Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, , 310, 311, , 317, 319, 321, 322, 324, , 330, 331, 333, 337

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, 307 309, 310, 311, 312 316, 317, 319, 321, 322, 324, 326 328, 330, 331, 333, 337"

Transkript

1 3 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre rede for funksjonsegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsegrepet eregne nullpunkter og skjæringspunkter og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene lage og tolke funksjoner som eskriver praktiske prolemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for en tilnærmet, lineær funksjon ruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner STIFINNEREN 3.1 Funksjoner og grafer 3. Graftegning med og uten digitale verktøy 3.3 Førstegradsfunksjoner 3.4 Lineær vekst. Lineær regresjon 3.5 Polynomfunksjoner 3.6 Rasjonale funksjoner 3.7 Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner 3.8 Graftegning med regneark Sti 1 Sti Sti 3 300, 301, 30, 303, 304, , 310, 311, , 317, 319, 31, 3, 34, 36 38, 330, 331, 333, , 345, 347, 348, 350, , 361, 363, , 370, 371, 373, 374, , , 301, 30, 303, 304, 305, 306, 307, , 311, 31, , 319, 30, 31, 3, 34, 37 38, 330, 331, 33, 333, 335, 336, 337, , 345, 347, 348, 350, 35, , 358, 361, 363, 364, , 370, 371, 373, 374, 375, 378, 381, , , 30, 303, 304, 305, 306, 307, , 31, 313, 314, , 319, 31, 3, 34, 35, 37 38, 330, 331, 333, 334, 336, 337, , 347, 349, 350, 354, 355, , 361, 363, 364, 365, 366, , 373, 374, 375, 378, 379, 381, 384, , rette eller gale: s. 77 Blandede oppgaver (39 X3.6): s. 78 Utvalgte løsninger: s. 170 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 304, 317, 39, 359 Skriftlige ferdigheter: 304, 317, 39 Leseferdigheter: 35, 336, 339, 388 Digitale ferdigheter: 309, 310, 311, 31, 313, 314, 315, 389, 390, 391 Interaktive oppgaver: Lokus.no

2 Kapittel 3: Funksjoner Funksjoner og grafer 300 y 1 1 Figuren viser grafen til en funksjon. D = 6, 10 a Bestem nullpunktene til funksjonen. Finn topp- og unnpunktene på grafen. c Hvor skjærer grafen andreaksen? * 301 Grafen viser antall esøkende i adelandet Haifinna fra 1. juni til 7. juni. Antall a c d Hvilken dag var det flest esøkende, og hvor mange var det da? Når var det færrest esøkende, og hvor mange esøkende var det da? Hvilke dager var det mer enn 360 esøkende? Haifinna må ha minst 30 esøkende per dag for at illettinntektene skal dekke driftsutgiftene. Hvilke dager gikk Haifinna med underskudd? Dag 30 Irahim målte utetemperaturen hver time i tidsrommet en dag i mars. Resultatet ser du i taellen. Kl Temp. i ºC,0 1, 0, 1,3,3,5,9,8,6,0 1,3 Termometeret til Irahim har maksimums- og minimumsfunksjon, og det viste at den høyeste temperaturen var 3, C. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan temperaturen varierte med klokkeslettet.

3 54 Kapittel 3: Funksjoner 303 a y 4 4 Finn verdimengden når definisjonsmengden er y [ 3, 5]. Hva er verdimengden her hvis definisjonsmengden er alle reelle tall? 304 Lag en kort forklaring til hvert av egrepene nedenfor. Tegn figur der det er naturlig. koordinatsystem toppunkt førsteaksen funksjon andreaksen funksjonsverdi origo definisjonsmengde førstekoordinat verdimengde andrekoordinat nullpunkt unnpunkt

4 Kapittel 3: Funksjoner Kr Alder I et idrettslag varierer treningsavgiften med alderen slik figuren ovenfor viser. Nedre aldersgrense for å trene med laget er 8 år, og fra og med fylte 18 år etaler alle den samme treningsavgiften. Symolet [ på figuren etyr «fra og med». Symolet etyr «til» (ikke «til og med»). a Hvor stor er treningsavgiften for en 10-åring? Hvor stor er treningsavgiften for en på 17 år? c Bruk informasjonen på figuren til å lage en taell som viser hvordan treningsavgiften varierer med alderen. d Forklar hvorfor treningsavgiften er en funksjon av alderen. 306 For fartsoverskridelser opp til en viss grense får ilføreren et forenklet forelegg. For fartsgrenser på 60 km/h per time var dette satsene høsten 005: Fartsoverskridelse til og med 5 km/h 10 km/h 15 km/h 0 km/h 5 km/h Sats 600 kr 1600 kr 900 kr 400 kr 6500 kr Lag en grafisk framstilling av taellen.

5 56 Kapittel 3: Funksjoner 307 På side 105 i læreoka leste du: «Når det til hver verdi av svarer én estemt verdi for y, sier vi at y er en funksjon av.» Se på grafene nedenfor. Hvilke av disse grafene er grafen til en funksjon? Gi en kort forklaring. A y B y C y D y E y F y 308 Hva er den mest omfattende definisjonsmengden vi kan ha for 4 a y = y = 5 c y = 6

6 Kapittel 3: Funksjoner Graftegning med og uten digitale verktøy 309 a Tegn grafen til y = 15, + 8på lommeregneren. Velg Xmin= 10, Xma=10, Xscale=, Ymin= 10, Yma=15 og Yscale=. Hva skjer dersom du 1 endrer åde Xscale og Yscale til 5, og lar de andre innstillingene være uendret endrer Ymin til 5 og Yma til Tegn disse rette linjene på papir. Bruk taellfunksjonen på lommeregneren til å finne de punktene du trenger. a y = for -verdier mellom 10 og 50. y = for -verdier mellom 0 og 500. c y = 015, + 8, for -verdier mellom 5 og 5. d y = for -verdier mellom 500 og Tegn grafen til funksjonen på lommeregneren. For hvilke verdier av stiger grafen mot høyre, og for hvilke verdier av synker grafen mot høyre? a y = + 1 y = + c y = 1 d 3 y = + 31 a Tegn grafen til y = + 3 på lommeregneren for [ 4, 6] Bruk lommeregneren til å finne unnpunkt, toppunkt og nullpunkter. c Tegn grafen til y på papir. Bruk først taellfunksjonen på lommeregneren til å finne punkter på grafen. 313 a Regn ut + for noen verdier av. Hvilke verdier kan ha? Tegn grafen til y = +. Du må taste inn funksjonen slik: y = ( + ). Bruk 10 som største verdi for. «Stemmer» grafen med det du fant ut i oppgave a? 314 a Tegn grafene til y = + 4 og y = + 4 i samme koordinatsystem på lommeregneren. Hvilken av grafene har et toppunkt? Har grafen til y = toppunkt eller unnpunkt? c Tegn grafen til y = og kontroller svaret på oppgave. d Vi ser på funksjonen y = + 4+ d. Eksperimenter på lommeregneren og finn ut hvilke verdier av d som gjør at funksjonen ikke har nullpunkt. 315 a Tegn grafene til y = 5 og y = 5 i samme koordinatsystem på lommeregneren. Hva slags kurve får du? Tegn en sirkel med radius 10 på lommeregneren.

7 58 Kapittel 3: Funksjoner 3.3 Førstegradsfunksjoner 316 Vi har tre førstegradsfunksjoner: 1: y = + 3 : y = +3 3: y = 45, + 3 a De tre linjene går gjennom samme punkt på andreaksen. Hvilket punkt er det, og hvordan ser du det? Lag taell og tegn linjene i samme koordinatsystem. 317 a Hva vet du om linjer som har et positivt stigningstall? Hva vet du om linjer som har et negativt stigningstall? c Tre linjer har samme stigningstall. Hva forteller det deg om linjene? 318 y 4 m 4 4 l Finn likningen for hver av linjene. * 319 a En linje med stigningstallet går gjennom punktet 1,. Tegn linja og finn likningen for linja. En linje med stigningstallet 3 går gjennom ( 0, 4). Tegn linja og finn ligningen for linja. 30 En linje går gjennom punktene 3, 11og, 4. a Tegn linja i et koordinatsystem. Finn likningen for linja. c Hva er nullpunktet for funksjonen? * 31 Undersøk om punktene 3, 7, 5, 1, 15, og 4, 3 ligger på grafen til funksjonen y = 15, + 3.

8 Kapittel 3: Funksjoner 59 3 En rett linje l går gjennom punktene, 9 og 5, 5. Hvilke av disse påstandene er riktige? A Nullpunktet for funksjonen er 5. B Linja har stigningstall. C Punktet ( 3, ) ligger på linja. D En linje gjennom 0, 5 med stigningstall skjærer linja l i punktet,,. ( 5 0) 33 Ligger punktene 6, 9, 3, og, 7 på samme rette linje? 34 y a Finn stigningstallet for linja. Finn nullpunktet for funksjonen. c Finn likningen for linja. Ligger punktene 8, 6 og 6, 1på linja? ( ) 35 a y (, y) y 1 ( 1, y 1) y y c Du skal finne funksjonsuttrykket for en rett linje l som går gjennom et kjent punkt ( 1, y1) og har stigningstallet a. Punktet (, y) skal være et vilkårlig punkt på linja. Bruk de to punktene til å sette opp et uttrykk for stigningstallet. Bruk dette til å vise at y y1 = a( 1). Da har du evist ettpunktsformelen. Bruk ettpunktsformelen til å finne likningen for linja gjennom punktet ( 3, ) med stigningstallet 4. Bruk ettpunktsformelen til å finne likningen for linja gjennom punktene 3, 9, 5 og 5, 6, 5.

9 60 Kapittel 3: Funksjoner Finn funksjonsuttrykket ved regning for en rett linje som går gjennom punktet P( 1, y1) og har stigningstallet a når a P = (, 3) og a = 3 P = ( 1, ) og a = c 3 P = ( 3, ) og a = Finn ved regning likningen for en rett linje som går gjennom punktene a ( 1, 1) og (, ) (, 3) og ( 1, 1, 5) c 1, 0 og,3 d 5, og 3, 3.4 Lineær vekst. Lineær regresjon 1 38 Regn ut f ( ), f og når f ( 3) a f = 3+ 4 f = 3 c f = 5 d f = Taellen viser antall esøkende i et alpinanlegg de første 7 dagene det er åpent. Dag nr Antall Lederen for anlegget uttaler til lokalavisa at det har vært en tilnærmet jevn økning i antall esøkende den første uka. Er du enig? Gi grunn for svaret ditt. * 330 Hos Superil og Nytteil kan du hver helg leie «flytt-selv-il». Figuren viser hvordan leien varierer med antall kjørte kilometer. Leie i kroner Superil 700 Nytteil Kjørte km

10 Kapittel 3: Funksjoner 61 a Gunnar og Lise skal flytte til en leilighet som ligger 1 km fra der de or nå. De regner med å kjøre 3 flyttelass. Hvilket firma er det rimeligste for dem? Av figuren ser du at hos egge firmaene estår leien av en fast del, pluss et tillegg for hver kjørte kilometer. Hvor mye koster hver kjørte kilometer hos Nytteil? Hvor stort er det faste eløpet hos Superil? Superil gjør en markedsundersøkelse og finner ut at de fleste som leier «flytt-selv-il», kjører mer enn 50 km. Superil estemmer seg for at de vil gi et edre tilud enn Nytteil til disse kundene. Det vil de gjøre ved å redusere den faste delen av leieprisen. c Hvor mye må Superil redusere den faste delen av leieprisen? 331 Bilen til Lene har en ensintank som rommer 65 liter. Bilen ruker i gjennomsnitt 0,8 liter ensin per mil. Lene fyller tanken full. a Hvor mange liter ensin har Lene igjen etter å ha kjørt 400 km? Etter å ha kjørt km har Lene igjen y liter ensin. Forklar at y = 65 0, 08. c Hvor langt kan Lene kjøre før ensintanken er tom? Finn svaret grafisk og ved regning. d Når det er fem liter ensin igjen på tanken, tennes det et varsellys på dashordet. Hvor langt kan Lene kjøre før varsellyset tennes? 33 Moiltelefonaonnementet til Ole Magnus har en fast månedsavgift på 149 kr. Samtaleprisen er 0,79 kr per minutt. Det er ingen startavgift. I aonnementet er det inkludert 100 SMS per måned. Ole Magnus får regning hver måned, og han sender aldri mer enn 100 SMS på en måned. a En måned hadde han 40 samtaler, og gjennomsnittstiden per samtale var minutter og 15 sekunder. Hvor stor le regningen denne måneden? For å regne ut hvor mye han må etale hver måned, kan Ole Magnus ruke formelen y = , 79 Hva står og y for i denne formelen? Hva er stigningstallet, og hva står stigningstallet for? Hva er konstantleddet, og hva står konstantleddet for? Ole Magnus har en avtale hjemme som sier at han selv må etale den delen av regningen som er over 300 kr. c Hvor mange minutter per måned kan Ole Magnus maksimalt snakke dersom foreldrene skal etale hele regningen? Finn svaret grafisk og ved regning.

11 6 Kapittel 3: Funksjoner 333 Bruk lineær regresjon på lommeregneren til å finne en lineær funksjon som passer est mulig til punktene a (, 56, ), ( 05,, 3, 3), ( 0, 5, 18, ), (, 06, ) og ( 4, 1, 35, ) ( 11,, 9, ), ( 0, 09, ), ( 11,, 13, ), ( 3, 1, 56, ) og ( 5, 96, ) c Tegn grafen til funksjonen i oppgave a med de oppgitte punktene på lommeregneren. Gjør tilsvarende for oppgave. 334 Når vi slår av strømmen til et fryseskap, stiger temperaturen i skapet. En modell sier at etter timer er temperaturen y, målt i celsiusgrader, gitt ved y = 05, 1. a Hva var temperaturen i fryseskapet da strømmen le slått av? Hva forteller stigningstallet deg? c Hvis temperaturen i skapet lir høyere enn 50, C, lir innholdet ødelagt. Hvor lenge kan strømmen være slått av uten at innholdet lir ødelagt? Når strømmen slås på igjen, er temperaturen gitt ved d Hva står k for? y = 15, + k. Vi ser på situasjonen der temperaturen i fryseskapet er 8 C når strømmen lir slått på igjen. e Hvor lang tid tar det før temperaturen i skapet igjen har litt 1 C? f Tegn grafen tilake til normal temperatur. 335 Fra 000 til 005 økte folketallet i en kommune fra til Vi antar at det har vært en jevn økning i folketallet. Hvilke av funksjonene nedenfor kan passe med denne opplysningen? Forklar. A B C D y = y = y = y = En kommune opplevde jevn nedgang i folketallet i årene Folketallet i perioden Finn en lineær modell som eskriver utviklingen i dette tidsrommet. Forklar hva de variale i modellen står for.

