Tall. Ulike klasser tall. Læringsmål tall. To måter å representere tall. De naturlige tallene: N = { 1, 2, 3, }

Transkript

1 1111 Tall De naturlige tallene: N = { 1, 2, 3, } Ulike klasser tall De hele tallene: Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } De rasjonale tallene: Q = alle tall som kan skrives som en brøk Kapittel , , Appendiks B De reelle tallene: R = alle tallene på tallinjen INF1040-Binærtall-1 INF1040-Binærtall-2 Læringsmål tall Forstå ulike prinsipper for representasjon av naturlige tall og 0 hele tall, inklusive de negative reelle tall Kunne prefikser for store tall i titallsystemet det binære tallsystemet To måter å representere tall Som tekst Eksempel: '23' i ISO 8859-x og Unicode UTF-8 er U+32 U+33, altså Brukes eksempelvis ved innlesing og utskrift, i XML-dokumenter og i programmeringsspråket COBOL Som ulike former for binære tall naturlig binær Gray-kode Toerkomplement Flyttall Eksempel naturlig binær: 23 = Brukes som internt format ved lagring og beregninger INF1040-Binærtall-3 INF1040-Binærtall-4

2 Naturlige binærtall Bygger på posisjonssystemet: Tekst ASCII, UNICODE XML Konverteringsrutiner Binære tall Naturlig, Gray-kode, toer-komplement, flyttall Hvis n er antall siffer i et binært tall x og s i sifferet i i te posisjon forfra, er den generelle formelen for verdien av tallet n x = s k *10 2 (n-k) k=1 Eksempel: = (1 * 2 4 ) + (0 * 2 3 ) + (1 * 2 2 ) + (0 * 2 1 ) + (1 * 2 0 ) = = 21 INF1040-Binærtall-5 INF1040-Binærtall-6 Binærtall med binærpunkt Bygger på posisjonssystemet: Hvis n er antall siffer i et binært tall x, h er antall siffer foran binærpunktet og s i sifferet i i te posisjon forfra, er den generelle formelen for verdien av tallet n x = s k *10 2 (h-k) k=1 Eksempel: = (1 * 2 2 ) + (0 * 2 1 ) + (1 * 2 0 ) + (0 * 2-1 ) + (1 * 2-2 ) = = 5.25 som er ¼ av = 21 (se forrige lysark) Viktig i forbindelse med flyttall (se senere) Husk at s -p = 1/s p INF1040-Binærtall-7 Gray-kode Gray-kode Binært tallsystem Titallsystem Et ikke-posisjonssystem der representasjonen av et tall og det neste tallet i tallrekken atskiller seg i nøyaktig én bit INF1040-Binærtall-8

3 Hvordan bygge opp en Gray-kode Konvertering binært tallsystem Gray-kode Binary reflected code Fra det binære tallsystemet til Gray-kode Fra Gray-kode til det binære tallsystemet : exclusive or -operasjonen to like biter gir 0, to ulike biter gir Huskeregel: I begge konverteringer XOR es med forrige bit i det binære tallsystemet! INF1040-Binærtall-9 INF1040-Binærtall-10 Repetisjon: Addisjon av binærtall Regneregler: = = = = 0 og 1 i mente Eksempel: 5 = = = 12 Men det er en ting vi ikke har tenkt på datamaskiner regner ikke med et uendelig antall biter! Overflyt ("overflow") I en datamaskin regner vi som regel med tallrepresentasjoner med et fastlagt antall biter (vanligvis 8, 16, 24, 32 eller 64) Dersom en aritmetisk operasjon fører til at resultatet faller utenfor det mulige tallområdet, har vi en overflyt ("overflow") Regneenheten sender da et signal til den omkringliggende programvaren slik at den kan ta seg av situasjonen (feilmelding) Eksempel forutsetter 8 biters tallrepresentasjon mente -> overflyt = = biter begrenser mulig tallområde til [0,,255], men = INF1040-Binærtall-11 INF1040-Binærtall-12

4 Negative tall "Klokkearitmetikk" Mange representasjonsmuligheter, men stor fordel om vi kan bruke samme regneelektronikk som for positive tall Derfor representeres gjerne negative heltall som komplementer Vi ser først på litt "klokkearitmetikk" (modulo-operasjoner) Deretter lager vi oss en 16-timers (4 biters) klokke, og blir enige om at tallene på venstre del av skiven (som alle starter med en binær 1) skal tolkes som negative Modulo-operatoren utføres ganske enkelt ved å se bort fra overflyten Hvis klokka er 10, hvor mye er den om 5 timer? Jo: (10+5)%12 = 3 %: Modulo-operatoren (rest av heltallsdivisjon) INF1040-Binærtall-13 INF1040-Binærtall "Klokkearitmetikk" toer-komplement Forutsetter 4-biters tallrepresentasjon, gir verdiområdet [ 8,,7] 0011 Negative tall som toer-komplement Naturlig binærsystem Hvis klokka er 2, hvor mye er den om 5 timer? Jo: ( )%10000 INF1040-Binærtall Tenk deg en digital teller som står på 0. Drei den i negativ retning. Første nye tall som dukker opp er komplementet til 1, dvs Toer-komplement INF1040-Binærtall-16

5 Toer-komplementet Det binære toer-komplementet er lett å beregne: Ta et binært tall Erstatt alle 0 med 1, alle 1 med 0 (legg merke til at vi må vite antall biter for tallrepresentasjonen) Legg til 1 Eksempel: 21 = (forutsetter 8 biter) toer-komplementet er = , dvs. 14 * * 1 = 235 Regne ut 53 + ( 21): = = 2 * 16 = 32 Regning med toer-komplement Hvis vi legger sammen to tall og får en ekstra mente til venstre, kan den bare kastes. Eksempel (forutsetter 4 biters representasjon): : Men: Hvis de to mentene lengst til venstre er ulike, har vi overflyt og ugyldig svar. Eksempler (forutsetter 4 biters representasjon): 3 + 5: -8-1: Hva er det binære toer-komplementet til 1? INF1040-Binærtall-17 INF1040-Binærtall-18 Noen observasjoner om toer-komplement Positive binære tall begynner på 0 (mest signifikante bit, MSB =0) Negative binære tall begynner på 1 (mest signifikante bit, MSB =1) Dersom vi adderer to tall og får mente som renner over i forkant, skal menten bare kastes dette er en konsekvens av trikset med toer-komplement- representasjon Men dersom de to menteposisjonene lengst til venstre (inkludert menten som renner over ) er ulike, er vi kommet utenfor det tallområdet som kan representeres. Vi har altså en overflyt! Dersom vi legger sammen et binært tall med dets toer-komplement, får vi 0 (selvfølgelig ) toer-komplementet av toer-komplementet av et tall er tallet Gjelder ikke for det siste negative tallet ( the weird number ) overflyt! mente INF1040-Binærtall-19 En annen vri tall med "bias" Et alternativ er å legge til en konstant bias til alle tallene. Med 8 bitposisjoner og bias 128 kan tallene fra -128 til 127 representeres ved hjelp av tallene fra 0 til 255. Med 8 bitposisjoner og bias 127 kan tallene fra -127 til 128 representeres ved hjelp av tallene fra 0 til 255 Dette prinsippet brukes for eksponenten i flytende tall, se senere... Eksempler bias 128: 53: -21: INF1040-Binærtall-20

6 Heltallstyper i Java datatype antall biter minste tall største tall byte short int long Legg merke til at største tall er en mindre enn minste tall med motsatt fortegn. Tallet 0 tar den første positive plassen! Regning med "bias" Ved addisjon kommer bias med to ganger, så vi må trekke den fra igjen (en gang) Eksempel (forutsetter 8 biters tallrepresentasjon og bias 128): Vi skal addere 53 + ( 21) 53 bias 128 = 181 = bias 128 = 107 = = = = 10 * 16 = 160 = 32 bias 128 INF1040-Binærtall-21 INF1040-Binærtall-22 Reelle tall Flyttall I titallsystemet kan et tall skrives på formen mantisse * 10 eksponent Eksempler: 0.5 * 10 2 = 0.5 * 100 = * 10 0 = 0.5 * 1 = * 10-1 = 0.5 * 0.1 = * 10-1 = -0.5 * 0.1 = Tilsvarende kan vi skrive binære flyttall på formen mantisse * 10 2 eksponent der mantisse og eksponent er gitt som binære tall. Eksempel: * = 5 * 2 3 = 5 * 8 = 40 Et binært flyttall er basert på mantisse * 10 2 eksponent Vi må representere mantisse og eksponent. Begge må kunne være både positive og negative (og null). Grunntallet 10 2 = 2 antar vi som gitt! Mange representasjonsmuligheter, verden har imidlertid standardisert på IEEE 754 To varianter: Binære flyttall 32-biter representasjon (single precision, datatype real ) 64-biter representasjon (double precision, datatype double ) se INF1040-Binærtall-23 INF1040-Binærtall-24

