Matematisk kompetanse og metoder for en mer motiverende matematikkundervisning Hamarregionen 5. og 6.des 2013

Transkript

1 Matematisk kompetanse og metoder for en mer motiverende matematikkundervisning Hamarregionen 5. og 6.des 2013 Tommy Nordby Rådgiver/prosjektleder - Skien kommune tommy.nordby@skien.kommune.no

2 Twinkle, twinkle little star: FF CC DD C BB AA GG F CC BB AA G CC BB AA G FF CC DD C BB AA GG F

3 Matematikken er vitenskapen av mønster

4 Håndflateorgel Tone Rørlengde (cm) Frekvens (Hz) F1 23,6 349 G1 21,0 392 A1 18, B1 17,5 446 C1 15,8 523 D1 14,0 587 E1 12,5 659 F2 11,8 698 G2 10,5 748 A2 9,4 880 B2 9,2 892 C D2 7, E2 6, F3 5,9 1397

5 Kompetansemål LK trinn anslå og beregne lengde, omkrets, areal, vinkel og tid bruke, med og uten digitale hjelpemidler, tall og variabler i utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløsning og i prosjekter med teknologi og design. velge passende måleenheter og regne om mellom ulike måleenheter, bruke måleinstrumenter og målemetoder i praktisk måling klasse Fenomener og stoffer, gjøre forsøk med luft og lyd og beskrive observasjonene klasse Gjennomføre forsøk med lyd, hørsel og støy, beskrive og forklare resultatene og hvordan vi kan skjerme oss mot uønsket lyd.

6 Matematikkfaget er mangfoldig Dag 1: 8 matematiske kompetanser og praktiske aktiviteter til alle Gi elevene mulighet til å utvikle en bred matematisk kompetanse Hva skal til for å skape motivasjon hos elevene? Kan opplæringen tilpasses den enkelte? Dag 2: Fortsettelse på regnetemaene fra dag 1. Regning som ferdighet; hvordan kan du jobbe med utvikling av elevenes ferdigheter i alle fag Her vektlegges aktiviteter innen problemløsning og samarbeidslæring, teoribasert og praktisk rettet.

7 Plan for dagen Åpning og fokus på skoleutvikling De åtte kompetansene - Anvendelse Problemløsning og modelleringskompetanse- Aktiviteter Pause De åtte kompetansene Forståelse Tankegang- og resonnementskompetanse - Aktiviter Lunsj De åtte kompetansene Forståelse fortsetter Kommunikasjonskompetanse Aktiviteter Pause (kaffe/te/frukt) De åtte kompetansene - Ferdigheter Representasjonskompetanse og symbol- og formalismekompetanse - Aktiviteter

8 Mål Målet disse to kursdagene er at den enkelte lærer skal vurdere egen praksis med tanke på å trekke inn den grunnleggende ferdigheten å kunne regne i alle fag at den enkelte lærer legger om egen praksis, slik at matematisk kompetanse/regning blir en (mer) bevisst del av praksisen i alle fag

9 Har vi en god skole? Hvorfor er den god da? Er vi unntaket i Norge? Hvorfor er jeg her? Nasjonale prøver? PISA? TIMMS? Jeg mener vi har god kontroll på det meste i norsk skole, men ikke på elevenes ferdigheter.

10 Kulturen i norsk skole er ikke særlig endringsvillig! Rektor ønsker endring Personalet er motvillig Noen lærere ønsker endring Rektor er motvillig Resten av personalet er uenig Skoleeier ønsker endring Rektorgruppa er motvillig Lærerne er motvillig Politikerne er skeptiske Påstander: Ingen ønsker å bli bedre, dersom det medfører større endring av atferd! Å forbedre en god skole er vanskelig - det er lettere hvis den er middelmådig! Skolen handler primært om barnas fremtid - ikke lærernes fremtid! Tommy Nordby

