Størrelse: px
Begynne med side:

Download ""

Transkript

1 K A L K U L U S tilutvalgteoppgaver Lsningsforslag fratomlindstrmslrebok KlaraHveberg ved Matematiskinstitutt UniversitetetiOslo Copyrightc2006KlaraHveberg

2 Forord 2000.Denvilderforgjenspeileoppgaveutvalgetsomblegitttilgruppenedettesemesteret,ogseksjonersomikkevarpensumpadentiden gruppeundervisningenikursetmat100aveduniversitetetioslohsten Detteerensamlinglsningsforslagsomjegopprinneligutarbeidettil (kombinatorikkogbinomialformelen),seksjon4.2(inhomogenedierens- foreksempelikkelagetlsningsforslagtiloppgaveriseksjonene1.3og1.4 vilderforkunneopptresommystiske\hull"idennesamlingen.jeghar densinhomogenedierensialligninger)ogseksjonenefra11.3ogutover, dadissevarfjernetfrapensumdenaktuellehsten.viderevardelerav ligninger),seksjon7.7(hyperbolskefunksjoner),seksjon10.5(annenor- 9.5(kriterierfornaruegentligeintegralerkonvergerer)kraftignedtonet. seksjon3.4(omannegenerellen'tertteravkompleksetall)ogseksjon gruppeundervisningen,tardebareforsegetrepresentativtutvalgtavde oppgavenesomblegitt.jegharvalgtaprioritereoppgaversomillustrerer Sidenlsningsforslagenevarmentsometsupplementtildenordinre sluttminneomatmanikkelrermatematikkvedasepaferdigelsninger tattmedlsningpanoenenkle\drilloppgaver"innimellom.lamegtil hvordanmankangjennomfreetmatematiskresonnement,menharogsa Jeghaperderforatdisselsningsforslageneblirbruktpaenfornuftig somandreharlaget barevedabrynesegpaoppgaveneselv,oppdager mate,ogatdekanvretilnytteunderrepetisjonogforstudentersom manhvorproblemenesitterogkanverdsettelsningennarmanserden. ikkeharanledningtilaflgedenordinregruppeundervisningen. Hvisdunnernoenfeilellertrykkfeililsningsforslagene,erdetnt Blindern,28.mars2001 KlaraHveberg Idennenyeutgavenavlsningsforslageneeroppgavenumrenereviderti henholdtiltredjeutgaveavlreboken. Blindern,30.juni2006 KlaraHveberg i

3 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel1 LsningsforslagvedKlaraHveberg fasitideinnledendeoppgaveneombrukavsummetegnet,ogharderfor barelagetlsningsforslagtilnoenfaoppgaveravdennetypenforaillustrerebytteavsummasjonsindeks.oppgave1.1.11og1.1.13illustrerer Iseksjon1.1regnerjegmedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas etmatematiskresonnement.detsammegjelderinduksjonsoppgavenei seksjon1.2.hergiroppgave1.2.4etenkelteksempelpabrukavinduksjon,mens1.2.6,1.2.7og1.2.18erfaringsmessigvolderstudentenemer brukavaritmetikkensfundamentalteorem,oggirdegntreningiafre hodebry. Detosummeneerlike,sidenbeggebestaravdesammeleddenesummert Oppgave1.1.4c Settervim=3 nfarvi imotsattrekkeflge.vikanogsasedettevedabyttesummasjonsindeks. 4Xn=0anb3 n= 1 Xm=3a3 mbm= m= 1 3X a3 mbm Oppgave1.1.6 b)vedasettek=n+2farvi n= 2(n+2)3n=6X 4X k=0 k3k 2 c)vedasettem=n+1farvi 10Xn=0xny1 n=11x m=1 xm 1y1 (m 1)=11X hvorviidensistesummenhargjeninnfrtnavnetnpasummasjonsindeksen somkanhetehvasomhelst. n=1 xn 1y2 n Oppgave Sidenprimfaktoriseringerentydig,maethvertprimtallpsomgaroppi vilab=p1p2pmq1q2qnvreenprimfaktoriseringavproduktetab. Hvisa=p1p2pmogb=q1q2qnerprimfaktoriseringeravaogb,sa abvreetavprimtallenepiellerqjiprimfaktoriseringentilab.sahvis p=pivilpgaoppia,oghvisp=qjvilpgaoppib. 1

4 Oppgave LsningsforslagvedKlaraHveberg Laalderentilbarnavrex,yogzar.Vivetatxyz=36ogat samtidigskriveoppsummenavdissetretallene. nneallemateraskrive36=12233sometproduktavtretallog summenavbarnasaldererlikhusnummerettilhusetdebori.laoss 36= = = = = =38 36=229 36=166 36= = = =14 Sidenvenninnenikkekunneavgjrealderenpabarnaselvomhunkjente 36=334 36= = =11 summenavaldrenederes(dvshusnummeret),madennesummenhavrt 13;alledeandresummenefremkommerpaenentydigmateslikatvenninnenvillehavissthvaalderentilbarnavar.Barnamaaltsavreenten alderentilbarnavre2,2og9ar. 2,2og9areller1,6og6ar.Sidendetfanteseteldstebarn,sama Viskalviseatformelen Oppgave1.2.4 (Pn) i=1 nx erriktigforallenaturligetalln. i(i+1)= 1 n+1 n i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersann,siden 1Xi=1i(i+1)= 1 1(1+1)=12= ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet (Pm+1) bestardaiaviseatogsapm+1ersann,detvilsiat X Viharm+1 i=1 i(i+1)=m+1 1 X m+2 i=1 i(i+1)=mx 1 i=1 i(i+1)+ 1 (m+1)(m+2) 1 2

5 somiflgeinduksjonsantagelsenblir LsningsforslagvedKlaraHveberg = =m(m+2)+1 m+1+ (m+1)(m+2)=m2+2m+1 m 1 = (m+1)(m+2)=m+1 (m+1)2 IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1blirsanndersomPmersann. m+2 Viskalvisepastanden Oppgave1.2.6 (Pn) i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersannsiden1(12+5)=6,som erdeleligmed6. n(n2+5)erdeleligmed6forallen2n: ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet bestariaviseatdamaogsapm+1vresann.vihar (m+1)[(m+1)2+5]=(m+1)(m2+2m+6) =(m+1)(m2+5+2m+1) Vedinduksjonsantagelsenerdetfrsteleddetm(m2+5)deleligmed 6,ogdetsisteleddet6eropplagtogsadeleligmed6.Detgjenstar =m(m2+5)+3m2+3m+6 vilsiatm(m+1)erdeleligmed2.mendetteeroppfylt,sidenett avtallenemogm+1mavreetpartallogaltsadeleligmed2. derforbareaviseat3m2+3m=3m(m+1)erdeleligmed6,det VedinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1ersanndersomPmersann. Viskalvisepastanden Oppgave1.2.7 (Pn) i)visjekkerfrstforn=1:p1ersannsiden 2n+2+32n+1erdeleligmed7forallen2N: somerdeleligmed =23+33=35=75 3

6 ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet LsningsforslagvedKlaraHveberg (Pm+1) bestariaviseatdamaogsapm+1vresann,detvilsiat Vihar2(m+1)+2+32(m+1)+1=2m+3+32m+3 2(m+1)+2+32(m+1)+1erdeleligmed7 =22m+2+932m+1 =22m+2+(2+7)32m+1 =22m+2+232m+1+732m+1 Iflgeinduksjonsantagelsener2m+2+32m+1deleligmed7,slikat =2(2m+2+32m+1)+732m+1 leddet732m+1apenbartogsaerdeleligmed7,flgerdetathele detfrsteleddetisummenovenforerdeleligmed7.sidendetandre IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. summenerdeleligmed7,detvilsiatpm+1blirsann. Viskalnnefeileniflgende\induksjonsbevis"forpastanden Oppgave Bevisforsk: (Pn) \Ienhversamlingavnpersonererallelikedumme." ii)antasaatpkersannforenk2n.vimaviseatdaerogsapk+1 i)forn=1harvibareenperson,somopplagterlikedumsomseg selv,sap1ersann. dissepersoneneslikatvistarigjenmedengruppepakpersonersom sann,detvilsi:\ienhversamlingpak+1personersaerallelike vedinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervideretterutenav dumme".viseraltsapaengruppemedk+1personer.fjernenav Mendamaalledek+1personenevrelikedumme,ogbeviseter personersomogsamavrelikedummeiflgeinduksjonsantagelsen. dissepersonenemeddensistepersonen,farviennygruppepak Feilibevisforsket:Foratpastandenskalgjeldeforallen2Nma viiinduksjonstrinnetii)haetresonnementsomholderforetvilkarlig ferdig. nrmeretittpaoppbygningenavresonnementet:vistarteraltsamed tilfelletk=1,ogfungererbarefork2.forasedette,skalvitaen naturligtallk1.menresonnementetvibenytterbrytersammeni 4

7 ensamlingpak+1personersomvinskeraviseerlikedumme.fjerner LsningsforslagvedKlaraHveberg vifrstenavdissepersonene,starviigjenmedendelmengdem1pa viennydelmengdem2pakpersonersomiflgeinduksjonsantagelsen utenavpersoneneim1meddenpersonensomblefjernetfrst,far kpersonersomiflgeinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervisa ogsaerlikedumme.\beviset"konkludererderettermedatalledek+1 denneslutningen,basererviossegentligpaatdetnnesenpersonp personenevistartetmedmavrelikedumme,menforakunnetrekke somermedibeggedetodelmengdenem1ogm2.detunderliggende resonnementeternemligatsidenperlikedumsomallepersoneneim1 personeneim2. (PerjoogsamediM2),saerallepersoneneiM1likedummesomalle (PerjoselvmediM1),ogdessutenlikedumsomallepersoneneiM2 viljomengdenem1ogm2blitodisjunktesamlingerpak=1personer. Altinduksjonsantagelsendasieross,erathveravdetopersoneneerlike Detsisteresonnementetbrytersammennark=1:Idettetilfellet personenevistartetmedmavrelikedumme. im1ogim2,kanviikkeutfradettekonkluderemedatdek+1=2 dumsomsegselv,mensidendetikkennesnoenpersonsomermedbade 5

