ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT

Transkript

1 A r b e d s o t a t e r f r a H øg s k o l e B u s k e r u d r. 67 ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT Avedt statstkk Jo Reertse

2

3 Arbedsotater fra Høgskole Buskerud Nr. 67 Avedt statstkk Av Jo Reertse Høefoss 8

4 HBus publkasjoer ka koperes frtt og vdereformdles tl adre teresserte ute avgft. E forutsetg er at av på utgver og forfatter(e ags- og ags korrekt. Det må kke foretas edrger verket. ISSN X

5 INNHOLD. Iledg s. 4. Bokstavbruk statstkk s Ltt beskrvede statstkk s Ekel regresjo s.3 5. Ekel korrelasjo s Ikkeleær regresjo s Noe vktge kotuerlge fordelger. s.55 Setralgreseteoremet. 8. Statstsk feres. Estmerg s Hypotesetestg s.68. Iferes kyttet tl ett gjeomstt s.73. Iferes kyttet tl to gjeomstt s.9. Kjkvadrattester s. 3. Iferes for e adel s.9 4. Iferes for to adeler s Ikkeparametrske metoder s Varasaalyse s.5 7. Regresjo og varasaalyse s.6 8. Multppel regrsjo s Oppgaver s.7 Avedt Statstkk 3

6 . Iledg. Dette heftet daer utgagspukt for et kurs avedt statstkk som utgjør halvparte av kurset MAT 4 (gruleggede og avedt statstkk. MAT 4 utgjør ¼-del av årsehete matematkk på valgfag på almelærerutdage. Før ma starter på dette kurset avedt statstkk har studetee som et mmum vært gjeom et kurs gruleggede matematsk aalyse og ddaktkk (5 studepoeg høstsemesteret samt de første dele av kurset MAT 4 vårsemesteret. I de gruleggede statstkkdele av kurset har ma behadlet begreper som dskrete sasylghetsmodeller (geerelt, kombatorkk og utvalgsmodeller, betget sasylghet og uavhegghet, stokastske varable, forvetg og varas, oe valge sasylghetsfordelger (bomsk-, hyper-geometrsk-, Posso- og ormalfordelg, estmerg og hypoteseprøvg. Dsse temaee forutsettes kjet år ma starter på dette heftet. Jeg har allkevel valgt å legge oe av det som er behadlet de gruleggede statstkke slk at de som evetuelt øsker å lese dette separat ka gjøre det ute for stor utstrekg å måtte slå opp e grubok. Dette gjelder speselt teore kyttet tl estmerg og hypoteseprøvg. Avedt Statstkk 4

7 .Bokstavbruk statstkk. I statstkk bruker e kosekvet bokstaver fra det orske (egelske alfabetet tl å betege begreper utvalget, og greske bokstaver tl å betege begreper populasjoe. For eksempel beteges det artmetske gjeomsttet utvalget med ( strek, mes gjeomsttet populasjoe beteges med de greske bokstaveµ ( my. Stadardavvket utvalget beteges med s, mes stadardavvket populasjoe beteges med de greske bokstave σ ( sgma.osv. Mage av de greske bokstavee vl bl brukt på forskjellge temaer dette heftet, og derfor følger her e presetasjo av det greske alfabetet (med store og små bokstaver og uttale Α Β Γ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ α alfa β beta γ gamma δ delta ε epslo ς zeta η eta θ teta ι ota κ kappa λ lambda µ my Ν ν y Ξ ξ ks Ο ο omkro Π π p Ρ ρ rho Σ σ sgma Τ τ tau Υ υ ypslo Φ φ f Χ χ kj Ψ ψ ps Ω ω omega Noe tlleggskommetarer : Du kjeer skkert utrykket: Hu var alfa og omega (f.o.m. alfa (første bokstav t.o.m. omega (sste bokstav, dvs. hele alfabetet, dvs. hu betydde alt. Hvs du e gag framtde kommer tl Hellas er det gret å kue det greske ordet for apotek: ΦΑΡΜΑΣΙΑ ( Farmasa. E, to, tre på gresk er ENA ( ea, ΥΟ (" dyo", ΤΡΙΑ (" tra" De mest brukte bokstavee statstkk er: α, β, ε, θ, λ, µ, π, ρ, σ, χ,θ og Σ Avedt Statstkk 5

8 3. Beskrvede statstkk. Belggehetsmål. Ata at v har gjeomført forsøket og har de resultatee av e kvattatv varabel :,,L L. Dette skrves også ofte,,,, og kalles for råmateralet, ford det er det ubehadlede tallmateralet. I mage sammeheger er det yttg å ag ett tall som represetat for alle tallee. For å s oe om hvor tallee lgger plassert på tallja (eller er lokalsert så er det valg å ag et såkalt belggehetsmål (også kalt mål på setral tedes. Dvs. det er et tall som ser oe om hvor tallmasse er lgger (eller er lokalsert. Det artmetske mddeltall (the arthmetc mea er det mest brukte belggehetsmålet. Det er defert ved: M.a.o. f summe av -ee og dvder så på atall observasjoer, dvs. SUM ( for de med - fob Eks. Ata at tallmateralet,,,, er gtt ved:,,, 3, 4, 3,,, 3,. Da blr , 3 (* Tallet,3 er å et tall som represeterer de tallee, og forteller hvor dsse tallee er lokalsert ( eller lgger Ser e ltt ærmere på tallee som går tellere ser e at e del av tallee er byrdes lke. Det medfører at e ka skrve , 3 (** Om ma her reger ut ved hjelp av (* eller (** spller kke oe særlg rolle, me hvs tallmateralet hadde vært stort, og mage av observasjoee var lke, så vlle det vært svært besparede å bruke (**. Ma ser her at frekvese (hyppghete (the frequecy av tallet er, frekvese av tallet er 4, frekvese av tallet 3 er 3, og frekvese av tallet 4 er. Dette skrves Avedt Statstkk 6

9 f, f 4, f 3 3 og f 4 De geerelle formele for beregg av år flere av observasjoee er byrdes lke (dvs. verde k har frekvese f k, k,, m, der m er atall forskjellge verder av. I eks. fora er m4. (m.a.o. verde forekommer f gager, verde forekommer f gager,, verde m forekommer f m gager, blr dermed: k m f k k f f L f m m eller bare kortere f k k k eller eå kortere f Et aet me kke så mye brukt mål på setral tedes er typetallet (eg.: the mode ~ (T som gaske ekelt er de observerte verd med størst frekves. Eks. I eks. over er typetallet ~ ford verde forekommer hyppgst, emlg 4 gager. Noe gager eholder våre tallmateraler ekelte ekstreme verder forhold tl de fleste adre. ( dsse kalles av oe utelggere etter det egelske outler. Se defsjoe s.. I slke tallmateralet blr det artmetske gjeomsttet lett påvrket retg av de( ekstremt store/små verdee. Eks. Ata at ma har observert aldere på 5 persoer og fuet: :,, 3, 4, og 6. Bereger e her gjeomsttsaldere ved hjelp av det artmetske gjeomsttet fer e (år 5 5 som eppe ka ses å være et represetatvt tall for tall for dataee. I slke sammeheger er det ma bruker et mål på setral tedes som kke så lett lar seg påvrke av ekstreme verder. Det fes flere slke mål. Et mye brukt mål er de såkalte medae. Medae M er det tallet som deler det ordede tallmateralet ( ordet stgede eller avtagede rekkefølge to lke store deler. Medae ses derfor ofte å være de mdterste observasjoe det ordede tallmateralet hvs det er et odde atall observasjoer, og gjeomsttet av de to mdterste hvs det er et lke atall observasjoer. Eks. La være:, 5, 3, 4, 6. Order ma tallmateralet har e:, 3, 4, 5, 6 og da ser e at medae blr 4. Eks. Sløyfer e å for eksempel observasjoe ser e at det kke leger er oe observasjo mdte, og medae er dermed gjeomsttet av de to mdterste, d.v.s. Avedt Statstkk 7

