Størrelse: px
Begynne med side:

Download ""

Transkript

1 K A L K U L U S tilutvalgteoppgaver Lsningsforslag fratomlindstrmslrebok KlaraHveberg ved Matematiskinstitutt UniversitetetiOslo Copyrightc2006KlaraHveberg

2 Forord 2000.Denvilderforgjenspeileoppgaveutvalgetsomblegitttilgruppenedettesemesteret,ogseksjonersomikkevarpensumpadentiden gruppeundervisningenikursetmat100aveduniversitetetioslohsten Detteerensamlinglsningsforslagsomjegopprinneligutarbeidettil (kombinatorikkogbinomialformelen),seksjon4.2(inhomogenedierens- foreksempelikkelagetlsningsforslagtiloppgaveriseksjonene1.3og1.4 vilderforkunneopptresommystiske\hull"idennesamlingen.jeghar densinhomogenedierensialligninger)ogseksjonenefra11.3ogutover, dadissevarfjernetfrapensumdenaktuellehsten.viderevardelerav ligninger),seksjon7.7(hyperbolskefunksjoner),seksjon10.5(annenor- 9.5(kriterierfornaruegentligeintegralerkonvergerer)kraftignedtonet. seksjon3.4(omannegenerellen'tertteravkompleksetall)ogseksjon gruppeundervisningen,tardebareforsegetrepresentativtutvalgtavde oppgavenesomblegitt.jegharvalgtaprioritereoppgaversomillustrerer Sidenlsningsforslagenevarmentsometsupplementtildenordinre sluttminneomatmanikkelrermatematikkvedasepaferdigelsninger tattmedlsningpanoenenkle\drilloppgaver"innimellom.lamegtil hvordanmankangjennomfreetmatematiskresonnement,menharogsa Jeghaperderforatdisselsningsforslageneblirbruktpaenfornuftig somandreharlaget barevedabrynesegpaoppgaveneselv,oppdager mate,ogatdekanvretilnytteunderrepetisjonogforstudentersom manhvorproblemenesitterogkanverdsettelsningennarmanserden. ikkeharanledningtilaflgedenordinregruppeundervisningen. Hvisdunnernoenfeilellertrykkfeililsningsforslagene,erdetnt Blindern,28.mars2001 KlaraHveberg Idennenyeutgavenavlsningsforslageneeroppgavenumrenereviderti henholdtiltredjeutgaveavlreboken. Blindern,30.juni2006 KlaraHveberg i

3 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel1 LsningsforslagvedKlaraHveberg fasitideinnledendeoppgaveneombrukavsummetegnet,ogharderfor barelagetlsningsforslagtilnoenfaoppgaveravdennetypenforaillustrerebytteavsummasjonsindeks.oppgave1.1.11og1.1.13illustrerer Iseksjon1.1regnerjegmedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas etmatematiskresonnement.detsammegjelderinduksjonsoppgavenei seksjon1.2.hergiroppgave1.2.4etenkelteksempelpabrukavinduksjon,mens1.2.6,1.2.7og1.2.18erfaringsmessigvolderstudentenemer brukavaritmetikkensfundamentalteorem,oggirdegntreningiafre hodebry. Detosummeneerlike,sidenbeggebestaravdesammeleddenesummert Oppgave1.1.4c Settervim=3 nfarvi imotsattrekkeflge.vikanogsasedettevedabyttesummasjonsindeks. 4Xn=0anb3 n= 1 Xm=3a3 mbm= m= 1 3X a3 mbm Oppgave1.1.6 b)vedasettek=n+2farvi n= 2(n+2)3n=6X 4X k=0 k3k 2 c)vedasettem=n+1farvi 10Xn=0xny1 n=11x m=1 xm 1y1 (m 1)=11X hvorviidensistesummenhargjeninnfrtnavnetnpasummasjonsindeksen somkanhetehvasomhelst. n=1 xn 1y2 n Oppgave Sidenprimfaktoriseringerentydig,maethvertprimtallpsomgaroppi vilab=p1p2pmq1q2qnvreenprimfaktoriseringavproduktetab. Hvisa=p1p2pmogb=q1q2qnerprimfaktoriseringeravaogb,sa abvreetavprimtallenepiellerqjiprimfaktoriseringentilab.sahvis p=pivilpgaoppia,oghvisp=qjvilpgaoppib. 1

4 Oppgave LsningsforslagvedKlaraHveberg Laalderentilbarnavrex,yogzar.Vivetatxyz=36ogat samtidigskriveoppsummenavdissetretallene. nneallemateraskrive36=12233sometproduktavtretallog summenavbarnasaldererlikhusnummerettilhusetdebori.laoss 36= = = = = =38 36=229 36=166 36= = = =14 Sidenvenninnenikkekunneavgjrealderenpabarnaselvomhunkjente 36=334 36= = =11 summenavaldrenederes(dvshusnummeret),madennesummenhavrt 13;alledeandresummenefremkommerpaenentydigmateslikatvenninnenvillehavissthvaalderentilbarnavar.Barnamaaltsavreenten alderentilbarnavre2,2og9ar. 2,2og9areller1,6og6ar.Sidendetfanteseteldstebarn,sama Viskalviseatformelen Oppgave1.2.4 (Pn) i=1 nx erriktigforallenaturligetalln. i(i+1)= 1 n+1 n i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersann,siden 1Xi=1i(i+1)= 1 1(1+1)=12= ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet (Pm+1) bestardaiaviseatogsapm+1ersann,detvilsiat X Viharm+1 i=1 i(i+1)=m+1 1 X m+2 i=1 i(i+1)=mx 1 i=1 i(i+1)+ 1 (m+1)(m+2) 1 2

5 somiflgeinduksjonsantagelsenblir LsningsforslagvedKlaraHveberg = =m(m+2)+1 m+1+ (m+1)(m+2)=m2+2m+1 m 1 = (m+1)(m+2)=m+1 (m+1)2 IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1blirsanndersomPmersann. m+2 Viskalvisepastanden Oppgave1.2.6 (Pn) i)visjekkerfrsttilfelletn=1:p1ersannsiden1(12+5)=6,som erdeleligmed6. n(n2+5)erdeleligmed6forallen2n: ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet bestariaviseatdamaogsapm+1vresann.vihar (m+1)[(m+1)2+5]=(m+1)(m2+2m+6) =(m+1)(m2+5+2m+1) Vedinduksjonsantagelsenerdetfrsteleddetm(m2+5)deleligmed 6,ogdetsisteleddet6eropplagtogsadeleligmed6.Detgjenstar =m(m2+5)+3m2+3m+6 vilsiatm(m+1)erdeleligmed2.mendetteeroppfylt,sidenett avtallenemogm+1mavreetpartallogaltsadeleligmed2. derforbareaviseat3m2+3m=3m(m+1)erdeleligmed6,det VedinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. DermedharvivistatPm+1ersanndersomPmersann. Viskalvisepastanden Oppgave1.2.7 (Pn) i)visjekkerfrstforn=1:p1ersannsiden 2n+2+32n+1erdeleligmed7forallen2N: somerdeleligmed =23+33=35=75 3

6 ii)antasaatpmersannforetnaturligtallm2n.induksjonstrinnet LsningsforslagvedKlaraHveberg (Pm+1) bestariaviseatdamaogsapm+1vresann,detvilsiat Vihar2(m+1)+2+32(m+1)+1=2m+3+32m+3 2(m+1)+2+32(m+1)+1erdeleligmed7 =22m+2+932m+1 =22m+2+(2+7)32m+1 =22m+2+232m+1+732m+1 Iflgeinduksjonsantagelsener2m+2+32m+1deleligmed7,slikat =2(2m+2+32m+1)+732m+1 leddet732m+1apenbartogsaerdeleligmed7,flgerdetathele detfrsteleddetisummenovenforerdeleligmed7.sidendetandre IflgeinduksjonsprinsippeterdaPnsannforallen2N. summenerdeleligmed7,detvilsiatpm+1blirsann. Viskalnnefeileniflgende\induksjonsbevis"forpastanden Oppgave Bevisforsk: (Pn) \Ienhversamlingavnpersonererallelikedumme." ii)antasaatpkersannforenk2n.vimaviseatdaerogsapk+1 i)forn=1harvibareenperson,somopplagterlikedumsomseg selv,sap1ersann. dissepersoneneslikatvistarigjenmedengruppepakpersonersom sann,detvilsi:\ienhversamlingpak+1personersaerallelike vedinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervideretterutenav dumme".viseraltsapaengruppemedk+1personer.fjernenav Mendamaalledek+1personenevrelikedumme,ogbeviseter personersomogsamavrelikedummeiflgeinduksjonsantagelsen. dissepersonenemeddensistepersonen,farviennygruppepak Feilibevisforsket:Foratpastandenskalgjeldeforallen2Nma viiinduksjonstrinnetii)haetresonnementsomholderforetvilkarlig ferdig. nrmeretittpaoppbygningenavresonnementet:vistarteraltsamed tilfelletk=1,ogfungererbarefork2.forasedette,skalvitaen naturligtallk1.menresonnementetvibenytterbrytersammeni 4

7 ensamlingpak+1personersomvinskeraviseerlikedumme.fjerner LsningsforslagvedKlaraHveberg vifrstenavdissepersonene,starviigjenmedendelmengdem1pa viennydelmengdem2pakpersonersomiflgeinduksjonsantagelsen utenavpersoneneim1meddenpersonensomblefjernetfrst,far kpersonersomiflgeinduksjonsantagelsenerlikedumme.byttervisa ogsaerlikedumme.\beviset"konkludererderettermedatalledek+1 denneslutningen,basererviossegentligpaatdetnnesenpersonp personenevistartetmedmavrelikedumme,menforakunnetrekke somermedibeggedetodelmengdenem1ogm2.detunderliggende resonnementeternemligatsidenperlikedumsomallepersoneneim1 personeneim2. (PerjoogsamediM2),saerallepersoneneiM1likedummesomalle (PerjoselvmediM1),ogdessutenlikedumsomallepersoneneiM2 viljomengdenem1ogm2blitodisjunktesamlingerpak=1personer. Altinduksjonsantagelsendasieross,erathveravdetopersoneneerlike Detsisteresonnementetbrytersammennark=1:Idettetilfellet personenevistartetmedmavrelikedumme. im1ogim2,kanviikkeutfradettekonkluderemedatdek+1=2 dumsomsegselv,mensidendetikkennesnoenpersonsomermedbade 5

