Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra

Transkript

1 Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Advarsel: Arbeidet med denne fasiten har gått fortere enn det burde, og feilprosenten er nok litt høyere enn vanlig. Finner du feil eller lurer på om noe er riktig, så send en e-post til Seksjon. Oppgave : a+b =,, 9, 5,, a b = 4, 7,, 5, 4, sa =, 6,, 5,, a b = 4 Oppgave : a+b = 7,, 5, 8, 5,, a b = 7,,, 4, 5, 5, sa = 8, 0, 6, 8, 0, 6, a b = Oppgave 5: m p der m = m, m,..., m n og p = p, p,..., p n. Seksjon. Oppgave : Skalarprodukt: 5, vinkel: θ Oppgave : 0 Oppgave : ca Oppgave 4: ca..8. Oppgave 5: ca. 70, p = b Oppgave 6: 7 4 Oppgave 7: 4, =, 4 +, Oppgave 8:,, =, 0, +,, Oppgave 9: 0 og 45, cos 5 = 6+ 4 Oppgave 0: Utallige muligheter, f.eks., 0, og 0,,. Sjekk dine svar ved å ta skalarproduktet med,,. Oppgave : b 4, c 90 Oppgave : Umulig ifølge trekantulikheten. Oppgave 4: Umulig ifølge Schwarz ulikhet. Oppgave 8: For eksempel rt = + t, + t, + t det er mange muligheter Oppgave 9: For eksempel rt = + t, t, 5 t, 8 + t det er mange muligheter. Nei Oppgave 0: For eksempel rt = +t, +9t, 5t det er mange muligheter. Oppgave : For eksempel rt = 7 5t, + 4t, t, 4 5t, + 7t det er mange muligheter. Oppgave : For eksempel rt = 5 + t, + t det er mange muligheter Oppgave : For eksempel rt = t, t det er mange muligheter Oppgave 4: y = x + Oppgave 5: a Skjæringspunkt 5, 4. b Skipene kolliderer ikke. Oppgave 6: a Ja, kursene til flyene krysser hverandre i punktet 4000, 4000, b Nei, flyene kolliderere ikke. De kommer til møtestedet etter henholdsvis 40 sekunder og 00 sekunder. Oppgave 7: c ca. 49 og ca..7 m.

2 Seksjon i Oppgave :. + 4i Oppgave : a = 5, b = 9 Oppgave : i Seksjon Oppgave : A =, B = A + B =, A B = Oppgave : 4A B = Oppgave : A T = 8, B T = Oppgave 4: A T = A B T = 5 Oppgave 5: a 7 6 b 7 c 8 8 0, B T = Oppgave 6: I: 9.7 tonn, II:.8 tonn, III: 7.5 tonn 4 6 Oppgave 7: X: 88 vogner, Y: 6 vogner, Z: 5 vogner Oppgave 0: A:.6 enheter, B: 7. enheter, C: 7.4 enheter, D: 7.4 enheter, E: 5.4 enheter Oppgave : a b v = , v = vi tar med flere siffer enn det som er

3 rimelig for å gjøre svaret lett å kontrollere Oppgave : a b Unge: 00, unge voksne 50, voksne 0, eldre. Oppgave : a b Per: 45%, Pål: 46%, Espen 9%. Seksjon Oppgave. a AB =, BA = b AB = 5 0, BA = Oppgave. AB =. 8 Oppgave. AB = Oppgave 4. a AB blir en 8 9 -matrise. b B er en 5-matrise c B har 7 søyler Oppgave 5. a AB = b AC = c Uttrykket er ikke definert siden matrisene B og C ikke har samme dimensjon dermed er ikke summen B + C definert. 6 7 d BC T = e B T C T t er ikke definert siden B T er en -matrise og C T er en -matrise, så dimensjonene stemmer ikkeoverens f A + C T B = g BA T C =

4 4 Oppgave 7. Vi finner første rad i DE ved å multiplisere første rad i D med matrisen E:,, = 8, 55, 9 8 Vi finner andre søyle i DE ved å multiplisere matrisen D med andre søyle i E: = Regnerdu ut hele matriseproduktet på vanlig måte, får du: DE = Oppgave 8. a Første og andre søyle i produktmatrisen AB er også like. b Andre søyle i produktmatrisen AB består også bare av nuller. Oppgave Oppgave 0. A = 0 Oppgave. a y = 9 b C = 8 c Ay = Cx = Oppgave. a M = b N = c K = , A = Fordeling: A: 58, B: 68.5, C:.5 d Fordeling: A: 8.8, B: 4., C: 58.5 vi tar med flere siffer enn det som er rimelig for å gjøre svaret lett å kontrollere. Seksjon.6 Oppgave. Matrisene A, B og D er inverterbare med inverse matriser A =, B =, D = Matrisen C er singulær siden den har en søyle som bare består av nuller. 5 Oppgave 4. A =.