10 4 5 M 4,5 Medae behøver m.a.o. kke være e observasjo. Ma ser ofte at medae M er de verde som er slk at 5% av tallmateralet(det ordede lgger uder dee og 5% lgger over dee. Adre yttge belggehetsmål er de såkalte kvartlee Q, Q og Q3. De deler også det ordede tallmateralet to deler: Q slk at 5% av observasjoee lgger uder og 75% lgger over dee. Q slk at 5% av observasjoee lgger uder og 5% lgger over dee. Q slk at 75% av observasjoee lgger uder og 5% lgger over dee. 3 Det betyr m.a.o. at medae M og.kvartl Q er de samme. I små tallmateraler ( < så bereger e medae ved å fe observasjo r. ordede tallmateralet. Tlsvarede fer e kvartlee Q og Q 3 som heholdsvs observasjo r. og r. 3 små tallmateraler. 4 4 det I større tallmateraler ( så leter e tlsvarede etter observasjo r., r. og r. 4 3 det ordede tallmateralet. Grue tl dette er at det lte forskjell på (for eksempel 4 og år er stor. Dee takemåte er praktsk år ma skal bruke adre mål e 4 4 kvartler. Et tallmaterale ka deles mdre deler på mage måter. Noe adre mye brukte er: Deslee D, D,..., D deler tallmateralet -deler aalogt tl over. Det betyr at D deler tallmateralet to slk at % lgger uder D og 9% lgger over dee verde, D deler tallmateralet to slk at % lgger uder D og 8% lgger over dee verde, osv. 9 E bereger å tlsvarede her observasjo r., r., r det ordede tallmateralet. Prosetlee P, P,..., P deler tallmateralet -deler aalogt tl over. Det betyr at P deler tallmateralet to slk at % lgger uder P og 99% lgger over dee verde. Helt 99 aalogt bereger e å tlsvarede her observasjo r., r., r det ordede tallmateralet år ma skal berege prosetlee P, P,..., P. Avedt Statstkk 8

11 Spredgsmål. To forskjellge tallmateraler ka ha samme belggehetsmål. Bl.a. for å kue sklle mellom dsse så føres såkalte spredgsmål, som gr et mål på hvor stor spredg det er observasjoee. Eks. Tallmateralee :, 4, 5, 9, og y : 3, 5, 7, 9 er forskjellge, me har allkevel samme artmetske gjeomstt (kotroller selv. Er medaee lke? Spredge de to tallmateralee er mdlertd forskjellg. Varasjosbredde (the rage er et ekelt, me kke så mye brukt varasjosmål. Det er defert som dfferase mellom de største og de mste observasjoe, dvs. V maks m Eks. I tallmateralee over fer e V og V y Kvartbredde (the terquartlrage er et aet varasjosmål, som er oe mer brukt e varasjosbredde. Det er dfferase mellom 3. og. kvartl, dvs. Kv.br. Q3 Q IQR Det betyr at kvartlbredde er avstade mellom de to verdee ( Q og Q3 som er slk at 5% av observasjoee det ordede tallmateralet lgger mellom dsse (75% lgger på edsde av 3.kvartl og 5% lgger på edsde av.kvartl IQR brukes ofte tl å defere hva e outler (ekstremverd er for oe. E observasjo kalles e outler hvs de er < Q, 5IQR eller > Q, 3 5IQR Hvs observasjoe er < Q 3IQR eller > Q 3IQR 3 kalles de ofte for e ekstrem outler Eks. Gtt tallmateralet :, 5, 4, 7, 6, Spørsmålet er å om 6 er e outler. Legger e tallee kalkulatore fer e Q og Q 3 heholdsvs tl 4 og 7. Greer du å se hvorledes kalkulatore bereger kvartlee? E fer å m.a.o. IQR og dermed Q,5 IQR 7,5 3,5. Dvs at 3 6 er e outler sde de er >,5. dermed bør dee observasjoe fjeres fra tallmateralet før e gjør oe aalyser. Avedt Statstkk 9

12 Varase er det klart mest brukte spredgsmålet. Dette målet forteller hvor mye observasjoee avvker fra stt gjeomstt med. Varase er defert ved σ (( ( ( L ( E ser m.a.o. mer presst at varase først reger ut hvor mye avvker fra med, deretter kvadreres dette, så gjøres det tlsvarede for, osv., tlslutt gjøres det for. Etter dette deles alle dsse kvadrerte avvkee med, dvs. m.a.o. s at varase er gjeomsttlg kvadrert avvk fra gjeomsttet for alle observasjoee. Grue tl at ma kvadrerer er at ma ellers vlle få hver eeste gag, ford det ka vses geerelt at ma alltd har at Forklarg på dette er: ( ( ( L ( ( L ( L L ( Eks. Betrakter å tallmateralet på sde 9 der,,,, var gtt ved:,,, 3, 4, 3,,, 3,. Her fat v,3. Dermed blr varase σ ( (( ( ( L ((,3 (,3 L (,3,8 E ser m.a.o. at først så bereges avvkee fra gjeomsttet for hver eeste observasjo: (,3, (,3, L, (,3 (Vs at summe av dsse avvkee Deretter kvadreres dsse avvkee før de så adderes. Summe av de kvadrerte avvkee blr 8, (kotroller selv. Tlslutt deles summe av dsse kvadrerte avvkee på, e reger m.a.o. ut gjeomsttlg kvadrert avvk for de tallee. Som vst over må ma altså gjøre oe med avvkee før ma deler på ellers vl ma ku få gjeomsttlg avvk hver eeste gag. De ee mulghete er altså som her å kvadrere avvkee (da blr de egatve avvkee kvadrert postve. De adre mulghete er å berege absoluttverdee av avvkee, og så addere dsse og tlslutt dvdere med. Grue tl at ma har valgt kvadrerge er at dette de geerelle teore som er utvklet forbdelse med dette gr mye bedre matematske arbedsforhold. E ulempe med kvadrerge er mdlertd at varase får e ae beevg e de opprelge data. Tek for eksempel at de tallee er beløp kroer. Da vl gjeomsttlg beløp være,3 kroer, mes varase blr,8 kroer (m.a.o.,8 kvadratkroer, hva å det måtte være for oe?. For å korrgere for dette ( m.a.o. ha et spredgsmål med samme beevg som dataee så føres det såkalte stadardavvket som er kvadratrote av varase. M.a.o.: Stadardavvket σ Varase Avedt Statstkk

13 Det betyr at stadardavvket tallmateralet over er σ, 8,9 (kroer. Ma ka her aalogt tl overgage fra tl f k k k sette opp e tlsvarede kortere bereggsformel for varase ved å slå samme de lke leddee: ((,3 (,3 (,3 (3,3 (,3 (3,3 (,3 (4,3 (3,3 (,3 ( (,3 4 (,3 Dette leder dermed tl følgede formel: 3 (,3 (3,3,8 σ m f ( ( ( ( ( k k f f L f m m k der m er atall forskjellge -verder. Dette er jo praktsk (foreklede år ma har mage lke tall å arbede med og skal gjøre bereggee for håd, me så fort e overlater bereggee tl TI-83 `s statstkkprogrammer eller SPSS er det helt uvesetlg hvlke bereggsformel som lgger bak. Nå er det kaskje oe som husker at ma skal dele på (- og kke år ma bereger varase. Når skal ma gjøre hva? Det er valg å kalle σ for populasjosvarase, dvs. varase tl alle elemetee e øyeblkket teresser seg for. Nå er det valg at kke hele populasjoe er kjet, me at ma tar et tlfeldg utvalg for å få kuskap om populasjoe. I dette utvalget ka ma så berege varase som dermed kalles for utvalgsvarase, og beteges med s. Dee utvalgsvarase vl jo måtte være et tall ærhete av σ sde utvalget vårt er represetatvt. Det ka de matematske statstkke vses at s lgger ærmere σ (treffer bedre år ma deler på (- e hvs ma deler på. Mer presst: Det ka vses at E( S σ, m.a.o. S (varabele kyttet tl s er e forvetgsrett estmator for σ. Det betyr da at s f ( f m ( ( ( ( k k f L f m m k er et bra estmat for σ. Det er valg å bruke s år ma opererer med et utvalg av data. Kjeer ma hele populasjoe bruker ma σ. Når tallmateralee blr store spller det lte rolle om ma deler på (- eller. Avedt Statstkk

