Repetisjon av MA og 3. april Repetisjon av MA0301

Transkript

1 Repetisjon av MA og 3. april Repetisjon av MA0301

2 (Denne presentasjonen er tilstrekkelig forberedelse til eksamen.) Aprilsnarr. Hvordan bruke disse timene: Ikke bruk for mye tid på å notere: Denne blir lagt ut på nettsiden etterpå Vi går gjennom det meste av pensum med harelabb. Vær obs når du ikke føler at du mestrer stoffet, og ikke kommer på mer innenfor samme tema: Det er et tegn på at du bør repetere det stoffet. Still spørsmål underveis. Karakteren settes ikke basert på hva du ikke kan i dag, men hva du ikke kan 23. mai. 2 Repetisjon av MA0301

3 Oversikt 1 Logikk 2 Telling 3 Mengdelære 4 Induksjon og rekursjon 5 Relasjoner 6 Funksjoner 7 Endelige tilstandsmaskiner 8 Grafteori 9 Trær 10 Kjøretid 11 Algoritmer 3 Repetisjon av MA0301

4 Formell logikk Logikk Byggeklosser: (Åpne) påstander p(x), q(x) Operasjoner Ikke: p(x) Og: p(x) q(x) Eller: p(x) q(x) XOR: p(x) q(x) Implikasjon: p(x) q(x) Ekvivalens: p(x) q(x) Kvantorer: x p(x), x p(x) Operasjoner setter sammen påstander til nye påstander. Påstander har sannhetstabeller. Tautologi: En påstand som alltid er sann. Selvmotsigelse: En påstand som alltid er usann. 4 Repetisjon av MA0301

5 Logikk p: Det er fint vær. q: Jens går ut. p q: Hvis det er fint vær, så går Jens (alltid) ut. Fint vær? Jens går ut? Regelen bruttoverholdt? p q (p q)p q Nei Nei NeiJa Nei Ja NeiJa Ja Nei JaNei Ja Ja NeiJa 5 Repetisjon av MA0301

6 Logikk Logisk implikasjon og ekvivalens Definisjon To påstander p og q er logisk ekvivalente dersom de har samme sannhetstabeller, og vi skriver p q. p impliserer q logisk dersom p q er en tautologi, og vi skriver p q. For å vise ekvivalens kan vi også vise at vi har implikasjon begge veier p q hvis og bare hvis p q og q p 6 Repetisjon av MA0301

7 Regneregler Logikk Ferdighet: Avgjør om (p 1 p n ) q er et gyldig argument, der p i er premisser og q konklusjonen. Viktig å kunne bruke regnereglene for logiske utsagn. (Jobb med listene i boken og/eller forelesningsnotatene.) 7 Repetisjon av MA0301

8 Eksempel 2.31 Logikk p: Bandet kunne spille rock q: Forfriskningene ble levert i tide r: Nyttårsfesten ble avlyst s: Anne ble sint t: Billettene ble refundert ( p q) (r s) r t t p 8 Repetisjon av MA0301

9 Eksempel 2.31 Logikk ( p q) (r s) r t t p 1 r t og t, så r ved modus tollens 2 r kan utvides til r s 3 DeMorgan: r s (r s) 4 Modus tollens: ( p q) (r s) og (r s) gir ( p q) 5 DeMorgan: ( p q), eller p q 6 Ergo, p (og q, for den saks skyld) 9 Repetisjon av MA0301

10 Veien videre Logikk Grunnlag for Dypere studier av logikk, proposisjonslogikk, formelle språk, SAT-problemet, NP =? P Forståelse av resonnementene i bevis Vanlige feil Bruke implikasjonen feil vei Misforstå hva den motsatte påstanden er Blande rekkefølgen på og 10 Repetisjon av MA0301

11 Bevisteknikk Logikk Et bevis er et overbevisende argument for at (du forstår at) noe er riktig. Skriv ned alle forutsetningene. Finn ut om noen av dem kombineres til å gi foreløpige konklusjoner, som kanskje til slutt gir det du vil bevise. Dersom du skal bevise en gitt påstand for alle n eller lignende: Hent fram induksjon. I verste(?) fall: Forklar ut fra intuisjonen hvorfor du mener det må være riktig. Tenk gjennom hvor argumentet er svakt, og forsøk å forbedre. 11 Repetisjon av MA0301