5 Oppgave 5. AB = B A = b A = c Multipliserer vi med A på begge sider av matriseligningen, får vi x y = 5 = 9 7 Seksjon. Oppgave : a D f = R \ {0, 0} b D f = {x, y R x y og x y} c D f = {x, y R x + y > 0} d D f = {x, y R det ikke finnes et heltall k slik at x y = π + kπ} e D f = R \ {kuleflaten med sentrum i origo og radius 5} Oppgave : a lukket b åpen c hverken lukket eller åpen d lukket e åpen f lukket g hverken lukket eller åpen h åpen i lukket Oppgave : a, b, c,, e Seksjon. Oppgave : a 0 b c e d Seksjon.4 Oppgave : a f x = x y + y 4 og f y = x + xy b f x = x+x y og f y = x +x y c f x = sinx + y og f y = y sinx + y d f x = x lnxy + x og f y = x y

6 6 e f x = e z, f y = e z og f z f f x = z +y cos x, f y = yz tan x +y g f x = z +x+y, f y = z +x+y = x + ye z og f z og f z = z tan x +y = arctanx + y h f x = z + ue x+y, f y = z + ue x+y, f z = ze x+y og f u = e x+y Oppgave : a f = xy, x b f = cosxy z xy z sinxy z, x yz sinxy z, x y sinxy z c f = w cos ve u cos v, wue u cos v sin v, e u cos v d f = zz +z z, z z +z z, arctanz z + e z Oppgave : a f, ;, = b f, 0;, = c f, 0, ;,, = df π,, 0;, 0, = Oppgave 4: a I retningen gitt av vektoren 4, 7 b I retningen gitt av vektoren,, 0 c I retningen gitt av vektoren, 0,, Oppgave 5: Hint: Bruk at V V r, h; r, h Anslått usikkerhet: V.8m Oppgave 6: Tommelfingerregelen gjelder når høyden i centimeter er det dobbelte av vekten i kilo f.eks høyde 80 cm og vekt 90 kilo. Er man lettere enn dette, er regelen for snill i den forstand at BMI går opp hvis man legger på en kilo og en centimeter. Seksjon.5 Oppgave : a f x = 6y, b f x = 0, f x y = f y x = cos y, f y c f x = x + 4x + e x y, d f x = x, f y z = f z y = 4yz, f z = y f x y = f y x = 6x + 4y, f y = x sin y = 4x f x y = f y x = x + xe x y, f y f x y = f y x = 0, f x z = f z x = x, f y = z, = x e x y Oppgave : a 6xy + 6x yz + x yz e xz. b 60x y 4 cosxyz + 60x y 5 z sinxyz + 5x 4 y 6 z cosxyz x 5 y 7 z sinxyz Seksjon.6 xy x Oppgave : a F x, y = y b F xye x y+z x x, y = e x y+z e x y+z yz xz xyz

7 7 arctanxy + xy x c F +x y +x y x, y = x ln y y y cos y x cos y xy sin y d F x, y, z, u = y sinxu + xyu cosxu x sinxu 0 x yu cosxu 0 0 zu z Seksjon.7 Oppgave : k x = 8xy +, k y = 8x y + y Oppgave : k x = ye yx+z 4xy + yze yx+z, k y = xe yx+z xy + zx + ze yx+z, k z = e yx+z xy + yze yx+z h Oppgave : x = 54x 5 x x h sin x, x = 6x 5 x x sin x + 8x 5 x x cos x Oppgave 4: h v = u cosuv euv 9v cosuv sinuv 7 Oppgave 5: H, = Oppgave 6: H,, = 6 Seksjon.8 Oppgave : 0 Oppgave : Oppgave : 0 Oppgave 4: 0 0 Oppgave 5: 0 cos θ sin θ Oppgave 6: sin θ cos θ Oppgave 7:

8 8 cos θ sin θ Oppgave 8: sin θ cos θ cos θ sin θ Oppgave 0: sin θ cos θ Oppgave : x = 7, y = 7, z = 7, u = 7 b Te = 7 4, Te = c Oppgave : a x = 4, y = 4. T4 e = 544 b u =, v =. T4 e = c 6 5 Oppgave 4: c x =, y =. A 0 a = = Seksjon.9 7 Oppgave : A =, c = 0 5t + Oppgave : rt = 4t 0 4x + 4y 0 Oppgave : T a F = x y + 4y Oppgave 4: T a F = x + y 4x + y Oppgave 5: Matrise 4 Oppgave 6: Matrise 0 6 Oppgave 7: a Matrise b Matrise Oppgave 8: a Matrise 0