Dynamisk Analyse av vannkraftverk

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Dynamisk Analyse av vannkraftverk"

Transkript

1 Dynamisk Analyse av vannkraftverk Remi Andre Stople Master i produktutvikling og produksjon Innlevert: Juni 2012 Hovedveileder: Torbjørn Kristian Nielsen, EPT Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for energi- og prosessteknikk

2

3

4

5 Forord

6

7 Sammendrag

8 Abstract

9 Figurer FIGUR 1 - OVERSIKT OVER KRAFTVERK OG RØRGATER I TILKNYTNING TIL FRØLAND KRAFTVERK (1)... 1 FIGUR 2 - FORENKLET KRAFTVERKGEOMETRI FOR OVERSLAGSBEREGNINGER FIGUR 3 FORENKLET BLOKKDIAGRAM FOR ET VANNKRAFTSYSTEM FIGUR 4 - BODE-DIAGRAM FIGUR 5 - KARAKTERISTIKKLINJER I XT-PLAN (8) FIGUR 6 - GITTER FOR NUMERISK BEREGNING, ENKELT (TH) OG FORSKJØVET (TV) FIGUR 7 - GRENSER FOR BEREGNINGSLENGDE (8) FIGUR 8 - LENGDEPROFIL NYE FRØLAND KRAFTVERK FIGUR 9 - LENGDER, NYE FRØLAND FIGUR 10 - PRINSIPPSKISSE SVINGEKAMMER NYE FRØLAND KRAFTVERK FIGUR 11 - LENGDEPROFIL ALDAL KRAFTVERK FIGUR 12 - LENGDER ALDAL FIGUR 13 - PRINSIPPSKISSE SVINGEKAMMER ALDAL KRAFTVERK FIGUR 14 - DEFINISJON AV KRAFTVERKGEOMETRIER OG KONFIGURASJONER FIGUR 15 - SJAKTSVINGNINGER HRV OG LRV, OPPRINNELIG GEOMETRI, NYE FRØLAND FIGUR 16 - BODE-DIAGRAM OG LAST/TURTALL-FORHOLD, NYE FRØLAND, OPPRINNELIG GEOMETRI FIGUR 17 - FORESLÅTT GEOMETRI PÅ SVINGEKAMMER, NYE FRØLAND FIGUR 18 - SJAKTSVINGNINGER HRV OG LRV, NY GEOMETRI, NYE FRØLAND FIGUR 19 - TRYKKSTØT MED STÅENDE SVINGNING FIGUR 20 - BODE-DIAGRAM OG LAST/TURTALL-FORHOLD, NYE FRØLAND, FORESLÅTT GEOMETRI FIGUR 21 - PÅDRAG + AVSLAG FOR HRV OG LRV, OPPRINNELIG GEOMETRI, ØVRE SVINGEKAMMER FIGUR 22 PÅDRAG+ AVSLAG FOR HRV, OPPRINNELIG GEOMETRI, NEDRE SVINGEKAMMER FIGUR 23 - BODE-DIAGRAM OG LAST/TURTALL-FORHOLD, ALDAL, OPPRINNELIG GEOMETRI FIGUR 24 - PRINSIPPSKISSE NYTT SVINGEKAMMER, ALDAL FIGUR 25 - PÅDRAG MED PÅFØLGENDE AVSLAG FOR HRV OG LRV, GEOMETRI I, ØVRE SVINGEKAMMER FIGUR 26 - PÅDRAG MED PÅFØLGENDE AVSLAG FOR HRV OG LRV, GEOMETRI I, NEDRE SVINGEKAMMER FIGUR 27 - BODE-DIAGRAM OG TURTALL/LAST-FORHOLD, ALDAL, FORESLÅTT GEOMETRI FIGUR 28 - SAMMENLIGNING FRIKSJONSINNVIRKNING, SVINGNINGER FIGUR 29 - SAMMENLIGNING FRIKSJONSINNVIRKNING, TRYKKSTØT FIGUR 30 - SAMMENLIGNING FRIKSJONSMODELLER, SVINGNINGER FIGUR 31 - SAMMENLIGNING FRIKSJONSMODELLER, TRYKKSTØT FIGUR 32 - STÅENDE SVINGNING ETTER LUKKING (5) FIGUR 33 - SAMMENLIGNING AV TIDSFORLØP ELASTISK OG UELASTISK PROGRAM, ØVRE SVINGESJAKT FIGUR 34 - SAMMENLIGNING AV TIDSFORLØP ELASTISK OG UELASTISK PROGRAM, NEDRE SVINGESJAKT... 66

10 Tabeller TABELL 1 - DIMENSJONERINGSKRITERIER SVINGESJAKT OG TRYKKSTØT TABELL 2 KRAV VED FREKVENSANALYSE TABELL 3 - TUNNELDATA NYE FRØLAND KRAFTVERK TABELL 4 - KRAFTVERKSDATA NYE FRØLAND KRAFTVERK TABELL 5 - TUNNELDATA ALDAL KRAFTVERK TABELL 6 - KRAFTVERKSDATA ALDAL KRAFTVERK TABELL 7 - RESULTATER AV OVERSLAGSBEREGNINGER NYE FRØLAND KRAFTVERK TABELL 8 -SIMULERINGSRESULTATER SLUKEEVNE NYE FRØLAND, OPPRINNELIG GEOMETRI, TL=7S TABELL 9 - RESULTATER FRA AVSLAGSSIMULERING NYE FRØLAND, VOLUMSTRØM LIK SLUKEEVNE TABELL 10 - TURBINPARAMETERE, NYE FRØLAND TABELL 11 - SIMULERINGSRESULTATER SLUKEEVNE NYE FRØLAND, NY GEOMETRI, TL=7S TABELL 12 - RESULTATER FRA AVSLAGSSIMULERING NYE FRØLAND, FORESLÅTT GEOMETRI TABELL 13 - TOTAL TRYKKØKNING FORAN TURBIN, NYE FRØLAND, FORESLÅTT GEOMETRI TABELL 14 - RESULTATER AV OVERSLAGSBEREGNINGER ALDAL KRAFTVERK TABELL 15 SIMULERINGSRESULTATER Q=35, TL=7S, OPPRINNELIG GEOMETRI ØVRE SVINGEKAMMER TABELL 16 - SIMULERINGSRESULTATER Q=35, TL=7S, OPPRINNELIG GEOMETRI NEDRE SVINGEKAMMER TABELL 17 - RESULTATER FRA AVSLAGSSIMULERING ALDAL KRAFTVERK, VOLUMSTRØM LIK SLUKEEVNE TABELL 18 - TURBINPARAMETERE, ALDAL TABELL 19 - SIMULERINGSRESULTATER ALDAL, FORESLÅTT GEOMETRI I, TL=9S, ØVRE SVINGEKAMMER TABELL 20 - SIMULERINGSRESULTATER ALDAL, FORESLÅTT GEOMETRI I, TL=9S, NEDRE SVINGEKAMMER TABELL 21 - RESULTATER FRA AVSLAGSSIMULERING ALDAL KRAFTVERK, VOLUMSTRØM LIK SLUKEEVNE TABELL 22 - SAMMENLIGNING MED OVERSLAGSFORMLER, TL= TABELL 23 - SAMMENLIGNING MED UELASTISK PROGRAM... 64

11 Nomenklatur Gresk alfabet Nedsenket skrift

12

13 Innhold FORORD... I SAMMENDRAG... III ABSTRACT... IV FIGURER... V TABELLER... VI NOMENKLATUR... VII INNHOLD... IX 1. INTRODUKSJON MÅLSETNING OPPBYGNING AV OPPGAVEN TIDLIGERE ARBEID BESKRIVELSE AV ALTERNATIVENE GAMLE FRØLAND KRAFTVERK NYTT FRØLAND KRAFTVERK ALDAL KRAFTVERK DET GENERELLE LIGNINGSSYSTEMET TUNELLER OG RØR IKKE-STASJONÆRT TAP I RØR SVINGESJAKT TURBIN OG GENERATOR REGULATOR DIMENSJONERINGSKRITERIER SJAKTSVINGNINGER OG TRYKKSTØT STABILITET OVERSLAGSBEREGNINGER SVINGESJAKT TRYKKØKNING FORAN TURBINEN STABILITET REGULERINGSSTABILITET SIMULERINGSMETODER I TIDSPLANET UELASTISK VANNSØYLETEORI KARAKTERISTIKKMETODEN Utledning av ligningssett Nodegitter Grensebetingelser for karakteristikkmetoden EULERS METODE FRIKSJONSMODELLER... 27

14 9.1. TRADISJONELL FRIKSJONSMODELL KVASI-STASJONÆR FRIKSJONSFAKTOR LOKAL REYNOLDS BALANSEMODELL DETALJERT BESKRIVELSE AV VANNVEI OG TURBIN NYTT FRØLAND KRAFTVERK Vannvei Turbin og generator ALDAL KRAFTVERK Vannvei Turbin og generator SIMULERINGSPROGRAMMER UELASTISK SIMULERING AV OPP- OG NEDSVING I SJAKTER ELASTISK SIMULERING Turbin Svingesjakter Valg av tapsmodell Plotting og lagring av resultater Definisjon av tunneler Kjøring av programmet SIMULERING AV REGULERINGSSTABILITET RESULTATER OG DISKUSJON NYE FRØLAND KRAFTVERK Dynamiske overslagsberegninger Opprinnelig geometri Foreslått geometri ALDAL KRAFTVERK Dynamiske overslagsberegninger Opprinnelig geometri Foreslått geometri SAMMENLIGNING AV FRIKSJONSMODELLER RESULTATENES GYLDIGHET Verifisering av programvare Begrensninger i bruk av resultatene KONKLUSJON NYE FRØLAND KRAFTVERK ALDAL KRAFTVERK PROGRAMVARE OG FRIKSJONSMODELL FORSLAG TIL FORBEDRINGER NYE FRØLAND KRAFTVERK ALDAL KRAFTVERK VIDERE ARBEID REFERANSER VEDLEGG... 74

15 1. Introduksjon Figur 1 - Oversikt over kraftverk og rørgater i tilknytning til Frøland kraftverk (1) 1.1. Målsetning

16 1.2. Oppbygning av oppgaven

17 2. Tidligere arbeid

18

19 3. Beskrivelse av alternativene 3.1. Gamle Frøland kraftverk 3.2. Nytt Frøland kraftverk 3.3. Aldal kraftverk

20

21 4. Det generelle ligningssystemet 4.1. Tuneller og rør 2 δh a δv + = 0 δt g δx 1 a = 1 d + K TE ρ δh δv vv g + + λ = 0 δx δt 2D 4.2. Ikke-stasjonært tap i rør

22 Δ h= kq Q 4.3. Svingesjakt Q1 = Q2 + QS S S Q dz = A dt dz dt Q S = AS

23 4.4. Turbin og generator h N dω P = Jω + P + tap dt h N dω Jω = P P tap dt 4.5. Regulator då dn K = + dt dt T P K P ( nref n) d

24

25 5. Dimensjoneringskriterier 5.1. Sjaktsvingninger og trykkstøt

26 Tabell 1 - Dimensjoneringskriterier svingesjakt og trykkstøt Dimensjonert størrelse Kriterie Driftspunkt 5.2. Stabilitet Tabell 2 Krav ved frekvensanalyse Målt størrelse Krav

27 6. Overslagsberegninger 6.1. Svingesjakt Figur 2 - Forenklet kraftverkgeometri for overslagsberegninger 1 1 L dq = H 0 Z 1 kq 1 1 Q 1 ga dt 1 L dq = Z Z H Q k Q Q n ga2 dt κqn L ga dq dt = Z H k Q Q 2 U s1 1 2 s s1 1 2 Q = Q Q Q = Q Q dz Q Q Q = = dt A A s1 s1

28 2 s2 2 3 dz Q Q Q = = dt A A s2 s2 L/ AT Δ z=±δq ga s L/ AT 1 Δ zoppsving =Δ Q + hf ga 3 s L/ AT 1 0 Δ znedsving =ΔQ hf ga 9 s ω = g A L/ A s T T 2π = ω 6.2. Trykkøkning foran turbinen aδc Δ h = g

29 T R 2L = a aδc TR ΔQ L Δ h = = 2 g T T ga L L ΔQ L Δ h = T ga L 6.3. Stabilitet T W = Q L gh A T a J ω J ( π n ) = = 2 P0 30 ρ gq0h0η 0

30 A th 2 5/3 M A = H 0

31 7. Reguleringsstabilitet Figur 3 Forenklet blokkdiagram for et vannkraftsystem A A A.

32 Figur 4 - Bode-diagram T d = 6 T W TW bt = 2,6 T a T T d n K = 3 T W = 0,5 T P W T = 1, 5 T W a

33 8. Simuleringsmetoder i tidsplanet 8.1. Uelastisk vannsøyleteori 8.2. Karakteristikkmetoden Utledning av ligningssett 1 f L = ghx + Vt + V V 2D 2 a L2 = Ht + Vx g g a fv V L= L + L = H + H + V + V + = λ g 2D 2 1 λ 2 λ x t xλ t 0

34 gdh dv fv V + + = 0 + C a dt dt 2D dx =+ a dt gdh dv fv V + + = 0 C a dt dt 2D dx = a dt Figur 5 - Karakteristikklinjer i xt-plan (8) + C : HP = H A B( QP QA) RQP QA = 0 C : H = H + B( Q Q ) + RQ Q = 0 P B P B P B a B = ga 2 f Δx R = 2gDA C + : Hi = CP BPQi C : Hi = CM + BMQi CB + C B P M M P Hi = BP + BM

35 P M Qi = B P + B M C C CP Hi 1 BQi 1 BP B R Qi 1 = + = + CM Hi+ 1 BQi+ 1 BM B R Qi+ 1 = = Nodegitter i-1 i+1i i i-1i+1 Figur 6 - Gitter for numerisk beregning, enkelt (th) og forskjøvet (tv) Grensebetingelser for karakteristikkmetoden

36 Figur 7 - Grenser for beregningslengde (8) Øvre reservoar H 1 = H R H1 C Q1 = B M M Nedre reservoar H Q N N = H C = P U H B P U Turbin Q Δ Q= ΔH 0 H τ 0

37 t 2 2 Q C ( B B ) C ( B B ) 2C ( C C ) Δ = i V P1 M2 V P1 M2 V P1 M2 t 2 2 Q C ( B B ) C ( B B ) 2C ( C C ) Δ = + + i V P1 M2 V P1 M2 V P1 M2 C V ( Q τ ) 2 0 = 2H 0 Knutepunkt mellom flere rørgater H = C + B Q t i n n n C n = CP C + BP B B B P M M M B n = B B P M

38 Svingesjakt H = Z() t ΔQ = + Δ A ( Z) t t 1 Z() t Z t sjakt 8.3. Eulers metode L1 dq1 H 0 Z 1 kq 1 1 Q 1 1 dt ga = dq dt ga = ( H0 Z1 kq 1 1 Q1 ) L 1 1 dtdq 1 ga1 Δ Q1 = ( H0 Z1 kq 1 1 Q1 ) Δt L 1 1

39 ( ) Δ Q = H Z kq Q Δt t t 1 t 1 t 1 ga L1

40

41 9. Friksjonsmodeller 9.1. Tradisjonell friksjonsmodell 2 L V hf = f D 2 g H h f 2 Q = f 8 2 ga RH 1 6,9 ε / D = 1,8 log + f Re d 3,7 1,11 1 = 6,9 ε / D 1, 8 log + Re d 3,7 f 2 1,11 Re d ρ VD ρ QD H H = = μ Aμ

