkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse
Velkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse Foreleser: 14. januar 2013 Kursinformasjon Nettside: wiki.math.ntnu.no/ma1103/2013v/start Foreleser: (mariusi@math.ntnu.no) Start emne i epost med MA1103 Treffetid:
DetaljerEksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012
NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerÅrsplan Matematikk Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:
Årsplan Matematikk 2016 2017 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Måns Bodemar, Jan Abild, Birgitte Kvebæk Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerFlervariabel analyse med lineær algebra
Flervariabel analyse med lineær algebra Del 1: Et innføringshefte for MAT 1100 av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA Universitetet i Oslo
Detaljertilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.
Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 7. TRINN, SKOLEÅRET
ÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 7. TRINN, SKOLEÅRET 2016-2017 Faglærer: Cato Olastuen Fagbøker/lærestoff: Grunntall 7a og 7b Uker 34 35 36 37 Læreplanmål (kunnskapsløftet) Delmål Tema/emne Tall og algebra Beskrive
DetaljerÅrsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:
Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Cordula Norheim, Åsmund Gundersen, Renate Dahl Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005
LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor
Detaljerv(t) = r (t) = (2, 2t) v(t) = t 2 T(t) = 1 v(t) v(t) = (1 + t 2 ), t 2 (1 + t 2 ) t = 2(1 + t 2 ) 3/2.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk, øving, vår 0 Løsningsforslag Notasjon og merknader Hvis boken skriver en vektor som ai + bj + ck hender det at jeg skriver den som a, b, c). Jeg benytter
DetaljerFlervariabel analyse med lineær algebra
Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009
DetaljerEksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 4503 0163 Eksamensdato: 06. juni 2016 Eksamenstid (fra
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerLOKAL LÆREPLAN ETTER LK-06 VED TORDENSKJOLDS GATE SKOLE. FAG: Matematikk TRINN: 5. Timefordeling på trinnet: 4 timer i uka
LOKAL LÆREPLAN ETTER LK-06 VED TORDENSKJOLDS GATE SKOLE FAG: Matematikk TRINN: 5 Timefordeling på trinnet: 4 timer i uka Grunnleggende ferdigheter i regning, lesing, skriving og digitale ferdigheter. Uke
Detaljer