14 Avedt Statstkk Eks. Ata at summe av de kvadrerte avvkee er 5 og at 5. Da blr σ 5 4, 5 5, mes s 59 4, 5 5 som resulterer følgede stadardavvker: σ,,5 4 og 3,,59 4 s M.a.o. det blr helt ubetydelge forskjeller. For å kue skjele ltt bedre mellom σ og s bruker e oe bøker N på atallet populasjoe, og på atallet utvalget. Det betyr at populasjosvarase blr gtt ved ( ( ( ( ( f f f N f N m m m k k k L σ og utvalgsvarase blr gtt ved ( ( ( ( ( f f f f s m m m k k k L Grupperte tallmateraler. Det er ofte slk at e del store tallmateraler er ordet tabellform, for å skape mer overskt (se for eksempel statstsk årbok e det råmateralet gjør. Dette vl da være e tlærmet agvelse av de opprelge dataee. Eks. Ata at et tlfeldg utvalg på observasjoer er gtt ved: :, 3, 6, 5, 7,, 8, 9,4,,, 5, 3, 6, 6, 4, 9, 8, 7,3 Først skal v rege eksakt på dette tallmateralet, for deretter å orgasere tallee e tabell og så sammelke resultatee. Det ordede tallmateralet gjør det ltt lettere mht. bereggee. : (, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9,,,, 3,4,4 E fer å det artmetske gjeomsttet f f f f m m m k k k L L 7,9 og utvalgsvarase ( ( ( ( ( f f f f s m m m k k k L

15 ( ( 7,9 (3 7,9 L (4 7,9,9 (,9368 Dermed blr stadardavvket s,9 3, 6 ( I mage sammeheger er et slkt tallmaterale gtt tabellform som følger: Klassegreser Frekves Klassemdtpkt. f k k [, 5 3,5 [ 5, 7,5 [, 5 6,5 Da er kke råmateralet kjet slk som her. Det betyr at e å ku vet at det er 3 observasjoer mellom fra og med og tl 5, observasjoer mellom 5 (f.o.m. og (tl, osv.. Ma velger å puktet mdt klasse som represetat for de ukjete verdee. M.a.o. det er 3 observasjoer som er,5 (eksakt er de, 3 og 3 hvs ma ser på råmateralet, observasjoer som er 7,5, osv. Med dee tlærmge fer e å k m f k k f f L f m m 3,5 7,5 6,5 8,3 (8,5 som avvker ltt fra de eksakte verde på 7,9. Nå skal det bemerkes at ved større tallmateraler så blr forskjellee gjeomgåede mye mdre. Tlsvarede fer ma varase tabelle: m s f ( (3 (,5 8,3 (7,5 8,3 6 (,5 8,3 k k,3 k Herav fer e da stadardavvket s,3 3, 4 Øsker ma å legge dsse tallee lstee TI 84 går e fram som følger: Trykk først på STAT-taste. Da får du opp følgede blde: Trykk så på ENTER-taste og du får opp følgede blde: Avedt Statstkk 3

16 Kalkulatore er å klar tl å ta mot tall de forskjellge lstee. Legger så klassemdtpuktee lste, L, og frekvesee lste, L. Dette gr da følgede blde: Nå trykker e så på STAT-taste gje, me velger å stede alteratvet CALC (calculatos. Dette gr følgede blde: E bruker å : -Var Stats ( evarabelstatstkk på følgede måte: Trykk først på ENTER og deretter på ND, så på kommataste, og tlslutt på ND. Du vl da få opp følgede blde: Trykker e å på ENTER-taste får e følgede blde: Avedt Statstkk 4

17 Her får e å bekreftet bereggee over, og tllegg bereget de tre kvartlee. E ser at dette avvker e del fra bereggee råmateralet: :, 3, 6, 5, 7,, 8, 9,4,,, 5, 3, 6, 6, 4, 9, 8, 7,3 Hvor e fat Q 5 og Q 3, me det skyldes de forskjelle som er mellom råmateralet og tabellmateralet ' :.5,.5,.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5,.5,.5,.5,.5,.5,.5. E har at medae M er gtt ved 7,5. Q og Q3 ser e blr heholdsvs 7,5 og,5. Legg merke tl at og M blr lke. Hvorda vl du kommetere dette? Q Nå ka medae ( og kvartlee bereges ved hjelp av tabelle på e tlærmet måte. E har at Re st M L v f der L edre klassegrese de klasse hvor medae lgger, f frekvese de klasse hvor medae lgger, v klassevdde medaklasse og Rest det e magler for å komme fram tl medae (dvs det atall observasjoer e magler fra L og fram tl observasjo r. observasjo r. år er et lte tall** I vårt eksempel fer e M Re st,5 3 L v 5, 5, 8,4 f det medae er observasjo r.,5 som lgger klasse r som har edre klassegrese 5, e klassevdde på 5 og e frekves på. Rest blr dermed,5-3 der 3 er det atall observasjoer som lgger klassee før medaklasse (her ku klasse r Avedt Statstkk 5

18 De samme tekkke ka brukes tl å berege Q og. E har å tlsvarede Q 3 Q st L Re v f der L edre klassegrese de klasse hvor.kvartl lgger, f frekvese de klasse hvor.kvartl lgger, v klassevdde klasse hvor medae lgger og Rest det e magler for å komme fram tl.kvartl (dvs det atall observasjoer e magler fra L og fram tl observasjo r. observasjo r. år er et lte tall Helt aalogt fer e Q 3 ved 4 st Q 3 L Re v f bortsett fra at ma å leter etter observasjo r. 3. Bereg å selv 3. kvartl og vurder 4 om svaret dtt er rmelg. ** At er et lte tall skal her bety at <. Hvs så leter e etter observasjo r 3,,,..osv år ma skal berege kvartlee. Dette er e mye eklere og logsk 4 4 tekemåte. Når ma for eksempel skal fe deslee ( de verdee som deler tallmateralet 3 9 deler leter e etter observasjo r.,,, L,. Det er dessute veldg lte forskjell på de to metodee år er stor Ata for eksempel at 5, at L edre klassegrese de klasse hvor.kvartl lgger 39,5 ; at f frekvese de klasse hvor.kvartl lgger 47, at v klassevdde medaklasse, og at det lgger 5 observasjoer før klasse som eholder første kvartl. Nå blr 6.75 og 4 4 6,5. Dermed blr Rest det e magler for å komme fram tl.kvartl 6, ,75 eller 6,5-5 37,5. Det betyr at. kvartl bereget ved de metodee blr heholdsvs Re st 37,75 Q L v 39,5 47,53 f 47 37,75 Q 39,5 47,48 47 Det blr mao. e forskjell på,5 ved de to bereggsmetodee. Avedt Statstkk 6