42 h 2/3 1/2 2/3 f = H = H Q M A R I M A R L 1/2 h f 2 Q = M AR 2 2 4/3 H h f 2 2 = Q Q f M AR = 8gAR 2 2 4/3 2 H H ε D 1 8g 1,11 1,8 2 1/3 M R 6,9 H = 3, 7 10 Re

43 9.2. Kvasi-stasjonær friksjonsfaktor t ρ Qn DH Re d ( tn, ) = Aμ f 64 = Re ( tn, ) d 9.3. Lokal Reynolds balansemodell P i 1 i 1 i M i+ 1 i+ 1 i C = H + BQ gj C = H BQ + gj

44 dj 1 K V = J + JS dt Θ g t t t 1 dj t 1 1 K t t 1 t 1 t J = J + Δ t = J + Q Q J + JS Δt dt Θ Ag ( ) J S 2 Q Δx = fs garh

45 10. Detaljert beskrivelse av vannvei og turbin Nytt Frøland kraftverk Vannvei Figur 8 - Lengdeprofil Nye Frøland Kraftverk

46

47 Tabell 3 - Tunneldata Nye Frøland Kraftverk Figur 9 - Lengder, Nye Frøland Figur 10 - Prinsippskisse svingekammer Nye Frøland Kraftverk

48 Turbin og generator Tabell 4 - Kraftverksdata Nye Frøland Kraftverk Aldal kraftverk Vannvei Figur 11 - Lengdeprofil Aldal Kraftverk

49 Tabell 5 - Tunneldata Aldal Kraftverk Figur 12 - Lengder Aldal

50 Figur 13 - Prinsippskisse svingekammer Aldal Kraftverk Turbin og generator Tabell 6 - Kraftverksdata Aldal Kraftverk

51

52 11. Simuleringsprogrammer Uelastisk simulering av opp- og nedsving i sjakter Elastisk simulering

53 Figur 14 - Definisjon av kraftverkgeometrier og konfigurasjoner Turbin Svingesjakter Valg av tapsmodell

54 Plotting og lagring av resultater Definisjon av tunneler R H A = P Kjøring av programmet Simulering av reguleringsstabilitet

55

56 12. Resultater og diskusjon Nye Frøland Kraftverk Dynamiske overslagsberegninger Tabell 7 - Resultater av overslagsberegninger Nye Frøland Kraftverk Tl = 7/8/9 sekunder Opprinnelig geometri Elastisk simulering av svingekammer

57 Tabell 8 -Simuleringsresultater slukeevne Nye Frøland, opprinnelig geometri, Tl=7s Scenario Øvre Nedre vannstand vannstand 202,9 m 149 m Figur 15 - Sjaktsvingninger HRV og LRV, opprinnelig geometri, Nye Frøland Elastisk simulering av retardasjonstrykk

58 Tabell 9 - Resultater fra avslagssimulering Nye Frøland, volumstrøm lik slukeevne Tl = 7s Tl = 8s Tl = 9s 29,1 % 25,3 % 23 % Reguleringsstabilitet Tabell 10 - Turbinparametere, Nye Frøland Td = 7,5 b = 0,546 t

59 Figur 16 - Bode-diagram og last/turtall-forhold, Nye Frøland, opprinnelig geometri Foreslått geometri Elastisk simulering av svingekammer

60 Figur 17 - Foreslått geometri på svingekammer, Nye Frøland Tabell 11 - Simuleringsresultater slukeevne Nye Frøland, ny geometri, Tl=7s Scenario Øvre Nedre vannstand vannstand 213 m 169,5m

61 Figur 18 - Sjaktsvingninger HRV og LRV, ny geometri, Nye Frøland Elastisk simulering av retardasjonstrykk Tabell 12 - Resultater fra avslagssimulering Nye Frøland, foreslått geometri Tl = 7s Tl = 8s Tl = 9s

62 14,3 % 13,8 % 13,2 % Figur 19 - Trykkstøt med stående svingning Tabell 13 - Total trykkøkning foran turbin, Nye Frøland, foreslått geometri Tl = 7s Tl = 8s Tl = 9s 14,3 % 14,3 % 14,3 % Reguleringsstabilitet

63 Figur 20 - Bode-diagram og last/turtall-forhold, Nye Frøland, foreslått geometri Aldal Kraftverk Dynamiske overslagsberegninger

64

65 Tabell 14 - Resultater av overslagsberegninger Aldal Kraftverk Tl = 7/8/9 sekunder Opprinnelig geometri Elastisk simulering av svingekammer

66

67 Tabell 15 Simuleringsresultater Q=35, Tl=7s, opprinnelig geometri øvre svingekammer Scenario Øvre vannstand Nedre vannstand 207,8 m 173 m Tabell 16 - Simuleringsresultater Q=35, Tl=7s, opprinnelig geometri nedre svingekammer Scenario Øvre Nedre vannstand vannstand 2,8 m -2,9 m Figur 21 - Pådrag + avslag for HRV og LRV, opprinnelig geometri, øvre svingekammer

68 Figur 22 Pådrag+ avslag for HRV, opprinnelig geometri, nedre svingekammer Elastisk simulering av retardasjonstrykk Tabell 17 - Resultater fra avslagssimulering Aldal Kraftverk, volumstrøm lik slukeevne Tl = 7s Tl = 8s Tl = 9s 25,5 % 22,8 % 20,3 %

69 Reguleringsstabilitet Tabell 18 - Turbinparametere, Aldal Td = 10, 2 b = 0,711 t

70 Figur 23 - Bode-diagram og last/turtall-forhold, Aldal, opprinnelig geometri Foreslått geometri Elastisk simulering av svingekammer

71 188 Ø m 178 Figur 24 - Prinsippskisse nytt svingekammer, Aldal Tabell 19 - Simuleringsresultater Aldal, foreslått geometri I, Tl=9s, øvre svingekammer Scenario Øvre vannstand Nedre vannstand 237,8 m 179 m Tabell 20 - Simuleringsresultater Aldal, foreslått geometri I, Tl=9s, nedre svingekammer Scenario Øvre vannstand Nedre vannstand 2,9 m -2,9 m

72 Figur 25 - Pådrag med påfølgende avslag for HRV og LRV, geometri I, øvre svingekammer Figur 26 - Pådrag med påfølgende avslag for HRV og LRV, geometri I, nedre svingekammer

73 Elastisk simulering av retardasjonstrykk Tabell 21 - Resultater fra avslagssimulering Aldal Kraftverk, volumstrøm lik slukeevne Tl = 9s Tl = 10s Tl = 11s 22,2 % 19,6 % 17,8 % Reguleringsstabilitet

74 Figur 27 - Bode-diagram og turtall/last-forhold, Aldal, foreslått geometri Sammenligning av friksjonsmodeller

75 Figur 28 - Sammenligning friksjonsinnvirkning, svingninger Figur 29 - Sammenligning friksjonsinnvirkning, trykkstøt

76 Figur 30 - Sammenligning friksjonsmodeller, svingninger Figur 31 - Sammenligning friksjonsmodeller, trykkstøt

77 Figur 32 - Stående svingning etter lukking (5)

78 12.4. Resultatenes gyldighet Verifisering av programvare Tabell 22 - Sammenligning med overslagsformler, Tl=7 Elastisk Differanse Overslag program Abs % Tabell 23 - Sammenligning med uelastisk program Uelastisk Elastisk Differanse program program Abs %

79 Figur 33 - Sammenligning av tidsforløp elastisk og uelastisk program, øvre svingesjakt

80 Figur 34 - Sammenligning av tidsforløp elastisk og uelastisk program, nedre svingesjakt

81 Begrensninger i bruk av resultatene

82 13. Konklusjon Nye Frøland Kraftverk Aldal Kraftverk

83 13.3. Programvare og friksjonsmodell

84 14. Forslag til forbedringer Nye Frøland Kraftverk Aldal Kraftverk

85

86 15. Videre arbeid

87 16. Referanser

88 Vedlegg VEDLEGG 1 BEVIS FOR IMPLEMENTERING AV LRB-FRIKSJONSMODELL... V-1 VEDLEGG 2 UNDERLAG FRA BKK... V-2 VEDLEGG 3 TUNNEL- OG KARTUNDERLAG... V-25 VEDLEGG 4 BEREGNING AV TURBINENS HOVEDDIMENSJONER... V-32 VEDLEGG 5 SKISSE AV KRAFTSTASJON... V-36 VEDLEGG 6 OVERSLAGSBEREGNINGER... V-37 VEDLEGG 7 SIMULERINGSRESULTATER NYE FRØLAND... V-40 VEDLEGG 8 SIMULERINGSRESULTATER ALDAL... V-54