8 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel2 LsningsforslagvedKlaraHveberg kombinerebrukavtallverdi,trekantulikhetenoginduksjon(oppgave2.1.9 gave2.1.5)ogenkeltreningiafrematematiskeresonnementerveda Iseksjon2.1farduvelseialseulikheterhvortallverdierinngar(opp- ladegavskrekkeavatenoppgavetekstbegynnermed\visat..."du farytterligeretreningienkelmatematiskargumentasjongjennomoppgaveneomrasjonaleogirrasjonaletalliseksjon2.2.herbrdumerkedeg og2.1.10).oppgave2.1.6og2.1.7ergodeeksemplerpaatduikkebr strategienvedkontrapositivebevisogbevisvedmotsigelse.oppgavene peoppgavenesomblegittfradettekapittelet(oppgave2.3.6blebaregitt tyngreformangestudenter,ogjegharderforlagetfasittilallegrup- omsupremumoginmumiseksjon2.3falleristartfasenerfaringsmessig Oppgave2.1.5 somentilleggsoppgavefordesomhaddelystpaenekstrautfordring). a)foralseulikhetenjx 2j<jx+3jbenytterviossavdetfaktum atjaj<jbj()a2<b2.flgendeutsagnblirdermedekvivalente. 4x+4<6x+9 (x 2)2<(x+3)2 jx 2j<jx+3j 5<10x b)ulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisogbarehvisviharenten x> 12 erekvivalentmedatjx 1j>p17,detvilsiatx 1>p17eller x2 2x 8>8ellerx2 2x 8< 8. Denfrsteavdisseulikhetenekanskrivessom(x 1)2>17,hvilket atjx 1j<1,detvilsiat 1<x 1<1,altsaerx2(0;2). Denandreulikhetenkanskrivesjx 1j2<1,somerekvivalentmed x 1< p17,altsaatx2( 1;1 p17)[(1+p17;1). Ialtharvidermedatulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisog Oppgave2.1.6 barehvisx2( 1;1 p17)[(0;2)[(1+p17;1). Perdenisjonavabsoluttverdi(side62iKalkulus)harvi jxj=nxforx0 xforx<0 6

9 Fraskolematematikkenhuskerviatkvadratrotentilettallaerdetpositivetalletsomharkvadratlika.Mendetbetyrat LsningsforslagvedKlaraHveberg Avdenisjoneneflgerdetdermedatjxj=px2. px2=nxforx0 xforx<0 Identitetenjxyj=jxjjyjflgeravoppgave2.1.4,idetvihar Oppgave2.1.7 Oppgave2.1.9 jxyj=p(xy)2=px2py2=jxjjyj Viskalviseatforalletallx,yogzsaer Smuglerviinnziuttrykketogbenyttertrekantulikhetensomsierat ja+bjjaj+jbj,farvi: jx yjjx zj+jz yj somviskullevise. jx yj=jx z+z yj=j(x z)+(z y)jjx zj+jz yj Viskalvisevedinduksjonpanat Oppgave VibetegnerutsagnetovenformedPn.DaerP1opplagtsannsiden forallereelletalla1;a2;:::;an. ja1+a2++anjja1j+ja2j++janj AntasaatPmersann,detvilsiat ja1jja1j VimaviseatdaerogsaPm+1sann.Benyttervitrekantulikhetenifrste skrittoginduksjonsantagelseniandreskritt,farvi ja1+a2++amjja1j+ja2j++jamj AltsaerPm+1sanndersomPmersann. j(a1+a2++am)+am+1jja1+a2++amj+jam+1j Induksjonsprinsippetsikrerdaatformelengjelderforallen2N. ja1j+ja2j++jamj+jam+1j 7

10 Oppgave2.2.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg b)ibrken2 7p2 a)brken7=3 (setning2.2.1). 28=5errasjonal,sidenbadetellerenognevnerenerrasjonale detrasjonaletallet2ogdetirrasjonaletallet7p2(produktetav etrasjonaltogetirrasjonalttallerirrasjonalt)),mensnevnerener 4 ertellerenirrasjonal(sidendenerendierensmellom c)sidendierensenmellomtoirrasjonaletallnoengangerbliretrasjonalttallogandregangeretirrasjonalttall,maviomformeuttrykket ogsehvavifar. rasjonal.iflgesetning2.2.2erdabrkenselvirrasjonal. Dierenseneraltsarasjonal. 3p2 61p2 4=3p2 6 p2+24=24 d)enbrkhvorbadetellerenognevnerenerirrasjonale,kannoen gangervrerasjonalogandregangerirrasjonal,savimaomforme brkenogsehvavifar. 3+p2 3 p2= (3 p2)(3+p2)=9+6p2+2 (3+p2)2 9+2 =11+6p2 (setning2.2.2). Herertellerenirrasjonalognevnerenrasjonal,sabrkenerirrasjonal e)somipunktd)erbadetellerenognevnerenirrasjonale,saviomformerbrken ogseratdenerrasjonal. 4(3+p2)=14 Oppgave2.2.5 a)detergaltatsummenavtoirrasjonaletallalltiderirrasjonal. b)detersantathvisaerirrasjonal,saer adetogsa. Moteksempel:Summenp2+(3 p2)=3avdetoirrasjonaletallene p2og(3 p2)errasjonal. Bevis:Antaataerirrasjonal.Daer a=( 1)asomeretproduktmellometrasjonalttallogetirrasjonalttall,ogderforselvet c)detergaltathvisa2errasjonal,saeradetogsa. irrasjonalttall. Moteksempel:a2=2errasjonal,mena=p2erirrasjonal. 8

11 d)detersantathvisa2erirrasjonal,saeradetogsa. LsningsforslagvedKlaraHveberg Bevis:Viviserdetkontrapositiveutsagnet,nemligathvisaer Antaaltsaataerrasjonal.Dakanviskrivea=b=chvorb;c2Z rasjonal,saera2ogsarasjonal. e)detersantathvisaerirrasjonal,saer1=adetogsa. betyrjonettoppata2errasjonal. ogc6=0.mendaera2=b2=c2medb2;c22zogc26=0.mendet Bevis:Antaataerirrasjonal.Daharbrken1=aenrasjonalteller Oppgave2.2.7 ogenirrasjonalnevner,ogerdaiflgesetning2.2.2selvirrasjonal. detvilsiatvikanskrivep3=a=bhvoraogbernaturligetall.la a=p1p2pmogb=q1q2qnvreprimfaktoriseringenetilaogb. Viskalbeviseatp3erirrasjonal.Anta(formotsigelse)atp3errasjonal, Daharvi p3=ab=p1p2pm Kvadrerervibeggesideravligningen,farvi q1q2qn detvilsi 3=p21p2p2m q21q2q2n Pahyresideavlikhetstegnetforekommeralleprimfaktoreneetlikeantallganger(spesieltgjelderdetteforprimfaktoren3),menpavenstre 3q21q2q2n=p21p2p2m harfunnettoforskjelligeprimfaktoriseringeravdetsammetallet,noe sideforekommerprimfaktoren3etoddeantallganger.detbetyratvi somerumuligiflgearitmetikkensfundamentalteorem.altsaharvivist atantagelsenomatp3errasjonalledertilenselvmotsigelse,saeneste Oppgave muligheteratp3erirrasjonal. enn2nslikatn>b=a.mendetteflgerdirektefraarkimedesprinsipp slikatna>b.sidena>0,erdetteekvivalentmedaviseatvikannne Antaata>0.Viskalviseatuansetthvorstorb2Rer,sansenn2N nneetnaturligtallnslikatn>r. somsieratviforethvertreelttallr,ogdermedspesieltforr=b=a,kan 9

12 Oppgave2.3.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg d)daeksponentialfunksjonenerstrengtvoksende,blirutsagnet b)mengdennerkunnedadbegrensetmedstrstenedreskranke1. ekvivalentmedutsagnet 2<lnx3 MengdenM=fx: 2<lnx3gerderforlikintervallet(e 2;e3] e 2<xe3 e 2.HerersupM2M,meninfM=2M. somerbadeoppadognedadbegrensetmedsupm=e3oginfm= Oppgave2.3.5 a)viviserulikhetbeggeveier. i)sidensupaerenvreskrankeforaogsupberenvreskranke ermindreennenhverannenvreskrankefora[b,flgerat forb,altsaenvreskrankefora[b.ogdasup(a[b) forb,blirmax(supa;supb)envreskrankebadeforaog ii)sidensup(a[b)erenvreskrankefora[b,blirsup(a[b) ogsaenvreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.ogda sup(a[b)max(supa;supb). supaogsupbermindreennenhverannenvreskrankefor b)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadesupa Avi)ogii)flgeratsup(A[B)=max(supA;supB). henholdsvisaogb,flgeratsup(a[b)max(supa;supb). sup(a\b)min(supa;supb). ennenhverannenvreskrankefora\b,flgergenereltulikheten ogsupbvreskrankerfora\b.ogdasup(a\b)ermindre Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi c)viviserulikhetbeggeveier. foreksempela=f1;2gogb=f1;3g,blirsup(a\b)=1somer forskjelligframin(supa;supb)=2. i)sideninfaerennedreskrankeforaoginfbennedreskranke erstrreennenhverannennedreskrankefora[b,flgerat forb,altsaennedreskrankefora[b.ogdainf(a[b) forb,blirmin(infa;infb)ennedreskrankebadeforaog inf(a[b)min(infa;infb). 10