19 Skjevhet * V har tl å sett på mål på setral tedes og mål på spredg. Dsse kalles ofte heholdsvs første- og adre-ordes mål. I e del sammeheger er det også yttg å se på høyere ordes mål. Ata at v har observasjoer,,l L V deferer derfor å det såkalte r.teordes mometet omkrg ved m r r ( r,, 3,.. hvs alle observasjoee er forskjellge, eller ved m r f k ( k k r r,, 3,.. hvs e del av observasjoee er lke, eller dataee er gruppert. Det er kke egetlg oe forskjell på de to formlee (jfr. de to formlee for varas det hvs alle frekvesee var lk så er alle -ee forskjellge og formel fremkommer. E ae tg er at e godt ka bruke formel alle tlfellee, me e blr da sttede å addere mage lke ledd der e har lke observasjoer stedefor å multplsere (m.a.o er tygre å rege ut e 9*5 Det betyr m.a.o. at formel er e kortere (og greere formel å bruke e formel år det er mage lke data. Det ka vses at m uasett tallmaterale (se regeregler for summer Sydsæter App.A m Dessute har e at ( ( m ( varase et tallmaterale σ (egetlg populasjosvarase Nå skal v også betrakte m 3 og m 4. Dsse har betydg for e del av aalysee som skal gjøres seere. Tredjeordesmometet omkrg defert ved m 3 f k ( k k 3 brukes tl å berege skjevhete ( the skewess e fordelg. Hvs e fordelg har ekelte små verder som skller seg fra de øvrge (fordelge vl da ha e hale mot vestre så ser ma at skjevhete er egatv. Hvs fordelge er symmetrsk så Avedt Statstkk 7

20 er skjevhete. Har fordelge ekelte store verder som skller seg fra de øvrge (fordelge har da e hale mot høyre så er skjevhete postv. Ifølge Jøreskog ( Formulas for Skewess ad Kurtoss 999 så bereges skjevhete ved først å rege ut m3 m3 g 3 3 m s der s er stadardavvket. g vl være egatv hvs m 3 er egatv, og postv hvs m 3 er postv. Deretter bereges ( justert g G ( g (justert g som er forvetgsrett (ormaltetsforuts. Nå skal v prøve å kotrollrege dee verde, og v treger altså både m og m 3. 9 V har tdlgere fuet s, 5 m, 5,69. I tllegg fer e å m 3 ved m 3 Dermed blr f k ( k k og dermed fer e 3 3 (,5 8,5 g m m 3 (7,5 8,5 5,7 3 (, ,64 6 (,5 8,5 3-5,7 ( 9 G g (,64,78 8 Det ka vses at stadardavvket tl g er gtt ved ( 6W N ( WN se g ( W ( W ( W 3 N N N Avedt Statstkk 8

21 N N der WN w ( vektee for observasjo L observasjoer. Dvs. at N, der N er atall 6N( N 6 9 se ( g,5 ( N ( N ( N Dette er et tall som ka brukes tl hypotesetestg og estmerg (kofdestervaller. Spsshet * Et aet vktg mål e fordelg baserer seg på fjerdeordesmometet omkrg, og dette måler grade av spsshet (kurtoss fordelge. Nå er flg. def. s.7 m 4 f k ( k k 4 Defer så g ved g m m 4 Grue tl at 3-tallet kommer er at ormalfordelge er spsshete akkurat lk 3,. Det betyr dermed at hvs e fordelg er spssere e ormalfordelge (spsshet > 3, så er g >, og hvs de er mdre spss e ormalfordelge så blr g <. Tlsvarede tl defsjoe av G deferes å G ved G 3 g ( ( 3 [( 6] ( som også er e forvetgsrett estmator uder ormaltetsforutsetge. Prøver å å sjekke bereggee MINITAB-utskrfte. Må da først fe m 4 ( m er kjet fra før. 4 f k ( k m 4 k Dermed blr 3 (,5 8,5 4 (7,5 8,5 m4 6, g m, (,5 8,5 4 6,95 og det forvetgsrette estmatet G Avedt Statstkk 9

22 9 G [( g 6] [ (.77 6] -,5495 -,55 ( ( som stemmer svært så bra med MINITAB s verd som er -,548. Fordelge er m.a.o. ltt mdre spss e ormalfordelge. På SPSS s hjemmesde fer ma også formele tl stadardfele (les stadardavvket tl g : se ( g 4( N ( se( g ( N 3( N 5 som satt N og se g,5 gr ( 4( (,5 se ( g,99 ( 3( 5 Dette ka da gje brukes tl å gjeomføre hypotesetestg og etmerg. Noe grafske framstllgsmetoder. For å skape e overskt og et blde av stuasjoe så bruker e ofte grafske framstllger av tallmateralet. Dette ka gjøres på flere måter. Hvlke metode e bruker er delvs avhegg av tallmateralet ( dvs. om varabele er dskret, kotuerlg, eller e kategorvarabel og hvlket publkum som skal se grafkke. Stolpedagram (bar chart Ata at ma har et tlfeldg utvalg på 3 karakterer matematkk e ugdomsskoleklasse. Varabele karakter er her dskret og ka ata verdee,,, 3, 4, 5 og 6. Ata at resultatet av udersøkelse ble: Elev Kar Nå bruker ma et såkalt stolpedagram for å framstlle dsse dataee grafsk: Legger e dsse dataee MINITAB vl e få følgede stolpedagram: Avedt Statstkk

23 Chart of C 4 3 Cout 3 C E ser at MINITAB velger å tege rektagler. Det er også valg å tege vertkale streker. Noe av de mest brukte grafske framstllgee for kotuerlge tallmateraler er hstogram og kurvedagram. Hstogram. Eks. Går e å tlbake tl tallmateralet på sde (aldersfordelge på bar og legger dette TI får e følgede hstogram av råmateralet: Abs. frek. f Har e mage observasjoer så blr dette fort uoversktlg. E lager derfor et passe atall tervaller (klasser. Her må e bruke skjø. E valg tommelfgerregel er å bruke 8- tervaller år det er e vss størrelse på tallmateralet. Velger e for eksempel klassevdde på tallmateralet over gr TI følgede grafske blde: (E bør å ha Wdow stlt som følger: Avedt Statstkk

24 Legg speselt merke tl at Xscl å er satt tl Abs. frek. f Bruker e dermot tabelle som utgagspukt (klassevdde 5 får e Velger e dermot å framstlle tabellmateralet grafsk fer e Abs. frek. f E må egetlg hver ekelt stuasjo avgjøre hva som best for at det grafske bldet skal represetere tallee på e best mulg måte. Har e for små klassevdder vl e lage et for detaljert blde, har e for store klassevdder vl e del detaljer bl vsket bort. Prøv selv med oe adre klassevdder. For kotuerlge data ka e alteratvt bruke kurvedagram stedefor hstogram. Her avsetter e puktee ( f, k,,.., K der K er atall klasser og teger rette ljer k, k mellom dsse. Det er svært valg ta med e start-klasse og e avslutgsklasse med frekves og dermed avsette puktet ( og puktet (. Da vl arealet av hstogrammet og, kurvedagrammet bl lke store. Tallmateralet tabelle vl da g følgede kurvedagram: K, Avedt Statstkk

25 Abs. frek. f Teg hstogrammet og kurvedagrammet samme koordatsystem og overbevs deg selv om at de dekker samme areal. Sumfordelgskurve ( sumpolygo E meget yttg kurve som ka brukes tl å lese av mage av de målee som v har bereget fora er de såkalte sumfordelgskurve. Her bereger e først de kumulatve relatve frekvesee Rk R( X k (mao. summe av de relatve frekvesee r k opp tl og med klasse k. Avsetter e lags førsteakse, R k lags adreakse og tlvekstrektagelet hver klasse framkommer de såkalte sumfordelgskurve ved å tege dagoalee gjeom hvert tlvekstrektagel. Eks. Går v å tlbake tl tabelle på sde har v å: Klassegreser Frekves Klassemdtpkt. Relatv frekv. Kumulatv rel. f k k r k frekves R k [, 5 3,5,5,5 [ 5, 7,5,55,7 [, 5 6,5,3, Framstller e dette grafsk får e: R k 5 5 Her er mao. kurve dagoalt gjeom rektaglee (som er hstogrammet tl dataee tabelle bare teget på e ltt ae måte fra puktet (, tl puktet (5, selve sumfordelgskurve. Dee kurve skal v å bruke tl å lese av.,. og 3. kvartl. For å Avedt Statstkk 3