89 Bevis for implementering av LRB-friksjonsmodell Tapsleddet i karakteristikkmetoden og LRB har samme fortegn. Dermed kan Cp og Cm settes inn i C+ og C ligningene for å vise at de er korrekte. C + : H = C B Q = H + BQ gj ( B+ R Q ) Q i P P i i 1 i 1 i 1 i H + BQ gj BQ R Q Q i 1 i 1 i i 1 i H B( Q Q ) R Q Q gj i 1 i i 1 i 1 i H B( Q Q ) R Q Q gj A P A A P C : H = C B Q = H BQ + gj + ( B+ R Q ) Q i M M i i+ 1 i+ 1 i+ 1 i H BQ + gj + BQ + R Q Q i+ 1 i+ 1 i i+ 1 i H + B( Q Q ) + R Q Q + gj i+ 1 i i+ 1 i+ 1 i H + B( Q Q ) + R Q Q + gj B P B B P V-1

90 V-2

91 V-3

92 V-4

93 V-5

94 V-6

95 V-7

96 V-8

97 V-9

98 V-10

99 V-11

100 V-12

101 V-13

102 V-14

103 V-15

104 V-16

105 V-17

106 V-18

107 V-19

108 V-20

109 V-21

110 V-22

111 V-23

112 V-24

113 3. 3.a Samnangerfjorden Aldal kraftstasjon Samnangerfjorden Tiltak på veg Alt 1. Lagring steinmasser i sjøen 3 (ca m ) Samnangerfjorden Adkomsveg kabelsjakt Rigg Grønsdalsvatnet 6. Jordkabel Rigg Rigg Alt. 1 Omlegging av veg Rigg Samnangerfjorden Utslag Samnangerfjorden Alt 2. Lagring steinmasser Hauganese deponi 3 (ca m ) Alt. 2 Ny veg Rigg Kraftstasjon Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-25

114 3. 3.a Rigg Aldal kraftstasjon Samnangerfjorden Bekkeinntak 8. Adkomsveg 5. Lufting Rigg Grønsdalsvatnet 6. Svingekammer Lufti Driftstunnel Alt. Aldal kraftverk Inngrepsområde Eksisternde tappetunnel (Myra kraftverk) Bekkeinntak Rigg Lukehus Lukehus Steintipp 3 (ca m ) Tiltak på veg Rigg Utslag Grønsdalsvatnet Alt. Aldal kraftverk Rigg Utslag Grønsdalsvatnet Alt. Ny Frøland kraftverk Driftstunnel Alt. Ny Frøland kraftverk Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-26

115 Frølandsvatnet Rigg Rigg Frøland småkraftverk Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-27

116 Tiltak på veg 2. Ny Frøland kraftstasjon Frølandsvatnet Grønsdalsvatnet Steintipp Frølandsvatnet Rigg Rigg Kraftstasjon Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-28

117 Tiltak på veg 2. Ny Frøland kraftstasjon Frølandsvatnet Eksisternde tappetunnel (Myra kraftverk) Grønsdalsvatnet Lukehus Rigg Utslag Grønsdalsvatnet Alt. Ny Frøland kraftverk Driftstunnel Alt. Ny Frøland kraftverk Steintipp (Alt. 1) Steintipp (Alt. 1) Rigg (anleggsområde) Steintipp (Alt. 2) Steintipp (Alt. 3) Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-29

118 Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-30

119 Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-31

120 Vedlegg 4 - Beregning av turbinens hoveddimensjoner Beregning av turbinens hoveddimensjoner er basert på metode forklart i kapittel 3 i «Pumper og Turbiner» (1). Det velges initiale verdier av virkningsgrad, turbinenes reduserte periferiehastighet ved innløp, samt inn- og utløpsvinkel på bladet basert på erfaringsdata. Fra hastighetsdiagram for innløp kan da cu1 og cm1 beregnes. Om det antas 10 % akselerasjon av cm gjennom turbin kan cm2 finnes. Basert på volumstrøm finnes da utløpsdiameter, og deretter periferihastighet ved utløpet. Dermed er også innløpsdiameteren gitt, og innløpshøyde finnes basert på volumstrøm og cm1. Turtall kan så finnes basert på periferihastigheter. Dette turtall må korrigeres for synkronturtall, og innløpsdiameter og høyde korrigeres. Nødvendig dykking finnes videre som en funksjon av periferihastighet ved utløp, u2, og middelhastighet perpendikulært på utløpstverrsnittet, cm2. c u 1 η = 2u 1 c = c tanα m1 u1 1 c = 1,1 c m2 m1 u 2 c m 2 = tan β 2 D 2 = π c 4Q m2 * 2gH * u1 D1 = D2 u 2 * Q B = c 2 gh π D * m1 1 Z P = * 60 u 2gH 1 π D 1 Velger ny Zp som er heltall n = Z P u u gh 2 = 2 2 * V-32

121 c c gh m2 = m2 2 * 2 2 cm2 u2 NPSHt = a + b 2g 2g a og b er konstanter basert på erfaring. HS = hb hva NPSHt hvor h b er atmosfæretrykk og h va er damptrykk for vannet. Nødvendig dykking blir da den negative av sugehøyden H S. Disse beregningene blir gjort med excelark, vedlagt på CD. Nye Frøland Kraftverk Startverdier Max Design Høyeste fallhøyde [m] Slukeevne [m3/s] Hydraulisk virkningsgrad [-] 0,96 u1-redusert 0,72 Innløpsvinkel, alpha1 [grader] 15,1 Utløpsvinkel, beta2 [grader] 21,9 cu1-redusert 0,67 cm1-redusert 0,18 cm2-redusert 0,20 u2-redusert 0,49 D2 [m] 1,74 D1 [m] 2,54 B1 [m] 0,33 Zp 9, Valgt Zp 8 Turtall 375,00 Korrigerte verdier D1 2,11 B1 0,39 alpha1 15,1 beta1 73,5 D2 1,74 beta2 21,9 Turtall [rpm] 375,00 omega [1/s] 39,27 Polpar, Zp 9, Effekt [MW] 42,68 Moment [knm] 1086,7419 V-33

122 u1 41,4 c1 39,66 u2 28,27 cm2 11,37 Dykking a 1,15 b 0,15 hva 0,125 mvs hb 10,3 mvs NPSHt 13,67 m Hs<= -3,49 m Dykking > 3,49 Aldal Kraftverk Startverdier Max Design Høyeste fallhøyde [m] Slukeevne [m3/s] 35 31,5 Hydraulisk virkningsgrad [-] 0,96 u1-redusert 0,72 Innløpsvinkel, alpha1 [grader] 15,1 Utløpsvinkel, beta2 [grader] 21,9 cu1-redusert 0,67 cm1-redusert 0,18 cm2-redusert 0,20 u2-redusert 0,49 D2 [m] 1,82 D1 [m] 2,66 B1 [m] 0,34 Zp 9, Valgt Zp 8 Turtall 375,00 Korrigerte verdier D1 2,24 B1 0,41 alpha1 15,1 beta1 73,5 D2 1,82 beta2 21,9 V-34

123 Turtall [rpm] 375,00 omega [1/s] 39,27 Polpar, Zp 9, Effekt [MW] 56,31 Moment [knm] 1433,8956 u1 44,0 c1 42,18 u2 30,07 cm2 12,09 Dykking a 1,15 b 0,15 hva 0,125 mvs hb 10,3 mvs NPSHt 15,46 m Hs<= -5,28 m Dykking > 5,28 1. Brekke H. Pumper & Turbiner. Trondheim: Vannkraftlaboratoriet NTNU; V-35