12 Kapittel 3: Funksjoner 63 * 337 En kommune har opplevd en jevn økning i folketallet. I taellen er antall år regnet fra 1995, dvs = 0 svarer til 1995, = 1 svarer til 1996, osv. Folketallet er f f a Bruk lineær regresjon til å finne den rette linja som passer est til punktene. Hva vil innyggertallet i 01 li etter denne modellen? januar veide Lars seg. Vekta viste 107 kg, og Lars estemte seg for at til sommeren skulle vekten være redusert til 85 kg. Taellen viser hvordan vekten endret seg de første ukene etter nyttår. Dato Vekt i kg a c d e Skriv inn de -verdiene som mangler i taellen. Merk av de fem punktene i et koordinatsystem. Bruk lineær regresjon på lommeregneren til å finne den rette linja som passer est til punktene. Tegn den rette linja inn i koordinatsystemet. Ser det ut som om Lars vil nå målet sitt? 339 På Statistisk sentralyrås hjemmeside finner vi denne oversikten over antall jordruksedrifter i Norge i årene a Bruk lineær regresjon til å finne den lineære modellen som passer est med tallene. I 005 var det 53 7 jordruksedrifter. Hvordan passer det med modellen du fant i oppgave a?

13 64 Kapittel 3: Funksjoner 340 Taellen viser gjennomsnittsvekten for jentearn de ni første månedene. Alder i måneder Vekt i kg 3,5 5,7 7,5 9,0 a Bruk regresjon på lommeregneren til å finne den lineære funksjonen f som passer est med tallene når er alderen i år og f vekten i kg. Hva er gjennomsnittsvekten for jenter på 4 måneder ifølge den funksjonen du fant i oppgave a? c Gjennomsnittsvekten for 3 år gamle jenter er 15,0 kg. Hvordan passer det med funksjonen du fant i oppgave a? Kommenter. 341 Taellen viser antall personiler i Norge i årene År Antall i millioner a c Bruk lineær regresjon til å finne en lineær modell som passer med tallene. La = 0 svare til I 003 var det personiler i Norge. Hvordan passer det med den modellen du fant i oppgave a? Når vil antall iler i Norge passere to millioner ifølge denne modellen? 3.5 Polynomfunksjoner 34 f() Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. a Finn unnpunket på grafen. Bestem nullpunktene til funksjonen. c Finn når f = 3.

14 Kapittel 3: Funksjoner a Tegn grafen til f = 6+ 5på lommeregneren. Bruk lommeregneren til å finne unnpunktet på grafen og nullpunktene til funksjonen. c Tegn grafen til f på papir. (Bruk f.eks. taellfunksjonen på lommeregneren til å finne andrekoordinatene til punkter på grafen.) d Hva er verdimengden til f? 344 Symmetrilinja for en parael har likningen =. a a En parael har alltid et toppunkt eller et unnpunkt. Forklar hvorfor dette punktet alltid ligger på symmetrilinja. La f være gitt ved f = 4 5. Finn unnpunktet på grafen ved regning. 345 En vårdag mellom kl. 1 og kl. 0 var temperaturen gitt ved T = 04, + 1, + 16 T står for antall celsiusgrader, og står for antall timer etter kl. 1. a Tegn grafen til T på lommeregneren for -verdier mellom 0 og 8. Hva var temperaturen kl. 1? Når var temperaturen 17 C? c Når var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? 346 Solkveld kiosk har funnet at overskuddet per dag ved salg av softis er gitt ved O = Her står O for overskuddet i kroner, og for antall solgte softis. a Tegn grafen til O på lommeregneren. Velg -verdier mellom 0 og 140. Hvor mange softis må kiosken selge for at overskuddet skal li størst mulig? Hvor stort lir overskuddet da? c Bestem nullpunktene til O. Hvilken praktisk tolkning har nullpunktene her? * 347 En edrift produserer og selger enheter av en vare per dag. Overskuddet i kroner er gitt ved O = a Hvor stort er overskuddet når det lir produsert og solgt 1 0 enheter per dag 60 enheter per dag Hvor mange enheter må produseres og selges for at overskuddet skal li 1000 kr per dag? c Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at overskuddet skal li størst mulig? Hvor stort er overskuddet da?

15 66 Kapittel 3: Funksjoner 348 Grafen til f = a + + c er en parael med symmetrilinje =. (Se også s. 138 i læreoka.) a a Hvordan ser du av funksjonsuttrykket at grafen til f = 05, har et unnpunkt? Finn likningen for symmetrilinja. c Finn unnpunktet på paraelen uten å tegne grafen. d Finn toppunktet på grafen til g = Bruk formelen i oppgave 348 til å finne likningen for symmetrilinja, og ruk den til å estemme maksimal- eller minimalverdi for funksjonene a f = 4 3 f = 05, + c f = 15, , d f = f() f() - 4 Hvilken av andregradsfunksjonene nedenfor har figur 1 til graf, og hvilken har figur til graf? a f = 1 f = + 1 c f = d f = a Forklar, uten å tegne figur, hvordan grafene til f = og g = vil ligge i forhold til hverandre. Kontroller svaret i oppgave a ved å tegne grafene på lommeregneren. 35 Den veilengden som en il kjører, fra føreren ser en hindring i veien til ilen stopper, kaller vi stopplengden. En vinterdag er Erik på vei til hytta si. Plutselig ser han en elg som står midt i kjøreanen ca. 130 meter foran ilen. Fartsmåleren viser ca. 90 km/h. Vi antar at stopplengden y meter er gitt ved y = 0, 3+ 0, 014 når farten er km/h. a Hvordan går det hvis elgen lir stående? Hvordan hadde det gått hvis Erik hadde holdt fartsgrensen på 80 km/h? c Hvor mange prosent er fartsøkningen når farten øker fra 80 km/h til 90 km/h? Hvor mange prosent øker den tilsvarende stopplengden?