13 ii)sideninf(a[b)erennedreskrankefora[b,blirinf(a[b) LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaennedreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.og dainfaoginfberstrreennenhverannennedreskrankefor d)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadeinfa Avi)ogii)flgeratinf(A[B)=min(infA;infB). henholdsvisaogb,flgeratinf(a[b)min(infa;infb). ennenhverannennedreskrankefora\b,flgergenereltulikheten oginfbnedreskrankerfora\b.ogdainf(a\b)erstrre inf(a\b)max(infa;infb). forskjelligframax(infa;infb)=2. Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi foreksempela=f2;3gogb=f1;3g,blirinf(a\b)=3somer Oppgave2.3.6 a)viviserlikhetensup(a+b)=supa+supbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata> i)daapenbarta+bsupa+supbforallea2aogb2b, flgerdetatsup(a+b)supa+supb. foralle">0,mavihasup(a+b)supa+supb. ogflgeligsup(a+b)>supa+supb ".Sidendettegjelder supa "=2ogb>supB "=2.Daera+b>supA+supB " b)viviserlikheteninf(a+b)=infa+infbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata< i)daapenbarta+binfa+infbforallea2aogb2b,flger detatinf(a+b)infa+infb. ogflgeliginf(a+b)<infa+infb+".sidendettegjelder foralle">0,mavihainf(a+b)infa+infb. infa+"=2ogb<infb+"=2.daera+b<infa+infb+" 11

14 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel3 LsningsforslagvedKlaraHveberg ogfasiterdekkendeforderentregnemessigeoppgavene.jegharderfor deforegaendekapitlene,ogjegregnerderformedatlrebokaseksempler Idettekapitteletharmangeavoppgaveneetmindreteoretiskpregenni forstaelseavdekompleksetallene(oppgave3.2.7og3.2.10)oggirvelse imatematiskargumentasjon(oppgave3.1.10,3.2.12og3.2.15).duvil prioritertalagelsningsforslagtiloppgaversomtesterdingeometriske mellomkartesiskformogpolarform(oppgave3.2.3,3.2.5,3.3.1og3.3.3), likevelogsanneenkleeksemplerpahvordanduoversetterfremogtilbake hvordandunnertredjertter(oppgave3.4.3),oghvordandukanlse viserentypiskanvendelseavdemoivresformel,mensoppgave komplekseannengradsligninger(oppgave3.4.9og3.4.11).oppgave3.3.8 girdeggodtreningialseenkompleksannengradsligningoguttrykke Oppgave3.1.5 lsningenbadepakartesiskogpolarform. Viskallsedeoppgitteligningene. a) 2iz=3+4i = 6i 8i2 2i =(3+4i)( 2i) 2i( 2i) (1+i)z+3=1 i 4 =2 32i b) (1+i)z= 2 i = 2 i+2i+i2 1+i=( 2 i)(1 i) 1+1 (1+i)(1 i) = 3+i Oppgave Antaatz+wogzwerreelle.Viskalviseatdaerentenbeggetallenez ogwreelleellersaerdekonjugerteavhverandre. Laz=a+ibogw=c+id.Daharvi z+w=(a+c)+i(b+d) zw=(ac bd)+i(ad+bc) 12

15 Atz+wogzwerreellebetyratderesimaginrdelererliknull,detvil LsningsforslagvedKlaraHveberg siat ad+bc=0 b+d=0 Denfrsteligningengirb= d.settervidetteinnidenandreligningen, ogw=c+id=a ib,detvilsiatzogwerkonjugerte. farvid(a c)=0,someroppfyltnard=0ognara=c.hvisd=0har vib=d=0,detvilsiatzogwerreelle.hvisa=charviz=a+ib Oppgave3.2.3 b)viskalnnemodulusenogargumentettilz= i. Argumenteterbestemtvedat Modulusener r=j ij=p02+( 1)2=1 og cos=re(z) sin=im(z) r =0 Dettebetyrat r = 1 1= 1 e)viskalnnemodulusenogargumentettilz=1+ip3. =32 Modulusenerr=pRe(z)2+Im(z)2=p1+3=2 Argumenteterbestemtvedat og cos=re(z) sin=im(z) r =12 Dettebetyrat r =p3 =3 2 13

16 Oppgave3.2.5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalskrivedekompleksetallenepaformenz=a+ib. a)r=4og=2. b)r=1og=4ż=1cos4+isin4=12p2+i12p2 z=r(cos+isin)=4(cos2+isin2)=4(0+i)=4i c)r=2og=6. d)r=12og=32. z=2cos6+isin6=2(12p3+i12)=p3+i Oppgave3.2.7az=12cos32+isin32=12(0 i)= 12i Gitttallene Iflgeteorem3.2.3harproduktetzwmodulusr=23=6ogargument z=2cos12+isin12ogw=3cos5 12+isin5 12 = =6 12=2.Altsablir Oppgave zw=6cos2+isin2=6i Viskalskisseredeoppgitteomradeneidetkomplekseplanet. a)fz:jzj=1g b)fz:jz 1j<2g Detteerallepunkterzsomharavstandlik1fraorigo,detvilsialle punkterpaenhetssirkelen. Detteerallepunkterzsomharavstandmindreenn2frapunktet c)fz:jz (i+1)j12g (1;0),detvilallepunkteridetindreavensirkelmedradius2om punktet(1;0). 14

17 Detteerallepunkterzsomharenavstandpaminst12frapunktet LsningsforslagvedKlaraHveberg d)fz:jz 2j<jz i+2jg=fz:jz 2j<jz (i 2)jg radius12ompunktet(1;1). i+1=(1;1),detvilsiallepunkterpaogutenforensirkelmed Detteerallepunkterzsomharkortereavstandtilpunktet(2;0) enntilpunkteti 2=( 2;1),detvilsiallepunktersomliggerekte regning.laz=x+iy.kvadrerervidengitteulikheten,farvi Dettekanvientensegeometrisk(tegngur),ellervedflgendeut- underlinjeny=4x+12. (x 2)2+y2<(x+2)2+(y 1)2 jz 2j2<jz i+2j2 x2 4x+4+y2<x2+4x+4+y2 2y+1 2y<8x+1 Oppgave y<4x+12 normaltpahverandrehvisogbarehvisz=weretrentimaginrttall. Viskalviseat(vektorenetilsvarende)detokompleksetallenezogwstar eretoddemultiplumav=2,detvilsi1 2=(2k+1)=2;k2Z.Men ment1 2.Talletz=werrentimaginrthvisogbarehvisargumentet Dersomzogwharargumenter1og2henholdsvis,farz=wargu- detbetyrjonettoppatzogwstarnormaltpahverandre,da1 2er vinkelenmellomvektorenezogw. erreell.atz=werreellbetyratargumenteteretmultiplumav,det vilsi1 2=k;k2Z.Mendetbetyratvektorenezogwentenpeker Pasammemateserviatzogwerparallellehvisogbarehvisz=w isammeretningellerimotsattretning,detvilsiatdeerparallelle. farvi: Viskalviseatjz+wj2+jz wj2=2jzj2+2jwj2.benytterviatzz=jzj2, Oppgave jz+wj2+jz wj2=(z+w)(z+w)+(z w)(z w) =(zz+zw+wz+ww)+(zz zw wz+ww) =jzj2+jwj2+jzj2+jwj2=2jzj2+2jwj2 15

18 Tegnervietparallellogramutspentavvektorenesomtilsvarerdekompleksetallenezogw,vildiagonaleneidetteparallellogrammetvre z+wogz w.utregningenovenforviserdaatsummenavkvadratene LsningsforslagvedKlaraHveberg tilsideneietparallellogramerliksummenavkvadratenetildiagonalene. Oppgave3.3.1 b)viskalskrivetallete i4paformena+ib. Oppgave3.3.3 e i4=e0cos 4+isin 4=cos4 isin4=12p2 i12p2 b)viskalskrivetalletz=4 4ipaformenrei. SidenRe(z)= Im(z)serviat= 4.Altsaharvi r=p42+( 4)2=p216=4p2 Oppgave3.3.8 z=4p2e 4i Da1+iharmodulusp2ogargument4farvi Viskalregneut(1+i)804og(p3 i)173vedhjelpavdemoivresformel. (1+i)804=p2cos4+isin4804 =p2804cos isin804 4 =p22402 cos(200+)+isin(200+) =p2(2402)(cos201+isin201) = 2402 =2402(cos+isin) Ogdap3 iharmodulus2ogargument 6farvi (p3 i)173=2cos =2173cos isin isin

19 =2173cos28+56 isin28+56 LsningsforslagvedKlaraHveberg =2173cos56 isin56 = 2172(p3+i) = p3 i12 Viskalnnealletredjerttenetilz= iogskrivedempaformenrei Oppgave3.4.3b oga+ib. z13=e i z= i=e i 6+2ki 32+2ki Settervinaetterturk=0,k=1ogk=2,farvidetretredjerttene w0=e i w1=e i 6=cos( 6)+isin( 6)=12p3 12i w2=e i 6+2i 6+4i 3=e3i 3=e7i 6=ei 6= 12p3 12i 2=i Annengradsligningenz2+2z+4=0harlsningene Oppgave3.4.9a z= 2p = 2p = 22ip3 detvilsi = 1ip3 2 z1= 1+ip3 Oppgave3.4.11bz2= 1 ip3 Annengradsligningenz2+2iz+5=0harlsningene z= 2ip(2i)

20 = 2ip 24 LsningsforslagvedKlaraHveberg 2 = 2i2ip6 detvilsi = iip6 2 z1=i(p6 1) Oppgave3.4.14z2= i(p6+1) Ligningenz2+2(1 i)z+7i=0harlsningene z= 2(1 i)p4(1 i)2 417i = (1 i)p(1 i)2 7i= (1 i)p 9i = (1 i)3p i2 ovenforvidereblir Da i=e i=2harvip i=e i=4=12p2(1 i),slikatuttrykket detvilsiz1=32p2 1 i32p2 1=32p2 1(1 i) = (1 i)312p2(1 i)= 132p2(1 i) Da1 i=p2e i=4ogi 1=p2ei3=4,blirlsningenepapolarform z2= 32p2+1+i32p2+1=32p2+1(i 1) z2=32p2+1p2ei3=4=(3+p2)ei3=4 z1=32p2 1p2e i=4=(3 p2)e i=4 i4.kvadrant.vektorenz2harlengde3+p2ogargument3=4,ogpeker Vektorenz1harlengde3 p2ogargument =4,ogpekeraltsanedover Oppgave3.5.5 altsaoppoveri2.kvadrant(tegngur). a)viskalviseatierenrotipolynometp(z)=z4+2z3+4z2+2z+3. P(i)=i4+2i3+4i2+2i+3=1 2i 4+2i+3=0 18

21 b)sidenienrotipolynometp(z),vetvivedlemma3.5.3ati= i LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaerenrotidettepolynomet.mendetbetyratp(z)erdelelig med(z i)(z+i)=z2+1.viutfrerpolynomdivisjon: z4+2z3+4z2+2z+3:z2+1=z2+2z+3 z4+z2 2z3+3z2+2z+3 2z3+2z Detgjenstarbareafaktoriserez2+2z+3: 3z2+30 z2+2z+3=0 z= 2p4 431 = 2p z1= 1+p2i= 22p2i z2= 1 p2i 2 DekomplekseogreellefaktoriseringeneavP(z)blirdermed: z4+2z3+4z2+2z+3=(z+i)(z i)(z+1 p2i)(z+1+p2i) =(z2+2z+3)(z2+1) 19

22 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel4 LsningsforslagvedKlaraHveberg Iseksjon4.1girdeinnledendeoppgavenedegtreningialsedierensligninger,ogjegregnermedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas eksemplerogfasither.menlikeviktigsomakunnelseslikeligninger, Oppgave4.1.14viserdegenannenanvendelseavdierensligninger. utifraenoppgavetekst.oppgave4.1.9og4.1.11girgodtreningidette. erdetaforstahvordanmantenkernarmanskalstilleoppligningene flger(f.eksioppgave4.3.4),mendunnerogsaenkleeksemplerpa hvordanmanregnerutslikegrenseverdieripraksis(oppgave4.3.1og Iseksjon4.3fardubrynetdegpadenisjonenavgrenseverdifor beggegarmotuendelig,likegjernekangamotetendeligtallsommot uendelig ).Oppgave4.3.14illustrereratdierensenmellomtoflgersom frstesierer1,oghvorto1-erealdriflgeretterhverandre. Laanvreantallsekvenseravlengdensombestarav0-erog1-ere,der Oppgave4.1.9 initialbetingelsenea1=a2=1. sekvensen'10'erdenenestelovligeavlengden=2.dermedharvi Sekvensen'1'erdenenestelovligesekvensenavlengden=1,og ossdetotilfelleneettertur: nsomnnes.detsistesieretistrengenerenten0eller1,ogvitarfor Antanaatn>2,oglaosssepahvilkelovligesekvenseravlengde i)hvissistesierisekvensener0,kandeforegaende(n 1)sifrene ii)hvissistesierisekvensener1,madetnestsistesieretvre0, vreenhvilkensomhelstavdean 1lovligesekvenseneavlengde n 1. sidenvialdrikanhato1-ereetterhverandre.vihardabareigjen Dissetotilfellenedekkerallemuligheterviharforlovligesekvenserav dean 2lovligesekvenseneavlengden 2. (n 2)sifreisekvensen,ogdissekanvreenhvilkensomhelstav ereganger).detteviseratanergittveddierensligningen: lengden(ogdeerdisjunkteslikatviikkehartaltoppsammesekvens forn>2medinitialbetingelsera1=a2=1. Vinnerfrstdengenerellelsningenavdierensligningen an=an 1+an 2 an an 1 an 2=0 20

23 Denkarakteristiskeligningenerr2 r 1=0somharrtter LsningsforslagvedKlaraHveberg Dengenerellelsningenblirderfor: an=a(1=2+p5=2)n+b(1=2 p5=2)n r1=1=2+p5=2ogr2=1=2 p5=2 Initialbetingelsenegir: a2=a(1=2+p5=2)2+b(1=2 p5=2)2=1 a1=a(1=2+p5=2)+b(1=2 p5=2)=1 Lservidisseligningene(sekommentarnedenfor),farviA=1=p5og B= 1=p5.Denspesiellelsningenblirderfor: an=1 1+p5 2 n 1 p5 2 n (Merkatdetteerdensammelsningensomieksempel4.1.8fordidierensligningenvistartetmederidentiskmedFibonaccisrelasjon.) Tipstilutregningen: Forafaenkelregning,kanvifrstsamleleddenesomomviskullelse ligningenemedhensynpa\variablene"a+boga B: Avdenfrsteligningenfarvidaat ogavdenandreligningenfarviat 3(A+B)+p5(A B)=2 (A+B)+p5(A B)=2 Trekkervidenfrsteligningenfradenandre,farvi2(A+B)=0,det ogb= 1=p5. (A A)+p5(A+A)=2,detvilsi2A=2=p5.DermedblirA=1=p5 vilsia= B.Settervidetteinnigjenidetfrsteuttrykket,farvi millionerogbankenmed100 nmillioner.vinskeregentliganne Laxnvresannsynlighetenforatduvinnerdersomdustartermedn Oppgave x90,menlserproblemetforengenerellxnfrst. Detertomuligematerdukanvinnepa:Medsannsynlighet18 vinnepadennematener18 xn 1forasikresluttseieren.Dentotalesannsynlighetenforatduskal vinnerdufrsteomgang,innkasserer1millionoghardasannsynlighet 37xn 1.Denandrematendukanvinnepa, 37 21

24 ergjennomatapefrsteomgang(medsannsynlighet19 LsningsforslagvedKlaraHveberg million,forderetterasikredegsluttseierenmedsannsynlighetxn 1.Den totalesannsynlighetenforavinnepadennematener19 37xn 1. 37),gifradeg1 somlettomformetgirdierensligningen37xn 1 Dermedserviatxnergittved xn=18 37xn+1+19 Denneharkarakteristiskligning 18xn+1 37xn+19xn 1=0 medrtter r=37p r2 37r+19=0 detvilsi 218 =371 r1=1; r2=19 36 Dengenerellelsningenblirda xn=c+d19 18n 18 Dermederx0=C+D=0.Starterdumed100millioner,harduvunnet, Hvisdustartermednullogbankenmed100millioner,sahardutapt. Innsattoverforgirdettedenspesiellelsningen sax100=c+d(19 18)100=1.DermederD= CogC= 1 (19 18) xn= 1 (19118) n Settervin=90farvialtsa x90=1 (19 18)1000:58 18)90 middeltemperaturen.vihar Laxnvreavviketimiddeltemperaturenimanednrnfradenarlige Oppgave medinitialbetingelsenex1= 12ogx3= 6.Detervarmestiden manedenkhvorxkerstrst,ogkaldestidenmanedenthvorxter xn+2 p3xn+1+xn=0 minst.vilserdierensligningenforafaenformelforxn: 22

25 Denkarakteristiskeligningenerr2 p3r+1=0somhardetokomplekse LsningsforslagvedKlaraHveberg rttene Disseharmodulus: r1=p3 2+12iogr1=p3 2 12i Argumentettilr1erbestemtvedat =r34+14=1 detvilsiat cos=p3 2 og sin=12 Dengenerelle(reelle)lsningenblirdermed =6 Avinitialbetingelsenefarvi xn=ecosn6+fsinn6hvore;f2r og x1=ep3 x3=e0+f1= 6 2+F12= 12 DensisteligningensieratF= 6,sominnsattidenfrsteligningengir Denspesiellelsningenblirderfor Ep3 2 3= 12()E= 18 p3= 6p3 F(n)=xn= 6p3cosn6 6sinn6 Viderivererforabestemmeekstremalpunktene: F0(n)=6p36sinn6 66cosn =p3sinn6 cosn 6 Avdettefarvividereat F0(n)=0()cosn6=p3sinn6 23

26 Sidencos=p3sinnyaktignar=6eller=76,betyrdetteatvi LsningsforslagvedKlaraHveberg maha detvilsi n6=6 eller n6=76 SidenvivetatF(1)=x1= 12,ogviharatF(7)= F(1)=12(bade Temperaturfunksjonenharaltsaekstremalverdierforn=1ogforn=7. n=1ellern=7 varmestimanednr7. Visetteroppenoversiktovertemperaturenideulikemanedene: cosinusogsinusskifterfortegn),serviatdeterkaldestimanednr1og F(2)= 6p312 6p3 F(1)=x1= 12 F(3)=x3= 6 2= 6p3 F(4)= 6p3 12 6p3 F(5)= 6p3 p =6 2=0 F(7)= F(1)=12 F(8)= F(2)=6p3 F(6)= 6p3( 1) 60=6p3 F(10)= F(4)=0 F(11)= F(5)= 6 F(9)= F(3)=6 Dissepunktenekannamarkeresietkoordinatsystem(gjrdette,ogtegn enkontinuerligtemperaturkurvesomgargjennomalledissepunktene). F(12)= F(6)= 6p3 observereatformelenf(n)kanomskrivespaflgendemate: Kommentar: Vikunneogsahafunnetlsningenutenaderivere,simpelthenveda F(n)= 6p3cosn6 6sinn6 = 12p3 2cosn6+12sinn6 24