124 Konsulent: BKK Produksjon AS Kokstadvegen 37 Telefon: Postboks 7050 Faks: Bergen V-36

125 Overslagsberegninger for Nye Frøland Kraftverk I alle overslagsberegninger benyttes den fallhøyden som gir det verst tenkelige scenarioet, samt full volumstrøm. Høyeste fallhøyde, som tilsvarer 168,1 meter benyttes i beregningen av Thomatverrsnitt, mens laveste fallhøyde, tilsvarende 158 meter, benyttes i de øvrige beregninger. Svingesjakt L/ AT ,14 28, 27 Δ z =±Δ Q = 30 = 27,3m ga 9,82 28, 27 s g 9,82 ω = = = 0, 0389 AL s / AT , ,14 28, 27 T 2π 2π = = = 161,5sek ω 0, 0389 Trykkøkning foran turbinen ΔQ L Δ htl= 7sek = 2 = = 47,55m T ga 7 9,82 6, ,14 28,27 L Δ htl= 8sek = = 41,6m 8 9,82 6, ,14 28, Δ htl= 9sek = = 37m 9 9,82 6, ,14 28,27 Stabilitet T a 3 ( πn ) ( π 375) 2 ω J ρgq0h0η0 J = = = = 5,95s P , ,96 T W Q L = = = 1, 25s gh A 9, , ,14 28, 27 Ta 5,95 4,76 T = 1, 25 = W A th 2 5/3 2 5/3 M A = = 0, 0085 = 17,94m H 168,1 0 2 Anbefalt minsteareal for sjaktens tverrsnitt er som følger. V-37

126 As,min = 1,5 Ath = 1,5 17,94 = 26,91m 2 Overslagsberegninger for Aldal Kraftverk Øvre svingesjakt L/ AT Δ z =±Δ Q = = 14,3m ga 9, s g 9,82 ω = = = 0,024 AL/ s AT T 2π 2π = = = 262sek ω 0,024 Nedre svingesjakt L/ AT Δ z =±Δ Q = = 3,54m ga 9, s g 9,82 ω = = = 0, 0633 AL/ s AT T 2π 2π = = = 99,3sek ω 0,0633 Trykkøkning foran turbinen ΔQ L Δ htl= 7s = 2 = = 66,5m T ga 7 9,82 6, L Δ htl= 8s = = 58,2m 8 9,82 6, Δ htl= 9s = = 51,7m 9 9,82 6, Stabilitet T a 3 ( πn ) ( π 375) 2 ω J ρgq0h0η0 J = = = = 6, 22s P , ,96 V-38

127 T W Q L = = = 1, 7 gh A 9, , Ta 6, 22 3, 66 T = 1, 7 = W A th 2 5/3 2 5/3 M A = = 0, 0085 = 16, 04m H Anbefalt minsteareal for sjaktens tverrsnitt er som følger. A,min = 1,5 A = 1,5 16, 04 = 24, 06m s th 2 V-39

128 Massesvingninger Opprinnelig geometri Figur 1 - Avslag-HRV Figur 2 - Avslag LRV V-40

129 Figur 3 - Pådrag+avslag-HRV Figur 4 - pådrag+avslag-lrv V-41

130 Figur 5 - Pådrag-HRV Figur 6 - Pådrag-LRV V-42

131 Retardasjonstrykk Opprinnelig geometri Figur 7 - Avslag-HRV-Tl7 Figur 8 - Avslag-HRV-Tl7 V-43

132 Figur 9 - Avslag-HRV-Tl8 Figur 10 - Avslag-HRV-Tl8 V-44

133 Figur 11 - Avslag-Tl9 Figur 12 - Avslag-HRV-Tl9 V-45

134 Reguleringsstabilitet Opprinnelig geometri V-46

135 Massesvingninger Foreslått geometri Figur 13 - Avslag-HRV Figur 14 - Avslag LRV V-47

136 Figur 15 - Pådrag+avslag-HRV Figur 16 - pådrag+avslag-lrv V-48

137 Figur 17 - Pådrag-HRV Figur 18 - Pådrag-LRV V-49

138 Retardasjonstrykk Foreslått geometri Figur 19 - Avslag-HRV-Tl7 Figur 20 - Avslag-HRV-Tl7 V-50

139 Figur 21 - Avslag-HRV-Tl8 Figur 22 - Avslag-HRV-Tl8 V-51

140 Figur 23 - Avslag-Tl9 Figur 24 - Avslag-HRV-Tl9 V-52

141 Reguleringsstabilitet- Foreslått geometri V-53

142 Massesvingninger øvre svingekammer Opprinnelig geometri Figur 1 - Avslag-HRV Figur 2 - Avslag LRV V-54

143 Figur 3 - Pådrag+avslag-HRV Figur 4 - Pådrag+avslag-LRV V-55

144 Figur 5 - Pådrag-HRV Figur 6 - Pådrag-LRV V-56

145 Massesvingninger nedre svingekammer Opprinnelig geometri Figur 7 - Avslag-HRV Figur 8 - Avslag LRV V-57

146 Figur 9 - Pådrag+avslag-HRV Figur 10 - pådrag+avslag-lrv V-58

147 Figur 11 - Pådrag-HRV Figur 12 - Pådrag-LRV V-59

148 Retardasjonstrykk Opprinnelig geometri Figur 13 - Avslag-HRV-Tl7 Figur 14 - Avslag-HRV-Tl7 V-60

149 Figur 15 - Avslag-HRV-Tl8 Figur 16 - Avslag-HRV-Tl8 V-61

150 Figur 17 - Avslag-Tl9 Figur 18 - Avslag-HRV-Tl9 V-62

OPPGAVE 1 Francis Turbin

OPPGAVE 1 Francis Turbin NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for Terisk Energi og Vannkraft Eksaen i fag TEP 95 TURBOMASKNER, Løsningsforslag. Juni 005 Tid: 5.00 9.00 Faglig kontakt under eksaen: Navn: Ole

Detaljer

Kurs TEP4195 TURBOMASKINER

Kurs TEP4195 TURBOMASKINER NTNU Institutt for Energi- og Prosessteknikk Kontaktperson i løpet av eksamen Navn: Torbjørn K. Nielsen/ Øyvind Hundseid Tlf: (73 5) 93572/ 93935 BOKMÅL Kurs TEP4195 TURBOMASKINER FREDAG 21. MAI 2004 TID:

Detaljer

Løsningsforslag Øving 8

Løsningsforslag Øving 8 Løsningsforslag Øving 8 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 016 Oppgave 5-78 Løsning En vannslange koblet til bunnen av en tank har en dyse som er rettet oppover. Trykket i slangen økes med en pumpe og høyden av

Detaljer

Systemdynamisk analyse av vannkraftsystem

Systemdynamisk analyse av vannkraftsystem ystemdynamisk analyse av vannkraftsystem Anja Rydning Master i energi og miljø Oppgaven levert: Juni 007 Hovedveileder: Torbjørn Kristian Nielsen, EPT Biveileder(e): Ole Gunnar Dahlhaug, EPT Norges teknisk-naturvitenskapelige

Detaljer

Virkning av hydrauliske transienter på inntaksluker på Tonstad kraftverk

Virkning av hydrauliske transienter på inntaksluker på Tonstad kraftverk Virkning av hydrauliske transienter på inntaksluker på Tonstad kraftverk Britt Rasten Bygg- og miljøteknikk Innlevert: juni 2014 Hovedveileder: Leif Lia, IVM Medveileder: Kaspar Vereide, IVM Norges teknisk-naturvitenskapelige

Detaljer

Svingekammer Nøkkel til stabil vannvei. Kaspar Vereide PhD Stipendiat

Svingekammer Nøkkel til stabil vannvei. Kaspar Vereide PhD Stipendiat Svingekammer Nøkkel til stabil vannvei Kaspar Vereide PhD Stipendiat Bakgrunn Hva er et svingekammer Moderne design Resultat av effektkjøring 3 Bakgrunn Forskningsprosjekt på svingekammerteknologi ved

Detaljer

Turbiner - Virkningsgrader og slukeevne

Turbiner - Virkningsgrader og slukeevne NVE seminar 18. mars 2014 Småkraftdagene Turbiner - Virkningsgrader og slukeevne Torbjørn K. Nielsen Vannkraftlaboratoriet, NTNU Vannkraftlaboratoriet Hydrauliske maskiner og systemer Vannkraftlaboratoriet

Detaljer

ELEVARK. ...om å tømme en beholder for vann. Innledning. Utarbeidet av Skolelaboratoriet ved NTNU - NKR

ELEVARK. ...om å tømme en beholder for vann. Innledning. Utarbeidet av Skolelaboratoriet ved NTNU - NKR ELEVARK...om å tømme en beholder for vann Innledning Problemstilling: Vi har et sylindrisk beger med et sirkulært hull nær bunnen. Vi ønsker å bestemme sammenhengen mellom væskehøyden som funksjon av tiden

Detaljer

TEKNISK ØKONOMISK PLAN ALTERNATIVER

TEKNISK ØKONOMISK PLAN ALTERNATIVER SMÅKRAFT OG KONSESJONSBEHANDLING SEMINAR 25.- 26.4.2007 TEKNISK ØKONOMISK PLAN ALTERNATIVER (og litt til ) Kjell Erik Stensby NVE Alternativer hvilket nivå? Hva trenger vi/ønsker vi i en konsesjonssøknad

Detaljer

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Harald E Krogstad, tlf: 9 35 36/ mobil:416 51 817 Sensur: uke 1, 2002 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Hva betyr turbinen for inntekten?

Hva betyr turbinen for inntekten? 1 Hva betyr turbinen for inntekten? Torbjørn K. Nielsen Professor Institutt for energi- og prosessteknikk VANNKRAFTLABORATORIET WaterPower 2 Inntekt Forsvare investeringene + nogo attåt Sterkt avhengig

Detaljer

Kostnadseffektive arrangement for kraftanlegg. Ole Johnny Winther, Produktansvarlig Nye Anlegg ANDRITZ HYDRO AS

Kostnadseffektive arrangement for kraftanlegg. Ole Johnny Winther, Produktansvarlig Nye Anlegg ANDRITZ HYDRO AS Ole Johnny Winther, Produktansvarlig Nye Anlegg ANDRITZ HYDRO AS Arrangementet for kraftstasjonen bestemmes oftest tidlig, og det setter sterke føringer og i mange tilfelle begrensninger på utstyret som

Detaljer

Klassifisering av trykkrør

Klassifisering av trykkrør Klassifisering av trykkrør i ht forskrift om klassifisering av vassdragsanlegg 4. Gjelder både eksisterende og planlagte anlegg. Det skal fylles ut ett skjema for hvert rør. Skjemaet besvares så komplett

Detaljer

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm]. Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIO 1043 STRØMNINGSLÆRE Lørdag 1. juni 2002 Tid: kl. 09:00 15:00

EKSAMEN I FAG SIO 1043 STRØMNINGSLÆRE Lørdag 1. juni 2002 Tid: kl. 09:00 15:00 Side 1 av 10 Norges teknisk natrvitenskapelige niversitet NTNU Fakltet for Ingeniørvitenskap og teknologi Instittt for Mekanikk, Termo og Fliddynamikk Faglig kontakt nder eksamen: Per-Åge Krogstad, tlf.:

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Utrede etablering av et pumpekraftverk i et eksisterende vannkraftsystem

Utrede etablering av et pumpekraftverk i et eksisterende vannkraftsystem Utrede etablering av et pumpekraftverk i et eksisterende vannkraftsystem Hans Simen Fougner Master i energi og miljø Oppgaven levert: Juni 2008 Hovedveileder: Torbjørn Kristian Nielsen, EPT Biveileder(e):

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Mandag 21. mai 2007 kl Løsningsforslaget er på i alt 9 sider.

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Mandag 21. mai 2007 kl Løsningsforslaget er på i alt 9 sider. NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145

Detaljer

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL TFY46 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. Oppgave. a) Hastigheten v til kule like før kollisjonen finnes lettest ved å bruke energibevarelse: Riktig svar: C. m gl = 2 m v 2

Detaljer

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk

Detaljer

Svingekammer eller luftputekammere i vannkraftverk

Svingekammer eller luftputekammere i vannkraftverk Svingekammer eller luftputekammere i vannkraftverk Torunn Engen Røse Master i energi og miljø Innlevert: juni 2015 Hovedveileder: Torbjørn Kristian Nielsen, EPT Medveileder: Pål-Tore Storli, EPT Ingunn

Detaljer

Q = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa

Q = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa 35 Løsning C.1 Q π 4 D2 V π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s 0.00393 m 3 /s 3.93 l/s G gsρ vann Q 9.81 1.26 998 0.00393 N/s 0.0484 kn/s ṁ G/g 48.4/9.81 kg/s 4.94 kg/s Løsning C.2 Omregning til absolutt trykk: p abs

Detaljer

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1. Løsning Øving 2. m d2 x. k = mω0 2 = m. k = dt 2 + bdx + kx = 0 (7)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1. Løsning Øving 2. m d2 x. k = mω0 2 = m. k = dt 2 + bdx + kx = 0 (7) TFY4160 Bølgefysikk/FY100 Generell Fysikk II 1 Løsning Øving Løsning oppgave 1 Ligning 1) i oppgaveteksten er i dette tilfellet: Vi setter inn: i lign. 1) og får: m d x + kx = 0 1) dt x = A cosω 0 t +

Detaljer

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgave 1: Stående svingninger

Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgave 1: Stående svingninger Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgave

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155

Detaljer

Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011

Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Oppgave 1. a) Vi velger her, og i resten av oppgaven, positiv retning oppover. Dermed gir energibevaring m 1 gh = 1 2 m 1v 2 0 v 0 = 2gh. Rett

Detaljer

Hjelpemidler: A - Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt.

Hjelpemidler: A - Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPLIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR VASSBYGGING Side av Faglig kontakt under eksamen: Prof. Geir Moe, Tel. 79 467 (.6$0(,(0(6,%+

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)

Detaljer

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene.

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene. Oppgave 1 Bestem løsningen av differensialligningen Oppgave 2 dy dx + y = e x, y(1) = 1 e Du skal beregne en kulekondensator som består av 2 kuleskall av metall med samme sentrum. Det indre skallet har

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. SIO 7050 Varmepumpende prosesser og systemer = 200 [kw] ved t R1 = 0 [ºC] t omg = 14 [ºC]

NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. SIO 7050 Varmepumpende prosesser og systemer = 200 [kw] ved t R1 = 0 [ºC] t omg = 14 [ºC] NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for ingeniørvitenskap og teknologi > Institutt for energi og prosessteknikk SIO 75 Varmepumpende prosesser og systemer 2 Termisk analyse av

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015 Løsningsforslag til eksamen i FYS000, 4/8 205 Oppgave a) For den første: t = 4 km 0 km/t For den andre: t 2 = = 0.4 t. 2 km 5 km/t + 2 km 5 km/t Den første kommer fortest fram. = 0.53 t. b) Dette er en

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA4215) Lørdag 20. desember 2003 Tid: 09:00 14:00, Sensur:

EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA4215) Lørdag 20. desember 2003 Tid: 09:00 14:00, Sensur: Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (9264) EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA425) Lørdag 2. desember

Detaljer

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Definisjon arbeid, W Kinetisk energi, E k Potensiell energi, E p. Konservative krefter Energibevaring Energibevaring når friksjon. Arbeid = areal under kurve F(x)

Detaljer

Utfordringer i vannvegen

Utfordringer i vannvegen Utfordringer i vannvegen PTK 8-10 mars 2010 Utfordringer i vannvegen (Viktige huskeregler for samspillet og stabilitet) Presentasjon ved Bjørnar Svingen Typisk vannveg Inntaksmagasin Svingesjakt Turbin,

Detaljer

INTRODUKSJON HYDRODYNAMIKK

INTRODUKSJON HYDRODYNAMIKK INTRODUKSJON HYDRODYNMIKK Introduksjon Elementær matematikk = π r = π 4 D real () av en sirkel som funksjon av radius (r) og diameter (D) P = π r = π D Omkrets (P) av en sirkel som funksjon av radius (r)

Detaljer

Auditorieøving 6, Fluidmekanikk

Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Utført av (alle i gruppen): Oppgave 1 En beholder er åpen i ene enden og har et hull i bunnen, påsatt et innadrettet rør av lengde l og med sirkulært tverrsnitt A 0. Beholderen,

Detaljer

Utbygging av et vannkraftverk

Utbygging av et vannkraftverk Master i energi og miljø Oppgaven levert: Juni 2007 Hovedveileder: Ole Gunnar Dahlhaug, EPT Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for energi og prosessteknikk Oppgavetekst Bakgrunn

Detaljer

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska

Detaljer

Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter.

Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Vi skal se på: Newtons 2. lov på ny: Definisjon bevegelsesmengde Kollisjoner: Kraftstøt, impuls. Impulsloven Elastisk, uelastisk, fullstendig uelastisk

Detaljer

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler

Detaljer

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 9.

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 9. TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 9. Oppgave 1 a) var C er korrekt. Fasehastigheten er gitt ved v ω k og vi ser fra figuren at dette forholdet er størst for små verdier

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing

STREAMFLOW ROUTING. Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms. Skiller mellom. hydrologisk routing hydraulisk routing STREAMFLOW ROUTING Estimere nedstrøms hydrogram, gitt oppstrøms Skiller mellom hydrologisk routing hydraulisk routing Hydraulisk routing er basert på løsning av de grunnleggende differensial ligninger

Detaljer

Hunsfoss Øst kraftverk. Skader på ledeapparat ved lastavslag

Hunsfoss Øst kraftverk. Skader på ledeapparat ved lastavslag Skader på ledeapparat ved lastavslag Torgeir Ubostad Agder Energi Produksjon AS Hans Aunemo SWECO Norge AS 1 Hoveddata: Turbin: 1 stk. Kaplan (med semispiral) Nominell turbineffekt: 14,94 MW Nominell,

Detaljer

Løsningsforslag Øving 6

Løsningsforslag Øving 6 Løsningsforslag Øving 6 TEP4100 Fluidmekanikk, Aumn 016 Oppgave 4-109 Løsning Vi skal bestemme om en strømning er virvlingsfri, hvis den ikke er det skal vi finne θ-komponenten av virvlingen. Antagelser

Detaljer

Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls)

Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls) Institutt for fysikk, NTNU FY11 Mekanisk fysikk, høst 7 Laboratorieøvelse Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls) Hensikt Hensikten med øvelsen er å studere elastiske og uelastiske kollisjoner

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Kandidatnr: Eksamensdato: 0.1.009 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT10T Emnenavn: Elektronikk 1 Klasse(r): EL Studiepoeng: 7,5 Faglærer(e): ngrid

Detaljer

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær)

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær) Side 1 av 9 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk

Detaljer

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl torsdag 15. desember 2016 Bokmål

Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl torsdag 15. desember 2016 Bokmål FY4165 15. desember 2016 Side 1 av 7 Eksamen FY4165 ermisk fysikk kl 09.00-13.00 torsdag 15. desember 2016 Bokmål Ogave 1. (armeledning. Poeng: 10+10+10=30) Kontinuitetsligningen for energitetthet u og

Detaljer

SI Energi og Miljø

SI Energi og Miljø SI0 7005 Energi og Miljø Elektrisk energiteknikk Noen aktuelle utfordringer 5. Mars 2003 Arne Nysveen 1 Kraftsystem - tradisjonelt Generering Transmisjon (overføring) Distribusjon Forbruker Husholdning

Detaljer

G + + 2f G V V D. V 1 m RT 1 RT P V = nrt = = V = 4 D = m

G + + 2f G V V D. V 1 m RT 1 RT P V = nrt = = V = 4 D = m Institt for kjemisk prosessteknologi TK00 Strømning og transportprosesser Øving 8 Løsningsforslag Oppgave Starter med energiligningen på differensiell form d dp dl G + + f G = 0 Setter så inn for G= v

Detaljer

Løsningsforslag Øving 10

Løsningsforslag Øving 10 Løsningsforslag Øving 0 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 03 Oppgave 8-30 Løsning Volumstrømmen av vann gjennom et rør er gitt. Trykkfallet, tapshøyden og pumpens effekt skal bestemmes. Antagelser Strømningen

Detaljer

Eksamen i emnet SIB 5025 Hydromekanikk 25 nov b) Bestem størrelsen, retningen og angrepspunktet til resultantkrafta,.

Eksamen i emnet SIB 5025 Hydromekanikk 25 nov b) Bestem størrelsen, retningen og angrepspunktet til resultantkrafta,. Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Oppgave 1. Husk å angi benevninger ved tallsvar. ρ θ I en ny svømmehall er det foreslått montert et vindu formet som en halvsylinder med radius og bredde.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i:kje-1005 Termodynamikk og kinetikk Dato: Torsdag 05. juni 2014 Tid: Kl 09:00 14:00 Sted: Teorifagbygget, hus 1, plan 2

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i:kje-1005 Termodynamikk og kinetikk Dato: Torsdag 05. juni 2014 Tid: Kl 09:00 14:00 Sted: Teorifagbygget, hus 1, plan 2 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i:kje-1005 Termodynamikk og kinetikk Dato: Torsdag 05. juni 2014 Tid: Kl 09:00 14:00 Sted: Teorifagbygget, hus 1, plan 2 Tillatte hjelpemidler: Enkel lommeregner Oppgavesettet er

Detaljer

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp)

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp) HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI Dixit-Stiglitz-Krugman modellen Åge Haugslett Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi ( stp) Vedlegg kap,.. VEDLEGG KAPITTEL KapModATilf.mcd. Den enklestet

Detaljer

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign Instituttt for fysikk Eksamensoppgave i TFY4115 Fysikkk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 18. desember 2013 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillattee

Detaljer

Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter.

Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Vi skal se på: Newtons 2. lov på ny: Definisjon bevegelsesmengde Kollisjoner: Kraftstøt, impuls. Impulsloven Elastisk, uelastisk, fullstendig uelastisk

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Feltlikninger for fluider

Feltlikninger for fluider Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):

Detaljer

Institutt for fysikk. Eksamen i TFY4106 FYSIKK Torsdag 6. august :00 13:00

Institutt for fysikk. Eksamen i TFY4106 FYSIKK Torsdag 6. august :00 13:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Johan S. Høye/Professor Asle Sudbø Telefon: 91839082/40485727 Eksamen i TFY4106 FYSIKK Torsdag 6. august 2009 09:00 13:00 Tillatte

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TVM 4116 HYDROMEKANIKK

EKSAMEN I EMNE TVM 4116 HYDROMEKANIKK NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPLIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR VANN OG MILJØTEKNIKK Side av 5 Faglige kontakter under eksamen: Prof. Geir Moe, Tel. 7359 467 Prof. Nils R. Olsen, Tel. 7359 4773 EKSAMEN I

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

VANNKRAFTLABORATORIET

VANNKRAFTLABORATORIET VANNKRAFLABORAORIE INRODUKSJON Preentajon av PhD tuentene arbei SYSEMDYNAMIKK I VANNKRAFVERK 1 PhD Oppgaver Einar: rykkvibrajoner i Franciturbiner Jørgen: Virkninggramålinger lave fall Pål-ore: ap i ikke-tajonær

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017 Norsk fysikklærerforening Fysikkolympiaden Norsk finale 7 Fredag. mars kl. 8. til. Hjelpemidler: abell/formelsamling, lommeregner og utdelt formelark Oppgavesettet består av 6 oppgaver på sider Lykke til!

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

Z L Z o Z L Z Z nl + 1 = = =

Z L Z o Z L Z Z nl + 1 = = = SMITHDIAGRAM Bilineær transformasjon fra Zplanet (impedans) til Γplanet (refleksjonsfaktor) Γ Z L Z o Z L Z 0 1 Z L Z 0 Z L Z 0 1 Z nl 1 Z nl 1 Zplanet Im Γplanet Im Re Re AO 00V 1 SMITHDIAGRAM Γplanet

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016 TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen

Detaljer

b) Vi legger en uendelig lang, rett stav langs y-aksen. Staven har linjeladningen λ = [C/m].

b) Vi legger en uendelig lang, rett stav langs y-aksen. Staven har linjeladningen λ = [C/m]. Oppgave 1 a) Punktladningen q 1 = 1.0 10 9 [C] ligger fast i punktet (2.0, 0, 0) [m]. Punktladningen q 2 = 4.0 10 9 [C] ligger i punktet ( 1.0, 0, 0) [m]. I) Finnes det punkt(er) i rommet med elektrisk

Detaljer

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk Formelsamling Side 7 av 16 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:

Detaljer

5) Tyngdens komponent langs skråplanet, mg sin β, lik maksimal statisk friksjonskraft, f max = µ s N =

5) Tyngdens komponent langs skråplanet, mg sin β, lik maksimal statisk friksjonskraft, f max = µ s N = FY1001/TFY4145 Mekanisk Fysikk ksamen 9. august 2016 Løsningsforslag 1) Her har vi bevegelse med konstant akselerasjon: v = at = 9.81 0.5 m/s = 4.9 m/s. (Kula er fortsatt i fritt fall, siden h = at 2 /2

Detaljer

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER. Newtons andre lov: F = dp/dt. p = mv = mṙ. Konstant akselerasjon: v = v 0 +at

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER. Newtons andre lov: F = dp/dt. p = mv = mṙ. Konstant akselerasjon: v = v 0 +at TFY4106 Fysikk Eksamen 17. desember 2014 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å

Detaljer

a) Vis at startvolumet er V 0 = 1, 04m 3 Gassen presses deretter sammen til et volum på V 1 = 0, 80m 3 mens temperaturen i gassen holdes konstant.

a) Vis at startvolumet er V 0 = 1, 04m 3 Gassen presses deretter sammen til et volum på V 1 = 0, 80m 3 mens temperaturen i gassen holdes konstant. NB: Alle deloppgavene teller like mye i vurderingen. Dvs. oppgave 1a teller like mye som oppgave 4. Oppgave 1 I en beholder er 50,0 mol luft avstengt av et stempel som kan bevege seg uten friksjon mot

Detaljer

I. Stasjonær strøm i rør

I. Stasjonær strøm i rør I. Stasjonær strøm i rør Oppgave I.1 En olje med kinematisk viskositet 0.135 St flyter gjennom et rør med diameter 15 cm. Hva er (omtrentlig) øvre grense for strømhastigheten hvis strømmen skal være laminær?

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: 26. september 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4002 FYSIKK. Mandag 5. mai 2003 Tid: Sensur uke 23.

EKSAMEN I FAG SIF4002 FYSIKK. Mandag 5. mai 2003 Tid: Sensur uke 23. side 1 av 5 (bokmål) NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Institutt for fysikk, Gløshaugen Professor Arnljot Elgsæter, 73940078 EKSAMEN I

Detaljer

Vannkraftlaboratoriet

Vannkraftlaboratoriet 1 Vannkraftlaboratoriet NTNU Fakultet for ingeniørvitenskap og teknologi Institutt for energi og prosessteknikk Gruppe for Strømningsteknikk Vannkraftlaboratoriet 2 3 Strømningssystemet Kapasiteter Maks

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2016. Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl 23.9. Volleyball på kvartsirkel Kvalitativ beskrivelse φ f r+r N Mg R Vi er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 7 59 6 6 / 45 45 55 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag.

Detaljer

z2 u(z, 0) = 0, u(0, t) = U. (8) Hvilken standardlikning er dette? b) Vi antar (håper) at u kan uttrykkes som en similaritetsløsning δδ ν ηf + F = 0,

z2 u(z, 0) = 0, u(0, t) = U. (8) Hvilken standardlikning er dette? b) Vi antar (håper) at u kan uttrykkes som en similaritetsløsning δδ ν ηf + F = 0, Oppg. 13 Det enkleste grensesjiktsproblemet?. Vi har en uendelig lang plate som faller sammen med xy-planet (I Blasiusproblemet har vi en halvuendelig plate). Over denne er det en Newtonsk væske. For t

Detaljer

Norsk kraftproduksjon

Norsk kraftproduksjon 1 Norsk kraftproduksjon Årlig vannkraftproduksjon ca.130 TWh Småkraftverk utgjør Vindkraft Termisk og bioenergi 8.2 TWh 1.3 TWh 4.7 TWh Vannkraft har; - Stor leveringssikkerhet - Stor magasinkapasitet

Detaljer

Flervalgsoppgave. Arbeid og energi. Energibevaring. Kollisjoner REP Konstant-akselerasjonslikninger. Vi har sett på:

Flervalgsoppgave. Arbeid og energi. Energibevaring. Kollisjoner REP Konstant-akselerasjonslikninger. Vi har sett på: Arbeid og energi. Energibevaring. Arbeid = dw = F ds Kinetisk energi E k = ½ m v 2 Effekt = arbeid/tid = P = dw /dt Arbeid på legeme øker E k : dw = de k Potensiell energi E p (x,y,z) (Tyngdefelt: E p

Detaljer

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00 Side 1 av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 Eksamen i fag 74327 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag

Detaljer

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)...

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)... Prøve i R2 Differensiallikninger 29. november 2010 Innhold 1 Oppgave 3 1.1 Løsning..................................... 3 1.1.1 a).................................... 3 1.1.2 b)....................................

Detaljer

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær)

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær) Side 1 av 12 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, Aud.max. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

EKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, Aud.max. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Dato: 30. september 2016 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, Aud.max ü Kalkulator med tomt dataminne

Detaljer

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær)

Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk Tlf.: (direkte) / (mobil) / (sekretær) Side 1 av 9 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Språkform: Bokmål Navn: Truls Gundersen, Energi og Prosessteknikk

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Mandag 17. desember 2012 Tid: kl. 09:00-13:00

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Mandag 17. desember 2012 Tid: kl. 09:00-13:00 Side 1 av 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Mandag 17. desember 2012 Tid: kl. 09:00-13:00

Detaljer

Kap. 14 Mekaniske svingninger

Kap. 14 Mekaniske svingninger Kap. 14 Mekaniske svingninger Mye svingning i dagliglivet: Pendler Musikkinstrument Elektriske og magnetiske svingninger Klokker Termiske vibrasjoner (= temperatur) Måner og planeter Historien og økonomien

Detaljer

Løsningsforslag Øving 7

Løsningsforslag Øving 7 Løsningsforslag Øving 7 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 016 Oppgave 5- Løsning Vinden blåser med konstant hastighet 8 m/s. Vi ønsker å finne den mekaniske energien per masseenhet i vindstrømmen, samt det totale

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Løsningsforslag øving 4

Løsningsforslag øving 4 TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I TFY4155 EEKTROMAGNETISME

Detaljer

Rapport. Økt balansekraftkapasitet i norske vannkraftverk. Innledende studie av konkrete case i Sør-Norge

Rapport. Økt balansekraftkapasitet i norske vannkraftverk. Innledende studie av konkrete case i Sør-Norge - Åpen Rapport Økt balansekraftkapasitet i norske vannkraftverk Innledende studie av konkrete case i Sør-Norge Forfatter(e) Eivind Solvang Atle Harby Ånund Killingtveit SINTEF Energi AS Energisystemer

Detaljer