16 Kapittel 3: Funksjoner Natt til 1. juni le Storstigen overrasket av et snøvær. Fra det egynte å snø til all snøen hadde smeltet igjen, var snødyden gitt ved 3 h = 0, , , 055 der er antall timer etter midnatt og h snødyden i centimeter. a Tegn grafen til h på lommeregneren. Når var snødyden,5 cm? c Når var snødyden størst, og hvor stor var den da? d Finn nullpunktene til h. Hvilken praktisk tolkning har nullpunktene her? I årene var innyggertallet i en kommune gitt ved 3 F = der = 0 svarer til 1995, og er antall år etter a Hvor mange innyggere var det i kommunen i 1995? Hvor mange innyggere var det i 005? Tegn en skisse av F. c Hvordan vil du eskrive variasjonen i innyggertallet i denne perioden? D A C B Figuren viser en paraelformet konstruksjon på en ro. Avstanden AB er 56 m. Den er delt i 8 like store deler ved hjelp av 7 stolper. Stolpen CD er 0 m. Likningen for en parael som er symmetrisk om y-aksen, kan alltid skrives på formen y = a +. a Vi legger inn et koordinatsystem med origo i C og den positive -aksen langs CB. Vis at likningen for paraelen lir 1 y = , Regn ut høyden på de seks andre stolpene. 356 En edrift produserer en vare som den selger for 440 kr per enhet. De daglige kostnadene ved å produsere enheter er gitt ved 3 K = 0, , a Sett opp et uttrykk for edriftens daglige inntekter, I kr, når den selger enheter per dag. Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem på lommeregneren. Hvor mange enheter må edriften produsere og selge per dag for at det skal li overskudd?

17 68 Kapittel 3: Funksjoner c Tegn grafen til overskuddsfunksjonen O = I K på lommeregneren. Hvor mange enheter må det produseres for at overskuddet skal li størst mulig? d Forklar hvorfor skjæringspunktene mellom grafene til K og I har samme -verdier som nullpunktene til O. 3.6 Rasjonale funksjoner Vi har gitt funksjonen f =. + 4 a Finn nullpunktet og skjæringspunktet med andreaksen ved regning. For hvilken -verdi er det rudd på grafen? c Bestem asymptotene. d Tegn grafen på lommeregneren og på papir. e Finn definisjonsmengden og verdimengden til f. f En funksjon g er gitt ved g = 05, 05,. Bestem grafisk skjæringspunktene mellom grafene til f og g. 358 Bestem asymptotene og tegn grafen til funksjonene a f = f = c f = d f = Kroppsøvingslærerne innhenter tilud på uss til aktivitetsdagen.blåuss AStilyr uss for 60 kr per deltaker. Prisen er asert på 35 deltakere. Blir det færre enn 35 deltakere, må skolen etale for 35 deltakere. Blir det flere enn 35 deltakere, øker ikke prisen. Det lir derfor illigere per deltaker. a Bruk informasjonen ovenfor og fyll ut taellen. Antall deltakere, Pris per deltaker, P Lag en grafisk framstilling som viser pris per deltaker som funksjon av antall deltakere. c Er tiludet fra usselskapet et eksempel på omvendt proporsjonalitet? Diskuter. 360 a Funksjonen f = er en rasjonal funksjon. Hvorfor? + Tegn grafen til f på lommeregneren for -verdier mellom 6 og 6. Bruk lommeregneren til å finne nullpunktene til funksjonen og toppunktet på grafen. c Finn definisjonsmengden og verdimengden til f.

18 Kapittel 3: Funksjoner a Tegn grafen til h =. + 1 Finn unnpunktet på grafen til h. c Finn definisjonsmengden og verdimengden til h. 36 * 363 Skolemusikken skal arrangere gjenforeningsfest. Det koster 100 kr å leie lokalet, og komiteen regner med å kjøpe inn duker og pynt for 450 kr. Maten koster 150 kr per person. a Hva lir prisen per person hvis 0 melder seg på festen? 1650 Vis at prisen per person er gitt ved E = + 150, der er antall påmeldte personer. c Tegn grafen til E for -verdier fra 5 til 30. d Hvor mange må melde seg på for at prisen per person skal komme under 50 kr? e 0 personer har meldt seg på festen. Komiteen prøver å overtale noen flere til å komme. Hvor mye vil prisen per deltaker synke hvis én til kommer? Et NSB kundekort koster 390 kr vinteren 006. Kundekortet er gyldig ett år og gir lant annet 30 % raatt på ordinær pris på alle togavganger. Kåre kjøper et slikt kundekort. Han reiser mye mellom Oslo og Lillehammer. Ordinær pris på denne strekningen er 304 kr. 390 a Kåre finner ut at prisen per reise nå er gitt ved E = Hvordan har Kåre tenkt? Tegn grafen til E. c d Hvor mange turer må Kåre reise for å spare inn kundekortet? Hvor mange turer må Kåre reise for at prisen per tur skal li mindre enn 50 kr? Finn svaret grafisk og ved regning. 364 meter Areal 4 m En hundeeier skal lage en luftegård til hunden sin. Han vil gjerde inn et rektangel på 4 m av hagen. Den ene siden av luftegården vender ut mot en vei. Se figuren. Den delen av gjerdet som vender ut mot veien, koster 400 kr per meter. Resten av gjerdet koster 00 kr per meter. Ut mot veien er gjerdet meter langt. Samlet kostnad for hele gjerdet er f kr. a 9600 Vis at f = 600+, der > 0. Tegn grafen til f på lommeregneren. c Finn den verdien for som gjør kostnaden til gjerdet minst mulig.

19 70 Kapittel 3: Funksjoner Elevrådet skal arrangere skolefest. Det koster 000 kr å leie lokalet. I tillegg regner de med 150 kr per deltaker til andre utgifter. a Hvor store lir de totale utgiftene T kr dersom det kommer 1 50 deltakere 80 deltakere Finn en formel for T. c Vi kaller prisen per deltaker for E. Forklar at E =. d Tegn grafen til E på lommeregneren. Bruk lommeregneren til å finne prisen per deltaker dersom det kommer 60 deltakere. e Sett opp en likning du kan ruke for å finne hvor mange deltakere det må være for at prisen per deltaker skal li mindre enn 180 kr. Løs likningen ved regning. For hvilke -verdier har røkfunksjonene rudd? a f = g = c h = d k = cm 10 cm 0 cm cm 0 cm cm Fargen reklameyrå skal lage en rektangulær plakat. Plakaten skal ha et rektangelformet tekstfelt med en hvit marg rundt. Se figuren. Plakaten skal ha et areal på cm. a Finn en formel for redden uttrykt ved høyden. Forklar hvorfor må være større en 40 og mindre enn 780. Vis at arealet A i cm av tekstfeltet er gitt ved A = c Finn høyde og redde på plakaten slik at tekstfeltet lir størst mulig.

20 Kapittel 3: Funksjoner En farikk har fått forespørsel om å lage firkantede kar uten lokk. De skal ha en kvadratisk grunnflate og romme 1000 liter. Det er viktig at karene lages med minst mulig materialer. Sett siden i grunnflaten lik dm og høyden av karet lik y dm. a Tegn figur. Finn y uttrykt ved. Kall overflaten av karet O dm 4000 og vis at O = +. c Tegn grafen til O på lommeregneren for -verdier mellom 1 og 10. Hvilken verdi har når O er minst? Hvor mange kvadratmeter er overflaten da? 3.7 Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner 369 I egynnelsen av 005 satte Elin inn 5000 kr på en ankkonto. Vi skal nå finne hvordan eløpet (kapitalen) vokser. Vi antar at anken gir 3 % rente per år, og at det ikke lir satt inn eller tatt ut penger av kontoen. År Kapital i kr ved egynnelsen av året Rente i kr , a Kontroller at tallene ovenfor er riktige. Hvorfor er renten for 006 større enn renten for 005? c Hvor stor er kapitalen ved egynnelsen av 007? Regn ut renten for 007. d Hvor stor er kapitalen ved egynnelsen av 008? e Finn også svaret på d ved å ruke formelen n Kn () = , 03 der K er kapitalen etter n år. 370 En edrift har 500 ansatte ved utgangen av 006. Ledelsen estemmer seg for å redusere antall ansatte med 6 % per år i fem år, fra og med 007. Vi lager en taell for utviklingen. År Antall ansatte ved egynnelsen av året Nedgang i antall ansatte i løpet av året

21 7 Kapittel 3: Funksjoner a Kontroller at tallene ovenfor er riktige. Hvorfor må 6 % nedgang per år ety en større nedgang i antall ansatte i 007 enn i 008? c Gjør nødvendige utregninger og fyll ut resten av taellen. d Finn også antall ansatte ved starten av 01 ved å ruke formelen n 6 An ()= 500, der A er antall ansatte etter n år Folketallet i en kommune var i starten av 006. En prognose viser at folketallet sannsynligvis vil minke med 4 % per år i en femårsperiode. a Hvor stor er vekstfaktoren? Hva er folketallet etter 1 ett år to år c Finn en formel for folketallet F etter år. d Bruk formelen og regn ut folketallet etter fem år. 37 a I en prognose for efolkningsutvinklingen i en kommune mente planleggingskontoret at 1,03 var et realistisk anslag for vekstfaktoren per år. Hva etyr en vekstfaktor på 1,03? Hva ville en vekstfaktor på 0,97 ety? 373 En edrift kjøper en ny maskin til kr. Bedriften regner med et verditap på 10 % per år. a Sett opp et funksjonsuttrykk V som viser maskinens verdi som funksjon av alderen. Tegn grafen på lommeregneren og på papir. c Finn ved regning verdien av maskinen etter fem år. d Hvor stort er verditapet i kroner det femte året? e Hvor lang tid går det før verdien av maskinen er halvert? * 374 Høyden h meter av en prydusk er gitt ved, h = 08, 04 der er antall år etter utplantingen. Modellen gjelder for 1 6. a Hvor høy var prydusken etter ett år? Hvor høy var usken etter seks år? Hvor mye vokste usken det sjette året? c Tegn grafen til f på papir. 375 I egynnelsen av 000 kjøpte Jan Olav andeler i et aksjefond for kr. Taellen viser verdien av andelene i egynnelsen av årene År Verdi i kr

22 Kapittel 3: Funksjoner 73 a Vis ved regning at verdien av andelene steg 3,5 % per år. Fra læreoka vet du at alle eksponentialfunksjoner kan skrives på formen f = a der er vekstfaktoren og a er funksjonsverdien når =0. Finn en eksponentialfunksjon som viser verdiutviklingen på aksjefondsandelene i denne perioden. c Modellen du fant i oppgave, passet godt fram til 006. Hva var verdien av andelene i egynnelsen av 006? En edrift produserte 3000 enheter av en vare i 005. Bedriften regner med å øke produksjonen med 10 % hvert år til og med år 010. a Hvor mange enheter vil edriften produsere i 006 og 007 etter denne modellen? t Produksjonen etter t år kan skrives ft () = , 10. Her er f(0) produksjonen i 005. Hvor stor lir produksjonen i år 010? Etter 010 regner edriften med at produksjonen fortsatt vil ha en årlig økning, men nå vil den årlige økningen være 5 % i året. Produksjonen i 011 vil være 5 % større enn i 010, osv. c Sett opp et uttrykk for produksjonen P når det har gått år etter 010. d I hvilket år vil produksjonen li større enn 7000 enheter etter denne modellen? Etter at en kultur med mikroorganismer fikk tilført en næringsoppløsning, er tallet på mikroorganismer gitt ved f = , 35, der er antall timer etter at kulturen fikk tilført næring. a Tallet på mikroorganismer vokser med en viss prosent per time. Hvor stor er denne prosenten? Hvor mange mikroorganismer var det i kulturen etter 6 timer? c Når passerer antall mikroorganismer 7000? 378 Du setter kr inn på høyrentekonto i den lokale anken. Renten er 3, % per år. Vi forutsetter at renten er fast. a Hvor mye har du i anken etter tre år? Hvor mye har du i anken etter fem år? c Tegn en graf og ruk den til å finne hvor lang tid det går før kapitalen er kr kr I perioden økte innyggertallet i en kommune med % per år. I 1999 var innyggertallet a Hvor mange innyggere var det i kommunen i 005? Hva var innyggertallet i 1997? c Hvor mange prosent økte innyggertallet fra 1995 til 005? Folketallet i en kommune minket fra 7500 i 005 til 775 i 006. Vi forutsetter at folketallet minker med samme prosent per år fram til 010. Hva vil folketallet være i 010?

23 74 Kapittel 3: Funksjoner Ofte er det slik at salget av en vare går ned når prisen på varen går opp. Undersøkelser viser at salget S per måned av en estemt vare er gitt 085, ved S = 40000, der er prisen i kroner. Modellen gjelder for [ 80, 100]. a Regn ut salget når prisen er 90 kr. Hvor mange prosent går salget ned dersom prisen økes til 100 kr? c Hvor mange prosent vil salget øke dersom prisen settes ned fra 90 kr til 80 kr? Metallegeringer kan korrodere (rytes ned) i luft. Undersøkelser av en estemt legering viser at tykkelsen på korrosjonslaget er, en funksjon av tiden. Funksjonen er gitt ved f = 0, , der f er tykkelsen av korrosjonslaget i mm etter måneder. Funksjonen gjelder for 1. a Tegn grafen til f på papir. La [ 1, 70]. Finn tykkelsen på korrosjonslaget etter 5 år. c Hvor lang tid vil det gå før korrosjonslaget er mm tykt? Du har sikkert lest i avisene at selv et lite hull på en vannledning kan føre til at store mengder vann renner ut. En estemt vannledning har et vanntrykk på 5 atm. Hvis det går hull på denne ledningen, vil vannmengden som renner ut per uke, være gitt ved 178, f = 11, 56. er diameteren på hullet i mm. f måles i m 3. a Hvor mye vann renner det ut per uke fra et hull som har en diameter på,0 mm? c Finn diameteren på hullet når det renner ut 00 m 3 /uke. Hvor mange prosent vokser vanntapet hvis diameteren på hullet øker med 10 %? Når tøy sentrifugeres i en vaskemaskin, lir det delvis tørt. Hvor tørt tøyet lir, avhenger av omdreiningshastigheten på sentrifugen. Når omdreiningshastigheten oppgis i antall omdreininger per minutt, er 063, restfuktigheten f i prosent gitt ved f = 46, [ 500, 1500]. a Finn restfuktigheten når omdreiningshastigheten er 800 omdreininger per minutt. Tegn grafen til f på papir og på lommeregneren. c Finn omdreiningshastigheten når restfuktigheten er 0,80. d Finn den prosentvise endringen i restfuktigheten når omdreiningshastigheten økes med 0 %. Taellen viser verdien av en il. Pris på ny il Verdi etter ett år Verdi etter to år Verdi etter tre år Verdi etter fire år kr kr kr kr kr Bruk taellen til å finne en eksponentialfunksjon som viser ilens verdi år etter at den le kjøpt.

24 Kapittel 3: Funksjoner Når gammastråler sendes gjennom en lyvegg, vil intensiteten avta. Etter å ha passert en lyvegg med en tykkelse på mm, er intensiteten I gitt ved I = I0 0, 9438, der I 0 er intensiteten før strålen treffer veggen. a Bestem vekstfaktoren. Hvilken praktisk tolkning har den her? Finn hvor mange prosent intensiteten er redusert med etter å ha passert en 15 mm tykk lyvegg. c Hvor tykk må lyveggen være for at intensiteten skal li halvert? Innenfor et avgrenset område regner vi med at hareestanden er 1600 harer. Vi skal studere to ulike modeller for hvordan hareestanden kan utvikle seg. a Ifølge modell A vil estanden øke med 1 % i året. Finn hareestanden etter ett år og etter to år ifølge denne modellen. Finn en formel for hareestanden f etter år. Hva lir estanden etter ti år ifølge denne modellen? Ifølge modell B vil hareestanden øke med 00 harer i året. Hva lir da estanden etter ett år og etter to år? Finn en formel for hareestanden g etter år. Hvor stor lir hareestanden etter ti år ifølge denne modellen? c Hvor stor må hareestanden ha vært for tre år siden ifølge de to modellene? Mye av det vi vet om fugler, kjenner vi fra ringmerking. Registrering tyder på at kjøttmeiser sjelden dør av alderdom. Derfor vet vi ikke riktig hvor gamle de kan li, iologisk sett. Kjøttmeiser kan ha omtrent 45 % dødelighet fra år til år. At dødeligheten er så stor, kommer lant annet av at mange ikke overlever vinteren. Den eldste kjente ringmerkede kjøttmeisen var 15 år. a Hvor mange prosent av kjøttmeisene lir minst 1 år gamle? c d e Hvor mange prosent lir minst 4 år? Vi setter at antall gjenlevende kjøttmeiser etter år er f %. (Vi ser altså ort fra at det fødes nye kjøttmeiser.) Finn et uttrykk for f og tegn grafen til f på papir. Vi tenker oss at dødeligheten lir noe mindre etter første leveår, for eksempel på grunn av at kjøttmeisene lir mer erfarne. Hvordan vil det virke inn på grafen? Ifølge en artikkel i Agderposten (1999) har en kjøttmeis i 1 år hatt tilhold i kjøkkenskapet hos en dame på vinterstid. Drøft om denne meldingen kan virke rimelig.

25 76 Kapittel 3: Funksjoner 3.8 Graftegning med regneark 389 Taellen nedenfor er hentet fra internettsiden til Sosial- og helsedirektoratet. Årlig omsetning av øl, vin og rennevin. Liter ren alkohol per innygger, 15 år og oppover. Kilde: Sirius og SSB Bruk for eksempel et regneark og lag en eller flere grafiske framstillinger som illustrerer taellen. Hvordan vil du eskrive utviklingen i alkoholforruket i denne perioden? 390 Statistisk sentralyrå har lant annet undersøkt hvor stor prosentdel av kvinner og menn som har vært på kino de siste 1 månedene. Resultatene for perioden ser du nedenfor. Bruk et regneark og lag en grafisk framstilling som illustrerer taellen. 391 Et moiltelefonaonnement har som regel en fast avgift per måned. I tillegg må du etale en pris per minutt for samtalene, og du må etale for å sende SMS- og MMS-meldinger. Bruk et regneark til å lage grafiske framstillinger som viser hvordan månedsprisen avhenger av samtaletiden antall sendte SMS antall sendte MMS Bruk Internett til å finne aktuelle priser.

26 Kapittel 3: Funksjoner rette eller gale 1 0, 5 er et punkt på andreaksen. Linjene y = 3+ 4 og y = + 3 går gjennom samme punkt på andreaksen. 3 Linja på figuren nedenfor har som stigningstall. y Linjene y = 4 og y = 3+ 6 skjærer hverandre i et punkt på -aksen. 5 Funksjonen nedenfor har 3 som nullpunkt. y Funksjonen f = + 6 har,3] som verdimengde. 7 Grafen til en førstegradsfunksjon og grafen til en andregradsfunksjon vil alltid skjære hverandre Grafen til funksjonen f = har rudd for = Funksjonen f = er definert for alle verdier av f = er en tredjegradsfunksjon. 11 f = 3103, og g = 309, er to skrivemåter for samme funksjon. 1 f = 4 er et eksempel på en potensfunksjon. 13 Når noe vokser eksponentielt, øker det med like mange prosent i hver periode. 14 Punktet ( 4, 5) ligger på linja y = En positiv eksponentiell vekst vil i det lange løp alltid «vinne» over en lineær vekst.

27 78 Kapittel 3: Funksjoner Blandede oppgaver 39 a Tegn grafen til disse funksjonene på lommeregneren: c f = 4, g = 6, h =, k = 3 Beskriv funksjonene og sammenlikn. Ved å ruke de fire regningsartene (addisjon, sutraksjon, multiplikasjon, divisjon) skal du sette sammen to eller flere av funksjonene til en ny funksjon s slik at 1 s( 10) lir størst mulig s( 10) lir så nær null som mulig 393 Denne oppgaven egner seg godt for regneark. Vi skal studere to modeller for lønnsøkning. Modell A: Lønna øker med 8000 kr per år. Modell B: Lønna øker med 3 % per år. Vi tenker oss at Lasse Lømdal har en årslønn på kr, og at han kan velge mellom de to lønnsmodellene. a Hvor stor vil årslønna være etter to år hvis han velger modell A? Hvor stor vil årslønna være etter to år hvis han velger modell B? Når vil årslønnene være like etter de to modellene? c Hvilken modell vil det lønne seg for Lømdal å velge? h Av en sirkelformet pappskive skal det lages et kremmerhus (en kjegle) uten lokk. En sektor klippes ut, og resten formes til en kjegle. Pappskiva har en diameter på 0 cm. Kremmerhuset fylles til randen av sukker, uten topp. a Vis at volumet V av sukkeret kan skrives som Vh ()= h π ( 100 ) h 3 der h er høyden til kjegla. Hva slags verdier kan h ha? c Tegn grafen til Vh () i et koordinatsystem.

28 Kapittel 3: Funksjoner 79 d e Bruk grafen til å finne det største sukkervolumet som kan få plass i en slik kjegle. Hva er høyden da? Hvor mange grader utgjør sirkelsektoren som le fjernet for å lage kjegla med maksimalt volum? 395 Grafen viser gjennomsnittshøyden for gutter og jenter i Nederland i Gjennomsnittshøyde for gutter Gjennomsnittshøyde for jenter Alder (år) a c Siden 1980 har gjennomsnittshøyden for 0 år gamle jenter økt med,3 cm til 170,6 cm. Hva var gjennomsnittshøyden for 0 år gamle jenter i 1980? Forklar hvordan grafen viser at veksthastigheten for jenter i gjennomsnitt avtar etter 1-årsalderen. I hvilken periode i livet er jenter gjennomsnittlig høyere enn gutter på samme alder ifølge denne grafen? (PISA 003) 396 Et resultat av den gloale oppvarmingen er at noen isreer smelter. Tolv år etter at isen forsvinner, vil små planter som kalles lav, egynne å vokse fram på fjell. Hvert lav vokser utover omtrent i sirkelform. Sammenhengen mellom sirkelens diameter og lavets alder er tilnærmet gitt ved denne formelen: d = 7, 0 t 1 for t 1 hvor d er diameteren til lavet i millimeter, og t er antall år etter at isen har forsvunnet. a Bruk formelen til å regne ut diameteren til lavet 16 år etter at isen forsvant. Anne målte diameteren til et lav og fant ut at den var 35 millimeter. Hvor mange år er det siden isen forsvant på dette stedet? (PISA 1999)

29 80 Kapittel 3: Funksjoner 397 a To rette linjer m og l er gitt ved m = + 3 og l = + 4 Tegn m og l i samme koordinatsystem. Vi lar A og B være skjæringspunktene mellom -aksen og linjene m og l. Finn koordinatene til A og B ved regning. c Finn skjæringspunktet C mellom m og l ved regning. d Linja y = 6 skjærer linja m i D og linja l i E. Forklar at trekantene ABC og DCE er formlike. Bestem forholdet mellom tilsvarende sider i de to trekantene. e Finn forholdet mellom arealene av trekantene ABC og DCE. 398 a Overflaten av en kule er gitt ved O= 4π r. Finn radien uttrykt ved overflaten. Volumet av en kule er gitt ved V = π r. Finn radien uttrykt ved volumet. c Volumet av en sylinder er gitt ved V =πr h. Finn radien utrykt ved volumet og høyden. d Overflaten av en sylinder er gitt ved O= πr + π rh. Finn høyden uttrykt ved overflaten og radien. 399 a Arealet av en sirkelsektor er gitt ved A = r, der er uen og r er radien i sirkelen. Finn uen uttrykt ved arealet og radien. Overflaten av en rett kjegle er gitt ved O= πr + πrs. Finn sidekanten s uttrykt ved overflaten og radien. X3.1 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til tre i et estemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre målt i meter tilnærmet kan eskrives med en matematisk modell. Innenfor et avgrenset tidsrom gjelder funksjonen: 3 h= 0, 0t 0, 5t + 1, 15t + 0, 15, der t er antall år etter utplanting. a Hvor høyt var treet da det le plantet? Tegn grafen til h. Brukt-verdier mellom 0 og 8. c Hvor mange prosent har treet vokst fra år 1 til år? d Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. e Finn ut hvor lang tid det tar før treet er,5 meter høyt. (Eksamen 1MY våren 004) X3. Bedriften "ICE" produserer snørett. Det koster edriften 350 kr for hvert snørett. I tillegg har edriften kostnader til produksjonen, som de eregner til 1800 kr. a Hva koster det å produsere 50 snørett? Sett opp et uttrykk som viser hva det koster å produsere snørett.

30 Kapittel 3: Funksjoner 81 c Vis at gjennomsnittskostnaden per snørett er gitt ved funksjonen h der 1800 h = + 350, > 0 d Tegn grafen til h i et koordinatsystem. Bruk verdier av fra 1 til 100. e Hvor mange snørett må edriften produsere for at gjennomsnittskostnaden skal li 410 kr? Finn svaret grafisk og ved regning. f Hva nærmer gjennomsnittskostnaden seg mot når produksjonen av snørett lir svært stor? (Eksamen 1MX våren 003) X3.3 En tankil transporterer eplesaft. På veien til tapperiet egynner tanken å lekke saft. Vi finner at innholdet i tanken t minutter etter at lekkasjen egynte, er gitt ved ft () = , 977 der ft () er volumet av saften målt i liter. a Hvor mye saft er det i tanken etter 3 minutter? Hvor mye saft har lekket ut etter 6 minutter? c Hvor lang tid går det før innholdet i tanken er halvert? En funksjon g er gitt ved gt () = , 977 d t t Tegn grafen til f og grafen til g i samme koordinatsystem. Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom f og g. Forklar etydningen av gt (). (Eksamen 1MY våren 00, endret) X3.4 En edrift kan produsere inntil 1000 enheter av en vare per måned. Jo flere enheter de vil selge, jo lavere må de sette prisen. Derfor lønner det seg ikke å produsere så mange som 1000 enheter i måneden. Bedriften antar at overskuddet per måned tilnærmet er gitt ved funksjonen O = 0, der er antall enheter som produseres og selges per måned. a Lag en skisse av grafen til funksjonen. Hva er det størst mulige overskuddet per måned? c Hvor mange enheter må edriften selge per måned for at overskuddet skal være kr? d Overskuddet synker når antallet som skal selges, lir for stort. Finn det største antall enheter edriften kan produsere og selge per måned, når produksjonen ikke skal gå med underskudd. e Produksjonen forurenser. Staten pålegger derfor edriften å etale en avgift på 0 kr per produserte enhet. Hva er nå det største antall enheter edriften kan produsere og selge per måned, når produksjonen ikke skal gå med underskudd? (Eksamen 1MA våren 1998, endret)

31 8 Kapittel 3: Funksjoner X3.5 For å spare elektrisitet lir strømmen på en skole skrudd av etter skoletid. Temperaturen i ygningen kan estemmes ved funksjonen f gitt ved f = 7 0, 9 5 der f er temperaturen i C og er antall timer strømmen har vært skrudd av. Strømmen lir skrudd av kl Innetemperaturen skal være 0 grader når skolen åpner 0800 neste morgen. Noen timer før klasserommene skal tas i ruk, lir alle varmekilder (sentralvarme og panelovner) kolet inn. Da stiger temperaturen med om lag 8 grader i timen. a Tegn grafen til f i intervallet [ 0, 16]. Hva er temperaturen i ygningen når strømmen lir skrudd av? c Finn ut omtrent når varmekildene ør koles inn igjen. (Eksamen 1MA våren 1997) X3.6 Undersøkelser tyder på at det gjennomsnittlige energiehovet per døgn i kj (kilojoule) for gutter fra fødselen til de er 0 år, kan eskrives ved funksjonen g: g = , der er alderen i år. Tilsvarende for jenter er j: j = a c Tegn grafene til g og j i samme koordinatsystem og la cm på -aksen svare til år i alder og cm på y-aksen svare til 1000 kj. Når er energiehovet hos gutter og jenter like stort? Hvilken informasjon om energiehovet til jenter og gutter kan du lese ut av grafene? (Eksamen 1MA våren 1996, endret)

Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Koordinatsystemet 4.2 Funksjonsbegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400, 401, 402, 404, 405, 407, 411, 413 415, 416, 419, 420

Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Koordinatsystemet 4.2 Funksjonsbegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400, 401, 402, 404, 405, 407, 411, 413 415, 416, 419, 420 4 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som eskriver praktiske situasjoner ved å estemme skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

2P kapittel 3 Modellering

2P kapittel 3 Modellering P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet.

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Delprøve 1. 2) Per kjøper 17 skruer à kr 11,70 og 17 muttere à kr 8,20. Hvor mye betaler han?

Delprøve 1. 2) Per kjøper 17 skruer à kr 11,70 og 17 muttere à kr 8,20. Hvor mye betaler han? Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) 1) Hvor mye er 3 delt på 1 2? 2) Per kjøper 17 skruer à kr 11,70 og 17 muttere à kr 8,20. Hvor mye betaler han? b) Når temperaturen i Rjukan er 16 o C, kan temperaturen x meter

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) 1,0 g salt inneholder 0,4 g natrium. Helsemyndighetene anbefaler et inntak av natrium på maksimalt 2,4 g per dag. a) Hvor mange gram salt kan du maksimalt innta

Detaljer

Løsninger til kapitteltesten i læreboka

Løsninger til kapitteltesten i læreboka S1 kapittel 4 Funksjoner Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a f ( ) 0,5 3 4 b Fra grafen leser vi av at nullpunktene til grafen er og 4. For å finne nullpunktene løser vi likningen f ( ) 0. 0,5

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

10 Funksjoner. Lineære funksjoner

10 Funksjoner. Lineære funksjoner 10 Funksjoner Lineære funksjoner 1 En bedrift skal produsere postkasser og kalkulerer med faste kostnader på 15 000 kroner og variable kostnader på 50 kroner per kasse. a) Hva koster det totalt å produsere

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012 Tall i areid Påygging terminprøve våren 2012 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Skriv tallene på standardform. 1 0,000

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 3. mai 2006. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 3. mai 2006. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 3. mai 2006 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

Eksamen 1P, Høsten 2011

Eksamen 1P, Høsten 2011 Eksamen 1P, Høsten 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dl

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Kommentar til eksempeloppgaven i MAT0010 Matematikk for eksamen våren 2015. Særlig om bruk av graftegner på datamaskin

Kommentar til eksempeloppgaven i MAT0010 Matematikk for eksamen våren 2015. Særlig om bruk av graftegner på datamaskin Kommentar til eksempeloppgaven i MAT0010 Matematikk for eksamen våren 2015. Særlig om bruk av graftegner på datamaskin Eksempeloppgaven kan inneholde flere oppgaver i forhold til en ordinær eksamensoppgave.

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 1.05.013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt: Del

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 7.05.010 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del : Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene.

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 x( x 5) x b) lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgave 3 (2 poeng) Løs

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) 14,90 kroner per flaske 48,20 kroner

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

1P kapittel 2 Algebra

1P kapittel 2 Algebra 1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+

Detaljer

Eksamen 2P, Våren 2011

Eksamen 2P, Våren 2011 Eksamen 2P, Våren 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (20 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 200 36200 3,62

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1005 Matematikk 2P-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1005 Matematikk 2P-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1005 Matematikk 2P-Y Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 3 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Eksamen 02.05.2008. VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 02.05.2008. VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 02.05.2008 VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar

Detaljer

Eksamen R1 Høsten 2013

Eksamen R1 Høsten 2013 Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: Andre opplysninger: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Del1. Oppgave 1. Oppgave 2. a) Gitt polynomfunksjonen f x 1) Regnut f 1. og f 1.

Del1. Oppgave 1. Oppgave 2. a) Gitt polynomfunksjonen f x 1) Regnut f 1. og f 1. Del1 Oppgave 1 3 a) Gitt polynomfunksjonen f x x x. 1) Regnut f 1 og f 1. ) Bruk1)tilåbeskrivehvordangrafentil f serutietliteområderundtpunktetsomhar førstekoordinatx 1. b) Skrivsåenkeltsommulig: 1) a

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1015 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1015 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1015 Matematikk 2P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra et år til det neste

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 2: Overslagsregning og hoderegning... 3 Modul 3: Brøkregning... 9 Modul 4: Koordinatsystemet... 12 Modul 5: Forhold... 14 Modul 6: Proporsjonale

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Scooter/moped Motorsykkel Thales

Scooter/moped Motorsykkel Thales Eksamen 20.05.2011 MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) Del 2 Scooter/moped Motorsykkel Thales Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 skal

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Oppgave 2 (1 poeng) På et kart er avstanden fra et punkt A til

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1015 Matematikk 2P Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1015 Matematikk 2P Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1015 Matematikk 2P Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 3 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

DEL 1. a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får 5 % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i 5 år.

DEL 1. a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får 5 % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i 5 år. DEL 1 Oppgave 1 a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i år. 1) Hvor mange penger har Grete i banken etter ett år? Grete vil prøve å regne ut

Detaljer

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Nasjonale prøver 2005 Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Skolenr.... Elevnr.... Gutt Omslag_skriv_mate_10.indd 1 Jente Bokmål 15. mars 2005 03-02-05 12:54:02 Alt du gjør, skal skrives i dette heftet. Når

Detaljer

IKT-basert eksamen i matematikk

IKT-basert eksamen i matematikk IKT-basert eksamen i matematikk Hvordan besvare Del 2 av eksamen i matematikk? Vi viser til beslutningen om innføring av revidert eksamensordning for sentralt gitt skriftlig eksamen i matematikk fra og

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Eksamen 05.12.2013. MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 05.12.2013. MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 05.12.2013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del 2 Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt:

Detaljer

Eksamen 30.11.2010. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 30.11.2010. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.2010 REA3028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00 Oppgave (1 poeng) Prisen for en vare er satt opp med 5 %. Nå koster varen 50 kroner. Hva kostet

Detaljer

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte.

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening Påygging kapittel 7 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i oka Uten hjelpemidler E1 a 3 4 0 3+ 4+ 0 7 a a a a a = = = a = a 5 5 5 a a a ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x

Detaljer

Grunnskoleeksamen 2002. Innholdsfortegnelse

Grunnskoleeksamen 2002. Innholdsfortegnelse Grunnskoleeksamen 2002 Innholdsfortegnelse Delprøve 1...1 Oppgave 1 (2p)...1 Oppgave 2...1 Oppgave 3...1 Oppgave 4...2 Oppgave 5...2 Oppgave 6...2 Oppgave 7 (1p)...3 Oppgave 8 (1p)...3 Oppgave 9 (1p)...4

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 4. mai 2007 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon. Del 2 skal leveres etter 5 timer.

Bokmål. Eksamensinformasjon. Del 2 skal leveres etter 5 timer. Eksamen 02.12.2008 MAT1003 Matematikk 2P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5

Detaljer

Kapittel 6. Funksjoner

Kapittel 6. Funksjoner Kapittel 6. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Kapittel 7. Matematiske modeller

Kapittel 7. Matematiske modeller Kapittel 7. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Eksempeloppgave 2 2009

Eksempeloppgave 2 2009 Eksempeloppgave 2 2009 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Eksamen våren 2009 Del 1 Bilde: Utdanningsdirektoratet Skole: Elevnummer: Del 1 + ark fra del 2 Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon til Del

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer