Løsning til eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3

Transkript

1 Høgskolen i Buskerud. Finn Haugen(finn.haugen@hibu.no). Løsning til eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3 Tid: 2. april Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70%. Hjelpemidler: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Kalkulator ikke tillatt. Bakerst i oppgavesettet er det en formelsamling. 1. (10% vekt) Skriver først modellen på standard regresjonsform: h(k) h(k 1)= [ h(k 1) u(k 1) ][ ] a b Den totale modellen blir h(1) h(0) h(2) h(1) h(3) h(2) h(4) h(3) } {{ } Y = h(0) u(0) h(1) u(1) h(2) u(2) h(3) u(3) } {{ } Φ [ ] a b θ (1) (2) 2. (20)Innførerx 1 =nogx 2 =Logy=x 1 =n.differensiallikningen kan da uttrykkes som Tẋ 1 (t)+x 1 (t)=k[u(t) x 2 (t)] (3) eller ẋ 1 (t)= 1 T x 1(t)+ K T [u(t) x 2(t)] (4) Antardessutenatx 2 =Lerlangsomtvarierendeellernesten konstant: ẋ 2 (t)=0 (5) Målelikningen blir Diskretisering med Eulers forovermetode gir y(t)=x 1 (t) (6) x 1 (k+1) x 1 (k) h = 1 T x 1(k)+ K T [u(k) x 2(k)] (7) x 2 (k+1) x 2 (k) h =0 (8) 1

2 Den tidsdiskrete tilstandsrommodellen blir, med prosessforstyrrelser og målestøy inkludert, x 1 (k+1) = x 1 (k) h T x 1(k)+ hk T [u(k) x 2(k)]+v 1 (k) (9) x 2 (k+1) = x 2 (k)+v 2 (k) (10) Kalman-filteret: y(k) = x 1 (x)+w(k) (11) Innovasjonsprosessen(x 1 (k)ermåling): Korrektorestimatene: y(k)=x 1 (k) (12) x 1c (k+1) = x 1p (k)+k 11 e(k) x 2c (k+1) = x 2p (k)+k 21 e(k) (13) Prediktorestimatene: x 1p (k+1) = x 1c (k) h T x 1 c (k)+ hk T [u(k) x 2 c (k)] x 2p (k+1) = x 2c (k) (14) 3. (5) Hurtigere respons i estimatet for tilstandsvariabel nr. n kan oppnåsvedåøkestøykovarianselementetq nn fordenne tilstandsvariabelen(dette medfører økt verdi av den tilsvarende Kalmanfilterforsterkningen). Ulempe: Estimatet vil inneholde med støy som stammer fra målestøyen(den økte verdien av Kalmanfilterforsterkningen vil øke påvirkningen fra målestøyen på estimatet). 4. (5) For eksempel: x 1 (k+1) x 2 (k+1) = x 3 (k+1) [ y1 (k) y 2 (k) 0, } {{ } A ] [ ] = C x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) B u(k) (15) [ ] u(k) (16) 3 4 D 2

3 5. (5)yskalberegnesfrauslik: y=gu+c (17) dergogc kanberegnesfradeoppgitteformlene m y =Gm u +C (18) og σ 2 y =G2 σ 2 u (19) derm u =0,m y =3,σ 2 u =1,σ2 y =4.Vifår G=2 (20) C=3 (21) 6. (15)Sefigur1. Optimal controller with integral action r(k) e(k) x 3 (k) -G 31 u(k) = -Gx(k) u(k) Process y = x 1 x 2 Integrator -G 11 -G 21 x 1 (k) x 2 (k) Figur 1: 7. (5) For å oppnå jevnere pådragsbruk kan elementer i R-matrisen økes. Dette vil øke kostnaden på pådragsendringer, dvs. at pådragsendringene blir mindre, dvs. jevnere pådragsbruk. 8. (10)Viløsermht.pådragetogsetterreferanseninnfor prosessvariabelen. Resultatet blir u f = ṙ+ar }{{ b } 3 F r + c v (22) b F f

4 Foroverkoplingsfunksjonenerhøyresideniovenståendelikning.u f er foroverkoplingpådraget. Det kan antas at referansen r er kjent. Forstyrrelsen v må måles. 9. (15) Siden begrepet intern PI-regulator og ikke intern PID-regulator stårioppgaven,kandetantasatdeter standard-versjonen av feedback linearization som skal utledes. Utledningen nedenfor er stort sett kopiert fra en lærebok/kompendium i emnet. Det forventes ikke at studentene gir en like detaljert besvarelse, men hovedpunktene skal være med i en fullgod besvarelse. Itassumedthattheprocessmodelisastatespacemodelonthe following form: ẋ=f(x,v)+b(x,v) u (23) or, simpler, ẋ=f+bu (24) xisthestatevector,visthedisturbancevector,anduisthecontrol vector.f isavectorofscalarfunctions,andbisamatrixofscalar functions. Assume that the output vector is y=x (25) Bytakingthederivativeof(25)andusing(24)weobtainthe following differential equation describing the process output vector: ẏ=f+bu (26) Assumethatr y isthereference(orsetpoint)ofy.withtheabove assumptions, we derive the control function as follows: We start by defining the transformed control vector as Then(26)canbewrittenas z def = f+bu (27) ẏ=z (28) which are n decoupled or independent integrators (n is the number of statevariables),becausey(t)= t 0 zdτ.thetransferfunctionfromz toyis y(s) z(s) =1 (29) s We will now derive the control function for this integrator process, and thereafter derive the final control function. How can you control 4

5 an integrator? With feedback and feedforward! A good choice for the feedback controller is a PI controller(proportional plus integral) because the controller should contain integral action to ensure zero steady-state control error in the presence of unmodelled disturbances (andtherearesuchinarealsystem).theproportionalactionis necessary to get a stable control system(if a pure integral controller acts on an integration process the closed loop system becomes marginally stable, i.e. it is pure oscillatory). The multiloop feedback PI controller is t z fb =K p e+k i edτ (30) whereeisthecontrolerror: 0 e def = r y y (31) In addition to the PI feedback action the controller should contain feedforward fromthereferencer y togetfastreferencetrackingwhen needed(assuming the reference is varying). The feedforward control function can be derived by substituting the process output y in the processmodel(28)byr y andthensolvingfory,giving z ff =ṙ yf (32) whereindexf indicateslowpassfilterwhichmaybeoffirstorder.a pure time differentiation should not be implemented because of noise amplification by the differentiation. Therefore the reference should be lowpass filtered before its time derivative is calculated. Thecontrolfunctionfortheprocess(28)basedonthesumofthe feedback control function and the feedforward control function is as follows: z = z fb +z ff (33) t = K p e+k i edτ+ ṙ yf (34) 0 z ff z fb Deriving the final control function, that is, the formula for the controlvectoru:from(27)weget u=b 1 (z f) (35) Hereweuse(34)togetthefinalcontrolfunction: ( t ) u=b 1 K p e+k i edτ+ṙ yf f 0 (36) 5

6 How to tune the PI controller included in the control function(36)? In(36)K p andk i arediagonalmatrices: K p K p2 0 K p = =diag(k p 1,K p2,,k pn ) (37) K i = 0 0 K pn K i K i =diag(k i 1,K i2,,k in ) (38) 0 0 K in where the scalar values are K ij = K p j T ij (39) wherek pj istheproportionalgainandt ij istheintegraltimeof control loop no. j. K pj andt ij canbecalculatedinseveralways.skogestad smethod is one option. Skogestad s method is reviewed below. The design principle of Skogestad s method is as follows. The control system tracking transfer function T(s), which is the transfer function from the reference or setpoint to the(filtered) process measurement, is specified as a first order transfer function with time delay: T(s)= y mf(s) y msp (s) = 1 T C s+1 e τs (40) wheret C isthetimeconstantofthecontrolsystemwhichtheuser mustspecify,andτ istheprocesstimedelaywhichisgiven bythe process model. Skogestad s tuning formulas for an integrator with gain equal to one and time-delay equal to zero are as follows: and K pj = 1 T Cj (41) T ij =k j T Cj (42) wheret Cj isthespecifiedtimeconstantoffeedbackloopno.j,and k j isacoefficientthatcanbesetto (5)Youcansimulatethecontrolsystem.Inthesimulatoryoucan include model errors by using different models in the control function andintheprocessinthesimulator. 6

7 11. (5) Du kan la regulatoren bruke tilstandsestimatene i Kalmanfilteret til pådragsberegningen. Når sensoren faller ut, skal Kalmanfilteret oppdatere prediktorestimatene i Kalmanfilteret, mens korrektorestimatene(målebaserte estimater) ikke skal oppdateres siden målingene jo har falt ut. Regulatoren skal fortsette å benytte estimatene, som nå i praksis vil være prediktorestimatene, som igjen vil være simulerte tilstander(siden det ikke er noe målebasert korreksjon av estimatene). Dermed kan reguleringen fortsette så å si som normalt, i hvert fall en stund, til tross for sensorutfall. 7