7 Single precision Double precision Binære flyttall IEEE 754 fortegnsbit eksponent med bias 127 mantisse 1. Ikke-lagret ledende 1 med antatt binærpunkt fortegnsbit eksponent med bias 1023 mantisse Vi legger en bias til eksponenten slik at representasjonen aldri er negativ! IEEE 754: Spesielle verdier Null: Både eksponent og mantisse er 0 Uendelig: Eksponent med bare 1ere, mantisse med bare 0ere Not A Number: Eksponent med bare 1ere, mantisse 0 Mantisse som starter med 1 : Resultat av en udefinert operasjon (eksempel: 0/0) Mantisse som starter med 0: Resultat av en ulovlig operasjon (eksempel: N/0) 1. Ikke-lagret ledende 1 med antatt binærpunkt Mantissen er normalisert, slik at første bit alltid er 1. Derfor sparer vi plass ved ikke å lagre denne biten! INF1040-Binærtall-25 INF1040-Binærtall-26 Flyttallsområder i IEEE 754 (og i Java) datatype antall biter minste positive tall største positive tall real/float ,85 ( )* ,53 double ,3 ( )* ,3 og tilsvarende for negative tall Om presisjon og nøyaktighet Presisjon ( precision ): Et uttrykk for avviket i verdi mellom det virkelige tallet og representasjonen. Heltall er alltid presist representert innenfor tallområdet. Presisjonen for flyttall varierer: Jo mindre tall, jo høyere presisjon! Jo flere biter, jo høyere presisjon. største negative tall minste negative tall 0 minste positive tall største positive tall Nøyaktighet ( accuracy ): Hvor nøyaktig vi ønsker (eller greier) å måle eller observere en størrelse. overflyt-område underflyt-område overflyt-område Siden mange tall ikke kan representeres eksakt, må de snappes til nærmeste representerbare tall. Dette kalles diskretisering. INF1040-Binærtall-27 INF1040-Binærtall-28

8 Store tall For å håndtere store tall i titallsystemet bruker vi en-bokstavs SI-symboler som betegner potenser av 1000 k (kilo) = 10 3, M (mega) = 10 6, G (giga) = 10 9, T (tera) = 10 12, P (peta) = 10 15, E (exa) = 10 18, Z (zeta) = 10 21, Y (yotta) = kan Mona Gå Til Patolog Eller Zoolog-Yrket? Unntaksvis bruker vi liten k for 1 000, fordi K i SI-systemet er brukt opp som måleenhet for temperatur. Anta at vi har et digitalt bilde med x piksler (bildeelementer) La hvert piksel representeres med 1 byte Bildets størrelse blir oftest angitt til 1 MB Men bildet er jo x x 1 byte = byte 1.05 MB Denne feilen øker jo større tall vi snakker om! Prefikser for potenser av SI-prefiksene k, M, G osv er desimale enheter og har ingen mening som potenser av IEC publiserte i 1999 en standard for potenser av Navnene er satt sammen av de to første bokstavene i SIprefiksene pluss bi for binær. Navn Symbol Potens av 2 og verdi i titallsystemet kibi Ki 2 10 = mebi Mi 2 20 = gibi Gi 2 30 = tebi Ti 2 40 = pebi Pi 2 50 = exbi Ei 2 60 = zebi Zi 2 70 = yobi Yi 2 80 = Se Appendiks B i læreboka! INF1040-Binærtall-29 INF1040-Binærtall-30 Noen konvensjoner det er nyttig å kjenne Størrelsen på RAM, ROM eller flash-minner gis som regel i binære enheter. Kapasiteten til harddisker og lagre som betraktes som en stor disk oppgis i desimale enheter. Sektorstørrelsene på en disk gis nesten alltid i toerpotenser, siden de mapper direkte til RAM. Det finnes en forvirrende hybrid, der en megabyte betyr 1000 kilobytes a 1024 byte. En 1.44 MB diskett er verken byte eller byte, men bytes (som er ca MiB, eller MB). Dette kan også gjelde disk-lignende flashminner (toerpotens multipler av desimale megabyte!) Kapasiteten til en CD er alltid gitt i binære enheter. En 700 MB CD har en nominell kapasitet på 700 MiB. Kapasiteten til en DVD er gitt i desimale enheter. En 4,7 GB DVD har en nominell kapasitet på 4,38 GiB. Overføringskapasitet måles i bps (biter per sekund) eller Bps (byte per sekund), og angiss alltid i titallsystemet, med SI-prefikser Eksempel: kbps (10 3 byte per sekund), MBps (10 6 byte per sekund), osv Tall kan representeres med tekst Tall Oppsummering naturlige binærtall (posisjonssystemet) Gray-kode flyttall Negative tall representeres ved hjelp av fortegn (tekst, flyttall) toer-komplement (heltall) bias (eksponenten i flyttall) Presisjon: Et uttrykk for avviket i verdi mellom det virkelige tallet og representasjonen. Heltall representeres eksakt, flyttall med varierende presisjon. INF1040-Binærtall-31 INF1040-Binærtall-32