26 fe Q lar e R k, 5 ( det betyr at ma har delt tallmateralet to slk at 5% lgger uder og 75% lgger over det tallet v å søker. E går så fra,5 på.akse og horsotalt bort tl sumfordelgskurve, deretter går e vertkalt ed tl. akse og leser der av Q : Q Q Q 3 Herav fer e at Q 5,8; Q medae 8, og Q, 3 8. Da har e at IQR,8-5,8 5, som er øyaktg de verde v fat ved regg for IQR. Noe adre grafske framstllgsmåter er: Kakedagram (Pechart Ata at det e klasse er 5 jeter og gutter. Legger e dette MINITAB og ber om pechart får e følgede blde: Pe Chart of C JJeter GGutter Category G J G 4,% 6,% J Stamme- og bladdagram (Stem ad leaf Ata at e klasse med 3 elever har hatt e matematkkprøve og resultatee ble: 37, 45, 56, 54, 38, 3, 45, 67, 65, 43, 3, 78, 98, 75,, 34, 45, 59, 67, 87, 76, 5, 8, 47, 88, 77, 59, 4, 9, 9. Avedt Statstkk 4

27 Legger e dsse tallee e koloe C MINITAB og gr følgede kommadoer GRAPH STEM AND LEAF C OK Får e følgede grafske framstllg: ( Av første rad ser e av tallet første koloe at det er observasjoer de første klasse og at dsse er heholdsvs ( -tallet fra koloe og tallet fra koloe 3 og 9 ( -tallet fra koloe og 9-tallet fra koloe 3. Tallee koloe kalles for stamme og tallee koloe 3 kalles for bladee. Tallee koloe forteller hvor mage observasjoer det er over/uder de aktuelle klasse med utak av klasse hvor medae lgger. Her dkerer (5 at medae lgger. Hvs ma teger hstogrammet for dee stuasjoe vl det ha samme form som tallee helt tl høyre (bladee bare dsse drees 9 grader. Tdsrekke (tdssere-plot Ata at e mdre bedrft har otert salget av et produkt de sste 8 måedee og fuet 56, 37, 59, 67, 49, 6, 78, 49 Fremstller e dette MINITAB va Tme Seres Plot får e følgede blde: 8 Tme Seres Plot of C 7 6 C Ide Avedt Statstkk 5

28 Dette er realtete kke oe aet e et kurvedagram hvor e avsetter tde lags førsteakse og de observerte verdee lags adreakse. Forskjelle er å mdlertd at kurve starter.pukt (salget måed og kke på selve.-akse som v gjorde for kurvedagrammet. Boksplot E mye brukt ekel fgur som samtdg vser mste -verd, største -verd, og de 3 kvartlee er det såkalte boksplottet som for de 3 karakteree eksempelet fora blr seede ut som følger: Boplot of C 8 6 C 4 De 5 målee på setral tedes som ags boksplottet kalles ofte på egelsk for the fveumber summary e datamegde. Selve bokse starter ved Q og slutter ved Q 3, de horsotale streke gjeom bokse vser medae de vertkale strekee over og uder bokse starter ved de mste -verde og slutter ved de største -verde. På kalkulatore blr dette seede ut som følger: Avedt Statstkk 6

29 4 6 8 Ehete på.akse er her, mes de på.akse er. E ser å at bokse er lk på de fguree bortsett fra at de sste lgger varett. Det såkalte modfserte boksplottet agr også evetuelle outlere datamateralet. Ata v har spurt 5 bar om hvor mage tmer de drver med dataspll på e valg hverdag. Resultatet av udersøkelse ble: :,, 3,,,, 3,,,,, 4, 7,, Outler E ser her at verde 7 er e outler og dermed blr fjeret fra dataee før boksplottet teges (dette ser e blat aet av at største verd å er 4. Kotroller å ved hjelp av regg 7 er e outler og at dette boksplottet er rktg. Geometrske fgurer. I mage sammeheger så bruker ma geometrske fgurer ( trekater, frkater, srkler, tegg av hus, meesker,.. år ma skal beskrve et tallmaterale. Speselt ofte brukes det år ma skal sammelke data for to forskjellge tdspukt. Fguree teges slk at arealet er proporsjoalt med de gtte tallee Ata for eksempel at omsetge år 4 var mllo kroer, mes de 5 økte tl mlloer. Hvorda skal dette teges ved hjelp av to kvadrater? Velger ma for eksempel e frkat for 4 som har sde cm, så må frkate for 5 være cm ( hvorfor det? Avedt Statstkk 7

30 4 5 Hvorfor blr det galt å velge sde cm for kvadratet for 5? Hvorda blr dette seede ut hvs ma velger srkler stede og radus for 4-srkele skal være cm? Normal kvatlplot (Normal quatleplot I mage sammeheger år v seere skal drve med estmerg og hypotesetestg så er e betgelse at tallmateralet er ormalfordelt ( eller tlærmet ormalfordelt Det er flere måter å sjekke dette på. E måte er å tege det såkalt kvatlplottet. Dette gjøres ved først å orde tallmateralet fra de mste tl de største. Har e for eksempel de 4 observasjoee 6,9; 5,8; 6,7; 7,6 (som er trukket på kalk. radnorm(7,,5 med desmal så blr dette ordet: : 5,8; 6,7; 6,9; 7,6 ( De 4 ordede observasjoee deler å arealet uder ormalfordelge ( 5 lke store deler som hver har et areal på, ( 5 E bereger så z-score svarede tl hver av dsse 4 puktee. De blr som følger z z vnorm(.. z.4 vnorm(.4 3 z. vnorm(.6 4 z. vnorm(.8,84 z, 5 z, 5 z, 84 E framstller så puktee z, et z- koordatsystem, mao. puktee ( ( (-.84, 5.8, (-.5, 6.7, (.5, 6.9 og (.84, 7.6 Hvs dsse puktee blr lggede tlærmet på e rett lje så kokluderer e med at tallee kommer fra e ormalfordelt populasjo. Legger e tallee på kalkulatore, får e følgede grafske blde: Avedt Statstkk 8

31 z E ser at puktee tlærmet lgger på svakt stgede rett lje, og kokluderer dermed at dataee er trukket fra e ormalfordelt populasjo. Hvs ma å stede velger å bruke MINITAB ved først å legge de 4 observasjoee koloe (C og så bruke kommadoee: STAT BASIC STAT Normalty test Select C Aderso-Darlg så får e følgede resultat: Probablty Plot of C Normal Percet Mea 6,75 StDev,746 N 4 AD,7 P-Value,66 5 5, 5,5 6, 6,5 C 7, 7,5 8, 8,5 Avedt Statstkk 9

