Svingingar og bølgjer

Transkript

1 Lars Olav Tveita Kopendiu i Sensorteori Svingingar og bølgjer Sjøkrigsskolen Hausten 010

2 Sensorteori innhald 1 Forelsaling Sensorteori OM... 4 Mekanisk svingesyste Haronisk svinging Fase Energi i ekaniske svingesyste Friksjon og deping Vertikalt svingesyste Kva er vinkelfarten ω? Vidare arbeid ed ekaniske svingingar: Oppgåver ekaniske svingingar Fasit oppgåver ekaniske svingingar Vekselstrø Introduksjonsoppgåver til Vekselstrøkretsar Fasit til Introduksjonsoppgåver til Vekselstrøkretsar Vekselstrøskrets ed resistans Effektiv strø og spenning Vekselstrøskrets ed sjølvinduktans Vekselstrøkrets ed kapasitans Vekselstrøkrets ed sjølvinduktans og kapasitans i serie LC-svingekrets Oppgåver i elektroagnetise Fasit Oppgåver i elektroagnetise Deonstrasjonseksperient vekselstrø Deo 1. Vekselstrøskrets ed ohsk otstand Deo. Vekselstrøkrets ed spole Deo3. Vekselstrøkrets ed kondensator (kapasitans) Deo4. Vekselstrøkrets ed kondensator og spole Repetisjonsoppgåver ekaniske svingingar og vekselstrø Elektroagnetiske bølgjer og antenner Elektroagnetiske bølgjer Magnetisk felt Elektrisk felt Intensitet og Poyntings vektor Dipolantenner Intensitet i fjernfeltet Øvingsoppgåve elektroagnetisk bølgje Antenner Eigenskapar for antenner db-skala Ipedanstilpasning Strålingsdosar Generering av radarbølgjer Bølgjeleder Radarantenner Belysningsfunksjon Phased Array Radar Slotted Array antenne Dopplerradar Oppgåver elektroagnetiske bølgjer og antenner... 61

3 4.8 Repetisjonsoppgåver Elektroagnetiske bølgjer og antenner Signalbehandling Frekvensanalyse Filter Modulasjon Aplitudeodulasjon (AM) Faseodulasjon (PM) og frekvensodulasjon (FM) Frekvensspektru for AM-signal Deodulasjon Modulasjon og deodulasjon av radarsignal Digital signalbehandling Sapling Digitale filter Korrelasjon Repetisjonsoppgåver Signalbehandling Laboratorieøvingar Lab 1 Elastisk pendel Lab. Øvingar ed oscilloskop Lab 3 Elektriske svingekretsar Lab 4. Radarstrålediagra Lab 5. Dopplerradar Lab 6. Diodekoplingar Lab7. Avbilding ed salelinse

4 1 Forelsaling Sensorteori OM Elastisk syste: N k rad F = kx N E = kx J = s x t A t [ ] v t x t a t v t s 1 [ ] k=fjørkonstant p [ ] Vinkelfart ω [ ] s ' ' Utslag: ( ) = sin( ω + θ ) Fart: ( ) = ( ) Akselerasjon: ( ) = ( ) Svingingar og bølgjer: 1 rad ϕ rad f = [Hz] ω = π f [ ] ω = [ ] c = λ f [ ] T s t s s π rad Bølgjefunksjon: y( x, t) = y sin( ωt kx) Bølgjetal k = [ ] λ sinα1 c1 c0 Brytningslov: = n1 sinα1 = n sin α Brytningsindeks: n = sinα c c cosθ Brytning i lagdelt struktur: =konstant c dc /s c Fartsgradient: g= Kruningsradius for stråle: R=- dz g cosθ φ Interferens : d sin θ = nλ Interferens ed fase: d sin θ = ( n + ) λ π c v v Dopplereffekt for e.. bølgjer: fl = fs (1 )f S når v << c c + v c v Forteikn for v: Positiv v når avstand aukar. Ved refleksjon f fs når v<<c c fl fs Dopplereffekt for ekaniske bølgjer: = Forteikn for v: L + S c + v c + v Geoetrisk optikk: Linseforelen: = a b f L S [ ] Lineær forstørrelse: y ' b = = y a Elektrisk felt: 1 qq F 1 Q N Fe = [ N] E = = [ ] Dielektrisitetskonstant ε = kε 0 4πε 4 C e 0 r q πε 0 r U V Hoogent felt: E = [ ] d Q A 1 C = C = ε E = CU U d Kondensator: Kapasitans [F] [F] Energi: [J] 4

5 Magnetfelt: Kraft på strøførande leder: F = li B Kraft på ladning: F = qv B µ I π r 1 Energi i spole: E = LI [ J ] Magnetisk pereabilitet: µ = k µ Magnetisk fluks: Φ = B A[Wb] NI µ l 0 Flukstetthet rundt uendeleg leder: B = [T] Flukstetthet i spole: B = 0 [T] v qb Syklotron vinkelfart ω = = r Induksjon: di ε vbl ε t ε L dt 0 ' Indusert spenning: = [V] = Φ ( )[V] = [V] Induktans: L[H] Elektroagnetisk svinging og elektroagnetiske bølgjer: π π Vekselstrøkrets: U ( t) = U sin( ωt) V IC ( t) = IC sin( ωt + ) A I L ( t) = IL sin( ωt ) A 1 U Reaktans: Z L = ωl[ Ω ] ZC = [ Ω ] Ipedans Z = R + ( ZL ZC ) [ Ω ] I = [A] ωc Z [ ] [ ] [ ] 1 rad U I Resonans i svingekrets: ω = [ ] Effektivverdi: Ueff = [V] Ieff = [A] LC s W Lysfart: c = Poyntings vektor: P = E B Intensitet: I = P = EB[ ] εµ µ µ λ Fjernfeltet: r > I fjernfeltet: E = cb π Eeff W I Middelintensitet: I = P = [ ] I = µ c σ Ei W SAR = [ ] ρ SAR t J Teperaturauke: T = K c = spesifikk varekapasitet t=tid s c kgk aks [ ] [ ] 5

6 Signalbehandling: Fourier-rekke: x( t) = a sin( π kf t + θ ) k = 0 k 0 Aplitude ut ZC R Filterrespons: r = Lavpass: r = Høgpass: r = Aplitude inn R + Z R + Z 1 Cut-off- frekvens for RC-filter: fc = [ Hz] π RC Aplitudeodulasjon: s( t) = A [1 + k ( t)]sin( π f t) Faseodulasjon: s(t)=a sin[ π f t + k ( t)] c Frekvensodulasjon: s(t)=a sin[π f t + π k ( t) dt] c c ω ω ω + ω sin( ω t) + sin( ω t) = cos( t) sin( t) f = f f cos( ω t) sin( ω t) = sin(( ω ω ) t) + sin(( ω + ω ) t) beat 1 1 [ ] c a 1 1 FS Digitalisering: fd = f A n Fs n = 0,1,,3... fd pulslengde τ Duty cycle: d. c. = = pulsrepetisjonperiode 1 PRF Middeleffekt: P = P d. c. W Intensitetsfordeling puls P P db 10 Desibelskala: PdB = 10log P = P0 10 W P0 c p k f t 0 [ ] P W P W Intensitet: I = [ ] Isotrop: I [ ] iso = A 4π r Iaks I Forsterking (gain): G = Direktivitet: D = GdB = 10log I I Strålebreidde: θ iso λ k b b=antennebreidde(el. høgde) Konstantar: C C c aks o o o 3 db = der k=50 80 avh. av belysningsfunksjon, iso Planck-konstanten h=6, Boltzann-konstanten k=1, J / Eleentærladningen e=1, Lysfart i vaku c=3,00 10 / 1 Dielektr. konst. for vaku ε = 8,85 10 C / V 0 µ π -34 s 7 Pereabiliteten i vaku 0 = 4 10 / = 31 Elektronassen e 9,1 10 kg Js -19 C K T A 6

7 Mekanisk svingesyste.1 Haronisk svinging. Eit ekanisk svingesyste består av ei elastisk fjør ed stivhet k og ein kloss ed asse. Når avstand frå likevektsstillingen er x, er fjørkraft på klossen gitt ved Hooks lov: F = -kx (Fjørkraft er proporsjonal ed forlenginga av fjøra, proporsjonalitetskonstanten er k) T F=-kx x Figur 1 Frå siuleringa Derso klossen ligg på eit friksjonsfritt bord (her sett ovanfrå), kan vi sjå bort frå andre krefter enn fjørkrafta, og vi har eit haronisk svingesyste. Newtons. lov gir: F = a kx = a Her vil både posisjonen x og akselerasjonen a variere ed tida, og frå Grunnleggende fysikk veit vi at når posisjon x = x(t) : dx Fart er derivert av posisjon: v( t) = x '( t) = dt dv Akselerasjon er derivert av fart: a( t) = v '( t) = = x ''( t) = dt dt d x 7

8 For svingesysteet er k a = x k x '' = x Den dobbelderiverte av posisjonen er proporsjonal ed posisjonen! Dette er ei differensiallikning so vi kan løyse generelt i ateatikken. Men vi veit at den dobbelderiverte av ein sinusfunksjon er ein sinusfunksjon, så vi prøver ed: x( t) = Asinωt v( t) = x '( t) = Aω cosωt a t = v t = A t = x t ( ) '( ) ω sin ω ω ( ) Saanliknar vi ed ser vi at Vinkelfart (sirkelfrekvens) Frekvens: ω = k ω 1 f = = π π 1 Periode: T = = π f k k a = x k ω = Eksepel 1: Vi åler saanheng ello kraft so vi strekkjer ei fjør ed, og forlenginga av fjøra. Resultatet er: Kraft F 1,0 N,0 N 3,0 N 4,0 N Forlenging x 3,0 c 6,0 c 9,0 c 1,6 c Følgjer forlenginga Hooks lov? Finn eventuelt fjørkonstanten. Løysing: Vi reknar ut F/x for alle ålingane: F/x 33 N/ 33 N/ 33 N/ 3 N/ Opp til ca. 10 c er F/x konstant, og fjøra følgjer Hooks lov så langt. Fjørstivheten er 33 N/ Eksepel. Eit elastisk svingesyste består av ein klosse ed asse 4,0 kg og ei fjør ed stivhet 16 N/ Svingesysteet svingar ed aplitude 5,0 c og startar ed aksialt negativt utslag. Finn frekvens og periode for svinginga! Skriv eit uttrykk for posisjon, fart og akselerasjon so funksjon av tida! k 8

9 Løysing: Vinkelfart: k 16 N/ ω = = =, 0 rad/s 4,0 kg Frekvens : ω f= = 0, 318 Hz π Periode: 1 1 T= = = 3,14 s f 0,318 Hz Start ed aksialt negativt utslag: x(t)=-acosω t=-5,0cos(t) c v(t)=x'(t)=aωsinωt=5,0, 0sin( t) c/s=10sin( t) c/s a(t)=v'(t)=aω cosω t = 0 cos( t) c/s. Fase. O vi skal bruke x(t)=asinωt eller =- Asinωt eller = Acosωt eller =- Acosωt er avhengig av startvilkåret, kva tid vi starta klokka. Generell løysing vil vera: x( t) = Acos( ωt φ) Der fasen φ er avstanden i radianer frå origo til første aksialpunkt for kurva. Eksepel 3: Finn aplitude, periode, frekvens, vinkelfart og fase for 4 svingefunksjonar: x(t) tid i sekund Figur Skriv for kvar funksjon eit uttrykk for x(t)! 9

10 Løysing: Aplitude A Periode T Frekvens f Vinkelfart ω Fase φ x(t)=acos(ωt φ) 3,14 s 0,318 Hz rad/s π x(t)=cos(t- π) 1,5 3,14 s 0,318 Hz rad/s π/ x(t)=1,5cos(t- π/) 1,1 s 0476 Hz 3 rad/s 0 x(t)=1cos(3t) 0,5,1 s 0476 Hz 3 rad/s π/ x(t)=0,5cos(3t+π/) Alternativt kan vi sjå direkte av kurva o det er ei sinus eller cosinuskurve: x(t)=-cos(t) xt)=1,5sin(t) x(t)=1cos(3t) x(t)=-0,5sin(3t).3 Energi i ekaniske svingesyste. Når ei kraft F = kx strekkjer ei elastisk fjør så ho får ei forlenging x, utfører krafta ei arbeid W på fjøra. Fjøra får då tilført ein potensiell energi E p = W : 1 1 Ep = W = F s = kx x = kx Når eit haronisk svingesyste svingar, vil energien pendle ello potensiell energi og kinetisk energi, og den totale ekaniske energien er konstant: 1 1 E E E v kx = k + p = + = konstant Dette kan vi bruke til å finne aksial fart når aplituden er kjent..4 Friksjon og deping. I svingesyste so vi lagar, ser vi at aplituden avtar, energien i systeet er ikkje konstant. Grunnen til det er friksjonskrefter so bresar bevegelsen, og energi går over til indre energi i luft, kloss og fjør - so får ein liten teperaturauke. Vi seier vi har depa svinging. I ein enkel odell for depa svinging er friksjonskrafta proporsjonal ed farten til klossen: R = b v Derso du køyrer siuleringa ser du korleis depinga varierer ed konstanten b. Eksepel på det på figur 3. 10

11 Figur 3 Depa svinging. Eksepel 4: Eit haronisk svingesyste består av ein kloss ed asse 4,0 kg og ei fjør ed stivhet 16 N/. Aplituden er 10 c. a) Finn største fart klossen har! b) Finn utslaget ved det tidspunkt der farten er 0,10 /s! Løysing: a) Energi i ytterpunkt = Energi i likevektspunkt v 1 1 kx = v k 16 N/ = ± x = ± 0,10 =0,0 /s 4,0 kg Alternativt: x(t) = x sin ωt v( t) = x '( t) = ωx cosωt k Fartsaplitude v = ωx = x b) Når farten er v=0,10 /s, er utslaget x og energien E: E = kx + v = v 4,0 kg x = v v = = k 16 N/ ( ) ((0, 0 /s) (0,10 /s) ) 0,087 11

12 .5 Vertikalt svingesyste. Kva ed tyngdekrafta? Når vi hengjer loddet på fjøra, blir ho strekt eit stykke x 0. Dette gir ei fjørkraft F 0 =- k x 0 Denne fjørkrafta opphevar tyngdekrafta G, slik at når vi no reknar forlenginga x frå denne nye likevektsstillinga, kan vi sjå bort frå både F 0 og G. F 0 x 0 G Figur 4 Ved rekning på vertikalt svingesyste, tar vi difor ikkje ed tyngdekrafta på figuren, og vi kan bruke figur 1. Når vi reknar ed energi, tar vi då heller ikkje ed potensiell energi gh i tyngdefeltet i reknestykket. 1

13 ωt φ Figur 5 Saanheng ello cos-funksjon og roterande visar..6 Kva er vinkelfarten ω? Siuleringa viser saanheng ello fase φ og vinkelfart ω til ein visar (svart) so roterer og den vertikale bevegelsen y(t)=asin(ωt+φ). ω er vinkelfarten so visaren roterer ed, ωt+φ er vinkelen ed den vertikale aksen ved eit gitt tidspunkt t, og φ er startvinkelen ello den vertikale aksen og visaren (raud). φ er også vinkelen sinuskurva er forskyvd ot venstre. Når vi brukar uttrykk so y(t)=asin(ωt-φ), (NB ed inus) så er φ vinkelen sinuskurva er forskyvd ot høgre..7 Vidare arbeid ed ekaniske svingingar: Løys oppgåver 1 9. Test deg sjølv her: 13

14 .8 Oppgåver ekaniske svingingar 1. Ei fluge står på kanten av ei graofonplate so har diaeter 30 c og so roterer 33.3 rp. a) Finn vinkelfarten til plata! b) Finn fluga sin akselerasjon! c) Vi legg ein fast x-akse gjenno sentru på graofonen og lar origo vera i sentru. Lag ein forel so viser fluga sin x-koorinat so funksjon av tida derso x=0 når vi staratr klokka.. Vinkelfarten til ei haronisk svinging er 6.3 rad/s. Finn svingeperioden. 3. Ein partikkel har akselerasjon a=sin(6πt). Kor lang tid tar det før partikkelen er tilbake til der han var ved tidspunkt t=0? 4. Ein asse svingar haronisk. Posisjonen er gitt ved x(t) = Asin(ωt) der A=15 c og ω=rad/s. a) Finn uttrykka for fart og akselerasjon. b) Kor store er aplitudane for fart og akselerasjon? c) Finn fart og akselerasjon når x=10c. 5. Ein horisontal fjørpendel har lodd ed asse 3.0 kg. Vi drar loddet 0 c frå likevektsstillinga, og slepper det. Loddet startar å svinge haronisk. Tida det tar til loddet snur på otsett side av likevektspunktet, er 4,0 s. a) Lag forel for posisjon, fart og akselerasjon der du har tal for aplituder og vinkelfart. b) Finn krafta so fjøra verkar på loddet ed so funksjon av tida. c) Finn krafta so fjøra verkar på loddet ed so funksjon av posisjonen. 6. Frekvensen til ein asse so svingar haronisk er 1.7 Hz. Lag forlar for posisjon x(t) og akselerasjon a(t) når x(0) og v(0) er: a) 1 c og 0 /s b) 0 c og -1.0 /s c) 3.0 c og -.0 /s 7. Stepelet i ein otor beveger seg haronisk. Massen til stepelet er 800 g. Frekvensen er 50 Hz og avstanden ello øvre og nedre posisjon er 7.5 c. a) Finn største fart og største akselerasjon for stepelet. b) Maksial kraft på stepelet. c) Krafta på stepelet so funksjon av utslaget. 8. Ein kloss ed asse 0.50 kg er festa til ei fjør ed stivhet 70 N/. Klossen er i likevektspunktet og får plutseleg ein fart på 1.0 /s. a) Finn svingeperiode og aplitude. b) Finn posisjon so funksjon av tida. 14

15 9. Ein asse på 300 g svingar i ei fjør ed stivhet 40 N/. a) Finn vinkelfart og svingeperiode. b) Ved t=0 er utslaget 60 og farten 1.0 /s. Finn den ekaniske energien. c) Kva er utslaget når farten er lik null? d) Kva er utslaget når potensiell elastisk energi og kinetisk energi er like? 15

16 .9 Fasit oppgåver ekaniske svingingar. Oppg. 1 φ 33,33 π rad a) ω= = = 3, 49 t 60 s v b) a= = ω r= 3, 49i0,15= 1,83 r s c) x( t) = Asinωt= 0,15sin 3,49t x Oppg. rad 6,3 ω f= = s = 1,0 Hz π π 1 T= = 1,0 s f Oppg. 3 a= sin(6 πt) ω 1 1 ω= 6π f= = 3 Hz T= = s π f Tilbake til sae posisjon etter periode: s 6 Oppg. 4 a) x= Asinωt= 15sin( t) c v=x'=aωcosω t=30cos(t) c/s a=v'=-aω sinωt= 60sin( t) c/s b) Aplituder: v = Aω= 30 c/s a = Aω = 60 c/s c) x= 15sin( t) c = 10 c 10 sin(t)= = cos( t) =± 1 =± 3 3 v=± 30cos(t) c/s = a=-ω ± 10 5 c/s x= i10 c/s =-40 c/s 16

17 Oppg. 5 = 3 kg, A= 0,0, T= 8 s 1 1 π rad f= = = 0,15 Hz ω=π f= T 8 s 4 s a) π x= Acosωt= 0, 0cos( t) 4 π v=x'=-aω sinωt= 0,16sin( t) /s 4 π a=v'=-aω cosωt= 0,1 cos( t) /s 4 Aplituder 0,16 /s og 0,1 /s b) π F= a= 0,37 cos( t) N 4 c) ω = 4 Når x er i eter, blir F i newton. π F=a=- x 3 ( ) x (N/)=-1,85 x (N/) 17

18 Oppg. 6 rad f = 1, 7 Hz ω=π f = 8,0 s a) Start i positivt aksialpunkt: x( t) = 0,1cos(8 t) v( t) = x '( t) = 8 0,1sin(8 t) /s = 0,96sin(8 t) /s a( t) = ω x = 64 0,1sin(8 t) /s = 7,68sin(8 t) /s b) Start i likevektspunkt på veg nedover: v 1 /s A = = = 0,15 ω rad 8,0 s x( t) = 0,15sin(8 t) a( t) = ω x = 64 0,15sin(8 t) /s = 8sin(8 t) /s c) x( t) = Acos( ωt φ) x(0) = Acos( φ ) =0,03 v( t) = ω Asin( ωt φ) v(0) = ω Asin( φ) = /s v(0) = ω tanφ = tanφ = = 0,8333 x(0) 0,03 0,03 8 φ = = o 40 0,70 rad 0,03 A = = 0,039 cos(- φ) x( t) = 0,039cos(8t + 0,70) a( t) = ω x( t) = 64 0,039cos(8t + 0,70) /s a( t) =,5cos(8t + 0,70) /s Oppg. 7 = 0,5 kg k = 70 N/ v = 1,0 /s Bevaring av ekanisk energi: 1 1 0,5 kx = v x = v = 1,0 =0,085 k 70 k 70 rad rad ω ω= = = 11,83 f= = 1,88 Hz 0,5 s s π 1 a) Svingeperiode T = = 0,53 s Aplitude A=0,085 f b) x( t) = Asinωt = 0.085sin(11,83 t) Oppg. 8 Mekanisk energi: 1 1 N E = kx 33 ( 0,15 ) = = 0,37 J 18

19 3 Vekselstrø I dette kapittelet er teoristoffet og figurar delvis lånt frå Callin og Frøshaug : Elektroagnetise Tilvalgsstoff i fysikk, Aschehoug 1977 etter untleg saråd ed in tidlegare gode kollega, lærebokforfatter Øystein Falch. Testoppgåver i vekselstrø ed siuleringar på internett : Enkle vekselstrøkretsar: Svingekrets: 19

20 3.1 Introduksjonsoppgåver til Vekselstrøkretsar. 1. R =0 Ω U=5,0V R 1 =30 Ω a) Finn strøen gjenno kretsen. b) Finn spenninga over otstanden R 1.. R V U =10,0V R 1 =1,0Ω V U 1 =4,0V Her antar vi ideelle volteter ed uendeleg resistans. a) Finn strøen gjenno R 1. b) Finn resistansen R. c) Når vi varier R kan vi enkelt følgje ed på strøen so går i kretsen. Vi har altså eit apereeter her. Forklar korleis! 0

21 3. Fasit til Introduksjonsoppgåver til Vekselstrøkretsar. 1. R =0 Ω U=5,0V R 1 =30 Ω U U 5,0 V c) Finn strøen gjenno kretsen. I = = = = 0,10 A R R + R (30 Ω+0 Ω) 1 d) Finn spenninga over otstanden R 1. U1 = R1I = 30Ω 0,10 A=3,0 V. R V U =10,0V R 1 =1,0Ω V U 1 =4,0V Her antar vi ideelle volteter ed uendeleg resistans. U1 4,0 V d) Finn strøen gjenno R 1. I1 = = = 4,0 A R1 1,0 Ω U 10 V e) Finn resistansen R. R = = =,5 Ω I 4,0 A f) Når vi varier R kan vi enkelt følgje ed på strøen so går i kretsen. Vi har altså eit apereeter her. Forklar korleis! Voltetret viser strøen i apere sidan otstanden er 1Ω. 1

22 3.3 Vekselstrøskrets ed resistans Vekselstrø gjenno ohsk otstand. Ei vekselstrøskjelde er kopla til ein otstand ed resistans R. Polspenninga U frå vekselstrøskjelda er gitt so U = U sin( ωt) der U er aksialverdien (aplituden) til polspenninga. Strøen I gjenno otstanden er gitt ved Ohs lov: U U sin( ωt) U I = I = I = I sin( ωt) der I = R R R Vekselstrø gjenno ohsk otstand. I ein vekselstrøkrets ed berre resistans har strø og spenning alltid sae fase. Eksepel 1: Vekselstrøen på nettet har aplitude 35 V og frekvens 50 Hz. I ein ovn er resistansen til vareeleentet 100 Ω. Skriv eit uttrykk for korleis spenning og strø varierer ed tida. Løysing: Vinkelfart ω = πf = 314 rad/s. Spenning U(t) = 35sin(314 t) V. Aplitude for strø er 35V I = = 3.5A. Strøen varierer slik ed tida I = 3.5 sin(314 t) A. 100Ω

23 3.4 Effektiv strø og spenning Når ein vekselstrø går gjenno ein resistans R, varierer effekten ed tida slik: P( t) = RI = RI sin ( t) = RI (1 cos( ωt)) 1 ω Effekt har gjennosnittsverdi lik halve aksialverdien. Her har vi brukt ein forel for cosinus til den dobbelte vinkel frå ateatikken. Men vi er vanlegvis est interessert i gjennosnittseffekten. Gjennosnittsverdien til cos(ωt) er 0. Gjennosnittseffekten er difor 1 1 I I P = RI = Paks = R = RIeff der vi har innført effektiv strø Ieff = Effektivverdien til strøen er den likestrøen so vil gi like stor effekt so vekselstrøen. Eksepel : Skriv eit uttrykk so viser korleis effekten til ovnen i eksepel 1 varierer ed tida. Finn gjennosnittseffekten og den likestrøen so ville gitt sae effekt. Løysing: Maksialeffekt P = RI = 100 Ω (3.5A) = 1056 W Effekt ( ) 1056sin (314 ) W P t = 1 Gjennosnittseffekt P = P = 58 W 3.5A Likestrø so gir sae effekt Ieff = =.3 A t På sae åte innfører vi effektivverdi for spenning: Effektivverdien til spenninga er den likespenninga so vil gi like stor effekt so vekselspenninga. U Effektivverdi for spenning: U eff = Eksepel 3: Den spenninga på 30 V so er oppgitt for nettet vårt, er effektivverdien. Finn aksialverdien for spenninga i stikk-kontaktane våre. Løysing: Maksialverdi U = U = 30 V=35 V eff 3

24 3.5 Vekselstrøskrets ed sjølvinduktans Vi sender vekselstrø gjenno ei lyspære og ein spole ed nokre hundre viklingar. Spole so lysdier Lapen lyser klart. Når vi set ein open jernkjerne inn i spolen, lyser lapen litt svakare. Derso vi lukkar jerkjernen heilt, så vil lapen kanskje slokne. Vi har laga ein strødeper av sae slag so vi brukar i installasjon i heien for å die lyset i lapar. Gjer vi sae forsøk ed likestrø, vil lapen lyse like sterkt i alle tre tilfelle. Det so skjer, er at sjølvinduksjon ved vekselstrø gir ei otspenning so verkar so ein otstand so reduserer strøen. Denne otstanden kallar vi induktiv reaktans, og vi skal sjå at den har andre eigenskapar enn vanleg resistans. Vekselstrø gjenno spole ed induktans L. Vi har ei vekselstrøkjelde so er kopla til ein spole utan resistans. Vekselstrøkjelda gir ei spenning U = U sin( ωt) di I spolen skaper sjølvinduksjon ei otspenning ε L = L so prøver å hindre endring i dt strøen. L er her sjølvinduktansen til spolen. Den er eit ål for størrelsen til spolen og er ello anna avhengig av antall viklingar og type jernkjerne i spolen. Sjølvinduktansen åler vi i henry (H). 4

25 Su av alle spenningar i ein lukka strøkrets er lik 0. Det gir U sin( ωt) + ε = 0 L di U sin( ωt) = L dt Den funksjonen so gir sinus når vi deriverer han, er cosinus. Strøen å då variere slik: π I = I cos( ωt) = I sin( ωt ) der vi ser at strøen er forsinka π/ i forhold til spenninga. Vekselstrø gjenno spole. Strøen I er forsinka π/ i forhold til spenninga U Ved innsetting i spenningslikninga får vi: di U sin( ωt) = L = Lω I sin( ωt) dt U = Lω I Forholdet ello spenning og strø kallar vi so vanleg for otstand, i dette tilfellet U induktiv reaktans Z L = = ωl. I Eksepel 4: Ein spole ed sjølvinduktans.0 H er kopla til ein stikk-kontakt. Finn aksial strø gjenno spolen og eit uttrykk for korleis strøen varierer ed tida derso spenninga varierer so ein sinusfunksjon. Løysing: Med frekvens 50 Hz er vinkelfarten ω = π f = 314 rad/s rad Induktiv reaktans Z L = ωl = 314.0H=68 Ω s U 35V Maksial strø I = = = 0.5A Z 68Ω L Strøen varierer slik: I( t) = I cos( ωt) = 0.5 cos(314 t)a 5

26 3.6 Vekselstrøkrets ed kapasitans Vekselstrø gjenno kondensator ed kapasitans C. Vi legg vekselspenning U = U sin( ωt) over ein kondensator ed kapasitans C. Etter so spenninga vekslar, blir kondensatoren lada opp og ut. I eit gitt øyeblikk kan vi tenkja oss at det er ladning q og -q på kondensatorplatene. Vi har frå definisjonen på kapasitans q = CU Ladninga q varierer ed tida. Det å difor gå ein strø frå den eine plata gjenno kretsen til den andre. Av definisjonen for strø får vi dq du π I = = C = ωcu cos( ωt) = ωcu sin( ωt + ) dt dt Vi ser at strøen er faseforskyvd π/ frafor spenninga. Vekselstrø gjenno kondensator. Strøen er faseforskyvd π/ frafor spenninga Forholdet ello spenning og strø kallar vi so vanleg for otstand, i dette tilfellet U 1 kapasitiv reaktans Z = C I = ωc. Eit fellesnan på alle typar otstand ohsk otstand, induktiv reaktans og kapasitiv reaktans - er ipedans. 6

27 Eksepel 5: Ein kondensator ed kapasitans 10 µf er kopla til ein stikk-kontakt. Finn aksial strø gjenno kondensatoren og eit uttrykk for korleis strøen varierer ed tida derso spenninga varierer so ein sinusfunksjon. Løysing: Med frekvens 50 Hz er vinkelfarten ω = π f = 314 rad/s 1 1 Kapasitiv reaktans ZC = = =318 Ω ωc rad F s U 35V Maksial strø I = = = 1.0A Z 318Ω L Strøen varierer slik: I( t) = I cos( ωt) = 1.0 cos(314 t)a Siulering og oppgåver: I denne siuleringa kan du studere fase for strø og spenning i enkle vekselstrøkoplingar. Prøv deg på oppgåvene i siuleringa. 3.7 Vekselstrøkrets ed sjølvinduktans og kapasitans i serie Vekselstrø gjenno kondensator og spole. Ei vekselstrøkjelde er kopla til ein spole og ein kondensator i serie. Det er ingen resistans i kretsen. Spolen har sjølvinduktans L, og kondensatorenhar kapasitans C. Strøen å vera den sae gjenno heile kretsen. Vi antar at den er gitt ved likninga I = I sin( ) ωt Spenninga U L over spolen er faseforskyvd π/ frafor strøen, og spenninga U C over kondensatoren er faseforskyvd π/ etter strøen. Då er dei to spenningane i otfase og ipedansen for seriekoplinga er: U L UC 1 Z = = ZL ZC = ωl I ωc Ipedansen til ei seriekopling av ein spole og ein kondensator er lik absoluttverdien til differansen ello den induktive og den kapasitive reaktansen. Vi har her gått ut frå at det ikkje er resistans i kretsen. Det er aldri tilfelle fordi ledningar og koponentar også har vanleg ohsk resistans R. I idealiserte kretsar kan vi sjå bort frå 7

28 resistansen, og ved ein gitt frekvens får vi ipedans lik 0. Vi kallar denne frekvensen for resonansfrekvens. Den er gitt ved at Z=0: 1 ωl = ωc ω = 1 LC Resonansfrekvens 1 1 f = π LC Eksepel 6: Ein seriekopling av ein spole ed induktans L=00 H og ein kondensator ed kapasitans C=4.4 µf er kopla til ei vekselstrøskjelde der vi kan variere frekvensen. Finn ipedansen ved frekvens 100 Hz. Finn også resonansfrekvensen. Løysing: Vinkelfart ω = π f = 68 rad/s Induktiv reaktans Z = ωl = 68rad/s 0.00 H =16Ω L 1 1 Kapasitiv reaktans ZC = = = 36Ω 6 ωc 68rad/s F Antar at det er ein ideel krets utan resistans. Ipedans Z= Z Z = 16Ω 36Ω = 36Ω Resonansfrekvens L C f = = = 170 Hz 6 π LC π 0.00H F I reele kretsar er det alltid resistans, så ipedansen blir aldri lik null. Men ved resonansfrekvensen vil ipedansen ha sin inste verdi og strøen i kretsen ha sin største verdi. Siulering. I denne siuleringa: kan du studere strø og spenning i vekselstrøkoplingar ed otstand, spole og kondensator i serie: Prøv deg på oppgåvene i siuleringa. 8

29 3.8 LC-svingekrets LC-svingekrets Svingekrets ed opplading Derso vi ladar opp ein kondensator og seriekoplar den ed ein spole, vil energien vi tilførte kondensatoren pendle ello kondensatoren og spolen. Vi har ein svingekrets. Når kondensatoren blir kopla til spolen startar det å gå strø i spolen, en induksjonen prøver å brese strøauken, så først når kondensatoren er utlada, når strøen sin aksialverdi. Men då hindrar induksjonen at vi får ein brå stopp i strøen, og dered blir kondensatoren lada opp ed otsett ladning. Først når kondensatoren har fått full ladning, snur strøen retning. Derso det ikkje er ohsk otstand i kretsen, held svinginga fra i det uendelege. Ein kondensator ed kapasitans C so er lada opp til ei spenning U, har lagra (potensiell) energi EC 1 = CU Ein spole ed induktans L so det går ein strø I gjenno, har agnetisk (kinetisk) energi EL = 1 LI Derso det ikkje er resistans i svingekretsen, vil energien vera bevart: 1 1 LI + CU = konstant I reele svingekretsar er det ohsk otstand og vi å tilføre energi heile tida for at ikkje svinginga skal bli depa. Eksepel: Ein svingekrets har kondensator ed kapasitans 0 µf og spole ed induktans 100H. Vi startar svinging ved først å lade opp kondensatoren til 10 V. Finn aksial strø i svingekretsen. 9

30 Løysing: Maksial energi i spole = Maksial energi i kondensator C 0 10 F LI = CU I = U = 10V=0.47 A L 0.10H Denne energibevaringa er heilt analogt til energibevaring for ein elastisk pendel. 1 1 E = Ek + Ep = v + kx = konstant På sae åte so ein elastisk pendel, vil svingekretsen svinge ed ein bestet frekvens 1 f = π LC Dette er eigenfrekvensen til kretsen, og det er den frekvensen so gir inst otstand (ipedans). Påtrykkjer vi ei spenning ed denne frekvensen, for eksepel frå ei antenne, får vi resonans. Eksepel 7: Finn eigenfrekvensen til ein svingekrets der kondensatoren har kapasitans 0 µf og spolen har induktans 100 F. Løysing: 1 1 f = = = 34Hz 6 π LC π 0 10 F 0.10H Siulering. I denne siuleringa: kan du studere strø og spenning i ein svingekrets. Prøv deg på oppgåvene i siuleringa. 30

31 3.9 Oppgåver i elektroagnetise. 1. Ein strøkrets består av ei vekselspenningskjelde so gir 50 Hz vekselspenning ed aksialverdi 10V og ein otstand ed resistans 10 oh. Skriv opp eit uttrykk for korleis spenning U, strø I og effekt P varierer ed tida. Teikn graf av U(t), I(t) og P(t). Finn effektivverdi av strø og spenning.. Ein strøkrets består av ei vekselspenningskjelde so gir 50 Hz vekselspenning ed aksialverdi 10V og ein spole ed induktans 0,10 H. Vi antar at den ohske otstanden i kretsen R=0. Finn den induktive reaktansen i kretsen. Skriv opp eit uttrykk for korleis spenning U og strø I varierer ed tida. Teikn graf av U(t), I(t). 3. Ein strøkrets består av ei vekselspenningskjelde so gir 50 Hz vekselspenning ed aksialverdi 10V og ein kondensator ed kapasitans 5,0 µf. Vi antar at den ohske otstanden i kretsen R=0. Finn den kapasitive reaktansen i kretsen. Skriv opp eit uttrykk for korleis spenning U og strø I varierer ed tida. Teikn graf av U(t), I(t). 4. Ein strøkrets består av ei vekselspenningskjelde so gir 50 Hz vekselspenning ed aksialverdi 10V og ein kondensator ed kapasitans 5,0 µf i serie ed ein spole ed induktans 1,5 H. Vi går ut frå at den ohske resistansen er 0 i kretsen. Teikn koplingsskjea. Finn ipedansen til seriekoplinga. Vi kan variere frekvensen til spenningskjelda. Finn den frekvensen (eigenfrekvensen) so gir ipedans lik 0. Kva skjer ed strøen når vi varierer frekvensen rundt eigenfrekvensen? 5. Ein elektrisk svingekrets består av ein kondensator ed kapasitans 1,0 µf og ein spole ed induktans 10 H. Vi går ut frå at den ohske resistansen er 0 i kretsen. Teikn koplingsskjea. Vi ladar opp kondensatoren ed ei likespenning på 5,0 V. Kor stor ladning får kondensatoren? Finn den elektriske energien svingekretsen får tilført ved oppladninga. Kva skjer når vi koplar frå oppladningskjelda? Finn svingefrekvensen og vinkelfarten. Sett opp eit uttrykk for korleis spenninga over kondensatoren varierer ed tida. Bruk energilikning til å finne aksial strø i kretsen. Fasit: 1. 7,1 V 0,71 A. 31,4 Ω Ω Ω 58 Hz 5. 5,0 µc 1,5 µj 10 krad/s 1,6 khz 50 A 31

32 3.10 Fasit Oppgåver i elektroagnetise Oppg. 1 rad ω = π f = 314 s U = U sinωt = 10sin(314 t) V U U sinωt U 10 V I = = = I sin ωt der I = = = 1, 0 A R R R 10 Ω I =1,0sin(314 t) A U I 10 V 1,0 A P = UI = UI t = t = t = t Gjennosnittseffekten er P = 5, 0 W. sin ω (1 cos ω ) (1 cos 68 ) 5(1 cos68 ) W U 10 V I 1,0 A Effektivverdiar: Ueff = = = 7,1 V Ieff = = = 0,71 A Vi ser at P = U I eff eff 3

33 Oppg. rad ω = π f = 314 s rad Induktiv reaktans: Z = ωl = 314 0,10 H=31,4 Ω s U = U sinωt = 10sin(314 t) V π U 10 V I = I sin( ωt ) der I = = = 0,3 A Z 31,4 Ω π I =0,3sin(314 t ) A=-0,3cos(314t) A 33

34 Oppg. 3 rad ω = π f = 314 s 1 1 Kapasitiv reaktans: Z = = =637 Ω ωc rad ,0 10 H s U = U sinωt = 10sin(314 t) V π U 10 V I = I sin( ωt + ) der I = = = 16 A Z 637 Ω π I =16sin(314 t + ) A=16cos(314t) A 34

35 3.11 Deonstrasjonseksperient vekselstrø Deo 1. Vekselstrøskrets ed ohsk otstand (Les kapittel 3.3 og 3.4, oppgåve 1 elektroagnetise) Vi skal bruke oscilloskop til å studere saanheng ello spenning, strø og effekt i ein vekselstrøkrets ed ohsk otstand (ei lyspære). a) Først lagar vi ein enkel lysålar for å finne lyseffekten frå ei lyspære: LYS R L 5V U R R L er ein lysfølso otstand. Stor lysstyrke ---> Liten resistans R L ---> Stor strø I ---> Stor spenning U. 5V R I = U = RI = 5 R + R R R V der R er ein konstant resistans på f.eks. 100Ω L + L Spenninga U er altså eit ål for lysstyrken, vi har ein lys-sensor. Tilsvarande er prinsippet for ange andre sensorar, for eksepel teperatursensorar. b) Vi koplar opp strøkretsen slik : A U I R B 1Ω t OSCILLOSKOP Oscilloskopet åler spenning på to inngangar A og B. Sidan inngang B åler spenning over otstanden på 1 Ω, viser den strøen gjenno kretsen. Inngang A viser spenninga. U U sinωt U = U sinωt I = = = I sinω t der I = U (R er her resultantresistansen) R R R c) Koplar så lysålaren inn på inngang B, so då viser korleis effekten varierer ed tida. 35

36 3.11. Deo. Vekselstrøkrets ed spole (Les kapittel 3.5, oppgåve elektroagnetise) Vi skal studere saanheng ello spenning og strø i ein vekselstrøkrets ed spole (induktans). L a) Først brukar vi ei lyspære til å vise strøen i kretsen: Vi varierer induktansen til spolen - L - ved å ha eir eller indre jernkjerne inne i spolen, og ved å prøve spolar ed ulike viklingstal. Før observasjon i tabell (stor/liten): Induktans L Strø I Motstand(ipedans) Z Lite jern Mykje jern 600 viklingar 300 viklingar Så varierer vi frekvensen på vekselspenninga. Før observasjon i tabell (stor/liten): Frekvens ω Strø I Motstand(ipedans) Z Stor Liten Teorien vil vise at ipedansen (den induktive reaktans) Z L = ωl b) Vi koplar opp strøkretsen slik: A U I L B 1Ω t OSCILLOSKOP Oscilloskopet åler spenning på to inngangar A og B. Sidan inngang B åler spenning over otstanden på 1 Ω, viser den strøen gjenno kretsen. Inngang A viser spenninga. Teikn inn strø og spenningskurver på oscilloskop-biletet og skriv funksjonsuttrykk for kvar av dei (sinus eller cosinus). Teorien seier at: U = U sinω og I = I sin( ωt π ) der I = U og ipedansen ZL = ωl ZL Steer dette?.. For at faseforskyvninga skal vera π/, å den ohske otstanden vera liten: R<<Z L. 36

37 Deo3. Vekselstrøkrets ed kondensator (kapasitans). (Les kapittel 3.6, oppgåve 3 elektroagnetise) Vi skal studere saanheng ello spenning og strø i ein vekselstrøkrets ed kondensator (kapasitans). c) Først brukar vi ei lyspære til å vise strøen i kretsen: Vi varierer kapasitansen ved å skifte kondensator. Før inn observasjonar i tabell (stor/liten/"ingen"): C Kapasitans C Strø I Motstand(ipedans) Z 1 µf 3 µf 5 µf 10 µf Så varierer vi frekvensen på vekselspenninga. Før inn observasjonane i tabell (stor/liten): Frekvens ω Strø I Motstand(ipedans) Z Stor Liten Teorien vil vise at ipedansen (den kapasitive reaktans) Z C = 1/ωC d) Vi koplar opp strøkretsen slik: A U I C B 1Ω t OSCILLOSKOP Oscilloskopet åler spenning på to inngangar A og B. Sidan inngang B åler spenning over otstanden på 1 Ω, viser den strøen gjenno kretsen. Inngang A viser spenninga. Teikn inn strø og spenningskurver på oscilloskop-biletet og skriv funksjonsuttrykk for kvar av dei (sinus eller cosinus). Teorien seier at: U = U sinω og I = I sin( ωt + π ) der I = U 1 og ipedansen ZC = ZC ωc Steer dette?.. For at faseforskyvninga skal vera -π/, å den ohske otstanden vera liten: R<<Z C. 37

38 Deo4. Vekselstrøkrets ed kondensator og spole. (Kapittel 3.7, oppgåve 4 og 5 i elektroagnetise) Vi skal studere saanheng ello spenning og strø i ein vekselstrøkrets ed kondensator (kapasitans C) og spole (induktans L). e) Vi koplar opp strøkretsen slik: C L A U I B 1Ω t OSCILLOSKOP Oscilloskopet åler spenning på to inngangar A og B. Sidan inngang B åler spenning over otstanden på 1 Ω, viser den strøen gjenno kretsen. Inngang A viser spenninga. Ipedansen til serikoplinga (derso vi ikkje har ohsk otstand) er gitt ved: 1 1 Z = ωl so er lik null ved resonansfrekvensen ω 0 = Z 0 I ωc LC For indre ω er kapasitansen doinerande, og for større ω er induktansen doinerande. Dette besteer faseforskyvninga ello spenning og strø. A U I A U I A U I B t B t B t OSCILLOSKOP OSCILLOSKOP OSCILLOSKOP ω < ω 0 ω = ω 0 ω > ω 0 Teikn inn strø og spenningskurver på oscilloskop-biletet. Får vi uendeleg strø ved resonans?. Forklar!.. Ved resonansfrekvensen får vi strø sjølv ed liten eller ingen påtrykt spenning. Strøen svingar av seg sjølv, sjølv o vi kortsluttar spenningskjelda! Vi har ein svingekrets. 38

39 3.1 Repetisjonsoppgåver ekaniske svingingar og vekselstrø. 1. a. Ei fjør blir stekt 4,0 c av ei kraft 0N. Finn fjørkonstanten. b. Eit lodd ed asse,0 kg heng i ro i denne fjøra. Vi gir så loddet loddet ein fart 0,50 /s oppover, og vi får haroniske svingingar. Finn aplituden til utslaget x(t) for svingingane. (Tips: bruk energi). c. Finn frekvens og periode for svingingane. d. Finn utslaget so funksjon av tida ( x(t) ). e. Finn farten so funksjon av tida ( v(t) ). f. Finn akselerasjonen so funksjon av tida (a(t)). g. Skisser graf av x(t), v(t) og a(t) i sae koordinatsyste. h. Finn utslaget når farten er 0, /s.. Ein otstand ed resistans R=100Ω blir kopla i serie ed ei spenningskjelde so gir vekselspenning ed aplitude 0V og frekvens 100 Hz. a) Skriv eit uttrykk for spenning so funksjon av tida (U(t)). b) Skriv eit uttrykk for strø so funksjon av tida (I(t)). c) Skriv eit uttrykk for effekt so funksjon av tida (I(t)). d) Finn effektivverdien til strø og spenning e) Skisser graf av U(t), I(t) og P(t) i sae koordinatsyste. f) Skisser effektivverdien av strø og spenning i sae koordinatsyste. 3. Ein spole ed induktans L=0,0 H blir kopla i serie ed ei spenningskjelde so gir vekselspenning ed aplitude 0V og frekvens 100 Hz a) Finn den induktive reaktansen i kretsen b) Skriv eit uttrykk for strø so funksjon av tida ( I(t) ). c) Skisser strø I(t) og spenning U(t) i sae koordinatsyste. Ein kondensator ed kapasitans C=100 µf blir kopla i serie ed ei spenningskjelde so gir vekselspenning ed aplitude 0V og frekvens 100 Hz d) Finn den kapasitive reaktansen i kretsen e) Skriv eit uttrykk for strø so funksjon av tida ( I(t) ). f) Skisser strø I(t) og spenning U(t) i sae koordinatsyste. Kondensatoren og spolen blir så seriekopla. Vi brukar den sae spenningskjelda. g) Finn ipedansen i kretsen h) Anslå ei høveleg faseforskyvning og skriv eit uttrykk for strø so funksjon av tida. i) Skisser strø I(t) og spenning U(t) i sae koordinatsyste. Vi brukar dei sae koponentane til ein svingekrets. j) Skisser svingekretsen. k) Rekn ut resonansfrekvensen. Vi lagar eit høgpassfilter av koponentar frå oppgåve og 3 (vent ed denne delen til du har lest o signalbehandling). l) Skisser koplingsskjea for filtret. ) Finn cut-off frekvens n) Rekn ut responsen for eit par frekvensar og skisser frekvensresponsen. 39

40 4 Elektroagnetiske bølgjer og antenner Magnetron i naturleg størrelse. Magnetfelt rundt elektrisk leder Elektrisk felt rundt punktladning Effekt i elektroagnetisk bølgje Elektrisk dipolantenne Magnetisk dipolantenne Bølgjefunksjon for elektroagnetisk bølgje Strålingsdiagra og direktivitet for antenner db-skala for effekt Ipedans Refleksjon av elektroagnetiske bølgjer Antennetypar Strålingsdosar Magnetron Bølgjeleder Radarantenner Dopplerradar. 40

41 4.1 Elektroagnetiske bølgjer Magnetisk felt. Magnetisk flukstetthet i avstand r frå ein uendeleg lang leder ed strø I : B I = µ 0 πr der µ 0 = 4π T/A er pereabiliteten for tot ro. Eksepel 1: 1, 0 frå ein enkeltleder strøkabel so fører 10 A strø, er agnetfeltet: I 7 10 A -6 B = µ 0 = 4π 10 T/A =,0 10 T=,0 µ T π r π 1,0 Vanlege strøkablar er toleder og der går strøen både fra og tilbake, noko so gir nettostrø lik 0, og tilnæra 0 agnetfelt. Flukstettheten inne i ein spole ed lengde L og N vindingar og strø I : NI B = µ 0. L Med "stoff " inne i spolen, kan vi få agnetisk poralisering av stoffet og endra agnetfelt. Då å µ 0 erstattast ed µ = k µ 0 der den relative pereabiliteten k er typisk 1000 til for ferroagnetisk ateriale (jern, kobolt, nikkel og ein del legeringar). Den agnetiske feltstyrken so er H = B/µ, vil for ein spole vera ein størrelse so er uavhengig av o vi har jern-kjerne eller ei Elektrisk felt Elektrisk felt i eit punkt P i avstand r frå ladning Q : 1 Q 1 C E = der ε = , er dielektrisitetskonstanten for vaku. 4πε 0 r N 9 1 3Fy-boka brukar konstanten k = 8,99 10 N / C i staden for. 4 πε Med eit isolerande stoff rundt punktet P, kan vi få polarisering av stoffet og svakare felt. Då å ε 0 erstattast ed ε = kε 0 der den relative dielektrisitetskonstanten k er 1,00059 for luft og 3,40 for plexiglas. For vatn er k=1,7 ved lysfrekvensar, en ca. 80 ved radiofrekvensar. Farten til elektroagnetiske bølgjer i eit ediu ("lysfarten"): c = so i vaku blir c = = εµ ε µ 8, π = 3, / s 41

42 4.1.3 Intensitet og Poyntings vektor Intensiteten til stråling er definert slik: Effekt Intensitet I = Areal so strålinga passerer W Effekt-transporten i eit variabelt elektroagnetisk felt er gitt ved Poyntings vektor : 1 P E H E B = = L N M µ 0 (NB! Bokstaven P står her ikkje for effekt) O QP W der retningen er gitt ved høgrehandsregel. Elektroagnetisk bølgje (her er variasjon i E-felt vist) ed Poyntings vektor so viser fartsretning for bølgja og intensiteten ved eitt tidspunkt. Eksepel : Ei radarbølgje har i eit øyeblikk elektrisk felt E=30 V/ nedover og agnetisk flukstetthet B=0,10 µt ot oss. a) Finn fartsretningen til bølgja! b) Finn intensiteten til radarbølgja i W/! Løysing: a) Høgrehandsregel: E på toelfinger, B på peikefinger, P på langfinger, gir her P ot venstre. Fartsretning er ot venstre. b) -6 EB 30 V/ 0,10 10 T Intensitet: I = P = = =, 4 W/ -7 µ 4π 10 T/A 0 4

43 4.1.4 Dipolantenner Ei elektrisk dipol-antenne kan vi få ved å "opne opp" ein elektrisk svingekrets, slik at vi får eit varierande elektrisk dipolfelt E pga endringane i ladningsfordeling på antenna og eit varierande agnetisk sirkel-felt B pga endringane av strøen i antenna. Endringane i begge felta forplantar seg ed lysfarten utover frå antenna. Ein forenkla odell for ei slik antenne er ein Hertz-dipol. I nærfeltet er E-feltet og B-feltet faseforskyvd π/, og Poyntings vektor peikar vekselvist utover frå antenna og innover ot antenna, ein stor del av energien pendlar fra og tilbake. I nærfeltet frå ei elektrisk dipolantenne kan vi ha kraftige elektriske felt so kan representere ein fare sjølv o antenna sin utstrålingseffekt er oppgitt til ein ufarleg verdi! Rundt ei elektrisk dipolantenne doinerer det elektriske kjeldefeltet. Eit varierande elektrisk felt E "oppfører seg so ein vekselstrø" og skaper eit varierande agnetisk felt B vinkelrett på E(agnetisering) i orådet rundt seg, dette varierande agnetiske feltet skaper eit varierande elektrisk felt i orådet rundt seg (induksjon), og dette varierande elektriske feltet skaper eit varierande agnetisk felt (agnetisering) i orådet rundt seg osv..alle endringar forplantar seg utover ed lysfarten, og vi får ei elektroagnetisk bølgje. I fjernfeltet ("det induserte feltet") er E og B i fase og Poyntings viser fartsretningen til bølgja. Ei agnetisk dipolantenne er ei strøsløyfe (raeantenne) der det agnetiske kjeldefeltet doinerer og induserer ei elektroagnetisk bølgje på tilsvarande åte so den elektriske dipolantenna. Fjernfeltet er definert so der det induserte feltet doinerer over kjeldefeltet. Fjernfeltet startar i avstand r = λ/π. Analogi: For bølgjene frå eit skip er nærfeltet der sjøen blir pressa til sides av skipet, fjernfeltet er der bølgja i eit punkt skaper bølgje i nabopunkt sjølv o skipet er langt unna og kanskje ute av syne. 43

44 Øvingsoppgåve dipolantenne. Tegn inn E-felt og B-felt og Pointing vektor i punktet A. Tegn inn ladningar og strøpiler der det anglar. Det er 1/8 periode ello kvar figur I=0 A I A I A I A I A I A I A I A I A

45 4.1.5 Intensitet i fjernfeltet. Effekten pr. (intensiteten I) til ei elektroagnetisk bølgje er gitt ved Poyntings vektor EB 1 1 I avtar so E og B avtar begge so r r = µ og forholdet ello E-felt og B-felt er 0 konstant i fritt ro (dvs i fjernfeltet i avstand frå antenna r > λ/π ): E 1 E = = c E = cb I = B ε µ µ c Eksepel 3: Elektrisk feltstyrke i ei radiobølgje i fjernfeltet frå antenna har aplitude 10 µv/. Finn aplituden til agnetfeltet (agnetisk flukstetthet)! Løysing: -6 E 10,0 10 V/ ,3 10 B = = = T c 3,00 10 /s Det er ikkje så ofte vi er interessert i effekten i eit øyeblikk. Oppvaringen av eit objekt i for eksepel ein ikrobølgjeovn, er avhengig av gjennosnittseffekten. Vi reknar då ed effektivverdiar for E-felt og B-felt: eff eff aks Gjennosnittsintensiteten i bølgja er I = E = E der effektivverdien E E eff µ 0c 377Ω = Eksepel 4: Finn effektivverdien til E-feltet og B-feltet i eksepel 3, og bruk dei til å finne gjennosnittsintensiteten i radiobølgja. Løysing: 6 E V/ 7, Eeff = = = V/ B eff B = = = ,3 10 T, T 6 Eeff (7, V/) I = = = 1,3 10 W/ µ c 377 Ω 13 Ofte er det forholdet ello elektrisk og agnetisk feltstyrke i ei elektroagnetisk bølgje so er oppgitt. Dette tilsvarar på ein åte forholdet ello spenning og strø i ein elektrisk krets. Dette forholdet kalla vi ipedansen for kretsen. For fritt ro er E H µ 0 = µ 0c = = 377Ω = karakteristisk ipedans for vaku. ε 0 Når ei elektroagnetisk bølgje går i bølgjeleder eller kabel, er det andre verdiar for ipedansen. 45

46 4.1.6 Øvingsoppgåve elektroagnetisk bølgje. Ei elektroagnetisk bølgje i fritt ro har bølgjelengde λ = 8,0 c. Figuren viser aksialt E-felt og B-felt i eit punkt (x=0) ved eit gitt tidspunkt. a. Teikn inn Pointings vektor i dette punktet. b. Teikn inn E-felt og B-felt og Pointings vektor i dei andre punkta (x=3, 6, 9, 1 ) ved sae tidspunkt (cosinuskurve) c. E aks = 10 V/. Finn B aks, P aks, iddelintensitet, E eff og B eff E B X/c 46

47 4. Antenner Eigenskapar for antenner Ei antenne har resiproke eigenskapar. Det vil seia at ho har ange like eigenskapar so ottaksantenne og so sendeantenne. Det gjeld: Polarisasjon Strålingsdiagra og strålebreidde. Forsterkning og direktivitet Virkningsgrad Frekvensoråde Polarisasjonen er horisontal derso E-vektoren er horisontal, og vertikal derso E-vektoren er vertikal. Strålingsdiagraet for ei antenne viser korleis strålingsintensiteten I (eventuelt effektiv feltstyrke E eff ) fordeler seg i ulike retningar rundt antenna. Vi å ha eitt horisontaldiagra og eitt verikaldiagra for å få eit bilete av strålingsfordelinga. Direktivt strålingsdiagra. Strålingsintensitet er definert so effekt/flate so effekten fordeler seg på. Eining W/. Direktivitet. Ei antenne sender ut effekt P. Derso antenna sender ut sae effekt i alle retningar, er antenna isotropisk. Effekten fordeler seg på ei kuleflate. I ein avstand r frå antenna er strålingsintensiteten P W Iiso = [ ] 4π r I realiteten vil ingen antenne vera isotropisk. Effekten er eir eller indre konsentrert i bestete retningar. Forsterkinga G til ei antenne er eit ål på evna antenna har til å konsentrere strålinga i ein bestet retning: I D G = I iso Her er I iso gjennosnittsintensitet for alle retningar og I D aksial intensitet i direktiv stråle. Forsterkinga blir ofte gitt i logaritisk skala ( db skala ), og blir då kalla direktivitet D. I D = 10log G = 10log D I iso Effekten fordeler seg i alle tilfelle over ei flate so aukar so r, og intensiteten avtar dered so 1/r der r er avstand frå antenna. 47

48 Eksepel 6: Ei radarantenne har utstrålt effekt 100 W og direktivitet 30 db. Finn intensiteten idt i hovedloben i avstand 1000 frå antenna! Løysing: Med isotrop stråling, ville intensiteten i avstand 1000 vera: I iso P 100 W = = = 7,96 µ W/ 4π r 4 π (1000 ) Direktivitet D=30 db er lik forsterking G=10 = 1000 : Intensiteten blir: I D = G I = ,96 µ W/ iso = 7,96 W/ 4.. db-skala. Saanhengen ello effekt P i db og i linær skala er P PdB = 10 log der P0 er ein referanseeffekt P P = P 10 0 P db 10 0 Ein faktor 10 i effekt gir 10dB, ein faktor 100 gir 0dB. Ei halvering av effekt gir -3dB (log(1/)=-0,301). Feltstyrken E er då redusert til 1 0, 707 av referansefeltstyrke E 0 db-skala for intensitet I er so for effekt P : I IdB = 10 log der I0 er ein referanseintensitet I I = I I db 0 Eksepel 7: Intensiteten rett fra i hovedloben til ei radarstråle er 100 W/. Første sidelobe har intensitet so er -16dB i høve til hovedloben. Finn intensiteten i W/ i sideloben! Løysing: Intensitet i sideloben er : I = 100 W/ 10 = 100 W/ 0, 05 =,5 W/ 48

49 Strålebreidde (halveffekt-vinkel) for ei direktiv antenne er vinkelen ello -3dB punkta på kvar si side av retningen for aksiuseffekt. Vi åler horisontal og vertikal strålebreidde. Virkningsgraden til ei antenne er η = Utstrålt effekt frå antenne Tilført effekt til antenne frå sender Strålingsotstanden til ei sendeantenne er ein tenkt otstand R s so brukar sae effekt og reflekterer like ykje signal tilbake til sender so den verkelege antenna Ipedanstilpasning. Ei spenningskjelde (for eksepel signalgenerator, radiosender, stereoforsterkar) har indre resistans (utgangsipedans) R i og "es" ε. Vi koplar til ytre utstyr (for eksepel ei antenne, høgtalarar) ed sala ytre resistans (inngangsipedans) R y. Derso vi vil ha aksial effekt overført til det ytre utstyret, å vi ha R y = R i : ε Ryε dp I = P = Ry I = = 0 når Ry = Ri (bevis det!) R + R ( R + R ) dr i y i y y Er R y <R i risikerer vi å overbelaste spenningskjelda, og i alle tilfelle å få forvrengte signal. Derso R y >>R i, har vi liten utnytting av effekten i anlegget, og vi kan få forvrengte signal. 49

50 Ipedanstilpasning ello radiosender og antenne, vil sei at sender sin indre resistans (utgangsipedans), kabelen sin ipedans og antenna sin ipedans har tilnæra lik verdi for aksial energioverføring: Derso det er ulik ipedans, vil deler av signalet bli reflektert. 50

51 Frekvensoråde for ei antenne er det orådet der antenna fungerer godt. Skal antenna virke godt, å vi få til ståande bølgje i antenna. Ei breibandsantenne vil fungere godt innafor eit stort frekvensoråde, edan ei salbands-antenne berre fungerer godt i eit lite frekvensoråde. Bandbreidde er ofte oppgitt so frekvensintervallet so gir inst halvparten av aksial effekt (-3dB), dvs. ein feltstyrke på inst 70 % av aksialverdi. Halvbølgje dipolantenne har lengde lik halve bølgjelengda til den elektroagnetiske bølgja so går i antenna under sending/ottaking. Det oppstår ei ståande bølgje i antenna slik at spenninga U har buk i endepunkta og knute i ate-punktet (der sendaren er tilkopla). Ved rett frekvens, har ei halvbølgje dipolantenne ipedans 73 Ω. For frekvens f=90 MHz (FM) er bølgjelengde i antenna λ=c/f=3,3, og ei halvbølgje dipolantenne bør vera ca. 1,65 lang. Folda halvbølgje dipolantenne er vanleg so FM- og TV antenne, og der ofte so det aktive eleentet i ei direktiv antenne ed fleire direktorar og eventuelt ein reflektor. Folda dipol har større strålingsotstand ( Ω) enn enkel dipol, og er eit alternativ derso kabel eller sendar/ottakar har større ipedans enn 73 Ω. Denne antenna har knute for spenninga i endepunkta og buk i atepunktet. I atepuktet er difor ipedansen Z=U/I større for denne. Kvartbølgje onopolantenne blir plassert over eit elektrisk leiande plan (jordplan), for eksepel på taket på ein bil eller over etalldekket på ein båt. Er du ute i skogen, legg du ut ledningar so jordplan. Elektroagnetiske bølgjer blir reflektert i planet, og saan ed spegelbiletet av antenna, har vi ei antenne so oppfører seg so ei halvbølgje dipolantenne. 51

52 4.3 Strålingsdosar. Helsefaren ved elektroagnetisk stråling er ikkje fullgodt kartlagt. Men ein effekt er vellkjend og lett å rekne på: oppvaring pga. det elektriske feltet. Effekt absorbert pr. kg kroppsvekt, Spesifikk AbsorbsjonsRate, SAR, er gitt ved likninga: σe SAR = i [ W ρ kg ] der E i = elektrisk feltstyrke inne i kroppsvevet [V/], σ = ledningsevne i vevet [1/Ω] og ρ = tettheten til kroppsvevet [kg/ 3 ]. E i, og dered SAR, er avhengig av strålingsintensitet kroppen blir eksponert for, en også av størrelsen på kroppen eller kroppsdelen i høve til bølgjelengde for strålinga. Når kroppen verkar so ei antenne (halvbølgje dipol), får vi resonans og ein topp for SAR-verdien: For enneske ved f=70 MHz, apekatt ved f=300 MHz og us ved f=450 MHz. Kroppsdelar so hovud, auge osv. har også sine resonans-frekvensar. Figur viser iddels SAR-verdi for 3 arter so er utsett for e.. stråling ed intensitet I = 10 W/ = 1 W/c ed E-felt parallelt ed lengderetningen til kroppen. Kurvene er epiriske (funne ved dyreeksperient). Oppvaringa av kroppen er ålt for ulike frekvensar, og SAR-verdien er rekna ut i kvart tilfelle. Når vi skal finne SAR-verdiar, brukar vi ikkje forelen ovanfor, en les av verdiar frå SAR-kurvene Teperaturauken i kroppsvevet T er også avhengig av eksponeringstid t og den spesifikke varekapasiteten til kroppsvevet c (ca. 000 J/kgK) : SAR t T = [ K] c Friske personar kan tolerere teperaturauke på 1K for heile kroppen (o lag so lett feber). Det tilsvarar SAR-verdi på 1-4 W/kg. Dyreforsøk viser at ved SAR-verdi på 4W/kg startar adferdsendringar. Grenseverdiar. Grunnleggjande for eksponeringsnor er at SAR-verdi på 4W/kg kan føre til biologiske skader. Sikkerhetsfaktor 10 for yrkeseksponerte -> grense SAR-verdi = 0,4 W/kg. Ekstra faktor 5 for befolkning generelt -> grense SAR-verdi = 0,08 W/kg Alle verdian gjeld idla over ein vilkårleg 6 inutts periode. 5

53 Eksepel 9: Eit barn blir utsett for radiostråling ed frekvens 100 MHz ed intensitet 0 W/ i 10 inutt. Finn SAR-verdien og teperaturauken i kroppen derso det ikkje er varetap (avkjøling)! Løysing: Etter kroppsstørrelse brukar vi kurva for apekatt og les av SAR-verdi på 0,10 W/kg ved intensitet 10 W/. Her er intensiteten 0 W/, og SAR-verdien blir då 0,0 W/kg so er over grenseverdien for befolkning generelt. SAR t 0, 0 W/kg 600 s Teperaturauke: T = = = 0, 06 K c 000 J/kg/K Dette er sansynlegvis ingen faretruande teperaturauke, en 53

54 4.4 Generering av radarbølgjer. Radarbølgjer er ikrobølgjer i frekvensoråde 1-40 GHz. Til å generere elektroagnetiske svingingar i dette frekvensorådet kan det nyttast spesielle diode- eller transistorkretsar (avalanchediode, Gunndiode, frekvensultiplikator-diode) eller elektronrøyr av ulike typar (agnetron, klystron, tilbakebølgjerøyr). Magnetronen, so er den vanlegaste sendarrøyret for radar, kan levere stor effekt, har høg virkningsgrad (30-50%) og lite volu. Den eignar seg for korte pulsar, en fins også for CW (Continous Wave). Oppbygningen til agnetronen er vist på figurar. Katoden i sentru kan varast opp ed glødetråd, og avgir då elektronar. Elektronane blir akselerert ot anoden av eit elektrisk likespenningsfelt. Anodeblokka er gjerne av kopar, og har eit jant antal (her 8) resonatorholro. I roet ello katode og anode er det tilnæra vaku. Ein peranent agnet lagar eit agnetfelt vinkelrett på det elektriske feltet. Under påverknad av det elektriske og agnetiske feltet vil elektronane ut frå katoden kunne få ulike banar. Elektrisk kraft: Fe = qe Magnetisk kraft F = qv B Den agnetiske krafta kan berre endre fartsretning til elektronane, det elektriske feltet kan endre både fart og retning for elektronet. I tillegg til desse konstante felta, vil det bli indusert varierande elektriske og agnetiske felt. 54

55 Under påverknad av alle desse felta, vil elektronane få ulike banar på veg frå katoden ot anoden: Ein del elektronar slår tilbake til katoden, (og har tilnæra null fart når dei kje tilbake -- - bevaring av energi) Dei fleste elektronane bunkar seg saan so eiker i eit hjul. Med 8 resonatorholro får vi 4 eiker. Etter aksialt eit par oløp vil dei fleste elektronane ende opp på anoden. So ein tilnæra verdi på oløpsfrekvensen, kan vi bruke syklotronfrekvensen (dette er ei svært grov tilnæring, då den elektriske krafta er av sae størrelsesorden so den agnetiske): Sentripetalkraft qvb v v qb qb = Vinkelfart ω = = Oløpsfrekvens f = r r π Her er q=eleentærladningen, B=agnetisk flukstetthet og =elektronassen. Vi ser at syklotronfrekvensen tilsynelatande er uavhengig av farten til elektronane, en skal elektronane koa rundt katoden, å dei ha ein fart v=ωr=πf r. Når eikene i "elektronhjulet" passerer eit anodesegent tiltrekkjer det seg positiv ladning. Nabosegenta får negativ ladning, og vi får eit varierande elektrisk felt ello segenta. Opningen ello segenta oppfører seg so ein kondensator ed kapasitans C. Det å satidig gå ein strø rundt resonatorholroa frå segent til segent. Denne strøen fører til eit varierande agnetfelt inne i holroa. Holroa oppfører seg so ein spole ed induktans L. Vi har ein svingekrets ed resonansfrekvens f = 1 1. Med 4 eiker π LC på "elektronhjulet" å agnetfeltet justerast slik at resonansfrekvensen bli 4 ganger syklotronfrekvensen. Magnetronen opererer då i π-ode, der feltet i kvart holro er faseforskyvd 180 o i høve til naboholroa. Andre odi kan oppstå, en dei prøver vi å undertrykke for eksepel ved å kople saan annankvart anodesegent slik at dei svingar i sae fase. For å tappe ut bølgjer frå agnetronen, legg vi ei lita strøsløyfe inn i eit holro. Det blir indusert ei spenning i denne, og ved tikopling til ei transisjonslinje (kabel eller bølgjeleder), kan vi få transportert svinginga til ei antenne. Eksepel 10: a) Finn syklotronfrekvensen når agnetfeltet B= 0,05 T. b) Finn radarfrekvensen derso det er 8 hulro. c) Finn farten elektronet å ha derso baneradius skal vera,0 c. d) Finn elektrisk spenning so skal til for å gi denne farten. Løysing: 19 qb 1,6 10 C 0,05 T a) Syklotronfrekvens: f = = = 700 MHz 31 π π kg b) Med 8 holro er radarfrekvens: f = 4 f =,8 GHz Reknar ikkjerelativistisk (litt grov tilnæring når farten nærar seg c): r 7 c) Elektronfart ed radius c: v = π rf = π 0, MHz=8,8 10 /s 1 d) Energi eu = v 31 7 v kg (8,8 10 /s) Spenning U = = = kv 19 e 1,6 10 C 55

56 4.5 Bølgjeleder Koaksialkabel fungerer bra so transisjonslinje opp til o lag f=1 GHz. Ved høgare frekvensar vil svekkinga av sinalet (attenuation) vera for stor. Typiske verdiar er 0,3 db/ ved 500 MHz og 0,6 db/ ved 3 GHz. Ved høge frekvensar er det vanleg å nytte bølgjeleder. Typiske verdiar for svekking er 0,04 db/ ved 3 GHz og 0, db/ ved 10 GHz. Eksepel 11: Kor lang koaksialkabel vil halvere intensiteten i eit 3 GHz radarsignal? Løysing: 0,6 db deping pr.. Halvering er 3 db deping: Lengde 3 db L = = 5 0,6 db/ Bølgjeleder. Ein bølgjeleder er eit rektangulært etallrøyr, gjerne av essing. Inne i bølgjelederen er den elektriske feltvektoren vinkelrett på langsida i rektangelet. Bølgja dannar ei ståande bølgje vinkelrett på utbreiingsretningen, satidig so vi får transportert energi i utbreiingsretningen. Dette kan oppfattast so interferens ello to bølgjer so går i sikk-sakk gjenno bølgjelederen ed gjentatte refleksjonar ed kortveggane. Det elektriske feltet har knutepunkt i refleksjonspunktet (E-feltet lagar strø i veggen, og spenning U=RI=0 fordi R er tilnæra lik 0), og i TE 10 -ode har den ståande bølgja ein buk ello refleksjonspunkta. Saanhengen ello refleksjonsvinkel α og avstanden a ello kortveggene er λ sinα =. Her å a > λ/. Derso a > λ, kan vi få ståande bølgjer ed fleire enn ein buk, a TE 0 -ode, TE 30 -ode osv. Dette er vanlegvis ikkje ønskjeleg, så optial verdi er a = ca. 0,7λ og b = 0,5a. Eksepel 1: a) Kva er optiale diensjonar for bølgjeleder til 10 GHz radar? B) Kva vinkel går dei elektroagnetiske bølgjene ed inne i bølgjelederen? 8 c 3,0 10 /s Bølgjelengde λ = = = 3, 0 c 9 f Hz Løysing: λ 3,0 c o a=0,7 λ=0,7 3,0 c=,1 c b=a/=1,05 c sin α = = α = 51 a 4, c 56

57 4.6 Radarantenner Belysningsfunksjon Ein parabolsk reflektor får vanlegvis signal ("belysning") frå ei hornantenne plassert i brennplanet til reflektoren. b Radarstrålene vil då etter refleksjon gå ut tilnæra parallelt. Men pga diffraksjon vil det alltid vera ei viss spreiing. Eit tilsvarande fenoen har vi ed laserlys gjenno ei spalt. Når vi reduserer spalteopninga, bøyer lyset eir av til sidene og utanfor 1. iniu får vi eit interferensønster (sidelobar). λ Derso vi åler strålebreidda for hovedloben til ei radarantenne i grader er θ 3dB = k b der b = antennebreidde og k ein konstant på o so er avhengig av antennedesign. Konstanten k er ello anna avhengig av belysningsfunksjonen so er lik intensitetsfordelinga inn på reflektoren. Ein konstant belysningsfunksjon gir liten k, en kraftige sidelobar. Ein cos -funksjon gir svake sidelobar, en stor k. Eksepel 13: Ei antenne har cos -belysningsfunksjon, dvs stråler lite frå kantane. Konstante k er 80 o. Finn strålebreidde til 10 GHz radarstråler når antenna er 1,0 breid. Løysing: c λ o 0,030 o Bølgjelengde: λ= =3,0 c. Strålebreidde: θ 3dB = k = 80 =,4 f b 1, Phased Array Radar På Fritdjof Nansen-klassen kje det ein type radar utan bevegelege deler. Ei atrise ed horn-antenner styrer readarstrålen ved at kvar antenne får eit bestet faseskift i høve til naboantennene. Interferens ello bølgjene frå kvar antenne gir aksial stråleintensitet i bestete retningar gitt ved interferensforelen: φ d sin θ = ( n + ) π λ φ For n = 0 er d sinθ = π λ 57