12 Permutasjoner Telling Summeregel Produktregel Det er n! = n (n 1) 2 1 permutasjoner på n objekter. (Enklere språk: Så mange måter å stokke n ting) Hvis n objekter skal plasseres på r n plasser, er det P (n, r) = n! (n r)! alternativer Dersom samme objekt kan brukes flere ganger, og vi skal plassere n objekter på r plasser, er det n r alternativer 12 Repetisjon av MA0301

13 Kombinasjoner Telling Teorem Kombinasjoner av n elementer på r plasser uten hensyn til rekkefølge ( ) n P (n, r) n! C(n, r) = = = r r! (n r)! r! Proposisjon Anta vi har n objekter av r typer, slik at vi har n 1 av første type, n 2 av andre,..., n r av r-te, slik at n 1 + n n r = n. Da er det forskjellige permutasjoner. n! n 1! n 2! n r! 13 Repetisjon av MA0301

14 Eksempel Telling Hvor mange ord kan man danne av bokstavene i MASSASAUGA? 10! 1! 4! 3! 1! 1! = Repetisjon av MA0301

15 Binomialteoremet Telling La n være et heltall. Da er ( ) (x + y) n n = x n y ( n + i n ( n = i i=0 ( ) n 1 ) x n i y i + + ) x n i y i x n 1 y 1 + ( ) n x 0 y n n 15 Repetisjon av MA0301

16 Telling Kombinasjoner med repetisjoner Anta at vi har n alternativer, og skal velge totalt r, men muligens flere av samme type. Da er det ( ) (n + r 1)! n + r 1 = r! (n 1)! r muligheter. 16 Repetisjon av MA0301

17 Eksempel 1.28 Telling Sju førsteårsstudenter stoppet ved et gatekjøkken for å kjøpe seg mat. Alternativene er Hamburger Cheeseburger Kebab Falafel Hvor mange forskjellige bestillinger er mulige? 17 Repetisjon av MA0301

18 Eksempel 1.28 Telling h h c c k k f h h h h c k f h h h h h h f c k k f f f f k k k k k f f k k k k k k k f f f f f f f Det viktige er ikke hva, men når det byttes fra en rett til en annen. 18 Repetisjon av MA0301

19 For å telle opp Telling Ferdigheter: Kunne gjennomføre telleargumenter Kombinere teknikker Abstrahere et konkret tilfelle, slik at det er mulig å velge en løsningsteknikk Grunnlag for: Fargeleggingsproblemer av objekter med rotasjons- og speilingssymmetri Sannssynlighetsregning Telling av funksjoner med spesielle egenskaper, svake kryptografiske nøkler, etc. 19 Repetisjon av MA0301

20

21 Checkliste Mengdelære Medlem i mengde Delmengde A = B A B B A Kardinalitet, A Den tomme mengden Potensmengden P(A): Mengden av alle delmengder av A P(A) = 2 A, og hvorfor Union, snitt, symmetrisk differanse, Venn-diagrammer Mengdesubtraksjon, komplement, disjunkte mengder Regneregler 21 Repetisjon av MA0301

22 Logikk og mengder Mengdelære Faktum Regnereglene for mengder og logiske utsagn er identiske. For en mengde A, definer en funksjon µ A, gitt ved { 1 hvis x A µ A (x) = 0 hvis x / A og tolk 1 som sant og 0 som usant. Da blir µ A en åpen påstand som er sann for alle x A, og (f.eks.) µ A µ B = µ A B. Moral: Har man forstått regnereglene for enten logiske utsagn eller mengder, kan man gjøre akkurat det samme for det andre. 22 Repetisjon av MA0301

23 Mengdelære Telle, ikke telle, telle, ikke telle,... La A, B, C,... være mengder. A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. 23 Repetisjon av MA0301

24 Induksjon og rekursjon Hvordan velte dominobrikker Anta at du har en lang, lang rekke av dominobrikker satt opp på høykant, og nær nok, altså det alle bruker dominobrikker til, ikke det de først var tiltenkt. Dersom 1 Du greier å velte den første brikken, og 2 Hver gang en brikke velter, vil den også velte den neste 24 Repetisjon av MA0301

25 Induksjon og rekursjon Hvordan gjennomføre et induksjonsbevis 0 Finn ut hvilken påstand du skal bevise! 1 Vis at det stemmer for det første tilfellet. Vanligvis er det for 0 eller 1 2 Anta at det stemmer for tilfelle k, og skriv opp hva det vil si. Dette kalles induksjonshypotesen. 3 Skriv opp hva du vil bevise i tilfellet k + 1. Hvis det involverer en (u)likhet, som det som regel gjør i MA0301: Begynn med å kna på venstre side helt til venstre side fra k-tilfellet dukker opp. Bruk induksjonshypotesten, altså bytt ut VS for k med HS for k. Kna videre på det uttrykket du nå har fått, slik at det til slutt ser ut som det du ville komme fram til. 25 Repetisjon av MA0301

26 Induksjon og rekursjon Hvordan gjennomføre et induksjonsbevis, forts. 4 Les notatet om induksjon på nettsiden 5 Tren 26 Repetisjon av MA0301

27 Rekursjon Induksjon og rekursjon rekursjon subst. m se: rekursjon Rekursjon og induksjon går hånd i hånd: Rekursjon bygger opp noe stort og komplisert fra et enkelt grunnlag, samt noen få regler. Induksjon beviser at konstruksjonen oppfyller gitte betingelser. 27 Repetisjon av MA0301

28 Induksjon og rekursjon Nødvendige ferdigheter Forstå induksjonsprinsippet Kunne gjennomføre et enkelt induksjonsargument, inkludert nødvendig mellomregning Forstå en rekursivt definert følge Bruke den rekursive regelen i induksjonssteget i et bevis 28 Repetisjon av MA0301

29 Kartesiske produkter Relasjoner B b (a, b) A B = {(a, b) a A, b B} Klassiske eksempler: R 2 Q = { a b a Z, b Z \ {0}} a A 29 Repetisjon av MA0301

30 Relasjoner Relasjoner Definisjon (Formell) En relasjon R fra A til B er en delmengde R A B. Vi sier at a er relatert til b dersom (a, b) R. Definisjon (Praktisk) En relasjon R er en betingelse. Nå er a er relatert til b dersom a og b oppfyller betingelsen. 30 Repetisjon av MA0301

31 Egenskaper Relasjoner Relasjonen R på A kalles... refleksiv dersom xrx for alle x A transitiv dersom xry og yrz impliserer xrz symmetrisk dersom xry impliserer yrx antisymmetrisk dersom xry og yrx impliserer x = y Definisjon Relasjonen er en ekvivalensrelasjon dersom er reflektiv, transitiv og symmetrisk Relasjonen er en delvis ordning dersom er reflektiv, transitiv og antisymmetrisk 31 Repetisjon av MA0301

32 Relasjoner Ekvivalensrelasjoner: Potato, potahto Ekvivalensrelasjoner er en måte å kategorisere objekter som for det aktuelle formålet har samme egenskaper, men som kanskje ikke er like ellers. En ekvivalensrelasjon genererer ekvivalensklasser; delmengder der alle objektene er ekvivalente. [x] = {y A y x}. Et element i [x] kalles en representant for klassen [x] = [y] eller [x] [y] = 32 Repetisjon av MA0301

33 Ukedager Relasjoner Tirsdager er tirsdager, så 0, 7, 14,... er essensielt det samme. Relasjonen 7 på Z definert ved a 7 b a b = 7k for en k Z induserer 7 ekvivalensklasser: [x] = {y Z y 7 x}. [0] = {..., 7, 0, 7, 14,...} [1] = {..., 6, 1, 8, 15,...} [2] = {..., 5, 2, 9, 16,...} [3] = {..., 4, 3, 10, 17,...} [4] = {..., 3, 4, 11, 18,...} [5] = {..., 2, 5, 12, 19,...} [6] = {..., 1, 6, 13, 20,...} [7] = [0] 33 Repetisjon av MA0301

34 Notasjon Relasjoner Ekvivalensrelasjoner er en generalisering av egenskapene til =, så vi bruker tegn som minner om =, som oftest. Delvise ordninger er en generalisering av og, så vi bruker tegn som minner, som oftest. 34 Repetisjon av MA0301

35 Delvise ordninger Relasjoner Viktig å kunne: Definisjonen Kombinere to ordninger for å se om man får en ny ordning Hasse-diagram 35 Repetisjon av MA0301

36 Relasjoner Flere ting du bør kjenne Representasjoner av relasjoner Komposisjon av relasjoner Største og minste elementer 36 Repetisjon av MA0301

37 Funksjoner Funksjoner Definisjon (Formelt) En funksjon f : A B er delmengde av A B slik at det for enhver a A finnes et unikt element b B slik at (a, b) f, og vi skriver b = f(a). Definisjon (Intuitivt) En funksjon f : A B er en regel som for enhver a A tilordner en unik b B, og vi skriver b = f(a). 37 Repetisjon av MA0301

38 Spesielle funksjoner Funksjoner Definisjon Funksjonen f : A B er injektiv dersom f(a 1 ) = f(a 2 ) impliserer at a 1 = a 2. Intuitivt: Både a og b skal være unike, to forskjellige a-er skal ikke kunne gå til samme b. Definisjon Funksjonen f : A B er surjektiv dersom det for enhver b B finnes en a A slik at f(a) = b. Intuitivt: f skal «treffe» hele B Strategi: Har ligningen b = f(a) alltid løsning? 38 Repetisjon av MA0301

39 Bijektive funksjoner Funksjoner a b c d a b c d Definisjon Funksjonen f : A B er bijektiv dersom den er både injektiv og surjektiv. En bijektiv funksjon f : A B skaper en én-til-én-korrespondanse mellom A og B. Problem: Finn f 1, den motsatte funksjonen av f. 39 Repetisjon av MA0301

40 Funksjoner Sammensatte funksjoner g f f : A B g : B C g f : A C A f C g (g f)(x) = g(f(x)) B 40 Repetisjon av MA0301

41 Identitetsfunksjonen Funksjoner For en mengde A, definer funksjonen 1 A : A A ved 1 A (x) = x. La f : A B være en inverterbar funksjon. Da er f 1 f = 1 A og f f 1 = 1 B 41 Repetisjon av MA0301

42 Pigeonhole principle Funksjoner Hvis m duer okkuperer n duehull, og m > n, da finnes det minst ett hull med minst to duer. 42 Repetisjon av MA0301

43 Flere temaer Funksjoner Restriksjoner og utvidelser Hva skjer med injektivitet og surjektivitet når funksjoner komponeres? 43 Repetisjon av MA0301

44 Språk Endelige tilstandsmaskiner Alfabet Σ Streng: Sammensetning av symboler Den tomme strengen λ Sammensetning av strenger Lengde av strenger Σ n, Σ +, Σ Alt er mengder, så vi kan bruke mengdeoperasjonene Ekstra operasjon: Sammensetning av språk, AB 44 Repetisjon av MA0301

45 Språk Endelige tilstandsmaskiner La Σ = {0, 1}, og betrakt språket A = {1}{0, 1} {0} {010}{1} Med ord: A består av alle ord som enten begynner med 1, så har hva som helst, og slutter med 0, eller begynner med 010 og så har vilkårlig mange 1-ere etterpå. Med Ikke med Repetisjon av MA0301

46 Endelige tilstandsmaskiner Endelige tilstandsmaskiner Regne ut enkle funksjoner Avgjøre om en streng er i et språk Tolkning: Hvis siste output er 1 er strengen gjenkjent, ellers avvist Vanlig teknikk: Lage en loop of death når det ikke lenger er håp for å godkjenne strengen Både transisjonene og output er funksjoner: Må være definert for alle input i alle noder 46 Repetisjon av MA0301

47 Endelige tilstandsmaskiner Endelige tilstandsmaskiner Språk: {1}{0, 1} {0} {010}{1} 1,0 0,1 s 5 0,1 start s 0 1,0 s 1 1,0 s 6 0,0; 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 1,0 0,1 s 2 s 3 s 4 1,1 47 Repetisjon av MA0301

48 Ferdigheter Endelige tilstandsmaskiner Lage endelig tilstandsmaskin basert på et oppgitt språk Lese av språket til en svært enkel tilstandsmaskin (lite oppmerksomhet, men ikke vanskelig) Konvertere mellom tabell- og diagramform for tilstandsmaskiner Modellere et problem som en endelig tilstandsmaskin Lese av output, gitt en maskin og input Vite at endelige tilstandsmaskiner er begrenset til regulære språk (ingen argumenter) 48 Repetisjon av MA0301

49 Veien videre Endelige tilstandsmaskiner Generaliseres til Turing-maskiner, som blant annet brukes til Modellering av som kan beregnes Modellering av sammensetning av kryptografiske protokoller Oppførsel i nettverk Presis definisjon av kjøretid 49 Repetisjon av MA0301

50 Grafer Grafteori Checkliste Definisjon av graf og multigraf Rettet, urettet Løkke Sykel Vei, lukket og åpen Sammenhengende, komponenter Delgrafer Utspennende delgraf Komplett graf Komplementet til en graf Graden til hjørner Kantvekter, total vekt Planare grafer Bipartitte grafer 50 Repetisjon av MA0301

51 Grafisomorfi Grafteori En grafisomorfi mellom to grafer (V 1, E 1 ), (V 2, E 2 ) er en funksjon f : V 1 V 2 slik at f er en bijeksjon, og (f(v), f(v )) er en kant i E 2 hvis og bare hvis (v, v ) er en kant i E 1 To grafer er isomorfe hvis det finnes en isomorfi mellom dem. Isomorfi bevarer alle egenskaper. Intuitiv forståelse: To grafer er isomorfe dersom du kan legge dem oppå hverandre ved å bare dra litt på hjørnene. 51 Repetisjon av MA0301

52 Grafteori Teknikker for å avkrefte isomorfi Er det like mange kanter og hjørner? Er det like mange komponenter? Tell gradene til hjørnene: Er det like mange hjørner av hver grad? Finnes det Euler- eller Hamilton-veier i den ene, men ikke den andre? 52 Repetisjon av MA0301

53 Euler-veier Grafteori Det må finnes en vei som går innom alle kanter nøyaktig én gang. Teorem La G = (V, E) være en urettet graf uten isolerte hjørner. Da har G en lukket Euler-vei hvis og bare hvis G er sammenhengende, og alle hjørner har partallsgrad. Husk ideen i beviset, samt korollaret. 53 Repetisjon av MA0301

54 Hamiliton-veier Grafteori Det må finnes en vei som går innom alle hjørner nøyaktig én gang. Lukkede Hamilton-veier kalles Hamilton-sykler Vanskeligere å avgjøre enn for Euler-veier Resultater i pensum er grovmaskede, men brukbare 54 Repetisjon av MA0301

55 Grafhomeomorfi Grafteori Elementær oppdeling: Essensielt sett å sette inn et nytt hjørne på en kant To grafer er homeomorfe dersom de er resultat av elementære oppdelinger fra samme utgangspunkt (Kuratowski) En graf er ikkeplanar hvis og bare hvis den inneholder en delgraf som er homeomorf til enten K 5 eller K 3,3. 55 Repetisjon av MA0301

56 Trær Trær m-ært Komplett Balansert Utspennende 56 Repetisjon av MA0301

57 Søkeideer Trær Dybde først Søk så dypt du kommer med én gang, og gå bare så langt tilbake som du trenger for å finne nye grener Bredde først Beveg deg ut fra startnoden i sirkler 57 Repetisjon av MA0301

58 Traversering Trær Preorder Inorder Postorder Se Prezi-animasjonene 58 Repetisjon av MA0301

59 Kjøretid Kjøretidsanalyse (forenklet) Man kan måle tiden det tar å kjøre en algoritme, for forskjellige størrelser på input. Tiden blir da ideelt sett en funksjon f av n, der n er størrelsen på input. Sammenlign f(n) med noen kjente funksjoner, og se hvilken veksten ligner mest på: 1, log n, n, n log n, n 2,..., n k, c n, n!. Hvis den ikke vokser verre enn n 2, sier vi at algoritmen er O(n 2 ). 59 Repetisjon av MA0301

60 Kjøretid Kjøretidsanalyse (presist) Definisjon Vi sier at g dominerer f, dersom det finnes konstanter m R + og k Z + slik at f(n) m g(n) når n k. O(g) = {alle funksjoner som er dominert av g} 60 Repetisjon av MA0301

61 Algoritmeideer Algoritmer Mergesort Del opp listene til det bare er ett element, og sett sammen slik at sorteringen beholdes Dijkstra Finn korteste vei ved å alltid velge korteste vei ut fra S Prim Finn minimalt utspennende tre ved å alltid velge den korteste kanten som går ut fra P til N Kruskal Finn minimalt utpennende tre ved å alltid velge billigste kant som ikke gir en sykel 61 Repetisjon av MA0301

62 Forberedelsestips Algoritmer 1 Lag en liste over absolutt alt vi har gått gjennom i pensum, og kryss av etterhvert som du føler at du kan temaet godt. 2 (Fritt etter Lahlum) Om det er noe du håper at du ikke får til eksamen: Jobb så mye på det at du til slutt håper å få det. 3 Lær deg faget, ikke eksamen. Få eksamener er like, og om du bare er god på å løse gamle eksamensoppgaver, får du store problemer om de bare endres bittelitt fra det som har vært. (Det kan skje, og mange har (rettmessig) gjort det dårlig på grunn av nettopp det.) 4 Tenk gjennom hva vi har brukt mest tid på, både av oppgaver, forelesningstid og repetisjon. Det er kjernepensum. 5 Jobb med å forstå hva som foregår. Eksamen tester forståelse, ikke bare hukommelse. Det er ikke uvanlig å spørre om en liten del av et stort bevis. 6 Gjør noe annet kvelden før eksamen. Slapp av! 62 Repetisjon av MA0301

63