32 Legg merke tl at MINITAB avsetter de observerte -verdee lags førsteakse og de kumulerte prosetvse z-scoree lags adreakse. E ser også her etter om puktee blr lggede (ev tlærmet lggede på e rett lje. Det testes (se hypoteseprøvg også om dataee er ormalfordelte gjeom følgede ullhypotese og alteratv hypotese: mot H : Dataee er trukket fra e ormalfordelt populasjo H A : Dataee er kke trukket fra e ormalfordelt populasjo E ser at MINITAB agr e P-verde på,66. Dette betyr mao. at H kke ka forkastes. Det er gaske sterke sgaler på at H er rett. De to adre testee MINITAB, Rya-Joer og Kolmogorov-Smrov, gr helt tlsvarede resultater dog med ltt lavere P-verd. Hvs dataee kke er ormalfordelte så ka ma prøve om det hjelper med e trasformasjo. Noe valge trasformasjoee hvs dataee eholder for mage store verder er: Logartmsk trasformasjo, dvs. bereg y l( Kvadratrottrasformasjo, dvs. bereg y Ivers trasformasjo, dvs. bereg y Test så om de ye dataee (y-verdee er ormalfordelte ved e av testmetodee over. Noe adre valge trasformasjoer hvs tallmateralet eholder for mage små verder er: Potestrasformasjo, dvs. bereg Ekspoetell trasformasjo, dvs. bereg a y der a > y a der a > Test så om de ye dataee (y-verdee er ormalfordelte ved e av testmetodee over. Hvs kke oe av dette fører fram så fes det såkalte kkeparametrske tester som ka brukes. 4. Ekel regresjo. Ata ma har parobservasjoer (, y der er gtte verder av e tlfeldg varabel X og y er verde av e tlfeldg varabel Y. Avedt Statstkk 3

33 .. 3 y y y.. 3 y Avsetter ma puktee (, y,,,3,., et y-koordatsystem fremkommer det såkalte spredgsdagrammet (the scatterplot : Eks. Ata ma har observert følgede sammeheg mellom X og Y y Spredgsdagrammet blr dette tlfellet Scatterplot of C vs C 8 C C 6 8 Ser e på spredgsdagrammet observerer ma at det er e postv rettljet tred sammehege mellom og y. Dette ka da beskrves ved følgede modell (husk at e modell er e etterlkg og foreklg av vrkelghete ( som her er represetert ved de parobservasjoee: y α β ε der ε er N(, σ (* ε kalles ofte støye ( eller felleddet, eg.:the error og atas å være ormalfordelt med forvetg og med e varas σ ( se ormalfordelge s 4 α β kalles ofte for regresjoslkge (de teoretske (eller sae for y med hesy på, eller av og tl for sgalet. Det betyr at ma ka s at y sgal støy. I statstkk er det valgst å ag lkge for e rett lje med ab stedefor ab som er valgst orske matematkkbøker. Modelle (* over gjelder selvfølgelg for alle observasjosparee. Ofte beskrves modelle derfor oe mer presst som følger: De tlfeldge varablee Y, Y,..., Y (gtt de tlsvarede -ee er uavhegge med Avedt Statstkk 3

34 eller ekvvalet forvetg µ α β og varas Y σ der Y α β e,,,..., e, e,..., e er uavhegge felledd som har forvetg og varas σ Lkgeµ α β kalles ofte for populasjosregresjoslkge for Y m.h.t.. Y Dee skal v prøve å estmere ved hjelp av et utvalg av observasjospar. V ka da fe e såkalt estmert regresjoslkg eller e såkalt utvalgsregresjoslkg som beteges ved y ˆ a b Dee vl da kue brukes tl å estmere fremtdge verder av Y, dvs. å lage progoser. a og b er da estmater for heholdsvs α og β. Dsse fer e ved hjelp av de såkalte mste kvadraters metode, som går ut først å berege avvkee e observert y verd estmert y verd y yˆ for all de puktee Scatterplot of C vs C 8 C C 6 8 Det betyr at hvert eeste pukt så bereges avvket mellom de observerte y-verde og de y-verde de ukjete lja y ˆ a b (det som er ukjet er a og b; det som er kjet er at det v skal fe er e rett lje. Ma bereger først e y yˆ y ( a b for,, 3,, Nå kvadreres alle dsse avvkee og deretter adderes de. Ma bereger m.a.o. Avedt Statstkk 3

35 f ( a, b e ( y ( a b for de leddee. Dette vl dermed være e fuksjo av varable (a og b, mer presst e aegradsfuksjo som beteges med f ( a, b. Hva tror du er grue tl at avvkee a og b kvadreres?. Fuksjoe f som altså er e fuksjo av varable derveres å (partelt med hesy på a og på b. Dette gjøres for å bestemme mmum av f. Ma bereger mao. f ( a, b f ( a, b og a b Deretter settes de derverte lk, dvs. ma løser lkgee f ( a, b a og f ( a, b b Dette utgjør to lkger med to ukjete (fortsatt a og b. Løses dsse to lkgee m.h.p. a og b fer e: a a( b( b( Dsse to lkgee kalles for ormallkgee regresjosaalyse utledet ved mste kvadraters metode. Grue tl at metode kalles mste kvadraters metode er ma først fer summe av de kvadrerte avvkee, og deretter mmum av dette. Dette betyr m.a.o. Eks. Går v tlbake tl vårt talleksempel på s. fer e, y y y y dermed blr ormallkgee: a 65b 76 65a437b 5 Løser e dsse m.h.p. a og b (ved e eller ae metode fer e a,57 og b,64 (med 3 desmalers øyaktghet Nå skal v kotrollere dsse bereggee ved hjelp av kalkulatores statstkkprogram og MINITAB. Avedt Statstkk 33

36 Regresjosaalyse ved hjelp av kalkulator: Med TI-83 gjør ma følgede : Trykk på STAT-taste. Trykk på ENTER. Du er å klar tl å legge tallee lste (-ee og lste (y-ee. Legg så tallee. Kalkulatore vser å: Trykk så på STAT- taste på ytt. v Gå så bort tl CALC med pltastee. v Gå så ed tl 8:LReg(ab v Trykk så ENTER. v Skrv så L, L rett etter LReg(ab (ved å trykke d deretter, (kommataste og tlslutt d v Trykk så ENTER Du vl å se at kalkulatore vser. M.a.o. v får bekreftet våre beregger over og tllegg oe beregger kyttet tl begrepet korrelasjo som v kommer tl ltt seere. Regresjosaalyse ved hjelp av MINITAB: STAT REGRESSION REGRESSION Avedt Statstkk 34

37 Respoce C (y-verdee, Predctors C (-verdee OK Du vl å få e utskrft som eholder flere mometer som eå kke er omtalt. De fleste av dsse skal v komme tlbake tl seere. De sste av tabellee er de v skal bruke å, og de ser ut som følger (selv her er det e del verder som for øyeblkket v kke skal kommetere Regresso Aalyss: C versus C The regresso equato s C,57,6 C Predctor Coef SE Coef T P Costat,57,448,9,6 C,6379,7337 4,5, S,6763 R-Sq 95,5% R-Sq(adj 95,% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso 96,96 96,96,, Resdual Error 4,57,457 Total,667 Her ser e at de estmerte koeffsetee er,57 og,64 for h.h.v. α og β, hvlket stemmer med våre tdlgere beregger. I tllegg ags stadardfele tl estmatoree tl α og β tl h.h.v.,443 og,73. Koloe som agr de stadardserte koeffsetee baserer seg på varablee agtt på såkalte stadardform (dvs z-scoree som framkommer ved å berege z s og tlsvarede for y-ee før aalyse gjeomføres. er det artmetske gjeomsttet og s er stadardavvket. Det betyr at beevge teller og ever blr lke, og dermed blr varablee dmesjosløse, dvs de blr uavhegge av de ehetee som brukes. Hvs ma ser på det geerelle lkgssystemet på s. 4, og løser dette (geerelt mhp. a og b, så ka det vses at b s y s og a y b der e har ført s y ( ( y y Avedt Statstkk 35

38 (som ofte kalles for kovarase mellom og y og s ( som er utvalgsvarase -dataee ( se sde 4 Eks. Nå ka det vses (ved å multplsere ut ( ( y y og ved å summere leddvs at s y ( ( y y y y og at s ( Dsse reduserte utrykkee gjør det lettere å berege a og b ved formlee over. Ma får ved hjelp av TI-83 og kommadoee følgede blde STAT CALC : -VAR STAT ENTER ND, ND ENTER Herav fer e da grett og s y y y 5 8, Avedt Statstkk 36

39 s ( 7,796 Dermed har ma: og herav: b sy 8,,638..,64 s 7, a y b,638,57 5. Ekel korrelasjo Ata ma har parobservasjoer (, y der er verde av e tlfeldg varabel X og y er verde av e tlfeldg varabel Y... 3 y y.. 3 y y Merk å at kke er gtte verder av X som uder regresjo, me verder av e tlfeldg varabel, og det betyr at de kke ka bestemmes på forhåd. M.a.o. er å både og y verder av tlfeldge varable. E ser (ltt foreklet at regresjoslkge forteller hvorda sammehege mellom X og Y er. Hvor god sammehege er, dvs. hvor godt puktee er kyttet tl lja måles ved de såkalte korrelasjoskoeffsete r som er et tall mellom - og. y Hvs det gjeomgåede er slk at små -verder hører samme med små y-verder, og store -verder hører samme med store y-verder, så ser v at X og Y er postvt korrelerte (dvs. at < r < y Eks. Vekt og høyde er to varable som er postvt korrelerte. Ata ma har målt høyde og vekt hos e tlfeldg valgt gruppe på meesker og fuet: y Spredgsdagrammet med regresjoslje vl da se ut som følger: Avedt Statstkk 37

40 95 Scatterplot of C4 vs C C C Hvs ma å ber MINITAB å rege ut korrelasjoskoeffsete ved kommadoee STAT BASIC STATISTICS CORRELATION får ma følgede utskrft: Correlatos: Høyde; Vekt Pearso correlato of Høyde ad Vekt,748 P-Value,3 Herav ser e at korrelasjoskoeffsete er,748 (m.a.o. postv Nå skal v kotrollrege dee utskrfte. Det ka vses at korrelasjoskoeffsete gtt ved: s y r y (* s s y r y er der s y og s er defert som fora på sde 8, og y s er gtt ved s y ( y y Hva tror du at dee størrelse represeterer? ( Vk: Sammelk med s Utrykket for r y gtt ved (* over er dvdert med s og s y for at r y skal være et tall mellom Avedt Statstkk 38

41 - og. Husk at s y sammeheg mellom X og Y. Dermed er m.a.o. sammeheg. Nå tlbake tl talleksempelet: E fer her: (kovarase mellom X og Y også måler grade av leær r y et stadardsert mål på grade av leær s s y y y y 6 65 L L ( 9, (,77... Dermed fer e tl slutt : s y ( ( y y y y (( L 7 85 [ 33 74,8 75,] 75, 6 9 r y s s y s y 9,6 75,6,77,748 som stemmer overes med MINITAB-utskrfte. Ata at sammehege mellom X og Y er som følger: y Spredgsdagrammet blr dermed som følger: Avedt Statstkk 39

42 Scatterplot of y vs 4 y og ma ser at sammehege er perfekt hvlket betyr at korrelasjoskoeffsete. Dette bekrefter også MINITAB: Correlatos: ; y Pearso correlato of ad y, P-Value * Hvs det gjeomgåede er slk at små -verder hører samme med store y-verder, og store -verder hører samme med små y-verder v at det er egatv korrelasjo mellom X og Y. Et eksempel på dette er følgede observerte sammeheg mellom etterspørsele (y og prse ( på e vare: y MINITAB gr å: Correlatos: ; y Pearso correlato of ad y -,954 P-Value,3 Kotrollreg selv at tallee over stemmer. E ser m.a.o. at korrelasjoe mellom X og Y er egatv, og este lk -. Avedt Statstkk 4

43 Hvs det er perfekt leær sammeheg mellom to varable og de er egatvt korrelerte vl korrelasjoskoeffsete være øyaktg lk -. Eks y 7, 6,9 6,8 6,7 6,6 MINITAB vser å: Bruker e kalkulatore fer e: Correlatos: ; y Pearso correlato of ad y -, P-Value * Teger e spredgsdagrammet samme med regresjoslkge fer e: Her har ma e perfekt leær egatv sammeheg (hvs ma ka se bort fra de dårlge grafkke på kalkulatore, og fer dermed e korrelasjoskoeffsete lk - ( Kotroller selv at på etter eller aet vs at dette stemmer I de stuasjoee v har sett på her har r vært ærhete av eller -, me mage stuasjoer er r ærhete av. Det betyr at utvalget vser at det tyder på at det kke er oe grad av leær sammeheg mellom de to varablee som er volvert, og det er e vktg koklusjo og evetuelt komme fram tl. Dette skal v komme ærmere tlbake tl seere uder avsttet om hypotesetestge. Imdlertd skal v kort bemerke her at år MINITAB-utskrfte ederst Avedt Statstkk 4

44 på sde 3 agr e sg.(sgfkassasylghet på.3 betyr det at v forkaster påstade om at populasjoskorrelasjoskoeffsete er, og påstår at de er forskjellg fra. Rskoe ( sasylghete for at v tar fel er,3. Eks. Hvs det kke ser ut tl å være oe leær samme heg mellom de to varablee, som for eksempel de observerte sammehege: y 3 4,5 4 Spredgsdagrammet blr dee stuasjoe: 4 Scatterplot of y vs 3 y,,5 3, 3,5 4, MINITAB gr å: Correlatos: ; y Pearso correlato of ad y, P-Value, E ser av tabelle og spredgsdagrammet at det kke er oe tedes verke de ee eller adre retge, og dette bekreftes av tabelle som agr r,. Et klasssk eksempel på e slk stuasjo er sammehege mellom skoummer og tekt. Ma ka mdlertd kke kokludere at det er årssaksammeheg mellom to varable selv om ma fer e korrelasjoskoeffset som er sgfkat forskjellg fra. Det fes mage eksempler på såkalt oseskorrelasjo hvor ma ka sette samme data fra to varable e tabell og så få reget ut e korrelasjoskoeffset. Et par adre klassske eksempler på dette er sammehege mellom atall barefødsler og atall regstrerte storker Damark, eller sammehege mellom lærerløgee Norge og atall prester på Jamaca. Avedt Statstkk 4

45 Hvs ma ku har observerte y-verder og ge kjeskap tl de tlsvarede -verdee, og ma øsker å lage e progose så vl det være aturlg å bruke y. Har ma dermot også de tlhørede -verdee, og det er e vss gru tl å tro at det er e sammeheg mellom og y så ka ma bruke dee tlleggskuskape tl å lage e mye bedre progose. Ata at (, y er et av de observasjosparee, og at sammehege mellom og y er beskrevet ved de estmerte regresjoslje for mhp. y ( y ˆ a b. V deferer å det såkalte totalavvket ved y y, (eg.: total devato det såkalte forklarte avvket ved yˆ y (eg.: eplaed devato og det såkalte uforklarte avvket y yˆ. (eg.: ueplaed devato E ser at totalavvket forklart avvk uforklart avvk ( vs dette Geometrsk ser dette ut som følger: (,y y Totalavvk Uforklart avvk Forklart avvk. Nå ka det vses hvs ma hvert eeste pukt kvadrerer og summerer avvkee over at ( y y ( yˆ y ( y yˆ Avedt Statstkk 43

46 (hopp gjere over dee forklarge, me det krever kke så mye matematkk ut over det at ( a b a ab b og at summe av flere ledd ka summeres leddvs Dette uttrykker e ofte som følger: Total varasjo Forklart varasjo uforklart varasjo Legg merke tl at kvadrerte avvk (eg.: squared devato beteges med begrepet varasjo (eg.: varato. De uforklarte varasjoe kalles også ofte restvarasjo, og er de dele av totalvarasjoe som kke blr forklart av regresjosaalyse. Det er også valg å kalle X- e for e forklargsvarabel det verde av dee er med på å forklare verde av Y. E ae måte å tolke korrelasjoskoeffsete r på er ved følgede sammeheg: Det ka vses at r ( yˆ ( y y y Forklart varasjo y Total varasjo y Det betyr at de kvadrerte korrelasjoskoeffsete kommer ærmere og ærmere ettersom de forklarte varasjoe kommer ærmere og ærmere de totale varasjoe, ( husk at: Total varasjo Forklart varasjo Uforklart varasjo dvs at de uforklarte varasjoe ærmer seg. r agr dermed et mål på hvor god regresjosaalyse er, og er et forklargsmål. På egelsk kalles de ofte for the coeffeset of determato. Eks. V går å tlbake tl eksempelet på sde 8 hvor de observerte sammehege mellom og y var som følger y V fat her r,748 hvlket gr r,56. Dette betyr at dee regresjosaalyse forklarer X 56% av totalvarasjoe Y, hvlket gje betyr at 44% av totalvarasjoe Y forblr uforklart ( skyldes adre faktorer. Legger ma å dsse dataee på ytt MINITAB så får ma bl.a. følgede utskrfter ved å gjøre e regresjosaalyse Regresso Aalyss: y versus The regresso equato s y - 67,5,86 Avedt Statstkk 44

47 Predctor Coef SE Coef T P Costat -67,48 44,77 -,5,7,86,558 3,9,3 S 7,38448 R-Sq 56,% R-Sq(adj 5,5% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso 555,36 555,36,8,3 Resdual Error 8 436,4 54,53 Total 9 99,6 Herav ser e bl.a. agvelse av de kvadrerte korrelasjoskoeffsete som stemmer med R,56, 748 som v bereget tdlgere. R R Square,56 I tllegg tl dette er 7 6 L 85 y 75, Dermed er det mulg å berege forklart varasjo og totalvarasjo ved å sette opp følgede tabell: y y y -5, -3, 5,8 6,8 -, -6, 7,8-8,,8 9,8 y ˆ y -, -8,,5 9,9 5,8-5,6 5, -4, -,7 -,3 Herav fer e og ( y y ( 5, ( 3, L 9,8 99,6 (Kotroller bereggee over. Dermed blr ( ˆ y y (, ( 8, L (,3 555, r ( yˆ ( y y y Forklart varasjo y Total varasjo y 555,,56 99,6 som stemmer med bereggee over. Avedt Statstkk 45

48 6. Ikkeleær regresjo V skal å se på hvorledes v ka bruke kalkulatore og MINITAB tl å bestemme adre treder e leære. Dvs. v skal se på e del ekle kkeleære fuksjoer f som passer tl de gtte dataee. Utgagspuktet er gje mste kvadraters metode, dvs v bestemmer fuksjoe f slk at ( yˆ f ( mmeres. Dette gjøres gje ved å partelldervere dette utrykket med hesy på de forskjellge parametree som går utrykket og sette alle dsse utrykkee lk. Dette gr p lkger med p ukjete hvs det er p parametre som går modelle. Kvadratsk regresjo. Ata at v å har et tallmaterale som har e tred hvor det er tydelg å se at det passer dårlg med e leær tlærmg. Eks. Ata at v har observert følgede sammeheg mellom og y: y Teger e spredgsdagrammet ser at det passer dårlg med e rettljet modell, me dermot bedre med e kvadratsk modell. Scatterplot of y vs 9 y V atar å at v har modelle y ˆ f ( a b c Avedt Statstkk 46

49 Lar å først MINITAB prøve å fe dee aegradsfuksjoe. E bruker da følgede kommadoer: STAT REGRESSION FITTED LINE PLOT QUADRATIC og fer. Ftted Le Plot y,9 3,4 -,685 ** S,355 R-Sq 86,7% R-Sq(adj 8,% 8 y E ser mao. at MINITAB foreslår at y ka estmeres ved hjelp av ˆ y f ( a b c,685 3,4,9 Er det mulg å kotrollere dee modelle? Ifølge mste kvadraters metode skal altså modelle bestemmes slk at ˆ ( yy ( y ( a b c mmeres. Dette utrykket er e fuksjo av de tre parametree a, b og c. Mmum av dee fuksjoe fer e av de tre lkgee : f ( a, b, c a f ( a, b, c b og f ( a, b, c c Nå ka det vses at dette fører tl følgede ormallkger: a a b c 3 b c 3 4 b c Dette er mao. tre lkger med de tre ukjete a, b og c. a y y y Avedt Statstkk 47

50 Å fe dsse summee og løse dette lkgssystemet er e tekologsk me overkommelg utfordrg på kalkulatore: Start med å legge - og y-verdee lste og. -varabelstatstkk på lste og lste gr da følgede summer: 4, For å fe de resterede 3 summee av L og L. Lag så 38, 3, y 57 og 4 og y 3 L 3 L og utfør -varabelstatstkk på y må e lage ye lster ved hjelp L. Dette gr da Lag deretter 3 L 4 L og utfør -varabelstatstkk på L 4. Dette gr: Tlslutt fer e (prøv selv 5437 y Lkgssystemet blr da på forme: 7a 4a 4b 38b 38c 88c a 88b 693c 5437 Dette ka løses på mage måter ved hjelp av kalkulatore. Bruker e matrseotasjo (forutsetter MAT 45 har e: a 7 b 4 c 38 Ved hjelp av kalkulatore fer e å a,685 b 3,4 c,9 som stemmer med bereggee MINITAB. Avedt Statstkk 48

51 Kubsk regresjo. Ata å at spredgsdagrammet har e form som gjør at det er mer aturlg å bruke e tredjegradskurve som modell, dvs ata at 3 y ˆ f ( a b c d Eks. Ata at ma å har observert følgede sammehørede verder mellom X og Y: X Y Spredgsdagrammet blr da: Scatterplot of y vs 9 y MINITAB gr å følgede modell med Ftted Le Plot: Ftted Le Plot y -,778 5,868 -,8768 **,3546 **3 y S,38 R-Sq 86,% R-Sq(adj 77,8% Avedt Statstkk 49

52 E fer mao. ˆ 3 3 y f ( a b c d,3546,8768 5,868,778 I oe sammeheger vl også e kubsk modell kue være bedre e e kvadratsk modell. Prøver v å å tlpasse e tredjegradskurve tl dataee eksempelet uder kvadratsk regresjo fer e: Ftted Le Plot y,59 4,58 -,5685 **,667 **3 y S,38957 R-Sq 89,4% R-Sq(adj 78,9% Nå ser e at forklargsgrade har økt fra 86,7% (kvadratsk modell tl 89,4% (kubsk modell Hvs ma prøver det tlsvarede på kalkulatore fer e etter å ha utført kommadoee STAT CALC 6:CubcReg ENTER L,L ENTER Teger e spredgsdagrammet samme med de fuee tredjegradskurve vser TI: Avedt Statstkk 5

53 E ser at dette stemmer perfekt med det som e fat MINITAB. Ser e ærmere på TI ser e at kalkulatore har et mye bedre utbygd apparat (flere mulgheter e det e fer på LeFt MINITAB. STAT CALC vser følgede mulgheter: E har tllegg tl leær regresjo (både yab og yab, kvadratsk regresjo ( modell ya^bc og kubsk regresjo (modell ya^3b^cd som MINITAB har også følgede: Med-Med regresjo som fer e leær regresjoslje som baser seg på å berege medae for -ee og for y-ee og la dsse legge grulaget for avvksmålee regresjosaalyse motsetg tl valg leæer regresjo hvor e bruker gjeomsttlg - verd og gjeomsttlg y-verd. Dette er fordelaktg år e har ekelte ekstremverder det medaee kke lar seg så lett påvrke av slke som gjeomsttee. Ser e å på eksempelet på sde 43 Avedt Statstkk 5