HØGSKOLEN I NARVIK SIVILINGENIØRUTDANNINGEN INDUSTRIELL ELEKTROTEKNIKK. Oppgavetype: Motorstyring. Rapport tittel:

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "HØGSKOLEN I NARVIK SIVILINGENIØRUTDANNINGEN INDUSTRIELL ELEKTROTEKNIKK. Oppgavetype: Motorstyring. Rapport tittel:"

Transkript

1 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK TUDIEETNING: INDUTIE EEKTOTEKNIKK EKTENT AMABEID: FAGIG VEIEDE: Pfess A E. NOUM FAGIG VEIEDE: DATO: ANTA IDE: 5 NUMME: VEDEGG: Ingen Oppgavetype: Mtstying appt tittel: Feltientet eguleing av asynknt Ffatte: ge Bentsen EKTAKT: Tidligee va høykvalitets sevdifte kun en ppgave f DC-ten. Dette p.g.a dens enkle ateatiske dell, g deed gså ye bukt i styesystee. På 7-tallet ble det utviklet en tei f eguleing av asynknten s gjø den like egnet til sevdifte s DC-ten. Denne avhandlingen ta f seg denne teien, s kalles feltientet eguleing, sat at den pøve å vise teien fa litt ande vinkle. entale begepe i avhandlingen vil væe, Mdelleing, eguleing, Estieing g iuleing. Jeg pøve gjenn teksten å bygge pp en gadvis fståelse f stffet, f så å ke fe til et kplett teigunnlag, g en full fståelse av hvdan teien kan anvendes. TE TIKKOD PÅ NOK: Mdelleing eguleing Estieing KEYWOD IN ENGIH: Mdeling Cntl Identificatin

2 ivilingeniøutdanningen i Navik, våen 995 Feltientet eguleing av Asynknt Mdelleing, eguleing, Estieing g iuleing Diplppgave skevet av: ge Bentsen.I.E Våen 995 Ved: Institutt f Elkaftteknikk, NTH

3 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Fd Denne ppgaven e et esultat av fskning på feltientet eguleing av asynknt, g føe til gaden ivilingeniø ved Høgsklen i Navik, linje f Industiell Elektteknikk. Oppgaven ble utføt i peiden til ved Nges Tekniske Høgskle, Institutt f Elkaftteknikk. Oppgavens ål va å utabeide en avhandling på nsk s ta f seg hele knseptet, «Feltientet eguleing av asynknt», sat utvikle siuleingsdelle f asynknten. Oppbygningen av siuleingsdellene ha esultet i at jeg ha utviklet et eget iulink biblitek (tbib), s gjø det enkelt g bygge støe siuleingsdelle. eguleing av asynknten e et åde det e fsket ye på, en ye gjenstå. Det e tidligee ikke skevet avhandlige dette teaet på nsk, så jeg håpe denne avhandlingen vil vise enet fa en litt annen vinkel enn an kan finne i utenlandsk litteatu. Avhandlingen e gså ent å kunne fungee s et pedaggisk dkuent s kan bukes til undevisning i fag s Elektiske askine. Min ppgavegive g faglæe ha væt pfess as E. Nu, sat at jeg ha hatt et næt saabeid ed stipendiat as Ane Aga s ta sin D.ing. gad på det sae fagådet. En spesiell takk ettes til begge disse f å ha gitt eg gde åd g veiledning gjenn hele ppgaven. De ha alltid stilt pp nå jeg ha sput de. I tillegg vil jeg gjene ette en takk til Ole Mten tangvik s ha hjulpet eg nå jeg ha hatt tøbbel ed PC en, g vitenskapelig assistent Inga Waag f å ha ket ed gde innspill unde veis. Til slutt vil jeg nk en gang takke as E. Nu f å ha gitt ed en eget inteessant, læeik g utfdende diplppgave. Dkuentet e skevet i Wd 6.. Figuene e tegnet i Autsketch, g kuve, beegninge g siuleinge e utføt i Matab. Tndhei, 6 Juni 995 ge Bentsen 3

4 Feltientet eguleing av asynknt aendag HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Denne appten pesentee en fullstendig vesikt ve pinsipp, fagangsåte g etde f hvdan feltientet eguleing av en asynknt kan utføes. F å løse pbleet ed feltientet eguleing, å an gå gjenn flee delpblee. Avhandlingen e delt pp slik at hvet kapittel ta f seg hve sin del av ppbygningen, f så å ke fe til en fedig egulet tdift. Kapittel ta f seg gunnleggende tei asynknten. Kapitlet pøve å gi en viss fståelse i hvdan eleentæe fle g uttykk utledes. Denne delen vil væe gunnlaget f det s skje videe i teksten. F å egulee en psess bø an ha en ielig gd ateatisk dell av psessen. I kapittel skal vi se hvdan an bygge pp en slik dell f en P-plet asynknt. I tillegg skal vi se på hvdan den stasjnæe dellen f asynknten feke, ed utgangspunkt i den dynaiske dellen. Kapittel 3 ta f seg hvdan ten egulees.h.p stø, fluks, tutall g psisjn. tandad P- g PI-egulate benyttes. Det bli i tillegg utledet geneelle uttykk f egulatpaaetene. Et pble ed ange psesse, e at det kan væe eget vansklig elle uulig å åle enkelte tilstandsvaiable. F i hele tatt å kunne få tak i disse tilstandsvaiablene å an buke estiate. I kapittel 4 vise vi hvdan estiate bli bukt til å estiee de ikke-ålbae tilstandene i ten. I tillegg ke vi inn på hvdan tpaaetene kan estiees. Vi skal gså se på hvdan det e ulig å estiee tutallet på ten. I enkelte difts-situasjne kan det væe ønskelig ed en tdift uten tutallsåling. Til slutt skal vi se på siuleingsesultate utføt i Matab, sat nen ålingsesultate gjt på en eell feltientet tdift. Dette handles i kapittel 5. et esultat av ppgaven ha jeg gså utviklet et eget siuleingsbiblitek, tbib, i Matab/iulink. Dette bibliteket gjø det enklee g bygge siuleingsdelle f uttesting. Bukeveiledning til dette bibliteket e gjengitt i appendiks. 4

5 Feltientet eguleing av asynknt Innledning HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Elektiske askine bli i dag bukt på alle tenkelige åde, fa så te i leketøy, til ste te ute i industien. I dagens høyteknlgiske safunn keve an stadig støe nøyaktighet til eguleing av de elektiske tene. Til slike høykvalitetsdiftte ha DC-ten væt veldig ye bukt. Dette p.g.a dens enkle ateatiske dell, s igjen gjø den enkel å dellee g lett å egulee, både.h.p tutall g psisjn. På den ande siden ha DC-ten en del begensninge nå det gjelde effekt g tutall. Dette p.g.a sine kutate. Den e def ikke så egnet i høyeffekt styingssystee. DC-ten keve gså ye vedlikehld, sat at den e tung g uhåndtelig i fhld til f.eks asynknten. Dette e åsake s i det senee ha fått fskee g ande til å ta ibuk asynknaskinen i styinge ed høye kav til nøyaktighet. Gunnen til at ACten tidligee ikke ble bukt til sevstyinge, e dens avansete, ultivaiable g ikke inst ulineæe ateatiske dell. Men ette hvet s ikelektnikken bli bede, g egnekaften øke betaktelig, e det i dag blitt ulig å stye AC-ten på lik linje ed DC-ten. Den føste s utviklet teien f eguleing av asynknten va Blaschke. Han intdusete begepet Feltienteing i Tyskland på 7-tallet, en veden va på dette tidspunktet ikke kla f denne teien p.g.a sin kpleksitet. Dessuten fantes det ikke kpnente g dataaskine s kunne behandle denne type eguleing på en tilfedsstillende åte. I dag, ed vå ene utvikling innen datateknikken g på kpnentsiden, e dette ikke lenge et pble. Ette at teien f denne type eguleing ble intduset, e det devet ye fskning på ådet, g jeg håpe at denne teksten vil kaste et lys ve de viktigste ådene innen feltientet eguleing, sat gi en bede fståelse av asynknten geneelt. 5

6 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Innhldsftegnelse Fd aendag Innledning Innhldsftegnelse Kapittel...8. Gunnleggende tei Mtinduktans vektepesentasjn Mentbeegning Kapittel.... Mtdell d-q akse Mentkntll Flukskntll Kdinat tansfasjn tatspenningkntll Beegning av tstøen Blkkskjea f ten tasjnæ dell av asynknten Utledning av stasjnæ dell tasjnæe tligninge Kapittel eguleing av asynknten tøeguleing Dekpling eguleing tflukseguleing Tutallseguleing Psisjnseguleing Fullstendig eguleingssyste Innledning Feltsvekking Beegning av egulatpaaetee tøeguleing uten dekpling Valg av båndbedde Kapittel Estieing

7 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt 4.. Tilstandsestieing Paaeteestieing Asynknten Estieing av tilstandsvaiable Mdell Mdell Tutallsestieing i asynknten Aga s etde T-dell etden Estieing av tpaaetee Minste Kvadates Metde Buk av MKM i asynknten Kapittel Innledning iuleing/åling på asynknten Estiatsiuleing iuleing av den egulete ten iuleing av tutallsestiaten Knklusjn Appendiks...88 A. Vaiable g indekse A. Mtpaaetee A.3 egulatpaaetee A.4 Matab-file på vedlagt diskett A.5 Bukeveiledning f «Mtbib» A.6 iuleingsdelle bygd i «Mtbib» A.7 Beegningseksepel efeanseliste

8 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Kapittel. Gunnleggende tei F å kunne egulee et syste elle en psess på best ulig åte, å an på fhånd ha utabeidet en gd ateatiske dell f psessen. Dette gjelde gså asynknten. I dette kapitlet skal vi se på den gunnleggende teien s e utgangspunktet f å bygge pp en ateatisk dell av asynknten. utgangspunkt sette vi pp følgende dell s vise stat g tviklingene i en 3- fase asynknt (se figu.). Figu. tat g t ekvivalent utgangspunkt f utledningen av de ettefølgende uttykkene, e følgende fenklinge futsatt: uftgapsfluksen e sinusfdelt Den agnetiske ketsen peee i det lineæe ådet, uten at agnetisk etning ppstå tatviklingene e Y-kblet ed islet nullpunkt Anta at N = N. (antall viklinge på t g stat e like) Kapittel 8

9 Feltientet eguleing av asynknt.. Mtinduktans HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Vi skal føst se på hvdan fhldet ell induktansene i en 3-fase asynknt feke. F å ke fe til uttykkene f den ttale induktansen i stat g t, sat den gjensidige induktansen ell stat g t, tenke an seg at nen enkle teste bli utføt på ten. Det føste fsøket gå ut på å finne den ttale selvinduktansen i en fase. figu. vise, sette an da på en stø i den ene statfasen (f.eks s), ens alle de ande fasene i ten e åpne. Figu. Fasen s e påtykt en stø, g t e åpen Mestepaten av flukslinjene vil da kysse luftgapet, g fslynge de ande viklingene. Denne delen av fluksen kalles agnetiseingsfluksen. En liten del av flukslinjene vil ikke fslynge nen av de ande viklingene, denne delen av fluksen bli def kalt lekkfluksen. Ut ifa det s til nå e blitt sagt, kan an sette pp følgende saenheng f fluksfslyngningen: λ = λ + λ, de λ = i (.), selv, lekk, agnetise Fluksfslyngningen i fasen s e altså suen av lekkfluksen g agnetiseingsfluksen. Hvis vi dividee alle ledd ed i få vi:, selv = l + l (.) s e selvinduktansen i hve av statfasene på ten. Helt ekvivalent bli gså uttykket f selvinduktansen i tfasene. Kapittel 9

10 Feltientet eguleing av asynknt, selv = l + l HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (.3) iden vi ha antatt N = N, så e l den sae f stat g t. Vi ha nå sett på hva induktansen i hve av fasene bli, uavhengig av de ande fasene. Men s vi vet, vil alle fasene ha en viss innvikning på hveande. Dette kalles gjensidig induktans. Vi skal føst se hvilken innvikning statfasene ha på hveande. Man tenke seg da følgende ekspeient utføt på ten, se figu.3. He ha vi nå eksitet alle fasene i stat ed en stø, ens ten ftsatt e åpen. Figu.3 Alle statfasene e påtykt en stø, ens t ftsatt e åpen vi se av figu.3 e alle fasene i en 3-fase t fskjøvet ed en vinkel på gade. Den innbydes induktansen ell h.h.v fase s,s g s,s3 bli da: λ = λ, agnetise Cs( ) = λ,, = l agnetise λ 3 = λ, agnetise Cs( ) = λ,, 3 = l agnetise (.4) Kapittel

11 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Vi kan nå sette pp et uttykk f den ttale fluksfslyngningen i hve av statfasene (bae s-fasen e vist, en de ande bli helt like). 3 ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) λ = l + l i + l i + l i 3 = l + l i de i + i + i =, siden vi ha islet nøytalpunkt. 3 Hvis vi dele ed i på begge side av ligningen få vi: 3 = l +, de = l (.6) s e p.fase statinduktansen. Dette e ikke det sae s ligning (.), siden vi he ha tatt ed vikningen av de ande statfasene. iden vi ha futsatt N = N, gjelde det sae gså f tfasene, g vi få: 3 = l +, de = l (.7) Til slutt å vi ta ed bidaget s ten gi til den ttale fluksfslyngningen. På sae åte s f ligning (.4), kan vi sette pp den gjensidige induktansen ell stat g t, ed den fskjellen at vi he ikke ha nen fast vinkel ell tg statfasene, en en vaieende vinkel Θ. Denne vinkelen e tidsintegalet av hastigheten, ω, på ten. Dette gi ss følgende uttykk f, :, = l Cs( Θ ), de Θ e vinkelen ell stat g t., ha sin tppvedi nå vinkelen ell fasene e lik. Vi kan nå finne et uttykk f den ttale fluksfslyngningen i hve fase, de vi ta hensyn til at det e en gjensidighet ell alle fasene i både stat g t. Uttykket bli da: = ( + l ) i + ( l ) i + ( l ) i + [ l Cs( Θ )] i + λ l 3 [ ( )] [ ( )] l Cs Θ i + l Cs Θ + i3 (.8) He e bae uttykket f fluksfslyngningen ell fase s g alle de ande fasene vist, en uttykket f de ande statfasene g tfasene bli tilsvaende. På atisef bli uttykket f alle statfasene s følge: Kapittel

12 Feltientet eguleing av asynknt ( l + l ) l l λ i λ = l ( l + l) l i λ 3 i l l l + l ( ) lcs( Θ ) lcs( Θ + ) lcs( Θ ) ( Θ ) ( Θ ) ( Θ + ) ( Θ + ) lcs( Θ ) lcs( Θ ) 3 lcs l Cs l Cs lcs (.9) + i i i HØGKOEN I NAVIK 3 IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK vi vet e uttykkene f fluksfslyngningene ell t gjensidige sple gitt av: = i + i λ = i + i λ (.) de g e induktansene i splene, g = e den gjensidige induktansen. Hvis vi sette = =, =, =, i = i g i = i gi dette ss uttykket f fluks-fslyngningen i stat g t på asynknten. = i + i λ = i + i λ (.) Vi skal nå ke fe til uttykkene i ligning (.), s e fluksfslyngningen i stat g t, ved g buke det vi tidligee ha utledet. F å klae det, benytte vi i tillegg følgende saenheng: j j λ = λ + λ e + λ e (.) 3 s e uttykket f den ttale fluksfslyngningen i stat, efeet til stat s-fasen. Vi sette da ligningssyteet (.9) inn i ligning (.), g få: Kapittel

13 Feltientet eguleing av asynknt λ = ( l + l ) i l i li3 + l Cs( Θ ) i j + l Cs( Θ + ) i + l Cs( Θ ) i3 l i e j j + ( l + l ) i e l i3 e + l Cs( Θ ) i e HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK j j l Cs( Θ ) i e l Cs( Θ ) j j l i e l i e + ( l + l ) i3 e j + l Cs( Θ + ) i e + l Cs( Θ ) i e + l Cs( Θ ) i e 3 i e j j 3 j j (.3) Dette e den ttale fluksfslyngningen i stat efeet til s-fasen. vi se, e uttykket på ingen åte likt det vi hadde i ligning (.). Vi å def feta nen fenklinge. F å gjøe egningen litt e vesiktlig, dele vi ligningen (.3) pp i t dele. Alle leddene s innehlde statstø, i, kalle viλ, g alle leddene ed tstø, i, kalle viλ. tatdelen bli da: λ = ( + ) + ( + ) + + ) j j l l i l i li3 l i e l l i e j j j j l i3 e l i e l i e ( l l ) i3 e g tdelen bli: λ = l Cs( Θ ) i + l Cs( Θ + ) i + l Cs( Θ ) i 3 j j l Cs( Θ ) i e l Cs( Θ ) i e + + j j l Cs( Θ ) i3 e l Cs( Θ ) i e j j l Cs( Θ ) i e l Cs( Θ ) i3 e + + Vi sale så leddene i ligning (.4) g (.5) f å få uttykkene på en e hensiktsessig f. tatdelen bli da: λ j j l l i i e i3 e = ( + ) ( + + ) j j l ( i + i3 e + i e ) j j l ( i3 + i e + i e ) g tdelen bli: (.5) (.6) (.4 Kapittel 3

14 Feltientet eguleing av asynknt λ j j l Cs Θ i i e i3 e = ( ) ( + + ) j j l Cs Θ i i3 e i e ( ) ( ) j j l Cs Θ i3 i e i e + ( ) ( + + ) HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (.7) Hvis vi nå buke saenhengene: j j i = i + i e + i3 e j j i = i + i3 e + i e (.8) 3 j j i = i + i e + i e 3 s e statstøen efeet til h.h.v. s, s g s3 fasen, g j j i = i + i e + i3 e j j i = i + i3 e + i e (.9) 3 j j i = i + i e + i e 3 s e tstøen efeet til h.h.v., g 3 fasen, få vi f statdelen: 3 λ = ( l + l ) i l i l i (.) vi se, e leddene i ligning (.) ikke efeet til sae fase. Vi å def feta en tasjn, slik at alle leddene bli efeet til f.eks s-fasen. F å tee, buke vi følgende saenhenge: i = i e j (.) g i = i e 3 j (.) igning (.) bli da efeet til s-fasen g vi få: 3 = ( l + l ) i (.3) λ Ved å sette ligning (.9) inn f ligning (.7), få vi f tdelen: = l Cs( Θ ) i + l Cs( Θ + ) i + l Cs( Θ ) i 3 (.4) λ Kapittel 4

15 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Også he å vi tee vektene slik at de bli efeet til sae takse. tasjnsuttykkene bli s ligning (.) g (.), en nå ed tindekse. Det nye uttykket bli da: 3 j = l i e Θ (.5) λ Fdi høyesiden av ligning (.3) e efeet til s-aksen, g høyesiden av ligning (.5) e efeet til -aksen, å vi tee den ene vekten slik at begge ligningene bli efeet til sae fase. Velge da å efeee ligning (.5) til s-fasen, s bli: 3 = l i (.6) λ de i i j = e Θ. Vi kan nå suee ligning (.3) g (.6), g få det uttykket vi ønsket ss, nelig: 3 3 λ = ( l + l ) i + l i = i + i (.7) Vi ha he ikke utledet uttykket f fluksfslyngningen i t, en det bli helt ekvivalent: 3 3 λ = ( l + l ) i + l i = i + i (.8).. vektepesentasjn Vi ha til nå utledet de gunnleggende uttykkene f induktansene g fluksfslyngningene s ppte i ten. Vi skal nå gå ve til å sette pp de e fullstendige tligningene s keves f å kunne bygge pp en ateatisk dell av ten. I følge figu. kan vi sette pp følgende spenningsligninge s beskive ten (p. fase): U = i + n n n U = i + n n n dλ n, de n =,,3 (.9) dt dλ n, de n =,,3 g Un =. (.3) dt iden vi ha å gjøe ed en 3-fase t, vil alle vaiablene bevege seg s teende vekte i et. Dette kan belyses ed figu.4. Vi se at de te fasestøene peke i hve sin etning ed en fasefskjell på gade. Den ttale støen, elle den vektielle suen av fasestøene peke s i vekt vise. Kapittel 5

16 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Figu.4 Vektepesentasjn av støe Vi kan ut ifa figu.4 sette pp uttykket f både stø, spenning g fluksfslyngning på vektf: j j i ( t) = i ( t) + i ( t) + i ( t) = i ( t) + i ( t) e + i ( t) e (.3) 3 j j U ( t) = U ( t) + U ( t) + U ( t) = U ( t) + U ( t) e + U ( t) e (.3) 3 j j λ ( t) = λ ( t) + λ ( t) + λ ( t) = λ ( t) + λ ( t) e + λ ( t) e (.33) 3 Det e he bae vist ligningene f stat, en ligningene f t bli helt ekvivalente. vi se, e alle ligningene efeet til s-aksen. igningene f t ville f eksepel blitt efeet til -aksen. Vi kan nå sette vektuttykkene (.3) til (.33) inn f ligning (.9) g (.3), g vi få de geneelle spenningsuttykkene f ten: U ( t) = i ( t) + = i ( t) + dλ ( t) dt dλ ( t) dt (.34) (.35) Kapittel 6

17 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt vi se, e ligningen f statspenningen, efeet til s-aksen ens tligningen e efeet til -aksen. det ble nevnt tidligee vil det alltid væe gunstig å abeide ed ligninge s e efeet til sae akse. Vi bestee ss def f en efeanseakse s vi kan efeee alle ligningene til. efeanseaksen s he velges, vil bli bukt s efeanseakse gjenn esten av teksten. utgangspunkt f å velge en efeanseakse, skal vi se på et utsnitt av vektbildet i ten ved et gitt tidspunkt (se figu.5). De ha vi tegnet inn nen av de vektene s vil ppte i ten unde dift, sat vinklene ell vektene. vi se, ha vi en vinkelen Θ ell - g s-aksen. Θ slip e vinkelen ell taksen g feltet i ten. Θ f e vinkelen ell feltet g stataksen. Figu.5 vekte ved et gitt tidspunkt i ten Vi velge f-aksen s efeanseakse. Dette fdi vi vil at tfluksen alltid skal ligge langs efeansen. tfluksen vil da alltid væe en skala nå ligningene e efeet til denne aksen. Det e denne aksen s tee ed synkn hastighet i ten. Vi skal nå se på hvdan vi kan efeee alle ligningene til sae aksesyste. kjent fa egning ed kplekse tall, vet vi at en deiing i det kplekse planet, gjøes ved å ultiplisee ed e jβ de β e den ønskede tasjnsvinkelen. Utføe så en tasjn på ligningene (.3)-(.33). igningene f stø, spenning g fluksfslyngning bli da: tat: i j ( t) = i ( t) e Θ f U j f ( t) = U ( t) e Θ (.36) λ j ( t) = λ ( t) e Θf Kapittel 7

18 Feltientet eguleing av asynknt t: i j ( t) = i ( t) e Θ slip HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK U j slip ( t) = U ( t) e Θ (.37) λ j ( t) = λ ( t) e Θslip de en vekt uten øve indeks bety at den aktuelle vekten e efeet til f-aksen. ette så disse ligningene inn f de ppinnelige spenningsuttykkene (.34) g (.35). tat- g tspenningene bli da: jθ f jθ d t e f jθ λ ( ) f U( t) e = i ( t) e + dt d t U t e i t e e j d j j λ ( ) j Θ f ( ) = ( ) + + λ ( t) e dt dt Θ Θ Θ jθ f f f f (.38) jθ slip jθ dλ ( t) e slip = i( t) e + dt d t = i t e + e + j d j λ ( ) j Θslip ( ) λ ( t) e dt dt Θ Θ jθ slip slip slip (.39) Dividee ed h.h.v e jθf g e jθslip på begge side, g få: dλ ( t) U( t) = i( t) + + dt dλ ( t) = i( t) + + dt jω λ ( t) (.4) f jω λ ( t) (.4) slip Dette e de endelige spenningsuttykkene f asynknten, s begge e efeet til f-aksen. Fø vi gå videe ed ppbygningen av tdellen skal vi se hvdan an kan utlede et uttykk f tentet, T e...3 Mentbeegning Kapittel 8

19 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK F å kunne gi ten et ønsket ent, å vi kjenne utttykket f entet, g vite hva s påvike det. Vi skal he se på hvdan an kan utlede et uttykk f entet i en asynknt. kjent fa tidligee, ha vi en MMK (agnettisk kaft) i ten s e gitt av: F( α, t) = F Cs( α ζ ( t)) (.4) ax de F = 4 N k P i ax w π f, N-antall vindinge, P-antall ple g k w e vindingsknstant. I tillegg ha vi et B-felt i ten gitt av: B( α, t) = B Cs( α ρ( t)) (.43) ax de B ax = Φ P 4 l, l-lengden på t, -adius på t. vi se av ligning (.4) g (.43), svinge ikke F g B i fase. De ha en fasefskjell s e gitt av diffeansen ζ(t)-α(t), se figu.6. Figu.6 Fasefskjell ell F g B. F å finne et uttykk f entet, se vi på støtettheten i et lite åde på ten. tøtettheten, J, e gitt av: J (, F t ) α = = F in( ( t)) ax α ζ α (.44) Kapittel 9

20 Feltientet eguleing av asynknt de e adien på ten. HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Den tangentielle kaften på t innenf et lite åde dα, ed lengde l, vil væe gitt av entz kaftlv: df = J ( dl B) dα (.45) g kan vises ed følgende figu (se figu.7). Figu.7 Kaften på t i et lite avgenset åde dα Ved et gitt tidspunkt ke feltet s vist på figu.7. tøtettheten i ten vil væe gjevnt fdelt ed en gitt etning, g vi vil få en kaft på ten s vist på figuen. Denne kaften vil væe pphav til et ent i ten. Mentet på det avgensede ådet vil nå væe gitt av den beegnede kaften i ligning (.45), ultipliset ed adien,, på ten. dt e = df (.46) F å finne det ttale tentet f en P-plet askin, å vi integee undt en hel elektisk peide. Dette gi ss følgende integasjn: π P T = B t e J t l ( α, ) ( α, ) dα = π P l B ax F ax Cs ( α ρ( t )) in ( α ζ( t )) d α 4 = P π l Bax F 4 ax in( ζ( t) ρ( t)) (.47) ette så inn f B ax g F ax, sat at vi ha saenhengen,λ = N Φ. Dette gi: T P = k ' i ' kw λ de kt = (.48) e t f Kapittel

21 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK F vektielle sue ha vi at: i f = i 3 de i f e fase vekten, g i e den ttale støvekten. (.49) s gi ss den endelige entligningen. T P ' = k λ i (.5) 3 e t vi se av ligning (.5), e det elektekaniske entet gitt av kysspduktet ell tstø g tfluks, ultipliset ed en knstant. Det vil si at vi kan geie å hlde kntll ve fluksen i ten, vil vi kunne få asynknten til g ppføe seg s det va en DC-t. Mentet vil da kun bli avhengig av støen i ten. Dette vil bli nøyee talt i senee kapitle. Kapittel

22 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Kapittel. Mtdell I fige kapittel så vi på hvdan de ateatiske uttykkene f asynknt k fe, g vi fikk en viss fståelse av hvdan det ateatiske systeet henge saen ed det fysiske. Vi skal i dette kapitlet se på hvdan vi nå kan bygge ss en ateatisk dynaisk dell av asynknten. Denne dellen skal så bli bukt s utgangspunkt f eguleing, siuleing g estieing. Dette tales i senee kapitle. utgangspunkt f ppbygningen av en dell f ten ha vi fa kapittel, følgende gunnleggende saenhenge: P ' Te = kt λ i (.) 3 dλ U = i + + j λ ω f (.) dt dλ = i + + j λ ω slip (.3) dt = i + i (.4) λ = i + i (.5) λ.. d-q akse Fø vi gå videe, skal vi definee et aksesyste s bli benevnt d-q aksesysteet, elle t-aksesysyteet. Dette fdi vi i uttykene ve ha både eelle g kplekse vedie. Vi definee da de eelle vediene langs d-aksen (diect), g de kplekse vediene langs q-aksen (quadatue). Figu. illustee dette. vi se av figu., e d- g q-aksene tgnale, g de epesentee et helt vanlig kplekst plan, de vi ha definet den eelle d-aksen langs den tidligee definete f-aksen. Det e selvsagt ingenting i veien f å ientee d- g q-aksene i en vilkålig etning, en det e enklee g ientee de saen ed f-aksen. En viktig detalj e at både d- g q- aksen tee ed sae hastighet, g e den sae s ω f. I det ettefølgende vil vi gså dekpnee vedie s tilsynelatende e helt eelle, i en eell g kpleks del. Vi ke tilbake til dette senee. Kapittel

23 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Figu. d-q aksesysteet i fhld til de ande vektene vi skal se, vil hele tdellen bli baset på dq-aksesysteet, elle t-aksetei s det gså kalles. Vi skal nå gå gjenn alle delene s å dellees f å ke fe til en tilstandsdell f ten. Det føste vi skal se på e delleingen av tentet... Mentkntll Hvis vi løse ligning (.5).h.p i -vekt få vi: i = λ i (.6) ette dette uttykket inn f tentet i ligning (.), g få følgende uttykk: T e P k i ' = t ( λ λ + λ ) (.7) 3 iden kysspduktet ell t paallelle vekte e lik, stå vi igjen ed ligning (.8),s e entet i ten, uttykt ved statstøen: T e P ' = kt ( i λ ) (.8) 3 Hvis vi nå substituee i = id + j iq, få vi: Kapittel 3

24 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt P ' Te = kt ( id + j iq) λ (.9) 3 iden fluksen e ettet langs d-aksen, vil ikke d-aksekpnenten av støen gi ne bidag til entet. Dette gi ss da det endelige uttykket f entet, T e, på ten, s bli q-aksestøen ultipliset ed tfluksen. T P = k i λ (.) 3 e t q de kt = k ' t vi se av ligning (.), å vi altså kunne kntllee både tfluks g statstøens q-aksedel f å geneee et ønsket ent. Vi skal i det neste undekapitlet se på hvdan vi kan stye fluksen uavhengig av q-aksestøen, q i...3 Flukskntll Vi ha nå sett på hvdan entet kan styes v.h.a q-aksestøen unde futsetning av at fluksen e knstant. Vi skal nå se hvdan vi kan hlde fluksen knstant, elle gi den en ønsket knstant vedi. Vi sette føst ligning (.6) inn i (.3), g få: i λ T dλ T = ( + ) + j( ω slip λ ), T dt de ligning (.) e løst.h.p i -vekt. aenligne vi ligning (.) ed ligning (.), = (.) i = id + j iq (.) se vi at ealdelen bli: λ λ + T d = id (.3) dt g den iaginæe delen bli: ω slip = T i q λ Ut fa ligning (.3) kan vi sette pp en tansfefunksjn fa i d til λ s bli: (.4) Kapittel 4

25 Feltientet eguleing av asynknt λ ( s) id ( s) = T s + (.5) HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Vi se da at fluksen i ten e ppsjnal ed i d ultipliset ed, sat at vi ha en tidsknstant T, s e ttidsknstanten i ten. Ut fa det s nå e utledet, se vi at entet på ten kan styes ved å ende på i q i ligning (.), g fluksen i ten kan styes ved å ende på i d i ligning (.5). I d bli def gjene kalt agnetiseingsstø (jf DC-t), ens i q kan saenlignes ed ankestøen i en DC-t. Vi kan nå ed gunnlag i det s e blitt sagt, egulee asynknten på lik åte s en feedagnetiset DCt. Vi skal ke tilbake til eguleing i senee kapitle. Vi skal nå se på saenhengen ell støe g spenninge i 3-fasesysteet g det kplekse d-q aksesysteet...4 Kdinat tansfasjn Både støe g spenninge i en 3-fase AC-t bestå av te vekte s suees vektielt, g vi få en esulteende vekt s beskive det ttale støg spenningsbildet i ten (se figu.4). iden vi ha bestet ss f å jbbe i dqplanet, g ten e 3-faset, å vi feta en lineætansfasjn f å bevege ss ell vektene. Vi skal nå vise hvdan tansfasjnene kan utledes fase til a-b tansfasjn Ta utgangspunkt i følgende saenhenge f ten: j i = i + i e + i e 3 j g i + i + i = (.6) 3 egneegle f kpleks egning gi ss da følgende uttykk: 3 3 i = i + ( i i3) + j( i i3) (.7) ubstituee i = i i g få: i = i + j( i i3 ) (.8) Vi kalle ealdelen av i -vekt f i α g iaginædelen f i β. Hvis vi sette dette pp på atisef, få vi da: Kapittel 5

26 Feltientet eguleing av asynknt i iα 3 i i β = 3 3 i 3 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (.9) Tansfasjnsatisen settes lik F, ne s gi: i iα i i β = Φ i 3 (.) vi se, e dette atisesysteet efeet til stataksen, siden vi bae ha tansfet 3-fasestøene ve til en kpleks stø. iden vi ha bestet at alle uttykk skal efeees til f-aksen, d.v.s. et kdinatsyste s e efeet til f-aksen, å vi feta nk en tansfasjn. Det innebæe at vi å tee de nå definete α-β aksene ed en vinkel Θ f, s e vinkelen ell stataksen g tfluksaksen. Vi skal nå se på hvdan denne tasjnen fegå...4. a-b til d-q tansfasjn utgangspunkt f tasjnen buke vi følgende figu (se figu.). Tenk deg at dq-aksene e feket ved å tee αβ-aksene t klkka en vinkel på Θ f. Hvis e g e e standad enhets basisvekte: e = (, ) e = (, ) g u g u e enhetsvekte langs de tete aksene: = (cs( Θ ),sin( Θ )) u f f u = Θ f Θf ( sin( ), cs( )) Da kan vi sette pp følgende saenheng: α e + β e = d u + q u (.) Kapittel 6

27 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Figu. tasjn av kdinatsystee På atisef bli ligning (.): α = Cs( Θ f ) in( Θ f ) d β in( Θ Cs q f ) ( Θf ) (.) Hvis vi nå skal tee en stø- elle spenningsvedi i et bli atisen: id Cs f in f i iq = ( Θ ) ( Θ ) in( Θf ) Cs( Θ f ) i α β (.3) tasjnsatisen settes lik, g vi kan skive: id i i q = α i β (.4) Vi se he α-β aksesysteet g det nye d-q aksesysteet tet en vinkel på Θ f gade. På kpleks f kan tasjnen av aksesysteene skives. i αβ = i e dq j f Θ (.5)..4.3 Ttal tanfasjn Kapittel 7

28 Feltientet eguleing av asynknt Kapittel HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK 8 Vi ha nå fetatt en tansfasjn fa de ålte statstøene (evt. spenningene) til det ønskede d-q aksesysteet. Den ttale tansfasjnen bli: i i Cs in in Cs i i i d q f f f f = ( ) ( ) ( ) ( ) Θ Θ Θ Θ (.6) elle i i i i i d q = Φ 3 (.7) Nå vi skal egulee ten å vi gså ha uligheten til å gi efeansevedie i d-q aksesysteet, f så å beegne de tilhøende statstøene (evt. spenningene). Vi å da ha den invese tansfasjnen. vi uiddelbat se, e ikke F-atisen inveteba. Tikset vi da buke, e at vi sette uttykket i + i + i 3 = inn i ligningssysteet (.9), g få: i i i i i α β = (.8) F-atisen bli da inveteba, g vi få den vendte tansfasjnen fa α-β systet til det 3-diensjnale systeet til å bli: i i i i i = α β (.9) I ligning (.9) ha vi nå den invetete F-atisen. vi se, tenge ikke den siste klnnen å væe ed, siden den bli ultipliset ed. Denne fjenes, g vi stå igjen ed den invetete F-atisen s vi skal benytte i beegningene.

29 Feltientet eguleing av asynknt Φ 3 = HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (.3) Den invetete -atisen bli på følgende f: Cs( Θ f ) in( Θf ) = in( Θf ) Cs( Θf ) (.3) Den ttale investansfasjnen bli nå: i i i 3 3 = 3 3 Cs( Θf ) in( Θf ) id 3 in f Cs f ( Θ ) ( Θ ) iq 3 (.3) elle i i i 3 i d = iq Φ (.33) Vi ha nå sett hvdan vi kan tansfee stø- g spenningsvedie ell d-q aksesysteet g det 3-diensjnale systeet, g tilbake. På geneell f kan tansfasjnene skives: i id Cs f Cs f Cs f i i q = ( Θ ) ( Θ ) ( Θ + ) in( Θ f ) in( Θ f ) in( Θf + ) i 3 (.34) g i Cs( Θf ) in( Θf ) i i d = Cs f in f 3 ( Θ ) ( Θ ) i q i3 Cs f + in f + ( Θ ) ( Θ ) Vi skal nå gå videe ed delleingen av ten. (.35)..5 tatspenningkntll Kapittel 9

30 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK iden vi ha bestet at vi skal jbbe i d-q aksesysteet å vi gså få uttykket f statspenningen ve på dq-aksef. Ta da utgangspunkt i ligningene (.4) g (.6). ette (.6) inn f (.4), g få: λ = σ i + λ, σ = de σ kalles lekkfakten. (.36) ette så ligning (.36) inn f statfluksen i ligning (.) g ke ut ed: U i di dλ = + σ + + j σ ω f i + j ω f λ (.37) dt dt Hvis vi nå bytte ut U -vekt ed U d + ju q, g i -vekt ed i d + ji q i ligning (.37), få vi spenningsuttykket på d-q aksef. En d-aksedel s bli: U i di d dλ d = d + σ + σ ω f iq (.38) dt dt g en q-aksedel s bli: U i di q q = q + σ + ω f λ + σ ω f id (.39) dt Vi kan skive (.38) g (.39) f å få de på tilstandsf. F å utføe skivningen benyttes følgende saenhenge, s ble utledet tidligee: dλ dt = ( id λ ) (.4) ω f = ω + ω slip, ω slip = T i q λ (.4) ette ligning (.4) inn f tfluksen i ligning (.38) g få: Kapittel 3

31 Feltientet eguleing av asynknt U i di d d = d + σ + ( dt i λ ) σ ω i i di d = d + σ + id λ σ ω i dt i di d = ( + ( ) ) d + σ i dt T λ σ ω i di ' d = d + σ dt T λ σ d f q f q ω f q i f q å sette vi ligning (.4) inn i ligning (.39) g få: HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (.4) U i di q i q q = q + σ + ( ω + ) + i dt T λ λ σ ω i di q = q + σ + iq + ω λ + σ ω i dt i di q = ( + ( ) ) q + σ ω λ + σ ω i dt i di ' q = q + σ ω λ + σ ω i dt f d f d f d f d (.43) Vi kan nå sette ligningene (.4) g (.43) på tilstandsf. D-akse støens tilstandsdell bli: di dt d ' i = d + σ σ T λ + ω i + f q = id + λ + ω f iq + '' T σ T σ σ i i T T U = d + λ + ω f q + d, σ = '' σ σ σ = id + λ + ω f iq + '' T σ T σ U U d d U d (.44) g q-aksestøens tilstandsdell bli: Kapittel 3

32 Feltientet eguleing av asynknt ' diq dt i = q ω λ ω f id + σ σ = iq ω λ ω f id + '' T σ σ σ U U HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK i i T U = q ω λ ω f d + q, σ = '' σ σ σ = iq ω λ ω f iq + '' T σ σ U d q q (.45) de T '' σ = ' ' g = + ( )...6 Beegning av tstøen Det kan i ange tilfelle væe ønskelig å ha tstøene tilgjengelig. F å beegne disse ta vi utgangspunkt i følgende uttykk: U = i + dλ dt (.46) = i + i (.47) λ Disse t ligningene e efeet til stat. Vi dele ligningene pp, slik at vi få de på α-β-f. igningene ke da på følgende f, ette en liten ellegning: dλ α = Uα i α (.48) dt dλ β = U β iβ (.49) dt i = λ i α α α i = λ i α α α (.5) (.5) Ut fa disse fie ligningene kan vi nå beegne tstøen i asynknten...7 Blkkskjea f ten Kapittel 3

33 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Vi ha nå utledet alle tligningene, g kan sette pp en tilstanddell f ten. Dette e vist i ligningene (.5) til (.57). Ut ifa disse ligningene kan vi tegne et blkkskjea f asynknten. di dt d σ = id + f iq T T + + λ ω '' σ σ U d (.5) di q dt σ = iq ω λ ω f id + '' T σ σ U q (.53) dλ dt = ( id λ ) (.54) T dθ dt f = ω = ω + ω = ω + f slip T λ i q (.55) dω dt = ( Te T B ω ) (.56) J dθ = ω dt (.57) Blkkskjeaet f ten bli s vist i figu.3. Dette blkkskjeaet skal vi i neste kapittel buke s utgangspunkt f eguleing av ten. Figu.3 Blkkskjea f asynknten Dette blkkskjeaet skal s sagt ha s utgangspunkt f eguleing, estieing g siuleing av asynknten. vi se e det en del e kpliset enn blkkskjeaet vi ha f en DC-t, en vi kan kjenne igjen de vesentlige eleentene s spenning til stødynaikk g ent til tutallsdynaikk. Det nye Kapittel 33

34 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt ved dette blkkskjeaet e, at det e høyst ulineæt, g vi se at fluksen i ten inngå s en del av tblkkskjeaet. det ke fe av blkkskjeaet snakke vi t type tutall, et elektisk, ω, g et ekanisk ω,ek. Dette fdi vi kan ha flee en ple i askinen, ne s vil esultee i at disse t tutallene bli fskjellige.. tasjnæ dell av asynknten.. Utledning av stasjnæ dell Vi ha til nå sett hvdan vi ke fe til den dynaiske dellen f asynknten. Denne e fin å buke nå vi skal egulee ten, sat se på dynaiske fløp. Nen gange e det gså ønskelig å feta stasjnæe betaktninge f å se hvdan støe g spenninge bli nå alle tansiente ha dødd ut. Vi skal nå se hvdan vi kan utlede et uttykk f den stasjnæe tdellen. Vi ta da utgangspunkt i ligning (.58) g (.59) s e de geneelle uttykkene s beskive ten. U = i + = i + dλ dt dλ dt (.58) (.59) Vi anta nå at fluksen i ten e en en sinus, uten tansiente fløp. Vi ha da stasjnæ dift. λ ( t) = λ$ sin( ω t) (.6) λ ( t) = λ$ sin( ω t) (.6) slip Deivee så ligning (.6) g (.6), g få: dλ = ω λ $ sin( ω t + 9 ) (.6) dt dλ = ω slip λ $ sin( ω slipt + 9 ) (.63) dt På kpleks f kan ligningene (.6) g (.63) skives: dλ dt = jω λ (.64) Kapittel 34

35 Feltientet eguleing av asynknt dλ dt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK = jω λ (.65) slip ette så ligningene (.64) g (.65) inn f h.h.v (.58) g (.59), s gi: U = i + jω λ (.66) = i + jω λ (.67) slip Vi sette så ligning (.4) inn f (.68), g (.5) inn f (.69). Vi få da: U = i + j ω i + j ω i (.68) = i + j ω i + j ω i (.69) slip slip Til slutt ha vi følgende saenhenge, s ble utledet i kapittel. = + l = + l (.7) (.7) ette disse inn f h.h.v ligning (.68) g (.69), g få: U = i + j ω i + j ω i + j ω i (.7) l = i + j ω i + j ω i + j ω i (.73) slip slip slip l Tekke saen uttykkene i ligning (.7) g (.73). Dette gi: U = i + j ω i + j ω ( i + i ) (.74) l = i + j ω i + j ω ( i + i ) (.75) slip l slip vi se tee disse t uttykkene ed fskjellig vinkelhastighet. Vi ultiplisee def ligning (.75) ed ω / ω slip = /s, (s e slippen i ten). Dette gi ss de endelige uttykkene f den stasjnæe dellen av asynknten. U = i + j ω i + j ω ( i + i ) (.76) l = i + j ω f l i + j ω f ( i + i) (.77) s Kapittel 35

36 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt de i i i + =, nå støetningen e s vist på figu.4. Ketsskjeaet f denne dellen bli s vist i figu.4. Figu.4 P.fase diaga f stasjnæ dell av asynknten.. tasjnæe tligninge Vi kan ut ifa diagaet i figu.4 sette pp et vektdiaga s vise de fskjellige stø- g spenningsvektene i ten, sat vinklene ell de (se figu.5). Figu.5 Vektdiaga f asynknten Vinkel ϕ e vinkelen ell U g i. Vinkel θ e vinkelen ell E ag g i, ens vinkel δe vinkelen ell i g i. θ ω l = actan (.78) s δ = θ 9 (.79) Vi skal nå, ed gunnlag i figu.4 g.5 sette pp ligningene f effektflyten i ten. P = 3 U I Cs( ϕ) in Tilføt effekt Kapittel 36

37 Feltientet eguleing av asynknt - P = 3 I Kbbetap i stat - P Fe Jentap HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK = Pag = 3 Eag I in( δ ) = 3 I s - P = 3 I uftgapseffekt Kbbetap i t s = Pe = Te = I ω 3 s Elektekanisk effekt - P F Fiksjnstap = P avg Avgitt effekt Pag Eag I in I de Te = = = 3 ( δ ) 3 e det elektekaniske entet s ω ω s ω ten utvikle. et eksepel på saenhengen ell dynaisk g stasjnæ analyse, e det gitt et kbinet beegningseksepel i appendiks A.7. Neste tea bli nå eguleing av asynknten. Kapittel 37

38 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Kapittel 3 3. eguleing av asynknten Vi ha nå ket fe til en ateatisk dell g et blkkskjea f asynknten. I dette kapitlet skal vi se på hvdan vi ed utgangspunkt i denne dellen, kan hastighets- g psisjnsegulee ten på en best ulig åte. egulate buke vi standad P g PI-egulate. Det føste an å gjøe nå an skal egulee en psess, e å identifisee alle delpsessene s skal egulees. vi se fa kapittel, figu.3, ha vi t støsløyfe, en d- g en q-aksestø, s skal egulees. t-fluksen å egulees, f å ppnå en stabil fluks, sat at vi ha tutalls- g psisjnssløyfe s askt skal følge en gitt efeanse. Vi skal he se på alle sløyfene hve f seg, g til slutt ke fe til en ttal dell f den egulete asynknten, sat egulatpaaetee s e geneelle f en slik t. Vi begynne ed støsløyfene. 3. tøeguleing utgangspunkt ha vi figu.3. De kan vi finne det utsnittet s epesentee stø-sløyfen, altså dynaikken fa spenning til stø (se figu 3.). Figu 3. tøsløyfen i asynknten Kapittel 3 38

39 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Fø vi gå inn på eguleingen av støene i ten, skal vi føst se på en etde s kan bukes ved eguleing av stødynaikken. 3.. Dekpling vi se av figu 3. g av ligningene (3.) g (3.), e asynknten en høyst ulineæ psess, sat at vi ha kpling ell d- g q-aksene i dellen. Vi skal he se på en etde f å unngå denne uønskede kplingen. atidig vil vi gså få fjenet ulineæiteten i stø-sløyfene. di dt d σ = id + f iq T T + + λ ω '' σ σ U d (3.) di q dt σ = iq ω λ ω f id + '' T σ σ U q (3.) F å gjøe ten tilsynelatende enklee å egulee, bygge vi ss en dekple, s kan ppheve de uønskede kplingene ell d- g q-aksen. sagt vil en dekple kunne få stødynaikken i ten til å se ut s den e en lineæ psess. Vi sette inn dekpleen fan d- g q-akse spenningen s vist i figu 3.. Figu 3. tøsløyfe ed dekple Kapittel 3 39

40 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Det vil væe ange åte å knstuee en dekple på, en vi velge he en s gi ss følgende saenheng ell i g y ette dekplingen (se figu 3.3). Inngangene til dekpleen bli da y g y, ens utgangen fa den dekplede psessen bli d i g i q, s e de intene støene i ten. Det e da ikke lenge nen kpling ell d- g q-aksene. Dette gjø det enkelt å diensjnee f.eks en P- elle PIegulat f hve av delpsessene, s nå e eduset til å bli t integate. Vi vil da, ette eguleingen, få eksakt de d- g q-aksestøene vi ønske ss. Figu 3.3 Ønsket blkkskjea f støsløyfene ette dekplingen F å ppnå den ønskede dekpleen se vi ut ifa ligning (3.) g (3.) at vi å velge di di d q y = g y =. Vi vil da få at dekpleen å bli: dt dt y T i σ = d + f iq T λ + ω + '' σ σ U d (3.3) y T i σ = q ω λ ω f id + '' σ σ øse så (3.3) g (3.4).h.p U d g U q, g få: U q (3.4) U y T i d = σ σ ( + d f iq σ T λ ω ) '' U y T i σ q = σ ( + q + ω λ + ω f id ) '' σ (3.5) (3.6) Kapittel 3 4

41 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Vi kan nå tegne pp det endelige blkkskjeaet f dekpleen vå (se figu 3.4). Inngangen til dekpleen vil væe y, y, ens utgangene vil væe U d, U sq, s e pådagene til d- g q-aksespenningene. esultat vil vi ette dekplingen stå igjen ed den ønskede psessen, nelig t integate (jf figu 3.3). Figu 3.4 Fullstendig blkkskjea f dekpleen Denne dekpleen vil nå ppheve de uønskede kplingene ell d- g q-aksene. vi se tenge dekpleen tutallet, fluksen g tasjnshastigheten til fluksen s inputvedie. De t sistnevnte vediene kan ikke åles, g å def estiees. Estieing av ikke-ålbae tilstande bli tea f kapittel 4. Vi skal nå gå videe ed eguleingssløyfene f støene. 3.. eguleing vi ha sagt tidligee vil det nå væe enkelt å egulee begge støsløyfene. Dette kan gjøes ed enten P- elle PI-egulate. iden begge sløyfene bestå av kun en integat, e det tilstekkelig ed en P-egulat f å ppnå en ask innsvingning på støen. Ønske an ande dynaiske egenskape kan an velge en PI-egulat. Med egulatene innkplet vil eguleingssløyfene få følgende blkkskjea (se figu 3.5). vi kan se he, å vi ha ålinge av d- g q-aksestøene tilgjengelige i tilbakekplingen. I g ed at disse, akkuat s fluksen, e ikke-ålbae støelse, å vi gså he inn ed estiete vedie. sagt tales estieing i et senee kapittel. Kapittel 3 4

42 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Figu 3.5 eguleingssløyfene f støene Hvis begge egulatene h (s) g h (s) e P-egulate ed fstekninge h.h.v lik k pd g k pq, bli følgefhldet f de t eguleingssløyfene: M( s) = T stø s + (3.7) de T stø = = bli tidsknstanten i den egulete støsløyfen. Man se da at k k pd pq hvis an velge fstekningen veldig st, vil tidsknstanten gå t, g vi vil få et eget askt syste. Og siden følgefhldet e av.den, vil vi helle ikke få vesving. Men ettes et slikt eguleingssyste ed st sannsynelighet vil væe et disket syste, kan an i paksis ikke velge fstekningen altf st. Det vil da edføe et scillatisk syste, siden diskete systee e tastet (saplet). Hvis an hadde disketiset dellen g bukt teien f diskete systee, ville fenenet ed scillasjn ikke ppstått. Vi ha nå sett på en ulighet f dekpling g eguleing av d- g q-aksestøene i ten. Det finnes selvsagt gså ange ande ulighete f dekpling. Beegning av de geneelle uttykkene egulatpaaetene vil bli gjt i kapittel 3.6. Det neste vi skal se på, e eguleing av fluksen i ten. 3.3 tflukseguleing vi huske fa kapittel, e entet i ten gitt av: P Te = kt λ iq = k λ iq, k 3 de vi kalle k f tknstanten. P = kt 3 (3.8) vi se av ligning (3.8), e entet i ten lineæt avhengig av q- aksestøen hvis vi futsette at fluksen hldes knstant. Da vil asynknten Kapittel 3 4

43 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt kunne peee akkuat s en DC-t. F å kunne ppetthlde en knstant fluks, å vi def kunne egulee på den, slik at uønskede endinge undetykkes. vi se av figu 3.6, e blkkskjeaet f tfluksen et.dens syste, g kan deed enkelt egulees ed en PI-egulat. Figu 3.6 Blkkskjea f tfluksen Tansfefunksjnen fa i d til λ e gitt fa figu 3.6, g bli: h λ λ ( s) ( s) = = i ( s) d T s + (3.9) Tansfefunksjnen f PI-egulaten e: h 3 ( s) = k ( T s + ) pf T if if s (3.) Med egulaten innkplet, bli blkkskjeaet f eguleingssløyfen s vist i figu 3.7. Figu 3.7 eguleingssløyfe f fluksen i ten Vi kan nå, ed utgangspunkt i ligning (3.9) g (3.), enkelt diensjnee PIegulaten. vi se fa figu 3.7, e ikke utgangen av egulaten den diekte efeansen til fluksen. iden egulaten sende ut et efeansesignal til støsløyfen vil vi ikke diekte kunne sette pp følgefhldet til flukseguleingen. Kapittel 3 43

44 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt Vi skal s sagt, senee i dette kapitlet se på hvdan alle egulatpaaetene kan beegnes, en vi skal føst gå gjenn alle delpsessene s skal egulees. Vi ha nå sett hvdan fluksen i ten kan egulees, g skal gå ve til eguleing av tutallet i ten. 3.4 Tutallseguleing Tutallssløyfen, fa ent til tutall, f asynknten e helt lik s f DCten. Dette fdi alle te ha et teghetsent (J), g en depningsfakt (B). Tutalls-sløyfens blkkskjea e vist i figu 3.8. Figu 3.8 Tutallssløyfe f en asynknt Tansfefunksjnen til tutallssløyfen e gitt av: h ω ω ( s) / B ( s) = = = T ( s) J s + B T s + e ek (3.) J de Tek = e den ekaniske tidsknstanten. B iden tansfefunksjnen e identisk ed den vi hadde f fluksen i ten, kan vi gså he benytte ss av en PI-egulat f å ppnå en ba dynaikk. Med egulaten innkblet, bli blkkskjeaet s vist i figu 3.9. Figu 3.9 eguleingssløyfen f tutall Nå vi ha en PI-egulat ed tansfefunksjn s i stad: Kapittel 3 44

45 Feltientet eguleing av asynknt kpt ( Tit s + ) h 4( s) = T s it HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK (3.) kan vi gså he enkelt bestee egulatpaaetene. f flukseguleingen e helle ikke he efeansen fa egulaten den s diekte skal inn s tutallsefeanse. Av den gunn kan vi helle ikke he finne følgefhldet i føste gang. Vi skal nå gå ve til å se på psisjneguleingen. 3.5 Psisjnseguleing I ange tilfelle e det ønskelig ed en psisjnseguleing av ten. Dette gjøes enklest v.h.a en P-egulat, siden det alleede e en integat i psisjnssløyfen. P- egulaten vil def kunne gi ss et stasjnæt avvik lik null ved spang i lastentet. egulat kan an gså he velge en PI-egulat, an vil ppnå ande dynaiske egenskape. iden psisjnen e tidsintegalet av hastigheten på ten, vil tansfefunksjnen fa tutall til psisjn væe gitt av: h Θ Θ ( s) ( s) = = ω ( s) s (3.3) s igjen gi følgende blkkskjea f psisjnssløyfen (se figu 3.). Figu 3. Psisjnssløyfen f asynknten iden vegangen fa tutall til psisjn kun e en integat, bli eguleingen s sagt tilfedsstillende ed en P-egulat. I kapittel 3.6 vil egulatpaaetee f både P- g PI-egulat bli utabeidet f psisjnssløyfen. Tansfefunksjnene f egulatene e gitt av: h ( 5 s ) = k pp (3.4) elle h 5 ( s) = k ( T s + ) pp T ip ip s (3.5) Blkkskjeaet f psisjnseguleingen bli da s vist i figu 3.. Av sae gunne s tidligee kan an ikke finne følgefhldet diekte, f så å bestee k pp g T ip. Dette fdi utgangen fa egulaten ikke e nen psisjnsefeanse. Kapittel 3 45

46 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Figu 3. Psisjnseguleing ed egulat innkplet Vi skal nå se næee på hvdan alle egulatpaaetene bli diensjnet, g vi skal ke fe til et blkkskjea s vise det ttale eguleingssysteet. 3.6 Fullstendig eguleingssyste 3.6. Innledning Nå ha vi sett på alle eguleingssløyfene, g hvdan de kan egulees. Nå skal vi se på hvdan det kplette systeet vil se ut ed egulate g dekple, sat hvdan alle egulatpaaetene feke. Vi skal gså se på hvdan vi kan diensjnee en PI-egulat f støsløyfen nå vi ikke ha dekpleen ed i systeet. Figu 3. vise ss et vednet bilde av hvdan systeet vil se ut, ed egulate g dekple. Figu 3. egulet asynknt vi se, vil alle tilstandsvaiablene unntatt psisjn g tutall væe estiete vedie. Dette fdi vaiablene vanskelig elle uulig la seg åle. Hvdan vi skaffe ss disse tilstandene uten ålinge, e s sagt tea f kapittel 4. Med utgangspunkt i det s e vist tidligee, kan vi nå sette pp et blkkskjea f den egulete asynknten. iden vi ha ed dekpleen vil ten bli Kapittel 3 46

47 HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK Feltientet eguleing av asynknt beskevet v.h.a. t blkkskjeae. Vi kan kalle det ene blkkskjeaet f «feltketsen» (jf DC-t), g det ande f «tketsen». Blkkskjeaet f den egulete feltketsen bli s vist i figu 3.3. Feltketsen bestå da av en støsløyfe, g en flukssløyfe s begge å egulees. Figu 3.3 Blkkskjea f den egulete feltketsen Blkkskjeaet f den egulete tketsen bli s vist i figu 3.4. Til saenligning ed DC-ten, ha vi he i q, s kan saenlignes ed ankestøen, i a. I tillegg ha vi et utviklet ent, T e s gi ss tutallet på ten. Og helt til slutt ha vi psisjnen på ten. Figu 3.4 Blkkskjea f den egulete tketsen Figu 3.3 g 3.4 vil nå bli bukt s utgangspunkt f utabeiding av egulatpaaetene. Men føst skal vi se litt på feltsvekking, g nå dette eventuelt kan bukes i asynknten Feltsvekking I enkelte tilfelle e det ønskelig at tutallet på ten gå ve eketutallet, ω N. F at vi unde slike fhld ikke skal vestige ekeeffekten på ten, s e gitt av: P = T ω de T = k λ i (3.6) N en N en N qn Kapittel 3 47

48 HØGKOEN I NAVIK Feltientet eguleing av asynknt IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK å en da edusee entet på ten unde dift. Vi se at vi f.eks skal ha et tutall s e gange eketutallet, å vi halvee entet. I slike tilfelle e det ønskelig g ppetthlde ekestøen, i qn, i ten. F å edusee entet å en da edusee fluksen i ten. Dette fenenet kan vises ved følgende figu. Figu 3.5 Ment-tutalls-kaakteistikk vi se av figu 3.5, g av ligning (3.7), s e den stasjnæe ligningen f ekefluksen, e det i d s da å senkes, f at feltet i ten skal senkes. i λ N = dn (3.7) Hvis vi sette ligning (3.7) inn f effekten i (3.6) få vi: P = k i i ω = K i ω (3.8) N dn qn N dn N de K = k iqn. Vi se da, at hvis vi ønske et tutall ω = n ω N, å vi senke agnetiseingsstøen i d tilsvaende, i d = i dn /n. I paksis vil an da åtte ha en feltsvekkingskets s til enhve tid sjekke tutallet på ten, g beegne en ny fluksefeanse. Figu 3.6 vise hvdan dette bli gjt. Figu 3.6 Feltsvekkingskets Kapittel 3 48

49 Feltientet eguleing av asynknt HØGKOEN I NAVIK IVIINGENIØUTDANNINGEN INDUTIE EEKTOTEKNIKK vi se, e tutallet inputpaaete, g vi kjenne igjen kuven s knekke nå vi ppnå eketutall. Ved vestigning av eketutallet vil fluksefeansen gå ned, g vi vil ikke ke ve ekeeffekten, P N Beegning av egulatpaaetee F å beegne egulatpaaetene ta vi utgangspunkt i figu 3.3 g 3.4, en føst å vi gjøe en antagelse. vi se, e blkkskjeaet i figu 3.4 ulineæt. Dette fdi vi ha et ultiplikasjnseleent ell fluks g q-aksestø, f å ppnå entet. Antagelsen bli def at fluksen hldes knstant hele tiden, g vi kan da sette fluksen inn s et lineæt eleent i blkkskjeaet. Vi skal væe kla ve at dette ikke e nen feil antagelse, siden vi ha egulet fluksen til å væe knstant. Den vil da hlde seg på en knstant vedi hele tiden. Vi få nå et lineæt blkkskjea ed følgende utseende (se figu 3.7). Figu 3.7 ineæt blkkskjea f den egulete ten Nå ha vi t lineæe blkkskjeae (figu 3.3 g 3.7) f den egulete ten, g den lineæisete tdellen inkludet dekple få da følgende tilstandsf. Feltketsen d dt i d id y λ = T T λ + (3.9) Mtdelen d dt i ω Θ q k = i λ, ef B ω J J Θ q + y + T J ast (3.) Kapittel 3 49

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA FY1001 og TFY4145 Mekanisk fysikk Institutt fo fysikk, august 2014 Realstat og Teknostat ROTASJONSFYSIKK PROSJEKTOPPGAVE fo BFY, MLREAL og MTFYMA Mål Dee skal i denne posjektoppgaen utfoske egenskape til

Detaljer

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning:

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning: nstitutt fo fysikk, NTNU Fg SF 4 Elektognetise og MNFFY 3 Elektisitet og gnetise Høst øsning øving Oppgve Mgnetfeltet inne i solenoiden e : ( H( (N/) ( (dvs fo < R). Utenfo solenoiden: ( > R) Fo å eegne

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Eleve / pivatiste Bokmål Eksempeloppgave ette læeplan godkjent juli 2000 Videegående kus II Studieetning fo allmenne, økonomiske og administative

Detaljer

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 1 Løsningsfoslag EMC-eksamen 24.5. Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 Oppgave 2 a) En geneisk standad e en geneell standad som bukes nå det ikke foeligge en poduktstandad. EN581

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002 Løsningsfoslag fo eksamen i FY Elektomagnetisme tosdag. desembe Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenumme), men vi fobeholde oss etten til justeinge.

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2015

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2015 Løsningsfoslag Fysikk Høst 015 Oppgave Sva Foklaing a) A Vi pøve oss fa ed noen kjente fole: ε vbl B ε Φ vl t vl Nå vi nå egne ed enhete på denne foelen få vi Wb B s s Wb Magnetfeltet kan altså åles i

Detaljer

1 Virtuelt arbeid for stive legemer

1 Virtuelt arbeid for stive legemer 1 Vituelt abeid fo stive legeme Innhold: Abeidsbegepet i mekanikk Pinsippet om vituelt abeid fo stive legeme Litteatu: Igens, Statikk, kap. 10.1 10.2 Hibbele, Statics, kap. 11.1 11.3 Bell, Konstuksjonsmekanikk

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons love i én dimensjon 4.01.013 kaft akseleasjon hastighet posisjon YS-MEK 1110 4.01.013 1 Hva e kaft? Vi ha en intuitivt idé om hva kaft e. Vi kan kvantifisee en kaft med elongasjon av en fjæ. Hva

Detaljer

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ola Hundei, tlf. 93411 (mobil: 95143671) Eksamen TFY 4240: Elektomagnetisk teoi 8 desembe 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012 : Hva kjennetegne bana i denne fasen? De voksnes olle Banemøte Påkledning Samlinge Måltid Posjekte Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 «Omsog, oppdagelse og læing i banehagen skal femme

Detaljer

Magnetisk hysterese. 1. Beregn magnetfeltet fra en strømførende spole med kjent vindingstall.

Magnetisk hysterese. 1. Beregn magnetfeltet fra en strømførende spole med kjent vindingstall. FY33 Elektisitet og magnetisme II Institutt fo fysikk, TU FY33 Elektisitet og magnetisme II, høst 7 Laboatoieøvelse Magnetisk hysteese Hensikt Hensikten med oppgave å gjøe seg kjent med opphavet til magnetiske

Detaljer

Billige arboresenser og matchinger

Billige arboresenser og matchinger Billige aboesense og matchinge Magnus Lie Hetland 16. jan 009 Dette e foelesningsnotate til føste foelesning i faget Algoitmekonstuksjon, videegående kus, ved Institutt fo datateknikk og infomasjonsvitenskap,

Detaljer

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y MATEMATISKE METODER I Buk av egneegle: Regn ut: a ( ( b 7 c ( 7 y 8 d 8 e f 5y y Regn ut og tekk sammen: a 5a b a b a + b b y + y + + y c t t + 6 ( 6t t + 8 d s+ s + s ( s + s Multiplise ut og odne a (

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon (2)

Newtons lover i én dimensjon (2) Newtons love i én dimensjon () 9.1.13 husk: data lab fedag 1-16 FYS-MEK 111 9.1.13 1 Identifikasjon av keftene: 1. Del poblemet inn i system og omgivelse.. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3.

Detaljer

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel MOTTO: SUB COMMUNIS Situasjonsplan 1:0 Nytt Bodø ådhus Saenheng til by / bydel nkuansefoslaget e baset på Mulighetsstudiens alt.. hvo adinistasjonen salokalisees i Rådhuskvatalet. Det eksisteende Rådhuset

Detaljer

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig Eksamen i klassisk feltteoi, fag 74 5, 4. august 995 Lsninge a) Koodinatene x; y; z tansfomees slik x 7 bx = x; y 7 by = y cos, z sin ; z 7 by = y sin + z cos Den invese tansfomasjonen e en otasjon en

Detaljer

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004 Fugletetaeeet Øistein Gjøvik Høgskolen i Sø-Tønelag, 004 Innlening Nå skal vi lage et omlegeme u kanskje ikke ha sett fø. Det e ikke noe mystisk ve selve figuen, men en høe ikke til lant e mest ukte i

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVERITETET I AGDER Gimstad E K A M E N O P P G A V E : FAG: MA-9 Matematikk ÆRER: Pe enik ogstad Klasse: Dato:.6. Eksamenstid fa-til: 9.. Eksamensoppgaven bestå av følgende Antall side: 5 inkl. foside

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME Noges teknisk natuvitenskapelige univesitet Institutt fo elektonikk og telekommunikasjon ide 1 av 8 Bokmål/Nynosk Faglig/fagleg kontakt unde eksamen: Jon Olav Gepstad 41044764) Hjelpemidle: C - pesifisete

Detaljer

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved 84 8 Eksamenstening 8 Eksamens tening Uten hjelpemidle E1 (Kapittel 1) Polynomfunksjonen P e gitt ved P ( ) = 7 + 14 8, DP = R. a Det kan vises at alle heltallige løsninge av P() = 0 gå opp i konstantleddet

Detaljer

b) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladd partikkel.

b) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladd partikkel. Løsningsfoslag Fysikk 2 Høst 203 Løsningsfoslag Fysikk 2 Høst 203 Opp Sva Foklaing gave a) B Fomelen fo bevegelsesmengde p = mv gi enheten kg m. s Dette kan igjen skives som: kg m = kg m s s2 s = Ns b)

Detaljer

Om bevegelsesligningene

Om bevegelsesligningene Inst. fo Mekanikk, Temo- og Fluiddynamikk Om bevegelsesligningene (Repetisjon av utledninge fa IO 1008 Fluidmekanikk) P.-Å. Kogstad I det ettefølgende epetees kot utledningene av de fundamentale bevegelsesligninge,

Detaljer

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Tisdag 18. desembe 01 kl. 0900-100 Oppgave 1. Ti flevalgsspøsmål. (Telle

Detaljer

Sammendrag, uke 14 (5. og 6. april)

Sammendrag, uke 14 (5. og 6. april) Institutt fo fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektisitet og magnetisme Vå 2005 Sammendag, uke 14 (5. og 6. apil) Magnetisk vekselvikning [FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; H 23; DJG 5] Magnetisme

Detaljer

Notat i FYS-MEK/F 1110 våren 2006

Notat i FYS-MEK/F 1110 våren 2006 1 Notat i FYS-MEK/F 1110 våen 2006 Rulling og skliing av kule og sylinde Foelest 24. mai 2006 av Ant Inge Vistnes Geneelt Rotasjonsdynamikk e en svæt viktig del av mekanikkuset våt. Dette e nytt stoff

Detaljer

RAPPORT. Endring E014 Flomvurdering eksisterende E6 STATENS VEGVESEN OPPDRAGSNUMMER [ R01] 29/05/2015 SWECO NORGE AS

RAPPORT. Endring E014 Flomvurdering eksisterende E6 STATENS VEGVESEN OPPDRAGSNUMMER [ R01] 29/05/2015 SWECO NORGE AS RAPPORT STATENS VEGVESEN Ending E014 Flomvudeing eksisteende E6 OPPDRAGSNUMMER 12143214 [12143214-R01] 29/05/2015 SWECO NORGE AS SAMUEL VINGERHAGEN epo002.docx 2013-06-14 Sweco epo002.docx 2013-06-14

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMT4110 KJEMI - løsningsforslag

EKSAMEN I EMNE TMT4110 KJEMI - løsningsforslag Side 1 av 7 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR MATERIALTEKNOLOGI Faglig kntakt unde eksamen: Institutt f mateialteknlgi, Gløshaugen Føsteamanuensis Hilde Lea Lein, tlf. 73 55

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 7..13 innleveing: buk iktige boks! FYS-MEK 111 7..13 1 Skått kast kontaktkaft: luftmotstand langtekkende kaft: gavitasjon initialbetingelse: () v() v v cos( α ) iˆ +

Detaljer

Eksamen 3FY mai Løsningsforslag

Eksamen 3FY mai Løsningsforslag Eksaen 3FY ai. Løsningsfoslag Oppgae a Fekensen og enegien til fotone ed bølgelengden λ,43 e in f aks c 3 λ in,,3,43 Hz E aks hf aks hc λ in 6 4 4 34,63 s 3,,5,43,9 b De sale linjene i øntgenspekteet e

Detaljer

n_angle_min.htm

n_angle_min.htm Kp 9 Rotjon 9.1 En ptikkel beege eg i en ikelbne ed kontnt inkelhtighet lik 1. -1. Siule, ål og beegn ho to inkel diuekto h beeget eg i løpet.. Mek: Mek i checkboken D lik t du ende iuleingen f 3D til

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 2. august 2003 SIF 4005 Fysikk for kjemi og materialteknologi

Løsningsforslag eksamen 2. august 2003 SIF 4005 Fysikk for kjemi og materialteknologi Løsningsfslag eksamen. august SF 5 Fysikk f kjemi g mateialteknlgi Oppgave lektstatikk a) Sylineens ttale laning pe lengeenhet finnes ve å integee laningsfelingen ( ) ve aealelementet A= e sylineens aius

Detaljer

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger Rettelse til Øistein Bjønestad Tom Rune Kongelf Teje Myklebust Alfa Oppgaveløsninge 007 Kapittel S. 7: Fasit til oppgave.9e): Slik oppgaven stå, skal svaet væe 065 (noe ha falt ut i oppgaveteksten). S.

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2016

Fysikkolympiaden Norsk finale 2016 Nosk fysikklæefoening Fysikkolypiaden Nosk finale 16 Fedag 8. apil kl. 9. til 11.3 Hjelpeidle: abell/foelsaling, loeegne og utdelt foelak Oppgaesettet bestå a 6 oppgae på side Lykke til! Oppgae 1 En patikkel

Detaljer

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Institutt fo fysikk, NTNU TFY455/FY003: lektisitet og magnetisme Vå 2008 Øving 8 Veiledning: 04.03 i R2 25-400, 05.03 i R2 25-400 Innleveingsfist: Fedag 7. mas kl. 200 (Svatabell på siste side.) Opplysninge:

Detaljer

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov.

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov. Side av 8 LØSNINGSFORSLAG KONINUASJONSEKSAMEN 006 SMN694 VARMELÆRE DAO: 04. Mai 007 ID: KL. 09.00 -.00 OPPGAVE (Vekt: 40%) a) emodynamikkens. hovedsats:. hovedsetning: Enegi kan hveken oppstå elle fosvinne,

Detaljer

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. "Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten Fo mangfold mot diskimineing Endings til Vedtekte Landsmøtet 2015 Foslagsstille Gammel tekst Ny tekst Begunnelse "Følgende dokumente legges til gunn fo viksomheten 1 Ny tekst Fø 1 - Vedtekte: Beskive eglene

Detaljer

Oppsummering Fysikkprosjekt

Oppsummering Fysikkprosjekt Tekno-/Realstat høsten 011 MTFYMA, BFY, LUR Oppsummeing Fysikkposjekt m? F? v m p a F v? a? p? Lineæ bevegelse Rotasjonsbevegelse Navn: Symbol: Navn: Symbol: distanse masse hastighet akseleasjon kaft bevegelsesmengde,

Detaljer

Montering (gjennomstikksmontering) Tekniske data Korrosivitets- og Sikkerhetsklasse Brannklasse

Montering (gjennomstikksmontering) Tekniske data Korrosivitets- og Sikkerhetsklasse Brannklasse Buksoåde ESSVE Ekspansjonsbolt Golden Ancho e beegnet fo innfestning i betong og natustein. Ekspansjonsankeet kan ed fodel bukes i applikasjone de det stilles høye kav til innfestningen. Golden Ancho kan

Detaljer

Problemet. Datamaskinbaserte doseberegninger. Usikkerheter i dose konsekvenser 1 Usikkerheter i dose konsekvenser 2

Problemet. Datamaskinbaserte doseberegninger. Usikkerheter i dose konsekvenser 1 Usikkerheter i dose konsekvenser 2 Poblemet Datamaskinbasete dosebeegninge Beegne dosefodeling i en pasient helst med gunnlag i CT-bilde Eiik Malinen Sentale kilde: T. Knöös (http://www.clin.adfys.lu.se/downloads.htm) A. Ahnesjö (div. publikasjone)

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010 Nosk Fysikklæefoening Nosk Fysisk Selskaps fagguppe fo undevisning FYSIKK-OLYMPIADEN 009 010 Ande unde: / 010 Skiv øvest: Navn, fødselsdato, e-postadesse og skolens navn Vaighet:3 klokketime Hjelpemidle:abell

Detaljer

God butikk for Steen & Strøm

God butikk for Steen & Strøm Et kundemagasin fa Ncnsult nfmasjnssysteme AS Utgave n. 0/ Gd butikk f Steen & Støm Futsigbahet, ttalvesikt, endingskntll g tid g penge spat. Det va hvedgunnene til at Skandinavias ledende kjøpesenteselskap

Detaljer

Fysikk-OL Norsk finale 2005

Fysikk-OL Norsk finale 2005 Univesitetet i Oslo Nosk Fysikklæefoening Fysikk-OL Nosk finale 005 3. uttakingsunde Tid: Fedag 5. apil kl 09.00.00 Hjelpemidle: Tabell/fomelsamling, gafisk lommeegne Oppgavesettet bestå av 7 oppgave på

Detaljer

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten.

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten. Oppgae 1. Fgu 6.11 læeboka se den nodgående enegfluksen atosfæen ( petawatt esus beddegad på den nodlge halkulen (opp tl 75 gade, ålg dlet. Fguen se også egne plott fo tansente edde, totalt bdag fa edde

Detaljer

Fysikkolympiaden 1. runde 25. oktober 5. november 2004

Fysikkolympiaden 1. runde 25. oktober 5. november 2004 Nosk Fysikklæefoening Nosk Fysisk Selskaps fagguppe fo undevisning Fysikkolympiaden 1. unde 5. oktobe 5. novembe 004 Hjelpemidle: abell og fomelsamlinge i fysikk og matematikk Lommeegne id: 100 minutte

Detaljer

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier Veilede fo adepte Buk mento - unngå omveie At eg e til, Det veit eg. Eg kjenne pusten min Og eit og anna hjeteslag. Men eg vil noko mei, enn bee å vea, eg vil vea nokon, som bety noko, i det stoe fellesskapet.

Detaljer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer Ivesteigsaalyse og iflasjo Nomiell avkastig og ealavkastig Reell låeete (ealete) Realivesteige og iflasjo Kotatstøm i omielle og faste pise Iflasjo og skatt Omløpsmidle og iflasjo Joh-Eik Adeasse 1 Høgskole

Detaljer

Kap Rotasjon av stive legemer

Kap Rotasjon av stive legemer Kap. 9+10 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn

Detaljer

FASIT FRAMSKUTT EKSAMEN VÅREN Oppg. 1

FASIT FRAMSKUTT EKSAMEN VÅREN Oppg. 1 FASIT FRAMSKUTT EKSAMEN VÅREN 00 SENSORTEORI Oppg. Ein elastisk pendel ha eit lodd ed asse 0,0 kg og ei fjø ed fjøkonstant 0,0 N/. Pendelen svinga ed aplitude 0. a) Finn svingetida (peioden) til pendelen.

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF 4008 FYSIKK Mandag 7. mai 2001 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling

EKSAMEN I FAG SIF 4008 FYSIKK Mandag 7. mai 2001 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling Side 1 av 1 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Føsteamanuensis Knut Ane Stand Telefon: 73 59 34 61 EKSAMEN I FAG SIF 48 FYSIKK Mandag 7. mai

Detaljer

Innhold. 1. Innledning... 3

Innhold. 1. Innledning... 3 Risikobaset tilsyn Modul fo makeds- og kedittisiko i fosiking Evalueing av makeds- og kedittisikonivå DAO: 15.09.2010 Innhold 1. Innledning... 3 2. Makedsisiko... 4 2.1 Metodikken... 4 2.2 Renteisiko...

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 2003 Noges teknisk natuvitenskapelige univesitet NTNU Side av 9 Institutt fo fysikk Fakultet fo natuvitenskap og teknologi Løsningsfoslag til eksamen i SIF47 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 3 Dette løsningsfoslaget

Detaljer

Obj104. Ukentlige lekser med oppgaver knyttet til de fire regneartene, tid, omgjøring mellom ulike enheter, brøk, algebra og problemløsning

Obj104. Ukentlige lekser med oppgaver knyttet til de fire regneartene, tid, omgjøring mellom ulike enheter, brøk, algebra og problemløsning Obj104 RENDALEN KOMMUNE Fagetun skole Åsplan i matematikk fo 6. tinn 2014/15 Ukentlige lekse med oppgave knyttet til de fie egneatene, tid, omgjøing mellom ulike enhete, bøk, algeba poblemløsning TID TEMA

Detaljer

Elektriske svingekretser - FYS2130

Elektriske svingekretser - FYS2130 Elektriske svingekretser - FYS3 Koplekse ipedanser Vekselsstrøskretser blir ofte enklere å behandle når ipedansene skrives på kopleks for. De koplekse ipedanser er Z ˆ i for kondensator ed kapasitans i

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011 R / - Kapittel :. oktobe. novembe Plan fo koleået /: Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Pøve på elle koletime ette hvet kapittel. Én heildagpøve i hve temin. En del pøve vil

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Kap. 4+5 Rotasjon av stive legemer

Kap. 4+5 Rotasjon av stive legemer Kap. 4+5 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 9. Veiledning: 18. oktober. Innleveringsfrist: 23. oktober kl 14.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 9. Veiledning: 18. oktober. Innleveringsfrist: 23. oktober kl 14. TFY404 Fysikk. Institutt fo fysikk, NTNU. Høsten 203. Øving 9. Veiledning: 8. oktobe. Innleveingsfist: 23. oktobe kl 4. Oppgve ) Figuen vise et unifomt elektisk felt (heltukne linje). Lngs hvilken stiplet

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage 2011 maianne@fuedesign.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning

Detaljer

egenverd FASE 3: barnehage

egenverd FASE 3: barnehage : egenved banehage Hva kjennetegne bana i fase 3? De voksnes olle Banemøte Gadeobe Måltid Samlingsstund Uteleiken Konfliktløsning Posjekt Vudeing Haug banehage 2011-2012 egenved egenved «Banehagen skal

Detaljer

Diffraksjon og interferens med laser

Diffraksjon og interferens med laser Diffaksjon og intefeens med lase Hensikt Oppsettet pa bildet bukes til a undesøke diffaksjonsmønste fa ulike spalte og gittee. Na laselys teffe et diffaksjonsobjekt, vil intensitetsmønsteet i obsevasjonsplanet

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage maianne@futuia.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning av nye

Detaljer

Kapittel 2: Krumlinjet bevegelse

Kapittel 2: Krumlinjet bevegelse Kapittel : Kumlinjet bevegelse Vannett kast v = v v = gt x 0 1 x = vt 0 y= gt y Skått kast v = v v = v gt x 0x y 0y 1 x = v0 t y = v x 0 t gt y Sving uten dosseing U+ G = ma N = G v R = m R = μn = μmg

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Mandag 9. juni 28 Tid fo eksamen: Kl. 9-2 Oppgavesettet e på 5 side inkludet fomelaket. Tillatte

Detaljer

FFI RAPPORT FORDAMPING FRA OVERFLATER OG DRÅPER. BUSMUNDRUD Odd FFI/RAPPORT-2005/03538

FFI RAPPORT FORDAMPING FRA OVERFLATER OG DRÅPER. BUSMUNDRUD Odd FFI/RAPPORT-2005/03538 FFI RAPPORT FORDAMPING FRA OVERFLATER OG DRÅPER BUSMUNDRUD Odd FFI/RAPPORT-5/58 FORDAMPING FRA OVERFLATER OG DRÅPER BUSMUNDRUD Odd FFI/RAPPORT-5/58 FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Nowegian Defence Reseach

Detaljer

STUDIESPESIALISERENDE

STUDIESPESIALISERENDE STUDIESPESIALISERENDE Utdanningspogammet: God allmenndanning e til glede og nytte fo alle. He vil du få opplæing som gi solid gunnlag fo videe studie. Alle vil oppnå geneell studiekompetanse og med visse

Detaljer

TFE4120 Elektromagnetisme

TFE4120 Elektromagnetisme NTNU IET, IME-fkultetet, Noge teknisk-ntuvitenskpelige univesitet TFE4120 Elektomgnetisme Løsningsfoslg øving 5 Oppgve 1 ) Pg. symmeti h vi E = E()ˆ gjennom hele oppgven. i) Vi l Gussflten S væe oveflten

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1 En funksjon f er gitt ved f ( x) ( x 2) e x.

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1 En funksjon f er gitt ved f ( x) ( x 2) e x. UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-nauvienskapelige fakule Eksamen i emne MAT Bukekus i maemaikk Fedag 8 febua, kl 9-4 BOKMÅL Tillae hjelpemidle: Læebok og kalkulao i samsva med fakulee sine egle Oppgave

Detaljer

KJM Radiokjemidelen

KJM Radiokjemidelen Patikke i boks - en dimensjon KJM 1060 - Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e:

Detaljer

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen MAT000V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet

Detaljer

a) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladet partikkel og radielt innover mot en negativt ladd partikkel.

a) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladet partikkel og radielt innover mot en negativt ladd partikkel. Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 2015 Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 2015 Oppgav e Sva Foklaing a) C Det elektiske feltet gå adielt ut fa en positivt ladet patikkel og adielt innove mot en negativt ladd patikkel.

Detaljer

Slik bruker du pakken

Slik bruker du pakken Slik buke du pakken Kompetanseutviklingspakken Lesestategie og leseengasjement Dette e infomasjon til deg/dee som skal lede femdiften i kollegiet. He finne du en ovesikt ove pakkens innhold til hjelp i

Detaljer

Betinget bevegelse

Betinget bevegelse Betinget bevegelse 1.0.013 innleveing på fonte FYS-MEK 1110 1.0.013 1 Innleveinge aksenavn! enhete! kommente esultatene utegninge: skitt fo skitt, ikke bae esultatet vi tenge å fostå hva du ha gjot sett

Detaljer

Gjennomgang eksamensoppgaver ECON 2200

Gjennomgang eksamensoppgaver ECON 2200 Gjeomgag eksamesoppgave ECON 00 Kjell Ae Bekke 6. mai 008 Oppgave 3 V06 a)kuvee edefo tege kuvee fo 0 ha de oppgitte egeskape y.0.5.0 0.5 0.0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 x b)føst, mek desom optimal po tt ved

Detaljer

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd Livea - livsstil - vekteduksjon n 1-2015 Vekteduksjon - Livsstilskus k. 1200,- p. mnd kusplan 2015 Kus state nå! Les me s. 3 Gikk ned 26 kg på 16 uke "Nå føle jeg at jeg vikelig nyte mat - fo føste gang"

Detaljer

Småkraftsprosjektet i Luster

Småkraftsprosjektet i Luster Småkaftsposjektet i Luste I 2003 stata Luste kommune, Luste Spaebank og Luste Enegivek Småkaftposjektet i Luste. Utgangspunktet va ei auka inteesse fo å bygge ut minde kaftvek til poduksjon av elektisk

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

DEN NORSKE MEDIEFESTIVAL. TV-dekning av Tippeligaen LANDSOMFATTENDE OMNIBUSS 8. - 10. APRIL 2002

DEN NORSKE MEDIEFESTIVAL. TV-dekning av Tippeligaen LANDSOMFATTENDE OMNIBUSS 8. - 10. APRIL 2002 DEN NORSKE MEDEFESTVAL TV-dekning av Tippeligaen LANDSOMFATTENDE OMNBUSS 8. - 10. APRL 2002 n i \ 1 fl i! : \. \, l Begen: Tlf5554 1050 Fax 55541051 Postadesse: Pb 714, Sentum 5807 Begen Besøksadesse:

Detaljer

Layher Rullestillas - Uni Bred

Layher Rullestillas - Uni Bred ayhe uestias - Uni Bed Monteing og Bukeveiedning Godkjent av Di. fo Abeidstisynet og TÜV setifiset ifg DIN EN 1004:2005-03 Stiaskasse 3 Beastning 2.0 kn/m 2 Må: 1.5 x 2.85 m maks abeidshøyde: innendøs

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 Vår 2013 Oppgav e

Løsningsforslag Fysikk 2 Vår 2013 Oppgav e Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 203 Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 203 Oppgav e Sva Foklaing a) B Feltet E gå adielt ut fa en positivt ladning. Siden ladning og 2 e like stoe, og ligge like langt unna P vil E væe

Detaljer

Kap. 22. Gauss lov. Gauss lov skjematisk. Eks.1: Homogent ladd kule =Y&F Ex = LHL Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov

Kap. 22. Gauss lov. Gauss lov skjematisk. Eks.1: Homogent ladd kule =Y&F Ex = LHL Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Kap.. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektisk felt E Gauss lov Integalfom og diffeensialfom Elektisk ledee. Efelt fa Coulombs lov: q E = k E = k å n q n n n dq E= k ò tot. ladn. Punktladn Flee punktladn.

Detaljer

/ dato Fagansv. arlig 2005 Drift og operasjon 2006 Skipstekniske tjenester 2007 Dokumentasjon og kvalitet 2009 Valgfritt programfag Maskin

/ dato Fagansv. arlig 2005 Drift og operasjon 2006 Skipstekniske tjenester 2007 Dokumentasjon og kvalitet 2009 Valgfritt programfag Maskin Felles pogamfag MAR og pogamfag Maskin Klasse: VG2 Maitime fag klasse B, 2016/2017 Ette læeplan i felles pogamfag VG2 pogamomåde fo maitime fag (MAR3-01), samt læeplan i maskin, valgfitt pogamfag VG2 pogamomåde

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: MEK3220/MEK4220 Kontinuumsmekanikk Eksamensdag: Onsdag 2. desembe 2015. Tid fo eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet e på 7 side.

Detaljer

Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU Fag SIF 4012 Elektromagnetisme og MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2002

Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU Fag SIF 4012 Elektromagnetisme og MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2002 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving Veiledning: Tosdg 9. ugust Innleveingsfist: Tisdg. septembe kl. Oppgve En ldning q e plsset i (,y)(,) og

Detaljer

ρ = = = m / s m / s Ok! 0.1

ρ = = = m / s m / s Ok! 0.1 Løsningsfoslag TEP 00 FLUIDMEKNIKK.juni 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d g 6

Detaljer

Studere en fasefølsom forsterker

Studere en fasefølsom forsterker Ku: FYS3230 Senoe og måleteknikk Guppe: Guppe-dag: Oppgave: LABORATORIEØVELSE NR 3 Omhandle: Studee en faefølom foteke Revidet, 17 ept. 06 B. Skaali Utføt dato: Utføt av: Navn: email: Navn: email: Godkjent:dato:

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). 0. INNLEDNING. Klassifikasjon av spill.

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). 0. INNLEDNING. Klassifikasjon av spill. FOEESNINGSNOAE I SPIEOI Gei. Asheim, våen 00 (oppdatet 00.0.0). Spillteoi studee flepesons-beslutningspobleme. Spillteoi analysee aktøe som e asjonelle (ha veldefinete pefeanse) esonnee stategisk (ta hensyn

Detaljer

Kap. 23 Elektrisk potensial

Kap. 23 Elektrisk potensial Kp. 23 Elektisk potensil Skl definee på gunnlg v elektisk felt E: Elektisk potensiell enegi, U Elektisk potensil, V (Ketsteknikk: El. potensilfoskjell = spenning) Potensilgdient og elektisk felt. Ekvipotensilflte

Detaljer

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?...

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?... Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16 Del 1 HR som kil de til lønn som het... 21 Ka pit tel 2 For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva

Detaljer

Formelsamling i medisinsk statistikk

Formelsamling i medisinsk statistikk Fomelsamling i medisinsk statistikk Vesjon av 5. juni 2009 Dette e en fomelsamling til O. O. Aalen (ed.): Statistiske metode i medisin og helsefag, Gyldendal, 2006. Mek at boken ha en nettside de det e

Detaljer

Fag TKP4100 STRØMNING OG VARMETRANSPORT GRUNNLEGGENDE DEL

Fag TKP4100 STRØMNING OG VARMETRANSPORT GRUNNLEGGENDE DEL Fag TKP41 STRØMNING OG VARMETRANSPORT GRUNNLEGGENDE DEL av Reida Kistoffesen 6 FORORD Dette kompendiet e et esultat av foelesninge i fag 61145 Kjemiteknisk Fluidmekanikk og fag TKP41 Stømning og Tanspotposesse

Detaljer

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter.

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter. Innhold Kapittel 1 For br u ker k jøps lo vens omr åde 1.1 Innledning...15 1.2 For bru ker kjøps lo vens vir ke om rå de. Hva lo ven gjel der for el ler re gu le rer...17 1.2.0 Litt om begrepet «kjøp»

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 9..17 Oblig e lagt ut. Innleveing: Mandag,.. FYS-MEK 111 9..17 1 Skått kast med luftmotstand F net F D G D v v mg ˆj hoisontal og vetikal bevegelse ikke lenge uavhengig:

Detaljer

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

Kap 21 Elektrisk ladning / Elektrisk felt

Kap 21 Elektrisk ladning / Elektrisk felt Kp lektisk lning / lektisk felt. To like elektiske lninge e plsset i vstn.. Kften so hve v lningene vike på en ne e e.5. Beste støelsen på hve v lningene. b Se so i, en enne gng e en ene lningen obbelt

Detaljer

Løsningsforslag TEP 4110 FLUIDMEKANIKK 18.desember ρ = = = m / s m / s 0.1

Løsningsforslag TEP 4110 FLUIDMEKANIKK 18.desember ρ = = = m / s m / s 0.1 Løsningsfoslag TEP 40 FLUIDMEKNIKK 8.desembe 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TEP4170 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK 18. mai 2007 Tid:

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TEP4170 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK 18. mai 2007 Tid: av 4 Noges teknisk-natuvitenskapelige univesitet Initutt fo enegi- og poseseknikk Kontakt unde eksamen: Toleif Weydahl, tlf. 7359634 / 945 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I FAG TEP47 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK

Detaljer

Løsning, eksamen 3FY juni 1999

Løsning, eksamen 3FY juni 1999 Løsning, eksamen 3FY juni 1999 Oppgae 1 km/s a) Hubbles lo sie at H, de H. 10 lyså Faten til galaksen e: 3 10 m/s H 5,0 10 7 lyså 1,10 10 m/s 10 lyså b) Dopplefomelen gi oss λ, de c e lysfaten og λ 0 e

Detaljer

Kap Rotasjon av stive legemer

Kap Rotasjon av stive legemer Kap. 9+10 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ Rulling Spinn (deieimpuls):

Detaljer

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig).

Detaljer

Notater. Anne Vedø. Estimering for undersysselsetting i AKU basert på modellbasert imputering 2007/27. Notater

Notater. Anne Vedø. Estimering for undersysselsetting i AKU basert på modellbasert imputering 2007/27. Notater 007/7 Notate Anne Vedø Notate Estimeing fo ndesysselsetting i AKU baset på modellbaset impteing Stabsavdeling/Seksjon fo statistiske metode og standade Innhold. Innledning..... Spøsmål i AKU med patielt

Detaljer