8 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel2 LsningsforslagvedKlaraHveberg kombinerebrukavtallverdi,trekantulikhetenoginduksjon(oppgave2.1.9 gave2.1.5)ogenkeltreningiafrematematiskeresonnementerveda Iseksjon2.1farduvelseialseulikheterhvortallverdierinngar(opp- ladegavskrekkeavatenoppgavetekstbegynnermed\visat..."du farytterligeretreningienkelmatematiskargumentasjongjennomoppgaveneomrasjonaleogirrasjonaletalliseksjon2.2.herbrdumerkedeg og2.1.10).oppgave2.1.6og2.1.7ergodeeksemplerpaatduikkebr strategienvedkontrapositivebevisogbevisvedmotsigelse.oppgavene peoppgavenesomblegittfradettekapittelet(oppgave2.3.6blebaregitt tyngreformangestudenter,ogjegharderforlagetfasittilallegrup- omsupremumoginmumiseksjon2.3falleristartfasenerfaringsmessig Oppgave2.1.5 somentilleggsoppgavefordesomhaddelystpaenekstrautfordring). a)foralseulikhetenjx 2j<jx+3jbenytterviossavdetfaktum atjaj<jbj()a2<b2.flgendeutsagnblirdermedekvivalente. 4x+4<6x+9 (x 2)2<(x+3)2 jx 2j<jx+3j 5<10x b)ulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisogbarehvisviharenten x> 12 erekvivalentmedatjx 1j>p17,detvilsiatx 1>p17eller x2 2x 8>8ellerx2 2x 8< 8. Denfrsteavdisseulikhetenekanskrivessom(x 1)2>17,hvilket atjx 1j<1,detvilsiat 1<x 1<1,altsaerx2(0;2). Denandreulikhetenkanskrivesjx 1j2<1,somerekvivalentmed x 1< p17,altsaatx2( 1;1 p17)[(1+p17;1). Ialtharvidermedatulikhetenjx2 2x 8j>8eroppfylthvisog Oppgave2.1.6 barehvisx2( 1;1 p17)[(0;2)[(1+p17;1). Perdenisjonavabsoluttverdi(side62iKalkulus)harvi jxj=nxforx0 xforx<0 6

9 Fraskolematematikkenhuskerviatkvadratrotentilettallaerdetpositivetalletsomharkvadratlika.Mendetbetyrat LsningsforslagvedKlaraHveberg Avdenisjoneneflgerdetdermedatjxj=px2. px2=nxforx0 xforx<0 Identitetenjxyj=jxjjyjflgeravoppgave2.1.4,idetvihar Oppgave2.1.7 Oppgave2.1.9 jxyj=p(xy)2=px2py2=jxjjyj Viskalviseatforalletallx,yogzsaer Smuglerviinnziuttrykketogbenyttertrekantulikhetensomsierat ja+bjjaj+jbj,farvi: jx yjjx zj+jz yj somviskullevise. jx yj=jx z+z yj=j(x z)+(z y)jjx zj+jz yj Viskalvisevedinduksjonpanat Oppgave VibetegnerutsagnetovenformedPn.DaerP1opplagtsannsiden forallereelletalla1;a2;:::;an. ja1+a2++anjja1j+ja2j++janj AntasaatPmersann,detvilsiat ja1jja1j VimaviseatdaerogsaPm+1sann.Benyttervitrekantulikhetenifrste skrittoginduksjonsantagelseniandreskritt,farvi ja1+a2++amjja1j+ja2j++jamj AltsaerPm+1sanndersomPmersann. j(a1+a2++am)+am+1jja1+a2++amj+jam+1j Induksjonsprinsippetsikrerdaatformelengjelderforallen2N. ja1j+ja2j++jamj+jam+1j 7

10 Oppgave2.2.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg b)ibrken2 7p2 a)brken7=3 (setning2.2.1). 28=5errasjonal,sidenbadetellerenognevnerenerrasjonale detrasjonaletallet2ogdetirrasjonaletallet7p2(produktetav etrasjonaltogetirrasjonalttallerirrasjonalt)),mensnevnerener 4 ertellerenirrasjonal(sidendenerendierensmellom c)sidendierensenmellomtoirrasjonaletallnoengangerbliretrasjonalttallogandregangeretirrasjonalttall,maviomformeuttrykket ogsehvavifar. rasjonal.iflgesetning2.2.2erdabrkenselvirrasjonal. Dierenseneraltsarasjonal. 3p2 61p2 4=3p2 6 p2+24=24 d)enbrkhvorbadetellerenognevnerenerirrasjonale,kannoen gangervrerasjonalogandregangerirrasjonal,savimaomforme brkenogsehvavifar. 3+p2 3 p2= (3 p2)(3+p2)=9+6p2+2 (3+p2)2 9+2 =11+6p2 (setning2.2.2). Herertellerenirrasjonalognevnerenrasjonal,sabrkenerirrasjonal e)somipunktd)erbadetellerenognevnerenirrasjonale,saviomformerbrken ogseratdenerrasjonal. 4(3+p2)=14 Oppgave2.2.5 a)detergaltatsummenavtoirrasjonaletallalltiderirrasjonal. b)detersantathvisaerirrasjonal,saer adetogsa. Moteksempel:Summenp2+(3 p2)=3avdetoirrasjonaletallene p2og(3 p2)errasjonal. Bevis:Antaataerirrasjonal.Daer a=( 1)asomeretproduktmellometrasjonalttallogetirrasjonalttall,ogderforselvet c)detergaltathvisa2errasjonal,saeradetogsa. irrasjonalttall. Moteksempel:a2=2errasjonal,mena=p2erirrasjonal. 8

11 d)detersantathvisa2erirrasjonal,saeradetogsa. LsningsforslagvedKlaraHveberg Bevis:Viviserdetkontrapositiveutsagnet,nemligathvisaer Antaaltsaataerrasjonal.Dakanviskrivea=b=chvorb;c2Z rasjonal,saera2ogsarasjonal. e)detersantathvisaerirrasjonal,saer1=adetogsa. betyrjonettoppata2errasjonal. ogc6=0.mendaera2=b2=c2medb2;c22zogc26=0.mendet Bevis:Antaataerirrasjonal.Daharbrken1=aenrasjonalteller Oppgave2.2.7 ogenirrasjonalnevner,ogerdaiflgesetning2.2.2selvirrasjonal. detvilsiatvikanskrivep3=a=bhvoraogbernaturligetall.la a=p1p2pmogb=q1q2qnvreprimfaktoriseringenetilaogb. Viskalbeviseatp3erirrasjonal.Anta(formotsigelse)atp3errasjonal, Daharvi p3=ab=p1p2pm Kvadrerervibeggesideravligningen,farvi q1q2qn detvilsi 3=p21p2p2m q21q2q2n Pahyresideavlikhetstegnetforekommeralleprimfaktoreneetlikeantallganger(spesieltgjelderdetteforprimfaktoren3),menpavenstre 3q21q2q2n=p21p2p2m harfunnettoforskjelligeprimfaktoriseringeravdetsammetallet,noe sideforekommerprimfaktoren3etoddeantallganger.detbetyratvi somerumuligiflgearitmetikkensfundamentalteorem.altsaharvivist atantagelsenomatp3errasjonalledertilenselvmotsigelse,saeneste Oppgave muligheteratp3erirrasjonal. enn2nslikatn>b=a.mendetteflgerdirektefraarkimedesprinsipp slikatna>b.sidena>0,erdetteekvivalentmedaviseatvikannne Antaata>0.Viskalviseatuansetthvorstorb2Rer,sansenn2N nneetnaturligtallnslikatn>r. somsieratviforethvertreelttallr,ogdermedspesieltforr=b=a,kan 9

12 Oppgave2.3.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg d)daeksponentialfunksjonenerstrengtvoksende,blirutsagnet b)mengdennerkunnedadbegrensetmedstrstenedreskranke1. ekvivalentmedutsagnet 2<lnx3 MengdenM=fx: 2<lnx3gerderforlikintervallet(e 2;e3] e 2<xe3 e 2.HerersupM2M,meninfM=2M. somerbadeoppadognedadbegrensetmedsupm=e3oginfm= Oppgave2.3.5 a)viviserulikhetbeggeveier. i)sidensupaerenvreskrankeforaogsupberenvreskranke ermindreennenhverannenvreskrankefora[b,flgerat forb,altsaenvreskrankefora[b.ogdasup(a[b) forb,blirmax(supa;supb)envreskrankebadeforaog ii)sidensup(a[b)erenvreskrankefora[b,blirsup(a[b) ogsaenvreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.ogda sup(a[b)max(supa;supb). supaogsupbermindreennenhverannenvreskrankefor b)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadesupa Avi)ogii)flgeratsup(A[B)=max(supA;supB). henholdsvisaogb,flgeratsup(a[b)max(supa;supb). sup(a\b)min(supa;supb). ennenhverannenvreskrankefora\b,flgergenereltulikheten ogsupbvreskrankerfora\b.ogdasup(a\b)ermindre Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi c)viviserulikhetbeggeveier. foreksempela=f1;2gogb=f1;3g,blirsup(a\b)=1somer forskjelligframin(supa;supb)=2. i)sideninfaerennedreskrankeforaoginfbennedreskranke erstrreennenhverannennedreskrankefora[b,flgerat forb,altsaennedreskrankefora[b.ogdainf(a[b) forb,blirmin(infa;infb)ennedreskrankebadeforaog inf(a[b)min(infa;infb). 10

13 ii)sideninf(a[b)erennedreskrankefora[b,blirinf(a[b) LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaennedreskrankeforhveravdelmengdeneaogb.og dainfaoginfberstrreennenhverannennedreskrankefor d)sidena\berendelmengdebadeavaogavb,blirbadeinfa Avi)ogii)flgeratinf(A[B)=min(infA;infB). henholdsvisaogb,flgeratinf(a[b)min(infa;infb). ennenhverannennedreskrankefora\b,flgergenereltulikheten oginfbnedreskrankerfora\b.ogdainf(a\b)erstrre inf(a\b)max(infa;infb). forskjelligframax(infa;infb)=2. Denneulikhetenkanimidlertidikkeskjerpestilenlikhet.Larvi foreksempela=f2;3gogb=f1;3g,blirinf(a\b)=3somer Oppgave2.3.6 a)viviserlikhetensup(a+b)=supa+supbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata> i)daapenbarta+bsupa+supbforallea2aogb2b, flgerdetatsup(a+b)supa+supb. foralle">0,mavihasup(a+b)supa+supb. ogflgeligsup(a+b)>supa+supb ".Sidendettegjelder supa "=2ogb>supB "=2.Daera+b>supA+supB " b)viviserlikheteninf(a+b)=infa+infbvedaviseulikhetbegge veier. ii)forenhverpositiv"nnesena2aogenb2bslikata< i)daapenbarta+binfa+infbforallea2aogb2b,flger detatinf(a+b)infa+infb. ogflgeliginf(a+b)<infa+infb+".sidendettegjelder foralle">0,mavihainf(a+b)infa+infb. infa+"=2ogb<infb+"=2.daera+b<infa+infb+" 11

14 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel3 LsningsforslagvedKlaraHveberg ogfasiterdekkendeforderentregnemessigeoppgavene.jegharderfor deforegaendekapitlene,ogjegregnerderformedatlrebokaseksempler Idettekapitteletharmangeavoppgaveneetmindreteoretiskpregenni forstaelseavdekompleksetallene(oppgave3.2.7og3.2.10)oggirvelse imatematiskargumentasjon(oppgave3.1.10,3.2.12og3.2.15).duvil prioritertalagelsningsforslagtiloppgaversomtesterdingeometriske mellomkartesiskformogpolarform(oppgave3.2.3,3.2.5,3.3.1og3.3.3), likevelogsanneenkleeksemplerpahvordanduoversetterfremogtilbake hvordandunnertredjertter(oppgave3.4.3),oghvordandukanlse viserentypiskanvendelseavdemoivresformel,mensoppgave komplekseannengradsligninger(oppgave3.4.9og3.4.11).oppgave3.3.8 girdeggodtreningialseenkompleksannengradsligningoguttrykke Oppgave3.1.5 lsningenbadepakartesiskogpolarform. Viskallsedeoppgitteligningene. a) 2iz=3+4i = 6i 8i2 2i =(3+4i)( 2i) 2i( 2i) (1+i)z+3=1 i 4 =2 32i b) (1+i)z= 2 i = 2 i+2i+i2 1+i=( 2 i)(1 i) 1+1 (1+i)(1 i) = 3+i Oppgave Antaatz+wogzwerreelle.Viskalviseatdaerentenbeggetallenez ogwreelleellersaerdekonjugerteavhverandre. Laz=a+ibogw=c+id.Daharvi z+w=(a+c)+i(b+d) zw=(ac bd)+i(ad+bc) 12

15 Atz+wogzwerreellebetyratderesimaginrdelererliknull,detvil LsningsforslagvedKlaraHveberg siat ad+bc=0 b+d=0 Denfrsteligningengirb= d.settervidetteinnidenandreligningen, ogw=c+id=a ib,detvilsiatzogwerkonjugerte. farvid(a c)=0,someroppfyltnard=0ognara=c.hvisd=0har vib=d=0,detvilsiatzogwerreelle.hvisa=charviz=a+ib Oppgave3.2.3 b)viskalnnemodulusenogargumentettilz= i. Argumenteterbestemtvedat Modulusener r=j ij=p02+( 1)2=1 og cos=re(z) sin=im(z) r =0 Dettebetyrat r = 1 1= 1 e)viskalnnemodulusenogargumentettilz=1+ip3. =32 Modulusenerr=pRe(z)2+Im(z)2=p1+3=2 Argumenteterbestemtvedat og cos=re(z) sin=im(z) r =12 Dettebetyrat r =p3 =3 2 13

16 Oppgave3.2.5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalskrivedekompleksetallenepaformenz=a+ib. a)r=4og=2. b)r=1og=4ż=1cos4+isin4=12p2+i12p2 z=r(cos+isin)=4(cos2+isin2)=4(0+i)=4i c)r=2og=6. d)r=12og=32. z=2cos6+isin6=2(12p3+i12)=p3+i Oppgave3.2.7az=12cos32+isin32=12(0 i)= 12i Gitttallene Iflgeteorem3.2.3harproduktetzwmodulusr=23=6ogargument z=2cos12+isin12ogw=3cos5 12+isin5 12 = =6 12=2.Altsablir Oppgave zw=6cos2+isin2=6i Viskalskisseredeoppgitteomradeneidetkomplekseplanet. a)fz:jzj=1g b)fz:jz 1j<2g Detteerallepunkterzsomharavstandlik1fraorigo,detvilsialle punkterpaenhetssirkelen. Detteerallepunkterzsomharavstandmindreenn2frapunktet c)fz:jz (i+1)j12g (1;0),detvilallepunkteridetindreavensirkelmedradius2om punktet(1;0). 14

17 Detteerallepunkterzsomharenavstandpaminst12frapunktet LsningsforslagvedKlaraHveberg d)fz:jz 2j<jz i+2jg=fz:jz 2j<jz (i 2)jg radius12ompunktet(1;1). i+1=(1;1),detvilsiallepunkterpaogutenforensirkelmed Detteerallepunkterzsomharkortereavstandtilpunktet(2;0) enntilpunkteti 2=( 2;1),detvilsiallepunktersomliggerekte regning.laz=x+iy.kvadrerervidengitteulikheten,farvi Dettekanvientensegeometrisk(tegngur),ellervedflgendeut- underlinjeny=4x+12. (x 2)2+y2<(x+2)2+(y 1)2 jz 2j2<jz i+2j2 x2 4x+4+y2<x2+4x+4+y2 2y+1 2y<8x+1 Oppgave y<4x+12 normaltpahverandrehvisogbarehvisz=weretrentimaginrttall. Viskalviseat(vektorenetilsvarende)detokompleksetallenezogwstar eretoddemultiplumav=2,detvilsi1 2=(2k+1)=2;k2Z.Men ment1 2.Talletz=werrentimaginrthvisogbarehvisargumentet Dersomzogwharargumenter1og2henholdsvis,farz=wargu- detbetyrjonettoppatzogwstarnormaltpahverandre,da1 2er vinkelenmellomvektorenezogw. erreell.atz=werreellbetyratargumenteteretmultiplumav,det vilsi1 2=k;k2Z.Mendetbetyratvektorenezogwentenpeker Pasammemateserviatzogwerparallellehvisogbarehvisz=w isammeretningellerimotsattretning,detvilsiatdeerparallelle. farvi: Viskalviseatjz+wj2+jz wj2=2jzj2+2jwj2.benytterviatzz=jzj2, Oppgave jz+wj2+jz wj2=(z+w)(z+w)+(z w)(z w) =(zz+zw+wz+ww)+(zz zw wz+ww) =jzj2+jwj2+jzj2+jwj2=2jzj2+2jwj2 15

18 Tegnervietparallellogramutspentavvektorenesomtilsvarerdekompleksetallenezogw,vildiagonaleneidetteparallellogrammetvre z+wogz w.utregningenovenforviserdaatsummenavkvadratene LsningsforslagvedKlaraHveberg tilsideneietparallellogramerliksummenavkvadratenetildiagonalene. Oppgave3.3.1 b)viskalskrivetallete i4paformena+ib. Oppgave3.3.3 e i4=e0cos 4+isin 4=cos4 isin4=12p2 i12p2 b)viskalskrivetalletz=4 4ipaformenrei. SidenRe(z)= Im(z)serviat= 4.Altsaharvi r=p42+( 4)2=p216=4p2 Oppgave3.3.8 z=4p2e 4i Da1+iharmodulusp2ogargument4farvi Viskalregneut(1+i)804og(p3 i)173vedhjelpavdemoivresformel. (1+i)804=p2cos4+isin4804 =p2804cos isin804 4 =p22402 cos(200+)+isin(200+) =p2(2402)(cos201+isin201) = 2402 =2402(cos+isin) Ogdap3 iharmodulus2ogargument 6farvi (p3 i)173=2cos =2173cos isin isin

19 =2173cos28+56 isin28+56 LsningsforslagvedKlaraHveberg =2173cos56 isin56 = 2172(p3+i) = p3 i12 Viskalnnealletredjerttenetilz= iogskrivedempaformenrei Oppgave3.4.3b oga+ib. z13=e i z= i=e i 6+2ki 32+2ki Settervinaetterturk=0,k=1ogk=2,farvidetretredjerttene w0=e i w1=e i 6=cos( 6)+isin( 6)=12p3 12i w2=e i 6+2i 6+4i 3=e3i 3=e7i 6=ei 6= 12p3 12i 2=i Annengradsligningenz2+2z+4=0harlsningene Oppgave3.4.9a z= 2p = 2p = 22ip3 detvilsi = 1ip3 2 z1= 1+ip3 Oppgave3.4.11bz2= 1 ip3 Annengradsligningenz2+2iz+5=0harlsningene z= 2ip(2i)

20 = 2ip 24 LsningsforslagvedKlaraHveberg 2 = 2i2ip6 detvilsi = iip6 2 z1=i(p6 1) Oppgave3.4.14z2= i(p6+1) Ligningenz2+2(1 i)z+7i=0harlsningene z= 2(1 i)p4(1 i)2 417i = (1 i)p(1 i)2 7i= (1 i)p 9i = (1 i)3p i2 ovenforvidereblir Da i=e i=2harvip i=e i=4=12p2(1 i),slikatuttrykket detvilsiz1=32p2 1 i32p2 1=32p2 1(1 i) = (1 i)312p2(1 i)= 132p2(1 i) Da1 i=p2e i=4ogi 1=p2ei3=4,blirlsningenepapolarform z2= 32p2+1+i32p2+1=32p2+1(i 1) z2=32p2+1p2ei3=4=(3+p2)ei3=4 z1=32p2 1p2e i=4=(3 p2)e i=4 i4.kvadrant.vektorenz2harlengde3+p2ogargument3=4,ogpeker Vektorenz1harlengde3 p2ogargument =4,ogpekeraltsanedover Oppgave3.5.5 altsaoppoveri2.kvadrant(tegngur). a)viskalviseatierenrotipolynometp(z)=z4+2z3+4z2+2z+3. P(i)=i4+2i3+4i2+2i+3=1 2i 4+2i+3=0 18

21 b)sidenienrotipolynometp(z),vetvivedlemma3.5.3ati= i LsningsforslagvedKlaraHveberg ogsaerenrotidettepolynomet.mendetbetyratp(z)erdelelig med(z i)(z+i)=z2+1.viutfrerpolynomdivisjon: z4+2z3+4z2+2z+3:z2+1=z2+2z+3 z4+z2 2z3+3z2+2z+3 2z3+2z Detgjenstarbareafaktoriserez2+2z+3: 3z2+30 z2+2z+3=0 z= 2p4 431 = 2p z1= 1+p2i= 22p2i z2= 1 p2i 2 DekomplekseogreellefaktoriseringeneavP(z)blirdermed: z4+2z3+4z2+2z+3=(z+i)(z i)(z+1 p2i)(z+1+p2i) =(z2+2z+3)(z2+1) 19

22 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel4 LsningsforslagvedKlaraHveberg Iseksjon4.1girdeinnledendeoppgavenedegtreningialsedierensligninger,ogjegregnermedatdetikkeerbehovforautdypelrebokas eksemplerogfasither.menlikeviktigsomakunnelseslikeligninger, Oppgave4.1.14viserdegenannenanvendelseavdierensligninger. utifraenoppgavetekst.oppgave4.1.9og4.1.11girgodtreningidette. erdetaforstahvordanmantenkernarmanskalstilleoppligningene flger(f.eksioppgave4.3.4),mendunnerogsaenkleeksemplerpa hvordanmanregnerutslikegrenseverdieripraksis(oppgave4.3.1og Iseksjon4.3fardubrynetdegpadenisjonenavgrenseverdifor beggegarmotuendelig,likegjernekangamotetendeligtallsommot uendelig ).Oppgave4.3.14illustrereratdierensenmellomtoflgersom frstesierer1,oghvorto1-erealdriflgeretterhverandre. Laanvreantallsekvenseravlengdensombestarav0-erog1-ere,der Oppgave4.1.9 initialbetingelsenea1=a2=1. sekvensen'10'erdenenestelovligeavlengden=2.dermedharvi Sekvensen'1'erdenenestelovligesekvensenavlengden=1,og ossdetotilfelleneettertur: nsomnnes.detsistesieretistrengenerenten0eller1,ogvitarfor Antanaatn>2,oglaosssepahvilkelovligesekvenseravlengde i)hvissistesierisekvensener0,kandeforegaende(n 1)sifrene ii)hvissistesierisekvensener1,madetnestsistesieretvre0, vreenhvilkensomhelstavdean 1lovligesekvenseneavlengde n 1. sidenvialdrikanhato1-ereetterhverandre.vihardabareigjen Dissetotilfellenedekkerallemuligheterviharforlovligesekvenserav dean 2lovligesekvenseneavlengden 2. (n 2)sifreisekvensen,ogdissekanvreenhvilkensomhelstav ereganger).detteviseratanergittveddierensligningen: lengden(ogdeerdisjunkteslikatviikkehartaltoppsammesekvens forn>2medinitialbetingelsera1=a2=1. Vinnerfrstdengenerellelsningenavdierensligningen an=an 1+an 2 an an 1 an 2=0 20

23 Denkarakteristiskeligningenerr2 r 1=0somharrtter LsningsforslagvedKlaraHveberg Dengenerellelsningenblirderfor: an=a(1=2+p5=2)n+b(1=2 p5=2)n r1=1=2+p5=2ogr2=1=2 p5=2 Initialbetingelsenegir: a2=a(1=2+p5=2)2+b(1=2 p5=2)2=1 a1=a(1=2+p5=2)+b(1=2 p5=2)=1 Lservidisseligningene(sekommentarnedenfor),farviA=1=p5og B= 1=p5.Denspesiellelsningenblirderfor: an=1 1+p5 2 n 1 p5 2 n (Merkatdetteerdensammelsningensomieksempel4.1.8fordidierensligningenvistartetmederidentiskmedFibonaccisrelasjon.) Tipstilutregningen: Forafaenkelregning,kanvifrstsamleleddenesomomviskullelse ligningenemedhensynpa\variablene"a+boga B: Avdenfrsteligningenfarvidaat ogavdenandreligningenfarviat 3(A+B)+p5(A B)=2 (A+B)+p5(A B)=2 Trekkervidenfrsteligningenfradenandre,farvi2(A+B)=0,det ogb= 1=p5. (A A)+p5(A+A)=2,detvilsi2A=2=p5.DermedblirA=1=p5 vilsia= B.Settervidetteinnigjenidetfrsteuttrykket,farvi millionerogbankenmed100 nmillioner.vinskeregentliganne Laxnvresannsynlighetenforatduvinnerdersomdustartermedn Oppgave x90,menlserproblemetforengenerellxnfrst. Detertomuligematerdukanvinnepa:Medsannsynlighet18 vinnepadennematener18 xn 1forasikresluttseieren.Dentotalesannsynlighetenforatduskal vinnerdufrsteomgang,innkasserer1millionoghardasannsynlighet 37xn 1.Denandrematendukanvinnepa, 37 21

24 ergjennomatapefrsteomgang(medsannsynlighet19 LsningsforslagvedKlaraHveberg million,forderetterasikredegsluttseierenmedsannsynlighetxn 1.Den totalesannsynlighetenforavinnepadennematener19 37xn 1. 37),gifradeg1 somlettomformetgirdierensligningen37xn 1 Dermedserviatxnergittved xn=18 37xn+1+19 Denneharkarakteristiskligning 18xn+1 37xn+19xn 1=0 medrtter r=37p r2 37r+19=0 detvilsi 218 =371 r1=1; r2=19 36 Dengenerellelsningenblirda xn=c+d19 18n 18 Dermederx0=C+D=0.Starterdumed100millioner,harduvunnet, Hvisdustartermednullogbankenmed100millioner,sahardutapt. Innsattoverforgirdettedenspesiellelsningen sax100=c+d(19 18)100=1.DermederD= CogC= 1 (19 18) xn= 1 (19118) n Settervin=90farvialtsa x90=1 (19 18)1000:58 18)90 middeltemperaturen.vihar Laxnvreavviketimiddeltemperaturenimanednrnfradenarlige Oppgave medinitialbetingelsenex1= 12ogx3= 6.Detervarmestiden manedenkhvorxkerstrst,ogkaldestidenmanedenthvorxter xn+2 p3xn+1+xn=0 minst.vilserdierensligningenforafaenformelforxn: 22

25 Denkarakteristiskeligningenerr2 p3r+1=0somhardetokomplekse LsningsforslagvedKlaraHveberg rttene Disseharmodulus: r1=p3 2+12iogr1=p3 2 12i Argumentettilr1erbestemtvedat =r34+14=1 detvilsiat cos=p3 2 og sin=12 Dengenerelle(reelle)lsningenblirdermed =6 Avinitialbetingelsenefarvi xn=ecosn6+fsinn6hvore;f2r og x1=ep3 x3=e0+f1= 6 2+F12= 12 DensisteligningensieratF= 6,sominnsattidenfrsteligningengir Denspesiellelsningenblirderfor Ep3 2 3= 12()E= 18 p3= 6p3 F(n)=xn= 6p3cosn6 6sinn6 Viderivererforabestemmeekstremalpunktene: F0(n)=6p36sinn6 66cosn =p3sinn6 cosn 6 Avdettefarvividereat F0(n)=0()cosn6=p3sinn6 23

26 Sidencos=p3sinnyaktignar=6eller=76,betyrdetteatvi LsningsforslagvedKlaraHveberg maha detvilsi n6=6 eller n6=76 SidenvivetatF(1)=x1= 12,ogviharatF(7)= F(1)=12(bade Temperaturfunksjonenharaltsaekstremalverdierforn=1ogforn=7. n=1ellern=7 varmestimanednr7. Visetteroppenoversiktovertemperaturenideulikemanedene: cosinusogsinusskifterfortegn),serviatdeterkaldestimanednr1og F(2)= 6p312 6p3 F(1)=x1= 12 F(3)=x3= 6 2= 6p3 F(4)= 6p3 12 6p3 F(5)= 6p3 p =6 2=0 F(7)= F(1)=12 F(8)= F(2)=6p3 F(6)= 6p3( 1) 60=6p3 F(10)= F(4)=0 F(11)= F(5)= 6 F(9)= F(3)=6 Dissepunktenekannamarkeresietkoordinatsystem(gjrdette,ogtegn enkontinuerligtemperaturkurvesomgargjennomalledissepunktene). F(12)= F(6)= 6p3 observereatformelenf(n)kanomskrivespaflgendemate: Kommentar: Vikunneogsahafunnetlsningenutenaderivere,simpelthenveda F(n)= 6p3cosn6 6sinn6 = 12p3 2cosn6+12sinn6 24

27 = 12sin3cosn6+cos3sinn6 LsningsforslagvedKlaraHveberg = 12sin3+n6 gumentet(3+n Detteuttrykketblirminstnarsin(3+n6)erstrst,detvilsinarar- narn=7. sin(3+n 6)erminst,detvilsinarargumentet(3+n 6)erlik2,altsanarn=1.Uttrykketblirstrstnar 6)erlik32,altsa Viskalnnegrenseverdiene. Oppgave4.3.1 a)lim n!18n4+2n 3n4 7=lim n!18n4+2n 3n4 7 =lim n!18+2n3 3 7n4=8+0 b)lim n!13n2 4 2n3+7=lim n!13n2 4 2n =83 =lim n!13n 4n3 2+7n3=0 0 c)lim n!15n3+2n =0 7n 4 =lim n!15n3+2n 13 7n 4 n =lim n!15n n n Oppgave4.3.3 =1 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim n!1(pn+2 pn)=lim n!1(pn+2 pn)(pn+2+pn) =lim pn+2+pn n!1pn+2+pn=lim n+2 n n!1pn+2+pn=02 b)lim n!1pn+pn pn=lim 1 n!1(pn+pn pn)(pn+pn+pn) pn+pn+pn =lim n!1 p n+pn n n+pn+pn=lim n!1 p n+pn+pn =lim n!1 q n 1 +1=lim n!1 r 1+pn n+1! =lim n!1 s 1+1 pn+1!=1+1=2 25

28 Oppgave4.3.4a LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatlimn!1(3 2n)=3vedabrukedenisjon4.3.1.Viskal altsaviseatflgenan=3 2nkonvergerermota=3.Siden maviviseatuansetthvilken">0viblirgitt,kanvinneetnaturlig jan aj=3 2n 3= 2n=2n tallnslikatjan aj=2n<"narn>n.mendetteerlett:vivelger N>2".EtsliktnaturligtallNnnesiflgeArkimedesprinsipp(2.2.6). baren2ntilavreetnaturligtallslikat2n<",detvilsislikat limn!1bn=1ogsomsamtidigoppfyller: Viskalnneeksemplerpaflgerfangogfbngsomerslikatlimn!1an= Oppgave a)limn!1(an bn)=1. Laan=2nogbn=n.Daer b)limn!1(an bn)= 1. n!1(an bn)=lim n!1(2n n)=lim n!1n=1 Laan=nogbn=2n.Daer c)limn!1(an bn)eretendeligtall. n!1(an bn)=lim n!1(n 2n)=lim n!1( n)= 1 Laan=nogbn=n 1n.Daer n!1(an bn)=lim n!1n n+1n=lim n!11n=0 26

29 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel5 LsningsforslagvedKlaraHveberg Ikapittel5harmangeavoppgaveneetmerteoretiskpregennduer kontinuitet(kap5.1)oggrenseverdi(kap5.4),ogsomillustrererhvordan vanttilfraskolematematikken,ogjegharderforlagtvektpaalage lsningsforslagtiloppgaversominvolvererdeformelledenisjoneneav mankananvendeskjringssetningen(kap5.2)ogekstremalverdisetningen(kap5.3)paulikemater. Oppgave5.1.5 jf(x) f(a)j<". Viminneromatfunksjonenferkontinuerligipunkteta2Dfhvisdet forenhver">0nnesen>0slikatnarx2dfogjx aj<,saer a)viskalviseatf(x)=2x+1erkontinuerligipunktetx=2.foren gitt">0mavinneen>0slikat Vihar jx 2j<=)jf(x) f(2)j<" jf(x) f(2)j=j(2x+1) (22+1)j =2jx 2j =j2x+1 5j Velgervina="2,blir narjx 2j<. jf(x) f(2)j=2jx 2j<2=2"2=" b)viskalviseatf(x)=x2erkontinuerligipunktetx=3.forengitt ">0mavinneen>0slikat Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 3j<=)jf(x) f(3)j<" jf(x) f(3)j=jx2 32j =jx+3jjx 3j =j(x+3)(x 3)j Foraholdefaktorenjx+3junderenfastskrankevelgerviabegrense osstilintervallet(2;4),hvorjx 3j<1,slikatjxj<4ogdermed 27

30 jx+3j<7.hvisviitilleggsrgerforatfaktorenjx 3j<"7,farvi LsningsforslagvedKlaraHveberg ialt Detteblirflgeligoppfyltforallexslikatjx 3j<dersomvi jf(x) f(3)j=jx+3jjx 3j<7"7=" e)viskalviseatf(x)=1xerkontinuerligipunktetx=1.forengitt ">0mavinneen>0slikat velger=min(1;"7). Funksjonsdierensenkanskrivesslik: jx 1j<=)jf(x) f(1)j<" jf(x) f(1)j=1x 1=jx 1j mavisrgeforatxholdersegunnaorigo.dettekanvifatilved Foratdenneskalblimindreenn"narxliggerien-omegnom1, jxj frstavelge1=12.dablirjxj>12dersomjx 1j<1,slikat Srgervisamtidigforatjx 1j<2="2,farvividereat jf(x) f(1)j=jx 1j jxj <2jx 1j Setterviderfor=min(1;2)=min(12;"2),harvinaialtvistat jf(x) f(1)j<2jx 1j<2"2=" Oppgave5.1.6a jf(x) f(1)j<"forallexslikatjx 1j<. Viskalviseat f(x)=x+1forx<0 erdiskontinuerligipunktetx=0.velgervinemligen"slikat0<"<1, x forx0 vilf(x)=x+1>(" 1)+1="forallex2(" 1;0).Mendet mange)iintervallet( ;)slikatjf(x) f(0)j>".altsaerfunksjonen hvorlitenvivelger>0vildetderfornnesenx(faktiskuendelig betyratjf(x) f(0)j=f(x)>"forallexidetteintervallet.uansett diskontinuerligipunktetx=0. 28

31 Oppgave5.2.2a LsningsforslagvedKlaraHveberg Vikanforeksempelvelgex0=1=e,somgirf(1=e)=( lne)+1=e= Viskalviseatf(x)=lnx+xharnullpunktiintervallet(0;1).Siden 1+1=e<0.Sidenf(1)=ln1+1=1>0,ogfunksjonenfer limx!0f(x)= 1,kanvinneenx0iintervallet(0;1)slikatf(x0)<0. (0;1). etnullpunktiintervallet(1e;1)ogdermedogsaidetstrreintervallet kontinuerligiintervallet[1e;1],flgerdetavskjringssetningenatfhar Viskalviseatgrafenetilf(x)=sinxogg(x)=x3skjrerhverandrei Oppgave5.2.3b intervallet[6;3].iendepunkteneavintervalletharfoggverdiene f6=12; f3=12p3<1; g6=63<463=233=8 g3=33>1 27<12 Sidenf(6)>g(6),f(3)<g(3)ogbeggefunksjoneneerkontinuerlige iintervallet[6;3],samagrafeneskjrehverandrevedkorollar5.2.2i Kalkulus. Laf(x)=tanxogg(x)=x.Daharvi Oppgave5.2.4 f34=1<34=g34 f4=1>4=g4 Viseravengur(tegngrafenselv!)atdetikkennesnoetallc2(4;34) slikatf(c)=g(c).detteerlikevelikkeistridmedkorollar5.2.2,da funksjonenfikkeerkontinuerligiintervallet(denerdiskontinuerligfor Oppgave5.2.6 x=2). Viskalviseatethvertpolynomavoddegradharminstenreellrot.La f(x)=anxn+an 1xn 1+a0 vreetpolynomavgradn,detvilsiatan6=0.hvisneretoddetall, =xnan+an 1 x ++a0 xn vilfaktorenxniuttrykketovenforskiftefortegnmedx.fortilstrekkelig 29

32 storeverdieravjxjvilfaktoreniparenteshasammefortegnsomdet LsningsforslagvedKlaraHveberg vokser.detnnesderforet(stort)tallx0>0slikatf(x0)ogf( x0) harmotsattefortegn.(debehverikkederforvremotsattlikestore.) frsteleddetan,idetdevrigeleddeneiparentesengarmotnullnarjxj Sidenfunksjonenferkontinuerligpaintervallet[ x0;x0],hardenet Oppgave5.2.7 nullpunktiintervallet( x0;x0)iflgeskjringssetningen. Nestedagstarterhunnedstigningenklokken7ogernedeklokken15. Enfjellklatrerstarterfrabakkenklokken7ognartoppenklokken15. a)viskalviseatdetnnesetklokkeslettderhunerlikehytoppebegge dager.vilarfjelletshydevreh.vilarsaf(t)staforklatrerens hydeoverbakkenvedetklokkesletttunderoppstigningenogg(t) funksjonsgrafeneskjrehverandreforenverdit02(7;15)iflge ogsidenf(7)=0<h=g(7)ogf(15)=h>0=g(15),ma hydenundernedstigningen.beggefunksjoneneerkontinuerlige, b)naantarviathunbegynnernedstigningenklokken10istedenfor7, oppevedklokkeslettett0beggedager. korollar5.2.2tilskjringssetningen.detbetyrathunerlikehyt klokken15,erhunderklokken16ogsa,savimahaf(16)=h> denfrstedagen,maf(10)<h=g(10).ogsidenhunnartoppen ogathunernedeklokken16.sidenhunikkeeroppefrklokken15 0=g(16).Pasammematesomipunkta)kanviderfortrekke klokkeslettt12(10;16)beggedager. denkonklusjonathunogsaidettetilfelleerlikehytoppevedet Viskalviseatenkontinuerligfunksjonf:[0;1]![0;1]haretkspunkt, Oppgave5.2.8 detvilsiatdetnnesenx2[0;1]slikatf(x)=x. antarverdieriintervallet[0;1],harviatf(0)0=g(0)ogf(1) 1=g(1).Daf(ogg)erkontinuerlige,nnesdetvedkorollar5.2.2en Lag:[0;1]![0;1]vreidentitetsfunksjoneng(x)=x.Sidenf Oppgave5.3.2 x2[0;1]slikatf(x)=g(x),altsaf(x)=x. a)sideng(x)=xerkontinuerligforallex,blirf(x)= kontinuerligforallex6=0iflgesetning5.1.2.funksjonenfer dermedkontinuerligihelesittdenisjonsomrade(saferkontinuerlig g(x)=1x 1 iflgedenisjon5.1.8). 30

33 b)sidenlimx!0 f(x)= 1oglimx!0+f(x)=1,erikkefunk- LsningsforslagvedKlaraHveberg mums-ellerminimumspunkter.dettestriderikkemotekstremal- verdisetningen,sidenfikkeerdenertforx=0,ogdermedikkeer sjonenbegrensetpaintervallet[ 1;1]oghardermedingenmaksi- Oppgave5.3.4 denertpaheleintervallet[ 1;1]. Viantaratf:(a;b)!Rerkontinuerligogatgrenseverdieneavf(x) narxnrmersegaovenfraogbnedenfraeksisterer.viskalviseat ferbegrenset.sidenlimx!a+f(x)oglimx!b f(x)eksisterer,kanvi utvideftilenkontinuerligfunksjondenertpadetlukkedeintervallet[a;b]slikatf(a)=limx!a+fogf(b)=limx!b f.dermedkan minimumsverdi(er)pa[a;b].dettebetyratferbegrensetpa[a;b],og vibenytteekstremalverdisetningensomsikreratfharmaksimums-og Oppgave5.3.5 dermedogsabegrensetpadetmindreintervallet(a;b). Antaatf:[a;b]!Rerkontinuerlig.Viskalviseatverdimengden vedaviseinklusjonbeggeveier. Vf=ff(x):x2[a;b]geretlukket,begrensetintervall. InklusjonenVf[fmin;fmax]eroppfyltperdenisjonavminimum ViviseratVferlikdetlukkede,begrensedeintervallet[fmin;fmax] kontinuerligefunksjonenfoppnarsittminimumogmaksimumpadet lukkede,begrensendeintervallet[a;b],safminogfmaxermedivf.og ogmaksimum.padenannensidesikrerekstremalverdisetningenatden minimumspunktettilfogpositivimaksimumspunktet,ogharderforet ermedivf:denkontinuerligefunksjoneng(x)=f(x) derjonegativi skjringssetningensikrerossatalleverdierdmellomfminogfmaxogsa harviogsavistdenomvendteinklusjonenvf[fmin;fmax]. mellomliggendenullpunktc.mendetbetyrnettoppatf(c)=d.dermed Oppgave5.4.2 a)viskalviseatlimx!23x=6.gitten">0maviprodusereen b)viskalviseatlimx!3x2=9.gitten">0maviprodusereen avelge="3,idetvidafarj3x 6j=3jx 2j<3=3"3=". >0slikathvisjx 2j<saerj3x 6j<".Detteoppnarvived x=h+3,slikatvifar >0slikathvisjx 3j<saerjx2 9j<".Lah=x 3.Daer jx2 9j=j(h+3)2 9j=jh2+6h+9 9j=jhjjh+6j 31

34 Herserviatdenandrefaktorenjh+6jholdersegmindreenn7 LsningsforslagvedKlaraHveberg dersomvivelgerjhj<1.srgervisamtidigforatdenfrstefaktoren jhjermindreenn"7,vilproduktetholdesegmindreenn".begge c)viskalviseatlimx!4px=2.gitten">0mavinneen>0 jhj=jx 3j<,saerjx2 9j=jhjjh+6j<7="77=". dissekravenebliroppfyltdersomvivelger=min(1;"7).forhvis kvadratsetningserviat slikathvisjx 4j<saerjpx 2j<".Vedhjelpavtredje Velgervi=2",serviathvisjx 4j<saer jpx 2j=j(px 2)(px+2)j jpx+2j =jx 4j jpx+2j<jx 4j 2 jpx 2j<jx 4j 2 <2" Oppgave =" a)lim x!07x2+4x4 3x3 2x2=lim x!07+4x2 3x 2=7+0 b)lim x!18x2+2x+7 px 4x2 =lim x!18+2x+7 px0 2= 72 x2 4 x2=8+0+0 c)lim x!1(px2+3x x)=lim x!1(px2+3x x)(px2+3x+x) px2+3x+x 0 4 = 2 x!1x2+3x x2 =limpx2+3x+x=lim x!1px2+3x+x qx2+3x 3+1=lim x!1q1+3x+1=32 3 d) x!4px 2 limx 4=lim(px 2)(px+2) x!4px+2= 1 2+2=14 1 Viskalavgjreomfunksjonen Oppgave5.4.4a f(x)=x2+2 4cos(x)forx>1 forx1 32

35 erkontinuerligipunktetx=1.viserpadeensidigegrensene LsningsforslagvedKlaraHveberg x!1 f(x)=f(1)=12+2=3 Sidenlimx!1 f(x)6=limx!1+f(x),eksistererikkedentosidigegrensen x!1+f(x)=lim x!1+ 4cos(x)= 4cos=4 limx!1f(x),safunksjonenferikkekontinuerligix=1. 33

36 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel6 LsningsforslagvedKlaraHveberg kapittel,mendeillustrererlikevelnyeregnemessigeteknikkerdetkan Ikapittel6minneroppgavenemeromdeduervanttilfraskolematematikkenidenforstandatdeermindreteoripregedeenniforegaende vrelurtafamedseg.demestteoripregedeoppgaveneerknyttettil seksjon6.2,oggirnyttigeinnblikkiulikeanvendelseravmiddelverdisetningen. Viskalbrukelogaritmiskderivasjon(setning6.1.9). Oppgave6.1.3 a)f(x)=x2cos4xex lnjf(x)j=lnjx2cos4xexj=lnjx2j+lnjcos4xj+lnjexj D[lnjf(x)j]=2x+ =2lnjxj+4lnjcosxj+x =2x 4tanx+1 cosx( sinx)+1 4 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j]=x2cos4xex2x 4tanx+1 b)f(x)=(sinx)117ex2tanx lnjf(x)j=lnj(sinx)117j+lnjex2j+lnjtanxj D[lnjf(x)j]=117lnjsinxj+x2+lnjtanxj =1 17cosx sinx+2x+ tanx 11cos2x 1 f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] =(sinx)117ex2tanx1 sinxcosx 17cosx sinx+2x+ sinxcosx d)f(x)=x2cosxlnx 1 D[lnjf(x)j]=2(cosx)0lnx+2cosx(lnx)0+(lnjlnxj)0 lnjf(x)j=lnjx2cosxlnxj=lnjx2cosxj+lnjlnxj =2cosxlnx+lnjlnxj 34

37 = 2sinxlnx+2cosxLsningsforslagvedKlaraHveberg f0(x)=f(x)d[lnjf(x)j] x +1 =x2cosxlnx2cosx lnx1x x 2sinxlnx+ xlnx 1 Ienfartskontrollmalerpolitietatenbilistbrukert=25sekunderpa enstrekningsomers=500meter.deterenusikkerhetpat=1 Oppgave6.1.6 usikkerhetenimalingenavfartenv(t)=st,farviatdener sekunditidsmalingen.brukerviteknikkenfraeksempel6.1.7tilaansla detvilsienusikkerhetpa0,8m/s. vv0(t)t= s t2t= = 0;8 ViskalviseatD[x2]=2xdirektefradenisjonenavdenderiverte. Oppgave6.1.9 D[x2]=lim x!0(x+x)2 x2 =lim x!0x2+2xx+(x)2 x2 x!02xx+(x)2 =lim x!0(2x+x)=2x Viskalviseatf(x)=2 x3ogg(x)=ln(2+x)harnyaktigett Oppgave6.2.3 f(1)=1<ln3=g(1),sahargrafeneminstettskjringspunktiintervallet[0;1]. Sidenbeggefunksjoneneerkontinuerligeogf(0)=2>ln2=g(0), skjringspunktiintervallet[0;1]. kangrafenehahystett ogdermednyaktigett skjringspunkti slikatferstrengtavtagendeoggerstrengtvoksendei[0;1].derfor Naerf0(x)= 3x2<0ogg0(x)= 2+x>0forallex2(0;1), 1 Oppgave6.2.5 intervallet[0;1]. Vilarf(x)=x 4x.Daerf( 1)= 1+4=3ogf(4)=4 1=3, ( 1;4),erikkeistridmedRollesteorem,fordif(x)ikkeerderiverbar strengtpositivforallex6=0.atf0ikkeharnoenullpunktiintervallet d.v.s.f( 1)=f(4).Deriverervifunksjonen,serviatf0(x)=1+4x2er (ikkeengangdenert)forx=0. 35

38 Oppgave6.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg Viskalviseatdetmellom0ogettallxalltidnnesencslikatsinx= nnesdetvedmiddelverdisetningenenc2(0;x)slikat f(x)=sinx.daferkontinuerligogderiverbarpaintervallet[0;x], xcosc.detteeropplagtriktigforx=0,saviantaratx6=0.visetter f0(c)=f(x) f(0) x 0 =sinx sin0 x 0 =sinx Ogdajcoscj1,harviialt Sidenf0(c)=cosc,girdetteatcosc=sinx x,detvilsiatsinx=xcosc. x gjennomfrerviistedenresonnementetmedintervallet[x;0]. Ifremstillingenovenforharvistilltiendeantattatx>0.Dersomx<0, jsinxj=jxcoscj=jxjjcoscjjxj1=jxj slikatln(1+x)=x Viantarx> 1ogskalviseatdetalltidnnesettallcmellom0ogx Oppgave6.2.8 Funksjonenf(x)=ln(1+x)erdenertogkontinuerligforallex> 1. x6=0. 1+c.Detteeropplagtriktigforx=0,saviantarat Vedmiddelverdisetningennnesdetdaencmellom0ogxslikat Sidenviogsahar f0(c)=f(x) f(0) x 0 =ln(1+x) ln1 x 0 =ln(1+x) f0(c)= 1 x girdette ln(1+x) 1+c somerekvivalentmedatln(1+x)= x = 1+c 1 Forx>0erogsac>0,ogdermed11+c 1+c<1.Multiplikasjonmedxgir x negativ)girdaogsaidettetilfelletx 0<1+c<1,slikat1 1+c<x.For 1<x<0erogsa 1<c<0,ogaddisjonmed1gir x 1+c>1.Multiplikasjonmedx(somnaaltsaer ln(1+x)= 1+c<x,slikatvifar forallex> 1. x 36

39 Oppgave6.3.1 LsningsforslagvedKlaraHveberg ViskalbrukeL'H^opitalsregeltilannedeoppgittegrenseverdiene. b)lim a)lim x!0ex 1 x!0sin2x =lim x!02cos2x 1 =21 x x!0ex1=1 1=2 d)lim x!2cosx 2 x=lim x!2 sinx e)lim x!01 cosx x!0sinx 1 3x2=lim =1 g)lim x!0sinx x x!0cosx x3 =lim x!0cosx 1 =lim x!0 sinx 6x 6x eksistererikke. =lim x!0 cosx Oppgave = 16 Viskalnnegrenseverdiene. a)lim x!0+x2lnx=lim x!0+lnx 1x2L'H^op = lim 2 1x d)lim x!0+xx=lim x!0+ elnxx=lim x!0+exlnx=elimx!0+xlnx=e0=1 x3=lim x!0+ 12x2=0 Mellomregning: x!0+xlnx=lim lim x!0+lnx 1xL'H^op = x!0+ lim 1 1xx2=lim x!0+ x=0 e)lim x!11+sin1xx=lim Mellomregning: x!1exln(1+sin1x)=elimx!1xln(1+sin1x)=e x!1xln1+sin1x=lim lim L'H^op x!1ln(1+sin1x) = x!1( 1 lim x2cos1x)=(1+sin1x) =lim x!11+sin1x= cos1x 1x2 1+sin0=1 cos0 Oppgave6.3.7 x!0cosx lim x2 sinx x3=lim x!0xcosx sinx x3 37

40 L'H^op =lim x!0cosx xsinx cosx 3x2 LsningsforslagvedKlaraHveberg =lim x!0 xsinx = 13lim x!0sinx x = 13 3x2 x!0(ex+sinx)1x=lim Oppgave6.3.9 Mellomregning: x!0 eln(ex+sinx)1x=elimx!0ln(ex+sinx) x =e2 x!0ln(ex+sinx) lim x =lim L'H^op =lim x!0ex+cosx x!0(ex+cosx)=(ex+sinx) ex+sinx= =2 1 Viskalnnetalletaslikat Oppgave x!1ax+1 lim x=pe limn!1 1+1nn=e.Vistartermedaomformeuttrykket Foraunngaformyeregning,kanvibenytteossavdenvelkjentegrensen ax+1 x=1+1 x= 1+1 ax ax!1a Benyttervinaatlimx!1 1+1 x!1ax+1 limaxax=e,farvi x=e1a Vinskeraltsaate1a=pe=e12,detvilsiatvimahaa=2. Alternativlsning: Vikunneogsahaomskrevetuttrykketvedhjelpaveksponentialfunksjonenpavanligmate,forderetterabrukeL'H^opitalpaeksponenten: Mellomregning: x!1ax+1 lim axx=lim x!1eln(ax+1 ax)x=elimx!1xln(ax+1 ax)=e1a somvedsubstitusjonent=1xblir x!1xlnax+1 lim ax=lim x!1ln(1+1 x 1ax) 38

41 =lim t!0+ln(1+ta) LsningsforslagvedKlaraHveberg t L'H^op =lim t!01 Frae1a=peserviata=2. 1+ta1a 1 =1a Viskalavgjreomfunksjonenfdenertved Oppgave f(x)=1 cosx erkontinuerligogderiverbarinull.viserpadeensidigegrensene x2+12 forx0 forx>0 x!0+f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0+1 cosx x3 1 2x=lim x!0+2 2cosx x2 x!0+2sinx 2x 6x2 L'H^op = x!0+2cosx 2 12x2x3 og L'H^op = x!0+ 2sinx lim 12 =0 x!0 f(x) f(0) lim x 0 =lim x!0 x limx!0f(x) f(0) Sidendeensidigegrenseneerlike,eksistereraltsadentosidigegrensen x =0 x=0.mendermederfogsakontinuerligix=0vedsetning6:1:9. x 0 =f0(0),slikatfunksjonenfblirderiverbaripunktet Viskalnneeventuelleasymptoterforfunksjonen Oppgave6.5.5 f(x)=xln(x2) 1 =2xlnx 1 =2x 1 blirfunksjonensdenisjonsomradedf=(0;1)[(1;1).funksjonener Sidenlnxbareerdenertforpositiveverdieravx,ogblirnullforx=1, vertikaleasymptotererx=0ogx=1. kontinuerligihelesittdenisjonsomrade,sadeenestekandidatenetil Laossfrstunderskehvasomskjernarxnrmerseg0ovenfra: Altsaharviingenvertikalasymptoteforx=0. x!0+f(x)=lim x!0+2x 1 lnx=0 39

42 Viunderskersahvasomskjernarxnrmerseg1.Herblir LsningsforslagvedKlaraHveberg Dermedharvienvertikalasymptoteforx=1. x!1f(x)=lim x!12x 1 lnx=1 Vibrukermetodeni6.5.5foranneeventuelleskraasymptoter. Sidendennegrenseneksisterer,regnervividereut x!1f(x) lim x =lim x!12 xlnx=2 1 Detteviseratlinjeny=2xerenskraasymptoteforfunksjonen. x!1 f(x) 2x=lim x!1 1 lnx=0 40

43 Lsningsforslagtilutvalgteoppgaverikapittel7 LsningsforslagvedKlaraHveberg tegnegurerogsettenavnpaukjentestrrelser.oppgave7.3.7illustrerer hvordandukananslaometestimatgittvednewtonsmetodeerforlite Iseksjon7.1og7.2lrerdualseoppgaverhvordetkanlnnesega injektiv,ognnedenomvendtefunksjonenogdensderiverte.iseksjon 7.5og7.6blirdukjentmedcotangensogarcusfunksjonene,ogfarse ellerforstort.iseksjon7.4fardutreningiaviseatenfunksjoner eksemplerpapraktiskbrukavdem(f.eksioppgave7.6.14). Viskallageenrektangulrinnhegninginntilenlave,ognskeratinnhegningenskalhastrstmuligareal.Viharmaterialertil50metergjerde Oppgave7.1.1 avrexmeterlange,madensistesidenvre50 2xmeterlang,slik atarealetblira(x)=x(50 2x)=50x 2x2; somskalutgjretreavsideneiinnhegningen.velgervitoavsidenetil Viderivererforannedetmaksimalearealet: x2[0;25] ViseratA0(x)=0forx=12:5.ItilleggerA0(x)>0forx<12:5og A0(x)<0forx>12:5,sax=12:5eretmaksimumspunktforA(x).Det A0(x)=50 4x strstearealetblirda Oppgave7.1.3 A(12:5)=5012:5 2(12:5)2=312:5;detvilsi312:5m2: enkeltgeometriskargumenttilalseoppgaven.lac0vrespeilingenav bliminstmulig(segurtiloppgavenikalkulus).herkanvibenytteet ViskalnneuthvorBskalliggeforatavstandenfraAtilCviaBskal padennelinjafore.daerjbcj=jbc0jsidendetorettvinklede fracnedpadennelinjafordogkallfotpunktetfornormalenfraaned Comdennedrehorisontalelinjenpaguren,kallfotpunktetfornormalen trekantenebdc0ogbdcerkongruente.mendetbetyratavstanden detvilsinartrekanteneaebogc0dberformlike(vinklenebeaog avstandenerkortestnarbliggerpadenrettelinjenmellomaogc0, fraatilcviaberlikavstandenfraatilc0viab.densistnevnte BDC0errette,ogvinkleneEBAogDBC0ertoppvinkler).Detbetyrat 41

44 vimaha LsningsforslagvedKlaraHveberg altsa jebj jaej=jdbj x2=9 x jc0dj 2x=9 x 4 AvstandenfraAtilCviaBbliraltsaminstnarviharx=3. sidekantenharlengdel=9.larvreradiusisirkelenoghvre Viskalnnedetmaksimalevolumettilenrettsirkulrkjeglehvor Oppgave7.1.5 formelharvidaatr2=l2 h2.settervidetteinniformelenfor volumetvavkjeglen,farvi hydentilkjeglen(segurentiloppgavenikalkulus).vedpythagoras Viderivererforanneekstremalverdier: V0(h)=3( 2h)h+(L2 h2)1 V(h)=3r2h=3(L2 h2)h SetterviinnL=9,farvialtsa =3( 3h2+L2)=L2 3 h2 V0(h)=92 ViseratV0(h)=0narh=p27=3p3.Sidenhydenhikkekan 3 h2=(27 h2) punktforv(h).detmaksimalevolumettilkjeglenblirdermed 0<h<3p3ogV0(h)<0forh>3p3,blirh=3p3etmaksimums- vrenegativ,erenestemulighetath=3p3.daviharatv0(h)>0for Oppgave7.2.1 V(3p3)=3(92 (3p3)2)3p3=(81 27)p3=54p3 (tegngur!).vilarhydentiltoppenavstigenpaettidspunkttvre Viharen4meterlangstigesomstaropptilenveggpaattunderlag 42

45 x(t),mensavstandenmellomfotenogveggenery(t).sammenhengen LsningsforslagvedKlaraHveberg mellomxogyerdaiflgepythagorasformelgittved ogderivasjonavdenneligningenmedhensynpatidentgir x(t)2+y(t)2=16 Fotenavstigenglirvekkmedenkonstanthastighetlik0.5m/s.Vier interessertidetyeblikkethvorx=2,y=p42 22=2p3ogy0(t)=12, 2x(t)x0(t)+2y(t)y0(t)=0 ogsettervidetteinniligningenovenfor,farvi detvilsi 4x0(t)+2p3=0 Toppenavstigenbevegersegaltsamotbakkenmedenhastighetpa0.87 x0(t)= 12p3 0:87 meterpersekundidetdenbennerseg2meteroverbakken. vannmedhastigheten100cm3/s.kjeglenharenhydepa40cmsom Enrettsirkulrkjeglemedvertikalakseogmedspissennedfyllesmed Oppgave7.2.2 erlikradienitoppaten.radienivannetstoppatevedenvannhyde herdermedlikh,ogvolumetavvannetikjeglenveddennehydenblir Derivererviuttrykketmedhensynpatident,farvi V=13h3 detvilsi V0(t)=h(t)2h0(t) h0(t)=v0(t) ForV0(t)=100ogh(t)=10girdette h(t)2 Narvannetharenhydepa10cm,stigerdetaltsamedenhastighet h0(t)= =10:32 omtrentlik0.32cm/s. 43

46 Oppgave7.2.7 LsningsforslagvedKlaraHveberg enhastighetpa1m/s,ogskalnneuthvorfortdenopplystelengdenav Enlommelyktlyseroppensektorpa60grader.Vigarmotetgjerdemed gjerdetminker.vilaravstandenfragjerdetvrey(t),mensdetopplyste omradetharlengdex(t).daharvi Vedaderiverefarvi y(t)=tan30()x(t)=2y(t)tan30=2y(t)13p3 Sidenvigarmotgjerdetmedhastigheteny0(t)=1,minkerlengdenav x0(t)=23p3y0(t) detopplysteomradetmed23p3m/s. Oppgave7.3.1 a)viskalbrukenewton'smetodetogangerforanneettilnrmet x0=1:5.dennestetilnrmelsenergittved nullpunktforf(x)=x5+3x 7iintervallet[1;2].Startverdier oganvendervimetodenengangtilmednystartverdix1,nnervi x1=x0 f(x0) f0(x0)=x0 x50+3x0 7 5x40+3 1:320 (Deteksaktenullpunkteter1.26medtodesimalersnyaktighet.) x2=x1 x51+3x1 7 5x41+3 1:27 Oppgave7.3.7 a)viskalstuderegrafentilfunksjonenf(x)=epx 3.Sidenf(1)= e 3<0,f(2)=ep2 3>0oggrafenerkontinuerlig,hargrafen Dermedmadenhanyaktigettnullpunktidetteintervallet. funksjonenerstrengtvoksende,kandenhahystettnullpunkt. minstettnullpunktiintervallet(1;2)vedskjringsetningen.siden b)vibrukernewton'smetodeengangmedstartverdix0=1ogfar x1=x0 f(x0) f0(x0)=1 epx0 3 2px0epx0=1 2e 3 1 e =6 e Sidendendobbeltderiverteerpositiv(sjekkdetteselv!)forx> e 1:2073 1,ergrafenkonveksiintervallet(1;2)ogliggerderforiheledette 44

47 intervalletpaoversidenavgrafenstangentipunktetx0=1.spesielt LsningsforslagvedKlaraHveberg detbetyratf(x1)>0.sidenf(x0)=e 3<0,magrafenskjre gjelderdetteiskjringspunktetx1mellomtangentenogx-aksen,og tilfelleerstrreennx0.(deteksaktenullpunkteter1.2069medre tilnrmedeverdienx1fornullpunkteterforstor,sidenx1ivart x-aksenmellomx0ogx1iflgeskjringssetningen.detbetyratden Oppgave7.4.1 desimalersnyaktighet.) Viskalviseatfunksjonenerinjektivognnedenomvendtefunksjonen. b)f(x)=x2ogdf=[0;1). Denderiverteerf0(x)=2x>0forx2(0;1).Sidenfunksjonen hensynpax.denenestelsningenerx=py,daxskalvrepositiv. inversefunksjonennnesvedalseligningeny=f(x)=x2med erstrengtvoksendepaintervallet[0;1),madenvreinjektiv.den Deninversefunksjonenerdermed c)f(x)=x2ogdf=( 1;0]. f 1(y)=py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x<0forx2( 1;0).Sidenfunksjonen mavihax= py.deninversefunksjoneneraltsa erstrengtavtagendepaintervallet( 1;0],madenvreinjektiv. Vilserigjeny=f(x)=x2medhensynpax,ogdaxnaernegativ, e)f(x)=x2+2x+3ogdf=[ 1;1). f 1(y)= py; Df 1=Vf=[0;1) Denderiverteerf0(x)=2x+2>0forx2( 1;1).Sidenfunksjonenerstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1),madenvreinjektiv. VerdimengdentilferVf=[2;1),ogvinnersomtidligeredeninversefunksjonenvedalseligningeny=f(x)medhensynpax: x2+2x+3=y x= 2p4 12+4y Daxskalliggeiintervallet[ 1;1),mavivelgelsningenmedpluss = 1py 2 2 foranrottegnet.deninversefunksjonenbliraltsa f 1(y)= 1+py 2; 45 Df 1=Vf=[2;1)

48 Oppgave7.4.3 LsningsforslagvedKlaraHveberg Funksjonenf(x)=2xex+1meddenisjonsomradeDf=[ 1;1)er Vilargbetegnedenomvendtefunksjonen,ogskalberegneg0(1).Vihar intervallet( 1;1),slikatfblirstrengtvoksendepaintervallet[ 1;1). injektivfordidenderivertef0(x)=2ex+2xex=2ex(1+x)erpositivpa apenbart ognnerdermedy=f(x)=2xex+1=1()x=0 g0(1)= f0(0)= 1 2e0(1+0)=12 1 injektivfordidensderivertef0(x)= Funksjonenf(x)=tan2xhardenisjonsomradeDf=( =4;=4)oger Oppgave7.4.5 tildenomvendtefunksjonengipunktetx=1.vihary=f(x)=1nar slikatfunksjonenselverstrengtvoksende.viskalnnedenderiverte cos22xerpositivpadetteintervallet, 2 x==8.dermedblir g0(1)= f0(=8)= 1 2=(12p2)2=14 1 DadenderiverteavcotangensergittvedD[cotx]= 1 Oppgave7.5.2 a)d[cot(x2)]= sin2(x2)d[x2]= 1 sin2(x2) 2x sin2x,harvi b)d[cot2x]=2cotxd[cotx]= 2cotx Oppgave7.5.5 sin2x a)vinedfellerennormalfratoppunktetcitrekantenabcpagrunnkantencdberdacd=asinbogdb=acosb.avdetteflger cotangenssetningen: linjenab,ogkallernormalensfotpunktd.idenrettvinkledetre- b)ientrekantertosiderhenholdsvis10cmog5cmlange,ogden cota=ad CD=AB DB =c acosb mellomliggendevinkelener30.settervic=10,a=5ogb=30, asinb 46

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus Øyvind Ryan. november 4 Innhold Kapittel 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.4.................................

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Foreløpig utgave, oktober 2 Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser S2 - Kapittel 6 Løsningsskisser I a) Hva kan man si om overskuddet når grenseinntekten er lik grensekostnaden? b) Hva kan man si om produksjonsmengden når enhetskostnaden er lik grensekostnaden? c) Hva

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015 Plenum Kalkulus Fredrik Meyer. oktober 05 7. Oppgave (7.). Du skal lage en rektangulær innehengning til hesten din. Den ene siden dekkes av låven og på de tre andre sidene skal du bygge gjerde. Hva er

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen

Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå Gardermoen Norgesmiljø-ogbiovitenskapeligeuniversitet Institutt for matematiske realfag og teknologi (IMT) Masteroppgave2014 30stp Modelleringavsolvarmeanlegg ogproduksjonssimuleringer vedhafslunds fjernvarmeanleggpå

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Hva gjør disse skriptene? a) Skriptet lager plottet vi ser i gur 1. Figur 1: Plott fra oppgave 1 a). b) Om vi endrer skriptet

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker analysedelen av pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på anvendelser av teorien enn på

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Tillegg A. Oppgaver. A.1 Kapittel 1. Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1.

Tillegg A. Oppgaver. A.1 Kapittel 1. Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1. Tillegg A Oppgaver A.1 Kapittel 1 Oppgave 1 Hva er definisjonsmengden til følgende funksjoner? a) f(x) = x 2 + 1 b) f(x) = x2 +1 2x 1 c) f(x) = x 3 2 2x + 1 d) f(x) = ln x + 2 sin x e) f(x) = 2x 4 5 e

Detaljer

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL

GAVE GAVE GAVE 3690.- 11990.- 6555.- STIHL TIMESTILBUD T Ny kk T S E F S G N I ÅPN 3- TILBUD S p på kn k F p jø k F h Tknn v k T f v D ønn å væ T Fkjøp Fk nv åpnnf A k fø k på åpnnn, knnn v f v * Un nn v Tknnn jnnfø c k V V V - 36 STIHL MS 8 6555-

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 9. april 5 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) x 3 4/x dx LF: x 3 4/x dx

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA65 -.6.7 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo

Kirkevergens innstilling til bemanningsplan og organisering av virksomheten innen Kirkelig fellesråd i Oslo DEN NORSKE KIRKE K få O Kv Kv bp v vh K få O O, 26. vb 2010 P: Pb 2674 S.Hh 0131 O Bø: Ab 32 Tf: 23 62 90 00 E-P: p.f@.. Wb: www... B : 8380.08.67374 O.: 976 987 608 Ih Kv bp v vh... 1 K få O... 1 1 S

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript I denne øvinga skal vi lære oss mer om skript. Et skript kan vi se på som et lite program altså en sekvens av kommandoer. Til sist skal vi se

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole

Pilegrimsleden fra Oslo gjennom Bærum til Bønsnes i Hole P f æ ø ø T V Eh P f I. E ø ø f æ T: L Iø L f: f I. - Å - Tø E K K ø T h K ø ø f ø L Ú K - ø ø F ø ø K p ø - - - ø L L K P A T ø ø h ø àêæú µ ø ø L P ø ø -V ø ø L L f fø é K pp. h f pp () -. p f - Ah.

Detaljer

og variasjon av parameterene Oppsummering.

og variasjon av parameterene Oppsummering. Inhomogene differensiallikninger av andre orden Ubestemte koeffisienters metode og variasjon av parameterene Oppsummering. MAT-INF1100 October 30, 2007 NYTT TEMA Innhomogene likninger: Oppdeling i partikulær

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2.

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2. /14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net S1 014 høst LØSNING Contents DEL EN Oppgave 1 x 10 = x(x 5) x + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7± x = x = 5 lg( ) + = 5 x lg( ) = x = 10 lg( x ) 10 x =

Detaljer

Siljan kommune. Trafikksikkerhet 2006. Kommunestyrets vedtak 20. juni 2006

Siljan kommune. Trafikksikkerhet 2006. Kommunestyrets vedtak 20. juni 2006 j Tf 2006 Ky 20. j 2006 I 1 INNLEDNING... 3 2 VIJON/MÅLETTINGER... 4 3 REGITRERINGER... 6 3.1 MIDTBYGDA... 6 3.1.1 Dj å... 7 3.1.1.1 V... 8 3.1.2... 9 3.1.2.1 V... 10 3.1.3 I//f... 11 3.1.3.1 V... 12 3.1.4

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Kommentarer til eksamen i MAT 1100, 8/12-04

Kommentarer til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Kommentarer til eksamen i MAT 00, 8/-04 Dette notatet gir en oppsummering av resultatene i MAT 00, høsten 004. Siden strykprosenten (30.7% av dem som leverte besvarelse) var atskillig høyere enn de foregående

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2

Detaljer

EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER

EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER Forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning Universitetet i Stavanger, Universitetet i Tromsø, Høgskolen i Buskerud, Høgskulen i Sogn og Fjordane,

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 05.12.2008 AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elevar og privatistar / Elever og privatister Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte

Detaljer

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014)

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014) R Eksmen V04 R eksmen våren 04. (9.05.04) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel:

Detaljer

Halvårsplan/årsplan i norsk for 1. trinn 2015/2016

Halvårsplan/årsplan i norsk for 1. trinn 2015/2016 Halvårsplan/årsplan i norsk for 1. trinn 2015/2016 Uke Læremiddel sider V F L 33 35 37 38 Kan leke, improvisere og eksperimentere med rim og rytme BOKSTAVTEST eksperimentere med rim, rytme og språker språker

Detaljer

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2 Formelsamlig R Formelsamlig i matematikk - R (Uder arbeid...) Ulve.09.0 Vær sill å rapportere evetuelle feil! Her vil jeg prøve å få samlet alle formler jeg meer dere ka ha ytte av både på eksame og i

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER I ECON4120 MATEMATIKK 2

EKSAMENSOPPGAVER I ECON4120 MATEMATIKK 2 EKSAMENSOPPGAVER I ECON420 MATEMATIKK 2 MATEMATISK ANALYSE OG LINEÆR ALGEBRA Økonomisk institutt 2003 Forord Denne oppgavesamlingen er særlig beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i ECON420

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA6516-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 13, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer