Størrelse: px
Begynne med side:

Download ""

Transkript

1 K A L K U L U S tilutvalgteoppgaver Lsningsforslag fratomlindstrmslrebok KlaraHveberg ved Matematiskinstitutt UniversitetetiOslo Copyrightc2006KlaraHveberg

2 Forord 2000.Denvilderforgjenspeileoppgaveutvalgetsomblegitttilgruppenedettesemesteret,ogseksjonersomikkevarpensumpadentiden gruppeundervisningenikursetmat100aveduniversitetetioslohsten Detteerensamlinglsningsforslagsomjegopprinneligutarbeidettil (kombinatorikkogbinomialformelen),seksjon4.2(inhomogenedierens- foreksempelikkelagetlsningsforslagtiloppgaveriseksjonene1.3og1.4 vilderforkunneopptresommystiske\hull"idennesamlingen.jeghar densinhomogenedierensialligninger)ogseksjonenefra11.3ogutover, dadissevarfjernetfrapensumdenaktuellehsten.viderevardelerav ligninger),seksjon7.7(hyperbolskefunksjoner),seksjon10.5(annenor- 9.5(kriterierfornaruegentligeintegralerkonvergerer)kraftignedtonet. seksjon3.4(omannegenerellen'tertteravkompleksetall)ogseksjon gruppeundervisningen,tardebareforsegetrepresentativtutvalgtavde oppgavenesomblegitt.jegharvalgtaprioritereoppgaversomillustrerer Sidenlsningsforslagenevarmentsometsupplementtildenordinre sluttminneomatmanikkelrermatematikkvedasepaferdigelsninger tattmedlsningpanoenenkle\drilloppgaver"innimellom.lamegtil hvordanmankangjennomfreetmatematiskresonnement,menharogsa Jeghaperderforatdisselsningsforslageneblirbruktpaenfornuftig somandreharlaget barevedabrynesegpaoppgaveneselv,oppdager mate,ogatdekanvretilnytteunderrepetisjonogforstudentersom manhvorproblemenesitterogkanverdsettelsningennarmanserden. ikkeharanledningtilaflgedenordinregruppeundervisningen. Hvisdunnernoenfeilellertrykkfeililsningsforslagene,erdetnt Blindern,28.mars2001 KlaraHveberg Idennenyeutgavenavlsningsforslageneeroppgavenumrenereviderti henholdtiltredjeutgaveavlreboken. Blindern,30.juni2006 KlaraHveberg i

3 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel1 LsningsforslagvedKlaraHveberg fasitideinnledendeoppgaveneombrukavsummetegnet,ogharderfor barelagetlsningsforslagtilnoenfaoppgaveravdennetypenforaillustrerebytteavsummasjonsindeks.oppgave1.1.11og1.1.13illustrerer Iseksjon1.1regnerjegmedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas etmatematiskresonnement.detsammegjelderinduksjonsoppgavenei seksjon1.2.hergiroppgave1.2.4etenkelteksempelpabrukavinduksjon,mens1.2.6,1.2.7og1.2.18erfaringsmessigvolderstudentenemer brukavaritmetikkensfundamentalteorem,oggirdegntreningiafre hodebry. Detosummeneerlike,sidenbeggebestaravdesammeleddenesummert Oppgave1.1.4c Settervim=3 nfarvi imotsattrekkeflge.vikanogsasedettevedabyttesummasjonsindeks. 4Xn=0anb3 n= 1 Xm=3a3 mbm= m= 1 3X a3 mbm Oppgave1.1.6 b)vedasettek=n+2farvi n= 2(n+2)3n=6X 4X k=0 k3k 2 c)vedasettem=n+1farvi 10Xn=0xny1 n=11x m=1 xm 1y1 (m 1)=11X hvorviidensistesummenhargjeninnfrtnavnetnpasummasjonsindeksen somkanhetehvasomhelst. n=1 xn 1y2 n Oppgave Sidenprimfaktoriseringerentydig,maethvertprimtallpsomgaroppi vilab=p1p2pmq1q2qnvreenprimfaktoriseringavproduktetab. Hvisa=p1p2pmogb=q1q2qnerprimfaktoriseringeravaogb,sa abvreetavprimtallenepiellerqjiprimfaktoriseringentilab.sahvis p=pivilpgaoppia,oghvisp=qjvilpgaoppib. 1

4 Oppgave LsningsforslagvedKlaraHveberg Laalderentilbarnavrex,yogzar.Vivetatxyz=36ogat samtidigskriveoppsummenavdissetretallene. nneallemateraskrive36=12233sometproduktavtretallog summenavbarnasaldererlikhusnummerettilhusetdebori.laoss 36= = = = = =38 36=229 36=166 36= = = =14 Sidenvenninnenikkekunneavgjrealderenpabarnaselvomhunkjente 36=334 36= = =11 summenavaldrenederes(dvshusnummeret),madennesummenhavrt 13;alledeandresummenefremkommerpaenentydigmateslikatvenninnenvillehavissthvaalderentilbarnavar.Barnamaaltsavreenten alderentilbarnavre2,2og9ar. 2,2og9areller1,6og6ar.Sidendetfanteseteldstebarn,sama Viskalviseatformelen Oppgave1.2.4 (Pn) i=1 nx erriktigforallenaturligetalln. i(i+1)= 1 n+1 n i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersann,siden 1Xi=1i(i+1)= 1 1(1+1)=12= ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet (Pm+1) bestardaiaviseatogsapm+1ersann,detvilsiat X Viharm+1 i=1 i(i+1)=m+1 1 X m+2 i=1 i(i+1)=mx 1 i=1 i(i+1)+ 1 (m+1)(m+2) 1 2

5 somiflgeinduksjonsantagelsenblir LsningsforslagvedKlaraHveberg = =m(m+2)+1 m+1+ (m+1)(m+2)=m2+2m+1 m 1 = (m+1)(m+2)=m+1 (m+1)2 IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1blirsanndersomPmersann. m+2 Viskalvisepastanden Oppgave1.2.6 (Pn) i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersannsiden1(12+5)=6,som erdeleligmed6. n(n2+5)erdeleligmed6forallen2n: ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet bestariaviseatdamaogsapm+1vresann.vihar (m+1)[(m+1)2+5]=(m+1)(m2+2m+6) =(m+1)(m2+5+2m+1) Vedinduksjonsantagelsenerdetfrsteleddetm(m2+5)deleligmed 6,ogdetsisteleddet6eropplagtogsadeleligmed6.Detgjenstar =m(m2+5)+3m2+3m+6 vilsiatm(m+1)erdeleligmed2.mendetteeroppfylt,sidenett avtallenemogm+1mavreetpartallogaltsadeleligmed2. derforbareaviseat3m2+3m=3m(m+1)erdeleligmed6,det VedinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1ersanndersomPmersann. Viskalvisepastanden Oppgave1.2.7 (Pn) i)visjekkerfrstforn=1:p1ersannsiden 2n+2+32n+1erdeleligmed7forallen2N: somerdeleligmed =23+33=35=75 3

6 ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet LsningsforslagvedKlaraHveberg (Pm+1) bestariaviseatdamaogsapm+1vresann,detvilsiat Vihar2(m+1)+2+32(m+1)+1=2m+3+32m+3 2(m+1)+2+32(m+1)+1erdeleligmed7 =22m+2+932m+1 =22m+2+(2+7)32m+1 =22m+2+232m+1+732m+1 Iflgeinduksjonsantagelsener2m+2+32m+1deleligmed7,slikat =2(2m+2+32m+1)+732m+1 leddet732m+1apenbartogsaerdeleligmed7,flgerdetathele detfrsteleddetisummenovenforerdeleligmed7.sidendetandre IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. summenerdeleligmed7,detvilsiatpm+1blirsann. Viskalnnefeileniflgende\induksjonsbevis"forpastanden Oppgave Bevisforsk: (Pn) \Ienhversamlingavnpersonererallelikedumme." ii)antasaatpkersannforenk2n.vimaviseatdaerogsapk+1 i)forn=1harvibareenperson,somopplagterlikedumsomseg selv,sap1ersann. dissepersoneneslikatvistarigjenmedengruppepakpersonersom sann,detvilsi:\ienhversamlingpak+1personersaerallelike vedinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervideretterutenav dumme".viseraltsapaengruppemedk+1personer.fjernenav Mendamaalledek+1personenevrelikedumme,ogbeviseter personersomogsamavrelikedummeiflgeinduksjonsantagelsen. dissepersonenemeddensistepersonen,farviennygruppepak Feilibevisforsket:Foratpastandenskalgjeldeforallen2Nma viiinduksjonstrinnetii)haetresonnementsomholderforetvilkarlig ferdig. nrmeretittpaoppbygningenavresonnementet:vistarteraltsamed tilfelletk=1,ogfungererbarefork2.forasedette,skalvitaen naturligtallk1.menresonnementetvibenytterbrytersammeni 4

7 ensamlingpak+1personersomvinskeraviseerlikedumme.fjerner LsningsforslagvedKlaraHveberg vifrstenavdissepersonene,starviigjenmedendelmengdem1pa viennydelmengdem2pakpersonersomiflgeinduksjonsantagelsen utenavpersoneneim1meddenpersonensomblefjernetfrst,far kpersonersomiflgeinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervisa ogsaerlikedumme.\beviset"konkludererderettermedatalledek+1 denneslutningen,basererviossegentligpaatdetnnesenpersonp personenevistartetmedmavrelikedumme,menforakunnetrekke somermedibeggedetodelmengdenem1ogm2.detunderliggende resonnementeternemligatsidenperlikedumsomallepersoneneim1 personeneim2. (PerjoogsamediM2),saerallepersoneneiM1likedummesomalle (PerjoselvmediM1),ogdessutenlikedumsomallepersoneneiM2 viljomengdenem1ogm2blitodisjunktesamlingerpak=1personer. Altinduksjonsantagelsendasieross,erathveravdetopersoneneerlike Detsisteresonnementetbrytersammennark=1:Idettetilfellet personenevistartetmedmavrelikedumme. im1ogim2,kanviikkeutfradettekonkluderemedatdek+1=2 dumsomsegselv,mensidendetikkennesnoenpersonsomermedbade 5

8 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel2 LsningsforslagvedKlaraHveberg kombinerebrukavtallverdi,trekantulikhetenoginduksjon(oppgave2.1.9 gave2.1.5)ogenkeltreningiafrematematiskeresonnementerveda Iseksjon2.1farduvelseialseulikheterhvortallverdierinngar(opp- ladegavskrekkeavatenoppgavetekstbegynnermed\visat..."du farytterligeretreningienkelmatematiskargumentasjongjennomoppgaveneomrasjonaleogirrasjonaletalliseksjon2.2.herbrdumerkedeg og2.1.10).oppgave2.1.6og2.1.7ergodeeksemplerpaatduikkebr strategienvedkontrapositivebevisogbevisvedmotsigelse.oppgavene peoppgavenesomblegittfradettekapittelet(oppgave2.3.6blebaregitt tyngreformangestudenter,ogjegharderforlagetfasittilallegrup- omsupremumoginmumiseksjon2.3falleristartfasenerfaringsmessig Oppgave2.1.5 somentilleggsoppgavefordesomhaddelystpaenekstrautfordring). a)foralseulikhetenjx 2j<jx+3jbenytterviossavdetfaktum atjaj<jbj()a2<b2.flgendeutsagnblirdermedekvivalente. 4x+4<6x+9 (x 2)2<(x+3)2 jx 2j<jx+3j 5<10x b)ulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisogbarehvisviharenten x> 12 erekvivalentmedatjx 1j>p17,detvilsiatx 1>p17eller x2 2x 8>8ellerx2 2x 8< 8. Denfrsteavdisseulikhetenekanskrivessom(x 1)2>17,hvilket atjx 1j<1,detvilsiat 1<x 1<1,altsaerx2(0;2). Denandreulikhetenkanskrivesjx 1j2<1,somerekvivalentmed x 1< p17,altsaatx2( 1;1 p17)[(1+p17;1). Ialtharvidermedatulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisog Oppgave2.1.6 barehvisx2( 1;1 p17)[(0;2)[(1+p17;1). Perdenisjonavabsoluttverdi(side62iKalkulus)harvi jxj=nxforx0 xforx<0 6

9 Fraskolematematikkenhuskerviatkvadratrotentilettallaerdetpositivetalletsomharkvadratlika.Mendetbetyrat LsningsforslagvedKlaraHveberg Avdenisjoneneflgerdetdermedatjxj=px2. px2=nxforx0 xforx<0 Identitetenjxyj=jxjjyjflgeravoppgave2.1.4,idetvihar Oppgave2.1.7 Oppgave2.1.9 jxyj=p(xy)2=px2py2=jxjjyj Viskalviseatforalletallx,yogzsaer Smuglerviinnziuttrykketogbenyttertrekantulikhetensomsierat ja+bjjaj+jbj,farvi: jx yjjx zj+jz yj somviskullevise. jx yj=jx z+z yj=j(x z)+(z y)jjx zj+jz yj Viskalvisevedinduksjonpanat Oppgave VibetegnerutsagnetovenformedPn.DaerP1opplagtsannsiden forallereelletalla1;a2;:::;an. ja1+a2++anjja1j+ja2j++janj AntasaatPmersann,detvilsiat ja1jja1j VimaviseatdaerogsaPm+1sann.Benyttervitrekantulikhetenifrste skrittoginduksjonsantagelseniandreskritt,farvi ja1+a2++amjja1j+ja2j++jamj AltsaerPm+1sanndersomPmersann. j(a1+a2++am)+am+1jja1+a2++amj+jam+1j Induksjonsprinsippetsikrerdaatformelengjelderforallen2N. ja1j+ja2j++jamj+jam+1j 7

10 Oppgave2.2.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg b)ibrken2 7p2 a)brken7=3 (setning2.2.1). 28=5errasjonal,sidenbadetellerenognevnerenerrasjonale detrasjonaletallet2ogdetirrasjonaletallet7p2(produktetav etrasjonaltogetirrasjonalttallerirrasjonalt)),mensnevnerener 4 ertellerenirrasjonal(sidendenerendierensmellom c)sidendierensenmellomtoirrasjonaletallnoengangerbliretrasjonalttallogandregangeretirrasjonalttall,maviomformeuttrykket ogsehvavifar. rasjonal.iflgesetning2.2.2erdabrkenselvirrasjonal. Dierenseneraltsarasjonal. 3p2 61p2 4=3p2 6 p2+24=24 d)enbrkhvorbadetellerenognevnerenerirrasjonale,kannoen gangervrerasjonalogandregangerirrasjonal,savimaomforme brkenogsehvavifar. 3+p2 3 p2= (3 p2)(3+p2)=9+6p2+2 (3+p2)2 9+2 =11+6p2 (setning2.2.2). Herertellerenirrasjonalognevnerenrasjonal,sabrkenerirrasjonal e)somipunktd)erbadetellerenognevnerenirrasjonale,saviomformerbrken ogseratdenerrasjonal. 4(3+p2)=14 Oppgave2.2.5 a)detergaltatsummenavtoirrasjonaletallalltiderirrasjonal. b)detersantathvisaerirrasjonal,saer adetogsa. Moteksempel:Summenp2+(3 p2)=3avdetoirrasjonaletallene p2og(3 p2)errasjonal. Bevis:Antaataerirrasjonal.Daer a=( 1)asomeretproduktmellometrasjonalttallogetirrasjonalttall,ogderforselvet c)detergaltathvisa2errasjonal,saeradetogsa. irrasjonalttall. Moteksempel:a2=2errasjonal,mena=p2erirrasjonal. 8

11 d)detersantathvisa2erirrasjonal,saeradetogsa. LsningsforslagvedKlaraHveberg Bevis:Viviserdetkontrapositiveutsagnet,nemligathvisaer Antaaltsaataerrasjonal.Dakanviskrivea=b=chvorb;c2Z rasjonal,saera2ogsarasjonal. e)detersantathvisaerirrasjonal,saer1=adetogsa. betyrjonettoppata2errasjonal. ogc6=0.mendaera2=b2=c2medb2;c22zogc26=0.mendet Bevis:Antaataerirrasjonal.Daharbrken1=aenrasjonalteller Oppgave2.2.7 ogenirrasjonalnevner,ogerdaiflgesetning2.2.2selvirrasjonal. detvilsiatvikanskrivep3=a=bhvoraogbernaturligetall.la a=p1p2pmogb=q1q2qnvreprimfaktoriseringenetilaogb. Viskalbeviseatp3erirrasjonal.Anta(formotsigelse)atp3errasjonal, Daharvi p3=ab=p1p2pm Kvadrerervibeggesideravligningen,farvi q1q2qn detvilsi 3=p21p2p2m q21q2q2n Pahyresideavlikhetstegnetforekommeralleprimfaktoreneetlikeantallganger(spesieltgjelderdetteforprimfaktoren3),menpavenstre 3q21q2q2n=p21p2p2m harfunnettoforskjelligeprimfaktoriseringeravdetsammetallet,noe sideforekommerprimfaktoren3etoddeantallganger.detbetyratvi somerumuligiflgearitmetikkensfundamentalteorem.altsaharvivist atantagelsenomatp3errasjonalledertilenselvmotsigelse,saeneste Oppgave muligheteratp3erirrasjonal. enn2nslikatn>b=a.mendetteflgerdirektefraarkimedesprinsipp slikatna>b.sidena>0,erdetteekvivalentmedaviseatvikannne Antaata>0.Viskalviseatuansetthvorstorb2Rer,sansenn2N nneetnaturligtallnslikatn>r. somsieratviforethvertreelttallr,ogdermedspesieltforr=b=a,kan 9

12 Oppgave2.3.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg d)daeksponentialfunksjonenerstrengtvoksende,blirutsagnet b)mengdennerkunnedadbegrensetmedstrstenedreskranke1. ekvivalentmedutsagnet 2<lnx3 MengdenM=fx: 2<lnx3gerderforlikintervallet(e 2;e3] e 2<xe3 e 2.HerersupM2M,meninfM=2M. somerbadeoppadognedadbegrensetmedsupm=e3oginfm= Oppgave2.3.5 a)viviserulikhetbeggeveier. i)sidensupaerenvreskrankeforaogsupberenvreskranke ermindreennenhverannenvreskrankefora[b,flgerat forb,altsaenvreskrankefora[b.ogdasup(a[b) forb,blirmax(supa;supb)envreskrankebadeforaog ii)sidensup(a[b)erenvreskrankefora[b,blirsup(a[b) ogsaenvreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.ogda sup(a[b)max(supa;supb). supaogsupbermindreennenhverannenvreskrankefor b)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadesupa Avi)ogii)flgeratsup(A[B)=max(supA;supB). henholdsvisaogb,flgeratsup(a[b)max(supa;supb). sup(a\b)min(supa;supb). ennenhverannenvreskrankefora\b,flgergenereltulikheten ogsupbvreskrankerfora\b.ogdasup(a\b)ermindre Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi c)viviserulikhetbeggeveier. foreksempela=f1;2gogb=f1;3g,blirsup(a\b)=1somer forskjelligframin(supa;supb)=2. i)sideninfaerennedreskrankeforaoginfbennedreskranke erstrreennenhverannennedreskrankefora[b,flgerat forb,altsaennedreskrankefora[b.ogdainf(a[b) forb,blirmin(infa;infb)ennedreskrankebadeforaog inf(a[b)min(infa;infb). 10

13 ii)sideninf(a[b)erennedreskrankefora[b,blirinf(a[b) LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaennedreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.og dainfaoginfberstrreennenhverannennedreskrankefor d)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadeinfa Avi)ogii)flgeratinf(A[B)=min(infA;infB). henholdsvisaogb,flgeratinf(a[b)min(infa;infb). ennenhverannennedreskrankefora\b,flgergenereltulikheten oginfbnedreskrankerfora\b.ogdainf(a\b)erstrre inf(a\b)max(infa;infb). forskjelligframax(infa;infb)=2. Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi foreksempela=f2;3gogb=f1;3g,blirinf(a\b)=3somer Oppgave2.3.6 a)viviserlikhetensup(a+b)=supa+supbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata> i)daapenbarta+bsupa+supbforallea2aogb2b, flgerdetatsup(a+b)supa+supb. foralle">0,mavihasup(a+b)supa+supb. ogflgeligsup(a+b)>supa+supb ".Sidendettegjelder supa "=2ogb>supB "=2.Daera+b>supA+supB " b)viviserlikheteninf(a+b)=infa+infbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata< i)daapenbarta+binfa+infbforallea2aogb2b,flger detatinf(a+b)infa+infb. ogflgeliginf(a+b)<infa+infb+".sidendettegjelder foralle">0,mavihainf(a+b)infa+infb. infa+"=2ogb<infb+"=2.daera+b<infa+infb+" 11

14 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel3 LsningsforslagvedKlaraHveberg ogfasiterdekkendeforderentregnemessigeoppgavene.jegharderfor deforegaendekapitlene,ogjegregnerderformedatlrebokaseksempler Idettekapitteletharmangeavoppgaveneetmindreteoretiskpregenni forstaelseavdekompleksetallene(oppgave3.2.7og3.2.10)oggirvelse imatematiskargumentasjon(oppgave3.1.10,3.2.12og3.2.15).duvil prioritertalagelsningsforslagtiloppgaversomtesterdingeometriske mellomkartesiskformogpolarform(oppgave3.2.3,3.2.5,3.3.1og3.3.3), likevelogsanneenkleeksemplerpahvordanduoversetterfremogtilbake hvordandunnertredjertter(oppgave3.4.3),oghvordandukanlse viserentypiskanvendelseavdemoivresformel,mensoppgave komplekseannengradsligninger(oppgave3.4.9og3.4.11).oppgave3.3.8 girdeggodtreningialseenkompleksannengradsligningoguttrykke Oppgave3.1.5 lsningenbadepakartesiskogpolarform. Viskallsedeoppgitteligningene. a) 2iz=3+4i = 6i 8i2 2i =(3+4i)( 2i) 2i( 2i) (1+i)z+3=1 i 4 =2 32i b) (1+i)z= 2 i = 2 i+2i+i2 1+i=( 2 i)(1 i) 1+1 (1+i)(1 i) = 3+i Oppgave Antaatz+wogzwerreelle.Viskalviseatdaerentenbeggetallenez ogwreelleellersaerdekonjugerteavhverandre. Laz=a+ibogw=c+id.Daharvi z+w=(a+c)+i(b+d) zw=(ac bd)+i(ad+bc) 12

15 Atz+wogzwerreellebetyratderesimaginrdelererliknull,detvil LsningsforslagvedKlaraHveberg siat ad+bc=0 b+d=0 Denfrsteligningengirb= d.settervidetteinnidenandreligningen, ogw=c+id=a ib,detvilsiatzogwerkonjugerte. farvid(a c)=0,someroppfyltnard=0ognara=c.hvisd=0har vib=d=0,detvilsiatzogwerreelle.hvisa=charviz=a+ib Oppgave3.2.3 b)viskalnnemodulusenogargumentettilz= i. Argumenteterbestemtvedat Modulusener r=j ij=p02+( 1)2=1 og cos=re(z) sin=im(z) r =0 Dettebetyrat r = 1 1= 1 e)viskalnnemodulusenogargumentettilz=1+ip3. =32 Modulusenerr=pRe(z)2+Im(z)2=p1+3=2 Argumenteterbestemtvedat og cos=re(z) sin=im(z) r =12 Dettebetyrat r =p3 =3 2 13

16 Oppgave3.2.5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalskrivedekompleksetallenepaformenz=a+ib. a)r=4og=2. b)r=1og=4ż=1cos4+isin4=12p2+i12p2 z=r(cos+isin)=4(cos2+isin2)=4(0+i)=4i c)r=2og=6. d)r=12og=32. z=2cos6+isin6=2(12p3+i12)=p3+i Oppgave3.2.7az=12cos32+isin32=12(0 i)= 12i Gitttallene Iflgeteorem3.2.3harproduktetzwmodulusr=23=6ogargument z=2cos12+isin12ogw=3cos5 12+isin5 12 = =6 12=2.Altsablir Oppgave zw=6cos2+isin2=6i Viskalskisseredeoppgitteomradeneidetkomplekseplanet. a)fz:jzj=1g b)fz:jz 1j<2g Detteerallepunkterzsomharavstandlik1fraorigo,detvilsialle punkterpaenhetssirkelen. Detteerallepunkterzsomharavstandmindreenn2frapunktet c)fz:jz (i+1)j12g (1;0),detvilallepunkteridetindreavensirkelmedradius2om punktet(1;0). 14

17 Detteerallepunkterzsomharenavstandpaminst12frapunktet LsningsforslagvedKlaraHveberg d)fz:jz 2j<jz i+2jg=fz:jz 2j<jz (i 2)jg radius12ompunktet(1;1). i+1=(1;1),detvilsiallepunkterpaogutenforensirkelmed Detteerallepunkterzsomharkortereavstandtilpunktet(2;0) enntilpunkteti 2=( 2;1),detvilsiallepunktersomliggerekte regning.laz=x+iy.kvadrerervidengitteulikheten,farvi Dettekanvientensegeometrisk(tegngur),ellervedflgendeut- underlinjeny=4x+12. (x 2)2+y2<(x+2)2+(y 1)2 jz 2j2<jz i+2j2 x2 4x+4+y2<x2+4x+4+y2 2y+1 2y<8x+1 Oppgave y<4x+12 normaltpahverandrehvisogbarehvisz=weretrentimaginrttall. Viskalviseat(vektorenetilsvarende)detokompleksetallenezogwstar eretoddemultiplumav=2,detvilsi1 2=(2k+1)=2;k2Z.Men ment1 2.Talletz=werrentimaginrthvisogbarehvisargumentet Dersomzogwharargumenter1og2henholdsvis,farz=wargu- detbetyrjonettoppatzogwstarnormaltpahverandre,da1 2er vinkelenmellomvektorenezogw. erreell.atz=werreellbetyratargumenteteretmultiplumav,det vilsi1 2=k;k2Z.Mendetbetyratvektorenezogwentenpeker Pasammemateserviatzogwerparallellehvisogbarehvisz=w isammeretningellerimotsattretning,detvilsiatdeerparallelle. farvi: Viskalviseatjz+wj2+jz wj2=2jzj2+2jwj2.benytterviatzz=jzj2, Oppgave jz+wj2+jz wj2=(z+w)(z+w)+(z w)(z w) =(zz+zw+wz+ww)+(zz zw wz+ww) =jzj2+jwj2+jzj2+jwj2=2jzj2+2jwj2 15

18 Tegnervietparallellogramutspentavvektorenesomtilsvarerdekompleksetallenezogw,vildiagonaleneidetteparallellogrammetvre z+wogz w.utregningenovenforviserdaatsummenavkvadratene LsningsforslagvedKlaraHveberg tilsideneietparallellogramerliksummenavkvadratenetildiagonalene. Oppgave3.3.1 b)viskalskrivetallete i4paformena+ib. Oppgave3.3.3 e i4=e0cos 4+isin 4=cos4 isin4=12p2 i12p2 b)viskalskrivetalletz=4 4ipaformenrei. SidenRe(z)= Im(z)serviat= 4.Altsaharvi r=p42+( 4)2=p216=4p2 Oppgave3.3.8 z=4p2e 4i Da1+iharmodulusp2ogargument4farvi Viskalregneut(1+i)804og(p3 i)173vedhjelpavdemoivresformel. (1+i)804=p2cos4+isin4804 =p2804cos isin804 4 =p22402 cos(200+)+isin(200+) =p2(2402)(cos201+isin201) = 2402 =2402(cos+isin) Ogdap3 iharmodulus2ogargument 6farvi (p3 i)173=2cos =2173cos isin isin

19 =2173cos28+56 isin28+56 LsningsforslagvedKlaraHveberg =2173cos56 isin56 = 2172(p3+i) = p3 i12 Viskalnnealletredjerttenetilz= iogskrivedempaformenrei Oppgave3.4.3b oga+ib. z13=e i z= i=e i 6+2ki 32+2ki Settervinaetterturk=0,k=1ogk=2,farvidetretredjerttene w0=e i w1=e i 6=cos( 6)+isin( 6)=12p3 12i w2=e i 6+2i 6+4i 3=e3i 3=e7i 6=ei 6= 12p3 12i 2=i Annengradsligningenz2+2z+4=0harlsningene Oppgave3.4.9a z= 2p = 2p = 22ip3 detvilsi = 1ip3 2 z1= 1+ip3 Oppgave3.4.11bz2= 1 ip3 Annengradsligningenz2+2iz+5=0harlsningene z= 2ip(2i)

20 = 2ip 24 LsningsforslagvedKlaraHveberg 2 = 2i2ip6 detvilsi = iip6 2 z1=i(p6 1) Oppgave3.4.14z2= i(p6+1) Ligningenz2+2(1 i)z+7i=0harlsningene z= 2(1 i)p4(1 i)2 417i = (1 i)p(1 i)2 7i= (1 i)p 9i = (1 i)3p i2 ovenforvidereblir Da i=e i=2harvip i=e i=4=12p2(1 i),slikatuttrykket detvilsiz1=32p2 1 i32p2 1=32p2 1(1 i) = (1 i)312p2(1 i)= 132p2(1 i) Da1 i=p2e i=4ogi 1=p2ei3=4,blirlsningenepapolarform z2= 32p2+1+i32p2+1=32p2+1(i 1) z2=32p2+1p2ei3=4=(3+p2)ei3=4 z1=32p2 1p2e i=4=(3 p2)e i=4 i4.kvadrant.vektorenz2harlengde3+p2ogargument3=4,ogpeker Vektorenz1harlengde3 p2ogargument =4,ogpekeraltsanedover Oppgave3.5.5 altsaoppoveri2.kvadrant(tegngur). a)viskalviseatierenrotipolynometp(z)=z4+2z3+4z2+2z+3. P(i)=i4+2i3+4i2+2i+3=1 2i 4+2i+3=0 18

21 b)sidenienrotipolynometp(z),vetvivedlemma3.5.3ati= i LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaerenrotidettepolynomet.mendetbetyratp(z)erdelelig med(z i)(z+i)=z2+1.viutfrerpolynomdivisjon: z4+2z3+4z2+2z+3:z2+1=z2+2z+3 z4+z2 2z3+3z2+2z+3 2z3+2z Detgjenstarbareafaktoriserez2+2z+3: 3z2+30 z2+2z+3=0 z= 2p4 431 = 2p z1= 1+p2i= 22p2i z2= 1 p2i 2 DekomplekseogreellefaktoriseringeneavP(z)blirdermed: z4+2z3+4z2+2z+3=(z+i)(z i)(z+1 p2i)(z+1+p2i) =(z2+2z+3)(z2+1) 19

22 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel4 LsningsforslagvedKlaraHveberg Iseksjon4.1girdeinnledendeoppgavenedegtreningialsedierensligninger,ogjegregnermedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas eksemplerogfasither.menlikeviktigsomakunnelseslikeligninger, Oppgave4.1.14viserdegenannenanvendelseavdierensligninger. utifraenoppgavetekst.oppgave4.1.9og4.1.11girgodtreningidette. erdetaforstahvordanmantenkernarmanskalstilleoppligningene flger(f.eksioppgave4.3.4),mendunnerogsaenkleeksemplerpa hvordanmanregnerutslikegrenseverdieripraksis(oppgave4.3.1og Iseksjon4.3fardubrynetdegpadenisjonenavgrenseverdifor beggegarmotuendelig,likegjernekangamotetendeligtallsommot uendelig ).Oppgave4.3.14illustrereratdierensenmellomtoflgersom frstesierer1,oghvorto1-erealdriflgeretterhverandre. Laanvreantallsekvenseravlengdensombestarav0-erog1-ere,der Oppgave4.1.9 initialbetingelsenea1=a2=1. sekvensen'10'erdenenestelovligeavlengden=2.dermedharvi Sekvensen'1'erdenenestelovligesekvensenavlengden=1,og ossdetotilfelleneettertur: nsomnnes.detsistesieretistrengenerenten0eller1,ogvitarfor Antanaatn>2,oglaosssepahvilkelovligesekvenseravlengde i)hvissistesierisekvensener0,kandeforegaende(n 1)sifrene ii)hvissistesierisekvensener1,madetnestsistesieretvre0, vreenhvilkensomhelstavdean 1lovligesekvenseneavlengde n 1. sidenvialdrikanhato1-ereetterhverandre.vihardabareigjen Dissetotilfellenedekkerallemuligheterviharforlovligesekvenserav dean 2lovligesekvenseneavlengden 2. (n 2)sifreisekvensen,ogdissekanvreenhvilkensomhelstav ereganger).detteviseratanergittveddierensligningen: lengden(ogdeerdisjunkteslikatviikkehartaltoppsammesekvens forn>2medinitialbetingelsera1=a2=1. Vinnerfrstdengenerellelsningenavdierensligningen an=an 1+an 2 an an 1 an 2=0 20

23 Denkarakteristiskeligningenerr2 r 1=0somharrtter LsningsforslagvedKlaraHveberg Dengenerellelsningenblirderfor: an=a(1=2+p5=2)n+b(1=2 p5=2)n r1=1=2+p5=2ogr2=1=2 p5=2 Initialbetingelsenegir: a2=a(1=2+p5=2)2+b(1=2 p5=2)2=1 a1=a(1=2+p5=2)+b(1=2 p5=2)=1 Lservidisseligningene(sekommentarnedenfor),farviA=1=p5og B= 1=p5.Denspesiellelsningenblirderfor: an=1 1+p5 2 n 1 p5 2 n (Merkatdetteerdensammelsningensomieksempel4.1.8fordidierensligningenvistartetmederidentiskmedFibonaccisrelasjon.) Tipstilutregningen: Forafaenkelregning,kanvifrstsamleleddenesomomviskullelse ligningenemedhensynpa\variablene"a+boga B: Avdenfrsteligningenfarvidaat ogavdenandreligningenfarviat 3(A+B)+p5(A B)=2 (A+B)+p5(A B)=2 Trekkervidenfrsteligningenfradenandre,farvi2(A+B)=0,det ogb= 1=p5. (A A)+p5(A+A)=2,detvilsi2A=2=p5.DermedblirA=1=p5 vilsia= B.Settervidetteinnigjenidetfrsteuttrykket,farvi millionerogbankenmed100 nmillioner.vinskeregentliganne Laxnvresannsynlighetenforatduvinnerdersomdustartermedn Oppgave x90,menlserproblemetforengenerellxnfrst. Detertomuligematerdukanvinnepa:Medsannsynlighet18 vinnepadennematener18 xn 1forasikresluttseieren.Dentotalesannsynlighetenforatduskal vinnerdufrsteomgang,innkasserer1millionoghardasannsynlighet 37xn 1.Denandrematendukanvinnepa, 37 21

24 ergjennomatapefrsteomgang(medsannsynlighet19 LsningsforslagvedKlaraHveberg million,forderetterasikredegsluttseierenmedsannsynlighetxn 1.Den totalesannsynlighetenforavinnepadennematener19 37xn 1. 37),gifradeg1 somlettomformetgirdierensligningen37xn 1 Dermedserviatxnergittved xn=18 37xn+1+19 Denneharkarakteristiskligning 18xn+1 37xn+19xn 1=0 medrtter r=37p r2 37r+19=0 detvilsi 218 =371 r1=1; r2=19 36 Dengenerellelsningenblirda xn=c+d19 18n 18 Dermederx0=C+D=0.Starterdumed100millioner,harduvunnet, Hvisdustartermednullogbankenmed100millioner,sahardutapt. Innsattoverforgirdettedenspesiellelsningen sax100=c+d(19 18)100=1.DermederD= CogC= 1 (19 18) xn= 1 (19118) n Settervin=90farvialtsa x90=1 (19 18)1000:58 18)90 middeltemperaturen.vihar Laxnvreavviketimiddeltemperaturenimanednrnfradenarlige Oppgave medinitialbetingelsenex1= 12ogx3= 6.Detervarmestiden manedenkhvorxkerstrst,ogkaldestidenmanedenthvorxter xn+2 p3xn+1+xn=0 minst.vilserdierensligningenforafaenformelforxn: 22

25 Denkarakteristiskeligningenerr2 p3r+1=0somhardetokomplekse LsningsforslagvedKlaraHveberg rttene Disseharmodulus: r1=p3 2+12iogr1=p3 2 12i Argumentettilr1erbestemtvedat =r34+14=1 detvilsiat cos=p3 2 og sin=12 Dengenerelle(reelle)lsningenblirdermed =6 Avinitialbetingelsenefarvi xn=ecosn6+fsinn6hvore;f2r og x1=ep3 x3=e0+f1= 6 2+F12= 12 DensisteligningensieratF= 6,sominnsattidenfrsteligningengir Denspesiellelsningenblirderfor Ep3 2 3= 12()E= 18 p3= 6p3 F(n)=xn= 6p3cosn6 6sinn6 Viderivererforabestemmeekstremalpunktene: F0(n)=6p36sinn6 66cosn =p3sinn6 cosn 6 Avdettefarvividereat F0(n)=0()cosn6=p3sinn6 23

26 Sidencos=p3sinnyaktignar=6eller=76,betyrdetteatvi LsningsforslagvedKlaraHveberg maha detvilsi n6=6 eller n6=76 SidenvivetatF(1)=x1= 12,ogviharatF(7)= F(1)=12(bade Temperaturfunksjonenharaltsaekstremalverdierforn=1ogforn=7. n=1ellern=7 varmestimanednr7. Visetteroppenoversiktovertemperaturenideulikemanedene: cosinusogsinusskifterfortegn),serviatdeterkaldestimanednr1og F(2)= 6p312 6p3 F(1)=x1= 12 F(3)=x3= 6 2= 6p3 F(4)= 6p3 12 6p3 F(5)= 6p3 p =6 2=0 F(7)= F(1)=12 F(8)= F(2)=6p3 F(6)= 6p3( 1) 60=6p3 F(10)= F(4)=0 F(11)= F(5)= 6 F(9)= F(3)=6 Dissepunktenekannamarkeresietkoordinatsystem(gjrdette,ogtegn enkontinuerligtemperaturkurvesomgargjennomalledissepunktene). F(12)= F(6)= 6p3 observereatformelenf(n)kanomskrivespaflgendemate: Kommentar: Vikunneogsahafunnetlsningenutenaderivere,simpelthenveda F(n)= 6p3cosn6 6sinn6 = 12p3 2cosn6+12sinn6 24

27 = 12sin3cosn6+cos3sinn6 LsningsforslagvedKlaraHveberg = 12sin3+n6 gumentet(3+n Detteuttrykketblirminstnarsin(3+n6)erstrst,detvilsinarar- narn=7. sin(3+n 6)erminst,detvilsinarargumentet(3+n 6)erlik2,altsanarn=1.Uttrykketblirstrstnar 6)erlik32,altsa Viskalnnegrenseverdiene. Oppgave4.3.1 a)lim n!18n4+2n 3n4 7=lim n!18n4+2n 3n4 7 =lim n!18+2n3 3 7n4=8+0 b)lim n!13n2 4 2n3+7=lim n!13n2 4 2n =83 =lim n!13n 4n3 2+7n3=0 0 c)lim n!15n3+2n =0 7n 4 =lim n!15n3+2n 13 7n 4 n =lim n!15n n n Oppgave4.3.3 =1 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim n!1(pn+2 pn)=lim n!1(pn+2 pn)(pn+2+pn) =lim pn+2+pn n!1pn+2+pn=lim n+2 n n!1pn+2+pn=02 b)lim n!1pn+pn pn=lim 1 n!1(pn+pn pn)(pn+pn+pn) pn+pn+pn =lim n!1 p n+pn n n+pn+pn=lim n!1 p n+pn+pn =lim n!1 q n 1 +1=lim n!1 r 1+pn n+1! =lim n!1 s 1+1 pn+1!=1+1=2 25

28 Oppgave4.3.4a LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatlimn!1(3 2n)=3vedabrukedenisjon4.3.1.Viskal altsaviseatflgenan=3 2nkonvergerermota=3.Siden maviviseatuansetthvilken">0viblirgitt,kanvinneetnaturlig jan aj=3 2n 3= 2n=2n tallnslikatjan aj=2n<"narn>n.mendetteerlett:vivelger N>2".EtsliktnaturligtallNnnesiflgeArkimedesprinsipp(2.2.6). baren2ntilavreetnaturligtallslikat2n<",detvilsislikat limn!1bn=1ogsomsamtidigoppfyller: Viskalnneeksemplerpaflgerfangogfbngsomerslikatlimn!1an= Oppgave a)limn!1(an bn)=1. Laan=2nogbn=n.Daer b)limn!1(an bn)= 1. n!1(an bn)=lim n!1(2n n)=lim n!1n=1 Laan=nogbn=2n.Daer c)limn!1(an bn)eretendeligtall. n!1(an bn)=lim n!1(n 2n)=lim n!1( n)= 1 Laan=nogbn=n 1n.Daer n!1(an bn)=lim n!1n n+1n=lim n!11n=0 26

29 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Ikapittel5harmangeavoppgaveneetmerteoretiskpregennduer kontinuitet(kap5.1)oggrenseverdi(kap5.4),ogsomillustrererhvordan vanttilfraskolematematikken,ogjegharderforlagtvektpaalage lsningsforslagtiloppgaversominvolvererdeformelledenisjoneneav mankananvendeskjringssetningen(kap5.2)ogekstremalverdisetningen(kap5.3)paulikemater. Oppgave5.1.5 jf(x) f(a)j<". Viminneromatfunksjonenferkontinuerligipunkteta2Dfhvisdet forenhver">0nnesen>0slikatnarx2dfogjx aj<,saer a)viskalviseatf(x)=2x+1erkontinuerligipunktetx=2.foren gitt">0mavinneen>0slikat Vihar jx 2j<=)jf(x) f(2)j<" jf(x) f(2)j=j(2x+1) (22+1)j =2jx 2j =j2x+1 5j Velgervina="2,blir narjx 2j<. jf(x) f(2)j=2jx 2j<2=2"2=" b)viskalviseatf(x)=x2erkontinuerligipunktetx=3.forengitt ">0mavinneen>0slikat Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 3j<=)jf(x) f(3)j<" jf(x) f(3)j=jx2 32j =jx+3jjx 3j =j(x+3)(x 3)j Foraholdefaktorenjx+3junderenfastskrankevelgerviabegrense osstilintervallet(2;4),hvorjx 3j<1,slikatjxj<4ogdermed 27

30 jx+3j<7.hvisviitilleggsrgerforatfaktorenjx 3j<"7,farvi LsningsforslagvedKlaraHveberg ialt Detteblirflgeligoppfyltforallexslikatjx 3j<dersomvi jf(x) f(3)j=jx+3jjx 3j<7"7=" e)viskalviseatf(x)=1xerkontinuerligipunktetx=1.forengitt ">0mavinneen>0slikat velger=min(1;"7). Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 1j<=)jf(x) f(1)j<" jf(x) f(1)j=1x 1=jx 1j mavisrgeforatxholdersegunnaorigo.dettekanvifatilved Foratdenneskalblimindreenn"narxliggerien-omegnom1, jxj frstavelge1=12.dablirjxj>12dersomjx 1j<1,slikat Srgervisamtidigforatjx 1j<2="2,farvividereat jf(x) f(1)j=jx 1j jxj <2jx 1j Setterviderfor=min(1;2)=min(12;"2),harvinaialtvistat jf(x) f(1)j<2jx 1j<2"2=" Oppgave5.1.6a jf(x) f(1)j<"forallexslikatjx 1j<. Viskalviseat f(x)=x+1forx<0 erdiskontinuerligipunktetx=0.velgervinemligen"slikat0<"<1, x forx0 vilf(x)=x+1>(" 1)+1="forallex2(" 1;0).Mendet mange)iintervallet( ;)slikatjf(x) f(0)j>".altsaerfunksjonen hvorlitenvivelger>0vildetderfornnesenx(faktiskuendelig betyratjf(x) f(0)j=f(x)>"forallexidetteintervallet.uansett diskontinuerligipunktetx=0. 28

31 Oppgave5.2.2a LsningsforslagvedKlaraHveberg Vikanforeksempelvelgex0=1=e,somgirf(1=e)=( lne)+1=e= Viskalviseatf(x)=lnx+xharnullpunktiintervallet(0;1).Siden 1+1=e<0.Sidenf(1)=ln1+1=1>0,ogfunksjonenfer limx!0f(x)= 1,kanvinneenx0iintervallet(0;1)slikatf(x0)<0. (0;1). etnullpunktiintervallet(1e;1)ogdermedogsaidetstrreintervallet kontinuerligiintervallet[1e;1],flgerdetavskjringssetningenatfhar Viskalviseatgrafenetilf(x)=sinxogg(x)=x3skjrerhverandrei Oppgave5.2.3b intervallet[6;3].iendepunkteneavintervalletharfoggverdiene f6=12; f3=12p3<1; g6=63<463=233=8 g3=33>1 27<12 Sidenf(6)>g(6),f(3)<g(3)ogbeggefunksjoneneerkontinuerlige iintervallet[6;3],samagrafeneskjrehverandrevedkorollar5.2.2i Kalkulus. Laf(x)=tanxogg(x)=x.Daharvi Oppgave5.2.4 f34=1<34=g34 f4=1>4=g4 Viseravengur(tegngrafenselv!)atdetikkennesnoetallc2(4;34) slikatf(c)=g(c).detteerlikevelikkeistridmedkorollar5.2.2,da funksjonenfikkeerkontinuerligiintervallet(denerdiskontinuerligfor Oppgave5.2.6 x=2). Viskalviseatethvertpolynomavoddegradharminstenreellrot.La f(x)=anxn+an 1xn 1+a0 vreetpolynomavgradn,detvilsiatan6=0.hvisneretoddetall, =xnan+an 1 x ++a0 xn vilfaktorenxniuttrykketovenforskiftefortegnmedx.fortilstrekkelig 29

32 storeverdieravjxjvilfaktoreniparenteshasammefortegnsomdet LsningsforslagvedKlaraHveberg vokser.detnnesderforet(stort)tallx0>0slikatf(x0)ogf( x0) harmotsattefortegn.(debehverikkederforvremotsattlikestore.) frsteleddetan,idetdevrigeleddeneiparentesengarmotnullnarjxj Sidenfunksjonenferkontinuerligpaintervallet[ x0;x0],hardenet Oppgave5.2.7 nullpunktiintervallet( x0;x0)iflgeskjringssetningen. Nestedagstarterhunnedstigningenklokken7ogernedeklokken15. Enfjellklatrerstarterfrabakkenklokken7ognartoppenklokken15. a)viskalviseatdetnnesetklokkeslettderhunerlikehytoppebegge dager.vilarfjelletshydevreh.vilarsaf(t)staforklatrerens hydeoverbakkenvedetklokkesletttunderoppstigningenogg(t) funksjonsgrafeneskjrehverandreforenverdit02(7;15)iflge ogsidenf(7)=0<h=g(7)ogf(15)=h>0=g(15),ma hydenundernedstigningen.beggefunksjoneneerkontinuerlige, b)naantarviathunbegynnernedstigningenklokken10istedenfor7, oppevedklokkeslettett0beggedager. korollar5.2.2tilskjringssetningen.detbetyrathunerlikehyt klokken15,erhunderklokken16ogsa,savimahaf(16)=h> denfrstedagen,maf(10)<h=g(10).ogsidenhunnartoppen ogathunernedeklokken16.sidenhunikkeeroppefrklokken15 0=g(16).Pasammematesomipunkta)kanviderfortrekke klokkeslettt12(10;16)beggedager. denkonklusjonathunogsaidettetilfelleerlikehytoppevedet Viskalviseatenkontinuerligfunksjonf:[0;1]![0;1]haretkspunkt, Oppgave5.2.8 detvilsiatdetnnesenx2[0;1]slikatf(x)=x. antarverdieriintervallet[0;1],harviatf(0)0=g(0)ogf(1) 1=g(1).Daf(ogg)erkontinuerlige,nnesdetvedkorollar5.2.2en Lag:[0;1]![0;1]vreidentitetsfunksjoneng(x)=x.Sidenf Oppgave5.3.2 x2[0;1]slikatf(x)=g(x),altsaf(x)=x. a)sideng(x)=xerkontinuerligforallex,blirf(x)= kontinuerligforallex6=0iflgesetning5.1.2.funksjonenfer dermedkontinuerligihelesittdenisjonsomrade(saferkontinuerlig g(x)=1x 1 iflgedenisjon5.1.8). 30

33 b)sidenlimx!0 f(x)= 1oglimx!0+f(x)=1,erikkefunk- LsningsforslagvedKlaraHveberg mums-ellerminimumspunkter.dettestriderikkemotekstremal- verdisetningen,sidenfikkeerdenertforx=0,ogdermedikkeer sjonenbegrensetpaintervallet[ 1;1]oghardermedingenmaksi- Oppgave5.3.4 denertpaheleintervallet[ 1;1]. Viantaratf:(a;b)!Rerkontinuerligogatgrenseverdieneavf(x) narxnrmersegaovenfraogbnedenfraeksisterer.viskalviseat ferbegrenset.sidenlimx!a+f(x)oglimx!b f(x)eksisterer,kanvi utvideftilenkontinuerligfunksjondenertpadetlukkedeintervallet[a;b]slikatf(a)=limx!a+fogf(b)=limx!b f.dermedkan minimumsverdi(er)pa[a;b].dettebetyratferbegrensetpa[a;b],og vibenytteekstremalverdisetningensomsikreratfharmaksimums-og Oppgave5.3.5 dermedogsabegrensetpadetmindreintervallet(a;b). Antaatf:[a;b]!Rerkontinuerlig.Viskalviseatverdimengden vedaviseinklusjonbeggeveier. Vf=ff(x):x2[a;b]geretlukket,begrensetintervall. InklusjonenVf[fmin;fmax]eroppfyltperdenisjonavminimum ViviseratVferlikdetlukkede,begrensedeintervallet[fmin;fmax] kontinuerligefunksjonenfoppnarsittminimumogmaksimumpadet lukkede,begrensendeintervallet[a;b],safminogfmaxermedivf.og ogmaksimum.padenannensidesikrerekstremalverdisetningenatden minimumspunktettilfogpositivimaksimumspunktet,ogharderforet ermedivf:denkontinuerligefunksjoneng(x)=f(x) derjonegativi skjringssetningensikrerossatalleverdierdmellomfminogfmaxogsa harviogsavistdenomvendteinklusjonenvf[fmin;fmax]. mellomliggendenullpunktc.mendetbetyrnettoppatf(c)=d.dermed Oppgave5.4.2 a)viskalviseatlimx!23x=6.gitten">0maviprodusereen b)viskalviseatlimx!3x2=9.gitten">0maviprodusereen avelge="3,idetvidafarj3x 6j=3jx 2j<3=3"3=". >0slikathvisjx 2j<saerj3x 6j<".Detteoppnarvived x=h+3,slikatvifar >0slikathvisjx 3j<saerjx2 9j<".Lah=x 3.Daer jx2 9j=j(h+3)2 9j=jh2+6h+9 9j=jhjjh+6j 31

34 Herserviatdenandrefaktorenjh+6jholdersegmindreenn7 LsningsforslagvedKlaraHveberg dersomvivelgerjhj<1.srgervisamtidigforatdenfrstefaktoren jhjermindreenn"7,vilproduktetholdesegmindreenn".begge c)viskalviseatlimx!4px=2.gitten">0mavinneen>0 jhj=jx 3j<,saerjx2 9j=jhjjh+6j<7="77=". dissekravenebliroppfyltdersomvivelger=min(1;"7).forhvis kvadratsetningserviat slikathvisjx 4j<saerjpx 2j<".Vedhjelpavtredje Velgervi=2",serviathvisjx 4j<saer jpx 2j=j(px 2)(px+2)j jpx+2j =jx 4j jpx+2j<jx 4j 2 jpx 2j<jx 4j 2 <2" Oppgave =" a)lim x!07x2+4x4 3x3 2x2=lim x!07+4x2 3x 2=7+0 b)lim x!18x2+2x+7 px 4x2 =lim x!18+2x+7 px0 2= 72 x2 4 x2=8+0+0 c)lim x!1(px2+3x x)=lim x!1(px2+3x x)(px2+3x+x) px2+3x+x 0 4 = 2 x!1x2+3x x2 =limpx2+3x+x=lim x!1px2+3x+x qx2+3x 3+1=lim x!1q1+3x+1=32 3 d) x!4px 2 limx 4=lim(px 2)(px+2) x!4px+2= 1 2+2=14 1 Viskalavgjreomfunksjonen Oppgave5.4.4a f(x)=x2+2 4cos(x)forx>1 forx1 32

35 erkontinuerligipunktetx=1.viserpadeensidigegrensene LsningsforslagvedKlaraHveberg x!1 f(x)=f(1)=12+2=3 Sidenlimx!1 f(x)6=limx!1+f(x),eksistererikkedentosidigegrensen x!1+f(x)=lim x!1+ 4cos(x)= 4cos=4 limx!1f(x),safunksjonenferikkekontinuerligix=1. 33

36 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel6 LsningsforslagvedKlaraHveberg kapittel,mendeillustrererlikevelnyeregnemessigeteknikkerdetkan Ikapittel6minneroppgavenemeromdeduervanttilfraskolematematikkenidenforstandatdeermindreteoripregedeenniforegaende vrelurtafamedseg.demestteoripregedeoppgaveneerknyttettil seksjon6.2,oggirnyttigeinnblikkiulikeanvendelseravmiddelverdisetningen. Viskalbrukelogaritmiskderivasjon(setning6.1.9). Oppgave6.1.3 a)f(x)=x2cos4xex lnjf(x)j=lnjx2cos4xexj=lnjx2j+lnjcos4xj+lnjexj D[lnjf(x)j]=2x+ =2lnjxj+4lnjcosxj+x =2x 4tanx+1 cosx( sinx)+1 4 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j]=x2cos4xex2x 4tanx+1 b)f(x)=(sinx)117ex2tanx lnjf(x)j=lnj(sinx)117j+lnjex2j+lnjtanxj D[lnjf(x)j]=117lnjsinxj+x2+lnjtanxj =1 17cosx sinx+2x+ tanx 11cos2x 1 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] =(sinx)117ex2tanx1 sinxcosx 17cosx sinx+2x+ sinxcosx d)f(x)=x2cosxlnx 1 D[lnjf(x)j]=2(cosx)0lnx+2cosx(lnx)0+(lnjlnxj)0 lnjf(x)j=lnjx2cosxlnxj=lnjx2cosxj+lnjlnxj =2cosxlnx+lnjlnxj 34

37 = 2sinxlnx+2cosxLsningsforslagvedKlaraHveberg f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] x +1 =x2cosxlnx2cosx lnx1x x 2sinxlnx+ xlnx 1 Ienfartskontrollmalerpolitietatenbilistbrukert=25sekunderpa enstrekningsomers=500meter.deterenusikkerhetpat=1 Oppgave6.1.6 usikkerhetenimalingenavfartenv(t)=st,farviatdener sekunditidsmalingen.brukerviteknikkenfraeksempel6.1.7tilaansla detvilsienusikkerhetpa0,8m/s. vv0(t)t= s t2t= = 0;8 ViskalviseatD[x2]=2xdirektefradenisjonenavdenderiverte. Oppgave6.1.9 D[x2]=lim x!0(x+x)2 x2 =lim x!0x2+2xx+(x)2 x2 x!02xx+(x)2 =lim x!0(2x+x)=2x Viskalviseatf(x)=2 x3ogg(x)=ln(2+x)harnyaktigett Oppgave6.2.3 f(1)=1<ln3=g(1),sahargrafeneminstettskjringspunktiintervallet[0;1]. Sidenbeggefunksjoneneerkontinuerligeogf(0)=2>ln2=g(0), skjringspunktiintervallet[0;1]. kangrafenehahystett ogdermednyaktigett skjringspunkti slikatferstrengtavtagendeoggerstrengtvoksendei[0;1].derfor Naerf0(x)= 3x2<0ogg0(x)= 2+x>0forallex2(0;1), 1 Oppgave6.2.5 intervallet[0;1]. Vilarf(x)=x 4x.Daerf( 1)= 1+4=3ogf(4)=4 1=3, ( 1;4),erikkeistridmedRollesteorem,fordif(x)ikkeerderiverbar strengtpositivforallex6=0.atf0ikkeharnoenullpunktiintervallet d.v.s.f( 1)=f(4).Deriverervifunksjonen,serviatf0(x)=1+4x2er (ikkeengangdenert)forx=0. 35

38 Oppgave6.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatdetmellom0ogettallxalltidnnesencslikatsinx= nnesdetvedmiddelverdisetningenenc2(0;x)slikat f(x)=sinx.daferkontinuerligogderiverbarpaintervallet[0;x], xcosc.detteeropplagtriktigforx=0,saviantaratx6=0.visetter f0(c)=f(x) f(0) x 0 =sinx sin0 x 0 =sinx Ogdajcoscj1,harviialt Sidenf0(c)=cosc,girdetteatcosc=sinx x,detvilsiatsinx=xcosc. x gjennomfrerviistedenresonnementetmedintervallet[x;0]. Ifremstillingenovenforharvistilltiendeantattatx>0.Dersomx<0, jsinxj=jxcoscj=jxjjcoscjjxj1=jxj slikatln(1+x)=x Viantarx> 1ogskalviseatdetalltidnnesettallcmellom0ogx Oppgave6.2.8 Funksjonenf(x)=ln(1+x)erdenertogkontinuerligforallex> 1. x6=0. 1+c.Detteeropplagtriktigforx=0,saviantarat Vedmiddelverdisetningennnesdetdaencmellom0ogxslikat Sidenviogsahar f0(c)=f(x) f(0) x 0 =ln(1+x) ln1 x 0 =ln(1+x) f0(c)= 1 x girdette ln(1+x) 1+c somerekvivalentmedatln(1+x)= x = 1+c 1 Forx>0erogsac>0,ogdermed11+c 1+c<1.Multiplikasjonmedxgir x negativ)girdaogsaidettetilfelletx 0<1+c<1,slikat1 1+c<x.For 1<x<0erogsa 1<c<0,ogaddisjonmed1gir x 1+c>1.Multiplikasjonmedx(somnaaltsaer ln(1+x)= 1+c<x,slikatvifar forallex> 1. x 36

39 Oppgave6.3.1 LsningsforslagvedKlaraHveberg ViskalbrukeL'H^opitalsregeltilannedeoppgittegrenseverdiene. b)lim a)lim x!0ex 1 x!0sin2x =lim x!02cos2x 1 =21 x x!0ex1=1 1=2 d)lim x!2cosx 2 x=lim x!2 sinx e)lim x!01 cosx x!0sinx 1 3x2=lim =1 g)lim x!0sinx x x!0cosx x3 =lim x!0cosx 1 =lim x!0 sinx 6x 6x eksistererikke. =lim x!0 cosx Oppgave = 16 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim x!0+x2lnx=lim x!0+lnx 1x2L'H^op = lim 2 1x d)lim x!0+xx=lim x!0+ elnxx=lim x!0+exlnx=elimx!0+xlnx=e0=1 x3=lim x!0+ 12x2=0 Mellomregning: x!0+xlnx=lim lim x!0+lnx 1xL'H^op = x!0+ lim 1 1xx2=lim x!0+ x=0 e)lim x!11+sin1xx=lim Mellomregning: x!1exln(1+sin1x)=elimx!1xln(1+sin1x)=e x!1xln1+sin1x=lim lim L'H^op x!1ln(1+sin1x) = x!1( 1 lim x2cos1x)=(1+sin1x) =lim x!11+sin1x= cos1x 1x2 1+sin0=1 cos0 Oppgave6.3.7 x!0cosx lim x2 sinx x3=lim x!0xcosx sinx x3 37

40 L'H^op =lim x!0cosx xsinx cosx 3x2 LsningsforslagvedKlaraHveberg =lim x!0 xsinx = 13lim x!0sinx x = 13 3x2 x!0(ex+sinx)1x=lim Oppgave6.3.9 Mellomregning: x!0 eln(ex+sinx)1x=elimx!0ln(ex+sinx) x =e2 x!0ln(ex+sinx) lim x =lim L'H^op =lim x!0ex+cosx x!0(ex+cosx)=(ex+sinx) ex+sinx= =2 1 Viskalnnetalletaslikat Oppgave x!1ax+1 lim x=pe limn!1 1+1nn=e.Vistartermedaomformeuttrykket Foraunngaformyeregning,kanvibenytteossavdenvelkjentegrensen ax+1 x=1+1 x= 1+1 ax ax!1a Benyttervinaatlimx!1 1+1 x!1ax+1 limaxax=e,farvi x=e1a Vinskeraltsaate1a=pe=e12,detvilsiatvimahaa=2. Alternativlsning: Vikunneogsahaomskrevetuttrykketvedhjelpaveksponentialfunksjonenpavanligmate,forderetterabrukeL'H^opitalpaeksponenten: Mellomregning: x!1ax+1 lim axx=lim x!1eln(ax+1 ax)x=elimx!1xln(ax+1 ax)=e1a somvedsubstitusjonent=1xblir x!1xlnax+1 lim ax=lim x!1ln(1+1 x 1ax) 38

41 =lim t!0+ln(1+ta) LsningsforslagvedKlaraHveberg t L'H^op =lim t!01 Frae1a=peserviata=2. 1+ta1a 1 =1a Viskalavgjreomfunksjonenfdenertved Oppgave f(x)=1 cosx erkontinuerligogderiverbarinull.viserpadeensidigegrensene x2+12 forx0 forx>0 x!0+f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0+1 cosx x3 1 2x=lim x!0+2 2cosx x2 x!0+2sinx 2x 6x2 L'H^op = x!0+2cosx 2 12x2x3 og L'H^op = x!0+ 2sinx lim 12 =0 x!0 f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0 x limx!0f(x) f(0) Sidendeensidigegrenseneerlike,eksistereraltsadentosidigegrensen x =0 x=0.mendermederfogsakontinuerligix=0vedsetning6:1:9. x 0 =f0(0),slikatfunksjonenfblirderiverbaripunktet Viskalnneeventuelleasymptoterforfunksjonen Oppgave6.5.5 f(x)=xln(x2) 1 =2xlnx 1 =2x 1 blirfunksjonensdenisjonsomradedf=(0;1)[(1;1).funksjonener Sidenlnxbareerdenertforpositiveverdieravx,ogblirnullforx=1, vertikaleasymptotererx=0ogx=1. kontinuerligihelesittdenisjonsomrade,sadeenestekandidatenetil Laossfrstunderskehvasomskjernarxnrmerseg0ovenfra: Altsaharviingenvertikalasymptoteforx=0. x!0+f(x)=lim x!0+2x 1 lnx=0 39

42 Viunderskersahvasomskjernarxnrmerseg1.Herblir LsningsforslagvedKlaraHveberg Dermedharvienvertikalasymptoteforx=1. x!1f(x)=lim x!12x 1 lnx=1 Vibrukermetodeni6.5.5foranneeventuelleskraasymptoter. Sidendennegrenseneksisterer,regnervividereut x!1f(x) lim x =lim x!12 xlnx=2 1 Detteviseratlinjeny=2xerenskraasymptoteforfunksjonen. x!1 f(x) 2x=lim x!1 1 lnx=0 40

43 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel7 LsningsforslagvedKlaraHveberg tegnegurerogsettenavnpaukjentestrrelser.oppgave7.3.7illustrerer hvordandukananslaometestimatgittvednewtonsmetodeerforlite Iseksjon7.1og7.2lrerdualseoppgaverhvordetkanlnnesega injektiv,ognnedenomvendtefunksjonenogdensderiverte.iseksjon 7.5og7.6blirdukjentmedcotangensogarcusfunksjonene,ogfarse ellerforstort.iseksjon7.4fardutreningiaviseatenfunksjoner eksemplerpapraktiskbrukavdem(f.eksioppgave7.6.14). Viskallageenrektangulrinnhegninginntilenlave,ognskeratinnhegningenskalhastrstmuligareal.Viharmaterialertil50metergjerde Oppgave7.1.1 avrexmeterlange,madensistesidenvre50 2xmeterlang,slik atarealetblira(x)=x(50 2x)=50x 2x2; somskalutgjretreavsideneiinnhegningen.velgervitoavsidenetil Viderivererforannedetmaksimalearealet: x2[0;25] ViseratA0(x)=0forx=12:5.ItilleggerA0(x)>0forx<12:5og A0(x)<0forx>12:5,sax=12:5eretmaksimumspunktforA(x).Det A0(x)=50 4x strstearealetblirda Oppgave7.1.3 A(12:5)=5012:5 2(12:5)2=312:5;detvilsi312:5m2: enkeltgeometriskargumenttilalseoppgaven.lac0vrespeilingenav bliminstmulig(segurtiloppgavenikalkulus).herkanvibenytteet ViskalnneuthvorBskalliggeforatavstandenfraAtilCviaBskal padennelinjafore.daerjbcj=jbc0jsidendetorettvinklede fracnedpadennelinjafordogkallfotpunktetfornormalenfraaned Comdennedrehorisontalelinjenpaguren,kallfotpunktetfornormalen trekantenebdc0ogbdcerkongruente.mendetbetyratavstanden detvilsinartrekanteneaebogc0dberformlike(vinklenebeaog avstandenerkortestnarbliggerpadenrettelinjenmellomaogc0, fraatilcviaberlikavstandenfraatilc0viab.densistnevnte BDC0errette,ogvinkleneEBAogDBC0ertoppvinkler).Detbetyrat 41

44 vimaha LsningsforslagvedKlaraHveberg altsa jebj jaej=jdbj x2=9 x jc0dj 2x=9 x 4 AvstandenfraAtilCviaBbliraltsaminstnarviharx=3. sidekantenharlengdel=9.larvreradiusisirkelenoghvre Viskalnnedetmaksimalevolumettilenrettsirkulrkjeglehvor Oppgave7.1.5 formelharvidaatr2=l2 h2.settervidetteinniformelenfor volumetvavkjeglen,farvi hydentilkjeglen(segurentiloppgavenikalkulus).vedpythagoras Viderivererforanneekstremalverdier: V0(h)=3( 2h)h+(L2 h2)1 V(h)=3r2h=3(L2 h2)h SetterviinnL=9,farvialtsa =3( 3h2+L2)=L2 3 h2 V0(h)=92 ViseratV0(h)=0narh=p27=3p3.Sidenhydenhikkekan 3 h2=(27 h2) punktforv(h).detmaksimalevolumettilkjeglenblirdermed 0<h<3p3ogV0(h)<0forh>3p3,blirh=3p3etmaksimums- vrenegativ,erenestemulighetath=3p3.daviharatv0(h)>0for Oppgave7.2.1 V(3p3)=3(92 (3p3)2)3p3=(81 27)p3=54p3 (tegngur!).vilarhydentiltoppenavstigenpaettidspunkttvre Viharen4meterlangstigesomstaropptilenveggpaattunderlag 42

45 x(t),mensavstandenmellomfotenogveggenery(t).sammenhengen LsningsforslagvedKlaraHveberg mellomxogyerdaiflgepythagorasformelgittved ogderivasjonavdenneligningenmedhensynpatidentgir x(t)2+y(t)2=16 Fotenavstigenglirvekkmedenkonstanthastighetlik0.5m/s.Vier interessertidetyeblikkethvorx=2,y=p42 22=2p3ogy0(t)=12, 2x(t)x0(t)+2y(t)y0(t)=0 ogsettervidetteinniligningenovenfor,farvi detvilsi 4x0(t)+2p3=0 Toppenavstigenbevegersegaltsamotbakkenmedenhastighetpa0.87 x0(t)= 12p3 0:87 meterpersekundidetdenbennerseg2meteroverbakken. vannmedhastigheten100cm3/s.kjeglenharenhydepa40cmsom Enrettsirkulrkjeglemedvertikalakseogmedspissennedfyllesmed Oppgave7.2.2 erlikradienitoppaten.radienivannetstoppatevedenvannhyde herdermedlikh,ogvolumetavvannetikjeglenveddennehydenblir Derivererviuttrykketmedhensynpatident,farvi V=13h3 detvilsi V0(t)=h(t)2h0(t) h0(t)=v0(t) ForV0(t)=100ogh(t)=10girdette h(t)2 Narvannetharenhydepa10cm,stigerdetaltsamedenhastighet h0(t)= =10:32 omtrentlik0.32cm/s. 43

46 Oppgave7.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg enhastighetpa1m/s,ogskalnneuthvorfortdenopplystelengdenav Enlommelyktlyseroppensektorpa60grader.Vigarmotetgjerdemed gjerdetminker.vilaravstandenfragjerdetvrey(t),mensdetopplyste omradetharlengdex(t).daharvi Vedaderiverefarvi y(t)=tan30()x(t)=2y(t)tan30=2y(t)13p3 Sidenvigarmotgjerdetmedhastigheteny0(t)=1,minkerlengdenav x0(t)=23p3y0(t) detopplysteomradetmed23p3m/s. Oppgave7.3.1 a)viskalbrukenewton'smetodetogangerforanneettilnrmet x0=1:5.dennestetilnrmelsenergittved nullpunktforf(x)=x5+3x 7iintervallet[1;2].Startverdier oganvendervimetodenengangtilmednystartverdix1,nnervi x1=x0 f(x0) f0(x0)=x0 x50+3x0 7 5x40+3 1:320 (Deteksaktenullpunkteter1.26medtodesimalersnyaktighet.) x2=x1 x51+3x1 7 5x41+3 1:27 Oppgave7.3.7 a)viskalstuderegrafentilfunksjonenf(x)=epx 3.Sidenf(1)= e 3<0,f(2)=ep2 3>0oggrafenerkontinuerlig,hargrafen Dermedmadenhanyaktigettnullpunktidetteintervallet. funksjonenerstrengtvoksende,kandenhahystettnullpunkt. minstettnullpunktiintervallet(1;2)vedskjringsetningen.siden b)vibrukernewton'smetodeengangmedstartverdix0=1ogfar x1=x0 f(x0) f0(x0)=1 epx0 3 2px0epx0=1 2e 3 1 e =6 e Sidendendobbeltderiverteerpositiv(sjekkdetteselv!)forx> e 1:2073 1,ergrafenkonveksiintervallet(1;2)ogliggerderforiheledette 44

47 intervalletpaoversidenavgrafenstangentipunktetx0=1.spesielt LsningsforslagvedKlaraHveberg detbetyratf(x1)>0.sidenf(x0)=e 3<0,magrafenskjre gjelderdetteiskjringspunktetx1mellomtangentenogx-aksen,og tilfelleerstrreennx0.(deteksaktenullpunkteter1.2069medre tilnrmedeverdienx1fornullpunkteterforstor,sidenx1ivart x-aksenmellomx0ogx1iflgeskjringssetningen.detbetyratden Oppgave7.4.1 desimalersnyaktighet.) Viskalviseatfunksjonenerinjektivognnedenomvendtefunksjonen. b)f(x)=x2ogdf=[0;1). Denderiverteerf0(x)=2x>0forx2(0;1).Sidenfunksjonen hensynpax.denenestelsningenerx=py,daxskalvrepositiv. inversefunksjonennnesvedalseligningeny=f(x)=x2med erstrengtvoksendepaintervallet[0;1),madenvreinjektiv.den Deninversefunksjonenerdermed c)f(x)=x2ogdf=( 1;0]. f 1(y)=py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x<0forx2( 1;0).Sidenfunksjonen mavihax= py.deninversefunksjoneneraltsa erstrengtavtagendepaintervallet( 1;0],madenvreinjektiv. Vilserigjeny=f(x)=x2medhensynpax,ogdaxnaernegativ, e)f(x)=x2+2x+3ogdf=[ 1;1). f 1(y)= py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x+2>0forx2( 1;1).Sidenfunksjonenerstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1),madenvreinjektiv. VerdimengdentilferVf=[2;1),ogvinnersomtidligeredeninversefunksjonenvedalseligningeny=f(x)medhensynpax: x2+2x+3=y x= 2p4 12+4y Daxskalliggeiintervallet[ 1;1),mavivelgelsningenmedpluss = 1py 2 2 foranrottegnet.deninversefunksjonenbliraltsa f 1(y)= 1+py 2; 45 Df 1=Vf=[2;1)

48 Oppgave7.4.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg Funksjonenf(x)=2xex+1meddenisjonsomradeDf=[ 1;1)er Vilargbetegnedenomvendtefunksjonen,ogskalberegneg0(1).Vihar intervallet( 1;1),slikatfblirstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1). injektivfordidenderivertef0(x)=2ex+2xex=2ex(1+x)erpositivpa apenbart ognnerdermedy=f(x)=2xex+1=1()x=0 g0(1)= f0(0)= 1 2e0(1+0)=12 1 injektivfordidensderivertef0(x)= Funksjonenf(x)=tan2xhardenisjonsomradeDf=( =4;=4)oger Oppgave7.4.5 tildenomvendtefunksjonengipunktetx=1.vihary=f(x)=1nar slikatfunksjonenselverstrengtvoksende.viskalnnedenderiverte cos22xerpositivpadetteintervallet, 2 x==8.dermedblir g0(1)= f0(=8)= 1 2=(12p2)2=14 1 DadenderiverteavcotangensergittvedD[cotx]= 1 Oppgave7.5.2 a)d[cot(x2)]= sin2(x2)d[x2]= 1 sin2(x2) 2x sin2x,harvi b)d[cot2x]=2cotxd[cotx]= 2cotx Oppgave7.5.5 sin2x a)vinedfellerennormalfratoppunktetcitrekantenabcpagrunnkantencdberdacd=asinbogdb=acosb.avdetteflger cotangenssetningen: linjenab,ogkallernormalensfotpunktd.idenrettvinkledetre- b)ientrekantertosiderhenholdsvis10cmog5cmlange,ogden cota=ad CD=AB DB =c acosb mellomliggendevinkelener30.settervic=10,a=5ogb=30, asinb 46

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus Øyvind Ryan. november 4 Innhold Kapittel 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.4.................................

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

Lineære differensiallikninger.

Lineære differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 47, i Matematikk 0, Lineære differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 47 Lineære differensiallikninger. Oppgave

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Foreløpig utgave, oktober 2 Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser S2 - Kapittel 6 Løsningsskisser I a) Hva kan man si om overskuddet når grenseinntekten er lik grensekostnaden? b) Hva kan man si om produksjonsmengden når enhetskostnaden er lik grensekostnaden? c) Hva

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015 Plenum Kalkulus Fredrik Meyer. oktober 05 7. Oppgave (7.). Du skal lage en rektangulær innehengning til hesten din. Den ene siden dekkes av låven og på de tre andre sidene skal du bygge gjerde. Hva er

Detaljer

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),... - ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave2014 30stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Hva gjør disse skriptene? a) Skriptet lager plottet vi ser i gur 1. Figur 1: Plott fra oppgave 1 a). b) Om vi endrer skriptet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker analysedelen av pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på anvendelser av teorien enn på

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL TIMESTILBUD T Ny kk T S E F S G N I ÅPN 3- TILBUD S p på kn k F p jø k F h Tknn v k T f v D ønn å væ T Fkjøp Fk nv åpnnf A k fø k på åpnnn, knnn v f v * Un nn v Tknnn jnnfø c k V V V - 36 STIHL MS 8 6555-

Detaljer

Tillegg A. Oppgaver. A.1 Kapittel 1. Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1.

Tillegg A. Oppgaver. A.1 Kapittel 1. Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1. Tillegg A Oppgaver A.1 Kapittel 1 Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1 b) f(x) = x2 +1 2x 1 c) f(x) = x 3 2 2x + 1 d) f(x) = ln x + 2 sin x e) f(x) = 2x 4 5 e

Detaljer

Fra skolematematikken husker vi at kvadratroten til et tall a er det ositive tallet som har kvadrat lik a. Men det betyr at x2 = n x for x 0 x for x <

Fra skolematematikken husker vi at kvadratroten til et tall a er det ositive tallet som har kvadrat lik a. Men det betyr at x2 = n x for x 0 x for x < Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 2 I seksjon 2.1 far du velse i a lse ulikheter hvor tallverdier inngar (ogave 2.1.5) og enkel trening i a fre matematiske resonnementer ved a kombinere bruk

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA65 -.6.7 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo DEN NORSKE KIRKE K få O Kv Kv bp v vh K få O O, 26. vb 2010 P: Pb 2674 S.Hh 0131 O Bø: Ab 32 Tf: 23 62 90 00 E-P: p.f@.. Wb: www... B : 8380.08.67374 O.: 976 987 608 Ih Kv bp v vh... 1 K få O... 1 1 S

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 9. april 5 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) x 3 4/x dx LF: x 3 4/x dx

Detaljer

HELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon )

HELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon ) HELDAGSPRØVE Oppgave Fredag 9 Mai 4 Løsningsskisse (versjon 4.5.8) a) Deriver funksjonen fx cosx Kjerneregel: fu cosu, u x f x sinu x x sinx b) Bestem integralet x lnx dx Delvis integrasjon: u x u x 4

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT

LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT HØGSKOLEN I GJØVIK MATEMATIKK 30, HØSTEN 2004 LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT v/ Hans Engenes, august 2004 En variabel: Hvis f er en én-variabel-funksjon og

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå

Detaljer

EKSAMEN TMA4100 HØST 2014 LØSNINGSFORSLAG. du/dx = e x du = e x dx, Her har vi brukt analysens fundamentalteorem til å derivere telleren.

EKSAMEN TMA4100 HØST 2014 LØSNINGSFORSLAG. du/dx = e x du = e x dx, Her har vi brukt analysens fundamentalteorem til å derivere telleren. EKSAMEN TMA400 HØST 04 ØSNINGSFORSAG Oppgave. Uner rottegnet står et + e x, og en eriverte til ette uttrykket er e x, som står utenfor rottegnet. Sett erfor u +e x. Da får vi og vi kan løse intergralet:

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript I denne øvinga skal vi lære oss mer om skript. Et skript kan vi se på som et lite program altså en sekvens av kommandoer. Til sist skal vi se

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole P f æ ø ø T V Eh P f I. E ø ø f æ T: L Iø L f: f I. - Å - Tø E K K ø T h K ø ø f ø L Ú K - ø ø F ø ø K p ø - - - ø L L K P A T ø ø h ø àêæú µ ø ø L P ø ø -V ø ø L L f fø é K pp. h f pp () -. p f - Ah.

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle

Detaljer

Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Heldagsprøve R Thora Storms vgs. R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

I D È LANDSKAPSPLAN M 1:2000 LENGDESNITT GJENNOM VEI/BRU I PROFIL

I D È LANDSKAPSPLAN M 1:2000 LENGDESNITT GJENNOM VEI/BRU I PROFIL I D È D F F B. H y h æ yj,. Pj y 3 : Sy B F E18. L B F æ æ L, y æ. D j F.. LANDSKAPSPLAN M 1:2000 N LENGDESNITT GJENNOM VEI/BRU I PROFIL1800-300 F V E18- j j F y æ E18 -/,, j, y H. É æ y, y. D j F y. S

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

PS: Noen hadde riktig kurve, men tolket oppgaven som om området R kun var delen til høyre for y-aksen, med tilsvarende areal lik. (2 θ) 2 dθ.

PS: Noen hadde riktig kurve, men tolket oppgaven som om området R kun var delen til høyre for y-aksen, med tilsvarende areal lik. (2 θ) 2 dθ. Løsningsforslag Eksamen MAT2 vår 202 med forbehold om trykkfeil Alle referanser er til læreboken, eller notatet om uniform kontinuitet. Nøyaktige referanser er med bare for å hjelpe forståelsen (og fremtidige

Detaljer

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x

Detaljer