27 = 12sin3cosn6+cos3sinn6 LsningsforslagvedKlaraHveberg = 12sin3+n6 gumentet(3+n Detteuttrykketblirminstnarsin(3+n6)erstrst,detvilsinarar- narn=7. sin(3+n 6)erminst,detvilsinarargumentet(3+n 6)erlik2,altsanarn=1.Uttrykketblirstrstnar 6)erlik32,altsa Viskalnnegrenseverdiene. Oppgave4.3.1 a)lim n!18n4+2n 3n4 7=lim n!18n4+2n 3n4 7 =lim n!18+2n3 3 7n4=8+0 b)lim n!13n2 4 2n3+7=lim n!13n2 4 2n =83 =lim n!13n 4n3 2+7n3=0 0 c)lim n!15n3+2n =0 7n 4 =lim n!15n3+2n 13 7n 4 n =lim n!15n n n Oppgave4.3.3 =1 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim n!1(pn+2 pn)=lim n!1(pn+2 pn)(pn+2+pn) =lim pn+2+pn n!1pn+2+pn=lim n+2 n n!1pn+2+pn=02 b)lim n!1pn+pn pn=lim 1 n!1(pn+pn pn)(pn+pn+pn) pn+pn+pn =lim n!1 p n+pn n n+pn+pn=lim n!1 p n+pn+pn =lim n!1 q n 1 +1=lim n!1 r 1+pn n+1! =lim n!1 s 1+1 pn+1!=1+1=2 25

28 Oppgave4.3.4a LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatlimn!1(3 2n)=3vedabrukedenisjon4.3.1.Viskal altsaviseatflgenan=3 2nkonvergerermota=3.Siden maviviseatuansetthvilken">0viblirgitt,kanvinneetnaturlig jan aj=3 2n 3= 2n=2n tallnslikatjan aj=2n<"narn>n.mendetteerlett:vivelger N>2".EtsliktnaturligtallNnnesiflgeArkimedesprinsipp(2.2.6). baren2ntilavreetnaturligtallslikat2n<",detvilsislikat limn!1bn=1ogsomsamtidigoppfyller: Viskalnneeksemplerpaflgerfangogfbngsomerslikatlimn!1an= Oppgave a)limn!1(an bn)=1. Laan=2nogbn=n.Daer b)limn!1(an bn)= 1. n!1(an bn)=lim n!1(2n n)=lim n!1n=1 Laan=nogbn=2n.Daer c)limn!1(an bn)eretendeligtall. n!1(an bn)=lim n!1(n 2n)=lim n!1( n)= 1 Laan=nogbn=n 1n.Daer n!1(an bn)=lim n!1n n+1n=lim n!11n=0 26

29 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Ikapittel5harmangeavoppgaveneetmerteoretiskpregennduer kontinuitet(kap5.1)oggrenseverdi(kap5.4),ogsomillustrererhvordan vanttilfraskolematematikken,ogjegharderforlagtvektpaalage lsningsforslagtiloppgaversominvolvererdeformelledenisjoneneav mankananvendeskjringssetningen(kap5.2)ogekstremalverdisetningen(kap5.3)paulikemater. Oppgave5.1.5 jf(x) f(a)j<". Viminneromatfunksjonenferkontinuerligipunkteta2Dfhvisdet forenhver">0nnesen>0slikatnarx2dfogjx aj<,saer a)viskalviseatf(x)=2x+1erkontinuerligipunktetx=2.foren gitt">0mavinneen>0slikat Vihar jx 2j<=)jf(x) f(2)j<" jf(x) f(2)j=j(2x+1) (22+1)j =2jx 2j =j2x+1 5j Velgervina="2,blir narjx 2j<. jf(x) f(2)j=2jx 2j<2=2"2=" b)viskalviseatf(x)=x2erkontinuerligipunktetx=3.forengitt ">0mavinneen>0slikat Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 3j<=)jf(x) f(3)j<" jf(x) f(3)j=jx2 32j =jx+3jjx 3j =j(x+3)(x 3)j Foraholdefaktorenjx+3junderenfastskrankevelgerviabegrense osstilintervallet(2;4),hvorjx 3j<1,slikatjxj<4ogdermed 27

30 jx+3j<7.hvisviitilleggsrgerforatfaktorenjx 3j<"7,farvi LsningsforslagvedKlaraHveberg ialt Detteblirflgeligoppfyltforallexslikatjx 3j<dersomvi jf(x) f(3)j=jx+3jjx 3j<7"7=" e)viskalviseatf(x)=1xerkontinuerligipunktetx=1.forengitt ">0mavinneen>0slikat velger=min(1;"7). Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 1j<=)jf(x) f(1)j<" jf(x) f(1)j=1x 1=jx 1j mavisrgeforatxholdersegunnaorigo.dettekanvifatilved Foratdenneskalblimindreenn"narxliggerien-omegnom1, jxj frstavelge1=12.dablirjxj>12dersomjx 1j<1,slikat Srgervisamtidigforatjx 1j<2="2,farvividereat jf(x) f(1)j=jx 1j jxj <2jx 1j Setterviderfor=min(1;2)=min(12;"2),harvinaialtvistat jf(x) f(1)j<2jx 1j<2"2=" Oppgave5.1.6a jf(x) f(1)j<"forallexslikatjx 1j<. Viskalviseat f(x)=x+1forx<0 erdiskontinuerligipunktetx=0.velgervinemligen"slikat0<"<1, x forx0 vilf(x)=x+1>(" 1)+1="forallex2(" 1;0).Mendet mange)iintervallet( ;)slikatjf(x) f(0)j>".altsaerfunksjonen hvorlitenvivelger>0vildetderfornnesenx(faktiskuendelig betyratjf(x) f(0)j=f(x)>"forallexidetteintervallet.uansett diskontinuerligipunktetx=0. 28

31 Oppgave5.2.2a LsningsforslagvedKlaraHveberg Vikanforeksempelvelgex0=1=e,somgirf(1=e)=( lne)+1=e= Viskalviseatf(x)=lnx+xharnullpunktiintervallet(0;1).Siden 1+1=e<0.Sidenf(1)=ln1+1=1>0,ogfunksjonenfer limx!0f(x)= 1,kanvinneenx0iintervallet(0;1)slikatf(x0)<0. (0;1). etnullpunktiintervallet(1e;1)ogdermedogsaidetstrreintervallet kontinuerligiintervallet[1e;1],flgerdetavskjringssetningenatfhar Viskalviseatgrafenetilf(x)=sinxogg(x)=x3skjrerhverandrei Oppgave5.2.3b intervallet[6;3].iendepunkteneavintervalletharfoggverdiene f6=12; f3=12p3<1; g6=63<463=233=8 g3=33>1 27<12 Sidenf(6)>g(6),f(3)<g(3)ogbeggefunksjoneneerkontinuerlige iintervallet[6;3],samagrafeneskjrehverandrevedkorollar5.2.2i Kalkulus. Laf(x)=tanxogg(x)=x.Daharvi Oppgave5.2.4 f34=1<34=g34 f4=1>4=g4 Viseravengur(tegngrafenselv!)atdetikkennesnoetallc2(4;34) slikatf(c)=g(c).detteerlikevelikkeistridmedkorollar5.2.2,da funksjonenfikkeerkontinuerligiintervallet(denerdiskontinuerligfor Oppgave5.2.6 x=2). Viskalviseatethvertpolynomavoddegradharminstenreellrot.La f(x)=anxn+an 1xn 1+a0 vreetpolynomavgradn,detvilsiatan6=0.hvisneretoddetall, =xnan+an 1 x ++a0 xn vilfaktorenxniuttrykketovenforskiftefortegnmedx.fortilstrekkelig 29

32 storeverdieravjxjvilfaktoreniparenteshasammefortegnsomdet LsningsforslagvedKlaraHveberg vokser.detnnesderforet(stort)tallx0>0slikatf(x0)ogf( x0) harmotsattefortegn.(debehverikkederforvremotsattlikestore.) frsteleddetan,idetdevrigeleddeneiparentesengarmotnullnarjxj Sidenfunksjonenferkontinuerligpaintervallet[ x0;x0],hardenet Oppgave5.2.7 nullpunktiintervallet( x0;x0)iflgeskjringssetningen. Nestedagstarterhunnedstigningenklokken7ogernedeklokken15. Enfjellklatrerstarterfrabakkenklokken7ognartoppenklokken15. a)viskalviseatdetnnesetklokkeslettderhunerlikehytoppebegge dager.vilarfjelletshydevreh.vilarsaf(t)staforklatrerens hydeoverbakkenvedetklokkesletttunderoppstigningenogg(t) funksjonsgrafeneskjrehverandreforenverdit02(7;15)iflge ogsidenf(7)=0<h=g(7)ogf(15)=h>0=g(15),ma hydenundernedstigningen.beggefunksjoneneerkontinuerlige, b)naantarviathunbegynnernedstigningenklokken10istedenfor7, oppevedklokkeslettett0beggedager. korollar5.2.2tilskjringssetningen.detbetyrathunerlikehyt klokken15,erhunderklokken16ogsa,savimahaf(16)=h> denfrstedagen,maf(10)<h=g(10).ogsidenhunnartoppen ogathunernedeklokken16.sidenhunikkeeroppefrklokken15 0=g(16).Pasammematesomipunkta)kanviderfortrekke klokkeslettt12(10;16)beggedager. denkonklusjonathunogsaidettetilfelleerlikehytoppevedet Viskalviseatenkontinuerligfunksjonf:[0;1]![0;1]haretkspunkt, Oppgave5.2.8 detvilsiatdetnnesenx2[0;1]slikatf(x)=x. antarverdieriintervallet[0;1],harviatf(0)0=g(0)ogf(1) 1=g(1).Daf(ogg)erkontinuerlige,nnesdetvedkorollar5.2.2en Lag:[0;1]![0;1]vreidentitetsfunksjoneng(x)=x.Sidenf Oppgave5.3.2 x2[0;1]slikatf(x)=g(x),altsaf(x)=x. a)sideng(x)=xerkontinuerligforallex,blirf(x)= kontinuerligforallex6=0iflgesetning5.1.2.funksjonenfer dermedkontinuerligihelesittdenisjonsomrade(saferkontinuerlig g(x)=1x 1 iflgedenisjon5.1.8). 30

33 b)sidenlimx!0 f(x)= 1oglimx!0+f(x)=1,erikkefunk- LsningsforslagvedKlaraHveberg mums-ellerminimumspunkter.dettestriderikkemotekstremal- verdisetningen,sidenfikkeerdenertforx=0,ogdermedikkeer sjonenbegrensetpaintervallet[ 1;1]oghardermedingenmaksi- Oppgave5.3.4 denertpaheleintervallet[ 1;1]. Viantaratf:(a;b)!Rerkontinuerligogatgrenseverdieneavf(x) narxnrmersegaovenfraogbnedenfraeksisterer.viskalviseat ferbegrenset.sidenlimx!a+f(x)oglimx!b f(x)eksisterer,kanvi utvideftilenkontinuerligfunksjondenertpadetlukkedeintervallet[a;b]slikatf(a)=limx!a+fogf(b)=limx!b f.dermedkan minimumsverdi(er)pa[a;b].dettebetyratferbegrensetpa[a;b],og vibenytteekstremalverdisetningensomsikreratfharmaksimums-og Oppgave5.3.5 dermedogsabegrensetpadetmindreintervallet(a;b). Antaatf:[a;b]!Rerkontinuerlig.Viskalviseatverdimengden vedaviseinklusjonbeggeveier. Vf=ff(x):x2[a;b]geretlukket,begrensetintervall. InklusjonenVf[fmin;fmax]eroppfyltperdenisjonavminimum ViviseratVferlikdetlukkede,begrensedeintervallet[fmin;fmax] kontinuerligefunksjonenfoppnarsittminimumogmaksimumpadet lukkede,begrensendeintervallet[a;b],safminogfmaxermedivf.og ogmaksimum.padenannensidesikrerekstremalverdisetningenatden minimumspunktettilfogpositivimaksimumspunktet,ogharderforet ermedivf:denkontinuerligefunksjoneng(x)=f(x) derjonegativi skjringssetningensikrerossatalleverdierdmellomfminogfmaxogsa harviogsavistdenomvendteinklusjonenvf[fmin;fmax]. mellomliggendenullpunktc.mendetbetyrnettoppatf(c)=d.dermed Oppgave5.4.2 a)viskalviseatlimx!23x=6.gitten">0maviprodusereen b)viskalviseatlimx!3x2=9.gitten">0maviprodusereen avelge="3,idetvidafarj3x 6j=3jx 2j<3=3"3=". >0slikathvisjx 2j<saerj3x 6j<".Detteoppnarvived x=h+3,slikatvifar >0slikathvisjx 3j<saerjx2 9j<".Lah=x 3.Daer jx2 9j=j(h+3)2 9j=jh2+6h+9 9j=jhjjh+6j 31

34 Herserviatdenandrefaktorenjh+6jholdersegmindreenn7 LsningsforslagvedKlaraHveberg dersomvivelgerjhj<1.srgervisamtidigforatdenfrstefaktoren jhjermindreenn"7,vilproduktetholdesegmindreenn".begge c)viskalviseatlimx!4px=2.gitten">0mavinneen>0 jhj=jx 3j<,saerjx2 9j=jhjjh+6j<7="77=". dissekravenebliroppfyltdersomvivelger=min(1;"7).forhvis kvadratsetningserviat slikathvisjx 4j<saerjpx 2j<".Vedhjelpavtredje Velgervi=2",serviathvisjx 4j<saer jpx 2j=j(px 2)(px+2)j jpx+2j =jx 4j jpx+2j<jx 4j 2 jpx 2j<jx 4j 2 <2" Oppgave =" a)lim x!07x2+4x4 3x3 2x2=lim x!07+4x2 3x 2=7+0 b)lim x!18x2+2x+7 px 4x2 =lim x!18+2x+7 px0 2= 72 x2 4 x2=8+0+0 c)lim x!1(px2+3x x)=lim x!1(px2+3x x)(px2+3x+x) px2+3x+x 0 4 = 2 x!1x2+3x x2 =limpx2+3x+x=lim x!1px2+3x+x qx2+3x 3+1=lim x!1q1+3x+1=32 3 d) x!4px 2 limx 4=lim(px 2)(px+2) x!4px+2= 1 2+2=14 1 Viskalavgjreomfunksjonen Oppgave5.4.4a f(x)=x2+2 4cos(x)forx>1 forx1 32

35 erkontinuerligipunktetx=1.viserpadeensidigegrensene LsningsforslagvedKlaraHveberg x!1 f(x)=f(1)=12+2=3 Sidenlimx!1 f(x)6=limx!1+f(x),eksistererikkedentosidigegrensen x!1+f(x)=lim x!1+ 4cos(x)= 4cos=4 limx!1f(x),safunksjonenferikkekontinuerligix=1. 33

36 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel6 LsningsforslagvedKlaraHveberg kapittel,mendeillustrererlikevelnyeregnemessigeteknikkerdetkan Ikapittel6minneroppgavenemeromdeduervanttilfraskolematematikkenidenforstandatdeermindreteoripregedeenniforegaende vrelurtafamedseg.demestteoripregedeoppgaveneerknyttettil seksjon6.2,oggirnyttigeinnblikkiulikeanvendelseravmiddelverdisetningen. Viskalbrukelogaritmiskderivasjon(setning6.1.9). Oppgave6.1.3 a)f(x)=x2cos4xex lnjf(x)j=lnjx2cos4xexj=lnjx2j+lnjcos4xj+lnjexj D[lnjf(x)j]=2x+ =2lnjxj+4lnjcosxj+x =2x 4tanx+1 cosx( sinx)+1 4 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j]=x2cos4xex2x 4tanx+1 b)f(x)=(sinx)117ex2tanx lnjf(x)j=lnj(sinx)117j+lnjex2j+lnjtanxj D[lnjf(x)j]=117lnjsinxj+x2+lnjtanxj =1 17cosx sinx+2x+ tanx 11cos2x 1 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] =(sinx)117ex2tanx1 sinxcosx 17cosx sinx+2x+ sinxcosx d)f(x)=x2cosxlnx 1 D[lnjf(x)j]=2(cosx)0lnx+2cosx(lnx)0+(lnjlnxj)0 lnjf(x)j=lnjx2cosxlnxj=lnjx2cosxj+lnjlnxj =2cosxlnx+lnjlnxj 34

37 = 2sinxlnx+2cosxLsningsforslagvedKlaraHveberg f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] x +1 =x2cosxlnx2cosx lnx1x x 2sinxlnx+ xlnx 1 Ienfartskontrollmalerpolitietatenbilistbrukert=25sekunderpa enstrekningsomers=500meter.deterenusikkerhetpat=1 Oppgave6.1.6 usikkerhetenimalingenavfartenv(t)=st,farviatdener sekunditidsmalingen.brukerviteknikkenfraeksempel6.1.7tilaansla detvilsienusikkerhetpa0,8m/s. vv0(t)t= s t2t= = 0;8 ViskalviseatD[x2]=2xdirektefradenisjonenavdenderiverte. Oppgave6.1.9 D[x2]=lim x!0(x+x)2 x2 =lim x!0x2+2xx+(x)2 x2 x!02xx+(x)2 =lim x!0(2x+x)=2x Viskalviseatf(x)=2 x3ogg(x)=ln(2+x)harnyaktigett Oppgave6.2.3 f(1)=1<ln3=g(1),sahargrafeneminstettskjringspunktiintervallet[0;1]. Sidenbeggefunksjoneneerkontinuerligeogf(0)=2>ln2=g(0), skjringspunktiintervallet[0;1]. kangrafenehahystett ogdermednyaktigett skjringspunkti slikatferstrengtavtagendeoggerstrengtvoksendei[0;1].derfor Naerf0(x)= 3x2<0ogg0(x)= 2+x>0forallex2(0;1), 1 Oppgave6.2.5 intervallet[0;1]. Vilarf(x)=x 4x.Daerf( 1)= 1+4=3ogf(4)=4 1=3, ( 1;4),erikkeistridmedRollesteorem,fordif(x)ikkeerderiverbar strengtpositivforallex6=0.atf0ikkeharnoenullpunktiintervallet d.v.s.f( 1)=f(4).Deriverervifunksjonen,serviatf0(x)=1+4x2er (ikkeengangdenert)forx=0. 35

38 Oppgave6.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatdetmellom0ogettallxalltidnnesencslikatsinx= nnesdetvedmiddelverdisetningenenc2(0;x)slikat f(x)=sinx.daferkontinuerligogderiverbarpaintervallet[0;x], xcosc.detteeropplagtriktigforx=0,saviantaratx6=0.visetter f0(c)=f(x) f(0) x 0 =sinx sin0 x 0 =sinx Ogdajcoscj1,harviialt Sidenf0(c)=cosc,girdetteatcosc=sinx x,detvilsiatsinx=xcosc. x gjennomfrerviistedenresonnementetmedintervallet[x;0]. Ifremstillingenovenforharvistilltiendeantattatx>0.Dersomx<0, jsinxj=jxcoscj=jxjjcoscjjxj1=jxj slikatln(1+x)=x Viantarx> 1ogskalviseatdetalltidnnesettallcmellom0ogx Oppgave6.2.8 Funksjonenf(x)=ln(1+x)erdenertogkontinuerligforallex> 1. x6=0. 1+c.Detteeropplagtriktigforx=0,saviantarat Vedmiddelverdisetningennnesdetdaencmellom0ogxslikat Sidenviogsahar f0(c)=f(x) f(0) x 0 =ln(1+x) ln1 x 0 =ln(1+x) f0(c)= 1 x girdette ln(1+x) 1+c somerekvivalentmedatln(1+x)= x = 1+c 1 Forx>0erogsac>0,ogdermed11+c 1+c<1.Multiplikasjonmedxgir x negativ)girdaogsaidettetilfelletx 0<1+c<1,slikat1 1+c<x.For 1<x<0erogsa 1<c<0,ogaddisjonmed1gir x 1+c>1.Multiplikasjonmedx(somnaaltsaer ln(1+x)= 1+c<x,slikatvifar forallex> 1. x 36

