Terminprøve Sinus 1P. DEL 1: Uten hjelpemidler (2 timer) Høsten a) Regn ut. b) Regn ut. 3. c) Løs likningene.

Transkript

1 Terminprøve Sinus P Høsten 007 DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Oppgave a) Regn ut. ) 4 ) (7 ) (4 ) b) Regn ut. 4 ) ) 9 ( + 4 ) c) Løs likningene. ) ( ) + = 8 ) + = 6 d) Petter og Anne deler av og til en jobb. En dag jobber Petter timer og Anne timer. Til sammen får de 00 kr i lønn for denne jobben. Hvor me skal hver av dem ha i lønn? Oppgave Vi skal flislegge og dekke en flate med regulære mangekanter. Nedenfor ser du to forsøk med slik flislegging. Den oppgitte tabellen nedenfor figurene viser vinkelen v mellom sidekantene i noen regulære mangekanter med n kanter. Bruk blant annet tabellen og forklar hvorfor denne flisleggingen går galt i oppgave a mens den går bra i oppgave b. a) b) n v , ,7 0 CAPPELEN Terminprøve P

2 Oppgave I denne oppgaven ser du tre bilder fotografert i ulike perspektiver. Tegn linjer på bildene og finn eller angi retningen til alle forsvinningspunktene. Hva kaller vi perspektivet på bildet i oppgave c? a) b) c) CAPPELEN Terminprøve P

3 Oppgave 4 Martin kjører bil med farten 90 km/h på en motorvei. Rett foran seg ser han en hindring og begnner å bremse. t sekunder senere er farten v målt i kilometer per time (km/h) redusert til v = 90 t Sammenhengen mellom v og t er tegnet i koordinatsstemet nedenfor. km/h v t s a) Hvor lang tid går det fra Martin begnner å bremse til han stopper helt? b) Finn grafisk farten til bilen etter ) 0 s ) s c) Finn grafisk og ved regning når farten er 4 km/h. d) ) Finn en formel for t uttrkt ved v. ) Når er farten 69 km/h? e) Hvis V er farten i km/h i det Martin begnner å bremse og T er tiden i sekunder fra han begnner å bremse til han stopper, er bremsestrekningen s i meter gitt ved s = V T 6 Finn bremsestrekningen i meter og i kilometer. CAPPELEN Terminprøve P

4 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave a) I september 007 ble det avholdt kommune- og flkestingsvalg i Norge. Tabellen viser noen av resultatene fra kommunevalget sammenliknet med det samme valget i 00. Vi ser på de fire partiene: Det Norske Arbeiderparti (A), Høre (H), Venstre (V) og Sosialistisk Venstreparti (SV). Tallene er fra en landsoversikt, og vi forutsetter at like mange stemte ved de to valgene. Kommunevalget A H V SV Valget i 007. Prosentdelen stemmer (%) 9,7 6, Valget i 00. Prosentdelen stemmer (%) 7, 8,,8, Endring fra 00 +8,0 % +,6 % Endring i prosentpoeng fra 00 +, +, Regn ut de manglende tallene i tabellen for ) Høre ) Venstre ) SV b) Det var,8 millioner personer som stemte ved valget i 007. Dette tilsvarer en frammøteprosent på 60,4. Hvor mange hadde stemmerett ved dette valget? Oppgave 6 a) Lars er på langtur med bilen. Han kan lese av bensinforbruket i liter på langturen. Tabellen viser forbruket b i liter etter mil. (mil) b (liter) 4,, 9,6,8 9,4 ) Vis at b og er proporsjonale størrelser. ) Hva er proporsjonalitetskonstanten? Hva gir den uttrkk for her? ) Finn bensinforbruket etter mil. Hvor mange mil har Lars kjørt når bilen har brukt 7, liter? b) Mette har kjøpt et dagskort i en alpinbakke. Hun morer seg med å se hva prisen per tur vil være når hun kjører turer i bakken i løpet av dagen. Utregningene setter hun inn i en tabell (kr) ) Vis at og er omvendt proporsjonale størrelser. ) Hva koster et dagskort i denne bakken? ) Hva blir prisen per tur hvis hun kjører 6 turer? CAPPELEN Terminprøve P

5 Oppgave 7 a) Finn avstanden på figuren nedenfor. b) Finn avstanden på figuren. c) Finn arealet av firkanten ABCD. C 0 D A B Oppgave 8 ABC og DEF er formlike. C F 7,6 cm 7,0 cm 40 A 8, cm B D 4, cm E a) Finn C og B. b) Finn BC og DF. Oppgave 9 En slindrisk oljetank har radien r = 0,60 m og høden h =,00 m. r h a) Hvor mange liter rommer tanken? b) Tanken med toppflate skal males utvendig. Bunnflaten skal ikke males. Hvor me maling går med til arbeidet når en liter maling dekker 7,0 m? CAPPELEN Terminprøve P

6 Terminprøve Sinus T DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Høsten 007 Oppgave a) Regn ut. ) (7 ) (4 ) ) ( 4 ) (4 + ) : ( 7) b) Regn ut. ( )( + ) ( ) ) ( )( + 4) ) c) Regn ut. Forkort svaret. ) + 4 ( ) ) d) Forkort brøkene. ) ) + a a a e) Løs likningene. ) ( + 4 ) = 6 ) = 0 Oppgave a) Løs likningssettet grafisk eller ved regning. + = + = b) Summen av to tall er 4. Dessuten er differansen mellom kvadratet av det første tallet og kvadratet av det andre tallet. Finn tallene ved regning. Oppgave Martin kjører bil med farten 90 km/h på en motorvei. Rett foran seg ser han en hindring og begnner å bremse. t sekunder senere er farten v målt i kilometer per time (km/h) redusert til v = 90 t a) Framstill sammenhengen mellom v og t i et koordinatsstem. b) Finn grafisk og ved regning når farten er 4 km/h. c) ) Finn en formel for t uttrkt ved v. ) Når er farten 69 km/h? d) Hvis V er farten i meter per sekund (m/s) i det Martin begnner å bremse og T er tiden i sekunder fra han begnner å bremse til han stopper, er bremsestrekningen s i meter gitt ved s = V T Finn bremsestrekningen i meter. CAPPELEN Terminprøve T

7 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave 4 En funksjon f er gitt ved 4 f( ) = + 4 a) Tegn grafen til f. 4 b) Finn bunnpunktet til f ved bruk av lommeregner. c) Finn nullpunktene til f ved bruk av lommeregner. d) Finn verdimengden til f. Oppgave Mikrobølger har evnen til å trenge inn i vann. Sammenhengen mellom inntrengningsdbden målt i centimeter og frekvensen til bølgene målt i megahertz (MHz) er gitt ved k = der k er en konstant. a) I en bestemt mikrobølgeovn trenger bølgene, cm inn i vann. Frekvensen til bølgene er da 40 MHz. Vis at k har verdien 7, b) Framstill sammenhengen mellom og når er mellom 000 MHz og 000 MHz. c) Finn grafisk og ved regning frekvensen når mikrobølgene trenger,9 cm inn i vann. d) Vis at sammenhengen gitt i innledningen også kan skrives lg = 6,9 lg Oppgave 6 a) Regn ut uten bruk av tilnærmingsverdier. 6 ) a 4 ) ( a) ( a ) b) Regn ut uten bruk av tilnærmingsverdier. ) 6 ( ) ( ) ( ) ) 6 CAPPELEN Terminprøve T

8 Oppgave 7 a) Tegn grafen til den rasjonale funksjonen f for mellom og. f( ) = 0 + b) Forklar hvorfor f ikke har noen vertikal asmptote. c) Finn den horisontale asmptoten til f. d) Løs likningen grafisk. 0 + = + 4 Oppgave 8 Øets tilpasningsevne reduseres med alderen. For bilister betr det at motstandsdktigheten for blending blir gradvis nedsatt etter at sjåføren har flt 8 år. Øets motstandsdktighet for blending gitt i en passende enhet ved alderen år er gitt ved = 8 0, 944, 8 a) Finn øets motstandsdktighet for blending for en person som er ) 8 år ) 8 år b) Finn ved regning alderen på en person når øets motstandsdktighet er 67. c) Finn ved regning hvor lang tid det tar før øets motstandsdktighet er halvert (halveringstiden). CAPPELEN Terminprøve T

9 Terminprøve Sinus P Høsten 007 DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Oppgave a) Regn ut. ) ) 0 4 b) Skriv som hele tall eller desimaltall. ) ( a) ) 7, 0 ), 0 ) 0,8 0 7 c) Skriv på standardform. ) 0,000 ) a ( ) d) Gjør om til standardform, regn ut og skriv svaret på standardform ) ) 006, 0, , 0004 e) Finn vekstfaktoren til ) 7 % økning ) % nedgang Oppgave a) Regn om fra binære tall til vanlige tall. ) 0 ) 00 ) 000 b) Skriv det vanlige tallet 9 som et binært tall. c) Regn om fra totallssstemet til åttetallssstemet. ) 000 ) 00 d) Skriv de to tallene i oppgave c i det heksadesimale tallsstemet. Oppgave Matematikkgruppa P- har 8 elever. Ved en prøve fikk elevene i gruppa disse karakterene:,,, 6,,,, 4, 4,,, 4,,,, 4,, 4,,,,, 4,, 4 a) Hvor mange var fraværende på prøven? b) Lag en frekvenstabell som viser karakterene. c) Hva er tpetallet? d) Hva er medianen? e) Framstill karakterene i et sølediagram. CAPPELEN Terminprøve P

10 Oppgave 4 Petter har ei attraktiv tomt som i dag er verdt,0 millioner kroner. Han regner med at verdien av tomta vil stige 0 % for hvert år i en femårsperiode. a) Hvilken av grafene A, B eller C viser denne verdiutviklingen? Begrunn svaret. mill. kr A B 4 C 4 år b) Finn funksjonsuttrkket V() for verdien av tomta i millioner kroner om år. CAPPELEN Terminprøve P

11 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave Det er salg i butikken Moten. Trine kjøper en genser, en kjole og ei bukse. Tabellen viser noen priser og prosenter på disse klærne. Regn ut Ordinær pris Avslag i prosent Avslag i kroner Salgspris Genser 400 kr Kjole 49 kr Bukse 0 0 a) avslaget på genseren i kroner og salgsprisen b) den ordinære prisen på kjolen og avslaget i kroner c) den ordinære prisen på buksa og salgsprisen Oppgave 6 Ei P-gruppe har som prosjektoppgave å samle inn og bearbeide tall på hvor mange tekstmeldinger (SMS) som blir sendt av elever ved skolen hver uke. De elevene som deltar, teller alle sine egne sendte tekstmeldinger i løpet av ei bestemt uke. a) P-gruppa deltar med disse egne tallene: 8, 4, 47, 6, 0, 0, 4,,, 0, 6, 44, 0, 48, 6,, 8,, 4 ) Finn variasjonsbredden. ) Hvor mange SMS-er sendte elevene i P-gruppa i gjennomsnitt denne uka? ) Finn medianen. 4) Finn nedre kvartil, øvre kvartil og kvartilbredden. ) Bruk lommeregneren og finn standardavviket. b) Tallene fra alle deltakerne ved skolen blir satt inn i en klassedelt tabell som vist nedenfor. SMS Frekvens [0, 0 [0, 0 6 [0, 40 4 [40, 0 66 [0, 60 4 [60, 00 8 ) Hvor mange elever deltar i prosjektet? ) Finn gjennomsnittet til det klassedelte materialet. ) Hvorfor kan vi ikke være helt sikre på at gjennomsnittsverdien i punkt er helt korrekt? 4) Tegn et histogram over fordelingen. CAPPELEN Terminprøve P

12 Oppgave 7 Marit har en kunstsamling som i dag er verdt,4 millioner kroner. Samlingen har i lengre tid økt i verdi med 8 % i året, og hun regner med den samme utviklingen i årene som kommer. a) Finn verdien av samlingen om ) 4 år ) 8 år b) Finn et uttrkk for verdien V() i millioner kroner av samlingen om år. c) Hvor mange prosent vil verdien av samlingen øke med på fire år? d) Hva var verdien på samlingen for to år siden? e) Tegn grafen til V for mellom og 0. f) Finn grafisk hvor lang tid det tar før verdien av samlingen er fordoblet. Oppgave 8 Tabellen gir oversikt over areal og befolkning i landene i Norden. Areal (km ) Befolkning (mill.) Norge ,7 Sverige ,0 Danmark 4 000,4 Finland 7 000, Island , a) Hvor mange prosent større areal har Sverige enn Norge? b) Hvor mange prosent mindre areal har Finland enn Norge? c) Hvor mange prosent av arealet i Norden har Norge? d) Hvor mange prosent av innbggerne i Norden bor i Norge? e) Lag et kakediagram som viser den prosentvise befolkningsfordelingen i de nordiske landene. CAPPELEN Terminprøve P

13 Terminprøve Sinus T Høsten 007 DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Oppgave Vektorene a og b er tegnet nedenfor. a b a) Tegn a + b, a b og b a. b) Tegn a + b, a b og a b. c) Tegn en vektor c som er slik at a + b + c = 0. d) Tegn en vektor d som er slik at b + d = a. Oppgave I ABC har hjørnene koordinatene A(, ), B(0, 7) og C(, ). a) Finn koordinatene til vektorene AB, BC og AC. b) Finn lengden av sidene i trekanten. c) Bruk vektorregning til å vise at A = 90. d) Et punkt D er gitt ved at AD = AB + AC Finn koordinatene til D ved regning. Oppgave a) Ei linje l har parameterframstillingen = + t l : = 7 t Tegn linja i et koordinatsstem. b) Finn skjæringspunktene mellom linja l og koordinataksene ved regning. c) Ei linje m går gjennom punktene (0, ) og (, ). Finn en parameterframstilling for m. d) Finn skjæringspunktet mellom l og m ved regning. CAPPELEN Terminprøve T

14 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave 4 I en firkant har hjørnene koordinatene A(, ), B(6, ), C(9, ) og D(, 6). a) Finn koordinatene til vektorene AB, BC, CD og AD. b) Vis at sidene AB og CD er parallelle. c) Finn lengden av sidene i firkanten. d) Finn skalarproduktet AB AD. e) Finn A ved regning. f) Finn B ved regning. g) Regn ut arealet av firkanten. Oppgave En kurve K har parameterframstillingen K = t t + 6 : = t t a) Tegn kurven i et koordinatsstem. b) Finn skjæringspunktene med koordinataksene ved regning. c) Tegn linja l med parameterframstillingen = + t l : = 6 t i det samme koordinatsstemet. d) Undersøk ved regning om punktet (0, 8) ligger på linja l. e) Finn skjæringspunktene mellom K og l ved regning. Oppgave 6 Ved et stortingsvalg fikk Høre 0 % av stemmene. Like etter valget trekker vi tilfeldig 0 velgere. a) Finn sannsnligheten for at ingen av de 0 stemte på Høre. b) Finn sannsnligheten for at nøaktig to av dem stemte på Høre. c) Finn sannsnligheten for at mer enn to av dem stemte på Høre. I en forsamling med 0 personer er det 0 som stemte på Høre. Vi trekker tilfeldig 0 personer fra denne forsamlingen. d) Finn sannsnligheten for at nøaktig to av dem stemte på Høre. e) Finn sannsnligheten for at mer enn to av dem stemte på Høre. f) Finn sannsnligheten for at nøaktig tre av dem stemte på Høre når vi vet at det var mer enn to som stemte på Høre. CAPPELEN Terminprøve T

15 Terminprøve R Høsten 007 DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Oppgave Et polnom P() er gitt ved P ( ) = a) Vis at ( + ) er en faktor i polnomet. b) Løs likningen P() = 0 ved regning. c) Løs ulikheten P() > 0 ved regning. d) Forkort brøken P ( ) 8 Oppgave Figuren viser en sirkel med sentrum i S der de fire punktene A, B, C og D ligger på sirkelperiferien. Linjestkket AC er en diameter i sirkelen, og punktet E er skjæringspunktet mellom AC og BD. Forlengelsen av linjestkkene AB og DC skjærer hverandre i punktet P. Videre er buen AD = 80º og buen BC = 40º. D a) Forklar at ABE er formlik med DCE. b) Finn A og ACD. 80 E C c) Finn buen AB og buen DC uttrkt i grader. d) Finn P. A S B 40 P Oppgave a) ) Vis at summen av tre hele tall som følger etter hverandre, er delelig med. ) Undersøk om summen av fire hele tall som følger etter hverandre, er delelig med 4. b) Vis at denne påstanden er feil. a rasjonalt tall a rasjonalt tall Oppgave 4 I ABC er AB = 6 cm, AC = 0 cm og BC = cm. a) Konstruer trekanten. b) Konstruer den innskrevne sirkelen til ABC. c) Konstruer skjæringspunktet for hødene i trekanten. Hvilken betingelse må vi stille til hjørnevinklene i en trekant hvis skjæringspunktet for hødene skal ligge inne i trekanten? CAPPELEN Terminprøve R

16 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave På en stor videregående skole ble det avholdt heldagsprøve i R. 4 % av dem som deltok på denne prøven, var jenter. % av elevene fikk strkkarakter, og av disse var 40 % jenter. Vi trekker tilfeldig en elev som deltok på heldagsprøven, og innfører disse hendingene: J: Eleven er ei jente G: Eleven er en gutt S: Eleven fikk strkkarakter a) Finn av teksten i innledningen P(J), P(G), P(S), PJS ( ) og PGS ( ). b) Finn PSJ ( ). c) Finn strkprosenten blant guttene. 0 % av guttene og 9 % av jentene fikk fem eller bedre på denne prøven. Vi trekker igjen tilfeldig en elev blant dem som hadde prøven. d) Finn sannsnligheten for at denne eleven fikk fem eller bedre på prøven. Oppgave 6 a) Tegn grafene til funksjonene f og g i det samme koordinatsstemet der f ( ) = ( ) b) Løs grafisk ulikhetene ) f( ) >, g c) Løs ulikheten ved regning. ( ) ( ) Oppgave > 0 ( ) = ( ) ) g ( ) > a) I en stor kasse ligger det mange par med sokker for salg. En fabrikasjonsfeil har ført til at 0 % av alle disse parene har en fargefeil som først kommer til sne ved vasking. Sokkene er derfor satt kraftig ned i pris. Vi kjøper tilfeldig fire par. ) Hva er sannsnligheten for at ingen av parene har denne feilen? ) Hva er sannsnligheten for at to av parene har denne feilen? b) I en tilbudskasse ligger det 8 blå gensere. 6 av genserne har størrelsen L og resten størrelsen M. Vi trekker tilfeldig 4 gensere fra kassen. La X være tallet på gensere med størrelsen M blant de trukne. ) Finn P(X = ). ) Finn PX ( ). ) Fem av genserne i kassen har i tillegg merket Qualit. Hva er sannsnligheten for at en av de trukne genserne har dette merket? CAPPELEN Terminprøve R

17 Oppgave 8 Funksjonen f er gitt ved f( ) = 0 ln (ln ), > 0 a) Regn ut ) f () ) f (e) b) Faktoriser f () mest mulig. c) Finn nullpunktene til f ved regning. d) Tegn grafen til f. e) Løs ulikheten f () > 0 ) grafisk ) ved regning f) En funksjon g er gitt ved ( ) = ( ) + g 0 ln ln c, > 0 Bestem c slik at g får akkurat ett nullpunkt. CAPPELEN Terminprøve R

18 Terminprøve S Høsten 007 DEL : Uten hjelpemidler ( timer) Oppgave a) Regn ut. ) b) Regn ut. ) + + ) ( + ) ( + ) ) ) 0 a a a a a c) Løs likningene. ) ( + 4 ) = 6 ) = 0 d) Løs ulikheten. ( ) 4 + < Oppgave a) Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. ) ( 4) ) (t + ) ) ( )( + ) ( ) b) Faktoriser uttrkkene. ) ) 4ab 0a b ) t 7 c) Regn ut. ) 6 + d) Forkort brøkene. a 6 ) 6 Oppgave ) ) a a a 4 6 a) Ei rett linje l er gitt ved l : + = 8 ) Finn stigningstallet til linja l. ) Tegn linja i et koordinatsstem der ligger mellom og 0 og mellom 6 og 8. b) To linjer l og l er gitt ved l : = l : = 6 Tegn de to linjene i det samme koordinatsstemet som du tegnet l i oppgave a. c) Fargelegg det området i koordinatsstemet fra oppgave b som er bestemt av ulikhetene + < 8, > og > 0 CAPPELEN Terminprøve S

19 DEL : Med hjelpemidler ( timer) Oppgave 4 Teppeprodusenten Re produserer to tper tepper, Ulla og Lina, med ulike kvaliteter. Produsenten har begrensede ressurser når det gjelder arbeidstimer og maskintimer. Til produksjonen av teppetpen Ulla går det med arbeidstimer og til teppetpen Lina arbeidstime. Virksomheten kan ikke bruke mer enn 80 arbeidstimer på teppene per uke. Til produksjonen av teppetpen Ulla går det med maskintimer og til teppetpen Lina maskintimer. Virksomheten kan ikke bruke mer enn 0 maskintimer per uke. Fortjenesten for et teppe av tpen Ulla er 70 kr og for et teppe av tpen Lina 000 kr. Re selger tepper av tpen Ulla og tepper av tpen Lina hver uke. a) Sett opp de ulikhetene som bestemmer det mulige området. b) Tegn det mulige området. c) Finn grafisk det antallet tepper av tpen Ulla og av tpen Lina som optimaliserer fortjenesten. Hva er da fortjenesten? Oppgave a) Løs andregradslikningene ved regning. ) 48 = 0 ) + 0 = 0 ) = 0 b) Løs ulikheten ved regning. < 0 c) Løs likningssettet ved regning. + = 8 = 8 Oppgave 6 Øets tilpasningsevne reduseres med alderen. For bilister betr det at motstandsdktigheten for blending blir gradvis nedsatt etter at sjåføren har flt 8 år. Vi setter øets motstandsdktighet for blending til 00 når en person er 8 år. Denne motstandsdktigheten snker med,6 % per år. a) Finn øets motstandsdktighet for blending for en person som er ) 0 år ) 8 år b) Finn et uttrkk M() for øets motstandsdktighet for blending for en person år etter at han har flt 8 år. c) Finn ved regning alderen på en person når øets motstandsdktighet er 67. d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før øets motstandsdktighet er halvert (halveringstiden). CAPPELEN Terminprøve S

20 Oppgave 7 En familie ønsker å endre kostvanene sine. De får dekket vitaminbehovet sitt gjennom næringsmidlene Kosta og Vita. Tabellen nedenfor viser vitamininnholdet i de to næringsmidlene, minimumsbehovet for vitaminer i milligram (mg) per uke for familien samt kiloprisen for næringsmidlene. Vitamininnholdet i de to næringsmidlene, Kosta Vita Minimum Vitamin A,0 mg/kg, mg/kg, Vitamin B, mg/kg,4 mg/kg Vitamin C 6,0 mg/kg 96,0 mg/kg 864 Pris (kr/kg) 6 40 Familien kjøper kg av Kosta og kg av Vita hver uke. a) Vis at det mulige området er bestemt av ulikhetene +, +, + 9, 0 og b) Tegn det mulige området. c) Finn hvor mange kilogram Kosta og hvor mange kilogram Vita familien må kjøpe for å minimalisere utgiftene. Familien ønsker dessuten minst mulig fett i kosten. Tabellen viser innholdet av fett i gram per kilogram i de to næringsmidlene. Kosta Vita Fettinnhold (g/kg) d) Hvor mange kilogram Kosta og hvor mange kilogram Vita må familien kjøpe og spise per uke for å få dekket vitaminbehovet med minst mulig fett i kosten? e) Hvor me endrer de samlede utgiftene til de to næringsmidlene seg hvis familien foretrekker minimum av fett i kosten framfor å dekke vitamininnholdet på billigste måte? CAPPELEN Terminprøve S

21 Terminprøve MX Høsten 007 Oppgave a) Bruk det du kan om rekker til å finne summen av de ti første leddene i disse uendelige rekkene. ) ) +, +, +, + ) b) Hva vil det si at en uendelig rekke konvergerer? c) Hvilke av rekkene i oppgave a konvergerer? Finn summen hvis rekken konvergerer. d) Bruk enhetssirkelen til å finne eksakte verdier for sin π π π, cos og tan. e) Finn integralene. ) 4π cos( πd ) + ) 4 e d ) 4 + e d Oppgave a) Forklar hva vi mener med nåverdien av et beløp. Gi eksempler på hvordan vi regner ut nåverdier. Anne låner penger i banken og betaler 6 % rente per år. Hun skal betale tilbake lånet med 7 40 kr per år i år. Denne summen kaller vi terminbeløpet. Hun betaler terminbeløpet en gang per år. Det første beløpet skal hun betale om ett år. b) Finn nåverdien av de tre første terminbeløpene. Terminbeløpet er fastsatt slik at summen av nåverdiene av alle de terminbeløpene er lik den summen Anne lånte. c) Hvor me lånte Anne i banken? Rund av til nærmeste 0 kr. d) Hva ville terminbeløpet ha blitt hvis hun måtte betale 7 % rente per år? Oppgave Tabellen nedenfor gir en oversikt over tidevannet i Tromsø. september 007. Tabellen viser høden h() målt i centimeter over nullnivået på sjøkartene timer etter midnatt h() (cm) a) Plasser punktene i et koordinatsstem og tegn en glatt kurve gjennom punktene. Hvilken kurvetpe ser dette ut til å være? b) Bruk grafen til å finne det funksjonsuttrkket du tror passer best. c) Bruk lommeregneren og finn det funksjonsuttrkket som passer best. d) Klokka var tidevannet 6 cm over nullnivået. Hvordan passer det med modellen fra oppgave c? CAPPELEN Terminprøve MX

22 Oppgave 4 På innsiden av en stor ø kommer det to tidevannsbølger, en fra sør og en fra nord. På et sted her måler vi vannstanden ved hjelp av en målepinne. Den gjennomsnittlige vannstanden på denne målepinnen er 0 cm. Etter timer har bølgen som kommer fra sør, en bølgehøde på 90 sin(0,) målt i centimeter. Hvis dette var den eneste tidevannsbølgen, ville vannstanden på stedet det neste døgnet ha vært gitt ved f () = 90 sin(0,) + 0, [0, 4] a) Finn amplituden, likevektslinja og perioden til f. b) Tegn grafen til f i et koordinatsstem. Tidevannsbølga fra nord har en bølgehøde på 0 cos(0,) målt i centimeter. Samlet vannstand er dermed gitt ved g() = 90 sin(0,) + 0 cos(0,) + 0, [0, 4] c) Vis at funksjonsuttrkket kan skrives som g() = 0 sin(0, + 0,9) + 0, [0, 4] d) Tegn grafen til g sammen med grafen til f. e) Finn ved regning når vannstanden er på sitt høeste. Hvor hø er vannstanden da? f) Finn ved regning når vannstanden er på sitt laveste. Hva er vannstanden da? g) Finn ved regning når vannstanden er 00 cm. Oppgave a) Vis ved integrasjon at ) e d = ( + ) e + C ) 4e d = ( + + ) e + C En funksjon f er gitt ved f() = e b) Tegn grafen til f. c) Et flatestkke F er avgrenset av -aksen, grafen til f og linja =. Finn arealet av F. d) Flatestkket F blir rotert 60 om -aksen. Finn volumet av den gjenstanden vi da får fram. e) Et flatestkke er avgrenset av -aksen, grafen til f og linja = a. Vi dreier flatestkket 60 om -aksen. Finn tallet a når volumet av denne gjenstanden er π. CAPPELEN Terminprøve MX

23 Terminprøve MZ Høsten 007 Oppgave a) Faktoriser uttrkkene. ) 4 9 ) 9 + ) b) Løs ulikhetene ved regning. 7 ) > + ) 0 4 c) Løs likningene ved regning. ) + 7 = + ) d) Løs likningene ved regning ) = + + ) ln = 0 ) ln ln = 0 ) (ln ) ln = 0 Oppgave a) Bruk Euklidalgoritmen til å finne største felles divisor for tallene 6 og 8. b) Finn minste felles multiplum for tallene 6 og 8. c) Odd Grenland kjøper dvd-er til fotballklubben sin. Han velger mellom plater som koster 6 kr og 8 kr. Når han kommer hjem, husker ikke Odd om det var 8 kr eller 8 kr han handlet for. Bruk det du kan om diofantiske likninger til å finne ut om han handlet for 8 kr eller for 8 kr. d) Finn ved regning hvor mange plater av hver tpe Odd kan ha kjøpt. Oppgave En funksjon f er gitt ved f() = + + a) Tegn grafen til f. b) Finn f ( ) og f ( ). c) Finn topp- og bunnpunktet til f ved regning. d) Finn vekstfarten til funksjonen i punktet =. e) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet (, 9). f) Finn vendepunktet på grafen ved regning. CAPPELEN Terminprøve MZ

24 Oppgave 4 Odd Grenland frøs under en fotballkamp og ble sk. Etter døgn var feberen i celsiusgrader gitt ved f( ) = 7 + e a) Finn feberen til Odd etter døgn. b) Tegn grafen til f. La -aksen gå fra C til 40 C. c) Vis at f ( ) = ( ) e d) Finn f ( ). e) Finn ved regning når Odd har høest feber. Hvor hø er feberen da? f) Når avtar feberen raskest? Hvor raskt er feberen i ferd med å snke da? Oppgave Fortell hva du vet om utviklingen av koding og dekoding av hemmelige meldinger fram til vår tid. CAPPELEN Terminprøve MZ

25 FASIT Sinus P Oppgave a) ) ) b) ) ) 6 c) ) = ) = d) Petter 40 kr og Anne 70 kr Oppgave a) =,. Ettersom 08 ikke går opp i 60, kan vi ikke få dekket flaten. b) º + 90º = 60º. Ettersom summen av vinklene fra to åttekanter og en firkant blir 60, så ser vi at mønsteret kan settes sammen og flle en flate. Oppgave c) Froskeperspektiv Oppgave 4 a) 0 s b) ) 60 km/h ) km/h c) Etter s d) ) t = 90 v e) 7 m = 0,7 km ) Etter 7 s Oppgave a) Kommunevalget A H V SV Valget i 007. Prosentdelen stemmer (%) 9,7 9,,8 6, Valget i 00. Prosentdelen stemmer (%) 7, 8,,8, Endring fra 00 +8,0 % +6, % +,6 % 0,4 % Endring i prosentpoeng fra 00 +, +, +,0 6, b),6 millioner CAPPELEN Fasit

26 Oppgave 6 a) ) b/ = 0,7 for alle samsvarende verdier for og b. ) 0,7 l/mil. Bensinforbruket per mil ) 6, liter, 9 mil b) ) = 40 for alle samsvarende verdier for og. ) 40 kr ) 40 kr Oppgave 7 a) = b) = 6 c) 6 Oppgave 8 a) C = 7, B = 6 b) BC =,4 cm, DF = 4, cm Oppgave 9 a) liter b) 0,7 liter Sinus T Oppgave a) ) ) b) ) 4 ) c) ) ) 6 a d) ) + 6 ) 4 e) ) = ) = Oppgave a) = og = b) Tallene er og 6. CAPPELEN Fasit

27 Oppgave a) km/h v t s b) Etter s 90 v c) ) t = d) 7 m ) Etter 7 s Oppgave 4 a) b) (,,7) c) = eller =,7 d) V f = [ 7,, CAPPELEN Fasit

28 Oppgave b) cm MHz c) 000 MHz Oppgave 6 a) ) 9 ) a b) ) ) Oppgave 7 a) b) Funksjonen er definert for alle fordi nevneren ikke kan bli lik null. c) = 0 d) =, = og = Oppgave 8 a) ) 00 ) 0 b) år c) år CAPPELEN Fasit

29 Sinus P Oppgave a) ) ) b) ) 70 ) 0,00 ) c) ), 0 4 ),46 0 d) ) = 0 e) ),07 ) 0,88 9 ) a ) =, 0 8 Oppgave a) ) ) 0 ) 4 b) 00 c) ) 46 ) 7 d) ) 6 ) EB Oppgave a) elever b) Karakter Frekvens c) 4 d) e) Frekvens 4 Karakter 6 Oppgave 4 a) B b) V() =,0,0 CAPPELEN Fasit

30 Oppgave a) 40 kr, 60 kr b) 660 kr, 6 kr c) 00 kr, 0 kr Oppgave 6 a) ) ) 4, ) 4 4) Nedre kvartil:, øvre kvartil: 48, kvartilbredden: 6 ) 4, b) ) 00 ) 9, ) I et klassedelt materiale er som oftest ikke alle observasjonsverdiene jevnt fordelt. 4) 7,0 6,0,0 4,0,0,0, SMS Oppgave 7 a) ),9 mill. kr ),6 mill. kr b) V( ) = 4, 08, c) 6 % (,7) d), mill. kr e) mill. kr år V f) 9 år Oppgave 8 a) 6,6 % b),7 % c) 9, % d) 9,0 % e) Island, % Finland, % Norge 9 % Danmark,9 % Sverige 6,4 % CAPPELEN Fasit

31 Sinus T Oppgave a) a + b b a b b a a a b b a b) b b a a + b a a b a b c) c b a d) b d a a b Oppgave a) AB = [8, 6], BC = [, ] og AC = [, 4] b) 0, og d) D(, ) Oppgave a) m 4 4 l b) (0, ) og ( ) c) m = + t :, 0 = + t d) (, ) CAPPELEN Fasit

32 Oppgave 4 a) AB = [8, 4], BC = [, 6], CD = [ 6, ] og AD = [, ] c) AB = 80 8,9, BC = 4 6,7, CD = 4 6,7 og AD = 0 7, d) 0 e) A = 7,6 f) B = 90 g) 0 Oppgave a) og c) b) (0, 0), (0, ) og (6, 0) d) (0, 8) ligger på linja l. e) (, 8) og (6, 0) Oppgave 6 a) 0,07 b) 0,0 c) 0, d) 0,7 e) 0,4 f) 0,69 Sinus R Oppgave a) P( ) = 0 b) =, = eller = c) < < eller > d) Oppgave b) A = 0 og ACD = 40 c) Buen AB = 40 og buen DC = 00 d) P = CAPPELEN Fasit

33 Oppgave a) ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) Ikke delelig med 4. b) Velg for eksempel a =. Da er a rasjonal, men a er irrasjonal. Oppgave 4 c) Ingen av vinklene i trekanten må være større eller lik 90. Oppgave a) PJ ( ) = 04,, PG ( ) = 0,, PS ( ) = 0,, PJS ( ) = 040, og PGS ( ) = 060, b) 0, c), % d) 0,4 Oppgave 6 a) g 4 f 4 4 b) ) > ) < c) < < Oppgave 7 a) ) 0,4 ) 0, b) ) 0,9 ) 0,9 ) 0,4 Oppgave 8 a) ) 0 ) b) f( ) = ln ( ln ) c) = og = e CAPPELEN Fasit

34 d) e) ) < < 7, 4 ) f) c = < < e Sinus S Oppgave a) ) ) 7 ) a b) ) ) c) ) = ) = d) > Oppgave a) ) ) 4t + t + 9 ) b) ) 4( + ) ) ab(b a) ) (t )(t + ) c) ) + ) a d) ) a ) + 4 Oppgave a) ) a) ), b) og c) CAPPELEN Fasit l l l

35 Oppgave 4 a) + 80, + 0, 0 og 0 b) c) 0 tepper av tpen Ulla og 0 tepper av tpen Lina. Fortjenesten er da 7 00 kr. Oppgave a) ) = 4 eller = 4 ) = 0 eller = 4 b) < < c) = og = eller = 4 og = 8 ) = eller = Oppgave 6 a) ) 89, ) 0,0 b) M( ) = 00 0, 944 c) ca. år d) år Oppgave 7 b) c) 6 kg Kosta og 6 kg Vita d) 8 kg Kosta og 6 kg Vita e) kr CAPPELEN Fasit

36 Sinus MX Oppgave a) ) 069 ) 4, ) 046 b) Summen nærmer seg et bestemt tall når antallet ledd går mot uendelig. c) Det er bare rekke som konvergerer. Den har summen 048. d) sin π π π =, cos = og tan = e) ) sin(π) + C ) e + + C ) ( ) + e + C Oppgave b) kr, 04 4 kr og 98 kr c) kr d) 8 76 kr Oppgave a) cm c) h() = 09 sin (0, 0,07) + 64 d) Modellen gir 60 cm. Det passer bra. Oppgave 4 a) Amplitude er 90, likevektslinje = 0 og periode h min b) og d) cm g f e) Vannstanden er på sitt høeste kl..4 og kl..9. Vannstanden er da 00 cm. f) Vannstanden er på sitt laveste kl. 7.6 og kl. 9.. Vannstanden er da 0 cm. g) Vannstanden er 00 cm kl..6, kl. 0.7, kl..4 og kl..0. CAPPELEN Fasit

37 Oppgave b),0 0,8 0,6 0,4 0, 4 c) d) π 4 e 0,8 π e e) a =,7,0 Sinus MZ Oppgave a) ) ( + )( ) ) ( )( + 4) ) ( + ) b) ) < ) < ) 4 c) ) = ) = d) ) = e ) = e ) = e eller = e Oppgave a) 4 b) 68 c) 8 d) Enten plater til 6 kr og 8 plater til 8 kr eller plater til 6 kr og 9 til 8 kr eller 8 plater til 6 kr og ingen til 8 kr. Oppgave a) f b) f ( ) = f ( ) = + 6 CAPPELEN Fasit

38 c) Toppunkt (, 0) Bunnpunkt (, 7) d) 4 e) = f) Vendepunkt, Oppgave 4 a) 8,4 C ( ) b) d) f ( ) = ( 0)e e) Feberen er høest etter døgn. Den er da 8,8 C. f) Etter døgn. Den er da i ferd med å snke 0,68 grader per døgn. ISBN: OFF