11 Vi har så mye å gjøre, sier lærerne men innsats premieres ikke Distrikt Skole Lærer Utbytte hos elven 50% (gjennomsnittlig) 50% (gjennomsnittlig) 50% (gjennomsnittlig) 50% 50% 85% (meget god) 10% 50% 50% 98% (utmerket) 20% 84% 84% 50% 9% 98% 98% 50% 17% Dette viser det vi alltid har visst, læreren betyr ufattelig mye! Derfor vil vi gjøre alle lærerne gode, så er problemet løst. Men slik er det jo ikke. Vi har gode nok lærere. 0%

12 Hva sier utdanningsforbundet? Hva med den «nye» læreplanen? Bør mattelærer ha mer lønn? Nye lærebøker Didaktikken svikter Dårlige lokaler Budsjettet mitt!!! Har ikke penger til etterutdanning Kan ikke pugge, jeg heller Pedagogikken svikter Hva med de andre fagene? Foreldrenes sosiale bakgrunn Hva lærte jeg feil på lærerskolen? Hvor er lærerskolene? Matteopplæringa Ungene kan ikke pugge Dårlige lærebøker Lærerene Jeg er heller kan ikke matte selv ikke god i matte PISA-undersøkelsen Masse mediestøy Ungene gidder ikke pugge Hvor er universitetene? Fylkesmannen mønstrer Staten maser Hva er den politiske agendaen her? Hven står bak PISA-undersøkelsene? Bare unger fra gamle Øst-Europa og Asia kan pugge

13 Vi er flinke til å bortforklare ting Hva må så til for å lykkes? Etabler læringsmål for kommunen Etabler læringsmål på den enkelte skole Etabler læringsmål for den enkelte elevgruppe Etabler ikke-forhandlebare mål og overvåk disse! Skal man sette mål på lærerne må rektor administrere mindre å komme seg ut i klasserommet skolevandring Har man også en rektor/skoleeier som sier at resultatene må bli bedre i matematikk, så er man på rett vei

14 STRUKTUR OG TYDELIGHET I UNDERVISNING OG LÆRING Strukturerte rammer, men varierte timer Læringssløyfa strukturering av et læringsløp Retting av lekser Forklaring, formidling, lære nytt, videre progresjon CRISS Prinsipper for innlæringen 1. Introduksjon 2. Modellering 3. Veiledet arbeid 4. Selvstendig arbeid 5. Metakognisjon Trening, lekser Avsluttende oppsummering Arbeid med oppgaver, veiledet og selvstendig Elevene drøfter Hva sier forskerne: Uansett teori noen elementer må gå igjen i et godt læringsløp Mulighet for å bruke sine sterke sider Global (motiverende) innledning til emnet/tema Bakgrunnskunnskap må hetes opp Klare og tydelige læringsmål Bruk av lese- og læringsstrategier Vurdering i forhold til målene som er satt Lærer bør alltid modellere og veilede før selvstendig arbeid Fast timestruktur Innledning/timestartere: Refleksjonsspørsmål (globale) Læringsmål og kriterier: (hva skal vi lære og hva er et godt resultat) Miniforelesning Mye arbeid i par/gruppe (samarbeidslæring) med vurdering underveis Avslutning / oppsummering av læringsøkter Fast timestruktur? MLEO Tommy Nordby «Struktur i undervisningen er en helt avgjørende del av lærerens ledelse» Thomas Nordahl 2012 Rutiner for oppstart av dagen Rutiner for oppstart av en time/økt Rutiner for gjennomføring av en time/økt Rutiner for avslutning av en time/økt Rutiner for overganger Rutiner for avslutning av dagen

15 Hva er matematikk? Tommy Nordby

16 Hva er matematikk? Matematikk er regnestykker (jente 9 år) bokstavregning (gutt 15 år) et verktøy for å løse problemer (ingeniør) en skattekiste full av problemer som er åpne for hvem som helst? tall, løsning av praktiske problemer, struktur, sannhet, uendelig, skjønnhet? Matematikk er en måte å tenke på et språk som er velegnet til å formulere og løse problemer en søken etter strukturer en samling logiske resonnementer som bygger absolutte sannheter i en usikker verden sunn fornuft satt i system Lisa Lorentzen (professor i matematikk ved NTNU) Tommy Nordby

17 Hva er matematikk og hva er regning? Kunnskapsløftet I LK-06 defineres regning som en grunnleggende ferdighet som innbefatter alle fag, mens matematikk er ett av mange fag Tor Andersen, Matematikksenteret

18 Et par historier fra virkeligheten Maurkverk

19 Et par historier fra virkeligheten Badebasseng

20 Britt-Louise Theglander sier følgende: Matematikk er i stor utstrekning et emne som utgår fra logiske resonnementer der hvert enkelt moment har betydning for helheten. Elevenes kunnskapsutvikling avhenger derfor av en momentordning som tydeliggjør den logiske trappen der hvert nye steg bygger på tidligere kunnskap, for å muliggjøre forståelsen av de matematiske sammenhengene. Et utelatt steg medfører konsekvenser for barnet i form av vansker av ulike slag. Problemene kan bli tydelige på et tidlig tidspunkt i elevenes matematikkarbeid, men i blant kan de vise seg først på alvor senere i skolegangen.

21 Theglander sier videre Matematikk er også et fagområde som i sin natur er abstrakt, noe som setter spesielle krav til både pedagogen og eleven. Siden abstraksjonsevnen utvikles i ulik takt fra individ til individ, medfører dette at elevene er avhengige av konkretisering i alle innlæringssituasjoner i hele grunnskolen. Om den konkrete delen uteblir, er det ikke mulig for elevene å følge den røde tråden i undervisningen. Som følge av dette vil visse elever få kunnskapshull som i fortsettelsen gjør undervisningstimene til en stadig kamp, der det gjelder å greie det umulige, en situasjon som er ødeleggende for motivasjon og selvtillit.

22 Kunnskapsløftet LK-06 Mål for opplæringen i stedet for hvilket innhold faget skal ha. Å kunne regne er en av de fem grunnleggende ferdigheter som skal inngå i alle fag, ikke bare matematikkfaget Vurdering i forhold til graden av måloppnåelse Gir større rom for tilpasset opplæring Utfordrer læreren til å bruke noe mer enn læreboka i undervisningen Tommy Nordby

23 Hva sier LK-06 om å kunne regne? Å kunne regne utgjør en grunnstamme i matematikkfaget. Det dreier seg om problemløsing og utforsking med utgangspunkt i praktiske, dagligdagse situasjoner og problemer av matematisk art. Til dette trengs fortrolighet med og automatisering av regneoperasjonene, evne til å bruke varierte strategier, gjøre overslag og vurdere rimeligheten av svar.

24 Kompetansemål Alle målene i læreplanen er kompetansemål. Det innebærer at hvert mål omfatter tre komponenter som til sammen utgjør kompetansen. De tre komponentene er ferdigheter, forståelse og anvendelse. Alle spiller sammen, og utgjør det vi kan kalle helhetlig kompetanse.

25 Matematisk kompetanse Beskrivelsen av kompetansene bygger på rapporten Kompetencer og matematiklæring ideer og inspirasjon til udvikling af matematikundervisning i Danmark, av Mogens Niss og Thomas Højgaard Jensen, 2002.

26 En bred matematisk kompetanse LK-06 vektlegger: Problemløsning og kommunikasjon Fakta og ferdigheter Anvendelse Forståelse Ferdigheter Symbol- og Problemløsningskompetanse Modelleringskompetanse Resonnementskompetanse Tankegangskompetanse Kommunikasjonskompetanse Representasjonskompetanse formalismekompetanse Hjelpemiddelkompetanse

27 Å spørre og svare i, med og om matematikk Å omgås språk og redskaper i matematikk

28 Målet med skolens matematikkundervisning: Elevene skal utvikle forståelse for sentrale begreper på ulike nivå og de skal opparbeide seg tilstrekkelige ferdigheter slik at hjernekapasiteten kan brukes til å analysere nye situasjoner som gjør dem i stand til å bruke det de har lært i nye sammenhenger (anvendelse). Dette til sammen utgjør det vi kan kalle elevenes matematikkkompetanse

29 Problembehandlingskompetanse å kunne finne og formulere matematiske problemstillinger, å kunne løse matematiske problemstillinger og etter hvert også kunne løse dem på forskjellige måter.

30 Eksempler på oppgaver som trener opp problemløsningskompetansen Noen venner har til sammen handlet for 91 kr. Alle sammen har kjøpt det samme, og det de har kjøpt er kaffe til 5 kr pr. kopp og sjokoladebiter til 2 kr pr. stk. Hvor mange venner kan det ha hvert, og hvor mange kopper kaffe og sjokoladebiter kan de ha kjøpt?

31 Eksempler på oppgaver som trener opp problemløsningskompetansen Magnus har en sykkelbutikk. Han selger tohjulssykler og trehjulssykler. Syklene han har inne i butikken i dag har til sammen 19 hjul. Hvor mange tohjulssykler og trehjulssykler kan Magnus ha? Det er mer enn en løsning?

32 Modelleringskompetanse Finne matematikken i en praktisk situasjon. Oversette situasjonen til et matematisk språk. Løse det matematiske problemet. Vurdere om løsningen er realistisk.

33 Modelleringskompetanse og anvendelse Anvendelser av matematikk ligger også innenfor dette kompetanseområdet. Kjenne igjen og bruke matematikk i en kontekst utenfor matematikken.

34 Eksempel på lav modelleringskompetanse Eleven kan ikke sette opp et matematisk uttrykk for en praktisk situasjon og kan ikke tolke en løsning på et regnestykke som løsning på et praktisk problem. Eleven kan kjenne igjen en problemstilling fra virkeligheten som en matematisk situasjon, men ikke hva slags matematikk det dreier seg om.

35 Oppgaver fra PSLE Papirbretting Hvor stor er vinkel B?

36 Eksempler på oppgaver som trener opp modelleringskompetansen 1. Leie av buss for en dag koster 2500 kr. Hva koster det per passasjer? Vurder hvor mange passasjerer som kan være med for at modellen skal kunne brukes. 2. Vurder hva som lønner seg av fastrente og flytende rente ved opptak av lån. 3. Finn sammenhengen mellom strikkstramming og skytelengde på en vanlig gummistrikk. 4. Vurder risikoen for å falle ned i fly i forhold til hvor ofte du er ute og reiser med fly. 5. Hvordan kan grunnplanet i et hus se ut hvis arealet skal være 120 kvadratmeter

37 Forståelse innebærer flere kompetanser: Resonneringskompetanse Tankegangskompetanse Kommunikasjonskompetanse Elever har ofte lite trening i å kommunisere matematikk med andre. Svært ofte mangler de klare, presise begreper. Skal de greie å kommunisere matematikk, må det matematiske språk bli et språk av 1.orden hos elevene

38 Kommunikasjonskompetanse Organisere og samle sin matematiske tankegang gjennom kommunikasjon Kommunisere sin matematiske tankegang sammenhengende og tydelig til medelever, lærere og andre. Analysere og vurdere andres matematiske tankegang og strategier. Bruke matematisk språk til å uttrykke presist matematiske begreper.

39 Eksempel på lav kommunikasjonskompetanse Eleven kan forstå når noen beskriver enkle matematiske sammenhenger. Eleven kan ikke uttrykke seg presist om matematiske forhold, verken skriftlig eller muntlig.

40 Eksempler på aktiviteter som trener kommunikasjonskompetansen Bortnyik

41 Form og mønster (rund, rettlinjet, buet, firkantet og andre geometriske figurer) Ord som brukes i forbindelse med sammenligning (alle, halvparten, halvparten så mye, dobbelt, dobbelt så mye, ingen, ingenting, knapt, nesten, noen, noenting, drøyt, omtrent, litt mer enn, litt mindre enn, resten, full, tom) Plass (Hvor?) (i, på, under, først, sist, føre, i midten, etter, midt på,nedenfor, bakom, innenfor, ovenfor, mellom, høyest oppe, lengst nede, nær, nærmest, til venstre, til høyre osv) Tid (Når?) (nå, i dag, i går, snart, da, i morgen, i forgårs, før, i overmorgen, i fjor, siden, alltid, stadig, om en stund, straks, aldri, sjelden, for en stund siden, ofte, i blant, lenge siden, oftest, innimellom, hver dag) Ord med flere betydninger rot, trapes, tangent, kateter, normal, potens, forhold

42 Benevninger (f.eks farge, form, størrelse, utseende) Sammenligningsord: Størrelse ( stor, større, størst, liten, mindre, minst) Antall (mange, flere, flest - få, færre, færrest) Kvantitet (volum) (mye, mer, mest lite, mindre, minst) Masse (vekt) (tung, tyngre, tyngst lett, lettere, lettest) Lengde (lang, lengre, lengst kort, kortere, kortest) Høyde (høy, høyere, høyest lav, lavere, lavest) Bredde (bred, bredere, bredest smal, smalere, smalest) Tykkelse (tykk, tykkere, tykkest tynn, tynnere, tynnest) Alder (gammel, eldre, eldst ung, yngre, yngst) Pris (dyr, dyrere, dyrest billig, billigere, billigst)

43 Matematiske begreper tospråklige Språklige overganger Tommy Nordby Modell, basert på J. Moschkovich

44

45 Å kunne regne i norsk Praktiske eksempler Enkle eller sammensatte tekster der en gir konkrete regnebestillinger Å tolke en tekst hva med å bruke en matematisk tekst problemløsning? Ulike samarbeidsoppgaver, der hver elev i gruppen kun sitter med noe av informasjon puslespill i tekstformat Rim og regler Bruk av tall i argumentasjon

46 Resonneringskompetansen Er modellerings- og problembehandlingskompetansens juridiske side, den som vurderer om svaret er rett eller galt. Kompetanse i matematisk resonnement inneholder å kunne tenke ut og gjennomføre uformelle og formelle resonnementer og kunne omforme resonnementer og antagelser til gyldige bevis. Eksempler: 1. Summen av to oddetall er alltid et partall. Du kan dele opp oddetall i et partall pluss Arealet av et kvadrat firedobles når siden dobles, siden areal er lik side ganger side.

47 Resonneringskompetansen Å inneha resonnementskompetansen, betyr at eleven kan tenke matematisk, og bruke de logiske reglene som gjelder i matematikk. Den viser også i hvilken grad en elev behersker hvis så - argumentasjon Eksempel på lav resonnementskompetanse er at eleven bruker strategier som sammenlikning og telling.

48 Tankegangskompetansen Viser i hvilken grad eleven greier å abstrahere, generalisere, stille matematiske spørsmål og se løsninger. Spørsmålet Skal vi gange eller dele her, lærer? viser lav kompetanse på dette området. Innenfor tankegangskompetansen finner vi begrepsforståelsen.

49 Eksempel på aktivitet som trener tankegangskompetansen. Kast en grønn og en rød terning. a) multipliser tallene terningen viser b) multipliser tallet den grønne viser med tallet på undersiden av den røde c) multipliser tallet på undersiden av den grønne med tallet den røde viser d) multipliser tallene på undersiden av begge terningene e) finn summen av alle produktene. Hvorfor blir summen av alle produktene alltid 49?

50 Representasjonskompetanse Representasjon (forestilling, bilde) Skape og bruke representasjon (eks; konkreter, symboler, tabeller) til å organisere, huske og kommunisere matematiske begreper. Velge, bruke og overføre mellom matematisk representasjoner til å løse problemer. Bruke representasjon til å modellere og forklare fysiske, sosiale og matematiske fenomen.

51 Representasjonskompetansen En representasjon er noe som kommer i stedet for eller støtter opp om en situasjon eller begrep. Man lager (forteller/tegner/skriver) noe som ikke er umiddelbart synlig, ved hjelp av en representasjon. Språket er av helt avgjørende betydning.

52 Eksempler på representasjonskompetansen Brøk, prosent, desimaltall. Forstå hva disse symbolene kan representere, og kunne regne mellom disse (eks. visualisering med GeoGebra) Geometriske former. Gjenkjenne og kunne illustrere. En knapp kan representere et menneske i forbindelse med opptelling eller gruppeinndeling. Klokka, digital og analog. Eksempel på høy representasjonskompetanse er der eleven ser sammenhengen mellom bilde, symbol og virkelighet.

53 Hva koster sekkene? Susann, Mariell og Petter kjøper hver sin sekk. Sekken til Mariell er tre ganger så dyr som sekken til Susann. Petter sin sekk koster halvparten så mye som Mariells sekk. Petter betaler 50 kr mer for sin sekk enn Susann gjør for sin. Hva er prisen på hver sekk?

54 Tegn-modell-strategi 100 kr 50 kr

55 Symbol- og formalismekompetanse Symbol- og formalismekompetanse inneholder det å kunne bruke og avkode symbol- og formalismespråket og oversette mellom matematisk symbolspråk og dagligtale. Det vil også si å ha innsikt i de matematiske spillereglene.

56 Eksempel på lav symbol- og formalismekompetanse Eleven har problemer med posisjonssystemet, måleenheter, geometriske symboler osv. Eleven tar feil av hva symbolene betyr, og tar feil av eller forveksler symbolene for regneoperasjoner. Eksempler: a) 0,453 står for 4 tideler 5 hundredeler og 3 tusendeler b) Multiplikasjon og divisjon har prioritet før sum og differanse = 12, mens (4 + 2) 4 = 24 c) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 betyr at kvadratet av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss det dobbelte produkt av begge tallene pluss kvadratet av det siste tallet.

57 Hjelpemiddelkompetanse Kompetansen inneholder det å vite om ulike hjelpemidler som egner seg til matematisk virksomhet Ha innblikk i muligheter og begrensninger disse hjelpemidlene gir Kunne bruke dem på en hensiktsmessig måte.

58 Undervisning og kompetansebegrepet: Elevenes kompetanser i matematikk kommer til utfoldelse gjennom aktiviteter. Det går ikke an på forhånd å identifisere hvilke kompetanser som aktiviseres og utvikles når en bestemt aktivitet planlegges Det er derfor viktig å tenke gjennom hvilke kompetanser man ønsker å utfordre, hvilke aktiviteter som da egner seg, og hvordan denne aktiviteten skal presenteres, organiseres og gjennomføres for at de ønskede kompetansene skal bli utfordret. Dessuten må man tenke gjennom hvordan man som lærer kan få øye på hvilke kompetanser elevene bruker, og hvordan de kan evalueres.

59 Bruk av konkretiseringsmidler - Det handler om læringsstiler og tilpasset opplæring - En stor utfordring i en skole for alle.

60 Hvordan lærer DU? Skriv 3 stikkord. How do we teach them if we don t know how they learn? Rita Dunn

61 Hvordan underviser DU? Beskriv din siste matematikktime med 4 ord. When children do not learn the way we teach them, we must teach them the way they learn. Kenneth Dunn

62 Tankestrøm vi henter frem bakgrunnskunnskap Normaleleven Hvordan vil du beskrive en vanlig elev? Normallæreren Hvordan vil du beskrive en vanlig lærer?

63 Viktige faktorer som ikke er omfattet av kompetansebeskrivelsene: Evne til samarbeid Matematisk intuisjon og overblikk Matematikkens betydning i samfunnet og i hver enkelt persons liv.

64 Aktivitet Samarbeidsoppgave 4 personer pr gruppe Konkretiseringsmateriell - Fyrstikker

65 Kilder Hva er MATEMATIKK (Universitetsforlaget, 2012), Lisa Lorentzen Utdanningsdirektoratets nettsider Matematikksenterets nettsider Foredrag av Mona Røsseland, Matematikksenteret Foredrag av Tor Andersen, Matematikksenteret

66 Takk for i dag!