DST Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse. Lineær programmering i bedriftsøkonomiske problemstillinger OPPLEGG FOR KURSET

Transkript

1 Spesalserg økoomsyrg og vesergsaalyse DST 950 OPPLEGG FOR KURSET. Avedelse av LP økoomsk opmalserg. Forskell mellom leær- og kke-leær programmerg. Ulke fremgagsmåer: Grafsk, aalysk, algormsk, EDB. FORELESNINGSNOTAT Leær programmerg bedrfsøkoomske problemsllger. Serale begreper: Målfukso, bbegelser, mulghesområde, lla løsg, opmal løsg, slakkvarabler, overskuddsvarabler, bassvarabler, bassløsger, kossee og kossee lggssysemer, skyggeprser, skyggereer, prmalproblem, dualproblem. 5. Geomgag av e ke LP-problem 6. De geerelle probleme 7. Spesallfeller: Negave varabler, degeerer løsg, flere opmale løsger, uedelg løsg, uløselg problem. 8. Smple-meode 9. Dualprobleme og skyggeprser Tor Tagees Hadelshøyskole BI hp:// 0. Følsomhesaalyse: Hva sker år målfuksoe eller bbegelsee edres?. Bruk av EDB og olkg av EDB-rapporer. LP og kapalrasoerg Skyggereer og prosekgrupperg

2 HVA ER LINEÆR PROGRAMMERING? Leær programmerg (LP): LP er e meode hvor ma søker å fordele begresede ressurser l ge akveer på e effekv måe for å å e mål. (Daelse & Grølad). Karakersske rekk ved LP:. Fuksoer som represeerer mål og begelser er leære.. LP er prakss ormal EDB-baser. LP ka avedes l å løse e sor aall ulke opmergsproblemer. LP ka le geeralseres (kke-leær programmerg) Eksempler på avedelse:. Produksosplalegg. Fórsammeseg. Syrg av foruresg elver. Produkvalg 5. Peroleumsrafferg 6. Porefølevalg 7. Persoalallokerg 8. Ruevalg 9. Kapalrasoerg NOEN INNLEDENDE BEGREPER Målfukso (krerefukso): E fukso av o eller flere varabler, som urykker beslugsakers (BT) målseg. I LP er fuksoe leær og deermssk. BT øsker ypsk å maksmere eller mmere målfuksoe. Begresger (bbegelser, resrksoer, beskrakger): Fuksoer som begreser løsgsmegde for målfuksoe. I LP er dsse fuksoee leære og deermsske. Tlla løsg: Ehver løsg som lfredssller alle begelsee. Varabler og uefor bass: Aa a v har e lggssysem (les se av bbegelser) med m lgger ukee og a > m. V har da -m frhesgrader. For å løse syseme algebrask, må -m varabler gs e verd ( LP gs verde ull). Varablee som gs verd lk ull kalles varabler uefor bass, mes de øvrge varablee som løses fra lggssyseme kalles bassvarabler. Bassløsg Har v eksempelvs fre varabler (ukee) og o lgger (bbegelser), fes de seks måer å g o varabler verd lk

3 ull. Hver av de seks løsgee som fremkommer, kalles e bassløsg Opmal løsg: Løsg(er) som løser opmergsprobleme. Mulghesområde: Megde av alle llae løsger. Slakkvarabel: E varabel som foreller hvorvd bbegelse er effekv eller kke. Iførg av slakkvarabler gør de mulg å formulere bbegelsee som srege lkheer. Slakkvarabler beyes problemformulerger der bbegelsee er på forme mdre eller lk ( ), slk a bbegelsee ka omformes l lkheer. Bbegelser på dee forme er valge maksmergsproblemer. Overskuddsvarabler: I mmergsproblemer er de valg med bbegelser på forme sørre eller lk ( ). Varabler som føres for å omgøre ulkhee l e lkhe dee lfelle, kalles overskuddsvarabler. E kosse lggssysem: E lggssysem med é eller flere løsger E kosse lggssyem: E lggssysem ue løsg V skal forseelse førs se på LP aved på e produkvalgsproblem. Dee geomgage er gruleggede og burde for mage være ke fra gruleggede kurs. V skal dereer avede LP på adre problemyper. FORMULERING AV ET ENKELT PROBLEM E bedrf produserer o ugaver av e produk - Sadard og Lu. Dekgsbdrage pr. ehe Sadard er $ 00, mes Lu gr e dekgsbdrag pr. eh. på $ 00. Hver ugave krever me bearbedg maskavdelge. Toal 0 mer er lgegelg kapase dee avdelge pr. uke. Produkee må også bearbedes moergsavdelge, der Sadard reger,5 mer pr. eh. og Lu reger 0 mer pr. ehe. Tlgegelg ukekapase dee avdelge er 00 mer. E markedsaalyse har vs a de kke er mulg å selge mer e 8 eh. av Lu pr. uke. Produkso av begge produkee krever også e spesalkompoe, som ku er lgegelg.00 eh. pr. uke. Hver eh. av Sadard krever 5 eh. av dee kompoee, mes Lu krever de dobbele pr. eh. Bedrfes fase kosader påvrkes kke av produkvalge mellom Sadard og Lu. a) Formulér bedrfes produkvalgsproblem. b) F opmal produksospla for kommede uke. 5 6

4 E LP-problem sarer ved a målfuksoe (krerefuksoe) og fuksoee for de ulke begresger formuleres. La X S og X L være hhv. a. eh. produser av Sadard og Lu Målfukso: DB( X Ressursforbruk og, X ) = 00X + 00X begresg maskavd: XS + XL 0 mer Ressursforbruk og begresg moergsavd: 5, XS + 0XL 00 mer Markedsbegresg Lu: X L 8 eh. Ressursbruk og begresg av spesalkompoe: 5 X + 50X.00 eh. S L S L V order å fuksoee over, presserer a v kke ka produsere egave megder og preseerer beslugsprobleme. Beslugsproblem : Maks DB ( X S, X L) = 00 X S + 00 X L u. b. X S + X L 0,5 X S + 0 X L 00 X L 8 5 X S + 50 X L. 00 X S 0 X 0 S L L Oppgave : Bey dagramme på ese sde og løs probleme over grafsk. Avse aall eh. av Sadard på -akse og a. eh. av Lu på y-akse Oppgave : Formulér probleme over Ecel og f opmal løsg. DET GENERELLE PROBLEMET V har hl se på e produkvalgsproblem o varabler (produk Super og Lu) med fre bbegelser. Dee 7 8

5 probleme kue løses grafsk. I de geerelle lfelle har v varabler og m bbegelser. Er aall varabler og bbegelser sor, bør probleme løses ved help av EDB. Solverfuksoe Ecel llaer bruk av 00 varabler og 00 bbegelser ( llegg l foregs-begresger for varablee). Formel ka de geerelle produkvalgsprobleme formuleres slk: I kompak form får v: Maks z= c+ c c ub.. a + a a b a + a a b... Maks z = c a + a a b,,..., m m m m 0 = ub.. a b =,,..., m = 0 =,,..., E mmergsproblem vl ypsk kue skrves på forme: M z = c = ub.. a b =,,..., m = 0 =,,..., Leære programmergsproblemer går u på å maksmere eller mmere målfuksoe, der b-begelsee er på forme, = eller. E LP-modell ka derfor deferes som følger: Maks eller M z = c = ub.. a b =,,..., m = 0 =,,..., der a, b og c er kosaer og er beslugsvarabler SIMPLEX-METODEN OG SLAKKVARIABLER Smple-meode er e løsgsalgorme for LP-problemer. Meode er erav. Dee ebærer a de eses u om e bassløsg (se uder) er opmal. Hvs de kke er de, agr algorme e y og bedre bassløsg, som eses for opmale. Prosesse forseer l opmum er fue. De fes e edelg aall bassløsger og aall erasoer vl derfor også være edelg. 9 0

6 Bassvarabler Berak e lggssysem med m lgger ukee. Geerel ka m være >, = eller < e. Hvs syseme har ms e løsg kalles syseme kosse. Hvs syseme kke har løsg, kalles de kosse eller selvmosgede.. Hvs m >, har syseme almelghe ge løsg og er kosse.. Hvs m <, er syseme almelghe kosse med uedelg mage løsger.. Hvs m =, er syseme almelghe kosse med e edelg aall løsger (kke ødvedgvs eydg løsg). + = 0, = 0, ( -)( - )( - ) = 0 Alle lggee over er e uke, me har hhv. 0, og løsger. Når v beyer Smple-meode, har v ypsk flere varabler e lgger, dvs. m <. I ugagspuke har v derfor e kosse lggssyem. For å løse dee probleme seer v -m varabler lk ull og får dermed e sysem med e edelg aall løsger. Sde syseme er leær, har v e eydg løsg. Varablee som kke sees lk ull kalles for bassvarabler og løsge kalles e bassløsg. V skal her vse bereggee som lgger l gru for Smple-meode, da dsse gr e vkg sk løsge av LP-problemer. For all oppgaveløsg, skal v dermo beye Ecel eller e kombaso av grafsk og aalysk løsg. V sarer ge med e ekel problem. () Maks z = + ub , 0 V ka aa a z er bedrfes leære DB-fukso, a bbegelsee er mekapasee l o masker, M og M, for e uke. Ved å føre slakkvarabler, ka ulkheee ersaes med lkheer. Slakkvarabelee, som er sørre eller lk ull, foreller derfor hvlke megde av ressurse som er ubeye. Med slakkvarablee og blr lggssyseme slk: () Maks z = + ub = = 0,,, 0 Oppgave : Teg sokvaee l probleme, slk formuler ().

7 Bassløsger: I abelle uder fer du alle bassløsgee l probleme vår. Bassløsg E og F er kke mulge bassløsger, da kke-egaves-begelse er uoppfyl. Mulge bassløsger er derfor A, B, C, og D. V ser a dsse lsvarer høree mulghesområde. Beregg av bassløsger o-varabel-lfelle: Ved å a ugagspuk bbegelsee, slk formuler (), ka alle bassløsgee bereges. Fra () har v a: () = 0 () = 0 () Som v ser har v e lggssysem med m= lgger = varabler. V må derfor see o av varablee lk ull, for å fe e eydg løsg av syseme. Oppgave : F alle bassløsgee l problem () og de lhørede verd av målfuksoe. Avmerk pk.ee A - F dagramme. Bassløsg Bassvarabler Verd av målfukso A X = X = Z= B C D X = X = X = X = X = X = Z= Z= Z= Smple-algorme sarer med å see slakkvarablee og bass og v må følgelg see og lk ull. V får da: () () = 0 5 = 0 ( ) = 0 6 = 0 z = + = 0 I puke A er produksoe av begge produkee lk ull. Følgelg har v maksmal slakk for begge ressurser og ull dekgsbdrag. Løsge er kke opmal, ford e økg av eller vl g høyere dekgsbdrag. Sde har sørs dekgsbdrag pr. eh. velger v å å a bass. Ford lggssysemer er uløsbar med re varabler bass, må é varabel u (ee eller ) år kommer bass. Hvlke av dsse o som skal u, ka v se av () og (). (5) ( ) ( ) Sde ( ) ( ) Sees Sees = 0, får = 0 = 0 = 0 5 = 0 6 v : = 0 = 0 6 = 0, < 0 = 5, > 0 E F X = X = X = X = Z= Z=

8 V lar derfor gå u av bass. V rasformerer l slu () og (), slk a dsse løses mhp. de ye bassvarablee ( og ). Dee gøres ved å mulplsere () med -/ og addere () og (). V får da: (6) () = 0 5 ( ) - = ( ) = 0 Fra () ka v å urykke (ee bassvarabel) som fukso av varablee uefor bass ( og ). Tlsvarede øsker v å gøre for (adre bassvarabel). Dee får v l ved å løse () (6) mhp.. (7) ( ) = 0 + ( v) 5 = 6 z = + = 5 V har å komme l pk. D dagramme. Dekgsbdrage er her 5 og v har 0 mer ubruk kapase M. For å fe u om løsge er opmal, må v omforme målfuksoe, slk a også dee blr e fukso av varablee uefor bass. Ved å see (v) for målfuksoe, får v: (8) z = + 5 ( ) = = 5 6 Dee bassløsge er heller kke opmal, da målfuksoe ka bedres ved å a bass. Ford lggssyseme har uedelg mage løsger med re varabler bass, må e varabel u (ee eller ) år kommer bass. Hvlke av dsse o som skal u ka v se av () og (v). (9) V lar følgelg gå u av bass og eder opp med bassvarablee ( og ). Ved å rasformere () og (v) og målfuksoe, som over, slk a dsse er løs mhp. bassvarablee og forklar ved kosaer og varablee uefor bass, får v: (0) ( ) ( v) Sde ( ) ( ) Sees Sees = 0, = 0 = 0 = 0 = 5 6 får v : = 0 = 5 0,5 = 0, > 0 < 0 ( v) 5 5 = + = 8 ( v) 5 = + = 65 z = = 6 8 =,5, 5 6

9 Sde målfuksoe kke ka forbedres, har v fue opmum, som er pk. C dagramme. Fordele med Smpe-meode er a kke alle bassløsgee må udersøkes. V ser a erasosprosesse fører oss l bedre og bedre løsger l e ev. opmum er fue. SPESIALTILFELLER V skal å se på følgede spesallfeller:. Negave varabler. Degeerer løsg. Flere opmale løsger. Uedelg løsg 5. Uløselg problem Negave varabler Hvs e varabel ka aa både posve og egave verder, må dee ersaes med o varabler som ku ka aa posve verder, slk a: =,, V er løsge garaer a ku e av 5 og 6 har posv verd. Degeerer løsg Dersom e bassløsg eholder e bassvarabel med verd lk ull, kalles løsge degeerer. Ved ese eraso har v ge gara for a verde av målfuksoe øker, sde de ye bassløsge også ka være degeerer. Flere opmale løsger Dersom oe av varablee uefor bass har ull som koeffse de opmale løsge (se koeffseee l og målfuksoe (0)), vl kke probleme ha é opmal løsg, me e se av slke. Uedelg løsg Når mulghesområde kke ka begreses, ka målfuksoe bl uedelg sor, og v har e uedelg løsg. Uløselg problem Hvs ge løsg fes som lfredssller alle bbegelsee samdg, har v e uløselg problem. Eksempel: Maks + 5 ub , 0 DUALEN OG SKYGGEPRISER Ehver leær maksmergsproblem ka formuleres som e leær mmergsproblem. Hvs prmal-probleme er e maksmergsproblem, vl dualprobleme være e mmergsproblem. I geomgagseksemple var målfuksoe bedrfes dekgsbdrag, mes begresgee var relaer l maskd M og M. V spesfsere probleme som følger. 7 8

10 Maks z = + ub , 0 Bedrfes opmergsproblem var å allokere ressursee slk a dekgsbdrage maksmeres. Probleme ka også løses ved å mmere verde av selskapes avede ressurser, mål ved help av skyggeprser. () Prmal: Maks z = c = ub.. a b =,,..., m Dual: = M r = b λ 0 =,,..., m = m ub.. a λ c =,,..., = λ 0 =,,..., m beslugsaker e besem beslugssuaso. I leære beslugsproblemer er skyggeprsee kosaer så lege de samme varablee er bass. I eksemple over vser skyggeprse for M hvor mege målfuksoe (DB) øker år v øker lgage på d M med é me. Tlsvarede vser skyggeprse for M hvor mege DB øker år aall mer M øker margal. Aar v a maskd er e fas kosad, foreller skyggeprse hvor mege v maksmal er vllge l å beale pr. margale ressurseh. Dualeoreme: I e suaso der både prmale (prmærprobleme) og duale har llae løsger, da v prmale og duale begge ha opmale løsger slk a: () * =,,..., λ * c = =,,..., m m * * = = bλ V ser av () a prmale og duales løsg er deske. Før v ser mer om dualformulerge skal v g e forolkg av skyggeprse (lambda). Skyggeprse vser de margale bdrage l målfuksoe fra e besem ressurs. V har følgelg é skyggeprs for hver ressurs. Skyggeprsee foreller oss mao. de økoomske verd av e ressurs for é Oppgave 5: Sudér dualformulerge () og prøv å g e økoomsk forolkg av bbegelsee, som er geg uder. Du ka a ugagspuk geomgags-eksemple med o produker og o ressurser. 9 0

11 Tps: G førs e forolkg av bbegelsees vesresde og relaér de l høyresde, som vår eksempel er produkees DB pr. eh. m a λ c, =,,..., = Oppgave 6: Bey smple-meode og sekk a løsge på duale er desk med løsge på prmale. Forklar hvorfor løsge av prmale og duale er deske opmum, dvs. a: m * * c = bλ = = F også ressursees skyggeprser fra dualløsge. Oppgave 7: Berak probleme: M r = 7+ ub , 0 Hvlke fordel(er) ka bruk av duale ha for løsg av dee probleme? FØLSOMHETSANALYSE Opmumsløsge gr ormal ku e del av de formasoe e øsker. Ford daa som regel er behefe med uskkerhe øsker v å sudere hvorda edrger dsse påvrker løsge vår. Hvorda påvrkes løsge av e le ressursedrg: V ar ge ugagspuk geomgagseksemple, der e bedrf produsere o produker, P og P. På kor sk hadde bedrfe begrese kapase på råvarer og arbedskraf. Formuler og løs er som følger. () Maks z = + ub , 0 Løsg av prmale: * * * = 5, = 75, z = 65, Løsg av duale (oppgave 5) * * * λ = λ = r = 6, 5 8 Hva sker hvs v øker maskkapasee med é me M eller M? Sde maskd begge maskee har posv skyggeprs, er de rmelg a målfuksoe øker. Med

12 ugagspuk defsoe av skyggeprse, ve også med hvor mege. V ser hva som sker år kapasee M øker margal. 5 + = + 6 = 0 Med de opprelge kapasee ser v a de bør produseres,5 eh. av produk og,75 eh. av produk. V så også over a e margal kapasesøkg M føre l e økg av opmumsmegde for produk og e redukso lsvarede megde for produk. Dee ka v se dreke fra (v) og (v) over. () -5 6 = 6 () + 6 = 0 () - = () + () V husker a er slakkvarabel l d M Dee beyr a: > 0 < 0 V beyer kke 0 mer M V beyer mer e 0. M * * * =, 75 =, 65 z = 6, 75 V ser a e margal kapasesøkg M har øk dekgsbdrage fra 6,5 l 6,75, dvs. e økg på 0,5 eller /8, som lsvarer skyggeprse pr. me M. I llegg har produksoe av produk øke fra,5 l,75, mes produksoe av produk har fal fra,75 l,65. Fasoge på mulghesområde er mao. foradre, me de opprelge bassløsg gelder forsa. Hvor sor ressursedrg må l før bassløsge edres? Dee probleme ka bes suderes ved å a ugagspuk urykkee for bassvarablees opmumsverder (). (5) ( v) * 5 5 = + = 8 ( v) * 5 = + = E økg av mealle M beyr derfor h. (5) a v skal produsere flere eheer av produk og færre av produk. Subsusosforholde mellom produk og er: (6) ( v) ( v) = = 8 Oppgave 8: V sopper opp her og ser på e le oppgave. V har se a e økg på me M ebærer a de produseres 0,5 eh. flere P og 0,5 færre P. Subsusosforholde er samsvar med (6) lk. a) Vs a dee er rkg ved help av produksoskoeffseee (). b) Vs grafsk a P øker og P reduseres år kapasee M økes. Vs også a subsusosforholde er.

13 Følger v usoe over, vl bedrfe ved e lsrekkelg sor kapasesøkg M kke leger produsere P. P vl da gå u av bass. De megde av eksra mer M som gør a P går u av bass kalles øvre sesvesgrese og ka fes dreke fra urykke for (5). Øvre grese er berege (7). (7) 75 = 0 = = 0 8 *, Oppgave 9: Korollér a resulae fra (7) semmer. V ka også eke oss a maskmealle M reduseres. Dee er esbeydede med a slakkvarabele for mer M øker. V ser da av (5) a v skal produsere mer av P og mdre av P. Hvs mealle reduseres lsrekkelg, går P u av bass. V kaller dee grese for edre sesvesgrese for M og v fer de ge ved å se på (5). (8) 5 = 0 = = 0 *, Hvs mealle M syker med 0 mer, går P u av bass. Oppgave 0: Korollér a resulae fra (8) semmer. Hvor mege må DB/eh. edres før bassløsge edres? Små edrger P og/eller P's DB/eh. vl kke vår eksempel føre l uskfg av bassvarabler. Forrykkes dermo de relave løsomhee (mål ved DB/eh.) mellom P og P, vl de relav ms løsomme produke gå u av bass. På lk le som over ka v sudere opmumsformulerge (). V har der a: (9) ( v) 5 5 = + = 8 ( v) 5 = + = 65 z = = 6 8 Ser v på P (9.v), merker v oss a koeffsee l er - ¼. De beyr a for hver me ubeye M vl v redusere produksoe med ¼ P. Ser v på lsvarede koeffse målfuksoe er dee - /8. De beyr a dekgbdrage reduseres med /8 for hver me ubeye M. Kvoee av dsse o allee vser hvor mege DB må falle før P faller u av bass. V kaller grese for edre sesvesgrese for P's DB. (0) / 8 * = 05, Maks z = 5, + = 0 / Ser v ge på P (9.v), ser v a koeffsee l er /, som beyr a e e me ledg me M vl øke produksoe av P med / eh. Bereger v lsvarede kvoe som over får v øvre sesvesgrese for P's DB. 5 6

14 Kvoee vser hvor mege DB/eh. for P må sge før P faller u av bass. () / * = 55, Maks z = 75, + = 0 / Oppgave : Bereg edre og øvre sesvesgrese for P's DB/eh. LP ANVENDT I KAPITALRASJONERING V skal å eke oss a e vesor har flere løsomme proseker, dvs. proseker med NV 0. Prosekee er kke gesdg uelukkede, slk a flere e e prosek ka gagsees samdg. V aar også a vesor ka gagsee adeler av e prosek, f.eks. vesere 50 % av proseke. Probleme er a vesor har begrese vesergskapal. Probleme uvdes ved a kke alle prosekee ødvedgvs ka gagsees på samme dspuk. Noaso (a 0, a,..., a T ): koasrøm for prosek på dspuk : adel akseper av prosek M : eksoge g koasrøm på dspuk k: kalkulasosree U : dspreferase på dspuk W : dvdedeubealg på dspuk. Wegarers modell Maks J T = = 0 ( + k) J u. b. a M, = 0 a = 0,,..., T Baumol og Quads modell Ugagspuke er a vesor dag har e g vesergskapal. Dee kapale skal fordeles opmal på løsomme proseker som ka gagsees å. Dsse prosekee geererer koasrømmer over d, som ee ka deles u ubye l vesor eller veseres ye proseker. Maks u. b. T = 0 U W J a = 0 + W M, = 0,,..., T V skal se på o modeller og beye dsse år v skal formulere LP-probleme. V skal seere se a begge modellee gr samme mulghesområde og dermed lk løsg av probleme. I BQ s modell må ulkhee ersaes med lkhe opmum (e økg dvdedeubealg vl alld øke målfuksoes verd). V får da: 7 8

15 () W = M + J a = V subsuerer () BQ s målfukso og får: () Maks T [ a ] U + T = 0 = 0 M U Rekkefølge ved summerg spller ge rolle, år v har e edelg aall elemeer. Sse ledd () er e kosa. Maksmergsprobleme () ka derfor omskrves l: V vurderer fre proseker. Tre av dem ka gagsees dag, mes de ferde ka gagsees om e år. Du har dag e lgegelg kapal lk 00. Kalkulasosree er sa l 0 %, og prosekees koasrømmer forvees å bl som følger: a = (-00, 50) a = (- 50, 7) a = (- 50, 0, 98) a = ( 0, - 6, 7) Bereges prosekees åverd førs, får v: J T ( ) Maks a U = = 0 V ka rekke u, sde er uavhegg av. () U U U = = + k U0 ( + k) V har é frhesgrad og velger å see U 0 =. De følger da a: (5) U = = ( + k ( + k) ) Ved å subsuere (5) målfuksoe, ser v a BQ s modell er lk modelle l Wegarer. NV(a ) = 5 NV(a ) = 8,06 NV(a ) = 0 NV(a ) = 0 Sde v har kapphe på kapal, vl de være urkg å prorere prosekee eer absolu NV. V må sede prorere eer NV pr. vesergskroe. V kaller dee brøke for åverddeks (NVI). NVI(a ) = 0,5 NVI(a ) = 0,6 NVI(a ) = 0,0 NVI(a ) = 0,556 Sde prosekee er lgegelge på dspuk = 0, må opmal veserg på dee dspuke bl: = 0,5 = 0 = V skal å formulere opmergsprobleme både ved Wegarers og Baumol & Quads modeller. E eksempel 9 0

16 Wegarers modell Maks NV = 5 u. b. Maks D u. b = W,, ,, , Baumol & Quads modell,, + /,W ,, + 8, , ,, /, W I formulerge l B&Q er dvdedeubealgee å oppfae som slakkvarabler. I opmum får v: = 0,5 = 0 = = W 0 = 0 W = 9 W = 70, Oppgave : Du skal å begrue opmumsløsge over med ugagspuk økoomske resoemeer. Oppgave : Formulér probleme Ecel (problemløsere / solver) og korollér a løsge semmer. Formulér probleme ved begge modeller. + W W, + W W + W, W 0 Mcrosof Ecel 8.0 Sesvy Repor Workshee: [kapras-solver.ls]ark Repor Creaed: ::8 Adusable Cells Fal Reduced Obecve Allowable Allowable Cell Name Value Cos Coeffce Icrease Decrease $H$9 Aall eheer P 0,50 0,00 5, 5,00 $H$0 Aall eheer P 0,00 0,00 0,50 E+0 $H$ Aall eheer P,00 0,00 8,06 E+0 5,56 $H$ Aall eheer P,00 0,00 0 E+0 0 Cosras Fal Shadow Cosra Allowable Allowable Cell Name Value Prce R.H. Sde Icrease Decrease $H$9 Adel P > 0 0,50 0,00 0 0,5 E+0 $H$9 Adel P < 0,50 0,00 E+0 0,5 $H$0 Adel P > 0 0,00 -,50 0 $H$0 Adel P < 0,00 0,00 E+0 $H$ Adel P > 0,00 0,00 0 E+0 $H$ Adel P <,00 5,56 0,5 $H$ Adel P > 0,00 0,00 0 E+0 $H$ Adel P <,00 0,00,08 $H$6 Koasrøm på = , $H$7 Koasrøm på = E+0 9 $H$8 Koasrøm på = E+0 70 Dualformulerger Ehver leær maksmergsproblem ka formuleres som e leær mmergsproblem. I Baumol & Quads problemformulerg var målsege å maksmere åverde av dvdedeubealgee, begrese av 00 vesergskapal på = 0 og prosekees koasrømmer på de eerfølgede dspuker. E dualformulerg vl her ebære a ressursbruke (vesergskapale) skal mmeres.

17 Prmale Maks D u. b. = 00 50,, , + 50, W 0 + W 0, W, 0 + /,W + W W, + /, W + W W M K = u. b. 00γ 00γ -50γ 50γ 50γ γ 7γ 98γ 6γ 7γ γ γ + γ + γ + γ + γ + γ 5 + γ γ γ 0 7 /, /, Løser v dualprobleme får v følgede opmumsløsg: V beyer gamma som dualvarabler. V får é dualvarabel for hver dspuk gamme - - og é dualvarabel for hver prosek gamma - 7. De re førse ka olkes som kapales skyggeprs på re ulke dspuker, mes de fre sse ka olkes som prosekees skyggeprser. Duale γ =,5 γ = 0 γ = 0,8 γ =,5 5 γ = 0,69 γ = 5,556 6 γ = 0 Oppgave : Sammelg løsge av dualprobleme med skygge-prsee fra sesvesrappore fra Ecel-løsge av prmalprobleme. Skyggeree Fra problemløsge over så v a skyggeprse l prosek r. var lk 0. Dee ebærer a prosekes NV er lk ull, år prosekes koasrøm dskoeres med skyggeree. 7 V symbolserer skyggeree med ρ og deferer de som følger:

18 γ γ ρ = γ = ( + ρ ) γ Sde kapales skyggeprs på dspuk 0 og var hhv. γ =,5 og γ = 0,8, er skyggeree for perode lk:,5 ρ = = 0,5 0,8 Tlsvarede er skyggeree for perode lk: 0,8 ρ = = 0, 0,69 V ka dele prosekee re grupper: - Proseker som blr full u akseper, = - Proseker som blr delvs akseper, 0 < < - Proseker som kke blr akseper, = 0 I de førse gruppe fer v proseker som har posv NV, år koasrømme dskoeres med skyggereee. I dee gruppe fer v prosek og. NV ( a ) = 50γ + 98γ = 5,56 γ γ = ( + ρ )( + ρ ) 98γ NV ( a) = 50γ + = 5,56 ( + ρ )( + ρ ) NV ( a γ γ = + ρ NV ( a ) = 6γ + 7γ = 0 7γ ) = 6γ + = 0 + ρ I de adre gruppe, med delvs akspere proseker, fer v proseker med NV lk ull, år koasrømme dskoeres med skyggeree. Her har v prosek. NV ( a) = 00γ + 50γ = 0 50γ NV ( a) = 00γ + = 0 + ρ I de sse gruppe har v proseker som kke akseperes, dvs. proseker med egav NV. Prosek befer seg her. NV ( a) = 50γ + 7γ =, 5 γ γ = + ρ 7γ NV ( a) = 50γ + = 5, + ρ 5 6