39 Oppgave6.3.1 LsningsforslagvedKlaraHveberg ViskalbrukeL'H^opitalsregeltilannedeoppgittegrenseverdiene. b)lim a)lim x!0ex 1 x!0sin2x =lim x!02cos2x 1 =21 x x!0ex1=1 1=2 d)lim x!2cosx 2 x=lim x!2 sinx e)lim x!01 cosx x!0sinx 1 3x2=lim =1 g)lim x!0sinx x x!0cosx x3 =lim x!0cosx 1 =lim x!0 sinx 6x 6x eksistererikke. =lim x!0 cosx Oppgave = 16 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim x!0+x2lnx=lim x!0+lnx 1x2L'H^op = lim 2 1x d)lim x!0+xx=lim x!0+ elnxx=lim x!0+exlnx=elimx!0+xlnx=e0=1 x3=lim x!0+ 12x2=0 Mellomregning: x!0+xlnx=lim lim x!0+lnx 1xL'H^op = x!0+ lim 1 1xx2=lim x!0+ x=0 e)lim x!11+sin1xx=lim Mellomregning: x!1exln(1+sin1x)=elimx!1xln(1+sin1x)=e x!1xln1+sin1x=lim lim L'H^op x!1ln(1+sin1x) = x!1( 1 lim x2cos1x)=(1+sin1x) =lim x!11+sin1x= cos1x 1x2 1+sin0=1 cos0 Oppgave6.3.7 x!0cosx lim x2 sinx x3=lim x!0xcosx sinx x3 37

40 L'H^op =lim x!0cosx xsinx cosx 3x2 LsningsforslagvedKlaraHveberg =lim x!0 xsinx = 13lim x!0sinx x = 13 3x2 x!0(ex+sinx)1x=lim Oppgave6.3.9 Mellomregning: x!0 eln(ex+sinx)1x=elimx!0ln(ex+sinx) x =e2 x!0ln(ex+sinx) lim x =lim L'H^op =lim x!0ex+cosx x!0(ex+cosx)=(ex+sinx) ex+sinx= =2 1 Viskalnnetalletaslikat Oppgave x!1ax+1 lim x=pe limn!1 1+1nn=e.Vistartermedaomformeuttrykket Foraunngaformyeregning,kanvibenytteossavdenvelkjentegrensen ax+1 x=1+1 x= 1+1 ax ax!1a Benyttervinaatlimx!1 1+1 x!1ax+1 limaxax=e,farvi x=e1a Vinskeraltsaate1a=pe=e12,detvilsiatvimahaa=2. Alternativlsning: Vikunneogsahaomskrevetuttrykketvedhjelpaveksponentialfunksjonenpavanligmate,forderetterabrukeL'H^opitalpaeksponenten: Mellomregning: x!1ax+1 lim axx=lim x!1eln(ax+1 ax)x=elimx!1xln(ax+1 ax)=e1a somvedsubstitusjonent=1xblir x!1xlnax+1 lim ax=lim x!1ln(1+1 x 1ax) 38

41 =lim t!0+ln(1+ta) LsningsforslagvedKlaraHveberg t L'H^op =lim t!01 Frae1a=peserviata=2. 1+ta1a 1 =1a Viskalavgjreomfunksjonenfdenertved Oppgave f(x)=1 cosx erkontinuerligogderiverbarinull.viserpadeensidigegrensene x2+12 forx0 forx>0 x!0+f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0+1 cosx x3 1 2x=lim x!0+2 2cosx x2 x!0+2sinx 2x 6x2 L'H^op = x!0+2cosx 2 12x2x3 og L'H^op = x!0+ 2sinx lim 12 =0 x!0 f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0 x limx!0f(x) f(0) Sidendeensidigegrenseneerlike,eksistereraltsadentosidigegrensen x =0 x=0.mendermederfogsakontinuerligix=0vedsetning6:1:9. x 0 =f0(0),slikatfunksjonenfblirderiverbaripunktet Viskalnneeventuelleasymptoterforfunksjonen Oppgave6.5.5 f(x)=xln(x2) 1 =2xlnx 1 =2x 1 blirfunksjonensdenisjonsomradedf=(0;1)[(1;1).funksjonener Sidenlnxbareerdenertforpositiveverdieravx,ogblirnullforx=1, vertikaleasymptotererx=0ogx=1. kontinuerligihelesittdenisjonsomrade,sadeenestekandidatenetil Laossfrstunderskehvasomskjernarxnrmerseg0ovenfra: Altsaharviingenvertikalasymptoteforx=0. x!0+f(x)=lim x!0+2x 1 lnx=0 39

42 Viunderskersahvasomskjernarxnrmerseg1.Herblir LsningsforslagvedKlaraHveberg Dermedharvienvertikalasymptoteforx=1. x!1f(x)=lim x!12x 1 lnx=1 Vibrukermetodeni6.5.5foranneeventuelleskraasymptoter. Sidendennegrenseneksisterer,regnervividereut x!1f(x) lim x =lim x!12 xlnx=2 1 Detteviseratlinjeny=2xerenskraasymptoteforfunksjonen. x!1 f(x) 2x=lim x!1 1 lnx=0 40

43 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel7 LsningsforslagvedKlaraHveberg tegnegurerogsettenavnpaukjentestrrelser.oppgave7.3.7illustrerer hvordandukananslaometestimatgittvednewtonsmetodeerforlite Iseksjon7.1og7.2lrerdualseoppgaverhvordetkanlnnesega injektiv,ognnedenomvendtefunksjonenogdensderiverte.iseksjon 7.5og7.6blirdukjentmedcotangensogarcusfunksjonene,ogfarse ellerforstort.iseksjon7.4fardutreningiaviseatenfunksjoner eksemplerpapraktiskbrukavdem(f.eksioppgave7.6.14). Viskallageenrektangulrinnhegninginntilenlave,ognskeratinnhegningenskalhastrstmuligareal.Viharmaterialertil50metergjerde Oppgave7.1.1 avrexmeterlange,madensistesidenvre50 2xmeterlang,slik atarealetblira(x)=x(50 2x)=50x 2x2; somskalutgjretreavsideneiinnhegningen.velgervitoavsidenetil Viderivererforannedetmaksimalearealet: x2[0;25] ViseratA0(x)=0forx=12:5.ItilleggerA0(x)>0forx<12:5og A0(x)<0forx>12:5,sax=12:5eretmaksimumspunktforA(x).Det A0(x)=50 4x strstearealetblirda Oppgave7.1.3 A(12:5)=5012:5 2(12:5)2=312:5;detvilsi312:5m2: enkeltgeometriskargumenttilalseoppgaven.lac0vrespeilingenav bliminstmulig(segurtiloppgavenikalkulus).herkanvibenytteet ViskalnneuthvorBskalliggeforatavstandenfraAtilCviaBskal padennelinjafore.daerjbcj=jbc0jsidendetorettvinklede fracnedpadennelinjafordogkallfotpunktetfornormalenfraaned Comdennedrehorisontalelinjenpaguren,kallfotpunktetfornormalen trekantenebdc0ogbdcerkongruente.mendetbetyratavstanden detvilsinartrekanteneaebogc0dberformlike(vinklenebeaog avstandenerkortestnarbliggerpadenrettelinjenmellomaogc0, fraatilcviaberlikavstandenfraatilc0viab.densistnevnte BDC0errette,ogvinkleneEBAogDBC0ertoppvinkler).Detbetyrat 41

44 vimaha LsningsforslagvedKlaraHveberg altsa jebj jaej=jdbj x2=9 x jc0dj 2x=9 x 4 AvstandenfraAtilCviaBbliraltsaminstnarviharx=3. sidekantenharlengdel=9.larvreradiusisirkelenoghvre Viskalnnedetmaksimalevolumettilenrettsirkulrkjeglehvor Oppgave7.1.5 formelharvidaatr2=l2 h2.settervidetteinniformelenfor volumetvavkjeglen,farvi hydentilkjeglen(segurentiloppgavenikalkulus).vedpythagoras Viderivererforanneekstremalverdier: V0(h)=3( 2h)h+(L2 h2)1 V(h)=3r2h=3(L2 h2)h SetterviinnL=9,farvialtsa =3( 3h2+L2)=L2 3 h2 V0(h)=92 ViseratV0(h)=0narh=p27=3p3.Sidenhydenhikkekan 3 h2=(27 h2) punktforv(h).detmaksimalevolumettilkjeglenblirdermed 0<h<3p3ogV0(h)<0forh>3p3,blirh=3p3etmaksimums- vrenegativ,erenestemulighetath=3p3.daviharatv0(h)>0for Oppgave7.2.1 V(3p3)=3(92 (3p3)2)3p3=(81 27)p3=54p3 (tegngur!).vilarhydentiltoppenavstigenpaettidspunkttvre Viharen4meterlangstigesomstaropptilenveggpaattunderlag 42

45 x(t),mensavstandenmellomfotenogveggenery(t).sammenhengen LsningsforslagvedKlaraHveberg mellomxogyerdaiflgepythagorasformelgittved ogderivasjonavdenneligningenmedhensynpatidentgir x(t)2+y(t)2=16 Fotenavstigenglirvekkmedenkonstanthastighetlik0.5m/s.Vier interessertidetyeblikkethvorx=2,y=p42 22=2p3ogy0(t)=12, 2x(t)x0(t)+2y(t)y0(t)=0 ogsettervidetteinniligningenovenfor,farvi detvilsi 4x0(t)+2p3=0 Toppenavstigenbevegersegaltsamotbakkenmedenhastighetpa0.87 x0(t)= 12p3 0:87 meterpersekundidetdenbennerseg2meteroverbakken. vannmedhastigheten100cm3/s.kjeglenharenhydepa40cmsom Enrettsirkulrkjeglemedvertikalakseogmedspissennedfyllesmed Oppgave7.2.2 erlikradienitoppaten.radienivannetstoppatevedenvannhyde herdermedlikh,ogvolumetavvannetikjeglenveddennehydenblir Derivererviuttrykketmedhensynpatident,farvi V=13h3 detvilsi V0(t)=h(t)2h0(t) h0(t)=v0(t) ForV0(t)=100ogh(t)=10girdette h(t)2 Narvannetharenhydepa10cm,stigerdetaltsamedenhastighet h0(t)= =10:32 omtrentlik0.32cm/s. 43

46 Oppgave7.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg enhastighetpa1m/s,ogskalnneuthvorfortdenopplystelengdenav Enlommelyktlyseroppensektorpa60grader.Vigarmotetgjerdemed gjerdetminker.vilaravstandenfragjerdetvrey(t),mensdetopplyste omradetharlengdex(t).daharvi Vedaderiverefarvi y(t)=tan30()x(t)=2y(t)tan30=2y(t)13p3 Sidenvigarmotgjerdetmedhastigheteny0(t)=1,minkerlengdenav x0(t)=23p3y0(t) detopplysteomradetmed23p3m/s. Oppgave7.3.1 a)viskalbrukenewton'smetodetogangerforanneettilnrmet x0=1:5.dennestetilnrmelsenergittved nullpunktforf(x)=x5+3x 7iintervallet[1;2].Startverdier oganvendervimetodenengangtilmednystartverdix1,nnervi x1=x0 f(x0) f0(x0)=x0 x50+3x0 7 5x40+3 1:320 (Deteksaktenullpunkteter1.26medtodesimalersnyaktighet.) x2=x1 x51+3x1 7 5x41+3 1:27 Oppgave7.3.7 a)viskalstuderegrafentilfunksjonenf(x)=epx 3.Sidenf(1)= e 3<0,f(2)=ep2 3>0oggrafenerkontinuerlig,hargrafen Dermedmadenhanyaktigettnullpunktidetteintervallet. funksjonenerstrengtvoksende,kandenhahystettnullpunkt. minstettnullpunktiintervallet(1;2)vedskjringsetningen.siden b)vibrukernewton'smetodeengangmedstartverdix0=1ogfar x1=x0 f(x0) f0(x0)=1 epx0 3 2px0epx0=1 2e 3 1 e =6 e Sidendendobbeltderiverteerpositiv(sjekkdetteselv!)forx> e 1:2073 1,ergrafenkonveksiintervallet(1;2)ogliggerderforiheledette 44

47 intervalletpaoversidenavgrafenstangentipunktetx0=1.spesielt LsningsforslagvedKlaraHveberg detbetyratf(x1)>0.sidenf(x0)=e 3<0,magrafenskjre gjelderdetteiskjringspunktetx1mellomtangentenogx-aksen,og tilfelleerstrreennx0.(deteksaktenullpunkteter1.2069medre tilnrmedeverdienx1fornullpunkteterforstor,sidenx1ivart x-aksenmellomx0ogx1iflgeskjringssetningen.detbetyratden Oppgave7.4.1 desimalersnyaktighet.) Viskalviseatfunksjonenerinjektivognnedenomvendtefunksjonen. b)f(x)=x2ogdf=[0;1). Denderiverteerf0(x)=2x>0forx2(0;1).Sidenfunksjonen hensynpax.denenestelsningenerx=py,daxskalvrepositiv. inversefunksjonennnesvedalseligningeny=f(x)=x2med erstrengtvoksendepaintervallet[0;1),madenvreinjektiv.den Deninversefunksjonenerdermed c)f(x)=x2ogdf=( 1;0]. f 1(y)=py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x<0forx2( 1;0).Sidenfunksjonen mavihax= py.deninversefunksjoneneraltsa erstrengtavtagendepaintervallet( 1;0],madenvreinjektiv. Vilserigjeny=f(x)=x2medhensynpax,ogdaxnaernegativ, e)f(x)=x2+2x+3ogdf=[ 1;1). f 1(y)= py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x+2>0forx2( 1;1).Sidenfunksjonenerstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1),madenvreinjektiv. VerdimengdentilferVf=[2;1),ogvinnersomtidligeredeninversefunksjonenvedalseligningeny=f(x)medhensynpax: x2+2x+3=y x= 2p4 12+4y Daxskalliggeiintervallet[ 1;1),mavivelgelsningenmedpluss = 1py 2 2 foranrottegnet.deninversefunksjonenbliraltsa f 1(y)= 1+py 2; 45 Df 1=Vf=[2;1)

48 Oppgave7.4.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg Funksjonenf(x)=2xex+1meddenisjonsomradeDf=[ 1;1)er Vilargbetegnedenomvendtefunksjonen,ogskalberegneg0(1).Vihar intervallet( 1;1),slikatfblirstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1). injektivfordidenderivertef0(x)=2ex+2xex=2ex(1+x)erpositivpa apenbart ognnerdermedy=f(x)=2xex+1=1()x=0 g0(1)= f0(0)= 1 2e0(1+0)=12 1 injektivfordidensderivertef0(x)= Funksjonenf(x)=tan2xhardenisjonsomradeDf=( =4;=4)oger Oppgave7.4.5 tildenomvendtefunksjonengipunktetx=1.vihary=f(x)=1nar slikatfunksjonenselverstrengtvoksende.viskalnnedenderiverte cos22xerpositivpadetteintervallet, 2 x==8.dermedblir g0(1)= f0(=8)= 1 2=(12p2)2=14 1 DadenderiverteavcotangensergittvedD[cotx]= 1 Oppgave7.5.2 a)d[cot(x2)]= sin2(x2)d[x2]= 1 sin2(x2) 2x sin2x,harvi b)d[cot2x]=2cotxd[cotx]= 2cotx Oppgave7.5.5 sin2x a)vinedfellerennormalfratoppunktetcitrekantenabcpagrunnkantencdberdacd=asinbogdb=acosb.avdetteflger cotangenssetningen: linjenab,ogkallernormalensfotpunktd.idenrettvinkledetre- b)ientrekantertosiderhenholdsvis10cmog5cmlange,ogden cota=ad CD=AB DB =c acosb mellomliggendevinkelener30.settervic=10,a=5ogb=30, asinb 46

jx + j < 7. Hvis vi i tillegg srger for at faktoren jx j < ", far vi 7 ialt jf(x) f()j = jx + jjx j < 7 " 7 = " Dette blir flgelig ofylt for alle x sl

jx + j < 7. Hvis vi i tillegg srger for at faktoren jx j < , far vi 7 ialt jf(x) f()j = jx + jjx j < 7  7 =  Dette blir flgelig ofylt for alle x sl Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 5 I kaittel 5 har mange av ogavene et mer teoretisk reg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt a a lage lsningsforslag til ogaver

Detaljer

d) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x =

d) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x = Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 far du trening i a lse ulike typer dierensialligninger, og her far du bruk for integrasjonsteknikkene du lrte i forrige kapittel. Men vel

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus Øyvind Ryan. november 4 Innhold Kapittel 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.4.................................

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Lineære differensiallikninger.

Lineære differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 47, i Matematikk 0, Lineære differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 47 Lineære differensiallikninger. Oppgave

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4.1 og 4.2

R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4.1 og 4.2 R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4. og 4.2 405, 406, 4, 43, 49, 420, 422, 424 Versjon: 04..4 405 a) Kjerneregel: f x sin u,u x 2 2x f x cos u 2x 2 2x 2 cos x 2 2x b) Produktregel: uv u

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid: . EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Foreløpig utgave, oktober 2 Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

Fasit, Kap : Derivasjon 2.

Fasit, Kap : Derivasjon 2. Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.

Detaljer

Institutionen för Matematik, KTH

Institutionen för Matematik, KTH Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100 Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.

Detaljer

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser S2 - Kapittel 6 Løsningsskisser I a) Hva kan man si om overskuddet når grenseinntekten er lik grensekostnaden? b) Hva kan man si om produksjonsmengden når enhetskostnaden er lik grensekostnaden? c) Hva

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.

Detaljer

R2 - Eksamen Løsningsskisser

R2 - Eksamen Løsningsskisser R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Oppgave A-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),... - ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k

Detaljer

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015 Plenum Kalkulus Fredrik Meyer. oktober 05 7. Oppgave (7.). Du skal lage en rektangulær innehengning til hesten din. Den ene siden dekkes av låven og på de tre andre sidene skal du bygge gjerde. Hva er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave2014 30stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A =

1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 2 3. 1 4 Svar: λ = 5 med egenvektorer [x, y] T = y[1, 1] T og λ = 1 med egenvektorer [x, y] T = y[ 3, 1] T, begge strengt tatt med y 0. (b)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid: . EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Hva gjør disse skriptene? a) Skriptet lager plottet vi ser i gur 1. Figur 1: Plott fra oppgave 1 a). b) Om vi endrer skriptet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Bokmål Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-5 og MA-38 Emnenavn: Matematikk med anvendelse i økonomi Dato: 2. desember 20 Varighet: 09.00-3.00 Antall sider: 3 +

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer