Matriser og vektorrom

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matriser og vektorrom"

Transkript

1 Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen KTH

2 Matematiska Institutionen KTH STOCKHOLM ISBN? c 2000 Matematiska Institutionen

3 Innledning Disse notatene ble skrevet for et kurs om matriser og vektorer gitt skoleåret 2000/2001 for matematikkinteresserte elever i andre klasse på Östra Reals Gymnasium i Stockholm Hensikten med kurset var å gi elevene en ide om hvordan kurs Lineær algebra ser ut på universiteter og høyskoler, og samtidig gjøre elevene interesserte i matematikk Kurset inneholder mindre materiale en det tilsvarende begynnerkurset i Lineær algebra på universiteter og høskoler Til gjengjelde presenteres materialet med et bredere perspektiv enn det som er vanlig på universiteter og høyskoler Spesielt i oppgavene har vi introdusert materiale fra algebra, kombinatorikk og tallteori, som vi håper skal virke inspirerende på elevene Undervisningstiden var en dobbelttime per uke i 24 uker Undervisningen alternerte mellom Östra Reals Gymnasium, der Dick Andersson ga undervisningen, og KTH, der Dan Laksov underviste Matematiska Institutionen, 31 desember 2000 Dan Laksov iii

4 iv matr og vekt

5 Innhold Matriser MATRISER 1 1 Euklidske Vektorer 1 2 Operasjoner på vektorer 9 3 Matriser 15 4 Matrisemultiplikasjon 21 5 Avbildninger av planet 31 Vektorrom VEKTORROM 39 1 Mengder og vektorrom 39 2 Avbildninger 51 3 Lineære avbildninger 61 Fasit FASIT 69 2 Matriser 69 3 Matriser 70 1 Indeks 71 v

6 vi matr og vekt

7 Matriser 1 Euklidske Vektorer 11 Innledning En vektor er en horisontal eller vertikal oppstilling av symboler Vi treffer på slike oppstillinger overallt En rad med bokstaver i en bok, eller en kolonne i en tabell er en vektor Slike oppstillinger har ingen interesse i seg selv Det som gjør vektorer så viktige er at vi kan regne med dem Vi kan multiplisere en vektor med et tall og legge sammen to vektorer om de har samme størrelse Dette gir vektorer en struktur som er avgjørende for anvendelser i og utenfor matematikken I dette kapittelet skal vi gi de viktigste egenskapene til vektorer 12 Eksempel De vektorene vi skal se nærmere på er en oppstilling av tall Eksempler på slike oppstillinger er: 2 π,, 5, 3 2 som kalles 2-vektorer Andre eksempler er: 1 2, 3 π 2 3 5, π π, 1 som kalles 3-vektorer For å spare vertikal plass skriver vi: 1, 2 t = 1, og π, π, 1 t π = π, 2 1 der t står for transponert En vilkårlig 2-vektor v skriver vi v = a1 a 2 = a 1, a 2 t der a 1 og a 2 er tall Tilsvarende skriver vi en vilkårlig 3-vektor v a 1 v = a 2 = a 1, a 2, a 3 t a 3 der a 1,a 2 og a 3 er tall Vi kan generelt definere n vektorer for hver positivt tall n: 1

8 2 Matriser 13 Definisjon La n være et positivt helt tall En n-vektor v er en oppstilling: v = a 1 a 2 a n = a 1, a 2,, a n t av tall a 1, a 2,, a n Tallet a i kalles den i te koordinaten til v 14 Visualisering En 2-vektor er vi vant til å visualisere som et punkt i planet For eksempel vil 2, 3 t være representert ved y , 3 t x der første koordinaten i 5, 3 t er x-koordinaten og den andre er y-koordinaten På en tilsvarende måte kan vi representere alle punktene i planet, og hvert punkt kan representeres som en vektor En 3-vektor kan vi representere som et punkt i rommet For eksempel vil 2, 5, 3 t være representert ved z 3 2 2, 5, 3 t x y der første koordinaten er x-koordinaten, andre koordinaten er y-koordinaten og der den tredje koordinaten er z-koordinaten Tilsvarende kan vi representere alle vektorer som punkter i rommet, og omvendt vil hver punkt i rommet representeres ved en vektor Vi sier at 2-vektorene er en matematisk modell for planet og 3-vektorene er en matematisk modell for rommet Det er viktig å forstå at våre vektorer ikke er virkeligheten, men at de kan brukes som en modell for virkeligheten Fra et matematisk

9 MATRISER 1 3 synspunkt er vektorer av en vilkårlig dimensjon veldefinerte objekter som vi kan regne med Det spiller ikke noe rolle for matematikerne at det finnes modeller for 2- og 3-vektorer Derimot er det typisk at matematikken, som ofte utvikler seg helt etter egne prinsipper og lover, kan brukes til å beskrive den virkeligheten vi lever i Fra et matematisk synspunkt er 4-vektorer, som 1, 3, 2, 4 t, 6π, 2, 1, π t og 2, 5, 2, 1 t, like naturlige som 2-vektorer og 3-vektorer Derimot kan vi ikke visualisere 4-vektorer på en naturlig måte Dette har skapt mye filosofisk forvirring om hva det fire dimensjonale rommet er for noe På den andre siden har mangelen på en fysisk modell for det fire dimensjonale rommet gitt opphav til mye underholdende litteratur om hvilke mirakler vi kan utføre i rommet om man lever i det fire dimensjonale rommet Situasjonen tilsvarer hva vi, som lever i det tredimensjonale rommet kan gjøre i det to dimensjonale rommet For eksempel kan vi ta en todimensjonal person ut av et lukket rom i planet, det vil si et kvadrat, uten å passere dører eller vinduer, ved å løfte opp personen i det tredimensjonale rommet, føre personen over veggen, og sette den ned på utsiden Like spennende er det å beskrive hva som skulle hende med oss om vi ble manipulerte av skapelser som befant seg i et eventuelt firedimensjonalt rom som inneholder vårt Matematisk sett har vi ingen problemer med firedimensjonale rom For oss består det fire dimensjonale rommet av 4-vektorer og vi kan operere like fritt i det fire dimensjonale rommet som i det todimensjonale, eller for den sakens skyld i det elvedimensjonale rommet Det er veldig viktig av vi på denne naturlige måten kan arbeide i rom av høy dimensjon Selvom vi ikke kan se rom av høyere dimensjon enn tre forekommer de ofte i anvendelsene Vanligvis er koordinatene parametre i et fysisk system For eksempel når vi vil forutsi hvordan været blir i morgen, vil dette avhenge av trykk, temperatur, luftfuktighet, vindhastigheter og retninger, og mye annet Disse faktorene kalles parametre for værsystemet For å få en bra forutsigelse må vi ikke bare kjenne disse parametrene der vi står, men i en rekke andre steder på jorden Dette blir da nye parametre I de systemene som finnes i dag for å forutsi været er antallet parametre enormt, og de matematiske modellene som behandler systemet er ytterst kompliserte Dette er av grunnene til at værvarsler over lengre perioder er så vanskelige Noe av styrken i matematikken ligger i abstraksjonen Dette gir oss muligheter til å betrakte generelle teorier som kan anvendes over store felt Vi behøver ikke engang ha et bilde av hva som foregår, men kan manipulere objektene ganske abstrakt for å få ut de resultatene vi behøver Derfor klarer vi oss oftest uten figurer I mange situasjoner hjelper det mye å ha et bilde av situasjonen, selv der det egentlig ikke finnes slike bilder Vi benytter oss da av analogier i lavere dimensjoner der vi kan tegne Et eksempel på dette er de værkartene som brukes i televisjonen til å illustrere værsituasjonen og der noen ganske få av parametrene inngår Lesere som har stort behov av å se matematiske påstander, eller kanskje rentav har angst for høyere dimensjoner, oppmuntrer vi til å tegne figurer i planet og rommet for å illustrere begrepene vi innfører Vi gir også noen oppgaver som hjelper den visuelle

10 4 Matriser forståelsen Når vi skal anvende matematikken er det ofte meget viktig å ha et bra bilde av de matematiske modellene Spesielt i mekanikk og fysikk er vektorer betraktet som piler meget viktige 15 Språk og anvendelser Ordet vektor kommer fra latin og er avledet av det latinske ordet for å bære eller føre med seg Vektorer i en liknende betydelse som vi har innført dem ble ble først brukt i fysikken og mekanikken, der vektorer er noe som har både størrelse og retning, som hastighet og kraft Vektoren plasseres i det punktet kraften virker og har samme retning som kraften og lengden av vektoren representerer størrelsen til kraften Det er praktisk at alle pilene i planet, og ikke bare de som begynner i origo, betraktes som vektorer, og at to piler som har samme lengde og retning, men muligens begynner i ulike punkter, betraktes som like Hver vektor, i denne bemerkelsen, er lik nøyaktig en vektor som begynner i origo, det vil si en vektor i den betydelsen vi har brukt ovenfor y c a, d b t c, d t a, b t x Når vi regner med vektorer spiller det imidlertid ingen rolle hvor vektoren virker Vi velger å plassere alle vektorene slik at de begynner i origo y b a, b t a x Når vi regner med vektorer eller vil illustrere bruken av vektorer med diagrammer er det praktisk å kunne plassere vektorene der det passer best for den situasjonen vi er i Vi skal i disse notatene illustrere flere geometriske situasjoner med vektorer, og vise hvordan vektorregning forenkler beregninger og hvordan diagrammer av vektorer gjør det lett å få geometrisk oversikt over situasjonen Det kommer aldrig til å være noen problemer med å skille på en vektor i den algebraiske betydningen vi har sett ovenfor, som en samling av koordinater a 1, a 2 t og illustrasjonen av en vektor med en pil som begynner i origo 0, 0 t og slutter i punktet a, b t,

11 MATRISER 1 5 Det kommer heller ikke til å være noe problem å forestille oss at vi translaterer denne vektoren til et annet punkt i rommet Som i figuren ovenfor Vi har illustrert forskjellen, og likheten, mellom en vektor og dens representasjon i planet Selvsagt er det ikke noen forskjell på situasjonen i rommet Translasjoner av vektorer i rommet, eller for den sak skyld i vilkårlig dimensjon, er lett å foreta I høyere dimensjonale rom er det ingen problemer å translatere vektorer og situasjonen er helt analog til den i planet I dimensjoner større enn tre er imidlertid problemet at vi ikke kan se vektorene så vi har ingen muligheter for å illustrere situasjonene med av diagrammer, og det har derfor ikke noen mening å snakke om hvor vi plasserer vektorene Vi må da klare oss med den algebraiske representasjonen av vektorer som vi har gitt Skal vi illustrere hva som hender i høyere dimensjonale rom får vi klare oss med analogier i planet og i rommet I rommet vil vektoren a, b, c t være representert av en pil som begynner i origo 0, 0, 0 t og slutter i punktet a, b, c t z c a, b, c t x a b y Betraktelsene ovenfor kan brukes som motivasjon for vår presentasjon av vektorer og også gi en visuell ide om noen av resultatene om vektorer Vi skal imidlertid ikke se på vektorer slik man gjør i anvendelser For oss skal en vektor være et n-tuppel a 1, a 2,, a n t 16 Opgaver 1 Det finnes fire 2-vektorer 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1 som bare har koordinater 0 eller 1 1 Skriv opp alle 3-vektorer som bare har koordinater 0 eller 1 2 Hvor mange n-vektorer er det som bare har koordinater 0 eller 1? 2 Det finnes to 2-vektorer 1, 2, 2, 1 som har koordinater 1 eller 2 og der koordinatene er ulike Videre finnes et seks vektorer 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1 som har koordinater 1, 2 eller 3 og der alle koordinatene er ulike 1 Skriv opp alle 4-vektorer som har koordinater 1, 2, 3, eller 4, og der alle alle koordinatene er ulike 2 Hvor mange n-vektorer finnes som har koordinater 1, 2,, n 1, eller n og der alle koordinatene er ulike?

12 6 Matriser Vektorene i punkt 3 kalles for permuasjoner av tallene 1 2,, n 3 Ved kodning av meddelelser er det vanlig å representere alfabetet ved strenger av nuller og etter Dette kan vi gjøre ved å representere nummeret for hver bokstav binært, det vil si vi representerer a, b, c, d, e, f, g, å ved 1 = 1, 0, 0, 0, 0 2 = 1 2 = 0, 1, 0, 0, 0 3 = = 1, 1, 0, 0, 0 4 = = 0, 0, 1, 0, 0 5 = = 1, 0, 1, 0, 0 6 = = 0, 1, 1, 0, 0 7 = = 1, 1, 1, 0, 0 29 = = 1, 0, 1, 1, 1 Merk på norsk er å den 29 ende bokstaven i alfabetet Et ord med 6 bokstaver blir da kodet som en vektor med 6 5 = 30 koordinater, som alle er 0 eller 1 For eksempel gir 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 ordet vektor I kodning benytter man seg ofte av avstanden mellom ord, det vil si antallet koordinater i de tilsvarende vektorene som er ulike For eksempel, om vi tar ord med en bokstav, får vi avstandene da, b = 2, da, c = 1, da, d = 2, da, e = 1, da, f = 2 og da, v = 4 Mer presist om v = a 1, a 2,, a n t og w = b 1, b 2,, b n t så definerer vi avstanden dv, w mellom vektorene v og w som antallet indekser i slik at a i b i 1 Fullfør tabellen over representasjonen av alfabetet som 5-vektorer 2 Vis at avstandsfunksjonen definerer en metrikk på alle n vektorer med 0 er og 1 ere som koordinater Det vil si, vi har for alle slike vektorer u, v og w a dv, w = 0 hvis og bare hvis v = w b dv, w = dw, v c du, w du, v + dv, w Hint For å vise del c kan det være en fordel å innføre Kronecker deltaet { 1 om a = b δ ab = 0 om a b

13 MATRISER 1 7 Vis først, ved å diskutere alle muligheter for når a, b og c er like eller ulike, at δ ab + δ bc 1 + δ ac og at dette er det samme som at 1 δ ac 1 δ ab + 1 δ bc Deretter viser du at om v = b 1, b 2,, b n og w = c 1, c 2,, c n så er dv, w = 1 δ b1 c δ b2 c δ bn c n Vis til slutt at c følger av at om u = a 1, a 2,, a n så vil 1 δ ai c i a δ ai b i + 1 δ bi c i for i = 1, 2,, n Leopold Kronecker var en av de mest innflytelsesrike matematikerne i forrige århundret Han kjempet for strigens i matematikken og ville inordne matematikken i et liknende aritmetisk mønster som tallteorien Han er kjent for å ha sagt at de hele tallene har gud skapt, alt annet er menneskenes verk Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk Mindre flatterende er hans kontroverser med Georg Cantor om mengdelæren, der Cantors teori så smått ble alment akseptert som et viktig verktøy i matematikken Kronecker har gitt viktige bidrag til mange ulike områder av matematikken, spesielt til elliptiske funksjoner, idealteorien, representasjonsteorien og tallteorien 4 Utvid siste delen av Oppgave 1 til vektorer v der koordinatene a i er valgt fra et vilkårlig alfabet b 1, b 2, 5 La m og n være hele tall slik at 0 m n Betrakt følgende tre tall 1 Antallet forskjellige måter vi kan velge m ulike tall fra tallenen 1, 2,, n uten å ta hensyn til rekkefølgen av de m tallene Når m = 0 setter vi tallet lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi tre valg {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} 2 Antallet n-vektorer som har m koordinater lik 0, og som har n m koordinater lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi de tre vektorene 0, 0, 1, 0, 1, 0 og 1, 0, 0 3 Antallet stier fra origo 0, 0 t til m, n m t som følger et rutenett av linjer i planet der linjene er parallelle med x-aksen eller y-aksen og der linjene går gjennom punktene a, b t der a og b er hele tall For eksempel om n = 3 og m = 2 har vi

14 1, 2, 1 t 1, 3, 1 t 1, 3, 2 t 1, 2, 3 t 2, 1, 2 t 2, 3, 2 t 2, 1, 3 t 3, 1, 3 t 3, 2, 3 t, 8 Matriser 1 Vis at de tre tallene ovenfor er like 2 Kall dette tallet B m,n Vis at B m,n = B m,n 1 + B m 1,n 1 når 0 < m < n 3 Gi mening til formelen ovefor når 0 = m eller m = n 4 For hver positivt tall setter vi n! = 1 2 n og 0! = 1 Vi kaller tallet n! for n-fakultet Vis at B m,n = n! m!n m! 6 En grafe med n hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom hjørne nummer p og hjørne nummer q for noen p og q med p q For eksempel er grafer Den første har 3 hjørner og tre sider {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} En sti av lengde m fra et hjørne p til et hjørne q er en vektor p 0, p 1,, p n t der {p i 1, p i } er en kant for i = 1,, n og der i 0 = p og i n = q Alle stier av lengde 1 i den første grafen er og de av lengde 2 er 1, 2 t, 1, 3 t og 2, 3 t, samt de stiene vi får når vi bytter første og siste koordinaten Alle stier av lengde 1 i den andre grafen er 1, 2 t, 2, 3 t, 2, 4 t, 3, 4 t, og de av lengde 2 er 1, 2, 1 t, 1, 2, 3 t, 1, 2, 4 t, 2, 1, 2 t, 2, 3, 2 t, 2, 4, 2 t, 2, 3, 4 t, 2, 4, 3 t, 3, 2, 3 t, 3, 4, 3 t, 3, 2, 4 t, 4, 2, 4 t og 4, 3, 4 t, samt de stiene vi får ved å bytte om første og siste koordinaten 1 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den første grafen og finn alle stier av lengde 3 og 4 opp til ombytning av første og siste koordinaten 2 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den andre grafen og finn alle stier av lengde 3 og 4 opp til ombytning av første og siste koordinaten

15 MATRISER Operasjoner på vektorer 21 Multiplikasjon av en skalar med en vektor Den første operasjonen vi skal studere er multiplikasjon av et tall, eller skalar som vi ofte sier i denne forbindelse, med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2-vektoren 1, 2 t ved å sette 5 1, 2 t = 5, 10 t Tallet 2 kan vi multiplisere med 3-vektoren 5, 7, π t ved å sette 2 5, t 7, π = 10, 2 t 7, 2π Produktet at en skalar med en vektor får vi altså ved å multiplisere hver koordinat i vektoren med skalaren Mer generelt kan vi multiplisere et tall a med en 2-vektor a 1, a 2 t ved å sette a a 1, a 2 t = aa 1, aa 2 t og med en 3-vektor a 1, a 2, a 3 t ved å sette a a 1, a 2, a 3 t = aa 1, aa 2, aa 3 t Generelt kan vi definere produktet av et tall med en vektor: 22 Definisjon Produktet av et tall a og en n-vektor v = a 1, a 2,, a n t er av = a a 1, a 2,, a n t = aa 1, aa 2,, aa n t Vi multipliserer et tall med en vektor ved å multiplisere tallet med hver koordinat i vektoren For enkelhets skyld skriver vi v = 1v = 1 a 1, a 2,, a n t = a 1, a 2,, a n t og 0 = 0v = 0 a 1, a 2,, a n t = 0, 0,, 0 t 23 Addisjon av vektorer Vi kan addere to vektorer når de er like store For eksempel, om u = 1, 2 t, v = 3, 5 t og w = π, 2 t setter vi u + v = 1, 2 t + 3, 5 t = 1 + 3, 2 5 t = 4, 3 t, u + w = 1, 2 t + π, t 2 = 1 + π, 2 + t 2 og v + w = 3, 5 t + π, t 2 = 3 + π, 5 + t 2 Vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene vektoren med den tilsvarende koordinaten i den andre vektoren Mer generelt definerer vi summen av to 2-vektorer a 1, a 2 t og b 1, b 2 t ved a 1, a 2 t + b 1, b 2 t = a 1 + b 1, a 2 + b 2 t og summen av to 3-vektorer a 1, a 2, a 3 t og b 1, b 2, b 3 t ved a 1, a 2, a 3 t + b 1, b 2, b 3 t = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 t Generelt kan vi definere summen av to n-vektorer:

16 10 Matriser 24 Definisjon Summen av to n-vektorer a 1, a 2,, a n t og b 1, b 2,, b n t er a 1, a 2,, a n t + b 1, b 2,, b n t = a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n t Det vil si, vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene med den tilsvarende koordinaten i den andre 25 Regneregler Multiplikasjon av en vektor med en skalar og addisjon av to vektorer gjør det mulig å regne med vektorer på en måte som likner på regning med tall Før vi gir de viktigste regnereglene skal vi innføre en praktisk notasjon som gjør bevisene mer gjennomsiktige 26 Notasjon Vi skriver a 1, a 2,, a n t = a i t n Denne notasjonen gjør at vi kan konsentrere oss om den i te koordinaten a i Indeksen n viser at vi har en n-vektor Med denne notasjonen får vi at multiplikasjon av et tall a med en n-vektor v = a i t n = a 1, a 2,, a n t kan skrives som av = a a i t n = aa i t n, og addisjon av v med n-vektoren w = b i t n = b 1, b 2,, b n t kan skrives som v + w = a i t n + b i t n = a i + b i t n 27 Proposisjon La u, v og w være tre n-vektorer Da gjelder følgende regneregler: 1 u + 0 = 0 + u = u, 2 u + u = u + u = 0, 3 u + v + w = u + v + w, 4 u + v = v + u Bevis Alle regnereglene følger av enkle regninger Vi setter u = a i t n, v i = b i t n og w = c i t n 1 Vi har en sekvens av likheter u + 0 = a i t n + 0t n = a i + 0 t n = a i t n = u Tilsvarende får vi at 0 + u = u 2 Vi har at u + u = a i t n + a i t n = a i t n + a 1 t n = a i a i t n = 0 t n = 0 Tilsvarende får vi at u + u = 0 3 Vi har at u + v + w = a i t n + b i t n + c i t n = a i + b i t n + c i t n = a i + b i + c i t n Tilsvarende får vi at u + v + w = a i + b i + c i t n 4 Vi har at u+v = a i t n +b i t n = a i + b i t n = b i + a i t n = b i t n +a i t n = v+u

17 MATRISER Terminologi Vi kaller elementet 0 i 1 i Proposisjon 27 for det nøtrale element for addisjonen, og elementet u i 2 for inversen til u Egenskapen 3 kaller vi assosiativitet av addisjonen og egenskapen 4 kaller vi kommutativitet av addisjonen 29 Merk Assosiativiteten u + v + w = u + v + w viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge vi adderer tre vektorer Derfor skriver vi u + v + w = u + v + w = u + v + w 210 Proposisjon La a og b være tall og la v og w være n-vektorer Vi har følgende regneregler: 1 av + w = av + aw, 2 a + bv = av + bv, 3 abv = abv, 4 1v = v Bevis Vi skriver v = a i t n og w = b i t n Alle regnereglene følger av enkle regninger 1 Vi har en sekvens av likheter av + w = aa i t n + b i t n = a a i + b i t n = aa i + b i t n = aa i + ab i t n = aa i t n + ab i t n = a a i t n + a b i t n = av + aw 2 Vi har at a + bv = a + b a i t n = a + ba i t n = aa i + ba i t n = aa i t n + ba i t n = a a i t n + b a i t n = av + bv 3 Vi har at abv = ab a i t n = aba i t n = a ba i t n = ab a i t n = abv 4 Vi har at 1v = 1 a i t n = 1a i t n = a i t n = v 211 Terminologi Egenskapen 1 i Proposisjon 210 kaller distributivitet av skalarmultiplikasjon med hensyn til addisjon av vektorer, og egenskapen 2 distributivitet av addisjon av skalarer med hensyn til multiplikasjon med vektorer Vi kaller egenskapen 3 at multiplikasjon av skalarer med vektorer er assosiativ 212 Merk Assosiativiteten abv = abv viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge vi multiplisere skalarer med vektorer Derfor skriver vi abv = abv = abv 213 Opgaver 1 La a = 3 og b = 5 Bestem av + bw når 1 v = 1, 2 t og w = 5, 3 t 2 v = 1, 2, 3 t og w = 2, 3, 4 t 3 v = 1, π, 4 t og w = 2, 3, 4 t 4 v = 1, π t og w = 2, 1 t 2 La u = 1, 2, 6 t og v = 1, 2, 3 t Bestem au + bv når 1 a = 3 og b = 2 2 a = 1 og b = 7 3 a = π og b = 1 4 a = 2 og b = 2

18 12 Matriser 3 Bestem 2-vektoren x slik at v x = w når 1 v = 2, 3 t og w = 5, 4 t 2 v = 1, 11 t og w = 1 2, 1 3 t 3 v = π, 3 t og w = 1, 2 t 4 v = 1 4, 1 5 t og w = 1 3, 2 t 4 Bestem 3-vektoren x slik at v x = w når 1 v = 4, 2, 3 t og w = 5, 2, 4 t 2 v = 1, 2, 11 t og w = 6, 1 2, 1 3 t 3 v = π, 5, 3 t og w = 7, 1, 2 t 4 v = 7, 1 4, 1 5 t og w = 1 3, 2, 6 t 5 La v = 1, 1 t og w = 2, 1 t Bestem konstanter a og b slik at u = av + bw når 1 u = 4, 1 t 2 u = 1 2, 2 t 3 u = 1 3, 1 t 4 u = 1, 5 t 6 La u = 1, 0, 0 t, v = 1, 1, 0 t og w = 2, 0, 1 t Bestem konstanter a, b og c slik at x = au + bv + cw når 1 x = 1, 4, 1 t 2 x = 1 2, 7, 2 t 3 x = 1 3, 1, 1 2 t 4 x = 1, 2, 5 t 7 I denne oppgaven skal du betrakte en vektor i planet som en pil med gitt retning og lengde Du skal også betrakte to piler som like om de har samme retning og lengde, men ikke nødvendigvis har samme begynnelsespukt 1 La u = a, b t og v = c, d t være 2-vektorer Vis at u + v er diagonalen i rektangelet som har hjørner i punktene 0, 0 t, a, b t og c, d t y c, d t a, b t + c, d t a, b t 2 La u = a, b t og v = c, d t være vektorer Vis at v u er vektoren som begynner i a, b t og slutter i c, d t x

19 MATRISER 2 13 y c, d t c, d t a, b t a, b t 8 Tilsvarende oppgaver som i Oppgave 3 for 3-dimensjonale vektorer 9 I denne oppgaven skal du betrakte en 2-vektor v = a 1, a 2 t som en vektor med begynnelse i origo 0, 0 t og slutt i a 1, a 2 t Vi setter v = a a2 2 og om w = b 1, b 2 t så setter vi v w = a 1 b 1 + a 2 b 2 1 Vis at v er lengden av vektoren v = a 1, a 2 t 2 Anta at w ikke er origo 0, 0 t Vis at den korteste avstanden fra punktet a 1, a 2 t til linjen L gjennom origo og b 1, b 2 t er v 2 w 2 v w 2 w Hint Vi har at alle punktene på linjen L er på formen t b 1, b 2 t for noe t Vektoren som begynner i t b 1, b 2 t og slutter i a 1, a 2 t er u t = a 1, a 2 t t b 1, b 2 t = a 1 tb 1, a 2 tb 2 t Vil vil finne den minste lengden vektoren u t kan ha Vi får u t 2 = a 1 tb a 2 tb 2 2 = a a 2 2 2a 1 b 1 + a 2 b 2 + t 2 b b 2 2 a = b b a b a 1b 1 + a 2 b 2 b2 2 b t 2 b2 2 v v = w w w w 2tv w v v + t2 v v v w2 = w w w w w w 2 + v w w w + t2 Av det siste uttrykket ser vi at u t 2 er minst når t = v w w w, og at vi da har at avstanden kvadrert er v v v w2 v w2 w w w w w w 2 = v v w w x y v w w w b 1, b 2 t θ L t b 1, b 2 t u t = a 1, a 2 t t b 1, b 2 t a 1, a 1 t x 3 Anta at v = a 1, a 2 t og w = b 1, b 2 t begger er forskjellige fra origo La

20 14 Matriser θ være den av vinklene mellom L og linjen gjennom origo og a 1, a 2 t som tilfredsstiller 0 θ π Vis at cos θ = v w v w Hint For å vise påstand 3 merker vi at avstanden mellom punktene a 1, a 2 t og v w w w b 1, b 2 er den minste avstanden mellom a 1, a 2 t og linjen L Derfor vil linjen mellom a 1, a 2 t og v w w w b 1, b 2 være høyden i trekanten med hjørner 0, 0 t, a 1, a 2 t og b 1, b 2 t og derfor stå normalt på L Det følger at cos θ = v w v w v w 10 Tilsvarende oppgave som Oppgave 5 i tre dimensjoner w w b 1,b 2 t a 1,a 2 t = v w w w w v = 11 For i = 1, 2,, n setter vi e i = 0, 0,, 0, 1, 0,, 0 t der den i te koordinaten er 1 og alle andre koordinater er 0 1 Vis at alle n-vektorer v kan skrives som v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n for noen tall a 1, a 2,, a n 2 Vis at fremstillingen i 1 er entydig, det vil si at om v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n = b 1 e 1 + b 2 e b n e n, så er a i = b i for alle i 3 Vis at påstanden i 2 er det samme som å påstå at om så er a i = 0 for alle i a 1 e 1 + a 2 e a n e n = 0,

21 MATRISER Matriser 31 Innledning En matrise er en rektangulær oppstilling av tall Ordet matrise er avledet av det latinske ordet for livmor Det var James Joseph Sylvester som innførte ordet, og brukte det i betydningen av noe som frembringer noe annet, i dette tilfellet determinanter Determinanter skal vi behandle senere, men historisk kom de før matrisene Sylvester er mest kjent for sitt arbeide med invariantteorien Han var en meget allsidig person, blandt annet var han poet Kanskje det er derfor han er også kjent for å ha gitt navn til en rekke viktige matematiske begreper Hver tabell er en matrise En TV- eller dataskjerm er også en matrise Slike skjermer består av et rektangulært nettverk av punkter der antallet punkter per kvadratsentimeter bestemmer kvaliteten på bildet Hvert punkt kan gies en viss gråeller fargetone og det er disse grå eller fargete prikkene som utgjør bildet Fargen eller gråtonen kan beskrives at et tall Bildet på en dataskjerm representeres derfor av en matrise, som for de beste skjermene kan ha imponerende størrelse Rørlige bilder fremkommer ved at matrisen endrer seg Hver gang vi ser bilder eller tekst på en TV-skjerm som speiles, vries, vikles ut, eller forsvinner ut i uendeligheten er det en sekvens av enkle matematiske operasjoner som utføres i rask rekkefølge på den matrisen som i hvert øyeblikk representerer skjermen I likhet med vektorer er det ikke matrisen i seg selv som er interessant, men de operasjonene vi kan utføre på den Som for vektorer kan vi multiplisere matriser med skalarer og legge sammen to matriser om de har samme størrelse Den mest fascinerende, komplekse, og mest anvendbare operasjonen er imidlertid multiplikasjon av matriser Multiplikasjonen kommer inn overalt i matematikken og dens anvendelser Den kan iblandt virke mystisk og helt umotivert, men vi skal vise at den har en naturlig forklaring 32 Eksempler på matriser De matrisene vi skal se nærmere på er rektangulære oppstillinger av tall Eksempler på slike oppstillinger er 2 1, 3 4 π 5, 1 0 som alle er 2 2-matriser Andre eksempler er som er 2 3-matriser og 2 1 3, , 1 π 7 4π 2 1, 2 π , π π 6 5 2π 4 0, som er 3 3-matriser

22 16 Matriser En vilkårlig 2 2-matrise skriver vi a11 a 12 a 21 a 22, der a 11, a 12, a 21, a 22 er tall Tilsvarende skriver vi a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 for en vilkårlig 2 3-matrise og a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 for en 3 3-matrise, der alle a ij ene er tall Generelt kan vi definere m n-matriser for alle hele positive tall m og n: 33 Definisjon La m og n være hele positive tall En m n-matrise er en oppstilling a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n der alle a ij ene er tall Vi kaller vektoren A = a 1j a 2j a nj den j te søylen til matrisen A og a m1 a m2 a mn = a 1j, a 2j,, a mj t a i1, a i2,, a in t for den i te rekken til A Tallet a ij, det vil si tallet som står i i te rekke og j te søyle, kaller vi den i, j te koordinaten til A 34 Merk En m 1-matrise er det samme om en m-vektor 35 Notasjon Det inngår mange symboler i en matrise og den tar stor plass Derfor finnes det flere ulike måter for å forenkle notasjonen Det er vanlig å forenkle skrivemåten ved å skrive færre koordinater som i a 11 a 1n A = a m1 a mn

23 MATRISER 3 17 på samme måte som vi kan skrive en n-vektor som a 1,, a n t Ennu enklere er det å skrive A = a ij m,n, der m og n er antallet rekker, respektive søyler, og a ij er den i, j te koordinaten Denne notasjonen, som vi ofte skal bruke nedenfor, svarer helt til notasjonen a i t n for n-vektorer 36 Multiplikasjon av en skalar med en matrise Multiplikasjon av en skalar med en matrise er helt analog med multiplikasjon av en skalar med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2 2-matrisen ved å sette og tallet 2 med 2 3-matrisen π π = 5 20, ved å sette = π Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen a11 a 12 Mer generelt kan vi definere multiplikasjon av et tall a med 2 2-matrisen a 21 a 22 ved å sette a11 a 12 aa11 aa 12 a a 21 a 22 = aa 21 aa 22, a11 a 12 a 13 og med 2 3-matrisen a 21 a 22 a 23 ved å sette a11 a 12 a 13 aa11 aa 12 aa 13 a a 21 a 22 a 23 = aa 21 aa 22 aa 23 Generelt kan vi definere produktet en av skalar med en m n-matrise: 37 Definisjon La a være et tall og la A = a ij m,n være en m n-matrise Produktet av a med A er a 11 a 12 a 1n aa 11 aa 12 aa 1n a aa = a 21 a 22 a 2n = aa 21 aa 22 aa 2n a m1 a m2 a mn aa m1 aa m2 aa mn Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen Med vår forenklete notasjon kan vi skrive dette som aa = aa ij m,n = aa ij m,n Vi skriver A = 1A = 1a ij m,n = a ij m,n og 0 = 0A = 0a ij m,n = 0a ij m,n = 0 m,n

24 18 Matriser 38 Addisjon av matriser Tilsvarende addisjon av vektorer kan vi addere matriser om de har samme størrelse For eksempel, om vi har tre 2 2-matriser så setter vi , =, , 6 7 π π π 5 = π og π 5 = 5+π π 6 6+7π På samme måte kan vi addere 2 3-matriser ved å sette = og π π π 2 11 = 0 1 π 7 1+π π 13 Vi adderer altså to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen Mer generelt kan vi addere to a11 a 2 2-matriser 12 b11 b a 21 a 22 og 12 b 21 b 22 ved å sette og vi kan addere to 2 3-matriser a11 a 12 b11 b a 21 a a11 +b b 21 b 22 = 11 a 12 +b 12 a 21 +b 21 a 22 +b 22, a11 a 12 a 13 b11 b a 21 a 22 a 23 og 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ved å sette a11 a 12 a 13 b11 b a 21 a 22 a b 13 a11 +b b 21 b 22 b 23 = 11 a 12 +b 12 a 13 +b 13 a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 23 +b 23 Generelt kan vi definere summen av to m n-matriser: 39 Definisjon La A = a ij m,n og B = b ij m,n være to m n-matriser Summen av A og B er: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a A + B = 21 a 22 a 2n + b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a = 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

25 MATRISER 3 19 Vi adderer to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen I den forenklete notasjonen kan dette skrives A + B = a ij m,n + b ij m,n = a ij + b ij m,n 310 Opgaver 1 La a = 2 og b = 7 Regn ut aa + bb når 1 A = , B = π 1 2 A = 3 1 π, B = A =, B = A = 4 7 1, B = La A =, B = a = 3, b = 1 2 a = 1, b = 0 3 a = 7, b = 2 4 a = π, b = Beregn aa + bb når 3 Bestem 2 2-matrisen X slik at A X = B når A = og B = A = og B = A = 2 3 og B = π 3 5π 4 4 A = og B = Bestem 3 2-matrisen Z slik at A X = B når 1 A = og B = A = og B = π A = og B = π A = og B = Når det gjelder skalar multiplikasjon og addisjon oppfører matriser seg som vektorer Til en m n-matrise A = a ij m,n tilordner vi mn-vektoren v A = a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn t 1 Vis at for alle m n-matriser A og B og skalarer a og b har vi at v aa+bb = av A + bv B

26 20 Matriser 2 La e ij være m n-matrisen med i, j te koordinat lik 1 og alle andre koordinater lik 0 Vis at hver m n-matrise A kan skrives på formen A = a 11 e 11 + a 12 e a 1n e 1n + a 21 e 21 + a 22 e a 2n e 2n + + a m1 e m1 + a m2 e m2 + + a mn e mn der a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn er tall som er entydig bestemte 6 En grafe med n-hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom noen av hjørnene p og q med p q Se Oppgave 4 i Seksjon 1 Vis at en grafe med n-hjørner svarer til n n-matriser med koordinater 0 eller 1, og med 0 på diagonalen Hint Sett p, q te koordinaten i n n-matrisen lik 1 om det finnes en kant mellom p og q, og la alle andre koordinater være 0 For eksempel er respektive matrisene som svarer til figurene i Oppgave 4 i Seksjon 1 Hvordan vi skal tilordne en grafe til en n n-matrise med 0 er og 1 ere som koordinater, og 0 på diagonalen er nu klart

27 MATRISER Matrisemultiplikasjon 41 Multiplikasjon av en matrise med en vektor Neste målsetning er å definere multiplikasjon av matriser Vi forbereder oss for dette ved å betrakte spesialtilfellet der vi multipliserer en matrise med en vektor 1 2 Vi multipliserer 2 2-matrisen med 2-vektoren 7, 3 t ved å sette = = og 2 3-matrisen med 3-vektoren 4, 1, 6 t ved å sette π π = π π+11 = Multiplikasjon av en matrise med en vektor v er bare mulig om matrisen har like mange søyler som v har koordinater Resultatet er en vektor med like mange koordinater som matrisen har rekker, og i te koordinaten i denne vektoren er summen av koordinatene i v multiplisert med de tilsvarende koordinatene i i te rekke i matrisen Mer generelt multipliserer vi en 2 2-matrise med 2-vektoren ved å sette: a11 a 12 a 21 a 22 a1 a 2 = og en 2 3-matrise med 3 vektoren ved å sette a11 a 12 a 13 a 1 a 2 a 21 a 22 a 23 a 3 = a11 a 1 +a 12 a 2 a 21 a 1 +a 22 a 2, a11 a 1 +a 12 a 2 +a 13 a 3 a 21 a 1 +a 22 a 2 +a 23 a 3 42 Merk For at det skal være mulig å multiplisere en matrise med en vektor må antallet søyler i matrisen være lik antallet koordinater i vektoren Resultatet er en vektor som har samme antall koordinater som matriser har rekker Generelt kan vi definere multiplikasjon av en m n-matrise med en n-vektor: 43 Definisjon La A = a ij m,n være en m n-matrise og v = a i t n en n-vektor Produktet av A med v er a 11 a 12 a 1n a 1 a 11 a 1 + a 12 a a 1n a n a Av = 21 a 22 a 2n a 2 = a 21 a 1 + a 22 a a 2n a n a m1 a m2 a mn a n a m1 a 1 + a m2 a a mn a n Produktet av en m n-matrise A med en n-vektor v gir en m-vektor w og den i te koordinaten i w får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i A med de tilsvarende koordinatene i v og ta summen I den forkortete notasjonen har vi Av = a i1 a 1 + a i2 a a in a n t m 44 Merk Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n-vektor er en m-vektor

28 22 Matriser 45 Regneregler Vi har mange regneregler for multiplikasjon av en skalar med en matrise og for multiplikasjon av en matrise med en vektor Før vi gir og beviser de viktigste resultatene innfører vi en enkel notasjon for summer som gjør uttrykkene og regningene mer gjennomskinlige 46 Summasjon av indekser Vi skal ofte håndtere uttrykk på formen a i1 a 1 + a i2 a a in a n Det er derfor praktisk å innføre en enkel notasjon for slike summer Mer generellt skal vi innføre en notasjon for summer av tall Dette gjøres ved at vi skriver 7 a i = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7, i=3 der a 3, a 4,, a 7 er tall Symbolet står for sum, og 7 i=3 betyr at indeksen i løper fra verdien 3 til verdien 7 Hvilken bokstav vi bruker for indeksen spiller selvsagt ingen rolle så vi har 7 a j = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 j=3 Med samme notasjon har vi for eksempel 9 a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 i=1 der alle a i ene er tall og 6 i=1 i 2i + 1 = Vi kan også summere opp til et vilkårlig tall For eksempel vil n i = n og i=1 Mer generelt har vi at n i2 i = n2 n i=1 n a i = a 1 + a a n i=1 Med denne hendige notasjonen får vi at n a ij a j = a i1 a 1 + a i2 a a in a n j=1

29 MATRISER 4 23 Vi kan da uttrykke multiplikasjonen av matrisen A = a ij m,n med vektoren v = a i t n på den kompakte formen n Av = a ij a jt j=1 m n t Merk at i uttrykket j=1 a ija j er j en summasjonsindeks mens i er fast og m betegner den i te koordinaten Vi skal mange ganger ha bruk for likhetene m i=1 a i n j=1 De er alle lik summen b j = m i=1 j=1 n a i b j = m j=1 i=1 n b j a i = a 1 b 1 + a 1 b a 1 b n + a 2 b 1 + a 2 b a 2 b n + + a m b 1 + a m b a m b n 47 Proposisjon La a være et tall og v og w to n-vektorer Videre, la A være en m n-matrise Da har vi at 1 Aav = aav 2 Av + w = Av + Aw n j=1 Bevis Sett v = a i t n, w = b i t n og A = a ij m,n Da har vi at Videre har vi at n aav = aa ij m,n a i t n = n aa ij a jt = j=1 n j=1 = a ij m,n aa i t n = Aav Av + w = a ij m,n a i t n + b i t n = a ij m,n a i + b i t n = n n = a ij a j + j=1 b j m i=1 a i t a ij aa j n j=1 n n n a ij b jt = a ij a jt = a ij b jt j=1 n j=1 n j=1 n = a ij m,n a i t n + a ij m,n b i t n = Av + Aw t a ij a j + b j n 48 Multiplikasjon av matriser Vi er nu klare til å definere multiplikasjon av matriser Som vanlig begynner vi med noen eksempler som illustrer hva som hender Vi multipliserer 2 2-matrisene og ved å sette: = =

30 24 Matriser og produktet av 2 2-matrisen π = π med 2 3-matrisen ved π π+3 = 7 0 π π+3 5 Vi kan bare multiplisere to matriser om den første har like mange søyler som den andre har rekker Resultatet er en matrise med like mange rekker som den første matrisen og like mange søyler som den andre Den i, j te koordinaten får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i første matrisen med de tilsvarende koordinatene i den j te søylen i den andre matrisen og summere Mer generelt definerer vi produktet av to 2 2-matriser ved a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b 22 = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22, og av 2 2-matrisen med en 2 3-matrise ved a11 a 12 b11 b 12 b 13 a11 b a 21 a 22 b 21 b 22 b 23 = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 11 b 13 +a 12 b 23 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 a 21 b 13 +a 22 b 23 I hvert av tilfellene fremkommer produktet AB ved at vi tar i te søyle i B og betrakter den som en vektor b 1i, b 2i,, b ni t Denne søylen multipliserer vi med A og får den i te søylen A b 1i, b 2i,, b ni t 49 Merk Vi ser at at multiplikasjonen ovenfor bare er mulig når antallet søyler i den første matrisen er lik antallet rekker i den andre, og at resultatet er en matrise med samme antall rekker som den første matrisen og samme antall søyler som den andre matrisen Generelt definerer vi produktet av en m n-matrixe A med en n p-matrise B ved å la den i te søylen i produktet AB være produktet av matrisen A med den i te søylen i B Med andre ord, vi får i te søyle i AB ved å betrakte i te søyle i B som en vektor b 1i, b 2i,, b mi t og ta produktet A b 1i, b 2i,, b mi t Matriseprodukt er derfor det samme som p vektorprodukter Mer presist har vi: 410 Definisjon La A = a ij m,n være en m n-matrise og B = b ij n,p en n p-matrise Produktet av A og B er a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a AB = 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b a 2n b n1 a 21 b 1p + a 22 b 2p + + a 2n b np = a m1 b 11 + a m2 b a mn b n1 a m1 b 1p + a m2 b 2p + + a mn b np

31 MATRISER 4 25 I forenklet notasjon får vi n AB = a ij m,n b ij n,p = a ik b kjt k=1 m,p Sammenliknet med å skrive ut hele matrisen er uttrykket i forenklet notasjon et under av enkelhet 411 Merk Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n p-matrise er en m p-matrise Når p = 1 får vi multiplikasjon av en matrise med en vektor, slik vi har definert den ovenfor 412 Regneregler Det finnes mange regneregler for multiplikajson av en skalar med en matrise, og for addisjon og multiplikasjon av matriser De fleste regnereglene for skalarmultiplikasjon og addisjon er analoge med de som gjelder for vektorer Lengre frem skal vi vise at følgende regel er en konsekvens av at vi kan tolke matriser som avbildninger Vi tar med et bevis her for å få trening på å regne med matriser 413 Proposisjon La A være en m n-matrise, B en n p-matrise og C en p q-matrise Da har vi ABC = ABC Bevis Vi setter A = a ij m,n, B = b ij n,p og C = c ij p,q Da har vi at AB = n k=1 a ikb kj m,n Derfor vil p n ABC = l=1 k=1 t p a ik b kl c lj = m,q l=1 n a ik b kl c ljt k=1 m,q På den andre siden kan vi begynne med BC = p l=1 b klc lj n,q og får n ABC = k=1 a ik p l=1 Likheten i Proposisjonen følger av at t n b kl c lj = m,q k=1 p a ik b kl c ljt l=1 m,q p n l=1 k=1 a ik b kl c ljt m,q n p = a ik b kl c ljt k=1 l=1 m,q 414 Terminologi Likheten ABC = ABC viser at multiplikasjon av matriser er uavhengig av rekkefølgen av multiplikasjonen Vi sier at multiplikasjon av matriser er assosiativ og skriver ABC = ABC = ABC

32 26 Matriser 415 Merk Vi har at men = = , Matrisemultiplikasjon er derfor avhengig av ordenen av faktorene Vi sier at matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ Dette skiller matrisemultiplikasjonen fra de andre regnereglene vi har støtt på og gjør den spesielt interessant 416 Opgaver 1 La A = og B = v = 2, 3 t 2 v = 5, 4 t 3 v = π, 2 t Regn ut Av + Bv når La v = 1, 2 t og w = 5, 3 t Regn ut Av + Aw når 1 A = A = A = π 5 3 La A = 1 Regn ut AB og BA når a B = b B = π 1 c B = Regn ut AB når a B = b B = π Regn ut BA når 4 1 a B = Regn ut 1 2 b B = π

33 MATRISER Kan du finne en 2 2-matrise X slik at AX = 1 A = A = A = A = Regn ut XA når X finnes 6 La A = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a nm a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 1 0 når 0 1 være en m n-matrise Vi danner en matrise A t = ved å la radene i A bli søylene i A t Matrisen A t er en n m-matrise som kalles den transponerte til matrisen A Vis at for alle m n-matriser A og n p matriser B så har vi at AB t = B t A t 7 La I n = være matrisen med 1 på diagonalen og alle andre koordinatene lik 0 En elementær operasjon på en matriser er en av følgende: 1 Multiplikasjon av en rad med et ikke null tall 2 Multiplikasjon av en rad med et tall og addisjon av denne raden til en annen rad 3 Ombytte av to rader a11 a 12 For eksempel for matrisen a 21 a 22 får vi ved elementære operasjoner de tre matrisene a11 a 12 aa 21 aa 22, a 11 a 12 a 21 +aa 11 a 22 +a 12 og a21 a 22 a 11 a 12 En elementær n n-matrise er en matrise som vi får fra I n ved en av de tre elementære operasjonene Vis at du kan utføre en elementær operasjon på en m n-matrise A ved å utføre samme operasjon på I m slik at du får en elementær matrise E og deretter ta produktet EA 8 La I 3 = A 123 = , A 132 = , A 213 = , 0 0 1

34 28 Matriser A 231 = , A 312 = , A 321 = For hver av matrisene A σ, finn en matrise A τ slik at A σ A τ = A τ A σ = I 3 2 Regn ut a A 312 A 231 b A 231 A Vi vil studere omflytninger, eller som vi sier permutasjoner, av tallene 1, 2, 3 Det finnes 6 slike permutasjoner I = B 123 = B 231 = Her betyr B 312 = så betyr B σ = σ1 σ2 σ3, B 132 = For eksempel har vi B 132 B 213 = B 213 B 132 = = B 213 = , B 312 = 1 2 3, B = at vi flytter 1 til 3, 2 til 1 og 3 til 2 Mer generelt at vi flytter i til σi for i = 1, 2, 3 Vi kan multiplisere permutasjoner ved at B σ B τ betyr at vi først utfører permutasjonen τ og deretter σ = = B og = B 231 Regn ut a B 312 B 231 b B 231 B For hver permutasjon B σ, finn en B τ slik at B σ B τ = B τ B σ = I 5 Sammenlikn resultatene i del 1 med de i del 4, og de i del 2 med de i del 3 Kan du forklare likhetene? 9 Generaliser det du har vist i Oppgave 5 til n n-matriser og permutasjoner av tallene 1, 2,, n Hint Det kan være praktisk å introdusere Kroneckers delta δ ij som tar verdien 1 når i = j og verdien 0 når i j Til en permutasjon B σ = av 1, 2,, n svarer da n n-matrisen A σ = δ iσj n,n 10 I denne Oppgaven kaller vi matriser på formen a b b a 1 2 n σ1 σ2 σn for komplekse tall Sett for hvert tall a setter vi I 2 = 1 0 og i = 0 1 a = ai 2 = a 0 0 a

35 MATRISER Vis at hver kompleks tall kan skrives entydig på formen a + bi 2 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi a 0 + u = u + 0 = u b u + u = u + u = 0 c u + v + w = u + v + w d u + v = v + u 3 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi a 1u = u1 = u b Det finnes et komplekst tall u 1 slik at uu 1 = u 1 u = 1 c uvw = uvw d uv = vu 4 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi uv + w = uv + uw Ettersom de komplekse tallene tilfredsstiller 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, d samt 4, sier vi at de danner en kropp 11 I denne oppgaven kaller vi matriser på formen a b c d b a d c c d a b d c b a for kvaternioner Disse er meget viktig både i matematikk og fysikk De ble oppdaget i 1843 av William Rowan Hamilton , det sies da han gikk over en bro i Dublin Han ble så begeistret over kvaternionene at han brukte en stor del av livet på å studere dem Hamilton har gjort store innsatser i matematikken og har også har bidratt vesentlig til mekanikken Han var bråmoden og ble allerede i 1827 Royal Astronomer of Ireland, en stilling han beholdt hele livet Sett I 4 =, i =, j =, k = For hvert tall setter vi a a 0 a = ai 4 = 0 0 a

36 30 Matriser 1 Vis at hver kvaternion kan skrives entydig på formen a + bi + cj + dk 2 Vis at vi har multiplikasjonstabellen 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 der i, j te koordinaten i tabellen er produktet av tallet til venstre for i te rekke og tallet over j te søyle 3 Kan du vise at kvaternionene har egenskapene 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, samt 4 i Oppgave 8 men ikke betingelsen uv = vu? Ettersom kvaternionene tilfredsstiller betingelsene 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, samt 4 i Oppgave 8 kaller vi dem en skjevkropp 12 Vi sier at en n n-matrise A = a ij n er symmetrisk om a ij = a ji for alle i og j Matrisen A er skjevsymmetrisk om a ij = a ji og a ii = 0 for alle i og j Videre sier vi at matrisen er øvre triangulær om a ij = 0 for alle j > i og at den er nilpotent om a ij = 0 for alle j i 1 Vis at om A og B er symmetriske så er AB symmetrisk 2 Vis at om A og B er skjevsymmetriske så er AB skjevsymmetrisk 3 Vis at om A og B er triangulære så er AB triangulær 4 Vis at om A og B er nilpotent så er AB nilpotent 5 Vis at om A er nilpotent så er A n = 0 13 La A 11, A 12, A 21 og A 22 være henholdsvis r p-, r q-, s p- og s q-matriser, og la B 11, B 12, B 21 og B 22 være henholdsvis p t-, p s-, q t- og q s-matriser Vis at A11 A 12 B11 B 12 A11 B A 21 A 22 B 21 B 22 = 11 +A 12 B 21 A 11 B 12 +A 12 B 22 A 21 B 11 +A 22 B 21 A 21 B 12 +A 22 B 22, der vi har delt opp matrisene i blokker 14 En grafe med n-hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom noen hjørner p og q der p q Se Oppgave 4 Seksjon 1 I Oppgave 4 Seksjon 3 så vi hvordan vi at grafer tilsvarer n n-matriser med bare nuller og enere som koordinater, og med nuller på diagonalen 1 Vis at p, q te koordinaten i a og A 2 gir antallet stier av lengde 1 respektive 2 mellom p og q Sammenlikn med resultatene i Oppgave 4 i Seksjon 1 2 Vis at p, q te koordinaten i A 3 og A 4 gir antallet stier av lengde 3 respektive 4 mellom p og q Sammenlikn med resultatet i Oppgave 4 i Seksjon 1 3 Vis at p, q te koordinaten i A n gir antallet stier av lengde n mellom p og q

37 MATRISER Avbildninger av planet 51 Avbildninger av planet Når vi ser tekst og bilder som vries, vendes, speiles, forstørres eller forminskes på televisjonen eller på en dataskjerm, så betrakter vi et fascinerende eksempel på anvendt matematikk Bevegelsen fremkommer ved et enormt antall matrisemultiplikasjoner som blir utført i rask rekkefølge på punktene i planet som svarer til punktene på billedskjermen Her skal vi i detalj vise hvordan slike operasjoner fremkommer En leser med litt kunnskap til datorer kan uten vanskeligheter bruke teorien til å bevege bilder og tekst på sin egen dataskjerm For enkelhets skyld holder vi oss til plane bilder Vil vi ta hensyn til perspektivet i bildene må vi gjøre de tilsvarende operasjonene i rommet En leser som har forstått materialet i dette kapitlet skulle ikke ha noen vanskeligheter med å generalisere materialet til tre dimensjoner Speilinger La A = For hvert punkt a, b t i planet kan vi multiplisere den tilsvarende vektoren med matrisen og får et nytt punkt = a b a b Matrisemultiplikasjonen flytter altså punktet a, b t til punktet a, b t Dette er en speiling av punktet i x-aksen Tilsvarende vil matrisen 1 0 speile punktet a, b t 0 1 i y-aksen til = Bruker vi istedenfor matrisen flyttes a b a b punktet a, b t til punktet a, b t ligger symmetrisk om origo For å konstruere og analysere operasjoner av planet som er gitt ved 2 2-matriser er det viktig å merke at vi kan sette sammen slike flytninger av planet Om vi, for eksempel, først speiler a, b t 1 0 a a i x-aksen, det vil si flytter den til = 0 1 b b, og deretter speiler i y-aksen, det vil si flytter a, b t til 1 0 a, b t = a, b t, 0 1 så er dette det samme som å bruke produktmatrisen = på punktet a, b t Sammensetning av flytninger får vi altså ved å multiplisere matriser I dette tilfellet er sammensetningen en flytning symmetrisk om origo y y y x x x Iblandt kan sammensetningen av matriser gi overraskende resultater For eksempel sender matrisen punktet a, b t til = Dette er speiling om a b b a

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Det finnes ingen rettferdige valg!

Det finnes ingen rettferdige valg! Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene I TIMSS 95 var elever i siste klasse på videregående skole den eldste populasjonen som ble testet. I matematikk ble det laget to oppgavetyper: en for elever

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt:

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt: DE IRRASJONALE TALLENE EUDOXUS TESTAMENTE. Dedekind s snitt. Vi så tidligere at de greske matmatikerene kom til klarhet over at ikke alle forhold kunne beskrives som de vi kaller rasjonale tall dvs at

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

LÆREPLAN I MATEMATIKK 3. TRINN RYE SKOLE VÅR 2016

LÆREPLAN I MATEMATIKK 3. TRINN RYE SKOLE VÅR 2016 LÆREPLAN I MATEMATIKK 3. TRINN RYE SKOLE VÅR 2016 TID EMNE DELMÅL LÆRINGSKJENNETEGN/ VURDERINGSKRITERIER Høy Middels Lav måloppnåelse måloppnåelse måloppnåelse KJØP OG SALG Lære om : - Sedler og mynters

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Moro med bungyjump. Lærerveiledning. Passer for: trinn Antall elever: Maksimum 16

Moro med bungyjump. Lærerveiledning. Passer for: trinn Antall elever: Maksimum 16 Lærerveiledning Moro med bungyjump Passer for: 8. 10. trinn Antall elever: Maksimum 16 Varighet: 90 minutter Moro med bungyjump er et skoleprogram hvor elevene får erfaring med hvordan man leser informasjon

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Kvikkbilder i arbeid med tallforståelse. Forfatter Astrid Bondø

Kvikkbilder i arbeid med tallforståelse. Forfatter Astrid Bondø Forfatter Astrid Bondø Publisert dato: April 2016 Matematikksenteret Kvikkbilde Aktiviteten Kvikkbilde er designet for å engasjere elever i å visualisere tall og å forme mentale representasjoner av en

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6 Kvikkbilde 8 6 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: utvikle, og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning,

Detaljer

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler-

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- på jakt etter rota til minus en... Kristiansand 19. februar 2004, Olav Nygaard Kvadratrot Å finne et tall som er slik at x 2 1 = 0 går greit. Hvis vi har lært at (

Detaljer

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130 Løsningsforslag ATEATIKK 1, X130 UTSATT EKSAEN 8. januar 2010 Oppgave 1 a) Alle flisene forutsettes å være like store. Vi tenker oss at sidekantene på flisene er 1 enhet lang og at arealet av hver flis

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 Lærer: Knut Brattfjord og Hege Skogly Læreverk: Grunntall 5 a og b, 6 a og b og 7 a og b av Bakke og Bakke, Elektronisk Undervisningsforlag AS Målene

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

De fire regningsartene

De fire regningsartene De fire regningsartene Det går ikke an å si at elevene først skal ha forstått posisjonssystemet, og deretter kan de begynne med addisjon og subtraksjon. Dette må utvikles gradvis og om hverandre. Elevene

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer